Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính

Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN VIẾT THÁI LÝ THUYẾT ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI, 2014 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Thị trường tài 1.1.1 Định nghĩa thị trường tài 1.1.2 Lợi suất (Return rate) 1.2 Hợp đồng quyền chọn mua hợp đồng quyền chọn bán 1.2.1 Hợp đồng quyền chọn mua 1.2.2 Hợp đồng quyền chọn bán 1.3 Hợp đồng ký kết trước hợp đồng tương lai 1.3.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract) 1.3.2 Hợp đồng tương lai (Futures Contract) 1.4 Mơ hình Black - Scholes, cơng thức Black - Scholes 1.5 Một số yếu tố tính tốn ngẫu nhiên 1.5.1 Quá trình đo 1.5.2 Quá trình đo dần 1.5.3 Quá trình khả đoán 1.5.4 Quá trình thích nghi với lọc 1.5.5 Martingale 1.5.6 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 1.6 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.6.1 Định nghĩa cấu trúc 1.6.2 Định nghĩa mô tả 1.6.3 Công thức Ito cho chuyển động Brown 8 9 11 12 12 12 13 14 14 14 15 15 16 17 18 18 19 20 KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ 2.1 Giá trình ngẫu nhiên 2.2 Thông tin thị trường 2.2.1 Trường thông tin σ trường 2.2.2 Luồng thông tin thị trường 2.2.3 Khơng gian xác suất có lọc 2.2.4 Luồng thông tin tổng hợp thị trường 2.2.5 Các khái niệm chung 2.3 Cơ hội có độ chênh thị giá nguyên lý AAO - Absence of Arbitrage Oppotunity 2.3.1 Cơ hội có chênh thị giá 2.4 Nguyên lý đáp ứng thị trường đầy đủ 2.4.1 Quan hệ nguyên lý AAO nguyên lý đáp ứng ĐỊNH GIÁ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ 3.1 Độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale tương đương 3.2 Áp dụng phương pháp độ chênh thị giá vào mơ hình Black - Scholes 3.3 Ứng dụng phương pháp độ chênh thị giá Tài liệu tham khảo 23 23 24 24 25 25 26 27 29 29 30 30 33 33 38 42 51 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Trần Hùng Thao Thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tơi muốn gửi tới tồn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt thầy tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tơi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa học LỜI MỞ ĐẦU Tốn học tài ngành tốn học ứng dụng, sử dụng cơng cụ giải tích ngẫu nhiên, thống kê tốn học với mục đích nghiên cứu thị trường tài Tuy lĩnh vực cịn so với lịch sử tốn học tốn tài có tảng 100 năm Phải nói thêm rằng, với phát triển nhanh chóng tin học với nhiều thay đổi lớn thị trường tài thân tốn học tài ngày quan tâm tính thực tế khả ứng dụng cao Trong khoảng ba thập kỷ trở lại đây, có hai khái niệm tài gây ảnh hưởng rộng rãi, Tài sản đáp ứng để bảo hộ giá (Replicating equities) Cơ hội có độ chênh thị giá (Arbitrage Oppotunity) Sự kết hợp hai khái niệm cho ta công cụ mạnh để định giá Đây lý để chọn đề tài luận văn là: "Lý thuyết độ chênh thị giá Tốn tài chính" Bản chất phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing) dựa vào ngun lý AAO (khơng có độ chênh thị giá) nguyên lý đáp ứng để tính giá tài sản phái sinh thời điểm t trước lúc đáo hạn T, quan trọng từ giá trị đáo hạn X đặt trước hợp đồng, ta tính tốn ngược lại giá trị ban đầu V0 phương án cần đầu tư Công cụ để thực phương pháp độ đo xác suất, có tên gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale Cũng mà phương pháp cịn gọi phương pháp rủi ro trung tính Luận văn gồm có chương: Chương Kiến thức sở: Trình bày khái niệm thị trường tài chính, giới thiệu việc định giá tài sản tài tn theo mơ hình Black - Scholes, với số kiến thức tính tốn ngẫu nhiên (Chuyển động Brown, tích phân ngẫu nhiên Ito, martingale đưa số trình ngẫu nhiên đơn giản) Đây kiến thức quan trọng tiền đề để tiếp tục phát triển chương luận văn Chương Khái niệm lý thuyết độ chênh thị giá: Chương bao gồm khái niệm quan trọng tốn tài chính, lý thuyết độ chênh thị giá, thông tin thị trường, nguyên lý thị trường hiệu hội có độ chênh thị giá để có nhìn tổng thể ban đầu thị trường giả thuyết khơng có độ chênh thị giá hay cịn gọi nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Oppotunities) Dưới giả thiết thị trường khơng có độ chênh thị giá, số tài sản tài martingale cơng cụ lý thuyết martingale sử dụng để tính giá tài sản thời điểm ban đầu thời điểm trước đáo hạn Chương Định giá phương pháp độ chênh thị giá: Cũng phần luận văn Trong chương nêu rõ cách vận dụng khái niệm độ chênh thị giá để định giá tài sản tài chính, đặc biệt định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu theo mơ hình Black - Scholes Nói định giá phương pháp độ chênh thị giá thực chất tính giá sở giả thiết thị trường khơng có độ chênh thị giá dựa vào cơng cụ đặc biệt, độ đo martingale tương đương (Equivalent martingale measure - EEM) Phần bổ sung Trong phần nêu thêm số khái niệm quyền chọn chưa có điều kiện nêu chương để làm đầy đủ thêm thị trường tài Đây khái niệm hay, dùng để tham khảo Ta giới thiệu sơ lược số quyền chọn mà không nêu phần định giá Một số tài sản sở mơ hình có dạng mơ hình Black - Scholes Do thời gian gấp rút kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, vậy, mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn Hà Nội tháng 02 năm 2014 BẢNG KÝ HIỆU FtY : Bộ lọc tự nhiên trình Y St : Giá cổ phiếu vào thời điểm t ST : Giá cổ phiếu vào lúc đáo hạn hợp đồng V0 : Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu thời điểm ban đầu Vt : Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu thời điểm t X : Giá thực thi hợp đồng (Strike price) Λt : Lượng cổ phiếu mua vào thời điểm t h.c.c: hầu chắn Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Thị trường tài Định nghĩa thị trường tài Chương nhằm trình bày số khái niệm quan trọng hợp đồng tài cơng cụ tính tốn ngẫu nhiên dùng chương sau Định nghĩa 1.1 Thị trường tài nơi diễn hoạt động giao dịch mua bán quyền sử dụng khoản vốn thông qua phương thức giao dịch cơng cụ tài định Cấu trúc thị trường tài bao gồm phận sau đây: Các cá nhân hoạt động riêng lẻ Các công ty kinh doanh, liên doanh Thị trường chứng từ có giá trị, quan trọng phải kể tới thị trường vốn (capital market), thị trường tiền tệ (currency market), thi trường cổ phiếu (stock market), thị trường trái phiếu (bond market, thi trường hợp đồng tương lai hợp đồng quyền chọn (future and option market) Các cấu trúc trung gian: ngân hàng công thương, ngân hàng đầu tư, công ty bảo hiểm Các đối tượng để buôn bán thị trường tài hai loại tài sản bản: i Một chứng khoán sở gồm: cổ phiếu, trái phiếu, hàng hóa cụ thể (như dầu mỏ, khí đốt, than đá, lúa gạo, nông sản, thiết bị, phương tiện vận tải, ) ngoại tệ ii Hai tài sản phái sinh (derivatives), tức gói tài sản tạo nên từ số tài sản sở (cổ phiếu loại, trái phiếu loại số đối tượng tài giá trị lãi suất, tỷ giá hối đoái ) ghi nhận hợp đồng tài với điều khoản thực thi sở hữu tài sản Người giữ hợp đồng người có quyền sở hữu gói tài sản Quyền mua bán lại thị trường Các phái sinh gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options), hợp đồng ký kết trước (forwards), hợp đồng tương lai (futures) 1.1.2 Lợi suất (Return rate) Lợi suất khái niệm thị trường tài chính, bao gồm hai khái niệm lãi suất (interest rate) hoa lợi (yield): i Lãi suất luồng tiền đầu tư (điển hình trái phiếu có lãi) tỷ lệ tiền phải trả theo định kỳ, tính theo phần trăm mệnh giá của trái phiếu, tức giá trị tương lai ấn định sẵn luồng tiền đầu tư) ii Hoa lợi lãi suất tính theo giá thị trường trái phiếu (chứ khơng phải tính theo mệnh giá ghi sẵn trái phiếu) Nếu giá thị trường trái phiếu tính thời điểm t đó, lãi suất gọi hoa lợi Nếu tính thời điểm đáo hạn T ta có hoa lợi lúc đáo hạn 1.2 1.2.1 Hợp đồng quyền chọn mua hợp đồng quyền chọn bán Hợp đồng quyền chọn mua Người ta mua "một hội mua cổ phần chứng khoán tương lai với giá đảm bảo trước" Quyền cho phép tương lai mua (mà không bắt buộc phải mua) gọi Quyền Chọn Mua Các điều kiện hợp đồng là: Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng trả cho người viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp đồng Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi người giữ trả, người viết phải giao cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn Nhận xét 1.1 Ta thấy người giữ hợp đồng có Quyền chọn đầu tư Nếu giá cổ phiếu ngày đáo hạn thấp giá thực thi người hiển nhiên khơng muốn mua cổ phần khơng trả khoản chi phí thực thi Khi Quyền chọn khơng thực thi Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn: Trên thực tế, hầu hết trường hợp, hợp đồng xếp đặt cho người viết trả cho người giữ khoản chênh lệch giá cổ phiếu giá thực thi Điều cho phép ta mơ tả khoản chi trả theo giá ST cổ phiếu giá thực thi X vào ngày đáo hạn Ta nói: Số tiền chi trả = M ax{ST − X , 0} = (ST − X )+ Quyền chọn mua kiểu châu Âu kiểu châu Mỹ: Ta đưa định nghĩa kiểu hợp đồng Quyền chọn mua với điều kiện: Người giữ sử dụng vào ngày đáo hạn Người ta gọi hợp đồng Quyền chọn mua kiểu châu Âu Còn loại khác hạn chế hợp đồng Quyền chọn mua kiểu châu Mỹ Người giữ hợp đồng phép thực thi thời điểm trước ngày đáo hạn Giá hợp đồng Quyền chọn mua: Hai nguyên tắc tài Đáp ứng để bảo hộ giá Khơng có độ chênh thị giá tạo ước lượng giá cho Hợp đồng Quyền chọn mua Đối với hợp đồng kỳ hạn việc tính lãi hay lỗ dựa vào biểu thức: ST − X Ta thêm khoản tiền có giá trị X e−r(T −t) để tạo đầu tư bảo hộ, đó, khơng có độ chênh thị giá dẫn tới giá Quyền chọn mua + X e−r(T −t) ≥ St Điều có nghĩa giá Quyền chọn mua thỏa mãn điều kiện: giá Quyền chọn mua ≥ St − X e−r(T −t) Công thức cho ta ước lượng Quyền chọn mua 10 Nói chung, độ đo ban đầu P (Vt ) khơng phải martingale Ft Người ta tìm độ đo xác suất Q hệ số tất định k(t) cho: a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P b) Dưới độ đo Q trình V˜t = k(t)Vt martingale luồng thông tin thị trường Ft , tức EQ (V˜t |Fs ) = V˜s , ∀s ≤ t (3.2) với EQ ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất Q Nếu ta chọn thời điểm s = t = T hệ thức cho ta: EQ (V˜T |F0 ) = V˜0 (3.3) F0 = {Ω, ∅} nên EQ (.|F0 ) = EQ (.), tức kỳ vọng có điều kiện F0 kỳ vọng thường Vậy ta có: EQ (V˜T ) = V˜0 (3.4) EQ (k(T )VT ) = k(0)V0 (3.5) hay Vì k(t) hàm tất định nên ta rút V0 cách chia hai vế cho k(0): V0 = k(T ) EQ (VT ) k(0) (3.6) Vì ta giả thiết nguyên lý AAO thỏa mãn nên theo định lý 2.1, tồn phương án đáp ứng φ với giá Vt = Vt (φ) cho VT = XT (= X ) Thay vào biểu thức (3.6) V0 = k(T ) EQ (XT ) k(0) 37 (3.7) Rõ ràng từ giá trị mong muốn X hợp đồng, ta tính tốn vốn đầu tư ban đầu V0 Hơn nữa, với suy luận tương tự trên, ta lại nhận biểu thức xác định giá hợp đồng phái sinh thời điểm t ≤ t ≤ T Vt = k(T ) EQ (XT ) k(t) (3.8) Hệ số k(t) gọi hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discounted coeficient) Nhờ có hệ số mà ta tính lùi giá tài sản từ thời điểm đáo hạn T giá thời điểm trước Trong trường hợp tổng qt, k(t) khơng thiết phải tất định mà cịn q trình ngẫu nhiên Việc tính tốn phức tạp ta nêu biểu thức giá tính lùi Vt sau: Vt = EQ [ 3.2 k(T, ω) XT |Ft ] k(t, ω) (3.9) Áp dụng phương pháp độ chênh thị giá vào mơ hình Black - Scholes : Trước hết ta đưa giả thiết mơ hình Black - Scholes: Các thị trường hoạt động liên tục khơng có độ chênh thị giá; Lãi suất không đổi; Không chia lợi suất cho cổ đông suốt thời kỳ quyền chọn mua cịn hiệu lực; Khơng có chi phí giao dịch; Khơng có hội trao đổi chứng khốn thị trường; Sự diễn biến giá chi phí St hành động khoảng thời gian [0, T ] biểu thị phương trình: dSt = µdt + σdWt St 38 µ σ số, Wt chuyển động Brown tiêu chuẩn Sau ta chứng minh công thức Black - Scholes cho giá quyền chọn để thấy tầm quan trọng nguyên lý AAO việc định giá: Ta cần tính giá quyền chọn mua xây dựng hai tài sản sở cổ phiếu S trái phiếu B Theo mô hình Black - Scholes, giá cổ phiếu St giá trái phiếu Bt ‘ thỏa mãn phương trình: dSt = µSt dt + σSt dWt (3.10) dBt = rBt dt, ≤ t ≤ T (3.11) Gọi Vt giá quyền chọn mua thời điểm t Khi (St ) (Vt ) q trình ngẫu nhiên xét độ đo xác suất ban đầu P Giả sử thị trường độ chênh thị giá, tồn độ đo martingale Q (độ đo rủi ro trung tính) Nếu ta chọn hệ số chiết khấu e−rt S˜t = e−rt St martingale độ đo Q V˜t = e−rt Vt martingale độ đo Q Khi phương trình (3.10) trở thành dS˜t = −re−rt St dt + e−rt dSt = S˜t [(µ − r)dt + σdWt ] (3.12) Ta lại đặt ˜ t = Wt + (µ − r)t/σ W (3.13) ˜ t chuyển động Brown độ đo xác theo định lý Girsanov, W suất Q Khi đó, phương trình (3.10) trở thành ˜t dS˜t = σ S˜t dW với lời giải 39 (3.14) σ2 ˜ ˜ ˜ St = S0 exp(σ Wt − t) (3.15) S˜t martingale độ đo Q Tiếp theo, VT giá quyền chọn thời điểm đáo hạn T , VT phải hàm giá chứng khốn ST thời điểm T : VT = f (ST ) ˜ t = e−rt V˜t martingale độ đo Q nên Vì W V˜t = EQ (V˜T |Ft ) = EQ (e−rT VT |Ft ) Vt = e−rt V˜t = EQ (VT e−r(T −t) |Ft ) = EQ (f (ST )e−r(T −t) |Ft ) (3.16) Ta biến đổi biểu thức ST để chứng minh kỳ vọng có điều kiện (3.16) kỳ vọng khơng điều kiện Theo (3.15) ta có: σ2 ˜ ˜ ˜ ST = S0 exp(σ WT − T ) 2 ˜ t − σ t) S˜t = S˜0 exp(σ W Khử S˜0 hai hệ thức (3.17) (3.18) ta được: ˜T − W ˜ t ) − σ (T − t)] S˜T = S˜t exp[σ(W e −rT ST = e (3.17) (3.18) (3.19) σ2 ˜ ˜ St exp[σ(WT − Wt ) − (T − t)] (3.20) σ2 ˜ ˜ St exp[σ(WT − Wt ) − (T − t)] (3.21) −rt Do ST = e −r(T −t) 40 ˜T −W ˜t Ta nhận thấy biểu thức (3.21), St đo với Ft W độc lập với Ft độ đo Q Do EQ (f (ST )e−r(T −t) |Ft ) = EQ (f (ST )e−r(T −t) ) (3.22) Ký hiệu vế phải (3.22) F (t, x) với x = ST , tức ˜ ˜ F (t, x) = EQ [e−r(T −t) f (xer(T −t) eσ(WT −Wt )−σ /2(T −t) )] (3.23) Vì WT − Wt biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, 1) độ đo Q nên −r(T −t) ∞ F (t, x) = e f (xe √ (r−σ /2)(T −t)+σy T −t −∞ e−y /2 ) √ dy 2π (3.24) Biểu thức F (t, x) dùng để tính giá cho quyền chọn mua lẫn quyền chọn bán Đối với quyền chọn mua f (x) = (x − X )+ Khi ta có F (t, x) = EQ [(e−r(T −t) (xe(r−σ /2)(T −t)+σ(WT −Wt ) − X )+ ] √ = EQ (xeσ θg−σ θ/2 − X e−rθ ) (3.25) g biến ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn θ = T − t Bây ta đặt √ ln(x/X ) + (r + σ /2)θ √ d1 = d2 = d1 − σ θ σ θ Với ký hiệu ta có: √ σ θg−σ θ/2 − X e−rθ )Ig+d2 ≥0 ] ∞ −y /2 √ σ θg−σ θ/2 −rθ e = (xe − X e ) √ dy 2π −d2 d2 −y /2 √ e = (xeσ θg−σ θ/2 − X e−rθ ) √ dy 2π −∞ F (t, x) = EQ [(xe Tách tích phân thành hiệu hai √ tích phân tích phân thứ nhất, ta dùng phép biến đổi z = y + σ θ ta 41 F (t, x) = xN (d1 ) − X e−rθ N (d2 ) (3.26) Nếu đặt x = St ta có cơng thức: Vt = St N (d1 ) − X e−r(T −t) N (d2 ) (3.27) với √ ln(St /X ) + (r + σ /2)(T − t) √ d1 = d2 = d1 − t σ T (3.28) Nếu đặt x = S0 ta có giá quyền chọn mua: V0 = S0 N (d1 ) − X e−rT N (d2 ) √ ln(St /X ) + (r + σ /2)T √ d2 = d1 − T với d1 = σ T Đó cơng thức Black - Scholes cho giá quyền chọn 3.3 (3.29) (3.30) Ứng dụng phương pháp độ chênh thị giá Giả sử tài sản sở gồm cổ phiếu có rủi ro với giá St thời điểm t tài khoản ngân hàng khơng rủi ro có giá Bt thời điểm t Gọi Wt chuyển động Brown tiêu chuẩn không gian xác suất (Ω, F, P ) (Ft ; ≤ t ≤ T ) lọc sinh chuyển động Brown Wt Gọi rt lãi suất giao thời điểm t giả sử thêm rt trình ngẫu nhiên khơng âm thích nghi với lọc (Ft ) Số tiền Bt tài khoản ngân hàng xác định dBt = rt Bt dt, ≤ t ≤ T B0 = 42 (3.31) Mặt khác, giả sử q trình giá chứng khốn (St ), xét độ đo xác suất P cho, thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dS = (µt S − δt )dt + σt SdWt (3.32) σt q trình ngẫu nhiên dương, thích nghi với lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện T Eσt2 dt < ∞ Hệ số µt trình ngẫu nhiên, biểu thị lợi suất trung bình khơng đóng vai trị việc định giá sản phẩm phái sinh Ta giả thiết rằng, phương trình (3.32) có lời giải St khơng âm bình phương khả tích, tức Ω St2 (ω)dP < ∞ Ta xét quyền phụ thuộc, hay gọi tài sản phái sinh, viết cổ phiếu S với hàm thu hoạch h(x) với thời điểm đáo hạn T Ký hiệu C(t) giá tài sản phái sinh thời điểm t Giả sử tài sản phái sinh đáp ứng chiến lược tự tài trợ gồm việc mua bán θt đơn vị cổ phiếu sở b(t) đơn vị tiền ngân hàng, vậy: C(t) = b(t)Bt + θ(t)St t = C(0) + t b(u)dBu + θ(u)dG(u) (3.33) t G(t) = St − δu du, ≤ t ≤ T C(T ) = h(ST ) thời điểm đáo hạn T Từ (3.31) ta suy rằng, xét xác suất P , ta có: dG = S(µt dt + σt dW ), ≤ t ≤ T ˜ t ) sau: Bây ta định nghĩa trình (W ˜ t = (µt − rt )dt + σt dWt σt dW 43 (3.34) (3.35) Khi ta có: ˜ t) dG = S(rt dt + σt dW (3.36) ˜ t trở thành Gọi Q độ đo xác suất cho độ đo W chuyển động Brown tiêu chuẩn Sự tồn độ đo đảm bảo định lý Girsanov St Xem tài khoản Bt đơn vị chuẩn, tỉ lệ S˜t = cho biết giá chứng Bt khoán St thời điểm t lần giá trị đơn vị chuẩn thời điểm Theo công thức Ito từ (3.31) (3.35) tính được: ˜ W ˜ S˜ = −δ˜t dt + σt Sd (3.37) δt δ˜t = Bt Từ (3.37) suy rằng, xét xác suất Q, trình S˜ martingale δ˜t = hay δt = tức cổ phiếu không chia cổ tức Bây giờ, từ (3.32) (3.33) ta có: ˜ ,0 ≤ t ≤ T dC = rt Cdt + θ(t)σt SdW (3.38) Theo công thức Ito, ta t ˜ = C(0) ˜ C(t) + ˜u θ(u)σ(u)S˜u dW (3.39) C(t) ˜ Cơng thức (3.39) chứng tỏ q trình giá C(t) = Bt ˜ (C(t)) ln ln martingale (Q, Ft ) Chú ý rằng, thời điểm đáo hạn T ta có: C(T ) = h(ST ) C(t) ta Vậy tính chất martingale Bt h(ST ) |Ft ], ≤ t ≤ T Ct = Bt EQ [ BT 44 (3.40) EQ [.|Ft ký hiệu xác suất có điều kiện σ -trường Ft xét xác suất Q Nói tóm lại, tốn này, để tính giá C(t) Quyền phụ thuộc (hay tài sản phái sinh), ta phải: i Tìm độ đo xác suất Q cho, xét độ đo trình ˜ t xác định hệ thức (3.35) chuyển động Brown tiêu chuẩn W ii Tính giá trị kỳ vọng (3.40) xác suất Q Ta tìm Q cách áp dụng định lý Girsanov Với trình u(t) = u(t, ω)) thỏa mãn điều kiện T E[exp( u2s ds)] < ∞ ta đặt T ut dt − YT = exp( T u2t dt) định nghĩa độ đo xác suất Q Q(A) = E[1A YT ], A ∈ FT (3.41) 1A hàm tiêu tập A Ta nhận thấy Q tương đương với P , YT > ˜ xác định Theo định lý Girsanov, trình W t ˜ t = Wt − W us ds, ≤ t ≤ T chuyển động Brown tiêu chuẩn xét xác suất Q Theo (3.35) ˜ xác định thế: ta có q trình W t ˜ t = Wt − W với ut = µt − rt σt 45 µs − rs ds σs Ta hoàn tất bước (i) Đối với bước (ii), ta cịn phải tính kỳ vọng có điều kiện cơng thức (3.40) Ta khảo sát trình giá (St ) xác suất Q Thay (3.35) vào (3.32): ˜ t, ≤ t ≤ T dS = (rt S − δt )dt + σt SdW ˜ t chuyển động Brown tiêu chuẩn xác suất Q với W Hệ thức cho thấy lợi suất trung bình rt cổ phiếu St xét xác suất Q với lợi suất trung bình tài sản khơng rủi ro theo hệ thức (3.29) Do đó, xét xác suất Q, hai tải sản sở có lợi suất trung bình, khác độ biến động Việc tính St thực chất việc giải phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính S Trong trường hợp r σ số dương, người ta tìm σ2 ˜ t ], ≤ t ≤ T St = S0 exp[(r − )t + σ W Do giá cổ phiếu ST lúc đáo hạn biến ngẫu nhiên tuân theo luật loga-chuẩn , xét xác suất Q 46 Phụ lục Quyền chọn ngoại lai 1.1 Các quyền chọn ngoại lai (Exotic Options) Các mơ hình Geske (1979), Hodges Selby (1987) Rubinstein đưa Đây quyền chọn lấy quyền chọn khác làm sở (a) Quyền chọn mua xây dựng quyền chọn mua (Call on call) Gọi X1 giá thực thi quyền chọn mua dùng làm tài sản sở, X2 giá thực thi quyền chọn mua xây dựng quyền chọn mua gọi CGBS (S, X1 , T2 ) công thức quyền chọn mua theo mơ hình Black - Scholes mở rộng với giá thực thi X1 thời gian đáo hạn T2 Thu hoạch max[CGBS (S, X1 , T2 ) − X2 , 0] (b) Quyền chọn bán xây dựng quyền chọn mua (Put on call) Thu hoạch max[X2 − CGBS (S, X1 , T2 ), 0] (c) Quyền chọn mua xây dựng quyền chọn bán (Call on put) Thu hoạch max[PGBS (S, X1 , T2 ) − X2 , 0] PGBS giá quyền chọn bán theo công thức Black - Scholes mở rộng với giá thực thi X1 đáo hạn T2 47 (d) Quyền chọn bán xây dựng quyền chọn bán (Put on put) Thu hoạch max[X2 − PGBS (S, X1 , T2 ), 0] 1.2 Quyền chọn với rào cản (Barriers Options) Giả sử ta có quyền chọn xây dựng cổ phiếu St tuân theo mô hình Black - Scholes, giá ban đầu S0 bị chặn lẫn dưới: L < S0 < H Các cận H cận L gọi rào cản quyền chọn Cho g : R → R hàm tất định StM = max0≤s≤t St (giá cổ phiếu lớn khoảng thời gian [0, t]) Stm = min0≤s≤t St (giá cổ phiếu nhỏ khoảng thời gian [0, t]) Ta xây dựng hàm f sau: f (ST , StM , Stm ) = g(ST ) L < STm STM < H L > STm STM > H Ta dùng hàm làm thu hoạch quyền chọn quyền chọn mua với rào cản g(ST ) = (ST − X)+ quyền chọn bán với rào cản g(ST ) = (X − ST )+ , X giá thực thi 1.3 Quyền chọn "Nhìn lại" (Lookbacks) Xét quyền chọn mà lúc đáo hạn T , ta nhìn lại trình diễn biến t từ đến T tìm xem giá trị nhỏ min0≤t≤T St giá trị lớn max0≤t≤T St Khi Nếu lấy thu hoạch ST − min0≤t≤T St ta có quyền chọn mua nhìn lại 48 Nếu lấy thu hoạch max0≤t≤T St − ST ta có quyền chọn bán nhìn lại Nhận xét: Với ký hiệu StM = max0≤s≤t St Stm = min0≤s≤t St ta có ST ST Stm < ST < StM Ta đặt M = λ(0 < λ ≤ 1) m = µ(0 < µ ≤ 1) ST ST thu hoạch quyền chọn mua nhìn lại [λSTM − ST ]+ thu hoạch quyền chọn bán nhìn lại [ST − µSTm ]+ 1.4 Xây dựng quyền chọn lãi suất (Interest rate option) Một quyền chọn mua xây dựng lãi suất hợp đồng quyền chọn mà người giữ hợp đồng có quyền nhận khoản tiền lãi dựa lãi suất biến đổi sau trả khoản tiền lãi khác dựa lãi suất cố định Nếu quyền chọn thực thi, nhà đầu tư bán quyền chọn mua lãi suất phải trả cho người giữ hợp đồng khoản tiền giá thực thi Quyền chọn mua lãi suất dùng nhà đầu tư muốn phịng hộ cho khoản nợ phải trả nợ theo lãi suất thả Bằng cách mua quyền chọn mua lãi suất, nhà đầu tư dự đốn luồng tiền toán lãi suất trả Các quyền chọn tổng hợp 2.1 Quyền chọn kiểu châu Á Quyền chọn châu Á quyền chọn xác định giá tài sản sở S số thời điểm cố định T1 , T2 , , Tn : ST1 , STn , , STn ; Ti ≤ T Cho f hàm tất định đó, thu hoạch AT quyền chọn châu Á thời điểm đáo hạn T ST1 + STn + + STn ) Diễn biến giá tài sản sở S theo mơ hình Black - Scholes khơng AT = f ( 49 2.2 Quyền chọn Quanto Giả sử Việt Nam, dùng tiền Việt Nam mua xăng dầu Singapore phải trả đô la Singapore Vậy có hai nguồn ngẫu nhiên đây: Nguồn thứ biến động giá xăng dầu thị trường Singapore, nguồn thứ hai biến động tỷ giá hối đối VND la Singapore Các hợp đồng tài tính theo loại tiền khác gọi hợp đồng Quanto Gọi St giá loại chứng khoán Singapore tính theo tiền la Singapore Ct giá la Singapore tính theo VND Giả sử St Ct diễn biến theo quy trình: St = S0 exp(µt + σ1 W1 (t)) Ct = C0 exp(νt + ρσ2 W1 (t) + ρσ2 W2 (t)) Trong W1 (t) W2 (t) hai chuyển động Brown độc lập, ≤ ρ ≤ ρ = − ρ2 , µ ν hai số, σ1 σ2 hai số dương Ta xây dựng quyền chọn dựa hai "tài sản sở" là: giá chứng khoán St Singapore tỷ giá đồng đô la Singapore đồng Việt Nam, tuân theo hai công thức Một hợp đồng quyền chọn gọi quyền chọn Quanto 2.3 Quyền chọn theo giỏ (Basket Option) Một giỏ tài sản tổng hợp gồm số cổ phiếu với khối lượng khác Gọi Pt giá thời điểm t giỏ gồm α1 cổ phiếu S1 , α2 cổ phiếu S2 , , αn cổ phiếu Sn Vậy Pt = α1 S1 (t) + α2 S2 (t) + + αn Sn (t) Một quyền chọn xây dựng giỏ làm tài sản gọi quyền chọn theo giỏ 50 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2010), Các phương pháp Tốn học Tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Trọng Nguyên (2010), Cơ sở tốn tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Giáo dục [5] Trần Hùng Thao (2013), Tốn tài bản, NXB Văn hóa Thơng tin [6] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [8] Dieter Sondermann (2006), Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer [9] Michael Meyer (2001), Continuous Stochastic Calculus with Applications to Finance, Chapman and Hall/CRC [10] Morters and Peres (2010), Brownian Motion, Cambridge [11] Jaksa Cvitanic, Fernando Zapatero (2004), Introduction to the economics and mathematics financial markets, The MIT Press [12] Jose Santiago Fajardo, Equivalent Martingale Measures and Lévy Processes, IBMEC Business School, http://www.scielo.br 51 ... Khái niệm lý thuyết độ chênh thị giá: Chương bao gồm khái niệm quan trọng toán tài chính, lý thuyết độ chênh thị giá, thơng tin thị trường, nguyên lý thị trường hiệu hội có độ chênh thị giá để có... KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ Chương trình bày khái niệm quan trọng Tốn tài chính, lý thuyết độ chênh thị giá Dưới giả thiết thị trường khơng có độ chênh thị giá, số tài sản tài martingale... Đây lý để chọn đề tài luận văn là: "Lý thuyết độ chênh thị giá Tốn tài chính" Bản chất phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing) dựa vào nguyên lý AAO (khơng có độ chênh thị giá) ngun lý