Chuyên đề mặt nón

Tính diện tích xung quanh mặt nón và thể tích của khối nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD.?. Hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD [r]

MẶT NÓN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Mặt nón trịn xoay

Trong mặt phẳng  P , cho hai đường thẳng d  cắt O chúng tạo thành góc  với 00 900 Khi quay  P xung quanh trục  với góc  khơng thay đổi gọi mặt nón trịn xoay (gọi tắt mặt nón) đỉnh O (hình 1) Đường thẳng  gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc gọi góc đỉnh 

2 Hình nón trịn xoay

Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2)

 Đường thẳng OIgọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OMgọi đường sinh hình nón

 Hình trịn tâm I, bán kính rIM đáy hình nón  Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM

quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón

Khối nón trịn xoay (gọi tắt khối nón) phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón

3 Một số tính chất

a) Nếu cắt hình nón mặt phẳng  P qua đỉnh có trường hợp sau:   P cắt hình nón theo hai đường sinh giao tuyến tam giác cân

  P tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh ( P mặt phẳng tiếp diện hình nón) b) Nếu cắt hình nón mặt phẳng  P khơng qua đỉnh có trường hợp sau:  Nếu  P vng góc với trục hình nón  giao tuyến đường tròn

 Nếu  P song song với đường sinh hình nón  giao tuyến nhánh hypebol  Nếu  P song song với đường sinh hình nón  giao tuyến đường parabol 4 Cơng thức diện tích thể tích hình nón

Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh l có:  Diện tích xung quanh: Sxq rl

 Diện tích tồn phần hình nón: Stp SxqSđáy rlr2

O d



O

Hình

Hình

O

I

M

 Thể tích khối nón: nón 1 đáy  1

3

V S h r h

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác vng OIM quanh cạnh góc vng OI tạo thành hình nón trịn

xoay Biết góc IOM30và cạnh IMa Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay thể tích khối nón trịn xoay tạo nên hình nón trịn xoay

Giải:

Ta có: rIMa 

  2

sin

IM

l OM a

IOM ,

  2 

h OI OM IM a

Diện tích xung quanh hình nón: xq     2

S rl a a a

Thể tích khối nón:     

2

1

3

3 3

a

V r h a a

Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy 2a 3, góc đỉnh 1200 Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón

Giải:

Ta có rIA a 3, IOA60 nên

   



2 sin 60

2

IA a

l OA a, h OI  OA2IA2  4a23a2 a

Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rla 3.2a2a2 Diện tích đáy hình nón: Sđáy r2 3a2

Diện tích tồn phần hình nón: tp xq đáy       

2 2

2 3 3

S S S a a a

Thể tích khối nón:  đáy   

2

1

3

V S h a a a

Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao h20cm, bán kính đáy r25cm Mặt phẳng   qua đỉnh cắt hai đường sinh hình nón Biết khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng   12 cm Tính diện tích thiết diện

Giải:

Ta có   cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân OAB với

,

A B hai điểm nằm đường tròn đáy Gọi H trung điểm AB IHAB Mà OIAB suy ABOIH  1 Kẻ IKOH, K nằm OH

O

I

M 

30

K

I

A

h

B

r H

O

O

I

A

 120

Từ  1 suy IKAB Do IKOAB Theo giả thiết IK12 cm

Tam giác OIH vuông I nên      

 

2 2 2 2 2 2

1 1 20.12

15 20 12

OI IK IH

IK IH OI OI IK cm

 2  202152 25

OH OI IH cm

 2  252152 20

AH IA IH cm AB40cm

Diện tích thiết diện:   1.25.40500

2

S OH AB cm2

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục tam giác vng cân SAB có cạnh huyền a Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón tương ứng

Đáp án:   

2(1 2) 2 ;

2 12

tp

a a

S V

Bài Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S có O tâm đường trịn đáy, đường sinh

bằng a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Tính diện tích xung quanh

xq

S hình nón thể tích khối nón tương ứng

Đáp án:  

3

2

;

12

xq

a

S a V

Bài 3. Cho hình nón trịn xoay có thiết diện qua trục tam giác vng cân có diện tích 2a2 Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tướng ứng

Đáp án:    

3

2 2

2 2;

3

xq

a

S a V

Bài Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D     có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O tâm A B C D     C đường tròn nội tiếp đáyABCD Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O đáy  C

Đáp án:  

2

2

xq

a

S

Bài 5. Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết 0x h

Đáp án: 

3

h

x

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn

O

x

Câu 1: [2H2-1] (Chuyên Thái Bình, lần năm 2017) Cho hình nón có bán kính đáy 4a, chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón

A

24a B

20a C

40a D

12a Hướng dẫn giải:

Chọn B

2 2 2

; (3 ) (4 ) (5 ) 20

xq xq

S rl l  a  a  a  l aS  a

Câu 2: [2H2-2] (Chuyên Nguyễn Quang Diệu, lần năm 2017) Một hình nón có đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy hình nón 9 Tính đường cao h hình nón

A h3 3. B h C

2

h D

3 h Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có l2R S 9 R2 9 R 3

  

    

2

6 3 h AO

    

Câu 3: [2H2-2] (THPT Lê Hồng Phong, năm 2017): Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a. Thể tích khối nón

A

3 3

12

a 

B

3 3

24 a 

C

3 2

24

a 

D

3 2

12

a 

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có tam giác SAB cạnh a,

2 a

SO ,

2 a rOB

Vậy thể tích khối nón

2

2

1 3

3 12 24

a a a

V  r SO 

Câu 4: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có chiều cao 3cm, góc trục đường sinh 60 Thể tích khối nón

A

9cm B

3cm C

18cm D

Chọn D

Hình nón có chiều cao h3cm Bán kính đáy

tan 60 3 rh  cm

Thể tích khối nón là:  2

3 27

3

V  r h   cm

Câu 5: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm, góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón

A cm2

 B 2 cm2

 C 3 cm2

 D 6 cm2

 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do góc đỉnh o

60 suy thiết diện qua trục hình nón tam giác Ta có r1, 0 2

sin 30 r

l  r

Diện tích xung quanh hình nón 2

xq

S rl   cm

Câu 6: [2H2-1] (Chuyên Phan Bội Châu, lần năm 2017): Một hình nón có chiều cao a bán kính đáy a Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón

A

2 xq

S  a B

3 xq

S  a C

xq

S a D

2 xq

S  a Hướng dẫn giải

Chọn A

Đường sinh: 2

2

l h r  a Diện tích xung quanh

2 xq

S rl a

h cm

r

0

60

r h 60

Câu 7: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bình Phước, lần năm 2017): Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích tồn phần thể tích khối nón tương ứng có giá trị

A 2 a  a 

B  

2 2 a   a 

C  

2 2 a   12 a  D 2 a  12 a 

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có đường kính đáy 2 a

a R , chiều cao hình nón 2

2

a a  a 

 

2

2

2

2 2

tp xq d

a

a a

S S S a

              Ta có

1 2

3 2 12

a a a

V  B h   

 

 

Câu 8: [2H2-2] (Chuyên Thải Bình, lần năm 2017) Một hình nón có góc đỉnh

60 , đường sinh 2a, diện tích xung quanh hình nón là:

A 4

xq

S  a B 2

xq

S  a C

xq

S a D 3

xq S  a Hướng dẫn giải:

Chọn B

Góc  gọi góc đỉnh

Ta tính

2 sin 30 xq r a aS rl a

Câu 9: [2H2-1] (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần năm 2017) Cho khối trịn xoay có đường cao h15cm đường sinh l25cm Thể tích V khối nón là:

A V2000cm3

B V240cm3

C V500cm3

D V1500cm3

Thể tích khối nón trịn xoay V r h2

3

  Trong r bán kính đáy, h chiều cao Mối quan hệ đại lượng h, r, l hình nón 2

l h r Bán kính đáy hình nón r l2h2  252152 20

Thể tích khối trịn xoay 2

V r h 20 15 2000

3

     

Câu 10: [2H2-3] (Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần năm 2017): Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a Gọi BC dây cung đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

A

2

3 a

S B

2

2 a

S C

2

3 a

S  D

2

2 a S Hướng dẫn giải:

Đáp án B

I O

S

B A

C

SAB

 vuông cân S, ABa 2,SASBa suy OB a SO

 

Gọi I trung điểm BC, SBC cân S suy SIBC Góc (SBC, đáy)=góc

SIO60

 SO a

sin SIO sin 60 SI

SI

   

2 a

BC 2BI SB SI

   

2 SBC

1 a

S SI.BC

2



  

Câu 11: [2H2-2] Bán kính đáy hình nón a, diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy Tính thể tích V khối nón

A

3

3 a

V   B V a3 3



 C

3

3 a

V   D

3

4 3

a V   Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy  l 2r2a

2

h l r a 3 Vậy thể tích khối nón là:

3

3 a 3

V r h= π

3 



Câu 12: [2H2-1] (THPT Hậu Lộc 4, lần năm 2017): Cho hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm Diện tích xung quanh hình nón là:

A

125π 41 cm B

120π 41 cm C

480π 41 cm D

768π 41 cm Hướng dẫn giải

Đáp án A

Độ dài đường sinh là: l 202252 5 41

Diện tích xung quanh hình nón là:  2 xq

S πRlπ.25.5 41 125π 41 cm

Câu 13: [2H2-3] (THPT Hậu Lộc 4, lần năm 2017): Cho hình trịn có bán kính Cắt bỏ hình trịn bán kính OA, OB ghép bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ)

Thể tích khối nón tương ứng là: A 81π

8 B

9π

8 C

81π

4 D

9π Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Độ dài đường sinh l hình nón bán kính hình trịn  l 6

Chu vi đáy hình nón sau bỏ phần tam giác OAB độ dài cung lớn AB:  

AB

3

l 2π.6 9π

 

Bán kính đáy hình nón sau ghép là: N

9π R

2π  

Độ dài đường cao hình nón là:

2

2 2

h l R

2

       

 

Thể tích khối nón là:

2

1 1 81 7π

V S.h πR h π

3 3 2

 

     

 

Câu 14: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa, lần năm 2017): Cho khối nón   tích 4 chiều cao 3 Tính bán kính đường trịn đáy khối nón  

A B C 2

3 D

Hướng dẫn giải Chọn A

2 3.4

4

3 V

r r

h 

    

 

Câu 15: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Tuyên Quang, năm 2017): Một hình nón có bán kính đáy R, đường cao

3 R

Khi góc đỉnh hình nón 2 thỏa mãn đẳng thức:

A sin 3

5 B  

3 cos

5 C  

3 tan

5 D  

3 cot

5

Hướng dẫn giải: Chọn A

Độ dài đường sinh hình nón là:

2

2

3

l R  R  R

  Vậy:

sin

5

3

R R

 

Câu 16: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Kiên Giang, năm 2017) Tính thể tích khối nón, biết khối nón có chu vi đáy 6 chiều cao

A V 30  B V45  C V15  D V 10  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có chu vi đáy C2R6 R3 Vậy thể tích khối nón 2

.3 15

3

V  R h   

Câu 17: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Long An, năm 2017) Cho hình nón ( )N có diện tích tồn phần 24cm2 bán kính mặt đáy 3cm. Tính thể tích V khối nón ( ).N A V 6cm3 B V 24cm3 C V 12cm3 D V 36cm3 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có .32 .3. 24 5 

tp xq d

S S S R Rl  l   l cm Vậy chiều cao h4cm Vậy thể tích khối nón là: 2. .3 122

3

V  R h   

Câu 18: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Giang, lần năm 2017): Cắt hình nón mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác vng có diện tích Tính diện tích tồn phần hình nón

A 9  B 6 (1  2) C 9 (1  2) D 9

Hướng dẫn giải: Chọn C

Thiết diện với hình nón qua trục tam giác cân nên theo giả thiết thiết diện tam giác vng cân có cạnh đường sinh l nên ta có

9

2

Khi bán kính đường trịn đáy chiều cao hình nón l hR  Vậy diện tích tồn phần hình nón là: 9 1 2

tp

S R Rl  

Câu 19: [2H2-1] (Sở GD&ĐT tỉnh Hà Nam, năm 2017): Cho khối nón (N) có bán kính đáy thể tích 12 Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón (N)?

A Sxq 18  B Sxq 16  C Sxq 24  D Sxq 15  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có 2

.3 12

3

V  R h  h  h Vậy độ dài đường sinh l5 Vậy Sxq Rl.3.5 15 

Câu 20: [2H2-2] Một hình nón có độ dài đường sinh 2a mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng Tính thể tích V khối nón

A

3

2

a

V   B

3

3

a

V   C

3

2 3

a

V   D

3

2

a V   Hướng dẫn giải:

Chọn A

Thiết diện qua trục tam giác vuông cân cạnh 2a nên bán kính qua trục đường cao a 2 thể tích . 23 2

3

V   a  a

Câu 21: [2H2-1] Một hình nón tích

3

4

a 

và bán kính đường trịn đáy 2a Khi đó, đường cao hình nón là:

A a B 2a C

2 a

D 3a Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có  

3

2

1 1

3 3

n

a

V  S h r h  a h  ha

Câu 22: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB

30

SAO ;

A 4 3 B 3 

C 2 3 D 3 2

Hướng dẫn giải: Chọn A

I trung điểm AB OI AB SI; AB OI; 2

Lại có

3

.cos

2 cos

2 AO SA SAO SA

SA AI SA SAI 

 

  

  

 

Từ ta có AI

AO Mặt khác

6

cos sin

3 AI

IAO IAO OA

AO    OA 

Mà 0 2

cos 30 OA

SA  

Diện tích xung quanh cần tính là: Sxq .OA SA 4 3

Câu 23: [2H2-3] Cho hình nón S, đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a  

SAO30 ,SAB60 Tính diện tích xung quanh hình nón

A

2 xq

3 a S

2 

 B

2 xq

a S

2 

 C

2 xq

a S

2 

 D

xq

S  a

Hướng dẫn giải: Đáp án D

O S

A

B

I

Gọi I trung điểm AB

OIAB,SIAB, OIa Ta có OA SA 3, AI SA

2

 

Từ AI OA 3, mà

 AI

cos IAO OA

 a a

sin IAO OA

3 OA

     , SAa

Vậy Sxq  .OA.SA a2

A 2 B  C 2 2 D

2 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Thiết diện qua trục tam giác vng cân, mà bán kính đáy nên độ dài đường sinh hình nón l

Vậy diện tích xung quanh hình nón là: Sxq Rl.1  2.

Câu 25: [2H2-2] Một hình nón trịn xoay có độ dài đường sinh độ dài đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 4 Tính chiều cao h hình nón

A h 3 B h2 C

2

h D h3

Hướng dẫn giải: Chọn B

2 2

4 4 2

Sr   r  l h  

Câu 26: [2H2-1] Cho khối nón có bán kính đáy R, đường sinh  Thể tích khối nón tính theo cơng thức sau đây:

A

3

V  R  B 2

3

V  R  R

C 2

3

V  R R  D 2

3

V  R  R Hướng dẫn giải:

Chọn D

Vì 2h2R2 nên thể tích khối nón 2 2

3

V  R h R  R

2

2

3 3

2 2

xq

a

S  a     R R 

     

 

 

Câu 27: [2H2-2] Cho hình nón có chiều cao h góc đỉnh 900 Thể tích khối nón xác định hình nón

A

3

6

h 

 B

3

3 h 

 C

3

2

h 

 D

2h

Hướng dẫn giải: Chọn B

Thể tích khối nón :

3

1

3

h V  r h

Câu 28: [2H2-2] Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, thiết diện qua trục tam giác cạnh a, thể tích khối nón là:

A 1

3

6a B

3

1

3

24a C

3

1

3

12a D

3

1 8a Hướng dẫn giải:

Chọn B

Dựng thiết diện tam giác qua trục tam giác HFG có cạnh a Nên khối chóp có chiều cao

2 h a

2

2 đay

a S r  

 

2

3

1

3 24

a

V  hS  a  a

Câu 29: [2H2-3] Cho hình nón có đáy đường trịn có đường kính 10 Mặt phẳng vng góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn hình vẽ Thể tích khối nón có chiều cao là:

A 8 B 24 C 00

9  

D 96 Hướng dẫn giải:

Chọn A

6 6.5

2

15 15

r

r

R     Vậy

2

1

8

V  r h 

A  B  C 2  D 2 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi  độ dài đường sinh hình nón Ta có: 222R24  2. Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq r

Câu 31: [2H2-2] Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng Tính diện tích thiết diện qua đỉnh cắt đáy hình nón theo cung

0

120 A

4 B 3 C 15 D

15 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: 22 22 2 2 2

2 AB

AB   AHHC    2  2

2 2

2 cos120 2 2 AC AH HC  AH HC    

 

6 AC

  Gọi K trung điểm AC

Ta có: 2

KH  AH AK  

2

2 6 1

2 ;

2 2

AB IH  

     

 

 

2

2 1 15

2 ;

2 2 2

2 IAC

IK  IH KH     S  IK AC 

 

Câu 32: [2H2-2] Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền 2a Thể tích hình nón là:

A

3

4 a 

B

3

2

a 

C a3

 D

3

3 a 

Hướng dẫn giải:

Chọn D

của tam giác vuông cân đỉnh O thiết diện tam giác vuông cân nên cạnh huyền tam giác vuông cân qua tâm cua đáy)

Vậy thể tích hình cần tính

3

3 a V 

Câu 33: [2H2-2] (Chuyên Thái Bình, lần năm 2017): Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a Thể tích khối nón theo a là:

A

3

2 12 a 

B

3

2 a 

C

3

4 a 

D

3

7 a 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Do thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền a 2 nên ta có 2 a Rh

Vậy thể tích cuả khối nón là:

3

1 2

3 12

a a

V  R h    

 

Câu 34: [2H2-3] Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N2 tích

8 thể tích N1.Tính chiều cao h hình nón N2?

A cm B 10 cm

C.20 cm D 40 cm

Hướng dẫn giải: Đáp án C

Gọi V1, V2 thể tích N1và N2 r1, r2 bán kính đáy N1, N2 ta có:

2 2

2

2

1

1

1

1 3

1

8 .40 40

3 r h

V r h

V r r





  

Mặt khác ta có: 40

r h

Do ta có: ( )3 20

8 40 40

h h

h

     cm

Câu 35: [2H2-2] (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh, lần 1, năm 2017) Cắt hình nón ( )N mặt phẳng qua trục hình nón thiết diện tam giác vng cân có diện tích

3a Tính diện tích xung quanh hình nón ( )N

A

6a B

2a C

6 2a D

3 2a Hướng dẫn giải:

Đáp án A

 2

2

SAB

xq

canh

V 3a 3a SA a r h a

2

S a 3.a a

       

    

Câu 36: [2H2-2] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai, lần 1, năm 2017) Một hình nón có diện tích đáy 16dm2 diện tích xung quanh 20 dm2 Thể tích khối nón

A 16dm3 B 8dm3 C 32dm3 D 16

3 dm

Hướng dẫn giải: Đáp án A

Ta có 16

5 20

r

r h

l l r

 

 

  

 

  

 

 

 



Thể tích khối nón: 1 16 3

3

V h r dm

2 Quay tam giác

Câu 37: [2H2-2] (THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội năm 2017) : Cho tam giác ABC vng A có AB6,AC8. Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

A Sxq 160  B Sxq 80  C Sxq 120  D Sxq 60  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có SxqRl Với

2

10

Câu 38: [2H2-2] (Sở GD&ĐT tỉnh Thái Bình, năm 2017) Trong khơng gian, cho tam giác ABC vng tại A có AB2,AC quay xung quanh cạnh AC tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón

A Sxq 2 5 B Sxq12 C Sxq 6 D Sxq 3 5 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Theo giả thiết hình nón cho có R AB2,h AC 5 l BC3 Vậy diện tích xung quanh hình nón là:

.2.3 xq

S Rl  

Câu 39: [2H2-3] (THPT Kim Liên, lần năm 2017): Cho tam giác ABC có    

13 ,

 

AB cm BC cm AC2cm Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay tam giác ABC quanh trục AC

A. 10  3

3 

V  cm B V 8 cm3.

 C 16  3.

3 

V  cm D  3.

3 

V  cm

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo Hê rông, diện tích tam giác ABC là: S 2

Mặt khác

2

S BH ACBH

Vậy 2

3

AH AB BH  CH 1 Vậy thể tích khối nón sinh là:

2

1

3 3

V   BH AH  BH CH  

Câu 40: [2H2-2] (THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp, năm 2017) Cho tam giác AOB vng O, có  o

A30 và AB = a Quay tam giác AOB quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng:

A

2

a 

B

2

a 

C

a

 D 2

a 

Hướng dẫn giải: Chọn A

A

B H

Ta có sin sin OB

A OB A AB a R

AB

    

Vậy diện tích xung quanh hình nón là: 1

2

xq

S Rl a a a

Câu 41: [2H2-3] Cho tam giác ABC có ABC45 , ACB30 , 2

AB Quay tam giác quanh cạnh BC, ta khối trịn xoay tích

A  

1 24 V 



 B  

3 72 V 



 C  

1 3 V 



 D  

1 V 





Hướng dẫn giải: Chọn A

2 2 450

B C

A

H

Từ A kẻ AHBC Khi tam giác ABH vng cân H, có 2

AB nên

2 AH BH Tam giác AHC vng H có góc 30 ,0

2

C AH  nên

2 HC

Thể tích khối trịn xoay tính tổng thể tích hai khối nón sinh quay tam giác ABH ACH,

 

2

1

3 24

V BH AH CH AH



  

  

Câu 42: [2H2-2] Cho tam giác ABC cạnh cm quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Thể tích khối nón là:

A 4  3

3  cm B  

3

32

3  cm C  

3

8

3  cm D  

3

16 3  cm Hướng dẫn giải:

Chọn C

H

C B

A

Theo giả thiết ta có 3

h AH  

2 BC

Thể tích khối nón 2

2

3 3

V  r h   

Câu 43: [2H2-2] (Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2017): Tam giác ABC vng B có AB3a, BCa Khi quay hình tam giác quanh đường thẳng AB góc 360 ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay là:

A a3

 B

3

2 a 

C

3

3 a 

D 3 a3

 Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo đề ta thu hình nón có hAB3a,RBCa

2

1

.3

3

V  R h a aa

Câu 44: [2H2-2] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần năm 2017) Tam giác ABC vuông A cạnh

AB , cạnh AC8 , M trung điểm cạnh AC Tính thể tích khối xoay tam giác BMC qua vòng quanh cạnh AB là:

A 98 B 108 C 96 D 86

Hướng dẫn giải: Chọn C

Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta thấy khối trịn xoay tạo hình tích thể tích hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh BC trừ hình nón có đường cao cạnh AB đường sinh cạnh huyền BM tam giác ABM

Khi thể tích khối trịn xoay tạo 2

96

3

V  AB AC  AB AM  

Câu 45: [2H2-3] (Chuyên Lương Văn Tụy, lần năm 2017) Tam giác ABC vuông tạiB, 10,

AB BC Gọi M N, trung điểm củaAB AC, Thể tích khối trịn xoay hình thang vng BMNC quay vịng quanh MB là:

A 40 

B 20

3 

C 102

3 

D 140

3 

Hướng dẫn giải:

Thể tích hình cần tính hiệu thể tích hình nón có bán kính đáy BC, chiều cao AB hình nón có bán kính đáy MN, chiều cao AM

 2

1 140

10.4 5.2

3

V     

Câu 46: [2H2-2] (Chuyên Vĩnh Phúc, lần năm 2017): Cho hình tam giác ABC vng A có



ABC30 cạnh góc vng AC2a quay quanh cạnh AC tạo thành hình nón trịn xoay có diện tích xung quanh bằng:

A

16 a 3 B

8 a 3 C

2 a D 4

a 3 Hướng dẫn giải:

Đáp án B

AC2a ; Suy AB2 3a; BC4a

Khi quay quanh cạnh AC ta hình nón Có đường sinh 14a bán kính đáy 2 3a Diện tích xung quanh: Srl2 4a a8a2 3.

Câu 47: [2H2-2] Một tam giác ABC vuông A với AB6,AC8 Cho hình tam giác ABC quay quanh cạnh AC ta hình nón có diện tích xung quanh diện tích toàn phần S S1, 2 Khi

A

8 S

S  B

1

5 S

S  C

1

5 13 S

S  D

1

9 S S  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối nón có đường cao AC, bán kính đường trịn đáy AB độ dài đường sinh BC

Khi

2

10 10

S rl l

S rl r r l



 

   

  

Câu 48: [2H2-3] Tam giác ABC vuông tạiB AB2 ,a BCa Cho tam giác ABC quay vòng quanh cạnh huyền AC Gọi V1 thể tích khối nón có đường sinh AB, V2 thể

tích khối nón có đường sinh BC Khi tỉ số

V

V

A B C D 2 2

Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC hình nón có đường sinh AB nhận BH bán kính hình trịn đáy, hình nón nhận BC đường sinh nhận BH bán kính hình tròn đáy (với H chân đường cao từ B xuống AC)

Ta có 5,

5 5

   

HB a AH CH

Ta có

4

 

V AH

V CH

Câu 49: [2H2-2] Cho tam giác ABO vng O, có góc BAO30 ,0 ABa Quay tam giác ABO

quanh trục AO ta hình nón có diện tích xung quanh bằng: A

a

 B

2a C

2

2 a 

D

2

4 a 

Hướng dẫn giải: Chọn C

Hình nón thu có đường sinh l  AB  ;a bán kính đáy

30

2 a

rOBAB sin  

diện tích

xung quanh

2

2

xq

a

S rl

Câu 50: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SCa Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Thể tích khối nón trịn xoay là:

A

3

4

a 

B

3 2

6 a

C

3 3

3 a 

D

3 3

6 a 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có 2 2

2 2

ACa SA SC AC  a  a  a

3

2 2

1 1

.2

3 3

Câu 51: [2H2-2] Trong không gian, cho tam giác ABC vng C có đường cao kẻ từ C

, a

h CAa Khi đường sinh l hình nón nhận quay tam giác ABC qua trục CA là?

A la B l 2a C l 3a D l2a

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đường sinh hình nón quay thực chất cạnh huyền AB tam giác vng ABC Mà tam giác vng có cạnh bên đường cao, ta cần áp dụng công thức hệ thức lượng tam giác:

2 2 2

1 1 1

3

h CA CB  a a CB

3

CB a AB a

    (theo định lý Pytago)

Câu 52: [2H2-2] (Chuyên Phan Bội Châu, lần năm 2017): Trong không gian, cho tam giác ABC tam giác vuông cân A, gọi I trung điểm BC, BC2 Tính diện tích xung quanh hình nón nhận quay tam giác ABC quanh trục AI

A Sxq  2 B Sxq2 C Sxq 2 2 D Sxq 4

Hướng dẫn giải Chọn A

2cm

A

B C

I

Hình nón nhận quay ABC quanh trục AI có bán kính IB đường sinh AB ABC

 vuông cân A nên: AI BI1cm AB AI 2 2

xq

S  r l  

Câu 53: [2H2-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3, năm 2017) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R có BAC75 , ACB60  Kẻ BH AC Quay

ABC

 quanh AC BHC tạo thành hình nón xoay  N Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay  N theo R

A 3 2

2 R 

B 3

2 R 

C 3 1

4 R 

D 3 1

4 R 

Hướng dẫn giải:

75° 60° O

C A

B

H

Hình nón  N có đường sinh đoạn lBC, đường cao hCH bán kính rBH Trong ABC ta có BC2 sin 75R

Trong BHC ta có .sin 600

2 BH BC  BC Diện tích xung quanh hình nón (N):

2

3

2

2

xq rl BC B

S   H  BC   R

Câu 54: [2H2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, lần 1, năm 2017) Cho tam giác ABCvuông A, AB3a, AC4a Gọi Mlà trung điểm AC Khi qua quanhAB, đường gấp khúc AMB, ACB sinh hình nón có diện tích xung quanh S1, S2 Tính tỉ số

1

S S A

2

13 10 S

S  B

1

1 S

S  C

1

2 S

S  D

1

1 S S  Hướng dẫn giải:

Chọn A

2

1 1 13

2

AC AC

S r l  AB    

  ;

2

2 2 20

S r l  AC AB AC  

Do

13 10 S

S 

3 Mặt nón ngoại tiếp khối đa diện

A

3

2

;

9 xq

a

S a V   B

3 ; 12 xq a S a V 

C

2

4

;

3 12

xq

a a

S   V  D

2

4

;

3

xq

a a

S   V  

Hướng dẫn giải: Chọn D 2a a a 2a 300 O C B A D S

Tính 2, 6;

3

a a

OD=OCa SO SD

2

2

4

;

3

xq

a a

S SDOC  V  SOOC  

Câu 56: [2H2-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc

60 Hình nón có đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh

A S 2 a2

  B a

S  C S a2



 D

2

2 a S Hướng dẫn giải:

Chọn C

Hình chóp tứ giác hình chóp có đáy hình vng đường cao hình chóp qua tâm O đáy

Gọi O tâm đáy ABCD Ta có  

SO ABCD SOOD Từ ta có góc cạnh bên đáy góc SDO600

0

tan 60 tan 60 2 a a SO OD     2

l SD SO OD a

    

Diện tích xung quanh hình nón cần tính

2

xq

S rlOD SDa

Câu 57: [2H2-3] Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a, có diện tích xung quanh là: A xq a

S  B

2

2 xq

a

S  C

2

3 xq

a

S  D

2

3 xq

a S  Hướng dẫn giải:

a

C S

A

B

H O

Kẻ SOABC,SHBCOHBC Ta có OA 2 3

3 3

a a

AH

  

3

3 xq

a S OA SA a

2

3 a  

Câu 58: [2H2-3] Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ngoại tiếp đường trịn đáy hình nón có ABBC10 ,a AC12a, góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC)

45 Tính thể tích khối nón cho

A

9a B

12a C

27a D

3a Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đường tròn đáy hình nón Gọi E trung điểm AC 2

8 BE AB AE  a

16

2

ABC S AB BC CA

P a r

p

 

    

Dựng   

45

    

IM AB AB SMI SMI

Mặt khác

3 tan 45

IM r aSI IM  a Vậy  

3 N

V  SIr  a

Câu 59: [2H2-3] Cho hình lập phương cạnh a Gọi O tâm hình vngABCD Khi thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn nội tiếp hình vng A B C D' ' ' ' bằng:

A 1

4a (đvtt) B

3

1

3a (đvtt) C

3

1

12a (đvtt) D

3

1

Chọn C

Do đường trịn đáy hình nón nội tiếp hình vng A B C D' ' ' ' nên độ dài đường kính hình

trịn

2 a

d aR Khi

2 3

1

3 12

a a

V  a       

Câu 60: [2H2-3] (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, lần 1, năm 2017) Cho hình chóp

S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 60 Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón đỉnh S, có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC

A

2

3 xq

a

S  B

2

10 xq

a

S  C

2

7 xq

a

S  D

2

7 xq

a S 

Hướng dẫn giải: Chọn D

60°

G N B

A

S

C

Hình nón đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có: Bán kính đường trịn đáy

3

a r AG AN  Đường sinh lSA SG2AG2  GNtan 602AG2

2

3

3

6 12

a a

a

   

     

   

Diện tích xung quanh:

2

7 xq

S rla

Câu 61: [2H2-3] Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD

A

3

xq

a S a ; V

12 

   B

3

xq

a S a ; V

C

3

xq

a S a ; V

12 

   D

3

xq

a S a ; V

6 

  

Hướng dẫn giải: Đáp án B

Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SOACBD Suy ra, OB hình chiếu vng góc SB lên mp(ABCD)

Do đó, 

SBO60 Kết hợp r OB a 2

  ta suy :

0 a a

h SO OB tan 60

2

   

Thể tích hình nón:

2

2

1 a a a

V r h

3 2 12



    

Câu 62: [2H2-3] Cho S.ABCD hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450 Hình trịn xoay đỉnh S, đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD, có diện tích xung quanh là:

A

xq

S  2 a B xq

S  a C

2 xq

a S

2 

 D

2 xq

a S

4   Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Hình trịn xoay hình nón Kẻ SOABCD O tâm hình vuông ABCD Do SOA

 vuông cân O nên a

SA OA a

  

2 xq

AB a a

S SA a

2 2



    

4 Vận dụng cao

Câu 63: [2H2-4] Hoàn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x

A 2 6

3 B



3 C



2 D



4

Hướng dẫn giải: Đáp án A

AB

l Rx; r = Rx

2

2 2 2 2

1 1

(4 ) (8 )

2

3 24 24 2

V R h R x  x R x x  x

 

    

Để V lớn 2 2

x    x x 

Câu 64: [2H2-4] Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S đáy đường tròn C O R( ; ) với

 (  ),

R a a 2 '

,

SO a O SO thỏa mãn OO x (0x 2a), mặt phẳng   vuông góc với SO O cắt hình nón trịn xoay theo giao tuyến đường tròn  C Thể tích khối nón đỉnh O đáy đường trịn  C đạt giá trị lớn

A a

x B x a C

3 a

x D

3  a x Hướng dẫn giải: Đáp án D

Theo Định lý Ta-lét

R a x

R a

 

 Suy (2 )

2 R

R a x

a

  

Khi thể tích khối nón đỉnh O đáy đường trịn  C

2 2

2

1

(2 ) (2 )

3 12

R R

V x a x x a x

a a



  

     

 

Xét f x( )x a(2 x)2 (0; )a ta có f x( ) đạt giá trị lớn

a x

Câu 65: [2H2-4] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A r   B r   C r   D 6 r   Hướng dẫn giải: Đáp án B

Thể tích cốc: 2

2

1 81 81

V r h 27 r h h

Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ

2

2 2

xq 2

81 81

S rl r r h r r r

r r

          

 

2 2

4 3

2 2 2 2

81 81 81 81

2 r r

2 r r r r

     

   

4

4

81

4

 

 (theo BĐT Cauchy)

xq

S nhỏ

2 8

4 6

2 2

81 3

r r r

2 r 2

     

  

Câu 66: [2H2-4] (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng, lần 1, năm 2017) Cho khối nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác co đỉnh tâm I đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu?

A h

B 3 h

C 2

h

D h Hướng dẫn giải: Đáp án D

- Phương pháp

+Cơng thức tính thể tích khối nón

V r h  

+  2

1

1

V n.h n r

   (ĐK: 0n1)

+Từ ta thấy V1f n V  V1max f n max +Khảo sát f(n) để tìm n cho f(n) max

- Cách giải: Ta có:    2

f n n n n 2n n (đk: 0n1)

2

y '3n 4n 1  

  n L

y ' 1

n TM

3   

 

   + n

3



1 I

h 2r

h r V h

3 81

     

Câu 67: [2H2-4] (Chuyên Đại học Vinh, lần 3, năm 2017) Cho hình nón đỉnh S Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ngoại tiếp đường trịn đáy hình nón có

ABBC 10a, AC 12a  , góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC)

45 Tính thể tích khối nón cho

A 9 a

B 12 a

C 27 a

D 3 a

Hướng dẫn giải:

Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đường trịn đáy hình nón Gọi E trung điểm AC BE AB2AE2 8a

ABC

S AB BC CA

P 16a r

2 p

 

    

Dựng IMABABSMISMI 450

Mặt khác

IM r 3aSIIM tan 45 3a

Vậy  

N

1

V SI r a

MỤC LỤC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

B BÀI TẬP MẪU

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Tính diện tích, thể tích mặt nón đơn

2 Quay tam giác 16