Các dạng toán phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn.. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán[r]

Tài liệu toán 12 năm học 2018

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Phương trình mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉphương mặt phẳng

• Vectơ n0 vectơ pháp tuyến (VTPT)   giá n vng góc với  

• Hai vectơ a b,  không phương cặp vectơ chỉphương (VTCP)   giá chúng song song nằm  

Chú ý:

• Nếu n VTPT   kn k 0   VTPT   • Nếu a b,  cặp VTCP   n a b, VTPT  

b) Phương trình tổng quát mặt phẳng AxBy Cz D0 với A2 B2C2 0 • Nếu   có phương trình AxBy Cz D0 nA B C; ;  VTPT   • Phương trình mặt phẳng qua M x y z0 0; ;0 0 có VTPT nA B C; ;  là:

 0  0  0 A xx B yy C zz 

c) Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

0

D  AxBy Cz 0   qua gốc tọa độO

0

A By Cz D0   Ox   Ox

0

B AxCzD0   Oy   Oy

0

C  AxByD0   Oz   Oz

0

AB CzD 0      Oxy      Oxy

0

AC  ByD 0      Oxz      Oxz

0

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Chú ý:

• Nếu phương trình   khơng chứa ẩn   song song chứa trục tương ứng • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  :x y z

a b c

    Ở   cắt trục toạ độ điểm a; 0; , ; 0; , ; 0; 0 b  c  với abc0

2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A x y z A; ;A A mặt phẳng   :AxBy Cz D 0

Khi khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng   tính theo cơng thức  

2 2

, AxA ByA CzA D

d A

A B C

   

  

 

   

3 Vịtrí tương đối

a) Vịtrí tương đối hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  :A x1 B y C z1  1 D1 0   :A x2 B y C z2  2 D2 0

•    1 1

2 2

A B C D

A B C D

   

•    1 1

2 2

A B C D

A B C D

   

•      1

2

A B

A B

  1

2

B C

B C •       0A A1 2B B1 2C C1 2  b) Vịtrí tương đối mặt phẳng mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu   :AxBy Cz D0     2  2 2 2

:

S xa  y b  zc R

Để xét vị trí    S ta làm sau:

•Bước Tính khoảng cách từ tâm I  S đến  

•Bước

+ Nếu d I ,  R   không cắt  S

Tài liệu toán 12 năm học 2018 + Nu d I ,   R   cắt  S theo đường trịn có phương trình      

2 2 2

) :

0

x a y b z c R

C

Ax By Cz D

       

    



Bán kính  C r  R2 d I ,  

Tâm J  C hình chiếu vng góc I  

4 Góc hai mặt phẳng

Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng   :A x1 B y C z1  1 D1 0   :A x2 B y C z2  2 D2 0 Góc     bù với góc hai VTPT n, n Tức

   

   2

2 2 2

1 1 2

cos , cos ,

.

n n A A B B C C

n n

n n A B C A B C

   

 

      

   

   

 

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho phương trình:mx + m(m - 1)y − (m2− 1)z - = (1)

a Tìm điều kiện m để phương trình (1) phương trình mặt phẳng, gọi họ (Pm)

b Tìm điểm cố định mà họ (Pm) qua

c Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt trục toạ độ A, B, C

 Tính thể tích tứ diện OABC

 Tìm m để ∆ABC nhận điểm 1; ; 18 24

G  

  làm trọng tâm

Nhận xét: Như vậy, đểtìm điểm cốđịnh mà họ mặt phẳng (Pm) qua ta thực theo bước:

Bước 1. Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cốđịnh họ (Pm), Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m

Bước 2. Nhóm theo bậc m cho hệ số 0, từđó nhận (x0; y0; z0)

Bước 3. Kết luận

Ví dụ 2. Cho phương trình:(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) =

a Tìm điều kiện a, b để phương trình cho phương trình mặt phẳng, gọi họ (Pa,b)

b Giả sử (Pa,b) với a, b ≠ cắt trục toạ độ A, B, C Tìm a, b để:

 ∆ABC nhận điểm G 1; 4;4

 

 

  làm trọng tâm

 ∆ABC nhận điểm H 2; 1; 1( ) làm trực tâm Phương pháp

Phương trình:Ax + By + Cz + D = phương trình mặt phẳng chỉkhi A2 + B2 + C2 >

Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) qua điểm cốđịnh

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vịtrí M số mặt phẳng họ (Pm) qua M

Tµi liệu toán 12 năm học 2018 T din OABC tích nhỏ với a > 0, b >

c Chứng tỏ họ (Pa,b) ln chứa đường thẳng cố định

1 ví dụ minh họa Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết:

a (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(1; 1; 2) B(1; −3; 2)

b (P) qua điểm C(1; 2; −3) song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + =

c (P) qua điểm D(1; 1; 2) có cặp vtcp a(2; -1, 1), b(2; -1; 3)

d (P) qua điểm E(3; 1; 2) vng góc với hai mặt phẳng:(R1): 2x + y + 2z - 10) (R2): 3x + 2y + z + =

Ví dụ 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5)

a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B C

b Lập phương trình mặt cầu nhận đường trịn ngoại tiếp ∆ABC làm đường trịn lớn Ví dụ 3. Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1)

a Tìm điểm M thuộc Oy cho ∆MAB cân M

b Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B song song với trục Oy

c Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua hai điểm A, B cắt (P) theo thiết diện đường tròn lớn

Phương pháp

Đểviết phương trình mặt phẳng (P) ta lựa chọn cách sau:

Cách 1: Thực theo bước:

Bước 1. Xác định M0(x0; y0; z0) ∈(P) vtpt n(n1; n2; n3) (P)

Bước 2. Khi đó:(P): 0 0

1 qua M (x ;y ;z ) vtpt n(n ; n ; n )

 

  ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) =

Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹtích

Chú ý: Chúng ta có kết quả:

1 Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0; y0; z0), ln có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) =

2 Mặt phẳng (P) có vtpt n(n1; n2; n3), ln có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = Đểxác định (P), ta cần xác định D

3 Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, ln có dạng: (P): Ax + By + Cz + E =

Đểxác định (P), ta cần xác định E

4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng (P) qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

có phương trình:(P): x a +

y b +

z c =

5 Với phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm khơng thẳng hàng M, N, P lựa chọn hai cách sau:

Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có: n MN

n MP

 ⊥  

⊥ 

 



 ⇔ n= MN, MP  Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) cho bởi:(P): qua M

vtpt n

 

 

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A2 + B2 + C2 >

Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vớ d 4. Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − =

a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (Q)

b Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) cho I, A, B thẳng hàng Ví dụ 5. Cho điểm A(2; −2; −4)

a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A chứa trục Ox

b Tìm điểm B thuộc mặt phẳng (P) cho ∆OAB Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau:

a Đi qua điểm G(1; 2; 3) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho G trọng tâm ∆ABC

b Đi qua điểm H(2; 1; 1) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho H trực tâm ∆ABC

c Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương trục toạ độ ba điểm A, B, C cho tứ diện OABC tích nhỏ

1 ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình là: (P): x − 3y − 3z + = 0, (Q): (m2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + =

Với giá trị m thì:

a Hai mặt phẳng song song ?

b Hai mặt phẳng trùng ?

c Hai mặt phẳng cắt ?

d Hai mặt phẳng vng góc ?

Ví dụ 2. Cho hai mặt phẳng (P1) (P2) có phương trình là:(P1): Ax + By + Cz + D = 0,

(P2): Ax + By + Cz + D' = với D ≠ D'

a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P1) (P2)

b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P1) (P2)

Áp dụng với hai mặt phẳng:(P1): x + 2y + 2y + = 0, (P2): 2x + 4y + 4y + =

Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) (P2) song song với (giả sửcó vtpt n(A; B; C) ) thường

gặp thêm câu hỏi:

1 Tính khoảng cách (P1) (P2)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách (P1), (P2)

3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))

4 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1và:

a Tiếp xúc với (P2)

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

5 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1và cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

Với yêu cầu "Tính khoảng cách d (P1) (P2)" sử dụng kết quả:d = d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)),

với M1∈ (P1)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng song song cách (P1), (P2)", lựa chọn hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng tính chất): Thực theo bước:

Bước 1.Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho sẽcó dạng:(P): Ax + By + Cz + D = (*) Bước 2.Lấy điểm E1∈ (P1) E2∈ (P2), suy đoạn thẳng AB có trung điểm E(x0; y0; z0)

DẠNG Vịtrí tương đối hai mặt phẳng

Phương pháp

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Để(P) cách (P1) (P2) điều kiện (P) qua điểm M, tức là:

Ax0 + By0 + Cz0 + D = ⇒Giá trị D

Bước 3.Thay D vào (*), ta nhận phương trình (P)

Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi:d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒Phương trình (P)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))", sử dụng ý tương cách yêu cầu (2), cụ thể:

Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) cần dựng khi:d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) ⇒Phương trình (Q)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 thoả mãn điều kiện K", thực

theo bước:

Bước 1. Gọi M2là hình chiếu vng góc M1trên (P2) Toạđộ điểm M2được xác định cách: 2

2

M M (P ) M (P )

⊥ 

 ∈

 ⇔

1

2

M M t.n M (P )

 =

 

∈ 

  Bước 2. Với điều kiện K là:

a Tiếp xúc với (P2) mặt cầu cần dựng mặt cầu đường kính M1M2

b Cắt (P2) theo thiết diện đường trịn lớn mặt cầu cần dựng mặt cầu tâm M2và bán kính R = M1M2 = d

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán

kính r", thực theo bước:

Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R Ta lần lượt:  (S) tiếp xúc với (P1) M1khi:M I1 ⊥(P )1 ⇔ M I1 =t.n

 (S) cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r khi:r2 + M2I2 = R2 = M1I2⇒Giá trị t ⇒

Toạđộtâm I

Bước 2. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R = M1I

Ví dụ 3. Cho điểm M1(2; 1; −3) hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình:

(P1): x + y + 2z + = 0,

(P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m =

1 Tìm để (P1) song song với (P2)

2 Với m tìm câu 1) hãy:

a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P1) (P2)

b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P1) (P2)

c Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2))

d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 tiếp xúc với (P2)

e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường trịn lớn

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính

r=6

Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) (P2) cắt thường gặp thêm câu hỏi:

1 Tính góc (P1) (P2)

2 Viết phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2)

3 Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2)

4 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) thoảmãn điều kiện K

5 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1và:

a Tiếp xúc với (P2)

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

Với u cầu "Tính góc (P1) (P2)", có ngay:

 (P1) có vtpt n1(A1; B1; C1) (P2) có vtpT n2(A2; B2; C2)

 Gọi αlà góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) (0 ≤α≤

2

π

Tài liệu toán 12 năm học 2018 cosα =

1

n n n n

 

  = 2

2 2 2

1 1 2

A A B B C C

A B C A B C

+ +

+ + + +

Lưu ý: Để (P1) ⊥ (P2) ⇔ cosα = ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 =

Với yêu cầu "Viết phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2)", thực theo bước sau: Bước 1. Giao tuyến (d) hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoảmãn hệ:

2

(P ) (P )

 

 (1)

Bước 2. Lựa chọn cách sau:

Cách 1: Lấy điểm M∈(d) gọi u vtcp (d) thì:u=  n , n1 2.Từđó, ta có:(d): Qua M vtcp u

 

 

Cách 2: Lấy hai điểm M N thuộc (d), ta có:(d): Qua M Qua N

 

 ⇔ (d):

Qua M vtcp u MN

 

=   

Cách 3: Đặt x = f1(t) (hoặc y = f2(t) z = f3(t)) (t ∈ ), ta biến đổi hệ(1) dạng:

1 x f (t) y f (t) z f (t)

=   =   = 

, t ∈ 

Đó phương trình tham số đường thẳng (d)

Lưu ý: Như vậy, để thực yêu cầu cần có thêm kiến thức vềđường thẳng

trong không gian

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2)", lập luận:

Mặt phẳng phân giác (Q) góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoảmãn:

d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒Hai mặt phẳng (Q1) (Q2)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) thoả mãn điều kiện K", thấy thông qua yêu

cầu "Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B thoả mãn điều kiện K" dạng toán sẽđược thấy chủđềvềđường thẳng

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 thoả mãn điều kiện K", thực theo bước:

Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R

(S) tiếp xúc với (P1) điểm M1 suy ra:M I1 ⊥(P )1 ⇔ M I // n 1 1 ⇔ M I1 =t.n1 Bước 2. Với điều kiện K là:

a Tiếp xúc với (P2) thì:M1I = d(I, (P2)) ⇒Giá trị tham số t ⇒ Toạđộtâm I

Lưu ý: Với giảthiết cịn sử dụng phương trình mặt phẳng phân giác (Q1),

(Q2) đểxác định toạđộtâm I

b Cắt (P2) theo thiết diện đường trịn lớn thì:I ∈ (P2)) ⇒Giá trị tham số t ⇒ Toạđộtâm I

c Cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r thì:

R2 = d2(I, (P2)) + r2⇔ M1I2 = d2(I, (P2)) + r2⇒Giá trị tham số t ⇒ Toạđộtâm I.

Bước 3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R = M1I

Ví dụ 4. Cho điểm M1(2; 5; 0) hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): 3x − 2y − z + = 0, (P2): x − 3y + 2z − =

a Chứng tỏ (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d) Tính góc (P1), (P2) tìm vtcp đường thẳng (d)

b Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2)

c Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 tiếp xúc với (P2)

d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường trịn lớn

e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính

r= 21/

Chú ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) (R) có chứa tham sốchúng ta thường gặp thêm câu hỏi "Xác định giá trị tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) (R) đơi vng góc với Tìm điểm chung ba mặt phẳng" Khi đó,

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Bc 1. Tìm vtpt nP

 , nQ

 , nR



mặt phẳng (P), (Q), (R)

Bước 2. Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đơi vng góc với nhau, điều kiện là:

P Q

P R

R Q

n n

n n

n n

 ⊥

 ⊥



 ⊥



      ⇔

P Q

P R

R Q

n n n n n n

 =

 =



 =



     

Bước 3. Toạđộ điểm chung I ba mặt phẳng (P), (Q), (R) nghiệm hệphương trình tạo (P),

(Q), (R)

Ví dụ 5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) (R) có phương trình: (P): x + y + z – = 0; (Q): x – 2y + z = 0; (R): kx + (m – 1)y – z + =

a Xác định giá trị m k để ba mặt phẳng qua đường thẳng

b Xác định giá trị m k để ba mặt phẳng đơi vng góc với Tìm điểm chung ba mặt phẳng

Hình Hình Hình

Chú ý: Trong phần sẽquan tâm nhiều tới dạng toán:

D¹ng 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho trước

D¹ng 2: Viết phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K

cho trước

D¹ng 3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thỏa mãn điều kiện K cho trước D¹ng 4: Viết phương trình mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K

cho trước

2 Trong trường hợp mặt phẳng không cắt mặt cầu, cụ thểvới mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) khơng cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) thường gặp thêm câu hỏi:

1 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

I

P H

I

P H

I

P H

R Phương pháp

Ta thực theo bước:

Bước 1. Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu (S) Xác định d = d(I, (P) Bước 2. So sánh d với R đểđưa kết luận:

 Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅(Hình trang bên)

 Nếu d = R ⇔(P) tiếp xúc với (S) H (Hình trang bên)

 Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) đường tròn nằm mặt phẳng (P) (Hình trang

bên)

Và trường hợp (S): x2 + y2 + z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, thì phương

trình đường trịn (C) có phương trình: (C):

Tài liệu toán 12 năm học 2018 a.Tiếp xúc với (S)

b.Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c.Cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

2 Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB có độ

dài lớn

3 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)

Ta lần lượt:

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực theo

các bước:

Bước 1. Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có phương trình:(Q): Ax + By + Cz + D = Bước 2. Với điều kiện K là:

a (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:d(I, (Q)) = R ⇒Giá trị D ⇒Phương trình (Q) b (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra:

I ∈ (Q)) ⇒Giá trị D ⇒Phương trình (Q)

c (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r, suy ra:

2

d(I, (Q))= R −r ⇒Giá trị D ⇒Phương trình (Q)

Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm B cho AB có độ dài lớn nhất", thấy đường thẳng qua I có vtcp n

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước: Bước 1. Tìm toạđộđiểm I’ đối xứng với I qua (P)

Bước 2. Mặt cầu (S') có tâm I' bán kính R

Với u cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)", em học sinh cần có thêm kiến thức vềđường thẳng đểtrình bày theo bước:

Bước 1. Gọi (T) mặt cầu thoảmãn điều kiện đầu giả sử(T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự M H (H hình chiếu vng góc I (P)), suy M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi:

Qua I (d) :

vtcp n

 

 

Bước 2. Tiếp điểm H (T) với mặt phẳng (P) giao điểm (d) với (P)

Bước 3. Tiếp điểm M (T) với mặt cầu (S) giao điểm (d) với (S)

Bước 4. Viết phương trình mặt cầu đường kính MH

1 ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình:

(P): 2x − 3y + 2z − = 0,

( ) (2 ) (2 )2

(S) : x−8 + y+8 + z−7 =68 a Xác định vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r= 51

e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)

Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) điểm M

chúng ta thường gặp thêm câu hi:

Tài liệu toán 12 năm häc 2018 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

a Tiếp xúc với (S)

b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

3 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) tạiđiểm N cho MN có độdài lớn

4 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

Với yêu cầu "Tìm tọa độ tiếp điểm M (P) (S)", thấy M hình chiếu vng góc I

trên (P)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu (2.a) cịn thực sau:

Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) điểm N, suy N điểm đối xứng với M qua I

Bước 2. Phương trình mặt phẳng (Q) cho bởi:(Q) : Qua N vtpt n

 

 

Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt mặt cầu (S) điểm N cho MN có độ dài lớn nhất", thấy đường thẳng (d) qua hai điểm M I

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước: Bước 1. Tìm toạđộđiểm I’ đối xứng với I qua (P), suy I' đối xứng với I qua M

Bước 2. Mặt cầu (S') có tâm I' bán kính R

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình:(P): 2x − y + 2z − = 0, ( )2 ( )2

(S) : x−3 +y + z−4 =9 a Chứng tỏ mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm toạ độ tiếp điểm M (P) (S)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) chia (S) thành hai phần có tỉ số thể tích 20 e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) theo thiết diện đường tròn

(C) thường gặp thêm câu hỏi:

1 Xác định toạđộtâm tính bán kính (C)

2 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

a Tiếp xúc với (S)

b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C’) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C’))

3 Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB có độdài

lớn

4 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

5 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)

Với yêu cầu "Xác định toạ độ tâm tính bán kính (C)", thực theo bước: Bước 1. Bán kính rC (C) xác định rC= R2−d(I, (P))

Bước 2. Toạđộtâm (C) hình chiếu vng góc M I (P)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn có bán kính (C)" cịn thực sau:

Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện đường trịn có tâm N, suy N điểm đối

xứng với M qua I

Bước 2. Phương trình mặt phẳng (Q) cho bởi:(Q) : Qua N vtpt n

 

 

Các yêu cầu lại thực tương tựnhư trường hợp (P) khơng cắt (S)

Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình:(P): x + 2y + 3z − 10 = 0, ( )2 ( )2

Tài liệu toán 12 năm học 2018 a Chng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định toạ độ tâm M tính

bán kính r (C)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường trịn lớn

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính r

e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)

1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Lập phương trình mặt phẳng ( )P biết:

1 ( )P qua A(1;2; 3), (4; 2; 1), (3; 1;2)B   C  ;

2 ( )P mặt phẳng trung trực đoạn AC ( Với A C, câu 1); 3 ( )P qua M(0; 0;1), (0;2; 0)N song song với AB; 4 ( )P qua hình chiếu A lên mặt phẳng tọa độ

Bài Cho hai mặt phẳng có phương trình( ) : x   y z & ( ) : 3 x   y z

Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ), ( )  mặt phẳng ( )P 1 Qua điểm A(1; 8;2)

2 Vng góc với mặt phẳng ( ) :Q x8y  z

3 Tạo với ( ) :R x2y2z 1 góc  với cos

33  Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết:

1 ( ) qua M(2; 3;1)và song song với mp( ) :P x2y3z 1 0;

2 ( ) qua A2;1;1 , B   1; 2; 3 ( ) vng góc với ( ) : x  y z 0; 3 ( ) chứa trục Ox vng góc với ( ) : 2Q x3y  z

4 ( ) qua ba điểm A(2; 8;5), (18;14; 0), (12; 8; 3).B C

5 ( ) mặt phẳng trung trực EF với E(5;2;7), (1; 8;1).F 6 ( ) qua D(2; 3;5) song song với mặt phẳng (Oyz)

7 ( ) qua G(1; 3;2) vng góc với hai mặt phẳng ( ) : x2y5z 1 0, ( ) : 2 x3y  z 8 ( ) qua hình chiếu điểm H( 2;1;5) trục tọa độ

Bài Lập phương trình  P trương hợp sau:

1  P qua A1;2;1 song song với  Q x:  y 3z 1 ; 2  P qua M0;1;2 , 0;1;1 , 2; 0; 0 N  E  ;

3  P mặt phẳng trung trực đoạn MN (M N, ý 2) ; 4  P qua hình chiếu A(1;2; 3) lên trục tọa độ ;

5  P qua B1;2; , 0;2; 0 C  vng góc với  R : 1x   y z ;

6  P qua D1;2; 3và vng góc với hai mặt phẳng :  :x 2 ;   :y  z Bài Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), (1;2;1),B C(2; 1;2)

1 Lập phương trình mặt phẳng qua A B, cắt trục Oz điểm M cho diện tích tam giác MAB (đvdt) 2 Lập phương trình mặt phẳng qua C A, cắt trục Oy điểm N cho thể tích khối tứ diện ABCN 12 (đvtt) 3 Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm B C, tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện OABC

Bài Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;2; 3), ( 2; 3; 1)B  , C(0;1;1)D( 4; 3;5)  Lập phương trình mặt phẳng ( )

biết:

1 ( ) qua A chứa Ox

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết:

1 ( ) qua A1;1;1 , (3; 0;2) B khoảng cách từ C1; 0; 2 đến ( ) 2; 2 ( ) cách hai mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 1 0, ( ) :Q x2y2z 4

3 ( ) qua giao tuyến hai mặt phẳng ( )P ( )Q , đồng thời ( ) vuông góc với mặt phẳng ( ) : 3 x2y  z Bài Lập phương trình ( )P biết ( )P :

1 Song song với  Q : 2x3y6z140 khoảng cách từ O đến ( )P

2 Đi qua giao tuyến hai mp ( ) : x3z 2 0; ( ) : y2z 1 0, khoảng cách từ 0; 0;1

2

M 

  đến (P) Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết

1 ( ) qua A(1; 0;2), (2; 3; 3)B  tạo với mặt phẳng ( ) :4 x   y z góc 600

2 ( ) qua C(2; 3;5), vng góc với ( ) :P x5y  z tạo với mặt phẳng ( ) :2Q x2y  z góc 450 Bài 10 Cho mặt phẳng ( ) :2P x y 2z 3 ba điểm A(1;2; 1), B(0;1;2), ( 1; 1; 0).C  

1 Tìm điểm M Ox cho d M P( , ( ))3

2 Tìm điểm N Oy cho điểm N cách mặt phẳng ( )P điểm A 3 Tìm điểm K ( )P cho KBKC

2 KA 4 Tìm điểm H ( )P cho HAHBHC Bài 11

1 Tìm m n, để mặt phẳng sau qua đường thẳng:

 P :xmynz 2 0,  Q x:  y 3z 1  R : 2x3y  z Khi viết phương trình mặt phẳng

( ) qua đường thẳng chung tạo với ( )P góc  cho cos 23

679 

2 Cho ba mặt phẳng: ( ) :1 x   y z 0; ( ) : 22 x3y4z 1 ( ) :3 x2y2z 4

a) Chứng minh cặp mp ( )1 ( )2 ; ( )1 ( )3 cắt nhau;

b) Viết phương trình ( )P qua A1; 0;1và giao tuyến ( )1 ( )2 ;

c) Viết phương trình ( )Q qua giao tuyến hai mp ( )1 ( )2 đồng thời vng góc với mp ( )3

3 Cho ba mặt phẳng ( ) :(4P a x) (a5)yaz a ( ) :2Q x3ybz 5 0; ( ) :3R xcya c a z(  )  c

a) Biện luận vị trí tương đối hai mặt phẳng ( )P ( ).Q b) Tìm a c, để ( )P song song với ( ).R

c) Tìm a c, để ( )P qua điểm A(1; 3; 2) ( )P vng góc với ( ).R Bài 12 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết

1 ( ) qua hai điểm A(1;2; 1), (0; 3;2) B  vng góc với ( ) : 2P x   y z 2 ( ) cách hai mặt phẳng ( ) : x2y2z 2 0, ( ) : 2 x2y  z 3.( ) qua hai điểm C( 1; 0;2), (1; 2; 3) D  khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng ( ) 4 ( ) qua E(0; 1; 1) ( ,( )) 2; ( ,( )) 11,

7

d A   d B   A(1;2; 1), (0; 3;2). B 

5 Qua hai điểm A(1;2; 3), (5; 2; 3)B  ( ) tạo với mặt phẳng ( ) góc 45 ,0 với ( ) : 4 x   y z 6 Qua C(1;1; 1), ( ) tạo với mặt phẳng ( ) : x  y góc 600 đồng thời ( ,( ))

3

d O   Bài 13 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết ( )

1 Cách hai mặt phẳng ( ) : 51 x2y7z 8 0,( ) : 52 x2y7z600

2 Song song với ( ) : 63 x3y2z 1 khoảng cách từ A(1; 2;1) đến mặt phẳng ( ) 3 Qua hai điểm B( 5; 0; 3),  C(2;5; 0) đồng thời ( ) hai điểm M(1; 2; 6)  N( 1; 4;2). 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 4 Qua D(1;3; 1), vng góc với mặt phẳng 3x2y2z 4 d E( ,( )) 3, với E(5; 2; 3)

5 Qua F(4;2;1) ( ,( )) 7, ( ,( ))

3

d I   d J   I(1;1;2) J(3; 4; 1)

1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện Vấn đề1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Câu 115 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x z  2 Vectơ vectơ pháp

tuyến  P ?

A. n  1;0; 1  B. n3; 1;2  C n3; 1;0  D. n3;0; 1 

Câu 116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a b khác 0 Mệnh đềnày sau đúng?

A          

 ,

a P

a b b P



  



 vectơ pháp tuyến  P

B.      

  



,

,

,

a P b P

a b a k b k

 

 

 

  vectơ pháp tuyến  P

C.       

  



,

,

,

a P b P

k a b a k b k

 

 

 

  vectơ pháp tuyến  P

D.      

  



,

,

,

a P b P

a b a k b k

 

 

 

  vectơ pháp tuyến  P

Câu 117. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   :Ax ByCz D 0

Mệnh đềnào sau đúng?

A Nếu D 0   song song với mặt phẳng Oyz B. Nếu D 0   qua gốc tọa độ

C. Nếu    

0

BC

A D   song song với trục Ox

D. Nếu    

0

BC

A D   chứa trục Oy

Câu 118. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 Q : 2x y 5z150 điểm E1;2; 3  Mặt phẳng  P qua E song song với  Q có phương trình là: A. P :x2y3z 150B.  P :x 2y3z 150 C. P : 2x y 5z 150D.  P : 2x y 5z 150 Câu 119. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0;1;1 1;2;3

B Viết phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với đường thẳng AB

A  P x:  y 2z 3 0 B  P x:  y 2z 6 0 C  P x: 3y4z 7 0.D  P x: 3y4z260 Câu 120. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P

qua điểm G1;1;1 vng góc với đường thẳng OG có

phương trình là:

A  P x:    y z 0 B.  P x:   y z C.  P x:   y z D. P x:    y z Câu 121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

2;1; ,  1;0;4 , 0; 2; 1  

A B C Phương trình sau

đây phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC?

A x 2y5z  5 B. x2y5z 0 C. x 2y5z  5 D. 2x y 5z 5

Câu 122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 4;1; 2 

A B5;9;3 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB là:

A 2x 6y 5z 400 B. x 8y 5z41 0 C. x 8y5z350 D. x8y 5z470 Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

  : 4x3y7z 3 điểm I1; 1;2  Phương trình mặt phẳng   đối xứng với   qua I là:

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Cõu 124. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

3; 1;2

A  , B4; 1; 1   C2;0;2 Mặt phẳng qua

ba điểm A B C, , có phương trình :

A 3x3y z 140 B. 3x3y z  8 C. 3x2y z  8 D. 2x3y z  8

Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng   chứa trục Oz qua điểm P2; 3;5  có phương trình là: A   : 2x3y0 B.   : 2x3y0

C.   : 3x2y0 D.  :y2z0

Câu 126. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1; 1;5 

M N 0;0;1 Mặt phẳng   chứa M N, song song với trục Oy có phương trình là:

A   : 4x z  1 B.   :x4z 2 C.   : 2x  z D.  :x4z 1

Câu 127. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  

đi qua điểm M 0;0; 1  song song với giá hai vectơ

   

 1; 2;3 ,  3;0;5

a b Phương trình mặt phẳng   là:

A.  : 5 x2y 3z  3

B.   : 5x2y3z21 0 C.   : 10x 4y6z 21 0 D.   : 5x2y3z 21 0

Câu 128. Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng   qua 2; 1;1 

A vng góc với hai mặt phẳng  P : 2x z  1  Q y: 0 Phương trình mặt phẳng   là:

A   : 2x  y B.   :x2z 4 C.   :x2y z 0 D.  : 2x  y z

Câu 129. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2;0; 1 

P , Q1; 1;3  mặt phẳng  P : 3x2y z  5 Gọi   mặt phẳng qua

,

P Q vng góc với  P , phương trình mặt phẳng   là:

A   : 7 x11y z  3 0B.   : 7x11y z  1 C.  : 7 x11y z 150D.   : 7x11y z  1 Câu 130. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  

cắt ba trục tọa độ ba điểm M8;0;0, N0; 2;0  0;0;4

P Phương trình mặt phẳng   là:

A  :

8

x y z

   

 B. :4

x y z

   



C.   :x4y2z0 D.  :x4y2z 8 Câu 131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

4; 3;2 

A Hình chiếu vng góc A lên trục tọa

độ Ox Oy Oz, , theo thứ tự M N P, , Phương trình mặt phẳng MNP là:

A 4x3y 2z 5 0 B. 3x4y6z120 C. 2x3y4z  1 D.    1

4

x y z

Câu 132. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng  P cắt trục Oz điểm có cao độ song song với mặt phẳng

Oxy Phương trình cửa mặt phẳng  P là: A  P :z 2 B. P :x 2

C.  P :y  z D. P :x  y

Câu 133. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;3

G Mặt phẳng   qua G , cắt Ox Oy Oz, ,

, ,

A B C cho G trọng tâm tam giác ABC

Phương trình mặt phẳng   là:

A.  : 2x3y6z180B.   : 3x2y6z180 C.  : 6x3y2z180D.   : 6x3y3z180 Câu 134. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

2;1;1

H Mặt phẳng   qua H , cắt Ox Oy Oz, ,

, ,

A B C cho H trực tâm tam giác ABC

Tµi liệu toán 12 năm học 2018 A : 2x   y z 0 B.   :x2y z  6

C.   :x y 2z 6 D.  : 2x   y z Câu 135. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

 1;6;2 , 0;0;6 ,

S  A B0;3;0 , C2;0;0 Gọi H

chân đường cao vẽ từ S tứ diện Phương trình

đây phương trình mặt phẳng SBH:

A x5y7z150 B. 5x y 7z 150 C. 7x 5y  z 150 D. x7y 5z 150 Vấn đề KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT

PHẲNG

Câu 136 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x4y2z 4 điểm A1; 2;3  Tính khoảng cách d từ A đến  P

A.

d B. 29

d C 29

d D.

3

d Câu 137 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H hình

chiếu vng góc điểm A2; 1; 1   mặt phẳng   :16x12y15z 4 Tính độdài đoạn thẳng AH

A 55 B. 11

5 C.

11

25 D. 22

5

Câu 138 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;1;3

A , B1;3;2, C1;2;3 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng qua ba điểm A B C, ,

A B. C.

2 D.

3

Câu 139 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x2y6z140 mặt cầu  S x: 2y2z22x  y z 220

Khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S tới mặt phẳng  P là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 140 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu  S có tâm I2;1; 1  tiếp xúc với mặt phẳng

  : 2x2y z  3 Bán kính  S bằng:

A B 2

3 C

4

3 D

2

Câu 141 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3, 2, , 3,2,0  

A   B , C0,2,1 D1,1,2 Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng BCD có bán kính bằng: A 9 B 5 C 14 D 13

Câu 142 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x y 3z 6 mặt cầu     2  2 2

: 25

S x  y  z  Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn Đường trịn giao tuyến có bán kính r bằng:

A r6 B r5 C r D r Câu 143 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S x: 2y2z26x4y120

Mặt phẳng sau

đây cắt  S theo đường trịn có bán kính r3? A x  y z 30 B 2x2y z 120 C.4x3y z 4 260D.3x4y5z17 20 2 0 Câu 144 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm 2;1;1

I mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 Biết mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu  S

A.  S : x2 2 y1 2 z 128 B.   S : x2 2 y1 2 z 1210 C   S : x2 2 y 1 2 z 12 8 D.  S : x2 2 y 1 2 z 1210

Câu 145 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2z22y2z 1 0

và mặt phẳng  P : 2x2y2z150 Khoảng cách ngắn

điểm M  S điểm N  P là:

A 3

2 B

3

3 C

3

2 D

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Cõu 146 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt

phẳng song song  P  Q có phương trình

2x y z  0 2x y z   7 Khoảng cách hai mặt phẳng  P  Q bằng:

A 7 B. C.7 D. Câu 147 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

  : 3x2y z  5 đường thẳng

1

:

2

x y z

   Gọi   mặt phẳng chứa  song song với mặt phẳng   Tính khoảng cách  

 

A

14 B.

9

14 C.

3

14 D.

3 14 Vấn đề VỊTRÍ TƯƠNG ĐỐI

Câu 148. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x3y4z200  Q : 4x13y6z400 Vịtrí tương đối  P  Q là:

A Song song B Trùng

C Cắt khơng vng góc D Vng góc Câu 149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P x: 2y2z140  Q : x 2y2z160 Vịtrí tương đối  P  Q là:

A Song song B Trùng

C Cắt khơng vng góc D Vng góc Câu 150. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cặp mặt phẳng

nào sau song song với nhau?

A. P : 2x   y z  Q : 4 x2y2z100 B. R x:    y z  S : 2x2y2z 6

C. T :x  y z  :

2 2

x y z

U   

D. X : 3x y 2z 3  Y : 6z2y 6 Câu 151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt

phẳng   :x y 2z 1 0,   :x   y z   :x  y Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A.      B.      C       D      

Câu 152. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  1;2;1

A  hai mặt phẳng  P : 2x4y6z 5 0,  Q x: 2y3z0 Mệnh đềnào sau đúng? A. Mặt phẳng  Q qua A song song với  P B. Mặt phẳng  Q không qua A song song với  P C. Mặt phẳng  Q qua A không song song với  P D. Mặt phẳng  Q không qua A không song song với  P

Câu 153. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P x: 3y2z 1   Q : 2m1x m 1 2 m y 2m4z140 Để

 P  Q vng góc với m?

A.m1

2

m  B.m 1

2

m 

C.m2 D.

2

m

Câu 154. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   :x y nz 3   : 2x my 2z 6 Với giá trịnào sau m n,   song song với   ?

A.m 2 n1 B.m1 n 2

C.

2

m  n1 D.m1

2

n 

Câu 155. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  3;2;2

A  , B2;2; 2 và vectơ v2; 1;3  Gọi  P mặt phẳng chứa AB song song với vectơ v Xác định

,

m n để mặt phẳng  Q : 4x my 5z  1 n trùng với  P

A m23, 45n B m 23, 45n C m45, 23n D m45, 23n 

Tài liệu toán 12 năm học 2018   : m3x2y5m1z100 Với giá trị

m hai mặt phẳng cắt nhau?

A. m1 B. m 1 C. m1 D. 1

2

m

Câu 157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 4x3y7z 7 Mệnh đềnào sau ? A. Trục Oz cắt   M0;0;1

B. Trục Oz chứa mặt phẳng   C. Trục Oz song song với   D. Trục Oz vng góc với  

Câu 158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2y z 0 Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau : A.  Ox B     yOz C   Oy D   Ox Câu 159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng

trong mặt phẳng cắt trục tọa độ? A  P : 3x2y6z 6 0.B. Q :x  2 C. R x: 2z 2 D. S :y3z  3

Câu 160. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 2;6; 3

I  mặt phẳng   :x 2 0,   :y 6 ,   :z 3 Tìm mệnh đềsai mệnh đề sau: A.  qua I B.     Oz C.    xOz D.     Oz Câu 161 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P x: 2y2z 3 mặt cầu  S x: 2 y 4 2 z 12 36

Vịtrí tương đối  P  S là:

A  P qua tâm  S B  P không cắt  S C  P tiếp xúc với  S D  P cắt  S

Câu 162 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y2z240 mặt cầu     2  2 2

:

S x  y  z  Vị trí tương đối  P  S là:

A  P qua tâm  S B  P không cắt  S

C  P tiếp xúc với  S D  P cắt  S

Câu 163 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x y 2z 1 mặt cầu     2  2 2

: 14

S x  y  z  Vịtrí tương đối  P  S là:

A  P qua tâm  S B  P không cắt  S C  P tiếp xúc với  S D  P cắt  S

Câu 164. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu     2  2 2

:

S x  y  z  Mặt phẳng sau cắt mặt cầu  S ?

A. P1 :x   y z 0 B. P2 :x   y z 0

C. P3 :x   y z 0 D. P4 :x   y z 0 Câu 165. Trong không gian với hệ tọa độOxyz,

cho mặt cầu   S : x1 2 y3 2 z 2249

Phương trình sau phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu  S ?

A   : 6x2y3z0 B   : 2x3y6z 5

C   : 6x2y3z550D   :x2y2z 7

Câu 166. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu     2  2 2

:

S x  y  z  mặt phẳng   : 2x y 2z 4

Mặt phẳng  P tiếp xúc với  S song song với  

Phương trình mặt phẳng  P là:

A  P : 2x y 2z 4 0B  P : 2x y 2z 8

C  P : 2x y 2z 4 D  P : 2x y 2z 8

Câu 167. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu     2  2 2

:

Tài liệu toán 12 năm học 2018  S

Phương trình mặt phẳng tiếp diện với  S A là: A 2x2y z  2 B 2x2y z  2 C 2x2y z 140 D x   y z

Câu 168. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu     2  2 2

: 3

S x  y  z  mặt phẳng   : 3xm4y3mz2m 8 Với giá trị m   tiếp xúc với  S ?

A m1 B m0 C m 1 D m2 Vấn đề GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Câu 169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x   y z  Q x z:   2 Tính góc hai mặt phẳng  P  Q

A 300 B. 450 C. 600 D. 900

Câu 170. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x y 2z  9  Q :x  y Số đo góc tạo hai mặt phẳng bằng:

A 300 B. 450 C. 600 D. 900

Câu 171. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A0;2;0, B2;0;0, C0;0; 2

0; 2;0

D  Số đo góc hai mặt phẳng ABC ACD :

A 300 B. 450 C. 600 D. 900

Câu 172. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1

M N P Cosin góc hai mặt phẳng MNP mặt phẳng Oxy bằng:

A 1

3 B

2

5 C

1

3 D

1

Câu 173. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P x:   y  Q Biết điểm

2; 1; 2  

H hình chiếu vng góc gốc tọa độ 0;0;0

O xuống mặt phẳng  Q Sốđo góc mặt phẳng

 P mặt phẳng  Q bằng:

A 300 B. 450 C. 600 D. 900

Câu 174. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0; 

A B C m Để mặt phẳng ABC hợp với mặt phẳng Oxy góc 600 giá trị m là:

A  12

m B  2

m C   12

5

m D  5

2

m

Vấn đề5 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trục Oy điểm M cách mặt phẳng   :x2y2z 2 khoảng

A.M0;6;0 M0; 6;0  B M0;7;0 M0; 5;0  C M0;4;0 M0; 4;0  D M0;3;0 M0; 3;0 

Câu 176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P x:    y z  Q x:    y z

Điểm M nằm trục Oy cách  P  Q là: A.M0;2;0 B.M0;3;0 C.M0; 3;0  D.M0; 2;0 

Câu 177. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trục Oz điểm M cách điểm A2;3;4 mặt phẳng   : 2x3y z 170

A.M0;0;0 B M0;0;1.C. M0;0;3 D M0;0;2 Câu 178 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E thuộc mặt phẳng Oxy, có hồnh độ 1, tung độ ngun

và cách hai mặt phẳng   :x2y z  1   : 2x   y z Tọa độ E là:

Tài liệu toán 12 năm học 2018     2  2 2

: 36

S x  y  z  , điểm I1;2;0 đường thẳng : 2

3

x y z

d    

 Tìm tọa độđiểm M thuộc d

, N thuộc  S cho I trung điểm MN

A.  

 

3;2;1 3;6; N

N

 

 

 B.

 

 

3; 2;1 3;6; N

N

   

 



C  

 

3;2;1 3;6;1 N N

   

 D

 

 

3; 2;1 3;6;1 N N

   





Câu 180 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2;4;4

A , B' 2; 5; 5    mặt phẳng  P x:    y z Tìm tọa độđiểm M thuộc  P cho MA MB có giá trị nhỏ

A M2;1;1 B M2; 1;1  C M1;2;1 D M1;1;2

Câu 181 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 1; 1;2 , 2;0;1  

A  B mặt phẳng  P : 2x   y z

Điểm M thuộc  P thỏa mãn MA MB có giá trị lớn có tọa độ:

A M 1; 3;4 B M2; 1;1  C.M1;2;1 D M1;1;2

Câu 182 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2;1; 1

A  , B0;3;1 mặt phẳng  P x:    y z Tìm tọa độđiểm M thuộc ( )P cho 2MA MB  có giá trị nhỏ

A M 4; 1;0 B M 1; 4;0 C M4;1;0 D M1; 4;0 

Câu 183 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x3y2z150 ba điểm A1;4;5, B0;3;1,

2; 1;0

C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  P cho

2 2

MA MB MC có giá trị nhỏ A M 4; 1;0 B M4; 1;0  C M4;1;0 D M1; 4;0 

Câu 184 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  3;5; 5

A   , B5; 3;7  mặt phẳng  P x:   y z Tìm tọa độ điểm M thuộc  P cho MA22MB2 có giá trị lớn

Tài liệu toán 12 năm học 2018 2. PHNG TRèNH MT PHNG

Dạng toán 1: Phương trình mặt phẳng

Phương pháp Phương trình:

Ax + By + Cz + D =

là phương trình mặt phẳng A2

+ B2 + C2 >

F Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) qua điểm cốđịnh

Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí M số mặt phẳng họ (Pm) qua M

Câu hỏi 3: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) chứa đường thẳng cốđịnh

ThÝ dơ 1. Cho phương trình:

mx + m(m - 1)y − (m2− 1)z - = (1)

a Tìm điều kiện m để phương trình (1) là phương trình mặt phẳng, gọi họ (Pm)

b Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn qua

c Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt trục toạ độ tại A, B, C  Tính thể tích tứ diện OABC

 Tìm m để∆ABC nhận điểm G 1; ;

9 18 24

 − 

 

  làm trọng tâm

 Giải a Ta có:

A2 + B2 + C2 = m2 + m2(m - 1)2 + (m2− 1)2

= m2 + (m - 1)2[m2 + (m + 1)2] > 0, m

Vậy, với m phương trình cho phương trình mặt phẳng

b Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cố định mà họ (Pm) ln qua, ta có:

mx0 + m(m - 1)y0− (m2− 1)z0 - = 0, ∀m

⇔ m2(y

0− z0) + m(x0 - y0) + z0 - = 0, ∀m

⇔

0 0 0

y z

x y

z

− =



 − = 

 − = 

⇔ 0

x

y

z

= 

 =

  = 

Vậy, họ (Pm) qua điểm cố định M(1; 1; 1)

c Ta có toạ độ điểm A, B, C là:

A ; 0;

m

 

 

 ,

1

B 0; ;

m(m 1)

 

 − 

 ,

1 C 0; 0;

1 m

 

 − 

 

Khi đó: 

 Thể tích tứ diện OABC cho bởi:

VOABC =

6

OA.OB.OC =

6

2

m m(m 1) m− −

= 2 2

Tài liệu toán 12 năm học 2018 

 Điểm G 1; ;

9 18 24

 − 

 

  trọng tâm ∆ABC khi:

2

1

m

1

m(m 1)

1

1 m

 =    =  −   = −   − ⇔ m m(m 1)

1 m

=   − =   − = − 

⇔ m =

F Nhận xét: Như vậy, đểtìm điểm cốđịnh mà họ mặt phẳng (Pm) ln qua ta thực theo bước:

Bước 1: Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cố định họ (Pm), đú Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m

Bước 2: Nhúm theo bậc m cho cỏc hệ số 0, từđú nhận (x0; y0; z0)

Bước 3: Kết luận

ThÝ dơ 2. Cho phương trình:

(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) =

a Tìm điều kiện của a, b để phương trình cho phương trình mặt phẳng, gọi họ (Pa,b)

b Giả sử (Pa,b) với a, b ≠ cắt trục toạ độ tại A, B, C Tìm a, b để:  ∆ABC nhận điểm G 1; 4;4

3

 

 

  làm trọng tâm

 ∆ABC nhận điểm H 2; 1; 1( ) làm trực tâm

 Tứ diện OABC có thể tích nhỏ với a > 0, b >

c Chứng tỏ họ (Pa,b) luôn chứa đường thẳng cố định

 Giải

a Xét điều kiện:

A2 + B2 + C2 = ⇔ (a + b)2 + a2 + b2 = ⇔

a b a b + =   =   = 

⇔ a = b = Vậy, với a ≠ b ≠ phương trình cho phương trình mặt phẳng

b Với với a, b ≠ ta có :

( )

A 3; 0; , B 0;3(a b);

a +      , 3(a b) C 0; 0;

b +       Khi đó: 

 Điểm G 1; 4;4

 

 

  trọng tâm ∆ABC khi:

a b a

a b

b +  =   +  = 

⇔ 3a b 3a b

=   =

 ⇔ b = 3a

Vậy, với b = 3a ≠ thoả mãn điều kiện đầu 

 Điểm H(2; 1; 1) trực tâm ∆ABC khi:

HA BC HB AC H (P) ⊥   ⊥   ∈  ⇔ HA.BC HB.AC H (P)  =  =   ∈      ⇔

a b a b

2(a b) a b 3(a b)

− =   − =   + + + − + = 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vy, với a = b ≠ thoả mãn điều kiện đầu



 Thể tích tứ diện OABC cho bởi:

O.ABC

V OA.OB.OC

6

= (a b)

2 ab

+

= 2ab

2 ab

≥ =

Vậy, ta (VO.ABC Min) =9, đạt a = b

c Ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: Viết lại phương trình mặt phẳng (Pa,b) dạng:

(Pa,b): a(x + y − 3) + b(x + z − 3) =

Từ đó, suy họ (Pa,b) ln chứa điểm có toạ độ thoả mãn hệ:

x z x y

+ − = 

 + − =

 (*)

Hệ (*) phương trình giao tuyến (d) hai mặt phẳng cố định: (P1): x + z − = (P2): x + y − =

Vậy, họ (Pa,b) chứa đường thẳng cố định (d)

Cách 2: Nhận xét họ mặt phẳng (Pa,b) qua hai điểm M(1; 2; 2) N(2; 1; 1) nên họ (Pa,b) chứa

đường thẳng cố định (d) cho bởi: (d): Qua M(1; 2; 2)

Qua N(2; 1; 1) 



 ⇔ (d):

Qua M(1; 2; 2) vtcp MN(1; 1; 1) 



− −  

⇔

x t (d) : y t , t

z t

= + 

 = − ∈ 

 = − 



Cách 3: Nhận xét họ mặt phẳng (Pa,b) qua điểm M(1; 2; 2) có vtpt n(a+b; a; b)



, suy ra: n(a +b; a; b).u(1; 1; 1) − − = + − − =a b a b ⇔ n ⊥u, ∀a, b ≠

Vậy, họ (Pa,b) chứa đường thẳng cố định (d) cho bởi:

(d): Qua M(1; 2; 2) vtcp u(1; 1; 1) 



− −

  ⇔

x y z

(d) :

1 1

− − −

= =

− −

F Nhận xét: Như vậy, đểtìm đường thẳng cốđịnh thuộc họ mặt phẳng (Pa,b) cần có thêm kiến thức vềđường thẳng em học sinh cần nhớ lại một đường thẳng (d) được hoàn toàn xác định khi biết nó:

 Là giao tuyến hai mặt phẳng cắt −Ứng với cách  Đi qua hai điểm phân biệt M, N −Ứng với cách

 Đi qua điểm M có phương cốđịnh −Ứng với cách

Và câu hỏi thường em học sinh đặt cách 2, cách việc xác định toạđộđiểm M, N

vectơ u Câu trả lời sau:

 Các điểm M, N có toạđộ thoả mãn hệ (*) biết toạđộ cảM, N suy toạđộ vectơ u

 Toạđộ vectơ u có thểđược xác định độc lập với M, N dựa nhận xét:

1

2

(d) (P ) (d) (P )

⊂ 

 ⊂

 ⇔

1

2

u n l u n l

1 µ vtpt cđa (P )

µ vtpt cña (P )

 ⊥ − 



⊥ −

  

  ⇔ u= n , n1 2

 

Dạng toán 2: Vit phng trình mặt phẳng

Phương pháp

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Cách 1: Thực theo bước:

Bước 1: Xỏc định M0(x0; y0; z0) ∈ (P) vtpt n(n1; n2; n3) (P)

Bước 2: Khi đú:

(P): 0 0 qua M (x ;y ;z ) vtpt n(n ; n ; n )

   

⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) =

Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích

F Chú ý: Chúng ta có kết quả:

1 Mặt phẳng (P) điqua điểm M(x0; y0; z0), ln có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) =

2 Mặt phẳng (P) có vtpt n(n1; n2; n3), ln có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D =

Đểxác định (P), ta cần xác định D

3 Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, có dạng: (P): Ax + By + Cz + E =

Đểxác định (P), ta cần xác định E

4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng (P) qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0;

b; 0), C(0; 0; c) có phương trình:

(P): x

a + y b +

z c =

5 Với phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm khơng thẳng hàng M, N, P lựa chọn hai cách sau:

Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có:

n MN

n MP

 ⊥  

⊥ 

 



 ⇔ n= MN, MP

 



Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) cho bởi: (P): qua M

vtpt n

 

 

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0, (1)

với A2 + B2 + C2 >

Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D Biểu diễn ba ẩn theo ẩn lại, thay vào (1) nhận phương trình mặt phẳng (P)

ThÝ dơ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết:

a (P) là mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2)

b (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q)có phương trình x − 2y + 3z + =

c (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp a(2; -1, 1), b(2; -1; 3)

d (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vng góc với hai mặt phẳng: (R1): 2x + y + 2z - 10) (R2): 3x + 2y + z + =

 Giải

a Ta lựa chọn hai cách:

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Khi đó, mặt phẳng (P) cho bởi:

(P): qua I

(P) AB



 ⊥

 ⇔ (P):

qua I(1; 1; 2)

vtpt AB(0; 4; 0) chän (0; 1; 0)

− 



−

 

⇔ (P): 0.(x - 1) + 1.(y + 1) + 0.(z - 2) = ⇔ (P): y + =

Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi:

AM = BM ⇔ AM2 = BM2

⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2

⇔ 8y + = ⇔ y + =

Đó phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

b Ta lựa chọn hai cách: Cách 1: Ta sử dụng giả thiết:

 (P) qua điểm C(1; 2; −3) nên có phương trình:

(P): A(x − 1) + B(y − 2) + C(z + 3) = (1)

⇔ (P): Ax + By + Cz − A − 2B + 3C =  (P) song song với (Q): x − 2y + 3z + = nên:

A B C A 2B 3C

1

− − +

= = ≠

− ⇒

B 2A

C 3A

= −   =

 (2)

Cách 2: Ta sử dụng giả thiết:

 (P) song song với (Q): x − 2y + 3z + = nên có phương trình: (P): x − 2y + 3z + D =

 Điểm C thuộc (P), suy ra:

1 − 2.2 + 3(−3) + D = ⇔ D = 12 Vậy, phương trình mặt phẳng (P): x − 2y + 3z + 12 =

Thay (2) vào (1) thực phép đơn giản biểu thức, ta phương trình mặt phẳng (P): x − 2y + 3z + 12 =

Cách 3: Mặt phẳng (P) cho bởi:

(P): qua C

(P) //(Q)

 

 ⇔ (P): Q qua C(1;2; 3) vtpt n (1; 2;3)

− 

 −

 

⇔ (P): 1.(x − 1) − 2.(y − 2) + 3.(z + 3) = ⇔ (P): x − 2y + 3z + 12 =

c Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có:

n a

n b

 ⊥  

⊥ 

 



 ⇔ n = [a, b] = 1 2; ;

1 3 2

− − 

− − 

  = (−2; -4; 0) Mặt phẳng (P) cho bởi:

(P): qua D(1;1;2)

vtpt n(1;2;0)

 

  ⇔ (P): (x − 1) + 2(y − 1) = ⇔ (P): x + 2y - = d Gọi n, n1, n2 theo thứ tự vtpt mặt phẳng (P), (R1), (R2), ta có:

1 n



(2; 1; 2), n2



(3; 2; 1)

Vì (P) vng góc với (R1) (R2) nên nhận n1



, n2 làm cặp vtcp, từ đó:

1

n n

n n

 ⊥  

⊥ 

 



 ⇔ n = [n1, n2] = 2 2 1, ,

2 1 3

 

 

  = (-3; 4; 1)

Mặt phẳng (P) cho bởi: (P): qua E(3;1;2)

vtpt n( 3;4;1)

 

−

Tài liệu toán 12 năm học 2018 F Nhận xét: Như vậy, qua toán:

 Ở câu a), nhận hai phương pháp (có tính minh họa) để viết phương trình mặt phẳng

 Ở câu b), với ba cách giải cách cách có tính minh họa để em học sinh hiểu cách khai thác giả thiết Và vậy, cách lựa chọn thực thi

 Câu c), câu d) minh họa việc viết phương trình mặt phẳng biết cặp vtcp

ThÝ dô 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5)

a Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B và C

b Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp∆ABC làm đường tròn lớn

 Giải

a Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có:

n AB n AC  ⊥   ⊥    

 ⇔ n = AB, AC  = (8; −2; −10) chọn n(4; −1; −5) Mặt phẳng (P) cho bởi:

(P): qua A(1;2;3)

vtpt n(4; 1; 5)

 

− −

  ⇔ (P): 4(x − 1) − (y − 2) - 5(z - 3) = ⇔ (P): 4x − y - 5z + 13 =

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2 > (1)

Vì A, B, C thuộc (P), ta được:

A 2B 3C D 3A 5B 4C D 3A 5C D

+ + + =   + + + =   + + =  ⇔ A 4B C 5B D 13B = −   =   = −  Thay A, B, C vào (1), ta được:

(P): −4Bx + By + 5Bz − 13B = ⇔ (P): 4x − y - 5z + 13 =

b Mặt cầu (S) có tâm I(x; y; z) tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC, ta có:

AI BI AI CI I (ABC) =   =   ∈  ⇔ 2 2 AI BI AI CI

AB, AC, AH đồng phẳng

 =  =      ⇔ 2 2 AI BI AI CI

AB, AC AI

 =  =    =       ⇔

2 2 2

2 2 2

(x 1) (y 2) (z 3) (x 3) (y 5) (z 4)

(x 1) (y 2) (z 3) (x 3) y (z 5)

4x y 5z 13

 − + − + − = − + − + −  − + − + − = − + + −   − − = −  ⇔

2x 3y z 36 x y z

4x y 5z 13

+ + =   − + =   − − = −  ⇔

x 39 / y 89 /14 z 81/14 =   =   = 

⇒ I 39 89 81; ;

7 14 14

 

 

 

Khi đó, mặt cầu (S) cho bi: (S): Tâm I

Đ i qua A

 

 ⇔ (S):

39 89 81

T©m I ; ;

7 14 14 9338 Bán kính R IA

Tài liệu toán 12 năm học 2018

2 2

39 89 81 667

(S) : x y z

7 14 14 14

 −  + −  + −  =

     

     

F Nhận xét: Như vậy, câu a) thí dụtrên minh họa hai phương pháp viết phương trình mặt phẳng

đi qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước (kiến thức trình bày phần ý toán 2)

ThÝ dô 3. Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1)

a Tìm điểm M thuộc Oy sao cho∆MAB cân tại M

b Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy

c Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua hai điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện đường tròn lớn

 Giải

a Với điểm M thuộc Ox M(0; y; 0), ta có:

AM = BM ⇔ AM2 = BM2⇔ (−1)2 + (y + 1)2 + (−5)2 = y2 +

⇔ 2y = −26 ⇔ y = −13 ⇒ M(0; −13; 0) Vậy, với M(0; −13; 0) thoả mãn điều kiện đầu

b Ta có:

(P): qua A

cặp vtcp AB j

 

   ⇔ (P):

qua A(1; 1;5)

vtpt n AB, j (4; 0; 1)

− 

 = = −

  



  

⇔ (P): 4x − z + =

c Mặt cầu có bán kính nhỏ qua hai điểm A, B cắt (P) theo thiết diện đường trịn lớn mặt

cầu đường kính AB, ta cú: (S):

Tâm I trung điểm AB AB B¸n kÝnh R

2

  

=

 ⇔

1 T m I ; ;

2 18 B n k nh R

2

â

á Ý

  − 

 

  



 =



⇔ ( )

2

2

1

(S) : x y z

2 2

 −  + +  + − =

   

   

ThÝ dô 4. Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − =

a Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vng góc với mặt phẳng (Q)

b Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng

 Giải a Gọi n, nQ



theo thứ tự vtpt (P) (Q), ta nQ



(1; 2; 3) Ta có:

Q n AB(1;1;2) n n (1;2;3)

 ⊥  

⊥ 

 



 ⇔ n = AB, nQ

 

= (−1; −1; 1) chọn n(1; 1; −1) Mặt phẳng (P) cho bởi:

(P): qua A(2;1; 3)

vtpt n(1;1; 1)

− 

 −

  ⇔ (P): x − + y − − (z + 3) =

⇔ (P): x + y − z − =

Tài liệu toán 12 năm học 2018

x t y t z 2t

x 2y 3z

− =   − =   + =   + + − =  ⇔

x t y t z 2t

t 2(t 1) 3(2t 3)

= +   = +   = −   + + + + − − =  ⇔ x y z t =   =   = −   = 

⇒ I(3; 2; −1)

ThÝ dô 5. Cho điểm A(2; −2; −4)

a Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa trục Ox

b Tìm điểm B thuộc mặt phẳng (P) sao cho∆OAB đều

 Giải a Ta có:

(P): qua O

cỈp vtcp OA vµ i

 

   ⇔ (P):

qua O(0;0;0)

vtpt n OA, i (0; 4; 2)

  = = −       

⇔ (P): 2y − z =

b Giả sử điểm B(x; y; z), ta có:

 Điểm B ∈ (P) nên x + y = ⇔ y = −x (1)

 ∆OAB đều, ta được:

OA = OB = AB ⇔

2 2 OB OA AB OA  =   =  ⇔

2 2

2 2

x y z 24

(x 2) (y 2) (z 4) 24

 + + =   − + + + + =  (1)

⇔ 2x2 z2 24

x z

 + =

 − =

 ⇔ 2

z x

2x (x 3) 24

= −  

+ − =

 ⇔

z x

x 2x

= −  

− − =



⇔ z x

x

= −   = ±  ⇒ ( ) ( )

B 6; 6;

B 6; 6;

 + − − −



 − − + − −



Vậy, tồn hai điểm B1 B2 thỏa mãn điều kiện đầu

ThÝ dô 6. Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau:

a Đi qua điểm G(1; 2; 3) cắt trục tọa độ điểm A, B, C sao cho G trọng tâm

∆ABC

b Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt trục tọa độ điểm A, B, C sao cho H là trực tâm

∆ABC

c Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương trục toạ độ ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất

 Giải

a Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta phương trình:

(P): x

a + y b +

z c =

Để G(1; 2; 3) trọng tâm ∆ABC, điều kiện là:

a b c =   =   = 

⇒ (P): x

3 + y +

z

Tµi liệu toán 12 năm học 2018

b Vi ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta phương trình:

(P): x

a + y b +

z

c = (1)

Để H(2; 1; 1) trực tâm ∆ABC, điều kiện là:

HA BC

HB AC

H (P)

⊥ 

 ⊥

  ∈ 

⇔

HA.BC HB.AC 1

1

a b c



= 



= 



 + + = 

   

⇔

b c 2a c 1

1

a b c

  − = 

− = 



 + + = 

⇔ a

b c

=   = =



Thay a, b, c vào (1), ta được: (P): x

3 + y +

z

6 = ⇔ (P): 2x + y + z − 6=

c Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0, ta phương trình:

(P): x

a + y b +

z c =

Điểm M thuộc (P) nên:

1 1

a+ + =b c ⇒ =

1 1 a+ +b c

si « C

≥ 33 1

a b c ⇔ abc ≥ 27

Thể tích tứ diện OABC, cho bởi: VOABC =

6

OA.OB.OC =

.abc ≥ 27

6 =

Vậy, ta (VOABC)Min =

2

9, đạt khi:

1 1

a = = =b c ⇔ a = b = c =

và đó:

(P): x y z

3+ + =3 ⇔ (P): x + y + z - = Dạng toán 3: Vtrớ tng i ca hai mặt phẳng

Phương pháp

Sử dụng kiến thức phần vị trí tương đối hai mặt phẳng

ThÝ dô 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là:

(P): x − 3y − 3z + = 0,

(Q): (m2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + =

Với giá trị của m thì:

a Hai mặt phẳng song song ?

b Hai mặt phẳng trùng nhau ?

c Hai mặt phẳng cắt nhau ?

d Hai mặt phẳng vng góc ?

 Giải

a Để hai mặt phẳng song song với điều kiện là:

2

1 3

3 m

m m

− −

= = ≠

− +

+ + ⇔

2

m m 1

m

1

 + + =

 + = − 

 ≠ 

, vô nghiệm Vậy, không tồn m để hai mặt phẳng song song với

Tµi liệu toán 12 năm học 2018

2

1 3

3 m

m m

− −

= = =

− +

+ + ⇔

2

m m 1

m

1

 + + =

 + = − 

 = 

, vô nghiệm Vậy, không tồn m để hai mặt phẳng trùng

c Từ kết câu a) b) suy với m hai mặt phẳng (P) (Q) cắt d Gọi nP, nQ



theo thứ tự vtpt (P) (Q), ta được:

P n



(1; −3; −3) nQ



(m2 + m + 1; −3; m + 3) Để hai mặt phẳng vng góc với điều kiện là:

P n



⊥nQ ⇔ nP.nQ



= ⇔ m2 + m + − 3(−3) − 3(m + 3) =

⇔ m2− 2m + = ⇔ m =

Vậy, với m = hai mặt phẳng vng góc với

ThÝ dơ 2. Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là: (P1): Ax + By + Cz + D = 0,

(P2): Ax + By + Cz + D' = với D ≠ D'

a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P1) và (P2)

b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P1) và (P2)

Áp dụng với hai mặt phẳng:

(P1): x + 2y + 2y + = 0, (P2): 2x + 4y + 4y + =

 Giải

a Nhận xét (P1) (P2) song song với

Lấy điểm M(x0; y0; z0) thuộc (P1), ta có:

Ax0 + By0 + Cz0 + D = (1)

Khi đó:

d((P1), (P2)) = d(M, (P2)) = 0

2 2

Ax By Cz D'

A B C

+ + +

+ +

(1)

=

2 2 D' D

A B C

−

+ +

b Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho có dạng:

(P): Ax + By + Cz + E = (2) Để (P) cách hai mặt phẳng (P1) (P2) điều kiện là:

1

2 2 2

D E D E

A B C A B C

− −

=

+ + + + ⇔|D1− E| = |D2− E|

D E≠

⇔ E =

(D D )

2 + (3)

Thay (3) vào (2) ta (P): Ax + By + Cz +

1

(D D )

2 + =

Áp dụng với hai mặt phẳng (P1) (P2): Trước tiên ta có:

(P2): x + 2y + 2z +

2=

a Khoảng cách (P1) (P2) cho bởi:

d((P1), (P2)) =

2 2

1 5

3

5

2 2

3

1 2

−

= =

+ +

b Ta trình bày theo ba cỏch sau:

Tài liệu toán 12 năm học 2018 (P): x + 2y + 2z +

2

 + 

 

 = ⇔ (P): x + 2y + 2z +

7 = Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Gọi (P) mặt phẳng cần tìm Điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔

1 x 2y 2z

x 2y 2z 2

1 4 4

+ + +

+ + +

=

+ + + +

⇔ x 2y 2z x 2y 2z

2

+ + + = + + + ⇔ x + 2y + 2z +

4 =

Đó phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho có dạng: (P): x + 2y + 2z + D = (*)

Lấy điểm A(−3; 0; 0) ∈ (P1) B 1; 0;

2

− 

 

 ∈ (P2), suy đoạn thẳng AB có trung điểm

7

M ; 0;

4

− 

 

 

Để (P) cách (P1) (P2) điều kiện (P) qua điểm M, tức:

−7

4 + D = ⇔ D =

Thay D =

4 vào (*), ta nhận phương trình (P): x + 2y + 2z + =

F Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) (P2) song song với (giả sử có vtpt n(A; B; C) )

chúng ta thường gặp thêm câu hỏi:

1 Tính khoảng cách (P1) (P2)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách (P1), (P2)

3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))

4 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 và: a Tiếp xúc với (P2)

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

5 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

Với yêu cầu "Tính khoảng cách d giữa (P1) và (P2)" sử dụng kết quả:

d = d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)), với M1∈ (P1)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng song song cách đều (P1), (P2)", lựa chọn

hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng tính chất): Thực theo bước:

Bước 1: Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho cú dạng: (P): Ax + By + Cz + D = (*)

Bước 2: Lấy cỏc điểm E1∈ (P1) E2∈ (P2), suy đoạn thẳng AB cú trung điểm E(x0; y0; z0)

Để (P) cách (P1) (P2) điều kiện (P) qua điểm M, tức là:

Ax0 + By0 + Cz0 + D = ⇒ Giá trị D

Bước 3: Thay D vào (*), ta nhận phương trỡnh (P)

Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (P)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))",

Tài liệu toán 12 năm học 2018 d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (Q)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1và thoả mãn điều kiện K",

thực theo bước:

Bước 1: Gọi M2 hỡnh chiếu vuụng gúc M1 trờn (P2) Toạ độ điểm M2 xỏc định

cách:

1 2

2

M M (P ) M (P )

⊥ 

 ∈

 ⇔

1

2

M M t.n M (P )

 =

 

∈ 

 

Bước 2: Với điều kiện K là:

a Tiếp xúc với (P2) mặt cầu cần dựng mặt cầu đường kính M1M2

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn mặt cầu cần dựng mặt cầu tâm M2

bán kính R = M1M2 = d

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1và cắt (P2) theo thiết diện đường

trịn (C) có bán kính bằng r", thực theo bước:

Bước 1: Giả sử mặt cầu (S) cần dựng cú tõm I(x; y; z) bỏn kớnh R Ta lần lượt:

 (S) tiếp xúc với (P1) M1 khi:

1

M I⊥(P ) ⇔ M I1 =t.n

 (S) cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r khi:

r2 + M2I2 = R2 = M1I2⇒ Giá trị t ⇒ Toạ độ tâm I

Bước 2: Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I bỏn kớnh R = M1I

ThÝ dô 3. Cho điểm M1(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): x + y + 2z + = 0,

(P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = Tìm để (P1) song song với (P2)

2 Với m tìm câu 1) hãy:

a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P1) và (P2)

b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P1) và (P2)

c Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2))

d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2)

e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện đường

trịn (C) có bán kính r=6

 Giải

1 Để hai mặt phẳng (P1), (P2) song song với điều kiện là:

1 m m 3m

1

− − −

= = ≠ ⇔ m =

2 Với m = mặt phẳng (P2): x + y + 2z − = có vtpt n(1; 1; 2)



a Ta có ngay:

d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)) =

2 2 2( 3)

2

1

+ + − − =

+ +

b Ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho có dạng: (P): x + y + 2z + D = (*) Lấy điểm N(1; 0; 4)∈ (P2), suy M1N có trung điểm M 1; ;

2 2

 

 



Tài liệu toán 12 năm häc 2018

3 1

2 D

2 2+ + 2+ = ⇔ D = −3

Thay D = −3 vào (*), ta nhận phương trình (P): x + y + 2z − =

Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Gọi (P) mặt phẳng cần tìm điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔

x y 2z x y 2z

1 1

+ + + + + −

=

+ + + +

⇔ x y 2z 3+ + + = + +x y 2z 9− ⇔ x + y + 2z − =

Đó phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

c Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) khi: d(M, (P1)) = 2d(M, (P2)) ⇔

x y 2z x y 2z

1 1

+ + + + + −

=

+ + + +

⇔ x y 2z 3+ + + =2 x y 2z 9+ + − ⇔ x y 2z 21

x y 2z

+ + − =



 + + − =



Vậy, tồn hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu là: (Q1): x + y + 2z − 21 = (Q2): x + y + 2z − = d Gọi M2(x; y; z) hình chiếu vng góc M1 (P2), ta có:

1 2

2

M M (P ) M (P )

⊥   ∈  ⇔ 2

M M t.n M (P )

 =   ∈    ⇔

x t y t z 2t

x y 2z − =   − =   + =   + + − =  ⇔

x t y t z 2t 6t 12

= +   = +   = −   − =  ⇔ t x y z =   =   =   = 

⇒ M2(4; 3; 1)

Khi đó, mặt cầu (S) cần dựng mặt cầu đường kính M1M2, tức là:

(S):

( )

1

T©m I 3; 2; trung điểm M M M M

B¸n kÝnh R

2  −   = = 

⇔ ( ) (2 ) (2 )2

(S) : x−3 + y−2 + z 1+ =6

e Gọi M2(x; y; z) hình chiếu vng góc M1 (P2), theo d) ta có M2(4; 3; 1)

Khi đó, mặt cầu (S) cần dựng là: (S):

1 Tâm M (4; 3; 1)

Bán kính R M M

 

= =

 ⇔ (S): (x − 4)

2

+ (y − 3)2 + (z − 1)2 = 24

f Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R

Gọi M2 hình chiếu vng góc M1 (P2) M2 tâm đường trịn (C), ta có:

R2− r2 = M2I2 =

2

M M −IM = (d−R)2 ⇔

2dR = d2 + r2

⇔ R d2 r2 24 72

2d

+ +

= = = ⇒ IM2=2 = d(I, (P2)) (*)

Ta có:

 (S) tiếp xúc với (P1) M1 khi:

M1I ⊥ (P1) ⇔ M I1 =t.n

 

⇔

x t y t z 2t

− =   − =   + =  ⇔

x t y t z 2t

= +   = +   = − 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 r2 + M

2I2 = R2 = M1I2

⇔ ( )

2

2 2 2 2

2 2

(t 2) (t 1) 2(2t 3)

6 t t (2t)

1

 + + + + − − 

+  = + +

+ +

 

⇔ 72 + 6(t − 2)2 = 6t2⇔ 96 − 24t = ⇔ t = ⇒ I(6; 5; 5) Khi đó, phương trình mặt cầu (S) cho bởi:

(S): ( )

1 T©m I 6; 5;

BkÝnh R M I

 

= =



⇔ ( ) (2 ) (2 )2

(S) : x−6 + y−5 + z−5 =96

F Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) (P2) cắt thường gặp thêm câu hỏi:

1 Tính góc (P1) (P2)

2 Viết phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2)

3 Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2)

4 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) thoảmãn điều kiện K

5 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 và:

a Tiếp xúc với (P2)

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

Với u cầu "Tính góc giữa (P1) và (P2)", có ngay:

 (P1) có vtpt n1



(A1; B1; C1) (P2) có vtpT n2



(A2; B2; C2)

 Gọi α góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) (0 ≤α≤

2 π

), ta có:

cosα =

1

n n n n

 

  = 2

2 2 2

1 1 2

A A B B C C

A B C A B C

+ +

+ + + +

Lưu ý: Để (P1) ⊥ (P2) ⇔ cosα = ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 =

Với yêu cầu "Viết phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2)", thực theo bước sau:

Bước 1: Giao tuyến (d) hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm cỏc điểm M(x; y; z) thoả hệ:

1

(P ) (P )

 

 (1)

Bước 2: Lựa chọn cỏc cỏch sau:

Cách 1: Lấy điểm M∈(d) gọi u vtcp (d) thì:

u= n , n  Từ đó, ta có:

(d): Qua M

vtcp u

 

 

Cách 2: Lấy hai điểm M N thuộc (d), ta có:

(d): Qua M

Qua N

 

 ⇔ (d):

Qua M vtcp u MN

 

=   

Cách 3: Đặt x = f1(t) (hoặc y = f2(t) z = f3(t)) (t ∈ ), ta biến đổi hệ (1) dạng:

1 x f (t) y f (t) z f (t)

=   =   = 

, t

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Lu ý: Nh vy, thc yêu cầu cần có thêm kiến thức đường thẳng không gian

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo bởi (P1) và (P2)", lập luận:

Mặt phẳng phân giác (Q) góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn:

d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Hai mặt phẳng (Q1) (Q2)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và thoả mãn điều kiện K", thấy

thơng qua u cầu "Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và thoả mãn điều kiện K" dạng toán thấy chủ đề đường thẳng

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1và thoả mãn điều kiện K",

thực theo bước:

Bước 1: Giả sử mặt cầu (S) cần dựng cú tõm I(x; y; z) bỏn kớnh R (S) tiếp xỳc với (P1) điểm M1 suy ra:

1

M I⊥(P ) ⇔ M I // n 1 1 ⇔ M I1 =t.n1

Bước 2: Với điều kiện K là: a Tiếp xỳc với (P2) thỡ:

M1I = d(I, (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I

Lưu ý: Với giả thiết cịn sử dụng phương trình mặt phẳng phân giác (Q1), (Q2) để xác định toạ độ tâm I

b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn thì:

I ∈ (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I

c Cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r thì:

R2 = d2(I, (P2)) + r2⇔ M1I2 = d2(I, (P2)) + r2

⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I

Bước 3: Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I bỏn kớnh R = M1I

ThÝ dô 4. Cho điểm M1(2; 5; 0) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): 3x − 2y − z + = 0, (P2): x − 3y + 2z − =

a Chứng tỏ (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d) Tính góc giữa (P1), (P2) và tìm vtcp đường thẳng (d)

b Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo bởi (P1) và (P2)

c Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2)

d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn

e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r= 21/

 Giải

a Hai mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt n (3;1 − −2; 1)



, n (1;1 −3; 2)



, suy n v1 µ n2

 

không phương nên (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d)

Ta có:

 Cơsin góc α tạo (P1), (P2) cho bởi:

cosα =

1

n n n n

    =

2 2 2

3.1 2( 3) 1.2 ( 2) ( 1) ( 3)

− − −

=

+ − + − + − + ⇔

π

α =

 Giao tuyến (d) hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

3x 2y z x 3y 2z

− − + =



 − + − =

 (1)

Tới đây, ta lựa chọn cách sau:

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Cách 2: Lấy hai điểm A(0; 1; 2) B(1; 2; 3) thuộc (d), vtcp (d) u =AB(1; 1; 1)

Cách 3: Đặt x = t, ta biến đổi hệ (1) dạng:

x t

3t 2y z t 3y 2z

=   − − + =   − + − =  ⇔ x t y t z t

=   = +   = + 

⇒ vtcp u(1; 1; 1)

b Mặt phẳng phân giác (Q) góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn:

d(M, (P1)) = d(M, (P2))

⇔

2 2 2

3x 2y z x 3y 2z ( 2) ( 1) ( 3)

− − + − + −

=

+ − + − + − + ⇔

2x y 3z 4x 5y z

+ − + =



 − + + =



Vậy, tồn hai mặt phẳng (Q1): 2x + y − 3z + = (Q2): 4x − 5y + z + = thoả mãn điều kiện đầu c Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R

(S) tiếp xúc với (P1) điểm M1 suy ra:

1

M I⊥(P ) ⇔ M I // n 1 1 ⇔ M I1 =t.n1 ⇔

x 3t y 2t z t − =   − = −   = −  ⇔

x 3t y 2t z t = +   = − +   = −  Tới đây, ta lựa chọn cách sau:

Cách 1: (S) tiếp xúc với (P2) thì:

M1I = d(I, (P2)) ⇔ 2

2 2

(3t 2) 3( 2t 5) 2( t) (3t) ( 2t) ( t)

1 ( 3) + − − + + − −

+ − + − =

+ − +

⇔

2 7t 14

14t

14 −

= ⇔ 4t2 = (t − 2)2⇔ 2t t

2t t

= −   = − +  ⇔ t

t /

= −   =  Ta có:

 Với t1 = −2 ta tâm I1(−4 ; ; 2), suy mặt cầu:

(S1):

( )

1

1 T©m I 4; 9;

B¸n kÝnh R M I 56

 −

 

= =

 ⇔ ( ) ( ) ( )

2 2

1

(S ) : x+4 + y−9 + z−2 =56

 Với t2

3

= ta tâm

11

I 4; ;

3

 

 

 , suy mặt cầu: (S2):

2

1 11

T©m I 4; ;

3

B¸n kÝnh R M I 56 /

          = =  ⇔ ( ) 2 2

11 56

(S ) : x y z

3

   

− + −  + −  =

   

Vậy, tồn hai mặt cầu (S1) (S2) thoả mãn điều kiện đầu

Cách 2: (Dựa theo kết câu b): (S) tiếp xúc với (P2) tâm I phải thuộc mặt phẳng phân giác góc tạo

(P1) (P2)

Ta lần lượt:

 Với mặt phẳng phân giác (Q1): 2x + y − 3z + = 0, suy ra:

2(3t + 2) + (−2t + 5) − 3(−t) + = ⇔ 7t + 14 = ⇔ t = −2 Khi đó, ta mặt cầu:

(S1):

( )

1

1 T©m I 4; 9;

B¸n kÝnh R M I 56

 −

 

= =

 ⇔ ( ) ( ) ( )

2 2

1

(S ) : x+4 + y−9 + z−2 =56

Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 4(3t + 2) 5(2t + 5) + (−t) + = ⇔ 21t − 14 = ⇔ t

3

=

Khi đó, ta mặt cầu: (S2):

1 11

T©m I 4; ;

3

B¸n kÝnh R M I 56 /

          = =  ⇔ ( ) 2 2

11 56

(S ) : x y z

3

   

− + −  + −  =

   

Vậy, tồn hai mặt cầu (S1) (S2) thoả mãn điều kiện đầu d Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R (S) tiếp xúc với (P1) điểm M1 suy ra:

1

M I⊥(P ) ⇔ M I // n 1 1 ⇔ M I1 =t.n1 ⇔

x 3t y 2t z t − =   − = −   = −  ⇔

x 3t y 2t z t = +   = − +   = −  Để (S) cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn điều kiện là:

I ∈ (P2)) ⇔ (3t + 2) − 3(−2t + 5) + 2(−t) − = ⇔ 7t − 14 = ⇔ t =

Khi đó, phương trình mặt cầu (S) cần dựng cho bi: (S):

1 Tâm I(8; 1; 2)

Bán kÝnh R M I 56

− 



= =

 ⇔ ( ) ( ) ( )

2 2

1

(S ) : x−8 + y 1− + z+2 =56

e Giả sử mặt cầu (T) cần dựng có tâm T(x; y; z) bán kính R (T) tiếp xúc với (P1) điểm M1 suy ra:

1

M T⊥(P ) ⇔ M T // n 1 1 ⇔ M T1 =t.n1 ⇔

x 3t y 2t z t − =   − = −   = −  ⇔

x 3t y 2t z t = +   = − +   = −  Để (T) cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r thì:

R2 = d2(T, (P2)) + r2⇔ M1T2 = d2(T, (P2)) + r2

⇔

2 7t 14 21

14t

14

−

= + ⇔ 4t2 = (t − 2)2 + ⇔ 3t2 + 4t − = ⇔

2

t

t /

=   = −



Ta có:

 Với t1 = ta tâm T1(5; 3; −1), suy mặt cầu:

(T1):

( )

1

1 T©m T 5; 3;

B¸n kÝnh R M T 14

 −

 

= =

 ⇔ ( ) ( ) ( )

2 2

1

(T ) : x−5 + y−3 + z 1+ =14

 Với t2

3

= − ta tâm

15 29

T ; ;

3 3

− 

 

 , suy mặt cầu: (T2):

2

1 15 29

T©m T ; ;

3 3

686 B¸n kÝnh R M T

9  −          = = 

⇔ (T ) : x2 15 y 29 z 686

3 3

 +  + −  + −  =

     

     

Tài liệu toán 12 năm học 2018 F Chú ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) (R) có chứa tham sốchúng ta thường gặp thêm câu hỏi "Xác định giá

trị tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi vuông góc với Tìm điểm chung

cả ba mặt phẳng" Khi đó, thực theo bước:

Bước 1: Tỡm cỏc vtpt nP

 , nQ

 , nR



mặt phẳng (P), (Q), (R)

Bước 2: Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đụi vuụng gúc với nhau, điều kiện là:

P Q P R R Q n n n n n n  ⊥  ⊥   ⊥        ⇔ P Q P R R Q

n n n n n n

 =  =   =       

Bước 3: Toạ độ điểm chung I ba mặt phẳng (P), (Q), (R) nghiệm hệ phương trỡnh tạo (P), (Q), (R)

ThÝ dô 5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R)có phương trình: (P): x + y + z – = 0; (Q): x – 2y + z = 0; (R): kx + (m – 1)y – z + =

a Xác định giá trị m và k để ba mặt phẳng qua đường thẳng

b Xác định giá trị m và k để ba mặt phẳng đơi vng góc với Tìm điểm chung

cả ba mặt phẳng

 Giải

a Nhận xét rằng:

1

1≠ −2

nên hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến (d) có phương trình: (d): x y z

x 2y z

+ + − = 

 − + =

 ⇒ Hai điểm A(4; 2; 0) B(0; 2; 4) thuộc (d) Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) qua đường thẳng điều kiện là:

(d) ∈ (R) ⇔ A ∈ (R) B ∈ (R)

⇔ 4k 2(m 1)

2(m 1)

+ − + =



 − − + =

 ⇔

2k m 2m + =   =  ⇔ m k =   = − 

Vậy, với m = k = −1 ba mặt phẳng (P), (Q), (R) qua đường thẳng

b Gọi nP



, nQ , nR theo thứ tự vtpt mặt phẳng (P), (Q), (R), ta được: P

n



(1; 1; 1), nQ (1; -2; 1), nR 

(k; m - 1; -1)

Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đơi vng góc với nhau, điều kiện là:

P Q P R R Q n n n n n n  ⊥  ⊥   ⊥        ⇔ P Q P R R Q

n n

n n

n n

 =  =   =        ⇔

1 k m 1 k 2(m 1)

− + =   + − − =   − − − = 

⇔ k m

k 2m

+ =



 − = − 

⇔ m = k =

Khi đó, toạ độ điểm chung I nghiệm hệ phương trình:

x y z x 2y z x z

+ + − =   − + =   − + =  ⇔ x y z =   =   = 

⇒ I(1; 2; 3)

Vậy, với m = k = ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đơi vng góc với có điểm chung I(1; 2; 3) Dạng toán 4: Vtrớ tng i mặt cầu với mặt phẳng

Phương pháp

Tài liệu toán 12 năm häc 2018

Bước 1: Xỏc định tõm I tớnh bỏn kớnh R mặt cầu (S) Xỏc định d = d(I, (P)

Bước 2: So sỏnh d với R để đưa kết luận:

 Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅ (Hình trang bên)

 Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) H (Hình trang bên)

 Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) đường tròn nằm mặt phẳng (P) (Hình trang bên) Và trường hợp nếu:

(S): x2 + y2 + z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0,

thì phương trình đường trịn (C) có phương trình: (C):

2 2

x y z 2ax 2by 2cz d

Ax By Cz D

 + + − − − + =



+ + + =



Hình Hình Hình

F Chú ý: Trong phần quan tâm nhiều tới dạng tốn:

D¹ng 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho

trước

D¹ng 2: Viết phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước

D¹ng 3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thỏa mãn điều kiện K cho

trước

D¹ng 4: Viết phương trình mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước

2 Trong trường hợp mặt phẳng không cắt mặt cầu, cụ thể với mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) khơng cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) thường gặp thêm câu hỏi:

1 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

a.Tiếp xúc với (S)

b.Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c.Cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

2 Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB

có độ dài lớn

3 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S) Ta lần lượt:

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", thực theo bước:

Bước 1: Mặt phẳng (Q) song song với (P) nờn cú phương trỡnh: I

P H

I

P H

I

P H

Tài liệu toán 12 năm học 2018 (Q): Ax + By + Cz + D =

Bước 2: Với điều kiện K là:

a (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:

d(I, (Q)) = R ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q) b (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra:

I ∈ (Q)) ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q)

c (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r, suy ra:

2

d(I, (Q))= R −r ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q)

Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm B cho AB có độ dài lớn nhất", thấy đường thẳng qua I có vtcp n

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước:

Bước 1: Tỡm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P)

Bước 2: Mặt cầu (S') cú tõm I' bỏn kớnh R

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S)", em học sinh cần có thêm kiến thức

đường thẳng để trình bày theo bước:

Bước 1: Gọi (T) mặt cầu thoả điều kiện đầu giả sử (T) tiếp xỳc với (S), (P) theo thứ tự M H (H chớnh hỡnh chiếu vuụng gúc I trờn (P)), suy M, H, I thuộc (d) cú phương trỡnh cho bởi:

Qua I (d) :

vtcp n  

 

Bước 2: Tiếp điểm H (T) với mặt phẳng (P) giao điểm (d) với (P)

Bước 3: Tiếp điểm M (T) với mặt cầu (S) giao điểm (d) với (S)

Bước 4: Viết phương trỡnh mặt cầu đường kớnh MH

ThÝ dô 1. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x − 3y + 2z − = 0,

( ) (2 ) (2 )2

(S) : x−8 + y+8 + z−7 =68

a Xác định vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính bằng r= 51

e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S)

 Giải

a Xét mặt cầu (S) có tâm I(8; −8; 7) bán kính R=2 17, ta có:

2 2

2.8 3.( 8) 2.7

d(I, (P)) 17 17

2 ( 3)

− − + −

= = >

+ − +

Do dó, mặt phẳng (P) khơng cắt mặt cầu (S)

b Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:  (Q) song song với (P) nên có phương trình:

(Q): 2x − 3y + 2z + D = (1)  (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:

d(I, (Q)) = R ⇔

2 2

2.8 3( 8) 2.7 D

2 17

2 ( 3)

− − + +

=

Tài liệu toán 12 năm học 2018 D 20 D 88 = −   = −  Khi đó:

 Với D1 = −20 thay vào (1), ta (Q1): 2x − 3y + 2z − 20 =

 Với D2 = −88 thay vào (1), ta (Q2): 2x − 3y + 2z − 88 =

Vậy, tồn hai mặt phẳng (Q1) (Q2) thỏa mãn điều kiện đầu

c Gọi (R) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:  (R) song song với (P) nên có phương trình:

(R): 2x − 3y + 2z + D =

 (R) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2.8 − 3(−8) + 2.7 + D = ⇔ D = −54 Vậy, phương trình mặt phẳng (R) có dạng 2x − 3y + 2z − 54 = d Gọi (α) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:

 (α) song song với (P) nên có phương trình:

(α): 2x − 3y + 2z + D = (2)  (α) cắt (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính r= 51, suy ra:

2

d(I, ( ))α = R −r ⇔

2 2

2.8 3( 8) 2.7 D

68 51

2 ( 3)

− − + +

= −

+ − +

⇔ D+54 =17 ⇔ D 37 D 71 = −   = −  Khi đó:

 Với D1 = −37 thay vào (2), ta (α1): 2x − 3y + 2z − 37 =

 Với D2 = −71 thay vào (2), ta (α2): 2x − 3y + 2z − 71 =

Vậy, tồn hai mặt phẳng (α1) (α2) thỏa mãn điều kiện đầu

e Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) có bán kính R=2 17 tâm I’ điểm đối xứng với I qua (P) Để xác định toạ độ điểm I’ ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: Gọi H(x; y; z) hình chiếu vng góc I (P), suy ra:

IH (P) H (P) ⊥   ∈  ⇔ P

IH // n H (P)   ∈   

⇔ IH t.n (2;P 3; 2)

H (P)  = −   ∈    ⇔

x 2t y 3t z 2t

2x 3y 2z − =   + = −   − =   − + − =  ⇔

x 2t y 3t z 2t 17t 51

= +   = − −   = +   + =  ⇔ x y z t =   =   =   = − 

⇒ H(2; 1; 1) ⇒ I’(−4; 10; −5)

Cách 2: Giả sử I’(x; y; z), suy ra:

II ' (P)

H (P) với H trung điểm II' ⊥

  ∈

 ⇔

P

II ' // n H (P)   ∈   

⇔ II ' t.nP

H (P)  =   ∈    ⇔

x 2t y 3t z 2t

x y z

2 3

2 2

− =   + = −   − =  + − +  − + − =  ⇔

x 2t y 3t z 2t 17t 85

= +   = − −   = +   + =  ⇔ x y 10 z t = −   =   = −   =

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Khi ú, phng trỡnh mt cu (S’) cần dựng cho bởi:

(S’): T©m I'( 4; 10; 5)

R 17

− −

 

=

 ⇔ ( ) ( ) ( )

2 2

(S') : x+4 + y 10− + z+5 =68

f Gọi (T) mặt cầu cần dựng giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự M H, suy ra:  (T) mặt cầu đường kính MH

 M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I(8; 8; 7)

(d) :

vtcp n(2; 3; 2) − 



−

  ⇔

x 2t (d) : y 3t , t

z 2t = + 

 = − − ∈

  = + 



Tiếp điểm H (T) với mặt phẳng (P) giao điểm (d) với (P), suy ra: 2(8 + 2t) − 3(−8 − 3t) + 2(7 + 2t) − = ⇔ 17t + 51 = ⇔ t = −3

⇒ H(2; 1; 1)

Tiếp điểm M (T) với mặt cầu (S) giao điểm (d) với (S), suy ra:

( ) (2 ) (2 )2

(S) : 8+2t−8 + − − +8 3t + 7+2t−7 =68

⇔

17t =68⇔ = ±t Khi đó, ta với:

 Với t = ta M 12; 14; 111( − ) mặt cầu đường kính M1H là:

(T1):

1

1 13

Tâm T 7; ; trung điểm M H

M H 425

B¸n kÝnh R

2

  − 

 

  

 

 = =



⇔ ( ) ( )

2

2

1

13 425

(T ) : x y z

2

 

− + +  + − =

 

 Với t = −2 ta M2(4;−2; 3) mặt cầu đường kính M2H là:

(T2):

2

2

Tâm T 3; ; trung ®iĨm M H

M H 17

B¸n kÝnh R

2

  − 

 



 

 

 = =



⇔ ( ) ( )

2

2

2

1 17

(T ) : x y z

2

 

− + +  + − =

 

Vậy, tồn hai mặt cầu (T1) (T2) thỏa mãn điều kiện đầu

F Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C)) tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) điểm M thường gặp thêm câu hỏi:

1 Tìm tọa độ tiếp điểm M (P) (S)

2 Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

a Tiếp xúc với (S)

b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C))

3 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm N cho MN có độ dài lớn

4 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

Với yêu cầu "Tìm tọa độ tiếp điểm M (P) (S)", thấy M hình chiu vuụng gúc

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu (2.a) cịn thực sau:

Bước 1: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xỳc với (S) điểm N, suy N điểm đối xứng với M qua I

Bước 2: Phương trỡnh mặt phẳng (Q) cho bởi: Qua N

(Q) :

vtpt n  

 

Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN có độ

dài lớn nhất", thấy đường thẳng (d) qua hai điểm M I

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước:

Bước 1: Tỡm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P), suy I' đối xứng với I qua M

Bước 2: Mặt cầu (S') cú tõm I' bỏn kớnh R

ThÝ dô 2. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:

(P): 2x − y + 2z − = 0, ( )2 ( )2

(S) : x−3 +y + z−4 =9

a Chứng tỏ mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm toạ độ tiếp điểm M (P) (S)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và chia (S) thành hai phần có tỉ số thể tích bằng

20

e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

 Giải

a Xét mặt cầu (S) có tâm I(3; 0; 4) bán kính R = 3, ta có:

2 2

2.3 2.4

d(I, (P)) R

2 ( 1)

+ −

= = =

+ − +

Do dó, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

Toạ độ tiếp điểm M(x; y; z) hình chiếu vng góc I (P), suy ra: IH (P)

H (P) ⊥   ∈

 ⇔

P

IH // n H (P)  

∈ 

 

⇔ IH t.n (2; 1; 2)P

H (P)

 = −

 

∈ 

 

⇔

x 2t y t z 2t

2x y 2z − =

  = −   − = 

 − + − =



⇔

x 2t y t z 2t 9t

= +

  = − 

 = + 

 + = 

⇔

x y z t

=   =   =   = − 

⇒ M(1; 1; 2) Vậy, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(1; 1; 2)

b Ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:

 (Q) song song với (P) nên có phương trình: (Q): 2x − y + 2z + D =

 (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:

d(I, (Q)) = R ⇔

2 2

2.3 2.4 D

2 ( 1)

+ +

=

+ − + ⇔|D + 14| = ⇔

1

D 5(läai)

D 23

= − 

 = −



Khi đó, với D2 = −23 ta (Q): 2x − y + 2z − 23 =

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) điểm N, suy N điểm đối xứng với M qua I nên

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Phng trỡnh mt phẳng (Q) cho bởi:

Qua N(5; 1; 6) (Q) :

vtpt n(2; 1; 2) − 



−

  ⇔ (Q): 2x − y + 2z − 23 = c Gọi (R) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:

 (R) song song với (P) nên có phương trình: (R): 2x − y + 2z + D =

 (R) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2.3 + 2.4 + D = ⇔ D = −14 Khi đó, với D = −14 ta (R): 2x − y + 2z − 14 =

d Trước tiên, mặt phẳng Oxy ta xét đường trịn (C) tâm O bán kính R = đường thẳng x = m (0 < m < 3) (hình bên) Gọi V thể tích mặt cầu có bán kính R = 3, ta có:

1

2

V V

7

20=V =V−V ⇔ 7(V − V1) = 20V1

⇔

7

V V

27

= ⇔ 3

m

7 (9 x )dx R

27

π∫ − = π

⇔

3

m

x 28

9x

3

 

− =

 

  ⇔ ( )

3

m 28

27 9m

3

 

− − − =

 

⇔ m3− 27m + 26 = ⇔ (m − 1)(m2 + m − 26) = 0 m 3< <⇔ m=1

Từ đó, u cầu tốn phát biểu lại dạng "Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cách

I một khoảng 1", ta lần lượt:

 (α) song song với (P) nên có phương trình:

(α): 2x − y + 2z + D = (2)  (α) cách I khoảng 1, suy ra:

d(I, ( )) 1α = ⇔

2 2

2.3 2.4 D

2 ( 1)

+ +

=

+ − + ⇔ D 14+ =3 ⇔

1

D 11

D 17

= − 

 = −



Khi đó:

 Với D1 = −11 thay vào (2), ta mặt phẳng (α1): 2x − y + 2z − 11 =

 Với D2 = −17 thay vào (2), ta mặt phẳng (α2): 2x − y + 2z − 17 =

Vậy, tồn hai mặt phẳng (α1) (α2) thỏa mãn điều kiện đầu

e Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) có bán kính R = tâm I’ điểm đối xứng với I qua (P), suy I' đối xứng với I qua M nên I’(−1; 2; 0)

Khi đó, phương trình mặt cầu (S’) cần dựng cho bởi: (S’): T©m I'( 1; 2; 0)

B¸n kÝnh R

− 

 =

 ⇔ ( )

2 2

(S') : x 1+ +(y−2) +z =9

F Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) theo thiết diện

là đường tròn (C) thường gặp thêm câu hỏi:

1 Xác định toạ độ tâm tính bán kính (C) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và:

a Tiếp xúc với (S)

b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn

c Cắt (S) theo thiết diện đường trịn (C’) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C’))

3 Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB có độ dài lớn

4 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)

Với yêu cầu "Xác định toạ độ tâm tính bán kính của (C)", thực theo bước:

−3 y

x m O

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Bước 1: Bỏn kớnh rC (C) xỏc định rC= R2−d(I, (P))

Bước 2: Toạ độ tõm (C) chớnh hỡnh chiếu vuụng gúc M I trờn (P)

Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính (C)" cịn thực sau:

Bước 1: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện đường trũn cú tõm N, suy N điểm đối xứng với M qua I

Bước 2: Phương trỡnh mặt phẳng (Q) cho bởi: Qua N

(Q) :

vtpt n  

 

Các yêu cầu lại thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S)

ThÝ dô 3. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:

(P): x + 2y + 3z − 10 = 0, ( )2 ( )2

(S) : x−2 +y + z+2 =56

a Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định toạ

độ tâm M và tính bán kính r của (C)

b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường trịn lớn.

d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính bằng r

e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)

f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S)

 Giải

a Xét mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; −2) bán kính R= 56, ta có:

2 2 3.( 2) 10

d(I, (P)) 14 56

1

+ − −

= = <

+ +

Do dó, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có:  Bán kính r xác định bởi:

2

r= R −d(I, (P))= 56 14− = 42

 Toạ độ tâm M(x; y; z) (C) hình chiếu vng góc I (P), suy ra: IH (P)

H (P) ⊥   ∈

 ⇔

P

IH // n H (P)  

∈ 

 

⇔ IH t.n (1; 2; 3)P

H (P)

 =

 

∈ 

 

⇔

x t y 2t z 3t

x 2y 3z 10 − =

  =   + = 

 + + − =



⇔

x t y 2t z 3t 14t 14

= +   =   = − 

 − =



⇔ x y z t

=   =   =   = 

⇒ M(3; 2; 1)

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường trịn (C) có bán kính r= 42 tâm M(3; 2; 1) b Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:

 (Q) song song với (P) nên có phương trình:

(Q): x + 2y + 3z + D = (1)  (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:

d(I, (Q)) = R ⇔

2 2 3.( 2) D

56

1

+ − +

=

+ + ⇔|D − 4| = 28 ⇔

1

D 32

D 24

= 

 = −



Khi đó:

 Với D1 = 12 thay vào (1), ta (Q1): x + 2y + 3z + 32 =

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vy, tn hai mặt phẳng (Q1) (Q2) thỏa mãn điều kiện đầu

c Gọi (R) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:  (R) song song với (P) nên có phương trình:

(R): x + 2y + 3z + D =

 (R) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ + 3(−2) + D = ⇔ D =

Vậy, phương trình mặt phẳng (R) cần dựng có dạng x + 2y + 3z + = d Ta trình bày theo cách sau:

Cách 1: Gọi (α) mặt phẳng cần dựng, ta sử dụng giả thiết:

 (α) song song với (P) nên có phương trình: (α): x + 2y + 3z + D =

 (α) cắt (S) theo thiết diện đường trịn có bán kính r= 42, suy ra:

2

d(I, ( ))α = R −r ⇔

2 2 3.( 2) D

56 42

1

+ − +

= −

+ + ⇔

1

D 10 (lo¹i)

D 18

= − 

 =



Khi đó, với D2 = 18 ta (Q): x + 2y + 3z + 18 =

Cách 2: Giả sử mặt phẳng (α) cần dựng cắt (S) theo thiết diện đường trịn có tâm N, suy N điểm đối xứng

với M qua I nên N(1; −2; −5)

Phương trình mặt phẳng (α) cho bởi: Qua N(1; 2; 5)

( ) :

vtpt n(1; 2; 3) − − 

α 

  ⇔ (α): x + 2y + 3z + 18 =

e Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) có bán kính R= 56 tâm I’ điểm đối xứng với I qua (P), suy I' đối xứng với I qua M nên I’(4; 4; 4)

Khi đó, phương trình mặt cầu (S’) cần dựng cho : (S’): T©m I'(4; 4; 4)

B¸n kÝnh R 56

 

=

 ⇔ ( )

2 2

(S') : x−4 +(y−4) + −(z 4) =56

f Gọi (T) mặt cầu cần dựng giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự A M, suy ra:  (T) mặt cầu đường kính MA

 M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I(2; 0; 2)

(d) :

vtcp n(1; 2; 3) − 



  ⇔

x t (d) : y 2t , t

z 3t = + 

 = ∈



 = − + 



Tiếp điểm M (T) với mặt phẳng (P) giao điểm (d) với (P), suy ra: (2 + t) + 2.2t + 3(3t − 2) − 10 = ⇔ t = ⇒ M(3; 2; 1)

Tiếp điểm A (T) với mặt cầu (S) giao điểm (d) với (S), suy ra:

( )2 ( )2

(S) : 2+ −t +(2t) + − + +2 3t =56 ⇔14t2 =56⇔ = ±t Khi đó, ta với:

 Với t = ta A 4; 4; 41( ) mặt cầu đường kính M1H là:

(T1):

1

1

7

T©m T ; 3; trung điểm A M

2

7 B¸n kÝnh R T M

2

  

 



 

 

 = =



⇔

2

2

7

(T ) : x (y 3) z

2 2

 −  + − + −  =

   

   

Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 (T2):

2

2

3

Tâm T ; 1; trung điểm A M

2

Bán kính R T M 63 /

  − − 

 

  



 = =



⇔ ( )2

2

3 63

(T ) : x y z

2 2

 −  + + + +  =

   

   

Vậy, tồn hai mặt cầu (T1) (T2) thỏa mãn điều kiện đầu

HƯỚNG DẪN GIẢI

Vấn đề LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bài

1 Ta có AB=(3; 4; ,− − ) AC=(2; 3; 1− − ⇒)  AB AC,  = − − −( 8; 5; 1)

Vì ( )P qua A B C, , nên ( )P nhận n= AB AC,  = − − −( 8; 5; 1) làm VTPT Vậy phương trình ( )P là: −8(x−1) 5(− y−2) (− z−3) 0=

Hay : 8x+5y z+ −21 0= 2 Gọi M trung điểm AC, ta có: 2; ;1

2

M 

 

Vì ( )P mặt phẳng trung trực đoạn AC nên ( )P qua M nhận AC=(2; 3; 1− − ) làm VTPT

Vaäy phương trình ( )P là: 2( 2) 1

2

x− − y− − z− =

   

Hay : 2x−3y z− =

3 Ta coù MN =(0; 2; 1− ⇒)  AB MN,  = −( 12; 3; 6− − )

Vì ( )P qua M N, song song với AB nên ( )P nhận , (4;1; 2)

n= − AB MN =   

laøm VTPT

Vậy phương trình ( )P là: 4x y+ +2(z−1) 0= ⇔4x y+ +2z− =2 4 Gọi A A A1, 2, 3 hình chiếu A lên trục Ox Oy Oz, , Ta có A1(1; 0; , 0; 2; , 0; 0; 3) A2( ) A3( ) nên phương trình ( )P là:

1 6

1

x + y z+ = ⇔ x+ y+ z− =

Bài Xeùt hai điểm B,C thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( ), ( ).α β

Khi tọa độ điểm B,C thỏa mãn hệ x y z

3x y z − + − = 

 − + − =



Chọn y 0= x 3,z 11 B 3;0; 11

2 2

 

= − = ⇒ − 

 

Chọn z 0= x 3,y 11 C 3; 11;0

2 2

 

= − = − ⇒ − − 

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Chỳ ý: Nu chn giỏ trị x (hoặc y,z) mà hệ vơ nghiệm hai mặt phẳng khơng qua điểm có hồnh độ (hoặc tung độ, cao độ) Chẳng hạn, này, chọn

3 x

2

≠ − trừ vế với vế hai phương trình trên, ta ln có x

2 = −

1 Mặt phẳng (P) mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.Ta có

5 11 11 11

AB ; 8; , BC 0; ; AB, AC (23; 5;5)

2 2

− − −   − − ⇒ = − −

     

   

   

Phương trình mặt phẳng (P)

23(x 1) 5(y 8) 5(z 2) 0− − − + − = ⇔23x 5y 5z 0.− + + =

2 Mặt phẳng (P) vng góc với (Q) nên n(P) ⊥n , n(Q) (P) ⊥BC ta có véc tơ pháp tuyến

nó n(P) n ,BC(Q) 11(7; 1; 1)

2

 

= = − −

 

Mặt phẳng (P) cần tìm 7x y z 0.− + + =

3 Giả sử véc tơ pháp tuyến (P) n (A;B;C).(P) Vì (P) qua B,C nên n BC 0(P) = ⇔ = −C B

Vaäy n (A;B; B).(P) −

Ta coù

2 2

A.1 B.2 ( B).( 2)

1 cos ,

33 A B ( B) 3

+ + − −

= ϕ =

+ + −

2 2 2

3(A 2B ) 11(A 4B) 4A 44AB 85B

5 17

(2A 5B)(2A 17B) A B, A B

2

+ = + ⇔ + + =

⇔ + + = ⇒ = − = −

Nếu A 5B

2

= − chọn B= − ⇒2 A 5,C 2= = neân

(P) : 10x 4y 4z 0.− + − =

Nếu A 17B

2

= − chọn B= − ⇒2 A 17,C 2= = nên

(P) : 34x 4y 4z 29 0.− + + =

Bài

1 Ta coù n =(1; 2; 3− ) VTPT ( )P

Vì ( ) / /( )α P neân n =(1; 2; 3− ) VTPT ( )α Vậy phương trình ( )α là: x−2y+3z+ =1

2 Ta có a=(1;1;1) VTPT ( )β , AB= − − −( 3; 3; 4) Suy a AB ,  = − ( 1;1; 0)

Vì ( )α qua A B, ( ) ( )α ⊥ β nên ( )α nhận n=  a AB,  = −( 1;1; 0) làm VTPT Vậy phương trình ( )α là: x y− − =1

3 Vì ( )α chứa trục Ox vng góc với ( )Q nên ( )α nhận n =  a i ,  làm VTPT Trong i=(1; 0; , (2; 3; 1)) a= − VTPT ( )Q nên n =(0;1; 3)

Vậy phương trình ( )α là: y+3z=

Tµi liệu toán 12 năm học 2018 AB, AC ( 12; 18; 60) 6(2; 3; 10)

  = − − − = −

 

Do ( )α mặt phẳng qua A(2;8;5) có véc tơ pháp tuyến n(2;3;10) nên có phương

trình

2(x 2) 3(y 8) 10(z 5) 0− + − + − = ⇔2x 3y 10z 78 0.+ + − =

Vaäy ( ) : 2x 3y 10z 78 0.α + + − =

Cách 2: Gọi mặt phẳng ( )α cần tìm có phương trình

2 2

Ax By Cz D 0, A+ + + = +B +C >0

Mặt phẳng ( )α qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3) nên

2A 8B 5C D 18A 14B D

18A 14B D 16A 6B 5C

12A 8B 3C D 6A 6B 3C

+ + + = + + =

 

 + + = ⇔ + − =

 

 + + + =  + − =

 

Từ ta tính C 5A,2B 3A,D= = = −39A

Do A2+B2 +C2>0 nên chọn A 2= B 3;C 10,D= = = −78, hay phương trình mặt phẳng cần

tìm ( ) : 2x 3y 10z 78 0.α + + − =

5 Gọi I trung điểm EF, ta coù I(3; 5; 4),EF( 4; 6; 6). − −

Mặt phẳng trung trực EF mặt phẳng qua I có véc tơ pháp tuyến EF( 4; 6; 6), − −

phương trình ( )α

4(x 3) 6(y 5) 6(z 4) 2x 3y 3z

− − + − − − = ⇔ − + − =

Vaäy ( ) : 2x 3y 3z 0.α − + − =

6 Phương trình mặt phẳng (Oyz) x 0= ⇒n(Oyz)(1;0;0)

Mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng (Oyz) nên có véc tơ pháp tuyến n(Oyz)(1;0;0), nên

phương trình mặt phẳng ( )α laø

1.(x 2) 0.(y 3) 0.(z 5) 0− + − + − = ⇔ − =x

Vaäy ( ) : x 0.α − =

7 Ta coù n (1;2; 5),n (2; 3; 1).( )β − ( )γ − −

Mặt phẳng ( )α vng góc với hai mặt phẳng ( ),( )β γ nên

( ) ( ) ( )

n α =n ,n β  γ = −( 17; 9; 7).− −

Phương trình mặt phẳng ( )α cần tìm

17(x 1) 9(y 3) 7(z 2) 17x 9y 7z

− − − + − − = ⇔ + + − =

Vaäy ( ) : 17x 9y 7z 0.α + + − =

8 Hình chiếu điểm H( 2;1;5)− lên trục Ox,Oy,Oz M( 2;0;0),N(0;1;0),P(0;0;5).−

Phương trình mặt phẳng (MNP)

x y z

1 5x 10y 2z 10 5+ + = ⇔ − − + = −

Vaäy ( ) : 5x 10y 2z 10 0.α − − + =

Bài

Tài liệu toán 12 năm học 2018

(1;1; 3) P Q

n = n = Vaäy ( )P có phương trình :

1(x−1) 1(+ y−2) 3(+ z−1) 0= ⇔ + +x y 3z− =6

2 Vì ( )P qua M N E, , neân n =[ MN NP, ] ( 1; 2; 0)= − − VTPT Vậy phương trình ( ) :P x+2y =0

3 Gọi I trung điểm (0;1; )3

MN ⇒ I Vì ( )P mp trung trực đoạn MN nên ( )P

ñi qua nhận MN =(0; 0; 1)− làm VTPT Vậy phương trình ( ) : 2P z− =3

4 Tọa độ hình chiếu A lên trục tọa độ A1(1; 0; ,) A2(0; 2; ,) A3(0; 0; 3) Áp dụng phương trình đoạn chắn ta có phương trình mp(P) là:

1 6

1

x + y z+ = ⇔ x+ y+ z− =

5 Vì ( )P qua B C, vng góc với ( )R ( ( )R có nR = (1;1;1) VTPT) Nên ( )P nhận ,nP =  BC nR =(0;1; 1)− làm VTPT

Vậy phương trình ( ) :P y z− − =2

6 Ta có nα =(1; 0; 0), (0;1; 1)nβ = − VTPT ( ), ( )α β

Vì ( )P vng góc với hai ( )α ( )β nên nP =  n nα, β =(0;1;1) VTPT ( )P

Vậy phương trình ( ) :P y z+ − =5

Bài

1 Giả sử ( )α cắt trục Oz điểm M(0; 0; ).t

Ta coù AB( 2; 2;1),− AM( 3; 0; )− t neân  AB AM,  = (2 ; 2t t−3; 6)

Vì , (2 )2 (2 3)2 62 12 45

2 2

ABM

S =  AB AM = t + t− + = t − t+

Theo baøi ,

2 ABM

S = neân 8t2−12t+45 9= ⇔8t2−12t−36 0,= hay 3;

t= t= −

• Với t =3  AB AM,  = (6; 3; 6) nên phương trình ( ) : 2α x y+ +2z− =6

• Với

2

t= −  AB AM,  = − − ( 3; 6; 6) nên phương trình ( ) :α x+2y−2z− =3

2 Giả sử ( )α cắt trục Oy điểm N(0; ; 0).t

Ta coù AB( 2; 2;1),− AC( 1; 1; 2),− − AN( 3; ; 0)− t neân

1

, (5; 3; 4) ,

6

ABCN

AB AC V AB AC AN t

  = ⇒ =   = −

   

    

Vì 12 24 29; 19

2 t− = ⇔ −t = ⇒ =t t= −

• Nếu 29 , (29; 3;16)

2

t= ⇒ −  AC AN = nên phương trình ( ) : 29α x+3y+16z−87 0=

• Nếu 19 , (19; 3; 8)

2

t= − ⇒  AC AN = − nên phương trình ( ) : 19α x−3y+8z−57 0.= 3 Phương trình mặt phẳng (OBC) : x y− =0 phương trình mặt phẳng

( )P

Tµi liƯu toán 12 năm học 2018

(ABC) : 5x+3y+4z15 0.=

Vì ( )α qua B C, tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC nên ( )α cắt cạnh OA M∈( )α

thì d M OBC( , ( )) =d M ABC( , ( ))

Gọi M x y z( ; ; ) từ điều kiện d M OBC( , ( )) =d M ABC( , ( )) suy hai mặt phẳng chứa M thỏa mãn x+3y− =5 0,10x+3y z− −15 0.=

Mặt phẳng 10x+3y z− −15 0= cắt OA điểm ;0;0

N 

  nằm đoạn thẳng OA nên

mặt phẳng cần tìm ( ) : 10α x+3y z− −15 0.=

Bài

1 Vì mặt phẳng ( )α chứa Ox nên phương trình ( )α có dạng: ay bz+ =0 với a2+b2 ≠ Do A∈( )α nên: 2a+3b=0, chọn b= − ⇒2 a=3

Vaäy phương trình ( ) : 3α y−2z=0

2 Cách 1: Vì ( )α cách C D, nên ta có hai trường hợp: TH1: CD/ /( )α ,  AB CD,  = n VTPT ( )α

Maø AB= −( 3;1; , 4; 4; 4− ) CD= − −( )⇒ n = −( 12; 28;16)

Trường hợp ta có phương trình ( )α là: 3x−7y−4z+23 0=

TH 2: CD∩( )α ={ }I , ta có I trung điểm CD, suy I(− −2; 1; 3) Mặt phẳng ( )α qua A B I, ,

Ta coù AI = − −( 3; 3; ,) BI =(0; 4; 4− )⇒  AI BI,  = −( 12;12;12)

Trường hợp ta có phương trình ( )α là: x y z− − + =4 Cách 2: Vì ( )α qua A nên phương trình ( )α có dạng:

( 1) ( 2) ( 3)

a x− +b y− +c z− = ⇔ax by cz a+ + − − b− c= (*)

Do B∈( )α neân −3a b+ −4c = ⇒ =0 b 3a+4c (1)

Mặt khác: d C( , ( )α ) =d D( , ( )α ) neân ta coù:

2 2 2

2 5

a b c a b c

a b c a b c

− − − − − +

=

+ + + +

2 5

2 5

a b c a b c a c

a b c a b c a c

 + + = + −  + =

⇔  ⇔ 

+ + = − − + + =

 

• 4a+3c=0 ta chọn c= − ⇒ =4 a 3,b= −7, suy phương trình ( )α là: 3x−7y−4z+23 0= • a c+ = ta chọn c= − ⇒ =1 a 1,b= −1, suy phương trình ( )α là: x y z− − + =4

Bài

1 Vì ( )α qua A nên phương trình ( )α có dạng:

( 1) ( 1) ( 1) (1)

a x+ +b y− +c z− =

Do B∈( )α nên ta có: 4a b c− + = ⇒ =0 b 4a c+

Mặt khác ( )

2 2 2

2

, ( ) 2

(4 )

a b c a c

d C

a b c a a c c

α = ⇔ − − = ⇔ + =

Tài liệu toán 12 năm học 2018

2 2 2

(a )c 17a 8ac 2c 8a 2ac c c ,a c 4a

⇔ + = + + ⇔ + − = ⇔ = − =

• c= −2a ta choïn a = ⇒ = −1 c 2,b=2 nên phương trình ( ) :α x+2y−2z+ =1

• c =4a ta chọn a = ⇒ =1 c 4,b=8 nên phương trình ( ) :α x+8y+4z−11 0= 2 Ta coù M x y z( ; ; ) điểm thuộc ( )α chæ

( , ( )) ( , ( )) 2 2

3

x y z x y z

d M P = d M Q ⇔ + + − = − + −

2 2 3

2 2 4

x y z x y z x y

x y z x y z x y z

 + + − = − + −  + + =

⇔  ⇔ 

+ + − = − + − + − + − =

 

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu toán:

1

( ) :α x+3y+ =3 vaø ( ) : 3α2 x y− +4z− =5

3 Gọi E F, hai điểm nằm giao tuyến hai mặt phẳng ( )P ( )Q Khi tọa độ E F, nghiệm hệ : 2

2

x y z

x y z

 + + − =



− + − =

 (*)

Cho x=0, từ (*) ta có y = −1,z= ⇒1 E(0; 1;1− )

Cho x=6, từ (*) ta có y = −3,z= − ⇒4 F(6; 3; 4− − )

Suy EF=(6; 2; 5− − )

Vì ( )α qua E F, vng góc với ( )β nên ( )α nhận n = EF a ,  làm VTPT Trong a=(3; 2; 1− ) VTPT ( )β nên n =(12; 9;18− )

Vậy phương trình ( ) : 4α x−3y+6z− =9

Bài

1 Vì ( ) / /( )P Q ⇒( ) : 2P x−3y−6z D+ =0 Maø

2 2

| |

( , ( )) 5 35

2

D

d O P = ⇒ = ⇔ D= ±

+ +

Vậy phương trình ( ) : 2P x−3y−6z±35 0= 2 Giả sử ( ) :P ax by cz d+ + + =

Ta có A(2; 1; 0), (5;1;1)− B điểm chung ( )α ( )β

Vì ( )P qua giao tuyến hai mặt phẳng ( )α ( )β nên A B, ∈( )P nên ta có:

2

5

a b d b a d

a b c d c a d

 − + =  = +

⇔

 

+ + + = = − −

 

Maët khaùc: ( )

2 2

1

7

, ( )

6

c d d M P

a b c

+

= ⇒ =

+ +

2 2 2 2

7

2 27( ) 49( )

3

c d a b c c d a b c

⇔ + = + + ⇔ + = + +

2 2

27.49a 49a (2a d) (7a )d 

⇔ =  + + + + 

  27 32 5

27

a d

a ad d

a d

 = − 

⇔ + + = ⇔  = −



Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 ã d= =a b a c; = −5a

Suy phương trình ( ) :P ax ay+ −5az a− = ⇔ + −0 x y 5z− =1

• 27 17 ; 36

5 5

d= − a⇒ = −b a c= − a Suy phương trình ( ) : 5P x−17y−36z−27 0=

Bài

1 Mặt phẳng ( )α qua A(1; 0; 2) nên có phương trình dạng:

2 2

( 1) ( 2) 0,

A x− +By C z+ − = A + B +C >

Vì ( )α qua B(2; 3; 3)− nên A−3B C+ = ⇔0 A= 3B C−

Véc tơ pháp tuyến ( )α nα =(3B C B C− , , ), ( )β nβ =(4,1,1), neân

0

2 2

4(3 )

cos 60 cos( , )

(3 ) 18

B C B C

n n

B C B C

α β

− + +

= =

− + +

 

Suy ( 2)

2

4(3 )

1 9 5 3 (13 3 )

2 6 5 3

B C B C

B BC C B C

B BC C

− + +

= ⇔ − + = −

− +

2 51

124 51 0;

124

B BC B B C

⇔ − = ⇔ = =

• Nếu B=0 chọn C= − ⇒1 A=1 neân ( ) :ga x z− + =1

• Nếu 51

124

B= C chọn C=124⇒ A=29 nên mặt phẳng cần tìm : ( ) :29α x+51y+124z−277 0.=

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là: ( ) :29α x+51y+124z−277 0; ( ) := α x z− + =1

2 Mặt phẳng ( )α qua C(2; 3;5)− nên có phương trình dạng

2 2

( 2) ( 3) ( 5) 0,

A x− +B y+ +C z− = A +B +C >

Vì ( )α ⊥( )P nên A−5B C− = ⇔0 A=5B C+ (1) Vì góc ( )α ( )Q 450 nên

2 2

2 1

(2)

A B C

A B C

+ +

=

+ +

Thế (1) vào (2) ta có

2 2

4 1 ,

2

(5 )

B C

B C B C

+

=

+ + +

hay

2 2 2

2(4B C) (5B C) B C B BC B

B C

 =

+ = + + + ⇔ + = ⇔ 

= − 

Neáu B=0 có phương trình ( ) :α x z+ − =7 Nếu có phương trình ( ) : 4α x y z+ − =0

Bài 10 (P) :2x y 2z 0+ − − = vaø A(1;2; 1),− B(0;1;2),C( 1; 1;0).− −

1 M Ox M(x;0;0), d(M, (P)) 2x 3

−

∈ ⇒ = =

Các điểm cần tìm M(6;0;0) M( 3; 0; 0).−

2 N Oy∈ ⇒N(0;y;0) Vì d(N, (P)) NA= nên

2 2

y

1 (2 y) ( 1)

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Khoõng ton taùi ủieồm N thoỷa mãn

3 Gọi K(x; y; z) ta có heä

2 2

K (P) 2x y 2z KB KC 2x 4y 4z

3

KA (x 1) (y 2) (z 1)

2

 

 ∈  + − − =

 

= ⇔ + + =

 

 

 =  − + − + + =

 

Giải hệ ta tìm K 1; 2; , K 2; ;

2 3

− −   − 

   

   

4 Từ HA HB HC= = với H(x;y;z) ta có hệ phương trình 2x y 2z

13

2x 4y 4z H ; ;

6 3

2x 2y 6z

+ − − =



 + + = ⇒  − 

  

 

 + − =



Bài 11

1 Xét hệ phương trình:

2

x y z

x y z

 + − + =

 + + − =



* Cho z= ⇒ =1 x 6,y= − ⇒4 A(6; 4;1) ( ) ( )− ∈ Q ∩ R * Cho z= ⇒ = −0 x 4,y= ⇒3 B( 4; 3; 0) ( ) ( )− ∈ Q ∩ R

Ba mặt phẳng cho qua đường thẳng ⇔ A B, ∈( )P

4

3

m n m

m n

− + = −  =

⇔  ⇔ 

= =

  giá trị cần tìm

Ta có: n =(1; 2; 4) VTPT ( )P

Vì ( )α qua A nên phương trình ( )α có dạng:

( 6) ( 4) ( 1)

a x− +b y+ +c z− =

Do B∈( )α nên ta có: c= −10a+7b Suy v =(a b; ; 10− a+7b) VTPT ( )α

Nên theo giả thiết ta coù:

2 2

39 30

cos

21. (7 10 )

n v a b

n v a b b a

ϕ = = − +

+ + −

    Suy

2 2

39 30

23 23

cos

679 21. (7 10 ) 679

a b

a b b a

ϕ = ⇔ − + =

+ + −

( 2 )

97 39a 30b 23 101a 50b 140ab

⇔ − = + −

( )2 2( 2 2)

3.97 13a 10b 23 101a 140ab 50b

⇔ − = − +

2 53

85 32 53 ,

85

a ab b a b a b

⇔ + − = ⇔ = − =

• a = −b ta chọn b= − ⇒ =1 a 1,c= −17 Phương trình ( ) :α x y− −17z+ =7

• 53

85

Tài liệu toán 12 năm học 2018

2 a) Ta coự:

1 (1;1;1), (2; 3; 4), (1; 2; 2)1

nα = nα = nα = −

  

VTPT ba mặt phẳng

1

( ), ( ), ( )α α α Vì 1 ( )1

2 ≠ ≠ ⇒ α vaø ( )α2 caét

Tương tự ta chứng minh hai mặt phẳng ( )α1 ( )α3 cắt

b) Xét hệ phương trình :

2

x y z

x y z

 + + − = 

+ + − =

 (1)

• Cho (1) (8; 5; 0) ( ) ( )1 2

2

x y x

z B

x y y α α

 + =  =

= ⇒ ⇔  ⇔  ⇒ − ∈ ∩

+ = = −

 

• Cho z= ⇒ =1 x 9;y= − ⇒7 C(9; 7;1) ( ) ( )− ∈ α1 ∩ α2

Vì ( )P qua A giao tuyến hai mặt phẳng ( )α1 ( )α2 nên ( ) (P ≡ ABC) Từ ta lập phương trình ( ) : 7P x+8y+9z−16 0=

c) Vì ( )Q qua giao tuyến hai mặt phẳng ( )α1 ( )α2 nên ( )Q qua hai điểm B C,

Mặt khác: ( ) ( )Q ⊥ α3 neân ( )

3

, 2; 1;

n =BC nα  = − −

 

  

VTPT ( )Q Vậy phương trình ( ) : 2Q x y+ −11 0=

3

a)

Hai mặt phẳng (P) (Q) trùng

4 a a a 22

4 a a a a

22 22 a a a

2 b

b

3 b

− − −

 =  =



− = − − = = ⇔ ⇔

− − − = =

 = = 



Vậy không tồn a, b để hai mặt phẳng trùng

Hai mặt phẳng (P) (Q) song song a a a a,

2 b

− = − − = ≠ giải ta có a 22, b 22.

9

= = −

Hai mặt phẳng cắt chúng không song song, không trùng

nhau nên (P) (Q) cắt với giá trị a,b trừ a 22, b 22

9

= = −

b)

Nếu a 0= c 0= nên thay vào thấy không thỏa mãn

Nếu c 0= c a 0− = a 0= khơng thỏa mãn

Xét a 0,c 0,a c≠ ≠ ≠ hai mặt phẳng (P) (Q) song song

chỉ a a a a

3 c a(c a) c

− = − − = ≠

−

Do đó: a a a a a a

3 c c a c c a a

− = − − = ⇒ − = − − − ⇒ − =− −

− − +

Hay a2−7a 18 0− = ⇒ =a 9;a= −2.

Với a 9= c 42

5

= với a= −2 c

2 = −

Vậy cặp số cần tìm (a;c) 9; 42 , 2;

5

   

=  − − 

 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 a 3(a 5) 2a a − + + + = ⇔ = −a 11

Vì (P) vng góc với (R) nên 3(4 a) (a 5).c a.a(c a) 0,− − + + − = hay

1376 45 6c 121(c 11) c

127

+ + + = ⇔ = −

Vậy giá trị cần tìm a,c (a;c) 11; 1376

127

 

= − − 

 

Bài 12 Ta kí hiệu n( )α để VTPT mặt phẳng ( )α 1 Ta có AB( 1; 5; 3),− − n( )P (2; 1; 1)− − nên  AB n, ( )P  = (8;5;11) Mặt phẳng ( )α qua A B, vng góc với mặt phẳng ( )P nên

( ) , ( ) ( )P ( ) , ( )P (8;5;11)

nα ⊥ AB nα ⊥ n ⇒ nα = AB n  =

       Phương trình mặt phẳng ( )α cần tìm: 8x+5y+11z− =7

2 Gọi M x y z( ; ; ) điểm thuộc mặt phẳng ( )α Ta coù

2 2 2

2 2 2

( , ( )) ( , ( ))

1 ( 2) 2

x y z x y z

d M β =d M γ ⇔ + − + = + + +

+ + − + +

2 2 2

2 2 2

2 2 2

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

 + − + = + + +

⇔ + − + = + + + ⇔ 

+ − + = − − − −



3

3

x z

x y z

 + + =

⇔  + − + =



Vậy có hai mặt phẳng ( )α cần tìm

( ) :α x+3z+ =1 ( ) : 3α x+4y z− + =5

3 Mặt phẳng ( )α qua điểm C( 1; 0; 2)− nên có phương trình dạng

2 2

( 1) ( 2) 0,

a x+ +by c z+ − = a +b +c >

Vì ( )α qua D(1; 2; 3)− neân 2a−2b c+ = ⇒ =0 c 2b−2 (1).a

Ta coù d O( , ( )) 2α = neân

2 2

2

2 (2)

a c

a b c

−

=

+ +

Thế vào bình phương, rút gọn ta thu

2 2

5 2

5

a b

a ab b

a b

 = 

− − = ⇔  = −



Do a2 +b2+c2 >0 nên

• Với a=2b chọn b= ⇒ =1 a 2,c = −2, phương trình( )α : 2x y+ −2z+ =6

• Với

5

a= − b chọn b= − ⇒ =5 a 2,c= −14, phương trình mặt phẳng ( )α 2x−5y−14z+30 0.=

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn 2x y+ −2z+ =6 0, 2x−5y−14z+30 0.= 4 Mặt phẳng ( )α qua E(0; 1; 1) có phương trình dạng:

2 2

( 1) ( 1) 0,

Ax B y+ − +C z− = A + B +C >

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Theo baứi ( , ( )) 2; ( , ( )) 11

d A α = d B α = neân

2 2

2 2

2 2

2

2

2 (1)

4 11 11 2 14 4 (2)

7

A B C

A B C A B C

A B C

B C A B C B C

A B C

 + −

 = 

 + − = + +

 + + ⇔ 

 

− + + − = − +

 

= 

 + +



Từ ta có

67 36

11( ) 14( ) 11

11( ) 14(4 ) 45

11

B C

A

A B C B C

A B C B C A B C

 − +

= 

 + − = − +

 ⇔

 + − = − +



 =



• Với 67 36 ,

11

B C

A= − + thay vào (1) ta có phương trình

2

2 2

56 14 4 67 36 3826 4432 1368 0 (3)

11 11

B C  B C B C  B BC C

− +  − +  

= + + ⇔ − + =

    

    

Phương trình có nghiệm B C= = 0, A=0 (khơng thỏa mãn điều kiện

2 2 0

A +B +C > )

• Với 45 ,

11

B C

A= + thay vào ta có phương trình

2

2 2

56 14 4 45 1362 1112 136 0

11 11

B C  B C B C  B BC C

 −   +  

= + + ⇔ + + =

    

    

2 , 34 .

3 227

B C B C

⇔ = − = −

• Với

3

B= − C chọn C = − ⇒3 B=2,A=6 phương trình ( ) : 6α x+2y−3z+ =1

• Với 34

227

B= − C chọn C =227⇒B= −34,A=26 phương trình ( )α 26x−34y+227z−193 0.=

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: 6x+2y−3z+ =1 0, 26x−34y+227z−193 0.=

5 ( )α qua A(1;2;3) nên có phương trình dạng

2 2

A(x 1) B(y 2) C(z 3) 0, A− + − + − = +B +C >0

( )α qua B(5; 2;3)− neân B A.=

Vì (( ), ( )) 45α β = 0 neân 5A C 2A− = 2+C ,2 suy

2

7A 10AC 8C A 2C, A C

− − = ⇒ = = −

Từ tìm hai mặt phẳng thỏa mãn

( ) : 2x 2y z 0, ( ) : 4x 4y 7z 0.α + + − = α + − + =

6 ( )α qua C(1; 1; 1)− nên có phương trình dạng

2 2

A(x 1) B(y 1) C(z 1) 0, A− + + + − = +B +C >0

Vì (( ), ( )) 60α γ = 0 neân 2 A B− = 2(A2+B2+C ).2

Vì d(O,( ))

α = neân 3 A B C− + − = 2(A2+B2+C ).2

(2)

(3)

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Suy A B− = − + −3 A B C

Do có hai trường hợp

Với C 5(B A)

3 −

= 2(A B)2 A2 B2 25 B A

3 −

 

− = + +  

  neân

2

8A −7AB 8B+ = ⇒0 A B 0= = (loại)

Với C B A

3 −

= 2(A B)2 A2 B2 B A

3 −

 

− = + +  

  neân

2

4A 17AB 4B A 4B, A B

4

− + = ⇒ = =

Từ ta có hai mặt phẳng thỏa mãn

4x y z 0; x 4y z 0.+ − − = + + + =

Bài 13

1 Gọi M ( ),M(x,y,z).∈ α Từ d(M,( )) d(M,(α1 = α2)) suy phương trình mặt phẳng cần tìm

( ) : 5x 2y 7z 34 0.α + + + =

2 ( )α song song với (α3) : 6x 3y 2z 0− − + = nên

( ) : 6x 3y 2z D (D 1).α − − + = ≠

d(A,( )) D D 5; D

+

α = ⇔ = ⇒ = = −

Có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán

( ) : 6x 3y 2z 0, ( ) : 6x 3y 2z 0.α − − + = α − − − =

3 ( )α qua B( 5;0; 3)− − nên có phương trình dạng

2 2

A(x 5) By C(z 3) 0, A+ + + + = +B +C >0

( )α qua C(2; 5;0)− neân B 7A 3C

5 + =

Ta coù d(M,( )) d(N,( ))α = α ⇔ 6A 2B 3C− − = 4A 4B 5C − +

Giaûi ta có hai mặt phẳng thỏa mãn

( ) : x 2y z 0, ( ) : 17x 31y 12z 121 0.α + + + = α + + + =

4 ( )α qua D(1; 3; 1)− nên có phương trình dạng

2 2

A(x 1) B(y 3) C(z 1) 0, A− + + + − = +B +C >0

( )α vuông góc với mặt phẳng 3x 2y 2z 0− + + = nên 2C 2B 3A.= −

Ta coù

2 2

4A 5B 2C

d(E,( )) 3

A B C

+ +

α = ⇔ =

+ +

Suy (A 7B)2 9 A2 B2 2B 3A ,

2

  −  

+ =  + +  

 

 

  tức

2 62

113A 164AB 124B A 2B; A B 113

− − = ⇒ = = −

Có hai mặt phẳng thỏa mãn

( ) : 2x y 2z 0, ( ) : 62x 113y 206z 195 0.α + − + = α − − − =

5 ( )α qua F(4;2;1) neân có phương trình dạng

2 2

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Vì d(I,( )) 7, d(J,( ))

3

α = α = nên ta có hệ

2 2

2 2

2 2

3A 3B C

3 3A 3B C A 2B

A B C

A 2B A 2B A B C

1

A B C

 − − +

=

  − − + = − +

+ +

 ⇔

 

− + − + = + +

 = 

 + +



Có hai trường hợp

Với C 16A 5B

3 −

= 256A2 124AB 2B2 0 A 1B; A B.

2 64

− − = ⇒ = = −

Suy mặt phẳng thỏa mãn

( ) : x 2y 2z 10 0, ( ) : x 64y 112z 12 0.α + + − = α − + + =

Với C 2A 23B

3 +

=

2 32 58 32 58

2A 64AB 251B A B; A B

2

− − − +

+ + = ⇒ = =

Suy mặt phẳng thỏa mãn

( ) : ( 32 58 )x 2y (6 58 )z 130 14 58 ( ) : ( 32 58 )x 2y (6 58 )z 130 14 58

α − − + − + + + =

α − + + − − + − =

Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

Câu 115 Chọn D Câu 116.Chọn D. Câu 117.Ta cần ý

● Khi D 0   qua gốc tọa độ

● Nếu   



0

BC

A D   chứa trục Ox ChọnB

Câu 118.Ta có  P song song với  Q nên có dạng:  P : 2x y 5z D với D0

Lại có  P qua E1;2; 3  nên thay tọa độđiểm E vào phương trình  P , ta D15 Vậy  P : 2x  y 5z 150 Chọn C.

Câu 119. Mặt phẳng  P qua A0;1;1 nhận AB1;1;2 làm VTPT nên có phương trình

 P x:  y 2z 3 0.Chọn A.

Câu 120. Mặt phẳng  P qua G1;1;1 nhận OG1;1;1 làm VTPT nên có phương trình

 P x:    y z Chọn A.

Câu 121. Mặt phẳng cần tìm qua A2;1; 1  nhận BC  1; 2; 5 làm VTPT nên có phương trình

2 5

x y z  Chọn C.

Câu 122.Tọa độtrung điểm AB   

 

9

;5;

2

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Mặt phẳng cần tìm qua 9;5;1

2

M  nhận AB1;8;5 làm VTPT nên có phương trình

8 47

x y z  Chọn D

Câu 123. Do   đối xứng với   qua I nên      

Suy   : 4x3y7z D với D3

Chọn M0;1;0    , suy tọa độđiểm N đối xứng với M qua I N2; 3;2  Rõ ràng N2; 3;4     nên thay tọa độvào phương trình   , ta D11 Vậy phương trình mặt phẳng   : 4x3y7z110 Chọn B.

Câu 124.Ta có AB1;0; 3  AC  1;1;0 Suy AB AC,   3;3;1

 

 

Mặt phẳng cần tìm qua A3; 1;2  nhận AB AC,   3;3;1

 

 

làm VTPT nên có phương trình

3x3y z  8 Chọn B

Câu 125. Mặt phẳng   chứa trục Oz nên phương trình có dạng Ax By 0 với A2B2 0.

Lại có   qua P2; 3;5  nên 2A3B 0 Chọn B  2 A3 Vậy phương trình mặt phẳng   : 3x 2y 0 ChọnC.

Câu 126.Ta có MN  1;1; 4 , trục Oy có VTCP j0;1;0 Suy MN j ,   4;0; 1 

Mặt phẳng   qua M1; 1;5  nhận  MN j,   4;0; 1  làm VTPT nên có phương trình

  : 4x z  1 Chọn A

Câu 127.Ta có a b,     10;4;6 1 10; 4; 6   

 

 

Mặt phẳng   qua M0;0; 1  nhận a b,     10;4;6

 

 

làm VTPT nên có phương trình

  : 10 x4y6z 6 Chọn A

Câu 128. Mặt phẳng  P có VTPT nP 2;0; 1   Q có VTPT nQ0;1;0

Ta có n nP, Q  1;0;2

 

 

Mặt phẳng   qua A2; 1;1 và nhận n n P, Q  1;0;2 làm VTPT nên có phương trình   :x2z 4

Chọn B

Câu 129.Ta có PQ   1; 1;4, mặt phẳng  P có VTPT nP 3;2; 1 



Suy PQ n, P    7;11;1

 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Mặt phẳng   qua P2;0; 1  nhận PQ n, P    7;11;1

 

 

làm VTPT nên có phương trình

  : 7 x11y z 150 Chọn C

Câu 130.Phương trình mặt phẳng   theo đoạn chắn : x   y z

a b c

Mà M8;0;0 , N0; 2;0 ,  P 0;0;4 thuộc   nên  :     1 2  8

8

x y z

x y z

 Chọn D.

Câu 131.Từgiảthiết, ta có M 4;0;0 , N 0; 3;0 ,  P0;0;2

Phương trình mặt phẳng MNPtheo đoạn chắn là:

   1 4 6 120

4

x y z

x y z ChọnB

Câu 132.Ta có  P OzM0;0;2 Mặt phẳng Oxy có VTPT k0;0;1

Mặt phẳng cần tìm  P qua M0;0;2 nhận k0;0;1 làm VTPT nên có phương trình  P z:  2

Chọn A

Câu 133. Do A  OxA a ;0;0 Tương tự B0; ;0b  C0;0;c

Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC ; ;

3 3 a b c G 

Kết hợp với giảthiết, ta a3;b6;c9

Vậy phương trình mặt phẳng  :

3

x y z

    hay   : 6x3y2z180 Chọn C. Câu 134.Vì A Ox B Oy C Oz ,  ,  nên   có dạng x   y z

a b c

Vì H 2;1;1       2 1 2bc abac abc a b c



Và H trực tâm tam giác 0

2

AH BC c b

ABC

c a BH AC

    

 

 

  

 

 

  

 

Từđó, ta a3,b c

Do phương trình mặt phẳng  :

3 6

x y z

    hay   : 2x   y z Chọn A.

Câu 135.Ta có  

 

0;3; 2;0;

AB AC

  



    



 , suy AB AC,     18;12;6

 

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Do SBH ABC nờn mt phẳng SBH có VTPT

AB AC SB, ,    6; 30;42

 

  

Vậy mặt phẳng SBH qua điểm B0;3;0 có VTPT

AB AC SB, ,    6; 30;42

 

  

nên có phương trình x5y7z150 Chọn A

Câu 136 Ta có ,  3.1 4.2 22 2.3 42 29

3

d A P       

  Chọn C.

Câu 137 Vì H hình chiếu vng góc A   Do AH d A ,  Mà      

  2 2

2

16.2 12 15 11 ,

5

16 12 15

d A        

    Chọn B.

Câu 138 Ta có AB  2;2; 1  BC0; 1;1  nên AB BC;   1;2;2

 

 

Suy phương trình mặt phẳng ABC x: 2y2z 9

Khi  

2 2

9

,

1 2

d O ABC    

  Chọn B.

Câu 139 Ta có  S x: 2y2 z2 2x  y z 220

hay     2  2 2

: 1 25

S x  y  z 

Suy mặt cầu  S có tâm I1;1;1

Khoảng cách cần tìm là:  

 2

2

3.1 2.1 6.1 14

,

3

d I P      

   Chọn C.

Câu 140 Bán kính  S là:     

   2

2

2.2 2.1 1 4

,

3

2

Rd I       

    Chọn C.

Câu 141 Ta có  

 

3,0,1 4, 1,2

BC BD    

    





Suy mặt phẳng BCD có VTPT  BC BD,   1,2,3

Do mặt phẳng BCD có phương trình x2y3z 7

Suy bán kính mặt cầu cần tìm: ,  14

14

Rd A BCD      Chọn C.

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Ta cú      

 2 2

3.4

, 19

3

d I P        

  

Bán kính đường trịn giao tuyến là: r R2d I P2 ,  5219 6

  Chọn C.

Câu 143 Mặt cầu  S có tâm I3; 2;0  bán kính R5

Mặt phẳng cần tìm cắt  S theo đường trịn có bán kính

r 3 d I P ,  R2r2 4

 

Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng cho chỉcó kết quảD thỏa mãn Chọn D.

Câu 144 Ta có ,  2

4

d I P      

 

Suy bán kính mặt cầu R r2d I P2 ,  1232  10

 

Vậy     2  2 2

: 1 10

S x  y  z  Chọn D. Câu 145 Mặt cầu  S có tâm I0;1;1và bán kính R

Ta có  

 2 2

2.0 2.1 2.1 15

,

2

2 2

d I P      

  

Vậy khoảng cách ngắn nhất:  

3 ,

2

h d I P  R Chọn A. Câu 146 Chọn O0;0;0   P

Do    P  Q nên    , ,  2 72 2

6

2 1

d P Q d O Q  

 

Khoảng cách hai mặt phẳng  P  Q    

 2

2

7

;

6

2 1

d P Q  

  

Chọn D.

Câu 147 Đường thẳng  qua M1;7;3

Vì   mặt phẳng chứa  song song với mặt phẳng   nên d    , d M , 

   2

2

3.1 2.7 14

3

  

 

    Chọn B.

Câu 148. Mặt phẳng  P có VTPT nP 2; 3;4 , mặt phẳng  Q có VTPT nQ4; 13; 6  

Ta có

4 13

Tài liệu toán 12 năm học 2018 Li cú n nP Q2.4   3 134.  6 230 Chọn C.

Câu 149.Ta có 2 14

1 2 16



  

    Do  P song song với  Q Chọn A

Câu 150.Ta xét hai mặt phẳng  R  S , ta có 1    

2 2 R S

 

   

 

Xét cặp cịn lại ta thấy chúng khơng song song với nhau.Chọn B.

Câu 151.Ta có VTPT       , ,   n  1;1;2 , n  1;1; ,  n   1; 1;0

  

Xét cặp n  

n  

, ta có 1

1 1 1 Suy   không song song với   Chọn C.

Câu 152.Ta có A Q  1 2.2 3.1 0  Mặt phẳng  P có VTPT n P 2;4; 6 



, mặt phẳng  Q có VTPT      

1 1;2;

2

Q P

n    n Vậy mặt phẳng  Q qua A song song với  P Chọn A.

Câu 153. Mặt phẳng  P có VTPT nP  1; 3;2

Mặt phẳng  Q có VTPT 2 1; 2 ;2 4

Q

n m  m m m

Để   P  Q n P nQ n n P Q0 2m1 1   2m2m 3    2m4 2 0

1

6

2

m

m m

m    

    

   

Chọn A.

Câu 154. Mặt phẳng   có VTPT n 1; 1;n, mặt phẳng   có VTPT n 2; ;2m 

Để      chỉkhi  

1

2

1

k

m

n k n k k m

n n k

 

 

   

 

     

 

 

  

 

Chọn A.

Câu 155.Ta có AB5;0; 4  Suy  AB v,      4; 23; 5

Do mặt phẳng  P xác định qua A3;2;2 có VTPT AB v,       4; 23; 5

 

 

nên có phương trình  P : 4x23y5z440

Để   P  Q chỉkhi

4 23 44

m n

  

 , suy

23 45

m n     

 Chọn A.

Câu 156.Để  trùng  

3 10

m m

m

m m

  

    

   

Để  song song  

3 10

m m

m m

  

  

    : khơng có giá trị m

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Câu 157.Trục Oz có VTCP k0;0;1 Mặt phẳng   có VTPT n4; 3;7  Rõ ràng n không phương với k n k   7

Suy trục Oz cắt mặt phẳng   M0;0;1 Chọn A.

Câu 158.Trục Ox có VTCP i1;0;0 Mặt phẳng   có VTP n0;2;1

Ta có i n  0 điểm O0;0;0    Suy mặt phẳng   chứa trục Ox Chọn D.

Câu 159.Xét mặt phẳng  P , ta có

 

 

 

2;0;0 0; 3;0 0;0;1 P Ox A P Oy B P Oz C    

   



   

. Chọn A

Cách khác.Ta thấy  Q vắng y z nên song song với Oyz,  R vắng y nên song song với trục Oy,  S vắng x nên song song với trục Ox

Câu 160. Mặt phẳng   có VTPT n0;0;1 phương với VTCP trục Oz

Suy      Oz Do B sai Chọn B.

Câu 161 Mặt cầu  S có tâm I0;4;1, bán kính R6

Khoảng cách từ tâm I đến  P là: ,  3

1 4

d I P       R

 

Vậy  P cắt  S Chọn D.

Câu 162 Mặt cầu  S có tâm I1;2;3, bán kính R3

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P ,  24 27

3 4

d I P        R

 

Do  P khơng cắt  S Chọn B.

Câu 163 Mặt cầu  S có tâm I3;2;1, bán kính R 14

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P là: ,  2 14

9

d I P       R

 

Do  P tiếp xúc với  S Chọn C.

Câu 164. Mặt cầu  S có tâm I1;2;1và bán kính R2

Nhận thấy  4 2 2 2

1 2

,

1 1

d I P       

 

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Câu 165. Mặt cầu  S có tâm I1; 3;2 và bán kính R7

Mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S d I , R

Nhận thấy mặt phẳng 6x2y3z550 thỏa mãn Chọn C. Câu 166. Mặt cầu  S có tâm I1;2;1và bán kính R2

Do    P   nên suy  P : 2x y 2z D với D 4 Lại có  P tiếp xúc với  S d I P , R

   

 

8

1 2 2.1

2

4

D D

D

D  

     

       

 loại

Vậy  P : 2x y 2z 8 Chọn B.

Câu 167. Mặt cầu  S có tâm I1;2; 1  Suy IA2;2;1

Mặt phẳng tiếp diện với  S A qua A3;4;0 nhận IA2;2;1 làm VTPT nên có phương trình

2x2y z 140 Chọn C.

Câu 168. Mặt cầu  S có tâm I1; 3; 1  và bán kính R

Để  tiếp xúc  S       

 2

3.1 3

,

9

m m m

d I R

m m

       

 

    

  

 2  

2

2

3 10 25 1

10 25

m

m m m m m m

m m



            

 

Chọn A

Câu 169.VTPT mặt phẳng  P  Q là: nP 2; 1; , 1;0;    nQ  

Ta có cos   , cos , 

2 1 1

P Q P Q

P Q

n n

P Q n n

n n

 

     

    

   

 

Suy hai mặt phẳng  P  Q hợp với góc 300 Chọn A.

Câu 170.VTPT mặt phẳng  P  Q là: n12; 1; ,   n2 1; 1;0   

Gọi  góc hai mặt phẳng  P  Q

Ta có     

1 2 2 2 2 2

2.1 1 3 2

cos cos , 45

2

2 1

n n

        

  

 

Chọn B.

Câu 171.Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC n1AB AC;   2; 2; 4  

  

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ACD n2 AC AD; 4 2;0;0   

Gọi  góc hai mặt phẳng ABC ACD

Ta có    

     

0

1 2 2 2

2

2 1

cos cos , 60

2

2 2

n n

     

   

 

Chọn C.

Câu 172. Mặt phẳng MNPcó VTPT nMN MP ; 1;1;1 Mặt phẳng Oxycó VTPT k0;0;1

Gọi  góc hai mặt phẳng MNP Oxy

Ta có  

2 2 1.0 1.0 1.1 cos cos ,

3

1 1

n k

    

 

 

Chọn C.

Câu 173.Từgiảthiết, suy OH2; 1; 2   VTPT mặt phẳng  Q

Mặt phẳng  P có VTPT nP 1; 1;0 

Gọi  góc hai mặt phẳng  P  Q

Ta có     

2 2 2

2.1 1 3 2

cos cos , 45

2

2 1

P

n OH

        

  

 

ChọnB.

Câu 174.Ta có AB  1;2;0, AC  1;0;m

Suy mặt phẳng ABCcó VTPT n AB AC, 2 ; ;2m m  Mặt phẳng Oxycó VTPT k0;0;1

Gọi  góc hai mặt phẳng ABC Oxy

Ta có  

 

0

2 2

2 0 2.1 12

cos cos 60 cos , cos 60

2

2

m m

n k m

m m

         

 

 

Chọn C.

Câu 175.Vì M Oy nên M0; ;0y0 

Theo giảthiết:    

 

0

0

0

2

, 4

5

0;7;0 0; 5;0

y y

d M y M

y M

    

         

      

 





Chọn B.

Câu 176.Gọi M0; ;0y Oy

Ta có:  ,   ,  5 0;2;0

3

y y

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Chọn A

Câu 177.Giả sử M0;0;zOz điểm cần tìm

Theo giảthiết:     2  2 2

2 2 2.0 3.0 17

,

2

z AM d M      z    

 

 2    

2

– 17

13

14 z z z M 0;0;3

z

z 

          Chọn C.

Câu 178 Gọi E1; ;0y  với y

Theo giảthiết:    

   

2 2 2

2

, ,

1 2 1

y y

d E  d E    

     

 

4

2

1; 4;0

2 4

y y y

E

y y y



    

 

   

   

    Chọn B.

Câu 179.Ta có M d nên M2 ;2 ; t  t t Do I trung điểm MN, suy N3 ;2 ;t  t t

Mặt khác, N S nên   2  2 2

3t 4t t 36

       

 

 

2 3; 2;1

26 26

1 3;6; N

t t

t N

  

  



     

   

  Chọn B.

Câu 180 Đặt f    x y z

Ta có f A      2 4 f B      2 5 120

Suy A, B ởkhác phía mặt phẳng  P

Khi điểm M thỏa mãn tốn giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng  P

Phương trình đường thẳng

2

:

1 x

AB y t

z t

          

Suy tọa độđiểm M thỏa mãn  

2

2;1;1

4

x

y t

M

z t

x y z      

 

   

     

Chọn A.

Câu 181 Đặt f 2x  y z

Ta có f A      2 f B      4

Tµi liƯu toán 12 năm học 2018

Ta cú MA MB AB  2

Từ 1  2 suy điểm M thỏa mãn giao đường thẳng AB với mặt phẳng  P

Phương trình đường thẳng  : 1

1 1

x y z

AB     



Suy độđiểm M thỏa mãn  

1

1; 3;4

1 1

2

x y z

M x y z

   

  

    



     

Chọn A.

Câu 182 Gọi I a b c ; ;  điểm thỏa mãn 2  IA IB 0, suy I4; 1; 3  

Ta có 2 MA MB 2MI2   IA MI IB  MI Suy 2MA MB   MI MI

Do 2MA MB  nhỏnhất MI nhỏnhất hay M hình chiếu I mặt phẳng  P Đường thẳng

qua I vng góc với  P có :

1 1

x y z

d     



Tọa độhình chiếu M I  P thỏa mãn

1; 

4

1 1 4;0

3

M x

y z

y x

z

   

   

  

  



 



Chọn D.

Câu 183 Gọi I a b c ; ;  điểm thỏa mãn    IA IB IC  0, suy I1;2;2

Ta có MA2MB2MC2MA2MB2MC2  MIIA 2 MI IB 2 MI IC2

 

2 2 2 2 2.

3MI 2MI IA IB IC IA IB IC 3MI IA IB IC

             

Do I cốđịnh nên MA2MB2MC2 nhỏnhất MI nhỏnhất hay M là hình chiếu vng góc của I  P

Đường thẳng qua I vng góc với  P có : 2

3

x y z

d     

 

Tọa độhình chiếu M I  P thỏa mãn

31 32 4; 1;0

3 15

2

x y z

x y z

M

   

  

   

 

   

 

Chọn B

Câu 184 Gọi I a b c ; ;  điểm thỏa mãn IA2IB 0, suy I13; 11;19 

Ta có MA22MB2 MA22MB2MI IA 22 MI IB2

Tài liệu toán 12 năm häc 2018

Do I cốđịnh nên MA22MB2 lớn MI2 lớn hay MI nhỏnhất nên M là hình chiếu của I

( )P Vì M hình chiếu vng góc I  P nên

 

       

13 ; 11 ;19

7

13 11 19

M t t t

t

M P t t t

    

   

         