Về đa thức Jonnes của Nút

Về đa thức Jonnes của Nút Về đa thức Jonnes của Nút Về đa thức Jonnes của Nút luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết viết chung với thầy hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh, đồng ý thầy hướng dẫn đưa vào luận án Những kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Trần Xuân Quý i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm, động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình GS TSKH Đặng Hùng Thắng TS Nguyễn Thịnh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hai Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin, Trường ĐH Khoa học, ĐHTN; Bộ mơn Xác suất Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, Khoa Sau đại học, ĐHQGHN tạo nhiều điều kiện thuận lợi suốt trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên, tạo điều kiện cho tác giả trình bày giúp tác giả kiểm tra kết nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, hỗ trợ kinh phí cho tác giả trình nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thành viên đại gia đình, ln động viên, chia sẻ chỗ dựa vững mặt NCS Trần Xuân Quý ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kết lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định 1.1.1 Toán tử tuyến tính liên tục 1.1.2 Toán tử liên hợp 1.1.3 Toán tử tự liên hợp, Hermit, chuẩn tắc 10 1.1.4 Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit 12 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 14 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 14 1.2.2 Một số tính chất 16 1.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 17 1.2.4 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp 23 1.2.5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính 25 iii Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 2.2 29 Định lý phổ cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit 30 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 34 2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên chiếu 34 2.2.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 35 Chương Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng không gian unitary xác suất 51 3.1 Không gian Banach xác suất 52 3.2 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính 63 3.3 Liên hợp toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính khơng gian Hilbert xác suất Kết luận kiến nghị 70 77 Kết luận 77 Kiến nghị nghiên cứu 78 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ mục 87 iv Bảng ký hiệu A, F σ-đại số B(S) Tập ánh xạ đo bị chặn S B(X) σ-đại số Borel X C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] H Không gian Hilbert xác suất h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị L0 (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực phức L+ (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên thực không âm LH (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên H-giá trị K Trường số thực phức (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất Q Tập hợp số hữu tỷ R Tập hợp số thực r(T ) Bán kính phổ tốn tử tuyến tính T R(T ) Miền giá trị tốn tử tuyến tính T σ(T ) Tập phổ tốn tử tuyến tính T X,Y Các khơng gian Banach xác suất v Mở đầu Lý chọn đề tài Môi trường sống môi trường ngẫu nhiên, bị can thiệp tác động nhân tố ngẫu nhiên Chính mà Giải tích mơi trường ngẫu nhiên (gọi tắt Giải tích ngẫu nhiên) lĩnh vực Tốn học phát triển nhanh mạnh lý thuyết ứng dụng Một số lượng lớn báo Giải tích ngẫu nhiên tóm tắt Math.Review minh chứng điều Giải tích ngẫu nhiên mang tính liên ngành, có quan hệ mật thiết với nhiều chuyên ngành toán học khác Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính hướng nghiên cứu lớn Giải tích ngẫu nhiên Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu khơng mở rộng từ tất định sang ngẫu nhiên lý thuyết tốn tử tuyến tính mà cịn tầm ứng dụng rộng lớn nhiều ngành khoa học khác Nếu lý thuyết tốn tử tuyến tính tất định lâu đài đồ sộ toán học, tích lũy nội dung phong phú, kết phương pháp ứng dụng nhiều ngành khác toán học lý thuyết tốn ứng dụng lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính cịn non trẻ giai đoạn phát triển ban đầu Hiện lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thu số kết mới, lý thú với nhiều tốn cịn bỏ ngỏ (xem [38]-[48]) Hơn nửa kỷ trở lại đây, hướng nghiên cứu nhận quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết Tuy nhiên, phần lớn kết nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên lại tập trung vào phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chủ yếu điểm bất động ngẫu nhiên, mở rộng kết cách riêng lẻ, không hệ thống Khởi đầu với kết nghiên cứu điểm bất động ngẫu nhiên O Hans A Spacek năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau kết này, nhiều kết mở rộng chứng minh Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh đời sách Random integral equations (1972) A.T Bharucha-Reid Với kết nghiên cứu A.V Skorohod tác giả sách Random Linear Operators (1984), nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Hilbert, xem xét hội tụ yếu mạnh toán tử ngẫu nhiên, hàm toán tử ngẫu nhiên, phương trình tích phân ngẫu nhiên Đã thu hút nhiều nhà toán học mở rộng kết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Nhiều nhà tốn học thành cơng việc mở rộng kết Cụ thể hơn, gần nhóm nghiên cứu đứng đầu Guo Tiexin thu nhiều kết ngẫu nhiên hóa kết giải tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nước, dẫn đầu GS Đặng Hùng Thắng nhóm học trị, từ cuối năm 1980 trở lại bắt đầu nghiên cứu lý thuyết toán tử ngẫu nhiên thu nhiều kết (xem [38]-[48]) Cụ thể, hướng điểm bất động ngẫu nhiên phương trình ngẫu nhiên cơng bố cơng trình tiêu biểu [2],[46],[48]; thác triển toán tử ngẫu nhiên [3],[45] Một chủ đề lớn “chính thống” lý thuyết tốn tử tuyến tính (tất định) lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính (gọi tắt lý thuyết phổ) Theo hiểu biết chúng tôi, kết nghiên cứu lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính đến cịn tương đối Thành thử chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Về độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính” với hy vọng gặt hái kết lĩnh vực nghiên cứu đầy hứa hẹn Mục tiêu nghiên cứu Tìm dạng ngẫu nhiên định lý phổ tất định (chẳng hạn định lý biểu diễn phổ toán tử chuẩn tắc, toán tử tự liên hợp ) Nói cách khác mục tiêu luận án mở rộng định lý phổ tốn tử tuyến tính tất định sang trường hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Đối tượng nghiên cứu Các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng công cụ kết xác suất, giải tích, giải tích hàm (lý thuyết tốn tử tuyến tính, khơng gian Hilbert), lý thuyết độ đo véc tơ, lý thuyết xác suất không gian vô hạn chiều Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án bổ sung làm phong phú thêm lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Nếu lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định có nhiều áp dụng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vật lý học có sở để hy vọng lý thuyết phổ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính tìm áp dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên, vật lý thống kê, vật lý lượng tử Cấu trúc luận án Luận án trình bày ba chương Chương 1: Trình bày thống số khái niệm số kết tác giả khác mà sử dụng phần sau luận án Trước tiên chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết tốn tử tuyến tính tất định, độ đo phổ tất định, tích phân hàm đo bị chặn độ đo phổ tất định số kết liên quan, chẳng hạn ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN XUÂN QUÝ VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Mã số: Lý thuyết... Trần Xuân Quý ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kết lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính tất định ... nhiên tuyến tính đến cịn tương đối Thành thử chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: ? ?Về độ đo phổ ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính” với hy vọng gặt hái kết lĩnh vực