Nghiên cứu một số cơ chế tán xạ ảnh hưởng đến thời gian sống vận chuyển và thời gian sống lượng tử trong các hệ hai chiều

Nghiên cứu một số cơ chế tán xạ ảnh hưởng đến thời gian sống vận chuyển và thời gian sống lượng tử trong các hệ hai chiều Nghiên cứu một số cơ chế tán xạ ảnh hưởng đến thời gian sống vận chuyển và thời gian sống lượng tử trong các hệ hai chiều luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Từ Niệm NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG MỎNG PEROVSKITE CÓ TRẬT TỰ XA LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Từ Niệm NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG MỎNG PEROVSKITE CÓ TRẬT TỰ XA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số : 62.44.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ V ẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Bạch Thành Công Hà Nội - 2018 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .3 LỜI CẢM ƠN .4 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 13 1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VỀ MÀNG MỎNG 13 1.1.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha vào độ dày màng mỏng 13 1.1.2 Sự phụ thuộc tham số trật tự vào độ dày màng mỏng 16 1.1.3 Sự tái định hướng spin phụ thuộc độ dày màng mỏng 19 1.2.1 Lý thuyết chuyển pha tượng luận Landau .21 1.2.2 Lý thuyết hàm Green hai thời điểm .27 CHƯƠNG HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG MỎNG MƠ TẢ BẰNG MƠ HÌNH ISING TRONG TRƯ ỜNG NGANG 36 2.1 HAMILTONIAN ISING TRONG TRƯỜNG NGANG VÀ DỌC 36 2.2 GẦN ĐÚNG TRƯỜNG TRUNG BÌNH CHO HỆ SPIN MƠ TẢ BẰNG MƠ HÌNH ISING NGANG 41 2.2.1 Phương trình xác định tham số trật tự 42 2.2.2 Phương trình xác đ ịnh nhiệt độ chuyển pha Curie 42 2.2.3 Chuyển pha lượng tử theo lý thuyết trường trung bình 44 2.2.4 Kết tính số 45 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM CHO MƠ HÌNH ISING TRONG TRƯỜNG NGANG 50 2.4 GẦN ĐÚNG GAUSSIAN CHO NĂNG LƯỢNG TỰ DO .54 CHƯƠNG NĂNG LƯỢNG SÓNG SPIN VÀ ĐỘ CẢM TỪ CỦA MÀNG MỎNG MỘT LỚP MƠ TẢ BẰNG MƠ HÌNH XZ HEISENBERG 58 3.1 HAMILTONIAN CHO MÀNG MỎNG XZ HEISENBERG DỊ HƯỚNG ĐƠN LỚP 58 3.2 BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM CHO HÀM GREEN MATSUBARA, GẦN ĐÚNG GAUSSIAN 61 3.3 ĐỘ CẢM TỪ VÀ NĂNG LƯỢNG SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG SPIN ĐƠN LỚP 64 CHƯƠNG ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC TƯƠNG TÁC ĐẾN NHIỆT ĐỘ CURIE VÀ SỰ TÁI ĐỊNH HƯỚNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ MƠ TẢ BẰNG MƠ HÌNH HEISENBERG DỊ HƯỚNG 72 4.1 SỰ TÁI ĐỊNH HƯỚNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG TỪ HEISENBERG VỚI DỊ HƯỚNG ION ĐƠN TRỤC 72 4.1.1 Mơ hình Heisenberg với dị hướng ion đơn trục cho màng mỏng từ .72 4.1.2 Kết thảo luận 76 4.2 VAI TRÒ CỦA TƯƠNG TÁC LƯỠNG CỰC VÀ DỊ HƯỚNG TRONG MÀNG MỎNG .79 4.2.1 Mơ hình Heisenberg cho màng mỏng từ có chứa tương tác lưỡng cực dị hướng .79 4.2.2 Hàm Green Matsubara 87 4.2.3 Kết tính số 89 KẾT LUẬN CHƯƠNG 91 KẾT LUẬN CHUNG CHO LUẬN ÁN 93 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 95 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 96 PHỤ LỤC A TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN TOEPLITZ 107 PHỤ LỤC B TÍCH PHÂN GAUSS .111 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tơi Các số liệu kết luận án trung thực, khách quan đư ợc công bố theo quy định Các kết chưa sử dụng cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Từ Niệm LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời cảm ơn sâu sắc gửi tới GS.TS Bạch Thành Cơng, người thầy ln nhiệt tình hư ớng dẫn tơi hồn thành cơng trình nghiên cứu giúp đỡ trưởng thành đường nghiên cứu khoa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến bạn đồng nghiệp Bộ môn Vật lý Đại cương t ạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên nhiều suốt thời gian thực luận án Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội hỗ trợ, giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Xin gửi lời cảm ơn đến đề tài NAFOSTED 103.01-2015-92 hỗ trợ kinh phí để tơi hồn thành cơng trình Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình ln động viên chỗ dựa vững cho tôi, giúp thêm nghị lực để hoàn thành luận án Hà Nội, năm 2018 Nguyễn Từ Niệm DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MFA: Mean Field Approximation (Gần trường trung bình) TPPH: Tích phân phiếm hàm LCGN: Lân cận gần (nearest neighbour) QCP: Điểm chuyển pha lượng tử (Quantum Critical Point) TIM: Mơ hình Ising trư ờng ngang (Transverse Ising Model) DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Giản đồ phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha sắt điện-thuận điện vào tham số điều chỉnh vật liệu sắt điện [86] .10 Hình 1 Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào độ dày màng Ni [78] 13 Hình Nhiệt độ Curie sắt điện màng mỏng perovskite PbTiO3 giảm nhanh độ dày màng cỡ 6-7 kích thước sở không độ dày màng cỡ khoảng kích thước sở Đường chấm mờ mơ tả kết làm khớp số liệu thực nghiệm theo lý thuyết Landau [26] 14 Hình Sự phụ thuộc moment từ vào độ dày màng La-Mn-Sr-O [76] .16 Hình 1.4 Sự phụ thuộc kích thước độ từ hóa bão hịa màng mỏng Au/Ni/Si(100) [91] .17 Hình Ảnh hưởng độ dày màng BTO lên độ phân cực nhiệt độ phòng [42] .18 Hình Sự phụ thuộc độ dày màng PZT độ phân cực tỷ đối [33] 19 Hình Đồ thị lượng tự hàm độ phân cực F(P) cho chuyển pha loại 2[105] 23 Hình Kích thư ớc tới hạn theo lý thuyết trường trung bình lư ợng bề mặt dương   [105] 26 Hình Vị trí spin mạng tinh thể cho vectơ vị trí r j Ở số lớp spin  (  1,2, , n) vectơ chiều R j nằm mặt phẳng mạng song song với mặt màng mỏng 37 Hình 2 Sự phụ thuộc nhiệt độ thành phần độ phân cực mx/s, mz/s màng mỏng đối xứng hai lớp với tham số η = 0.8; s=1 46 Hình Sự phụ thuộc trung bình thành phần độ phân cực vào trường ngang màng mỏng gồm hai lớp spin (n=1,2) 46 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào độ dày màng với số trao đổi dị hướng khác (a) với tham số chọn: Ω0 /J=2.0; s=1 h0 =0 với giá trị trường ngang khác (b) s=1, h0=0, η=1.2 47 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào trường ngang với η=1.2; s=1 h0=0 48 Hình Sự phụ thuộc trường ngang tới hạn vào độ dày màng mỏng với số trao đổi dị hướng khác số spin màng có giá trị: s=1(a) s=3/2 (b) 48 Hình Đ thị so sánh số liệu thực nghiệm tính tốn lý thuyết cho màng mỏng perovskite PbTiO3 Tham số lý thuyết tương ứng là: Ω0/J=6.1; η=1.75; s=1 49 Hình Giản đồ Feymann cho phiếm hàm tương tác (2.51) đến bậc biến trường Đường lượn sóng ứng với z (q ) , đường mũi tên ứng với hàm K (q1, q ) 1 Các biểu thị quy tắc giản đồ Izyumov đưa [45] .54 Hình Định hướng hệ trục tọa độ mạng tinh thể xyz hệ tọa độ quay XYZ Trục OZ trùng với hướng trường tổng hợp   nằm mặt xOz tạo góc  so với mặt phẳng màng .59 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ độ phân cực tổng m thành phần mz, mx, góc nghiêng qvới s=1, h0 = , L = 0.6 Đồ thị mz, mx vẽ với   1.0 Đồ thị m vẽ với 0  67 Hình 3 Sự phụ thuộc nhiệt độ lượng sóng spin màng lớp: kx=ky=0.5 (a), kx=ky=0 (b) Ở spin có giá trị s=1 h0=0 68 Hình Sự phụ thuộc lượng sóng spin màng đơn lớp tâm vùng Brillouin vào trường ngang nhiệt độ   1.2, s  1, h0  .70 Hình Mơ hình lớp spin hai hệ tọa độ Oxyz OXYZ Từ trường ngồi h tạo với trục OX góc  ,  góc quay spin trường ngồi h R j xác định vị trí spin mặt phẳng song song với mặt màng Js tương tác trao đổi lân cận gần spin lớp, Jp tương tác trao đổi lân cận gần spin lớp khác 73 Hình Sự phụ thuộc vào nhiệt độ độ phân cực từ màng mỏng cấu trúc lập phương hai lớp (a) ba lớp (b) với giá trị khác tham số tương tác trao đổi bề mặt s=1, d=0.05, h=0, ε=0 77 Hình Sự thay đổi góc θ (góc gi ữa vectơ phân cực từ phương pháp tuyến với mặt màng) theo trường h n=2, ε=0 78 Hình 4 Sự phụ thuộc trường thành phần mx, mz với giá trị ζ khác Tính tốn thực cho n=2, ε=0 78 Hình Sự phụ thuộc góc θ màng m ỏng hai lớp vào cường độ trường ngồi tạo với trục OX góc ε=π/6 Các tham s ố chọn hệ đơn vị Jp d=0.9, τ=2.8, s=1 79 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie màng mỏng lớp cấu trúc hình vng vào tham số   J s / J d , s=1/2 90 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào độ lớn trao đổi sắt từ bề mặt cho màng tự hai lớp có cấu trúc lập phương spin s=1/2 .90 Hình Nhiệt độ Curie phụ thuộc vào tương tác trao đổi sắt từ bề mặt màng mỏng có độ dày spin khác dị hướng không 91 behavior of ultrathin films of Co, Ni, and Co-Ni alloys on Cu(100) and Cu(111)”, Phys Rev B 49, pp 3962 42 Huang G-F and Berger S (2003), “Combined effect of thickness and stress on ferroelectric behavior of thin BaTiO3 films”, Journal of Applied Physics 93, pp.2855 43 Irkhin V.Yu., Katanin A.A., Katsnelson M.I (1996), “On the spin-wave theory of thin ferromagnetic films”, J Magn Magn Mater 164, pp 66-76 44 Izyumov Y.A, F.A Kassan-Ogly and Yu.N Skryabin (1974), “Field Methods in the Theory of Ferromagnetism”, Nauka, Moscow, pp 40–46 45 Izyumov Y.A, Yu.N Skryabin (1988), Statistical Mechanics of Magnetically Ordered Systems, Spinger, New York 46 Jaan Kiusalaas (2005), “Numerical Methods in Engineering with MATLAB®”, Cambridge University Press 47 Jensen P.J., Bennemann K.H., Morr D.K, Dreysse H (2006), “Two dimensional Heisenberg antiferromagnet in a transverse field”, Physical Review B.73, pp 144405 48 Jiang S., Davidovic D., Daniel H Reich, and Chien C.L (1995), “Oscillatory Superconducting Transition Temperature in Nb/Gd Multilayers”, Phys Rev Lett 74, pp 314 49 Junquera J and Ghosez Ph (2003), “Critical thickness for ferroelectricity in perovskite ultrathin films”, Nature 422, pp 506–509 50 Kaneyoshi T (2003), “Phase diagrams of ferroelectric thin films described by the transverse Ising model”, Physica A 319, pp 355 – 361 51 Kaneyoshi T (2009), “Ferrimagnetric magnetizations in a thin film described by the transverse Ising model”, Phys Status Solidi (b), pp 2359-2365 52 Kaneyoshi T (2010), “Magnetization of a transverse Ising nanowire”, J Magn Magn Mater 322, pp 3410-3415 53 Kaneyoshi T (2015), “A transverse Ising bilayer film with an antiferromagnetic spin configuration”, Intern J Mod Phys B 29, pp 155-197 54 Kaneyoshi T., Jaščur M., and Fittipaldi I.P (1993), “Transverse Ising model with arbitrary spin”, Phys Rev B 48, pp 250-255 55 Kenning G.G., Slaughter J.M., and Cowen, J.A.(1987), “Finite-Size Effects in a CuMn Spin-Glass”, Phys Rev Lett 59, pp 2596 56 Körmann F., Schwieger S., Kienert J., Nolting W.(2006), “A new type of temperature driven reorientation transition in magnetic thin films”, Eur Phys J B 53, pp.463–469 57 Krakauer H., Freeman, A.J and Wimmer E (1983), “Magnetism of the Ni(110) and Ni(100) surfaces: Local-spin-density-functional calculations using the thinslab linearized augmented-plane-wave method”, Phys Rev B 28, pp 610 58 Lang X.Y and Jiang Q (2007), “Size and interface effects on Curie temperature of perovskite ferroelectric nanosolids”, Journal of Nanoparticle Research 9, pp 595–603 59 Lin M.T., Shen J., Kuch W., Jenniches H., Klaua M., Schneider C.M., and Kirschner J (1997), “Structural transformation and spin-reorientation transition in epitaxial Fe/Cu3Au(100) ultrathin films”, Phys Rev B 55, pp 5886-5897 60 Luca Peliti, Mohammed Saber (1999), “Effective field approach to the Ising film in a transverse field”, Physica A 262, pp.505–517 61 Mani B.K, Chang C.-M., and Ponomareva I (2013), “Atomistic study of softmode dynamics in PbTiO3”, Phys Rev B 88 , pp.064306 62 Marianela Carubelli, Orlando V Billoni, Santiago A Pighín, Sergio A Cannas, Daniel A Stariolo, and Francisco A Tamarit (2008), “Spin reorientation transition and phase diagram of ultrathin ferromagnetic films”, Phys Rev B 77, pp 134417 63 Masanori Fukunaga, Masaki Takesada, Akira Onodera (2016), “Ferroelectricity in Layered Perovskites as a Model of Ultra-Thin Films”, World Journal of Condensed Matter Physics 6, pp 224-243 64 Maya D Glinchuk, Eugene A Eliseev, Victoria V Khist, Anna N Morozovska (2013), “Ferromagnetism induced by magnetic vacancies as a size effect in thin films of nonmagnetic oxides”, Thin Solid Films 534, pp.685–692 65 Maziewski A., Zablotskii V., Kisilewski M (2006), “Geometry- driven out-ofplane magnetization states in nanostructures”, Phys Rev B 73, pp 134415 66 Mermin N D., Wagner H (1966), “Absence of Ferromagnetism or antiferromagnetism in one or two-dimensional isotropic Heisenberg models”, Phys Rev Lett 17, pp.1133–1136 67 Miao B F., Millev Y T., Sun L., You B., Zhang W., Ding H F (2013), “Thickness-driven spin reorientation transition in ultrathin films”, Sci ChinaPhys Mech Astron 56, pp 70-84 68 Mühlbauer S., Böni P., Georgii R., Schmehl A., Schlom D.G and Mannhart J (2008), “Field and temperature dependence of the magnetization in ferromagnetic EuO thin films”, J.Phys Condens Matter 20, pp 104230 69 Na Sai, Alexie M Kolpak, and Andrew M Rappe (2005), “Ferroelectricity in ultrathin perovskite films”, Physical Review B 72, pp.020101 70 Naoko Yanase, Kazuhide Abe, Noburu Fukushima and Takashi Kawakubo (1999), “Thickness Dependence of Ferroelectricity in Heteroepitaxial BaTiO Thin Film Capacitors”, Jpn J Appl Phys.38, pp 5305–5308 71 Ney A., Poulopoulos P.and Baberschke K (2001), “Surface and interface magnetic moments of Co/Cu(001)”, Europhys Lett 54 (6), pp.820–825 72 P G De Gennes (1963), “Collective motions of hydrogen bonds”, Solid State Commun.1 (6) pp 132-137 73 Pappas D P., Brundle C R and Hopster H (1992), “Reduction of macroscopic moment in ultrathin Fe films as the magnetic orientation changes”, Phys Rev B 45, pp 8169 74 Pappas D P., Kamper K P and Hopster H (1990), “Reversible transition between perpendicular and in-plane magnetization in ultrathin films”, Phys Rev.Lett 64, pp 3179 75 Qiu Z.Q., Pearson J., and Bader S.D (1993), “Asymmetry of the spin reorientation transition in ultrathin Fe films and wedges grown on Ag(100)”, Phys Rev Lett 70, pp 1006 76 Rajesh V Chopdekar, Elke Arenholz, and Suzuki Y (2009), “Orientation and thickness dependence of magnetization at the interfaces”, Phys Rev B 79, pp.104417 77 Rault J.E., Ren W., Prosandeev S., Lisenkov S., Sando D., Fusil S., Bibes, Barthélémy A., Bellaiche L., and Barrett N (2012), “Thickness-Dependent Polarization of Strained BiFeO3 Films with Constant Tetragonality”, Phys Rev Lett 109, pp 267601 78 Renjun Zhang and Roy F Willis (2001), “Thickness-Dependent Curie Temperatures of Ultrathin Magnetic Films: Effect of the Range of Spin-Spin Interactions”, Phys Rev Lett 86, pp 2665 79 Rubi D., Sriram Venkatesan, Kooi B.J., De Hosson J.Th.M., Palstra T.T.M, and Noheda B.(2008), “Magnetic and dielectric properties of YbMnO perovskite thin films”, Phys Rev B 78, pp.020408 80 Samal D., Venkateswarlu D., Anil Kumar P.S.(2010), “Influence of finite size effect on magnetic and magnetotransport properties of La0:5 Sr0:5CoO3 thin films”, Solid State Communications 150, pp.576-580 81 Samuel Jiang J and Chien C.L (1996), “The Magnetization and finitesize effects in Gd/W multilayers”, J Appl Phys.79 (8), pp 5615-5617 82 Schneider C.M., Bressler P., Schuster P., Kirschner J (1990), “Curie temperature of ultrathin films of fcc-cobalt epitaxially grown on atomically flat Cu(100) surfaces”, Phys Rev Lett 64, pp.1059 83 Schwieger S., Kienert J., and Nolting W (2005), “Theory of field-induced spin reorientation transition in thin Heisenberg films”, Phys Rev B 71, pp 024428 84 Scott J.F (2007), “Applications of Modern Ferroelectrics”, Science 315, pp 954959 85 Scott J.F., Duiker H.M., Beale P.D., Pouligny B., Dimmler K., Parris M., Butler D and Eaton S (1988), “Properties of ceramic KNO thin-film memories”, Physica B 150, pp 160- 167 86 Scott J.F., Schilling A., Rowley S.E., and Gregg J.M (2015), “Some current problems in perovskite nano-ferroelectrics and multiferroics: kinetically-limited systems of finite lateral size”, Sci Technol of Adv Mater.16, pp 0360001 87 Seddaoui D., Loranger S., Ménard D., and Yelon A.(2010), “Landau-Lifshitz equation for magnetization dynamics of thin films: Failure of the linear approximation at low effective fields”, Physical Review B 82, pp.134430 88 Senthil Kumar M (2009), “Temperature dependence of magnetization in Fe–Pd thin films”, Materials Science and Engineering B 162, pp 59–63 89 Sergei Vladimirovich Tyablikov (1967), Method in the Quantum theory of magnetism, Springer Science + Business Media, LLC, New York 90 Shaoping Li, Jeffery A Eastman, James M Vetrone, Christopher M Foster, Robert E Newnham and L Eric Cross (1997), “Dimension and Size Effects in Ferroelectrics”, Jpn J Appl Phys.36, pp 5169 91 Snigirev O V., Andreev K E., Tishin A M., Gudoshnikov S A.& Bohr J (1997), “Magnetic properties of thin Ni films measured by a dc SQUID-based magnetic microscope”, Physical Review B Condensed Matter 55(21), pp 14429-14433 92 Streiffer S.K., Eastman J.A., Fong D.D., Thompson C., Munkholm A., Ramana Murty M.V., Auciello O., Bai G.R., Stephenson G.B (2002), “Observation of nanoscale 180 degrees stripe domains in ferroelectric PbTiO thin films”, Phys Rev Lett 89, pp 067601 93 Strukov B., Davitadze S., Lemanov V., Shulman S , Uesu Y., Asanuma S., Schlom D & Soukiassian A (2008), "Phase Transitions in Ferroelectric Thin Films and Superlattices: Thermophysical Approach”, Ferroelectrics 370, pp 5764 94 Strukov B.A., Davitadze S.T., Lemanov V.V., Shulman S.G., Uesu Y & S Asanuma (2007), “Comparative Study of Phase Transitions in Polycrystalline and Epitaxial BaTiO3 Thin Films by Specific Heat Measurements”, Ferroelectrics 347, pp.179-185 95 Suszka A.K., Etxebarria A., Idigoras O., Cortés-Ortuño D., Landeros P., and Berger A (2014), “Field angle dependent change of the magnetization reversal mode in epitaxial Co (0001) films”, Applied Physics Letters 105, pp 222402 96 Suzuki S., Inoue J., Chakrabarti B.K (2013), Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models, second edition, Springer- Verlag Berlin Heidelberg 97 Thomas Andrew Ostler, Craig Barton, Thomas Thomson, and Gino Hrkac (2017), “Modeling the thickness dependence of the magnetic phase transition temperature in thin FeRh films”, Physical Review B 95, pp 064415-7 98 Tilley D.R (1996), Finite-Size Effects on Phase Transitions in Ferroelectrics, in Ferroelectric Thin Films: Synthesis and Basic Properties, Integrated Ferroelectric Devices and Technologies, Gordon and Breach, Amsterdam 99 Tilley D.R and Zeks B (1984), “Landau theory of phase transitions in thick films”, Solid State Communications 49, pp.823-828 100 Todd Young and Martin J Mohlenkamp (2015), Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming for Engineers, Ohio University 101 Tybell T., Ahn C.H., and Triscone J.-M (1999), “Ferroelectricity in thin perovskite films”, Appl Phys Lett 75, pp 856–858 102 Ümit Akıncı (2014), “Anisotropic Heisenberg model in thin film geometry”, Thin Solid Films 550, pp 602–607 103 Usadel K D and Hucht A.(2002), “Anisotropy of ultrathin ferromagnetic films and the spin reorientation transition”, Phys Rev B 66, pp 024419 104 Varkarchuk A and Rudavskii Y.K (1981), “Method of functional integration in the theory of spin systems”, Theoretical Math Phys 49, pp.1002–1011 105 Vladimir Fridkin, Stephen Ducharme (2014), Ferroelectricity at the NanoscaleBasics and Applications, Springer Science & Business Media 106 Wang C.L., Smith S.R.P., Tilley D.R.(1995), “Theory of Ising films in a transverse field”, Jour Mag Mag Mater 140-144, pp.1729-1730 107 Wang C.L., Xin Y., Wang X.S., Zhong W.L (2000), “Size effects of ferroelectric particles described by the transverse Ising model”, Phys Rev B 62, pp.1142311427 108 Wang Y.G., Zhong W.L., and Zhang P.L (1995), “Lateral size effects on cells in ferroelectric films”, Phys Rev B 51, pp 17235 109 Wesselinowa J.M (2002), “Dynamical Properties of Thin Ferroelectric Films Described by the Transverse Ising Model”, Phys stat sol (b) 231, pp 187–191 110 Wilgocka-Slezak D., Freindl K., Koziol A., Matlak K., Rams M., Spiridis N., Slezak M., Slezak T., Zajac M., and Korecki J (2010), “Thickness-driven polar spin reorientation transition in ultrathin Fe/Au(001) films”, Phys Rev B 81, pp.064421 111 Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth, (2009), Quantum Theory of Magnetism, Spinger 112 Young Jun Chang, Choong H Kim, Phark S.-H., Kim Y.S., Yu J., and Noh T.W (2009), “Fundamental Thickness Limit of Itinerant Ferromagnetic SrRuO 3Thin Films”, Phys Rev Lett 103, pp 057201 113 Zembilgotov A.G., Pertsev N.A., Kohlstedt H., and Waser R (2002), “Ultrathin epitaxial ferroelectric films grown on compressive substrates: Competition between the surface and strain effects”, J Appl Phys 91, pp 2247 114 Zhong W.L., Wang Y.G., Zhang P.L., and B D Qu (1994), “Phenomenological study of the size effect on phase transitions in ferroelectric particles”, Phys Rev B 50, pp 698 PHỤ LỤC A TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN TOEPLITZ Xét ma trận Toeplitz chéo hóa có dạng: a c  ˆ   A n  0  0 c a c 0 c a 0 0 c 0 0 a c 0  0   c  a  nxn (A.1) Gọi λ tr ị riêng   1, , n   vectơ riêng tương ứng Bài tốn trị riêng T cho An có dạng: An   (A.2) Phương trình viết lại dạng sau đây:  Aˆ n  Iˆn   0ˆ (A.3) Iˆ n ma trận đơn vị bậc n 0ˆ ma trận cột ˆ Vectơ riêng ν đư ợc giả thiết khác λ tr ị riêng ma trận A n khi:   ˆ   Iˆ  det A n n (A.4) ˆ   Iˆ ma trận Toeplitz chéo hóa Có thể thấy ma trận A n n Ký hiệu: Wn  An   I n , ta có mối liên hệ sau: Wn   (a   )Wn 1  bcWn  n 1 (A.5)   Với W1  a   , W2  a    bc (A.6) Lời giải phương trình (A.5) v ới điều kiện ban đầu (A.6) phụ thuộc vào giá trị    a     4bc Nếu   ta có: Wn   p n 1  q n 1  đó: p  q  (A.7) ( a   )  ( a   )  4bc ( a   )  ( a   )  4bc (A.8a) (A.8b) Do điều kiện (A.4) nếu: p n 1  q n 1  (A.9) Chúng ta thấy rằng: p.q  bc (A.10) Lưu ý đ ến (A.10) phương trình (A.9) có th ể viết sau:  p2     bc  n 1 0 (A.11) Điều kiện với (A.10) dẫn đến hai trường hợp cho p q s s   p  bc  cos  isin , n 1 n 1  s  1, 2, , n  (A.12a) s s   q  bc  cos  isin , n 1 n 1  s  1, 2, , n  (A.12b) hoặc: s s   p   bc  cos  isin , n 1 n 1  s  1, 2, , n  (A.13a) s s   q   bc  cos  isin , n 1 n 1  s  1, 2, , n  (A.13b) Các phương trình (A.12) (A.13) dẫn đến kết trị riêng giống Vì cần xét trường hợp cho (A.12) Từ (A.12) ta có: p  q  bc cos s , n 1 s  1, 2, , n  (A.14) Đồng thời từ (A.8) ta có: pq  a (A.15) Kết hợp (A.14) (A.15) ta được: a    bc cos s , n 1 s  1, 2, , n  (A.16) Ta thấy s  n  a    bc , điều kiện   không thỏa mãn với giá trị a,b,c Vì trường hợp này, trị riêng s , s  1,2, , n ˆ có dạng : ma trận A n s  a  bc cos s , n 1 s  1, 2, , n (A.17) Trị riêng s , s  1,2, , n cho (A.17) thỏa mãn điều kiện   với b  0, c  Nếu   nghiệm (A.5) với điều kiện ban đầu (A.6) có dạng:   2bc  n (a   )  2bc  a   n  Wn      (A.18) Điều kiện (A.6) thỏa mãn nếu:   2bc  n (a   )2  2bc  a  Hoặc:     (A.19) n2 0 (A.20) Từ (A.19) ta có: 1  a  2bc ( n  1) 2bc (n  1) , 1  a  n n Đồng thời từ (A.20) ta có: s  a, s  3, , n (A.21) (A.22) Trị riêng s cho (A.21) (A.22) thỏa mãn điều kiện   b=0 c=0 Do mối liện hệ (A.21) (A.22) trở tthành: s  a, s  1,2,3, , n (A.23) Ta thấy biểu thức (A.23) suy từ phương trình (A.17) cho b=0 c=0 Vì kết luận trị riêng ma trận Toeplitz chéo hóa thỏa mãn phương trình (A.17) PHỤ LỤC B TÍCH PHÂN GAUSS Tích phân Gauss Xét tích phân Gauss N lớp: N    CN     dx j exp   Iij 1xi x j   ij  j 1 (B.1) với Iij  I ji thành phần ma trận đối xứng Iˆ Thực biến đổi tuyến tính xi   aik yk (B.2) k với hệ số aik thỏa mãn điều kiện:  aik I kl alj  ij , 1 (B.3) kl det a   det I  1/2 1/2  2  Từ CN   det I      (B.4) N /2 (B.5) Trung bình theo phân bố Gauss hai đại lượng x1x2    1 Xét J (1,2)    dx j x1x2exp   Iij xi x j  ij j   (B.6) Biến đổi tuyến tính (B.2) với điều kiện (B.3), (B.4) dẫn đến: 1/2  2 J (1,2)   det I    2   N /2 I12 2 (B.7) Trường hợp tổng quát:    1    dx j x1x2exp   Iij xi x j  J (1,2) ij j   x1x2   N CN    1 dx exp  I x x     j   ij i j  ij j 1   x1 x2  I (1, 2) 2 (B.8) (B.9) Trung bình theo phân bố Gauss tích s đại lượng x1 xs    1 dx x x exp  I x x    j s   ij i j  J N (1,2, , s) ij j   x1 xs   N CN    1 dx exp  I x x    j   ij i j  ij j 1   (B.10) Biến đổi (B.2) dẫn tới: J N (1, 2, , s)   det I  1/2  2   a1 p1 a2 p2 asps    p1 , p2 , , ps x    dy j y1 p1 y2 p2 y sps j N /2 I12 x 2    exp  y 2j    j  (B.11) Tích phân (B.11) khác không s số nguyên chẵn: s=2n Ngồi tích y1 p1 y2 p2 y sps số p1, p2 , , ps phải phân thành cặp có số Từ ta có: J N (1,2, , s)   det I  1/2   a p p p1 , p2 , , ps i i1 2 n1 pn ai2 n pn x N    2 x    dy j y 2p y 2p y 2p exp  y   s j j j 1   (B.12) Trong (B.12): i biểu thị tổng gồm số hạng tích cặp aip akp , có số p thuộc tập hợp 1,2,…,2n Tích phân theo y j (B.12) cho ta 1/2  2 J N (1,2, , s)   det I    2   N /2  Ii i Ii i Ii2n1i2n  2n i (B.13) i biểu thị tổng gồm số hạng tích Iik với i,k n cặp số không trùng tập hợp 1,2,…,2n Từ đó: x1 xs   Ii i Ii i Ii2n1i2n  n i (B.14) Với n=1 (B.14) chuyển thành (B.9) Tích phân Gauss với biến trường phức   1 Xét Int   D exp   A ' (q )  (q )  ' ( q )   q '  (B.15) ˆ 1 (q) ma trận đối xứng với thành phần: với A 1 1 1 1 A ' (q)  A ' (q), A ' (q)  A ' ( q), (B.16) cịn (q)  (k, ) vectơ sóng thành phần (k x , k y ,  )   (q)   c (q)  i s (q) (B.17)  c (q), s (q) thành phần thực ảo biến trường   (q) có tính chất sau:  c (q)   c (q),  s (q)   s (q) (B.18) ˆ 1 (q) liên hệ với ma trận tương tác trao đổi Iˆ (k ) M ˆ (q) theo công Ma trận A thức sau: 1 1  ˆ    ' M (q) A ' (q)    I (k )  (B.19)  ' Tích phân (B.15) có dạng tường minh là: Int       d  (0)    ' 2 det   Iˆ (0)  q   d c (q)  d s (q)   det   Iˆ (k )    det   Iˆ (k )  x   1 s s  c  c  x exp   A ' (q)   (q)  i  (q)    (q)  i  (q)   ,   X , Z   ' q  Dấu phẩy ký hiệu tích (B.20)  ' có ý nghĩa vectơ sóng q thay đổi nửa khơng q0 gian Tách riêng phần tích phân với q = q ≠ (B.20) ta được: Int      1 exp   A (0)  (0)  (0) x '  ' 2 det   Iˆ (0)    '  d  (0)     x   '  q    d c (q) d s (q)   det   Iˆ (k )    det   Iˆ (k )  x (B.21)   1 c c s s   x exp    A ( q )  ( q )  ( q )   ( q )  ( q ) ' '  '      ' q   Tích phân Gauss theo biến thực (B.21) lấy cách dễ dàng theo (B1) Cuối ta được: 1/  detA ˆ (q )   Int     det   Iˆ (k )   q    (B.22) Theo (B.19) thì: ˆ 1 (q)    Iˆ (k )  1 1ˆ   Iˆ (k )M ˆ (q)  A     (B.23) 1 ˆ (q)  1ˆ   Iˆ (k )M ˆ (q)   Iˆ (k ) hay A   (B.24)  ˆ (q)  det   Iˆ (k )  det 1ˆ   Iˆ (k )M ˆ (q)  detA     Vậy Int   q ˆ (q )  det 1ˆ   Iˆ (k )M   1 (B.25) (B.26) ... tuyệt đối hệ thấp chiều dây lượng tử, màng mỏng giả hai chiều có liên quan mật thiết với chuyển pha lượng tử - vấn đề đại vật lý quan tâm nhiều thời gian gần Sự chuyển pha nhiệt độ không gọi chuyển. .. 2, hệ số khai triển có giá trị  (T  T0 ),  số Curie- Weiss,  số điện môi chân không Thay điều kiện (1.2) hệ số khai triển (1.3) vào hệ. ..  HA  t  dt (1.15) Giao hốn tử phía bên phải (1.15) bao gồm tích số lượng lớn tốn tử lượng tử hóa lần thứ hai Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian hai toán tử A  t  , B  t ' sau: FAB