Dáng điệu toàn cục của ma trận ngẫu nhiên

Dáng điệu toàn cục của ma trận ngẫu nhiên Dáng điệu toàn cục của ma trận ngẫu nhiên Dáng điệu toàn cục của ma trận ngẫu nhiên luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRỊNH HOÀNG DŨNG DÁNG ĐIỆU TOÀN CỤC CỦA MA TRẬN NGẪU NHIÊN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRỊNH HOÀNG DŨNG DÁNG ĐIỆU TOÀN CỤC CỦA MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết XS&TK Tốn học Mã số: 8460112.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2019 Cơng trình hồn thành tai: Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Phản biện 1: TS Tạ Công Sơn Phản biện 2: PGS.TS Ngơ Hồng Long Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào lúc: 14h00 ngày 31 tháng 12 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận văn thêm tại: Trung tâm Thư viện đại học Quốc Gia Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người tận tình hướng dẫn để học viên hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, gửi lời kính chúc sức khỏe đến tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo học viên tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 07 tháng 12 năm 2019 Học viên Trịnh Hoàng Dũng i Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI MỞ ĐẦU iii Giới thiệu mơ hình kết Kiến thức chuẩn bị 2.1 Hội tụ yếu độ đo xác suất 2.2 Hội tụ độ đo xác suất ngẫu nhiên 2.3 Định lý giới hạn trung tâm cho Martingale Ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ 10 3.1 Mơ hình ma trận ba đường chéo 10 3.2 Độ đo phổ ma trận ba đường chéo 11 Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn 14 4.1 Trường hợp βN → ∞ 14 4.2 Trường hợp βN → 2c ∈ (0, ∞) 16 4.3 Sự hội tụ hầu chắn 18 Định lý giới hạn trung tâm 20 5.1 Trường hợp hàm thử đa thức 20 5.2 Trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục 23 Tài liệu tham khảo 29 ii LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn tài chính, tốn lý Ma trận ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian ma trận Khi đặc trưng ma trận trở thành đại lượng ngẫu nhiên Mục đích lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu phân phối dáng điệu tiệm cận đặc trưng ma trận giá trị riêng, vector riêng, định thức, đa thức đặc trưng Luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận toàn cục lớp ma trận beta ensembles, cụ thể ma trận beta Laguerre ensembles (beta Wishart ensembles) trường hợp tham số β biến thiên Khi β cố định, dáng điệu toàn cục dáng điệu cục beta ensembles nói chung, β -Laguerre ensembles nói riêng nghiên cứu tương đối đầy đủ Tuy nhiên toán cho beta thay đổi tốn địi hỏi nhiều ý tưởng nghiên cứu Nó có ý nghĩa cầu nối lý thuyết cổ điển đại Beta ensembles định nghĩa thông qua hàm mật độ đồng thời giá trị riêng Do chúng nghiên cứu chủ yếu phương pháp giải tích Tuy nhiên, với ba mơ hình cổ điển: beta Hermite, beta Laguerre beta Jacobi, mô hình ma trận ngẫu nhiên ba đường chéo đưa nhóm nghiên cứu trường MIT năm 2000 Kể từ đó, dựa mơ hình ma trận ngẫu nhiên, nhiều tính chất ba dạng beta ensembles phát Tuy nhiên, phải nói tính chất thiết lập cho tham số β cố định Bài toán cho β thay đổi iii nghiên cứu gần Với mơ hình beta Hermite, dáng điệu tồn cục dáng điệu cục nghiên cứu nhóm nghiên cứu Nhật Bản Pháp Trong dạng beta Laguerre có kết ban đầu chưa có kết beta Jacobi Trong luận văn tập trung nghiên cứu dáng điệu toàn cục dạng ma trận beta Laguerre β thay đổi dựa ý tưởng phương pháp sử dụng nghiên cứu beta Hermite Kết phát biểu Định lý 1.1 Định lý 1.2 Luận văn gồm có chương: • Chương Giới thiệu mơ hình kết Chương đưa mơ hình nghiên cứu nêu kết luận văn Các kết đưa Định lý 1.1 Định lý 1.2 • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương tổng hợp số kiến thức liên quan đến đề tài: - Hội tụ yếu độ đo xác suất - Hội tụ độ đo xác suất ngẫu nhiên - Định lý giới hạn trung tâm cho Martingale • Chương Ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ Tiếp theo nội dung Chương trình bày mơ hình ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ Đây mơ hình sử dụng để chứng minh kết • Chương Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn Nội dung Chương trình bày nghiên cứu dáng điệm tiệm cận phân phối thực nghiệm LN thông qua mô men trường hợp β thay đổi Kết chương chứng minh cho Định lý 1.1 iv • Chương Định lý giới hạn trung tâm Trong chương này, thiết lập định lý giới hạn trung tâm trường hợp hàm thử đa thức trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục Từ kết thu được, hoàn thành chứng minh Định lý 1.2 Mục đích học viên tìm hiểu, nghiên cứu dáng điệu toàn cục lớp ma trận beta Laguerre ensembles với tham số β thay đổi, phương pháp nghiên cứu dựa nghiên cứu công bố báo khoa học trích dẫn trang cuối luận văn Học viên thu số kết có ý nghĩa Mặc dù cố gắng song hiểu biết thời gian cịn hạn chế, luận văn tránh thiếu sót Học viên mong nhận dẫn tận tình Thầy, Cơ trường ý kiến đóng góp tồn thể bạn đọc cho luận văn học viên hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2019 Học viên Trịnh Hoàng Dũng v Chương Giới thiệu mơ hình kết Beta Laguerre (β -Laguerre) ensembles cách gọi họ N điểm đường thẳng thực có hàm mật độ đồng thời cho N β |λj − λi | (β) ZN,M i 0), (1.1) i=1 (β) β > M > N − tham số, ZN,M số chuẩn hóa Với hai trường hợp đặc biệt tham số β = 1, 2, phương trình tương ứng hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận Wishart ma trận Laguerre Với β > 0, họ biết đến hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận ba đường chéo JN = BN (BN )t với BN ma trận hai đường chéo, bao gồm phần tử độc lập có phân phối sau:  BN = √  χβM χ χ  −1)  ,  β(N −1) β(M  βM  χβ χβ(M −N +1) χk kí hiệu phân phối với k bậc tự do, (BN )t ma trận chuyển vị BN Ma trận Wishart (tương ứng, ma trận Laguerre) ma trận ngẫu nhiên có dạng M −1 Gt G (tương ứng, M −1 G∗ G), G ma trận cỡ M × N tạo phần tử độc lập phân phối với phân phối Chuẩn tắc thực (tương ứng, phức) Ở G∗ ký hiệu ma trận chuyển vị liên Chương Giới thiệu mơ hình kết hợp G Các mơ hình ma trận ngẫu nhiên định nghĩa theo cách khác dựa độ đo xác suất bất biến tập hợp ma trận đối xứng (tương ứng, ma trận Hermite) Dáng điệu tiệm cận giá trị riêng nghiên cứu kỹ từ lâu Chúng ta biết N → ∞ với N/M → γ ∈ (0, 1), phân phối thực nghiệm LN = N N δλi , i=1 hội tụ yếu tới phân phối Marchenko–Pastur với tham số γ , hầu chắn Ở δλ kí hiệu độ đo Dirac λ Hình ?? minh hoạ cách trực quan hội tụ Một cách chặt chẽ mặt tốn học, hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian độ đo xác suất với tô pô yếu Tuy nhiên, hội tụ tương đương với khẳng định sau (xem Chương 2): với hàm liên tục, bị chặn f f (x)dLN (x) = N N f (λi ) → f (x)mpγ (x)dx N → ∞, h.c.c, i=1 mpγ (x) mật độ phân phối Marchenko–Pastur với tham số γ , mpγ (x) = 2πγx (λ+ − x)(x − λ− ), (λ− < x < λ+ ), λ± = (1 ± √ γ)2 Bài tốn dạng luật số lớn lý thuyết xác suất Và câu hỏi tự nhiên dao động xung quanh điểm giới hạn, toán định lý giới hạn trung tâm Đây hai toán nghiên cứu dáng điệu tồn cục mơ hình ma trận ngẫu nhiên Và mơ hình β -Laguerre ensembles này, hai tốn giải [6] Cũng với mơ hình này, nhiều tính chất khác nghiên cứu Chúng ta có tham khảo báo sau [10, 15] Chú ý nghiên cứu đó, tham số β cố định Trong luận văn này, nghiên cứu luật số lớn định lý giới hạn trung tâm mô hình β -Laguerre ensembles Tuy nhiên, tham số TÀI LIỆU THAM KHẢO Math Phys 47(6), 063,302, 36 URL http://dx.doi.org/10.1063/ 1.2200144 [7] Duy, T.K.(2018), "On spectral measures of random Jacobi matrices" Osaka J Math 55(4), 595–617 URL https://projecteuclid.org/ euclid.ojm/1539158661 [8] Duy, T.K., Shirai, T.(2015), "The mean spectral measures of random Jacobi matrices related to Gaussian beta ensembles" Electron Commun Probab 20, no 68, 13 URL http://dx.doi.org/10.1214/ECP v20-4252 [9] Ismail, M.E.H., Letessier, J., Valent, G(1988), "Linear birth and death models and associated Laguerre and Meixner polynomials" J Approx Theory 55(3), 337–348 URL https://doi.org/10.1016/ 0021-9045(88)90100-1 [10] Jacquot, S., Valkó, B.(2011), "Bulk scaling limit of the Laguerre ensemble" Electron J Probab 16, no 11, 314–346 DOI 10.1214/EJP v16-854 URL https://doi.org/10.1214/EJP.v16-854 [11] Ledoux, M.(2001): The concentration of measure phenomenon, Mathematical Surveys and Monographs, vol 89 American Mathematical Society, Providence, RI (2001) [12] Nakano, F., Trinh, K.D.(2018), "Gaussian beta ensembles at high temperature: eigenvalue fluctuations and bulk statistics" J Stat Phys 173(2), 295–321 DOI 10.1007/s10955-018-2131-9 URL https://doi org/10.1007/s10955-018-2131-9 [13] Pastur, L., Shcherbina, M.(2011), Eigenvalue distribution of large random matrices, Mathematical Surveys and Monographs, vol 171 Amer- 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ican Mathematical Society, Providence, RI (2011) DOI 10.1090/surv/ 171 URL https://doi.org/10.1090/surv/171 [14] Simon, B.(2011), Szego˝’s theorem and its descendants M B Porter Lectures Princeton University Press, Princeton, NJ (2011) Spectral theory for L2 perturbations of orthogonal polynomials [15] Sosoe, P., Wong, P(2014): "Convergence of the eigenvalue density for β -Laguerre ensembles on short scales" Electron J Probab 19, no 34, 18 (2014) DOI 10.1214/EJP.v19-2638 URL https://doi.org/10 1214/EJP.v19-2638 [16] Trinh, K.D.(2018) "On central limit theorems in stochastic geometry" arXiv preprint arXiv:1804.02823 (2018) [17] Trinh, K.D.(2017), "Global Spectrum Fluctuations for Gaussian Beta Ensembles: A Martingale Approach" J Theoret Probab 32(3), 1420– 1437 (2019) DOI 10.1007/s10959-017-0794-9 URL https://doi.org/ 10.1007/s10959-017-0794-9 31 ... thuyết ma trận ngẫu nhiên lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn tài chính, tốn lý Ma trận ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian ma trận Khi đặc trưng ma trận trở... cứu dáng điệu tiệm cận toàn cục lớp ma trận beta ensembles, cụ thể ma trận beta Laguerre ensembles (beta Wishart ensembles) trường hợp tham số β biến thiên Khi β cố định, dáng điệu toàn cục dáng. .. phối với k bậc tự do, (BN )t ma trận chuyển vị BN Ma trận Wishart (tương ứng, ma trận Laguerre) ma trận ngẫu nhiên có dạng M −1 Gt G (tương ứng, M −1 G∗ G), G ma trận cỡ M × N tạo phần tử độc