Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay [r]
(1)- + A
D
M C O
+
O
CHỦ ĐỀ CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1 Đường tròn định hướng cung lượng giác
Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ làm chiều dương
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A B Một điểm M di động đường trịn ln theo chiều (âm dương) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với hai điểm A B, cho đường trịn định hướng ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu ,
A điểm cuối B Mỗi cung nh vy u c kớ hiu l AB
ỵ
2 Góc lượng giác
Trên đường trịn nh hng cho mt cung lng giỏc CD ỵ
Một điểm M chuyển động đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD
ỵ
núi trờn Khi ú tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM tạo góc lượng giác, có tia đầu OC, tia cuối OD
Kí hiệu góc lượng giác OC OD,
3 Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R
Đường trịn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A 1;0 , A' 1;0 , B 0;1 , B' 0; Ta lấy A 1;0 làm điểm gốc đường trịn
Đường trịn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A)
II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1 Độ radian
a) Đơn vị radian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad
b) Quan hệ độ radian
1 rad
180
0 180
1rad .
(2)c) Độ dài cung tròn
Trên đường trịn bán kính R, cung nửa đường trịn có số đo rad có độ dài R Vậy cung có số đo rad đường trịn bán kính R có độ dài
. R
2 Số đo cung lượng giác
Số đo cung lượng giác AM
ỵ
(A M ) l mt s thực âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM
ỵ
l sAM
ỵ
Ghi nhớ
Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội Ta vit
s AM k2 , k .
ỵ
trong số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu A, điểm cuối M
3 Số đo góc lượng giác
Số đo góc lượng giác OA OC, số đo cung lượng giác AC tương ứng
Chú ý Vì cung lượng giác ứng với góc lượng giác ngược lại, đồng thời số đo
các cung góc lượng giác tương ứng trùng nhau, nên từ sau ta nói cung điều cho góc ngược lại
4 Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A1;0 làm điểm đầu tất cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M cung Điểm cuối M xác định hệ thức sđAM
(3)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề LÝ THUYẾT
Câu 1. Khẳng định sau đúng nói ''đường trịn định hướng''?
A Mỗi đường tròn đường tròn định hướng
B Mỗi đường tròn chọn điểm gốc đường tròn định hướng
C Mỗi đường tròn chọn chiều chuyển động điểm gốc đường tròn
định hướng
D Mỗi đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương chiều ngược
lại gọi chiều âm đường tròn định hướng
Câu 2. Quy ước chọn chiều dương đường tròn định hướng là:
A Luôn chiều quay kim đồng hồ B Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ
C Cóthể chiều quay kim đồng hồ mà ngược chiều quay kim đồng hồ
D Không cùngchiều quay kim đồng hồ không ngược chiều quay kim đồng hồ
Câu 3. Trên đường tròn định hướng, mi cung lng giỏc AB
ỵ
xỏc định:
A. Một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB
B Hai góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB
C Bốn góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB
D Vô số góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB
Câu 4. Khẳng định sau đúng nói ''góc lượng giác''?
A Trên đường trịn tâm O bán kính R 1, góc hình học AOB góc lượng giác
B Trên đường trịn tâm O bán kính R 1, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A điểm cuối B góc lượng giác
C Trên đường trịn định hướng, góc hình học AOB góc lượng giác
D Trên đường trịn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A điểm cuối B góc lượng giác
Câu 5. Khẳng định sau đúng nói ''đường trịn lượng giác''?
A. Mỗi đường tròn đường tròn lượng giác
B Mỗi đường trịn có bán kính R đường tròn lượng giác
C Mỗi đường trịn có bán kính R 1, tâm trùng với gốc tọa độ đường tròn lượng giác D Mỗi đường trịn định hướng có bán kính R 1, tâm trùng với gốc tọa độ đường tròn
lượng giác
Vấn đề ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu 6. Trên đường trịn cung có số đo rad là?
A. Cung có độ dài B. Cung tương ứng với góc tâm 600
C. Cung có độ dài đường kính D. Cung có độ dài nửa đường kính
Câu 7. Khẳng định sau đúng?
A. rad B. rad 60 C. rad 180 D.
0 180
rad
Câu 8. Khẳng định sau đúng?
(4)A. rad B.1 rad 60 C.1 rad 180 D.
0 180
1 rad
Câu 9. Nếu cung trịn có số đo a0 số đo radian là:
A. 180 a B. 180
a C 180
a
D
180a
Câu 10. Nếu cung trịn có số đo 3a0 số đo radian là:
A. 60
a
B.
180
a
C 180
a D
60.
a
Câu 11. Đổi số đo góc 700 sang đơn vị radian
A. 70 B.
18 C.
7 .
18 D.
7 .
18
Câu 12. Đổi số đo góc 1080 sang đơn vị radian
A.
5 B. 10 C.
3 .
2 D.
Câu 13. Đổi số đo góc 45 32'0 sang đơn vị radian với độ xác đến hàng phần nghìn
A. 0,7947 B. 0,7948 C. 0,795 D. 0,794
Câu 14. Đổi số đo góc 40 25'0 sang đơn vị radian với độ xác đến hàng phần trăm
A. 0,705 B 0,70 C 0,7054 D 0,71 Câu 15. Đổi số đo góc 125 450 sang đơn vị radian
A 503
720 B
503
720 C
251
360 D
251 360
Câu 16. Đổi số đo góc rad
12 sang đơn vị độ, phút, giây
A 15 B 10 C 6 D 5
Câu 17. Đổi số đo góc rad
16 sang đơn vị độ, phút, giây
A 33 45'.0 B 29 30'.0 C 33 45'.0 D 32 55.0 Câu 18. Đổi số đo góc rad sang đơn vị độ, phút, giây
A 286 44'28''.0 B 286 28' 44''.0 C 286 D 286 28' 44''.0 Câu 19. Đổi số đo góc rad
4 sang đơn vị độ, phút, giây
A 42 97 18 B 42 58 C 42 97 D 42 58 18 Câu 20. Đổi số đo góc rad sang đơn vị độ, phút, giây
A 114 59 15 B 114 35 C 114 35 29 D 114 59 Vấn đề ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
Câu 21. Mệnh đề sau đúng?
(5)B. Độ dài cung trịn tỉ lệ với bán kính
C. Số đo cung trịn tỉ lệ với bán kính
D. Độ dài cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo cung
Câu 22. Tính độ dài cung đường trịn có bán kính 20cm số đo 16
A. 3,93cm B. 2,94cm C. 3,39cm D. 1,49cm
Câu 23. Tính độ dài cung đường trịn có số đo 1,5 bán kính 20 cm
A.30cm B. 40cm C. 20cm D. 60cm
Câu 24. Một đường trịn có đường kính 20cm Tính độ dài cung đường trịn có số đo
35 (lấy chữ số thập phân)
A. 6,01cm B. 6,11cm C. 6,21cm D. 6,31cm
Câu 25. Tính số đo cung có độ dài cung 40
3 cm đường trịn có bán kính 20 cm
A.1,5 rad B. 0,67 rad C. 800 D. 880
Câu 26. Một cung trịn có độ dài lần bán kính Số đo radian cung trịn
A. 1. B. C. D.
Câu 27. Trên đường trịn bán kính R, cung trịn có độ dài 1
6 độ dài nửa đường trịn có số đo (tính radian) là:
A. /2 B. /3 C. / D /
Câu 28. Một cung có độ dài 10cm, có số đo radian 2,5thì đường trịn cung có bán
kính là:
A. 2,5cm B. 3,5cm C. 4cm D. 4,5cm
Câu 29. Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, bánh xe quay góc độ
A.
5 B.
5
8 C.
3
5 D.
5
3
Câu 30. Một bánh xe có 72 Số đo góc mà bánh xe quay di chuyển 10 là:
A 30 B 40 C 50 D 60
Vấn đề GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 31. Cho góc lượng giác Ox O, y 22 30 '0 k360 Với giá trị k góc
1822
, '
Ox Oy ?
A k B k C k –5 D k
Câu 32. Cho góc lượng giác
2 k Tìm k để 10 11
A k B k C k D k
Câu 33. Một đồng hồ, có kim OG số kim phút OP số12 Số đo góc lượng giác OG OP,
(6)A. ,
2 k k B.
0
270 k360 ,k
C. 2700 k360 ,0 k D. ,
10 k k
Câu 34. Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc A Điểm M thuộc đường tròn cho cung lượng giác AM có số đo 450 Gọi N điểm đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung lượng giác AN
A. 450 B. 3150
C. 450 3150 D. 450 k360 ,0 k
Câu 35. Trên đường tròn với điểm gốc A Điểm M thuộc đường tròn cho cung lượng giác AM có số đo 600 Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy, số đo cung AN là:
A 120o B 2400
C 1200 2400 D 1200 k360 ,0 k
Câu 36. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A Điểm M thuộc đường trịn cho cung lượng giác AM có số đo 750 Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O, số đo cung lượng giác AN bằng:
A 2550 B 1050
C 1050 2550 D. 1050 k360 ,0 k
Câu 37. Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): ,
6 3,
25 ,
3
19 Các cung có điểm cuối trùng nhau:
A ; B ;
C , , D , ,
Câu 38. Các cặp góc lượng giác sau đường tròn đơn vị, tia đầu tia cuối Hãy nêu kết SAI kết sau đây:
A.
3 35
3 B. 10
152
5
C.
3 155
3 D.
281
7
Câu 39. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cung lượng giác có điểm biểu diễn tạo thành tam giác ?
A.
3
k
B. k C.
2 k
D.
3
k
Câu 40. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cung lượng giác có điểm biểu diễn tạo thành hình vng
A. k
. B. k C.
3
k
D.
3
k
(7)
A'
B' B K
H O
A M
x y
BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 1 Định nghĩa
Trên đường tròn lng giỏc cho cung AM
ỵ
cú sAM
ỵ
(cũn vit AM
ỵ
) Tung độ y OK điểm M gọi sin kí hiệu sin
sin OK.
Hoành độ x OH điểm M gọi cơsin kí hiệu cos cos OH.
Nếu cos 0, tỉ số sin
cos gọi tang kí hiệu
tan (người ta cịn dùng kí hiệu tg ) tan sin
cos
Nếu sin 0, tỉ số cos
sin gọi côtang kí hiệu cot (người ta cịn dùng kí hiệu cotg ) cot cos
sin
Các giá trị sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác cung
Ta gọi trục tung trục sin, cịn trục hồnh trục cơsin
2 Hệ
1) sin cos xác định với Hơn nữa, ta có
sin 2 sin , ;
cos 2 cos , .
k k
k k
2) Vì OK 1; OH nên ta có 1 sin 1
1 cos 1.
3) Với m mà m tồn cho sin m cos m 4) tan xác định với
2 k k
5) cot xác định với k k
6) Dấu giá trị lượng giác góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM
ỵ
trờn ng trũn lng giỏc
Bảng xác định dấu giá trị lượng giác
(8)Góc phần tư
Giá trị lượng giác I II III IV
cos sin
tan cot
3 Giá trị lượng giác cung đặc biệt
0
6
sin
2
2
3
2
cos 1
2
2
1
2
tan
3 Không xác định
cot Không xác định 1
3
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG 1 Ý nghĩa hình học tan
Từ A vẽ tiếp tuyến t At' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A
Gọi T giao điểm OM với trục t At'
tan biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t At' Trục t At' gọi
trục tang.
2 Ý nghĩa hình học cot
Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B
Gọi S giao điểm OM với trục s Bs'
cot biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s Bs' Trục s Bs' gọi trục
côtang
y
x t
t' T M
A O
(9)III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1 Công thức lượng giác
Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin2 cos2
tan2 12 ,
cos k , k
cot2 12 ,
sin k , k
tan cot 1, ,
2
k k
2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau:
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
2) Cung bù nhau:
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
3) Cung :
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
4) Cung phụ nhau:
2
S
s' s
O B
M x y
(10)sin cos 2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
(11)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Cho thuộc góc phần tư thứ đường trịn lượng giác Hãy chọn kết kết sau
A. sin B. cos C. tan D. cot
Câu 2. Cho thuộc góc phần tư thứ hai đường tròn lượng giác Hãy chọn kết kết sau
A sin 0; cos B sin 0; cos
C sin 0; cos D sin 0; cos
Câu 3. Cho thuộc góc phần tư thứ ba đường tròn lượng giác Khẳng định sau sai ?
A. sin B. cos C. tan D. cot
Câu 4. Cho thuộc góc phần tư thứ tư đường tròn lượng giác Khẳng định sau ?
A. sin B. cos C. tan D. cot
Câu 5. Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ sin , cos dấu?
A. Thứ II B. Thứ IV C. Thứ II IV D. Thứ I III
Câu 6. Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ sin , tan trái dấu?
A. Thứ I. B. Thứ II IV C. Thứ II III D. Thứ I IV
Câu 7. Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ cos sin2
A. Thứ II. B. Thứ I II C. Thứ II III D. Thứ I IV
Câu 8. Điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ sin2 sin
A. Thứ III. B. Thứ I III C. Thứ I II D. Thứ III IV
Câu 9. Cho
2 Khẳng định sau đúng?
A tan 0; cot B tan 0; cot
C tan 0; cot D tan cot
Câu 10. Cho
2 Khẳng định sau đúng?
A sin B sin C. sin D. sin
Câu 11. Cho
2 Khẳng định sau đúng?
A. cot
2 B. cot C. tan D. tan
Câu 12. Cho
2 Giá trị lượng giác sau dương ?
A sin B cot
2 C cos D tan
Câu 13. Cho
2 Khẳng định sau đúng?
(12)A. tan
2 B.
3
tan
2
C. tan
2 D.
3
tan
2 Câu 14. Cho
2 Xác định dấu biểu thức M cos tan
A. M B. M C. M D. M
Câu 15. Cho
2 Xác định dấu biểu thức M sin cot
A. M B. M C. M D. M
Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 16. Tính giá trị sin47
6
A sin47
6 B
47
sin
6 C
47
sin
6 D
47
sin
6
Câu 17. Tính giá trị cot89
A cot89
6 B
89
cot
6 C
89
cot
6 D
89
cot
6
Câu 18. Tính giá trị cos
4 k
A cos
4 k B
2
cos
4 k
C cos 1
4 k D
3
cos
4 k
Câu 19. Tính giá trị cos
3 k
A. cos
3 k B
1
cos
3 k
C. cos 1
3 k D.
3
cos
3 k
Câu 20. Tính giá trị biểu thức
0 0
0
0
cot 44 tan 226 cos 406
cot 72 cot18 cos316
P
A P –1 B P C
2
P D
2 P
(13)Câu 21. Tính giá trị biểu thức 2
14
sin tan
29
3 sin
4
P
A
2
P B
2
P C
2
P D 3
2 P
Câu 22. Tính giá trị biểu thức cos2 cos23 cos25 cos27
8 8
P
A P 1. B P C P D P
Câu 23. Tính giá trị biểu thức P sin 102 O sin 202 O sin 302 O sin 80 O
A P 0. B P C P D P
Câu 24. Tính giá trị biểu thức P tan10 tan 20 tan 30 tan 80
A P 0. B P C P D P
Câu 25. Tính giá trị biểu thức P tan1 tan tan3 tan89 0 0
A P 0. B P C P D P
Vấn đề TÍNH ĐÚNG SAI Câu 26. Với góc Khẳng định sau đúng?
A. sin cos B. sin2 cos2
C. sin3 cos3 D. sin4 cos4
Câu 27. Với góc Khẳng định sau đúng?
A. sin 2 cos 22 B. sin cos C. sin2 cos 1802 D. sin2 cos 1802 Câu 28. Mệnh đề sau sai?
A. sin 1; cos B.tan sin cos
cos
C. cot cos sin
sin D.
2
sin 2018 cos 2018 2018 Câu 29. Mệnh đề sau sai?
A.1 tan2 12
sin B.
2
2
1 cot
cos
C. tan cot D. tan cot
Câu 30. Để tanx có nghĩa
A
2
x B x C
2
x k D x k
Câu 32. Điều kiện đẳng thức tan cot
A ,
2
k k B ,
2 k k
(14)C k , k D ,
2 k k
Câu 33. Điều kiện để biểu thức tan cot
3
P xác định
A ,
6 k k B
2
,
3 k k
C ,
6 k k D k2 ,k
Câu 34. Mệnh đề sau đúng?
A sin 600 sin150 B cos300 cos60
C tan 450 tan 60 D cot 600 cot 240 Câu 35. Mệnh đề sau đúng?
A tan 45 tan 46 B cos142 cos143
C sin 90 13 sin 90 14 D cot128 cot126 Vấn đề CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 36. Chọn mệnh đề mệnh đề sau:
A cos sin
2 B sin sin
C cos sin
2 D tan cot
Câu 37. Với số thực , ta có sin
2
A. sin B. cos C. sin D. cos Câu 38. Cho cos
3 Khi
3 sin
2 A
3 B
1
3 C
1
3 D
2
Câu 39. Với tan 2017
A. tan B. cot C tan D cot
Câu 40. Đơn giản biểu thức cos sin( )
2
A , ta
A A cos sin B A sin
C A sin – cos D A
Câu 41. Rút gọn biểu thức cos sin sin cos
2
S x x x x ta
A S 0. B.S sin2x cos 2x
C S sin cos x x D S
(15)Câu 42. Cho P sin cos sin cos
2
Q Mệnh đề
là ?
A P Q B P Q C P Q D P Q
Câu 43. Biểu thức lượng giác
2
3
sin sin 10 cos cos
2 x x x x có giá
trị ?
A. B. C.
2 D.
3 Câu 44. Giá trị biểu thức
2
17 13
tan tan cot cot
4
P x x
A. 12
sin x B.
1 .
cos x C.
2 .
sin x D.
2 .
cos x
Câu 45. Biết sin sin13 sin
2 2
x x giá trị cosx
A 1 B C 1
2 D
1.
Câu 46. Nếu cot1,25.tan 1,25 sin cos
2
x x tanx
A. B. C. D. Một giá trị khác
Câu 47. Biết A B C, , góc tam giác ABC, mệnh đề sau đúng:
A. sin A C sin B B. cos A C cos B
C. tan A C tan B D. cot A C cot B
Câu 48. Biết A B C, , góc tam giác ABC,
A. sinC sin A B B. cosC cos A B
C. tanC tan A B D. cotC cot A B
Câu 49. Cho tam giác ABC Khẳng định sau sai ?
A sin cos
2
A C B
B cos sin
2
A C B
C sin A B sin C D cos A B cos C Câu 50. A,B C, ba góc tam giác Hãy tìm hệ thức sai:
A. sinA sin 2A B C B. sin cos3
2 A B C A
C. cos sin
2
A B C
C D. sinC sin A B C
Vấn đề TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
(16)Câu 51. Cho góc thỏa mãn sin 12
13 Tính cos
A cos
13 B
5
cos
13 C
5
cos
13 D
1
cos
13
Câu 52. Cho góc thỏa mãn cos
3
3
2 Tính tan
A tan
5 B
2
tan
5 C
4
tan
5 D
2
tan
5 Câu 53. Cho góc thỏa mãn tan
3
2017 2019
2 Tính sin
A sin
5 B sin C sin D sin
Câu 54. Cho góc thỏa mãn cos 12
13 Tính tan
A tan 12
5 B
5
tan
12 C
5
tan
12 D
12
tan
5
Câu 55. Cho góc thỏa mãn tan 180o 270 o Tính P cos sin
A
5
P B P C
P D
2 P
Câu 56. Cho góc thỏa sin
5 90 180
O O Khẳng định sau đúng?
A cot
5 B cos C. tan D. cos
Câu 57. Cho góc thỏa cot
4 90
O O Khẳng định sau đúng?
A cos
5 B cos C. sin D. sin
Câu 58. Cho góc thỏa mãn sin
5 Tính
tan tan
P
A. P B.
7
P C. 12
25
P D. 12
25
P
Câu 59. Cho góc thỏa sin
0
90 180 Tính tan 3cot
tan cot
P
A. 19 2
9
P B. 19 2
9
P C. 26 2
9
P D. 26 2
9
P
Câu 60. Cho góc thỏa mãn sin
3 Tính
7 tan
2
P
(17)A. P 2 B. P 2 C.
P D.
4
P
Câu 61. Cho góc thỏa mãn cos
5 Tính P tana cot a
A P 4. B. P C. P D. P
Câu 62. Cho góc thỏa mãn cos
5 Tính
2
tan tan
P
A.
3
P B.
3
P C.
3
P D.
3
P
Câu 63. Cho góc thỏa mãn
2 tan Tính P cos sin
A.
2
P B.
4
P C.
2
P D.
4
P
Câu 64. Cho góc thỏa mãn
2 cot 3 Tính giá trị biểu thức
sin cos
6
P
A.
2
P B. P C. P D.
2
P
Câu 65. Cho góc thỏa mãn tan
3 Tính
2 sin cos . sin cos
P
A. 30
11
P B. 31
11
P C. 32
11
P D. 34
11
P
Câu 66. Cho góc thỏa mãn tan Tính 3sin 2cos
5cos 7sin
P
A.
9
P B.
9
P C.
19
P D.
19
P
Câu 67. Cho góc thỏa mãn cot Tính
3sin cos
2sin 5cos
P
A. 15
13
P B. 15
13
P C. P 13 D. P 13 Câu 68. Cho góc thỏa mãn tan Tính
2
2
2 sin 3sin cos cos 5sin cos
P
A
13
P B
65
P C
65
P D 24
29
P
Câu 69. Cho góc thỏa mãn tan
2 Tính
2
2
2 sin 3sin cos cos . 5cos sin
P
A
13
P B
19
P C
19
P D
19
P
(18)Câu 70. Cho góc thỏa mãn tan Tính P sin4 cos4
A
13
P B 10
13
P C 11
13
P D 12
13
P
Câu 71. Cho góc thỏa mãn sin cos
4 Tính P sin cos
A
16
P B
32
P C
8
P D
8
P
Câu 72. Cho góc thỏa mãn sin cos 12
25 sin cos Tính
3
sin cos P
A 91
125
P B 49
25
P C
5
P D
9
P
Câu 73. Cho góc thỏa mãn
4
5 sin cos
2 Tính P sin cos
A
2
P B
2
P C
2
P D
2 P
Câu 74. Cho góc thỏa mãn sin cos m Tính P sin cos
A. P m B. P m2 C. P m2 D. P m2
Câu 75. Cho góc thỏa mãn tan cot Tính P tan2 cot2
A. P B. P C. P D. P
Câu 76. Cho góc thỏa mãn tan cot Tính P tan3 cot3
A. P 100 B. P 110 C. P 112 D. P 115
Câu 77. Cho góc thỏa mãn s ni cos
2 Tính
2
tan cot P
A. P 12 B. P 14 C. P 16 D. P 18
Câu 78. Cho góc thỏa mãn
2 tan cot Tính P tan cot
A. P B. P C. P D. P
Câu 79. Cho góc thỏa mãn 3cos sin sin Tính sin
A. sin
13 B.
7
sin
13 C.
9
sin
13 D.
12
sin
13
Câu 80. Cho góc thỏa mãn
2 sin cos Tính P tan cot
A.
2
P B.
4
P C.
6
P D.
8
P
Vấn đề RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 81. Rút gọn biểu thức M sinx cosx sinx cosx
A. M B. M C. M D. M sin cos x x
(19)Câu 82. Mệnh đề sau đúng?
A sin4 cos4 3cos 4
x x x B sin4 cos4 3cos
8
x x x
C sin4 cos4 1cos 4
x x x D sin4 cos4 1cos
2
x x x
Câu 83. Mệnh đề sau đúng?
A. sin4x cos4x 2cos 2x B. sin4x cos4x 2sin2xcos 2x C. sin4x cos4x 2sin 2x D. sin4x cos4x 2cos2x Câu 84. Rút gọn biểu thức M sin6x cos 6x
A. M 3sin2xcos 2x B. M 3sin 2x C. 3sin 2
2
M x D. 3sin 2
4
M x
Câu 85. Rút gọn biểu thức M sin4x cos4x cos sin2x 2x sin8x cos8x
A. M B. M C. M D. M
Câu 86. Rút gọn biểu thức M tan2x sin 2x
A. M tan 2x B. M sin 2x C. M tan sin2x 2x D. M Câu 87. Rút gọn biểu thức M cot2x cos 2x
A. M cot2x B. M cos 2x C. M D. M cot2x.cos 2x Câu 88. Rút gọn biểu thức M 1– sin2x cot2x 1– cot2x
A M sin 2x B M cos 2x C M – sin 2x D M – cos 2x
Câu 89. Rút gọn biểu thức M sin2 tan2 4sin2 tan2 3cos2
A M sin2 B M sin C M sin D M
Câu 90. Rút gọn biểu thức M sin4x cos4x tan2x cot2x
A M B M C M D M
Câu 91. Đơn giản biểu thức P sin4 sin2 cos2
A. P sin B. P sin C. P cos D. P cos
Câu 92. Đơn giản biểu thức
2
2 sin
sin P
A. P tan2 B. P tan2
C. P tan2 D. P tan2
Câu 93. Đơn giản biểu thức cos2
1 cos sin
P
A. 2cos2
sin
P B. 22
sin
P C.
1 cos
P D P Câu 94. Đơn giản biểu thức
2
2
1 sin cos cos . cos
P
(20)A. P tan2 B. P C. P cos2 D. P cot2 Câu 95. Đơn giản biểu thức
2 cos 1. sin cos
x P
x x
A P cosx sin x B P cosx sin x
C P cos 2x sin x D P cos 2x sin x
Câu 96. Đơn giản biểu thức
2
sin cos
cot sin cos P
A P tan2 B. sin3
cos
P C. P 2cot2 D. 22
cos
P
Câu 97. Đơn giản biểu thức
2
sin tan 1.
cos P
A. P B P tan C 12
cos
P D 12
sin
P
Câu 98. Đơn giản biểu thức
2 cos
tan sin
sin P
A. P B P cos C P tan D P sin
Câu 99. Đơn giản biểu thức
2
2
cot cos sin cos cot cot
x x x x
P
x x
A P B P C
2
P D
2 P
Câu 100. Hệ thức sau sai?
A.
2
2
2
sin 1 cos
1 tan cot
2 sin cos B.
2
2 2
1 sin cos tan tan
4 sin cos tan
x x x x
x x x
C. sin tan sin cot
tan
x x
x x x
D. tan cos
1 sin cos
x x
x x
(21)BÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I – CÔNG THỨC CỘNG
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
tan tan
tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
2 2
2 sin 2 sin cos
cos cos sin cos 1 sin tan
tan
1 tan
a a a
a a a a a
a a
a
III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH 1 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos cos
2
sin sin cos cos
2
sin cos sin sin
2
a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos cos cos
2
cos cos sin sin
2
u v u v
u v
u v u v
u v
sin sin sin cos
2
sin sin cos sin
2
u v u v
u v
u v u v
u v
(22)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Rút gọn biểu thức M cos 154 o sin 15 o
A. M B.
2
M C.
4
M D. M
Câu 2. Tính giá trị biểu thức M cos 154 sin 154 cos 152 sin 15
A. M B.
2
M C.
4
M D. M
Câu 3. Tính giá trị biểu thức M cos 156 o sin 15 o
A. M B.
2
M C.
4
M D. 15
32
M
Câu 4. Giá trị biểu thức cos cos sin sin
30 30
A
2 B
3
2 C
3
4 D
1
Câu 5. Giá trị biểu thức
5
sin cos sin cos
18 9 18
cos cos sin sin
4 12 12
P
A 1 B 1
2 C
2
2 D
3 Câu 6. Giá trị biểu thức
0 0
0
tan 225 cot 81 cot 69 cot 261 tan 201 A.
3 B.
1 .
3 C. D.
Câu 7. Giá trị biểu thức sin sin5 sin7 sin11
24 24 24 24
M
A 1
2 B
1.
4 C
1.
8 D
1. 16
Câu 8. Giá trị biểu thức sin cos cos cos cos
48 48 24 12
A
A
32 B
3
8 C
3
16 D
3 32
Câu 9. Tính giá trị biểu thức M cos10 cos20 cos 40 cos80 0 0
A. cos100
16
M B. 1cos100
2
M
C 1cos100
M D. 1cos100
8
M
(23)Câu 10. Tính giá trị biểu thức cos2 cos4 cos6
7 7
M
A M B
2
M C. M D. M
Vấn đề TÍNH ĐÚNG SAI Câu 11. Công thức sau sai?
A cos a b sin sina b cos cos a b B cos a b sin sina b cos cos a b C. sin a b sin cosa b cos sin a b D sin a b sin cosa b cos sin a b Câu 12. Khẳng định sau đúng?
A. sin 2018a 2018 sin cos a a B. sin 2018a 2018 sin 1009 cos 1009 a a
C. sin 2018a sin cos a a D. sin 2018a sin 1009 cos 1009 a a Câu 13. Khẳng định sai khẳng định sau?
A. cos6a cos 32 a sin a B. cos6a 2sin a C. cos6a 6sin 2a D. cos6a 2cos 32 a Câu 14. Khẳng định sai khẳng định sau?
A. sin2 cos
x
x B. cos2 cos
2 x x
C. sin sin cos
2
x x
x D. cos3x cos3x sin 3x
Câu 15. Khẳng định khẳng định sau?
A sin cos sin
a a a B sin cos sin
4
a a a
C sin cos sin
a a a D sin cos sin
4
a a a
Câu 16. Có đẳng thức đồng thức? 1) cos sin sin
4
x x x 2) cos sin cos
4
x x x
3) cos sin sin
4
x x x 4) cos sin sin
4
x x x
A 1. B. C. D.
Câu 17. Công thức sau đúng?
A cos3a 3cosa 4cos 3a B cos3a 4cos3a 3cos a C cos3a 3cos3a 4cos a D cos3a 4cosa 3cos 3a Câu 18. Công thức sau đúng?
A sin3a 3sina sin 3a B sin3a 4sin3a 3sin a C sin3a 3sin3a sin a D sin3a 4sina 3sin 3a Câu 19. Nếu cos a b khẳng định sau đúng?
(24)C sin a 2b cos a D sin a 2b cos b
Câu 20. Nếu sin a b khẳng định sau đúng?
A cos a 2b sin a B cos a 2b sin b C cos a 2b cos a D cos a 2b cos b
Vấn đề VẬN DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 21. Rút gọn M sin x y cosy cos x y sin y
A M cos x B M sin x C M sin cos x y D M cos cos x y
Câu 22. Rút gọn M cos a b cos a b sin a b sin a b
A. M 2cos 2a B. M 2sin 2a
C M cos a D. M sin a
Câu 23. Rút gọn M cos a b cos a b sin a b sin a b
A. M 2sin 2b B. M 2sin 2b
C. M cos b D. M sin b
Câu 24. Giá trị sau x thỏa mãn sin sin 3x x cos cos3x x?
A 18 B 30 C 36 D 45
Câu 25. Đẳng thức sau đúng:
A cot cot sin
sin sin b a
a b
a b B
2
cos cos
a a
C sin 1sin
a b a b D tan sin
cos cos a b a b
a b
Câu 26. Chọn công thức công thức sau:
A sin sin cos cos
2
a b a b a b
B sin sin sin cos
2
a b a b
a b
C tan 2 tan
1 tan
a a
a
D cos2a sin2a cos 2a
Câu 27. Rút gọn cos cos
4
M x x
A M sin x B M nsi x C M cos x D M 2co sx
Câu 28. Tam giác ABC có cos
A cos 13
B Khi cosC
A 56
65 B
56
65 C
16
65 D
33 65
(25)Câu 29. Cho A B C, , ba góc nhọn thỏa mãn tan 1,tan 1,tan
2
A B C Tổng A B C
bằng
A
6 B 5 C 4 D 3
Câu 30. Cho A B C, , góc tam giác ABC Khi P sinA sinB sinC tương đương với:
A. cos cos cos
2 2
A B C
P B. sin sin sin
2 2
A B C
P
C. cos cos cos
2 2
A B C
P D. cos cos cos
2 2
A B C
P
Câu 31. Cho A B C, , góc tam giác ABC Khi P sin 2A sin 2B sin 2C tương đương với:
A. P cos cos cos A B C B. P sin sin sin A B C
C. P cos cos cos A B C D. P sin sin sin A B C
Câu 32. Cho A B C, , góc tam giác ABC (khơng phải tam giác vng) Khi
tan tan tan
P A B C tương đương với :
A. tan tan tan
2 2
A B C
P B tan tan tan
2 2
A B C
P
C. P tan tan tan A B C D. P tan tan tan A B C
Câu 33. Cho A B C, , góc tam giác ABC Khi tan tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
P tương đương với:
A. P B P
C
2 tan tan tan
2 2
A B C
P D. Đáp án khác
Câu 34. Trong ABC, sin 2cos sin
B
A
C ABC tam giác có tính chất sau đây?
A Cân taïi B B Cân taïi A C. Cân C D Vng B
Câu 35. Trong ABC,
2 tan sin tan sin
A A
C C ABC tam giác gì?
A Tam giác vng B Tam giác cân
C Tam giác D Tam giác vuông cân
Vấn đề TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 36. Cho góc thỏa mãn
2
4 sin
5 Tính P sin
A 24
25
P B 24
25
P C 12
25
P D 12
25
P
(26)Câu 37. Cho góc thỏa mãn
2
2 sin
3 Tính
1 sin cos
sin cos
P
A
3
P B
P C
2
P D
3
P
Câu 38. Biết sin
5
3
2 Tính P sin
A
5
P B
5
P C 3
10
P D 3
10
P
Câu 39. Cho góc thỏa mãn sin
5 Tính P sin sin
A 11
100
P B 11
100
P C
25
P D 10 11 P
Câu 40. Cho góc thỏa mãn sin
5 Tính P cos
A 527
625
P B 527
625
P C 524
625
P D 524
625
P
Câu 41. Cho góc thỏa mãn sin
3
4 Tính P sin cos
A
5
P B
5
P C
3
P D
3
P
Câu 42. Cho góc thỏa mãn sin 2 Tính
4
sin cos
P
A P B 17
81
P C
9
P D
7
P
Câu 43. Cho góc thỏa mãn cos 13
3
2
2 Tính P tan
A 120
119
P B 119
120
P C 120
119
P D 119
120
P
Câu 44. Cho góc thỏa mãn cos 2 Tính
2
1 3sin cos
P
A P 12 B 21
2
P C P D P 21
Câu 45. Cho góc thỏa mãn cos
4
3 2
2 Tính P cos
A 21
8
P B 21
8
P C 3
8
P D 3
8
P
Câu 46. Cho góc thỏa mãn cos
3
2 Tính P tan
(27)A
7
P B
7
P C P D P Câu 47. Cho góc thỏa mãn cos2
5 Tính P cos
A
10
P B
10
P C
5
P D
5
P
Câu 48. Cho góc thỏa mãn cos
3
2 Tính
3 sin cos
2
P
A 39
50
P B 49
50
P C 49
50
P D 39
50
P
Câu 49. Cho góc thỏa mãn cot
2 Tính P tan
A
2
P B
2
P C P D P
Câu 50. Cho góc thỏa mãn cot 15 Tính P sin
A 11
113
P B 13
113
P C 15
113
P D 17
113
P
Câu 51. Cho góc thỏa mãn cot
2 Tính P tan2 cot2 A P 19 B P 19 C P 19 D P 19 Câu 52. Cho góc thỏa mãn tan
3
3 ;2
2 Tính P sin2 cos2
A P B P C
5
P D
5
P
Câu 53. Cho góc thỏa mãn tan Tính sin
cos
P
A 10
9
P B
10
P C 10
9
P D
10
P
Câu 54. Cho góc thỏa mãn tan cot sin
5 Tính P sin
A
25
P B
25
P C
25
P D
25
P
Câu 55. Cho góc thỏa mãn
2 sin cos Tính P sin
A 24
25
P B
5
P C 24
25
P D
5
P
Câu 56. Biết sin 5; cos 3; ;
13 2
a b a b Hãy tính sin a b
(28)A. 56
65 B
63
65 C.
33
65 D.
Câu 57. Nếu biết sin , cos
13 giá trị biểu
thức cos
A. 16
65 B.
16
65 C.
18
65 D.
18 65
Câu 58. Cho hai góc nhọn a;b biết cos 1; cos
3
a b Tính giá trị biểu thức
cos cos
P a b a b
A 113
144 B
115.
144 C
117.
144 D
119. 144 Câu 59. Nếu a b, hai góc nhọn sin 1; sin
3
a b cos a b có giá trị
A.
18 B.
7
18 C.
7
18 D.
7 18
Câu 60. Cho ,
2 thỏa mãn tan
1 7, tan
3
4 Góc có giá trị A
3 B C 6 D 2
Câu 61. Cho x y, góc nhọn dương thỏa mãn cot 3, cot
4
x y Tổng x y
A
4 B
3
4 C 3 D
Câu 62. Nếu , , ba góc nhọn thỏa mãn tan sin cos
A.
4 B. C. D.
3 .
Câu 63. Biết tan 900
2
a a tan 900 1800
3
b b biểu thức
cos 2a b có giá trị
A. 10
10 B.
10
10 C.
5
5 D.
5
Câu 64. Nếu sin cos 1350 1800
5
a a a giá trị biểu thức tan 2a
A. 20
7 B.
20
7 C.
24
7 D.
24
Câu 65. Nếu tan a b 7, tan a b giá trị tan 2a
(29)A. 11
27 B.
11
27 C.
13
27 D.
13 27
Câu 66. Nếu sin cos sin với , , ,
2 k l k l
A. tan cot B. tan cot
C. tan tan D. tan tan
Câu 67. Nếu
2 cot cot cot cot cot
A. B. C. D
Câu 68. Nếu tan tan hai nghiệm phương trình x2 px q q
tan
A.
1 p
q B.
p
q C.
2
p
q D.
2
p q
Câu 69. Nếu tan ; tan hai nghiệm phương trình x2 px q p q Và cot ; cot hai nghiệm phương trình x2 rx s tích P rs
A. pq B. p2
q C.
1 .
pq D.
q p
Câu 70. Nếu tan tan hai nghiệm phương trình x2 px q q giá trị biểu thức P cos2 psin .cos qsin2 bằng:
A. p B. q C. D. p
q
Vấn đề RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 71. Rút gọn biểu thức M tanx tany
A. M tan x y B. sin
cos cos
x y M
x y
C. sin
cos cos
x y M
x y D.
tan tan . tan tan
x y
M
x y
Câu 72. Rút gọn biểu thức cos2 cos2
4
M
A M sin B M cos C M cos D M sin
Câu 73. Chọn đẳng thức
A. cos2 sin
4 2
a a
B. cos2 sin
4 2
a a
C.cos2 cos
4 2
a a
D. cos2 cos
4 2
a a
(30)Câu 74. Gọi sin sin sin
y x M
x y
A. M tanx tan y B. M cotx coty
C. M coty cot x D. 1
sin sin M
x y
Câu 75. Gọi M cosx cos 2x cos3x
A. M cos cosx x B. cos cos
M x x
C. M cos 2 cosx x D. M cos 2 cosx x Câu 76. Rút gọn biểu thức sin 2 sin
2cos
x x M
x
A tan 2x B sin x C 2 tan x D 2 sin x
Câu 77. Rút gọn biểu thức
2
1 cos cos cos
2 cos cos
x x x
A
x x
A. cos x B. 2cosx C. 2cos x D. cosx
Câu 78. Rút gọn biểu thức tan cot cos
tan cot
A
A 0. B 2cos2x. C
2. D cos x
Câu 79. Rút gọn biểu thức sin cos
1 sin cos
A
A. sin B. cos C. tan D. cot
Câu 80. Biểu thức cos cos
3 cos cos
A có kết rút gọn bằng:
A. tan4 B. tan4 C. cot4 D. cot4
Câu 81. Khi
6 biểu thức
2 2
2
sin sin sin cos sin sin
A có giá trị bằng:
A.
3 B.
1
6 C.
1
9 D.
1 12
Câu 82. Rút gọn biểu thức
1
sin sin
cos cos
A
A tan B 2 tan C tan tan D tan
Câu 83. Rút gọn biểu thức sin cos2
sin cos
a a A
a a
A 1. B tan C 5
2 D 2 tan
(31)Câu 84. Rút gọn biểu thức
sin sin cos cos
2 x x A
x x
được:
A. tan x
B. cot x C. tan2
4 x D sin x
Câu 85. Rút gọn biểu thức A sin cos5 sin5 cos
A. 1sin
2 B.
1sin
2 C.
3sin
4 D.
1sin
4
Vấn đề TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 86. Tìm giá trị lớn M nhỏ m biểu thức P 3sinx
A M 1, m 5. B M 3, m
C M 2, m D M 0, m
Câu 87. Cho biểu thức sin
3
P x Mệnh đề sau đúng?
A P 4, x B P 4, x
C P 0, x D P 2, x
Câu 88. Biểu thức sin sin
3
P x x có tất giá trị nguyên?
A 1. B 2. C 3. D 4
Câu 89. Tìm giá trị lớn M nhỏ m biểu thức P sin2x 2cos 2x
A M 3, m 0. B M 2, m C M 2, m D M 3, m
Câu 90. Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
8sin 3cos2
P x x Tính T 2M m2
A T 1. B T 2. C T 112. D T 130
Câu 91. Cho biểu thức P cos4x sin4x Mệnh đề sau đúng?
A P 2, x B P 1, x C P 2, x D 2,
2
P x
Câu 92. Tìm giá trị lớn M nhỏ m biểu thức P sin4x cos 4x
A M 2, m 2. B M 2, m
C M 1, m D 1,
2
M m
Câu 93. Tìm giá trị lớn M nhỏ m biểu thức P sin6x cos 6x
A M 2, m 0. B 1,
2
M m C 1,
4
M m D 1,
4
M m
Câu 94. Tìm giá trị lớn M nhỏ m biểu thức P cos x
A M 3, m 1. B M 1, m C M 2, m D M 0, m
(32)Câu 95. Tìm giá trị lớn M biểu thức sin2 sin
4
P x x
A M 2. B M 1. C M 1. D M 2
(33)CHỦ ĐỀ CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 1. Theo SGK trang 134 dòng 2, ta chọn D
Câu 2. Theo SGK trang 134 dòng 6, ta chọn B Câu 3. Theo SGK trang 134 dòng cuối, ta chọn D Câu 4. Theo SGK trang 135, mục 2, ta chọn D Câu 5. Theo SGK trang 135, mục 3, ta chọn D
Câu 6. Cung có độ dài bán kính (nửa đường kính) có số rad Chọn D.
Câu 7. rad tướng ứng với 1800 Chọn C.
Câu 8. Ta có rad tướng ứng với 1800
Suy rad tương ứng với x0 Vậy x 180.1 Chọn D.
Câu 9. Áp dụng công thức
180 a
với tính radian, a tính độ Chọn C.
Câu 10. Áp dụng công thức
180 a
với tính radian, a tính độ Trong trường hợp 3
180 60
a a
a Chọn A.
Câu 11.Cách 1. Áp dụng công thức 180
a
với tính radian, a tính độ
Ta có 70
180 180 18
a
Chọn C.
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm q w để chuyển chế độ radian
Bước Bấm 70 x = q B = Màn hình kết bất ngờ
Câu 12. Tương tự câu Chọn A
Câu 13. Áp dụng cơng thức 180
a
với tính radian, a tính độ Trước tiên ta đổi
0
0 32
45 32' 45
60
Áp dụng công thức, ta
32
45
60 0,7947065861.
180 Chọn C.
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm q w để chuyển chế độ radian
(34)Bước Bấm 45 x 32 x = q B = Màn hình kết bất ngờ
Câu 14.Cách 1. Áp dụng công thức 180
a
với tính radian, a tính độ Trước tiên ta đổi
0
0 25
40 25' 40
60
Áp dụng công thức, ta
25
40
97
60 0,705403906.
180 432 Chọn D
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm q w để chuyển chế độ radian
Bước Bấm 40 x 25 x = q B = n Màn hình kết bất ngờ
Câu 15. Tương tự câu Chọn A
Câu 16.Cách 1. Từ công thức
0
.180
180
a a
với tính radian, a tính độ
Ta có
0
0 180
.180 12 15
a Chọn A.
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm qw3 để chuyển chế độ độ, phút, giây Bước Bấm (qLP12)qB2=
Màn hình kết bất ngờ
Câu 17. Ta có
0
0
0
3 .180
.180 16 135
33 45'
a Chọn C.
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm qw3 để chuyển chế độ độ, phút, giây Bước Bấm (z3qLP16)qB2=nx
Câu 18. Ta có
0
0 180 5.180 286 28' 44 ''.
a Chọn B.
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước Bấm qw3 để chuyển chế độ độ, phút, giây Bước Bấm z qB2=x
Câu 19. Tương tự câu Chọn D.
Câu 20. Tương tự câu Chọn C.
Câu 21. Từ công thức R tỷ lệ Chọn A.
Câu 22. Áp dụng công thức 20
16 3,93cm
R Chọn A.
Câu 23. Ta có R 1,5.20 30cm Chọn A
(35)Câu 24. Cung có số đo 350 có số radian 35
180 180 36
a
Bán kính đường trịn 20 10
2
R cm
Suy 10 6,11
36
R cm Chọn B.
Câu 25. Ta có
40
3 0,67
20
R
R rad Chọn B.
Câu 26. R 2R
R R rad Chọn B
Câu 27. Ta có
1
6
R R
R R Chọn D
Câu 28. Ta có 10
2,5 l
l R R Chọn C.
Câu 29. Trong giây bánh xe đạp quay 2.2
5 vịng tức quay cung có độ dài
5
8
2 R
l R
Ta có
8
5 .
5
l l
R R
R R Chọn A.
Câu 30. 72răng có chiều dài R nên 10răng có chiều dài 10.2
72 18
R
l R
Theo công thức
5
5 18
18
R l
l R
R R mà
0
180
180 18 50
a
Chọn C
Cách khác: 72 tương ứng với 3600 nên 10 tương ứng với 10.360 500
72
Câu 31. Theo đề Ox Oy, 1822 30 '0 22 30 '0 k.3600 1822 30 '0 k
Chọn D
Câu 32. Ta có 19 21
2
10 11 k k Chọn B.
Câu 33. Góc lượng giác OG OP, chiếm
4 đường tròn Số đo
1.2 2
4 k , k
Chọn A
Câu 34. Vì số đo cung AM 450 nên AOM 450, N điểm đối xứng với M qua trục
(36)Ox nên AON 450 Do số đo cung AN 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo 45o k360 ,o k
ChọnD
Câu 35. Ta có AOM 600, MON 600 Nên AON 1200
Khi số đo cung AN 1200
Chọn A
Câu 36. Ta có AOM 750, MON 1800 Nên cung lượng giác AN có số đo
0
105 k360 , k
Chọn D
Câu 37.Cách Ta có hai cung có điểm cuối trùng Và hai cung có điểm cuối trùng
Cách Gọi A B C D, , , điểm cuối cung , , ,
Biểu diễn cung đường tròn lượng giác ta có B C A, D Chọn B
Câu 38. Cặp góc lượng giác a b đường tròn đơn vị, tia đầu tia cuối Khi a b k2 , k hay
2 a b
k
Dễ thấy, đáp án B
152
303
10
2 20
k Chọn B
Câu 39. Tam giác có góc đỉnh 60o nên góc tâm 120o tương ứng
k
Chọn A
Câu 40. Hình vẽ tham khảo (hình vẽ bên) Hình vng CDEF có góc DCE 45o nên góc tâm 90o tương ứng
2 k
Chọn A
(37)BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Câu 1. thuộc góc phần tư thứ
sin cos tan cot
Chọn A
Câu 2. thuộc góc phần tư thứ hai sin
cos Chọn C.
Câu 3. thuộc góc phần tư thứ hai
sin cos tan cot
Chọn A.
Câu 4. thuộc góc phần tư thứ hai
sin cos tan cot
Chọn B.
Câu 5.Chọn D. Câu 6.Chọn C.
Câu 7. Ta có cos sin2 cos cos2 cos cos cos
Đẳng thức cos cos cos điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ I IV Chọn D.
Câu 8. Ta có sin2 sin sin sin
Đẳng thức sin sin sin điểm cuối góc lượng giác góc phần tư thứ I II Chọn C.
Câu 9. Ta có
2 điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ I tan
cot Chọn A.
Câu 10. Ta có
2 điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ
III sin Chọn D.
Câu 11. Ta có
0 cot
2 2 .
3
0 tan
2
Chọn D
Câu 12. Ta có
(38)sin sin ; cot sin ;
2 cos cos ; tan tan
Do
sin
cos
2
tan
Chọn B.
Câu 13. Ta có
3
sin
2
3 3
0 tan
2 2 cos 0
2 Chọn B
Câu 14. Ta có
0 cos
2 2
0 tan
2
0
M Chọn B.
Câu 15. Ta có
3
sin
2 2 2
3
2 cot
2
0
M Chọn D.
Câu 16. Ta có sin47 sin sin sin
6 6 Chọn D
Câu 17.Cách 1. Ta có cot89 cot 14 cot5
6 6
Cách 2. Hướng dẫn bấm máy tính Bấm lên hình
89 tan
6
bấm dấu = Màn hình kết
Câu 18. Ta có cos cos cos5
4 k k
cos cos
4 Chọn B
Câu 19. Ta có cos cos cos cos
3 k k 3
Chọn C
Câu 20. Sử dụng mối quan hệ cung có liên quan đặc biệt, ta có
(39)0 0 0 0
0
cot 44 tan 46 cos 46 2 tan 46 cos 46
1 1
cos 44 sin 46
P Chọn B
Câu 21. Ta có
2
2
sin tan
3 sin 6
4
P
2
2
2 3
sin tan 1
3 sin 2
4 2
Chọn B
Câu 22. Ta có
2
2
7 7
cos cos cos cos
8 8 8
3 5
cos cos cos cos
8 8 8
2
2 cos cos
8
P
Vì cos sin3 cos2 sin23
8 8 8
Do 2 sin23 cos23 2.1 2.
8
P Chọn D
Câu 23. Do 10O 80O 20O 70O 30O 60O 40O 50O 90O nên cung lượng giác tương ứng đôi phụ Áp dụng công thức sin 90O x cosx, ta
2 2
2 2
sin 10 cos 10 sin 20 cos 20
sin 30 cos 30 sin 40 cos 40
O O O O
O O O O
P
1 1 Chọn C.
Câu 24. Áp dụng công thức tan tan 90x x tan cotx x Do P Chọn B
Câu 25. Áp dụng công thức tan tan 90x x tan cotx x Do P Chọn B
Câu 26.Chọn B
Câu 27.Ta có cos 180 cos cos 1802 cos2
Do sin2 cos 1802 sin2 cos2 1. Chọn C.
Câu 28.Chọn D Vì sin 20182 cos 20182
Câu 29.Chọn C Câu 30.Chọn C Câu 31.cot
2018
x có nghĩa
2018 2018
x k x k Chọn D.
(40)Câu 32. Ta có tan cot sin cos
cos sin
Đẳng thức xác định cos ,
sin
k
k k k
Chọn A
Câu 33. Biểu thức xác định
6
k
k k
k
Chọn C
Câu 34. Dùng MTCT kiểm tra đáp án. Chọn C.
Câu 35.Chọn B Trong khoảng giá trị từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng giá trị cos góc tương ứng giảm
Câu 36.Chọn A.
Câu 37. Ta có sin sin sin cos
2 2 Chọn B
Câu 38. Ta có sin sin sin cos
2 2 Chọn C
Câu 39. Ta có tan 2017 tan Chọn C
Câu 40. Ta có cos sin cos sin sin sin
2
A
Chọn D
Câu 41. Ta có cos sin sin cos
2
S x x x x
sin sinx x cos x cosx sin2x cos2x Chọn D
Câu 42. Ta có P sin cos sin cos sin cos
Và sin cos cos sin sin cos
2
Q
Khi P Q sin cos sin cos Chọn A
Câu 43. Ta có sin cos ;
2 x x sin 10 x sin x
Và cos cos cos sin ;
2 x x x x cos x cos x
Khi
2
3
sin sin 10 cos cos
2 x x x x
2
cosx sinx cosx sinx
2 2
cos x 2.sin cosx x sin x cos x 2.sin cosx x sin x Chọn B
Câu 44. Ta có tan17 tan tan
4 4
7
tan cot
2 x x
(41)Và cot13 cot cot 1; cot cot
4 4 x x
Suy cot cot 2 2cot2 22 sin
P x x x
x Chọn C
Câu 45. Ta có sin sin cos
2
x x x sin cos
2
x x
Kết hợp với giá trị sin13 sin sin
2 2
Suy sin sin13 sin cos cos cos
2 2
x x x x x Chọn C
Câu 46. Ta có tan 1,25 tan1,25 suy cot1,25.tan1,25
Và sin cos ; cos cos cos
2
x x x x x
Khi cot1,25.tan 4 1,25 sin .cos 6 1 cos2 0 sin 0.
x x x x
Mặt khác tan sin tan cos
x
x x
x Chọn C
Câu 47. Vì A B C, , ba góc tam giác suy A C B
Khi sin A C sin B sin ; cosB A C cos B cos B tan A C tan B tan ; cotB A C cot B cot B Chọn B Câu 48. Vì A B C, , góc tam giác ABC nên C 180o A B
Do C A B góc bù sinC sin A B ; cosC cos A B Và tanC tan A B ; cotC cot A B
Câu 49. Ta có A B C A B C
Do cos A B cos C cos C Chọn D
Câu 50. A B C, , ba góc tam giác A B C 1800 A B 1800 C
Ta có sin A B 2C sin 1800 C 2C sin 1800 C sin C Chọn D
Câu 51. Ta có
2
cos sin
5
13 cos .
13
Chọn D.
Câu 52. Ta có
2
sin cos
2 sin
3 sin tan .
3 cos
2 Chọn B.
(42)Câu 53. Ta có
2
2
1
1 tan
cos cos
2017 2019 3
504.2 504.2
2 2 2
3 cos
5 Mà
sin sin
tan sin
3
cos
5
Chọn D.
Câu 54. Ta có
2
sin cos
5 sin
13 sin tan .
13 cos 12
Chọn C. Câu 55. Ta có
2
2
o o
1 1
cos cos 1
5
1 tan cos
5
180 270
2 sin tan cos
5 Do đó,
3
sin cos
5
5 Chọn A.
Câu 56. Ta có
2
cos sin cos 4.
5
5
90 180
Chọn D.
Câu 57. Ta có
2
2
1 1 cot 1 25 4
sin
4 16
sin
5
0 90
Chọn C.
Câu 58. Ta có
2
cos sin
4
5 cos tan
5
2
Thay tan
4 vào P , ta
12 25
P Chọn D.
Câu 59. Ta có
2
0
2
2 tan
cos sin 2
cos
3
3
90 180 cot 2
Thay
2 tan
4
cot 2
vào P, ta 26 2
P Chọn C.
Câu 60. Ta có tan tan tan cot cos
2 2 sin
P
(43)Theo giả thiết: sin sin sin
3 3
Ta có
2 2
cos sin 2 2
3 cos 2 2.
3
P Chọn B
Câu 61. Ta có
2 4
sin cos tan
4
5 sin
3
0 cot
2
Thay
4 tan
3 cot
4
vào P, ta P Chọn A.
Câu 62. Ta có P tan 12 tan
Vì tan tan
4 P
Theo giả thiết:
2
sin cos 4 4 1
5 sin tan .
5 3
4
P
Chọn B Câu 63. Ta có
3
2
5
2 4
4
tan
4
Thay vào P, ta
2
P Chọn C
Câu 64. Ta có
5
2
2 3 11
3
cot
3
Thay
2 vào P , ta
3
P Chọn D
Câu 65. Ta có
2
1
cos cos
3
25
1 tan cos
5
(44)4
sin tan cos
5 Thay sin
5
3 cos
5 vào P , ta
31 11
P Chọn B.
Câu 66. Chia tử mẫu P cho cos ta 3tan 3.2
5 tan 7.2 19
P
Chọn D
Câu 67. Chia tử mẫu P cho sin ta
1
3 cot 3 13
1 5cot 2 5.
3
P
Chọn D
Câu 68. Chia tử mẫu P cho cos2 ta
2
2
2 tan 3tan 2.2 3.2 13
5tan 5.2
P Chọn A.
Câu 69. Chia tử mẫu P cho cos2 ta
2
2
1
2
2 tan 3tan 2
19
5 tan 1
5
P Chọn D
Câu 70. Ta có P sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 * Chia hai vế * cho cos2 ta
2
2
sin
cos cos
P
2
2
2
2
tan 12
1 tan tan
13
1 tan
P P Chọn D.
Câu 71. Từ giả thiết, ta có sin cos 25 2sin cos 25
16 16
9
sin cos
32
P Chọn B.
Câu 72. Áp dụng a3 b3 a b 3ab a b , ta có
P sin3 cos3 sin cos 3sin cos sin cos
Ta có sin cos sin2 2sin cos cos2 24 49
25 25
Vì sin cos nên ta chọn sin cos
Thay
7 sin cos
5 12 sin cos
25
vào P, ta
3
7 3.12 7. 91.
5 25 125
P Chọn A.
(45)Câu 73. Ta có sin cos sin cos 2 sin2 cos2 Suy sin cos 2 sin cos 2
4
Do
4 suy sin cos nên sin cos Vậy
3
P Chọn D.
Câu 74. Ta có sin cos sin cos 2 sin2 cos2
Suy sin cos 2 sin cos 2 m2
sin cos
P m Chọn D.
Câu 75. Ta có P tan2 cot2 tan cot 2 tan cot 22 2.1
Chọn B.
Câu 76. Ta có P tan3 cot3 tan cot 3tan cot tan cot
53 3.5 110 Chọn B.
Câu 77. Ta có cos cos cos
2
sin sin sin
4
Khi sin22 cos22 sin42 cos24
cos sin sin cos
P
2
2
2 2
2
2
sin cos sin cos sin cos
14
sin cos sin s
2
co Chọn B.
Câu 78. Ta có
1
tan cot tan
tan
2
tan tan tan
2
Do
2 suy tan nên
1
tan cot
2 tan
Thay tan
2
2 cot
1 vào P, ta
1
5
2
P
Chọn C
Câu 79. Ta có 3cos 2sin 3cos 2sin
2 2
9 cos 12 cos sin sin 5cos 12 cos sin
cos
cos 5cos 12 sin
5cos 12 sin
cos sin 1: loại (vì sin 0)
5cos 12 sin 0, ta có hệ phương trình
5 sin
5cos 12 sin 13.
3cos sin 12
cos 13 Chọn A.
(46)Câu 80. Với
2 suy
sin cos
Ta có sin2 cos2 1 cos cos2
sin cos
2
cos
5cos cos 4
cos
5
loại
Từ hệ thức sin2 cos2 1
, suy sin
5 (do sin 0)
sin
tan
cos
cos
cot
sin
Thay tan
4
4 cot
3 vào P , ta
P Chọn C.
Câu 81. Ta có
2 2 2
2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x
Suy M Chọn B.
Câu 82. Ta có sin4x cos4x sin2x 2.sin cos2x 2x cos2x 2.sin cos2x 2x
2
2 1 1 cos
sin cos 2.sin cos sin cos
2 2 4
x
x x x x x x
Chọn C
Câu 83. Ta có sin4x cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x
2 2 2
sin x cos x cos x cos x 2cos x Chọn A
Câu 84. Ta có M sin6x cos6x sin2x cos2x 3
2 2 2 2
sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos sin
4
x x x x x x x x x
Chọn D Câu 85. Ta có
2
4 2 2 2 2
sin x cos x cos sinx x sin x cos x cos sinx x cos sin x x Suy M sin2xcos2x sin8x cos8x
2 4 8
2 4 8
2
2 4 2 2
2 4
2 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos
2 sin cos sin cos sin cos sin cos 2 sin cos sin cos
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
(47)sin2x cos2x 2 1.Chọn A.
Câu 86. Ta có
2
2 2 2
2
sin
tan sin sin sin sin tan
cos cos
x
M x x x x x x
x x
Chọn C Câu 87. Ta có
2
2 2 2
2
cos
cot cos cos cos cos cot
sin sin
x
M x x x x x x
x x
Chọn D
Câu 88. Ta biến đổi: M cot2x cos2x cot2x cos2x sin 2x Chọn A
Câu 89. Ta có M tan2 sin2 4sin2 3cos2 tan2 cos2 sin2 3cos2
sin2 sin2 3cos2 sin2 cos2 3.Chọn D.
Câu 90. Ta có
2
2
2
sin cos
1 sin cos
cos sin
x x
M x x
x x
2 2
2
2
4
2
sin cos sin cos
2 sin cos sin cos
sin cos
x x x x
x x x x
x x
Chọn D
Câu 91. Ta có P sin4 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 sin
Chọn A Câu 92. Ta có
2
2
2 2
1 sin sin tan 1 tan .
1 sin cos cos
P Chọn A
Câu 93. Ta có cos2 1 cos2
1 cos cos
sin cos
P
1 cos 1
0
1 cos cos cos cos cos Chọn D
Câu 94. Ta có
2 2
2
2
1 cos sin cos sin cos cos
cos cos
P
2
2
2
1 cos sin tan .
cos cos Chọn A
Câu 95. Ta có
2 2 2 2
2 cos sin cos cos sin
cos sin
sin cos sin cos
x x x x x
P x x
x x x x Chọn B
Câu 96. Ta có
2 2 2
sin cos sin sin cos cos
cot sin cos cos sin
sin
P
(48)
2
2
2
1 sin cos sin cos sin 2 tan .
1 sin cos cos
cos
sin sin
Chọn A
Câu 97. Ta có
1 cos
sin sin
sin tan cos cos sin tan
cos cos cos cos
Suy tan2 12 cos
P Chọn C
Câu 98. Ta có
2
1 cos sin cos
tan sin sin
sin cos sin sin
P
2
2 2 sin cos
1 cos sin cos sin cos 2 cos
cos cos cos cos cos
Chọn B Câu 99. Ta có
2 2
2
2 2
cot cos cos sin
1 cos sin
cot cot cos
x x x x
x x
x x x
Và sin cos sin cos sin sin2
cot cos
x x x
x x x
x x
Suy P sin2x sin2x Chọn A.
Câu 100. Ta có sin tan sin sin cos 1 cos sin cot
tan tan sin
x x x x
x x x x
x x x
Chọn C
(49)BÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 1. Ta có M cos 154 o sin 154 o cos 152 o sin 152 o
cos 152 o sin 152 o cos 152 o sin 152 o
cos 152 o sin 152 o cos 2.15o cos30o
2 Chọn B
Câu 2. Áp dụng công thức nhân đôi cos2a sin2a cos2a Ta có M cos 154 o sin 154 o cos 152 o sin 152 o
cos 152 o sin 152 o cos 152 o sin 152 o cos 152 o sin 152 o
cos 152 o sin 152 o cos 152 o sin 152 o cos30o cos30o Chọn A
Câu 3. Ta có
6 2 2
2
2 2
2
cos sin cos sin cos cos sin sin
cos cos sin cos sin
cos sin
Vậy cos 30 1o 1sin 302 o 3 1 1. 15 3.
4 4 32
M Chọn D
Câu 4. Ta có cos cos sin sin cos cos
30 30 30 Chọn A
Câu 5. Áp dụng công thức sin cos cos sin sin
cos cos sin sin cos
a b a b a b
a b a b a b
Khi sin5 cos sin cos5 sin sin
18 9 18 18
Và cos cos sin sin cos cos
4 12 12 12 Vậy
1 : 2
P Chọn A
Câu 6. Ta có
0 0
0 0
0 0 0
tan 180 45 tan cot 69
tan 225 cot 81 cot 69
cot 261 tan 201 cot 180 81 tan 180 21
0
0 0 0
1 tan tan 21 1 3.
tan tan 21 tan 21 tan 30 Chọn C Câu 7. Ta có sin7 cos5
24 24 11
sin cos
24 24
Do sin sin5 cos5 cos 2.sin cos 2.sin5 cos5
24 24 24 24 24 24 24 24
M
(50)1.sin sin5 1 cos6 cos 1
4 12 12 12 16 Chọn D
Câu 8. Áp dụng công thức sin 2a 2.sin cos ,a a ta có
sin cos cos cos cos sin cos cos cos
48 48 24 12 24 24 12
A
1.sin cos cos 1.sin cos 1.sin
4 12 12 6 16 32 Chọn D
Câu 9. Vì sin100 nên suy M
0 0 0
0
16 sin10 cos10 cos 20 cos 40 cos80 16 sin10
0 0
0
8sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 16 sin10
M
0 0
0 sin 40 cos 40 cos 80
16 sin10
0
0 sin 80 cos 80
16 sin10
0 sin160 16 sin10 M sin 2000
16 sin10
0
0 sin10 cos10
16 sin10
0
cos10
8 Chọn D
Câu 10. Áp dụng công thức sin sin 2.cos sin
2
a b a b
a b
Ta có 2sin 2.cos2 sin 2.cos4 sin 2.cos6 sin
7 M 7 7 7
3
sin sin sin sin sin sin
7 7 7 sin7 sin sin
Vậy giá trị biểu thức
2
M Chọn B
Câu 11.Chọn B Ta có cos a b cos cosa b sin sina b
Câu 12. Áp dụng công thức sin 2 sin cos ta sin 2018a sin 1009 cos 1009a a Chọn D.
Câu 13. Áp dụng công thức cos2 cos2 sin2 2cos2 1 2sin2 , ta
2 2
cos6a cos 3a sin 3a 2cos 3a 1 2sin 3a Chọn C.
Câu 14.Chọn D Ta có cos3x 4cos3x 3cosx
Câu 15.Chọn B
Câu 16. Ta có cos sin cos cos sin
4 4
x x x x x
Chọn B
Câu 17.Chọn B Câu 18.Chọn A
Câu 19. Ta có cos
2
a b a b k a b k
sin sin cos cos
2
a b b b k b k b Chọn D.
Câu 20. Ta có sin a b a b k a b k
(51)cos a 2b cos b 2b k cos b k cosb Chọn D
Câu 21. Áp dụng công thức sin a b sin cosa b sin cosb a, ta
sin cos cos sin sin sin
M x y y x y y x y y x Chọn A.
Câu 22. Áp dụng công thức cos cosx y sin sinx y cos x y , ta
2
cos cos sin sin cos cos 2 sin
M a b a b a b a b a b a b a a
Chọn B
Câu 23. Áp dụng công thức cos cosx y sin sinx y cos x y , ta
cos cos sin sin
M a b a b a b a b
cos a b (a b) cos 2b sin 2b Chọn A
Câu 24. Áp dụng công thức cos cosa b sin sina b cos a b , ta sin sin 3x x cos cos3x x cos cos3x x sin sin 3x x
cos5
2 10
x x k x k Chọn A
Câu 25. Xét đáp án:
Đáp án A Ta có cot cot cos cos cos sin sin cos sin
sin sin sin sin sin sin
a b
a b a b a b
a b
a b a b a b
Đáp án B Ta có cos 2 cos2 cos2 1 cos
2
a a a a Chọn B.
Câu 26.Chọn B
Câu 27. Áp dụng công thức cos cos sin sin
2
a b a b
a b , ta
cos cos sin 4 sin 4
4 2
x x x x
M x x
sin sin sin
4
x x Chọn B.
Câu 28. Ta có
4
cos sin
5
5 12
cos sin
13 13
A A
B B
Mà A B C 180 ,
cos cos 180 cos
4 12 16
cos cos sin sin
5 13 13 65
C A B A B
A B A B
Chọn C.
(52)Câu 29. Ta có
1
tan tan 2 5
tan
1
1 tan tan 1 .
2
A B
A B
A B
7
tan tan 9 8
tan
7
1 tan tan 1 .
9
A B C
A B C A B C
A B C Chọn C
Câu 30. Do
sin cos
2 2 2
sin cos
2 2 2
A B C A B C
C A B C A B
Áp dụng, ta
sin sin sin sin cos sin cos
2 2
A B A B C C
P A B C
cos cos cos cos
2 2
C A B A B C
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
C A B A B C A B
Chọn A
Câu 31. Do A B C sin A B sin C
Áp dụng, ta
sin sin sin 2 sin cos sin cos
P A B C A B A B C C
2sin cosC A B 2sin cosC C 2sinC cos A B cosC
4 sin cos cos
2
2
4 sin cos cos
2
A B C A B C
C
A B C B A B C A
C
4 sin cos cos sin sin sin sin sin sin
2
C B A C B A A B C Chọn B.
Câu 32. Ta có tan tan tan tan tan tan sin sin
cos cos cos
A B C
P A B C A B C
A B C
Mà sin sin
cos cos
A B C
A B C
A B C Khi đó, ta
cos cos cos
sin sin cos cos cos
sin sin
cos cos cos cos cos cos cos cos cos
cos cos sin sin cos cos sin sin sin
sin tan
cos cos cos cos cos cos
A B A B
C C C A B
P C C
A B C A B C A B C
A B A B A B A B C
C
A B C A B C A.tan tanB C
Chọn D
(53)Câu 33. Do
2 2
C B A
A B C
tan tan
tan tan 1
2
2 1 tan tan cot2 ta
2 2
2 n
C B
B A
C B
A
A C
tan tan tan tan tan
2 2 2
A C B C B
tan tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
Chọn A
Câu 34. Ta có sin 2cos sin 2sin cos sin sin
sin
B
A B C A C A C A C
Mặt khác A B C B A C sinB sin A C Do đó, ta
sin C A A C Chọn A.
Câu 35. Ta có
2
2
tan sin sin cos sin
sin sin
tan sin cos sin sin
A A A C A
C A
C C A C C
2
2
2
C A C A
C A A C Chọn D
Câu 36. Ta có P sin sin 2 sin 2 sin cos
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy cos 1 sin2 Do
2 nên ta chọn
3 cos
5 Thay sin
5
3 cos
5 vào P, ta
4 24
2
5 25
P Chọn A.
Câu 37. Ta có
2 2 cos sin cos
2 sin cos cos 2 cos
sin cos sin cos
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1
, suy cos sin2 Do
2 nên ta chọn
5
cos
3 P Chọn D.
Câu 38. Ta có sin sin
5
Từ hệ thức sin2 cos2 1
, suy cos sin2
Do
2 nên ta chọn
4 cos
(54)Suy sin 3sin 1cos 3 4 3
6 2 5 10
P Chọn C.
Câu 39. Áp dụng công thức sin sin cos cos
2
a b a b a b , ta
1
sin sin cos cos
6
P
Ta có
2
2
cos 2 sin
5 25
Thay vào P , ta 1 11
2 25 100
P Chọn A
Câu 40. Ta có
2
2
cos 2 sin
5 25
Suy cos 2cos 22 49 527
625 625
P Chọn B
Câu 41. Vì
4 suy
sin
cos nên sin cos
Ta có sin cos sin
5 Suy
3 sin cos
5
Do sin cos nên sin cos
5 Vậy
P Chọn A.
Câu 42. Áp dụng a4 b4 a2 b2 2a b2
Ta có sin4 cos4 sin2 cos2 2sin2 cos2 1sin 22
2
P
Chọn C.
Câu 43. Ta có tan sin 2sin cos2
cos 2cos
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy sin 1 cos2 12 13
Do
2 nên ta chọn
12 sin
13 Thay sin 12
13
5 cos
13 vào P, ta
120 119
P Chọn C.
Câu 44. Ta có 3.1 cos 4.1 cos 3cos 2 cos
2 2
P
Thay cos 2
3 vào P, ta
5 1 1
2
P Chọn D.
(55)Câu 45. Ta có cos cos cos sin sin 1cos 3sin
3 3 2
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1
, suy sin cos2
4
Do
2 nên ta chọn
7 sin
4
Thay sin
4
3 cos
4 vào P, ta
1 3. 3. 21
2 4
P
Chọn B
Câu 46. Ta có tan tan
4 tan
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy sin 1 cos2
Do
2 nên ta chọn
3 sin
5 Suy
sin
tan
cos
Thay tan
4 vào P, ta
1
P Chọn A.
Câu 47. Ta có cos 2 cos sin
4
P
Từ hệ thức sin 22 cos 22 1, suy sin 2 1 cos 22
Do
4 2 nên ta chọn
3 sin
5 Thay sin
5
4 cos2
5 vào P, ta
2 10
P Chọn B.
Câu 48. Ta có sin cos3 sin sin 1sin cos
2 2
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy sin 1 cos2
Do
2 nên ta chọn
3 sin
5 Thay sin
5
4 cos
5 vào P, ta 39
50
P Chọn D.
Câu 49. Ta có
tan tan tan 1
4 tan
4 1 tan tan tan
4
P
(56)Từ giả thiết cot cot 2 cot tan
2 2
Thay tan vào P, ta P Chọn C.
Câu 50. Ta có cot 15 cos 15 cos 15sin
sin
Suy 2 2
2
30 30 30 15
sin 2 sin cos 30 sin
1 cot 15 113
sin P
Chọn C. Câu 51. Ta có
2
sin cos sin cos 2
2 2
tan cot
2 cos sin sin cos sin
2 2
P
Từ hệ thức
2
1
1 cot sin
sin 19
Do sin
2 nên ta chọn
1
sin 19
19 P Chọn A.
Câu 52. Ta có P2 sin Với ;2 ;
2
Khi
2 sin
2
2 cos
2
, suy sin cos
2
P
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy 2
2
1 16
sin cos
25
1 tan
Vì ;2
2 nên ta chọn
4 sin
5 Thay sin
5 vào
P , ta
P Suy
5
P Chọn C.
Câu 53. Ta có sin sin 22
cos 2cos
P
Nhắc lại công thức: Nếu đặt t tan sin 2 2
t t
2 cos
1 t t Do sin 2 tan2
5
1 tan ,
2
1 tan
cos
5
1 tan
Thay sin
3 cos
5 vào P, ta
10
P Chọn C.
(57)Từ hệ thức 2
1
cot 25 cot 24 cot
sin
Vì tan , cot dấu tan cot nên tan 0, cot Do ta chọn cot Suy cos cot sin
5
Thay sin
2 cos
5 vào P, ta .1 6
5 25
P Chọn B.
Câu 55. Với
2 suy
sin cos
Ta có sin2 cos2 1 cos cos2
sin cos
loại
2
cos
5cos cos 4
cos
5
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy sin
5 (do sin 0) Vậy sin 2 sin cos .3 24
5 25
P Chọn C
Câu 56. Ta có
2
2 144
cos sin
13 169
a a mà ; cos 12
2 13
a a
Tương tự, ta có
2
2 16
sin cos
5 25
b b mà 0; sin
2
b b
Khi sin sin cos sin cos 12 33
13 13 65
a b a b b a Chọn C
Câu 57. Ta có sin
13 với suy
25 12
cos
169 13
Tương tự, có cos
5 với suy
9
sin
25
Vậy cos cos cos sin sin 12 16
13 13 65 Chọn B
Câu 58. Ta có P cos a b cos a b cos cosa b sin sina b cos cosa b sin sina b
2 2 2 2 2
cos cosa b sin sina b cos cosa b cos a cos b
1 1 119
9 16 16 144 Chọn D
(58)Câu 59. Vì , 0;
2
a b nên suy
2
2
1 2
cos sin
3
1
cos sin
2
a a
b b
Khi cos cos cos sin sin 2 1
3
a b a b a b
Vậy
2
2
cos 2 cos
6 18
a b a b Chọn D
Câu 60. Ta có
1
tan tan 7 4
tan
1
1 tan tan 1 .
7
suy
4
a b Chọn B
Câu 61. Ta có
3 1. 1
cot cot 4 7
cot
3
cot cot
4
x y x y
x y
Mặt khác ,
x y suy x y Do
4
x y Chọn B
Câu 62. Ta có tan sin cos sin sin cos cos
cos cos sin sin cos
Vậy tổng ba góc
2 (vì , , ba góc nhọn) Chọn C
Câu 63. Ta có
2
2
2
1
1 tan
cos
5
1 tan 1
1 a
a
a suy
2
sin cos
5
a a
Lại có
2 2
1
1 tan cos
cos tan 10
b b
b b
0
90 b 180
Mặt khác sin tan cos
3 10 10
b b b
Khi đócos cos cos sin sin 3 1
5 10 10 10
a b a b a b Chọn A
Câu 64. Ta có sin cos sin cos 1 sin sin 24
5 25 25 25
a a a a a a
Khi
2
2 24
cos sin
25 25
a a 2700 2a 360
(59)Vậy giá trị biểu thức tan sin 24
cos
a a
a Chọn C
Câu 65. Ta có tan tan tan tan 11
1 tan tan 7.4 27
a b a b
a a b a b
a b a b
Chọn A
Câu 66. Ta có sin cos sin sin
sin cos sin cos cos sin
sin sin
2 sin cos sin cos 2 tan
cos cos Chọn D
Câu 67. Từ giả thiết, ta có
2
Suy cot cot cot 2.cot 2.tan tan tan
2 tan tan
Mặt khác
1
tan tan cot cot cot cot
1
1 tan tan 1 . cot cot
cot cot
nên suy
cot cot
cot cot cot cot cot cot
cot cot Chọn C
Câu 68. Vì tan , tan hai nghiệm phương trình x2 px q nên theo định lí Viet, ta
có tan tan
tan tan
p
q Khi
tan tan
tan
1 tan tan
p
q Chọn A.
Câu 69. Theo định lí Viet, ta có tan tan
tan tan p q
cot cot cot cot
r s
Khi cot cot cot cot 1
tan tan tan tan P r s
2
tan tan
tan tan
p
q Vậy p P r s
q Chọn B
Câu 70. Vì tan , tan hai nghiệm phương trình x2 px q nên theo định lí Viet, ta
có tan tan tan tan tan
tan tan tan tan
p p
q q
Khi P cos2 1 p.tan q.tan2 .
2
2
1
1 tan tan 1
1 tan
1
p p
p q
p q q q
(60)2 2 2 2
2 2
1
1
1
q p q q p q p p q q p
q p q p Chọn C
Câu 71. Ta có tan tan sin sin sin cos cos sin sin
cos cos cos cos cos cos
x y
x y x y x y
M x y
x y x y x y
Chọn C. Câu 72. Vì hai góc
4 phụ nên cos sin
Suy cos2 cos2 cos2 sin2
4 4
M
cos sin
2 Chọn D.
Câu 73.
1 1
1
cos sin
sin cos
4 2 2
a
a a
a
Chọn A
Câu 74. Ta có
sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cot cot sin sin sin sin sin sin sin sin
y x y x y x y x x y
x y
x y x y x y x y
M
Chọn B.
Câu 75. Ta có: M cosx cos 2x cos3x cosx cos3x cos 2x cos cosx x cos 2x cos 2 cosx x
Chọn D
Câu 76. Ta có:sin 2 sin 2cos sin 2sin cos
2cos
x x x x x
x
x Chọn D
Câu 77. Ta có:
2
1 cos cos cos cos cos cos cos cos 2 cos cos
x x x x x x
A
x x
x x
cos cos cos 2 cos cos cos
x x x
x
x x Chọn C
Câu 78. Ta có
2
2
2
2 2
sin cos sin cos
sin cos
cos sin sin cos sin cos cos 2
sin cos sin cos sin cos
cos sin sin cos
Do A cos cos 0.Chọn A
Câu 79. Ta có
2
1 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )
tan
1 cos 2 cos (sin cos )
cos sin
cos sin sin cos
A
Chọn C
(61)Câu 80. Ta có cos 2 1 2sin2 ;cos 4 2cos22 1 2 1 2sin2 1 Do đó:
2
2 2 2 4
4
2 2
2
3 sin 2 sin 8sin 8sin 8sin
tan
8cos 8cos 8cos
3 cos 2 cos 1
a A
a
Chọn B Câu 81. Ta có
2 2
2 2 2
4
4
2
sin sin sin cos sin
4 sin sin 4(1 sin ) sin cos
sin sin
tan cos (1 sin ) cos
A
a Do giá trị biểu thức A
6
4
4
t
3
6
an Chọn C
Câu 82. Ta có sin sin sin 22 os =sin os tan
1 os2 os os os os os
c c
A
c c c c c c
Chọn A Câu 83. Ta có
2 sin sin 1
1 sin sin sin tan
2 sin cos cos cos sin cos
a a
a a a
A a
a a a a a a Chọn B.
Câu 84. Ta có
2
2 ,
sin sin sin cos cos cos cos
2 2
1
2
x x x
x
x x x
Do
2
sin cos
2 sin cos sin 2 2
2 2 tan
2
2 cos cos cos cos
2 2
x x x x x
x A
x x x x Chọn A
Câu 85. Ta có sin cos5 sin cos5 sin cos cos4 sin4 1sin cos2 sin2 cos2 sin2
2
1sin cos2 sin2 1sin cos 1sin
2 Chọn D
Câu 86. Ta có sinx 3sinx 3sinx
1
5
5 M P
m Chọn A.
Câu 87. Ta có sin 2 sin
3
x x
4 sin
3
x P Chọn C.
(62)Câu 88. Áp dụng công thức sin sin cos sin
2
a b a b
a b , ta có
sin sin cos sin cos
3 6
x x x x
Ta có cos 1 1;0;1
6
P
x P P Chọn C.
Câu 89. Ta có P sin2x 2cos2x sin2x cos2x cos2x cos2x
Do cos cos2 1 cos2 2
1 M
x x x
m Chọn C.
Câu 90. Ta có P 8sin2x 3cos2x 8sin2x 2sin2x 2sin2x Mà sinx sin2x sin2x
2
3
3 M
P T M m
m Chọn A.
Câu 91. Ta có cos4 sin4 sin2 cos2 2 sin2 cos2 1sin 22
2
P x x x x x x x
1 cos 1cos
2 4
x
x
Mà cos 1 1cos 1
2 4
x x P Chọn B.
Câu 92. Ta có P sin4x cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x cos2 x
Mà cos 1 cos 1 1
1 M
x x P
m Chọn C.
Câu 93. Ta có P sin6x cos6x sin2x cos2x 3sin2xcos2x sin2x cos2x
2 3 cos
1 3sin cos sin cos
4 8
x
x x x x
Mà
1
1
1 cos cos 1 1
4 8
4 M
x x P
m Chọn C.
Câu 94. Ta có cos 3x cos 3x cos 3x
1
1 cos 1
1 M
x P
m Chọn B
Câu 95. Ta có sin2 sin cos sin cos
4
x
P x x x x
sin cos 2 sin 2
x x x
(63)Mà sin 2 2 sin 2 2
4
x x
Vậy giá trị lớn hàm số 2 Chọn D.