chøng minh r»ng BF lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ECF... chøng minh bèn ®iÓm B,M,F,P cïng thuéc mét ®êng trßn.[r]
(1)ôn tập vào lớp 10 năm häc 2009-2010
PhÇn 1: Các loại tập biểu thức Bài 1: Cho biÓu thøc : P=√a+2
√a+3−
5
a+√a −6+¿
1 2 −√a
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị a để P<1 Bài 2: Cho biểu thức: P= (1 − √x
√x +1):(
√x +3
√x − 2+
√x +2
3−√x+
√x+2 x −5√x+6)
a) Rót gän P
b)Tìm giá trị a để P<0 Bài 3: Cho biểu thức: P= ( √x −1
3√x − 1−
1 3√x+1+
8√x
9 x −1):(1−
3√x −2
3√x +1)
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x để P=
5
Bµi 4: Cho biÓu thøc P= (1+ √a
a+1):(
1 √a −1−
2√a
a√a+√a −a −1)
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị a P<1
c) Tìm giá trị P nÕu a=19− 8√3
Bµi 5: Cho biĨu thøc: P=
1− a¿2 ¿
√a¿ ¿
a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P- 12 ) Bµi 6: Cho biĨu thøc: P = ( √x +1
√2 x +1+
√2 x +√x
√2 x − 1 −1):(1+ √x+1
√2 x+1−
√2 x+√x
√2 x −1 )
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x ¿1
2.(3+2√2)
Bµi 7: Cho biĨu thøc: P= ( 2√x
x√x+√x − x − 1−
1
√x −1):(1+
√x x +1)
a) Rút gọn P b) Tìm x để P
Bµi 8: Cho biĨu thøc: P= (2 a+1 √a3 −
√a a+√a+1).(
1+√a3 1+√a −√a)
(2)b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P √1− a
Bµi 9: Cho biĨu thøc P= 1:( x +2
x√x −1+
√x +1 x +√x +1−
√x+1 x −1)
a) Rót gän P b) So sánh P với
Bài 10: Cho biểu thøc : P= (1− a√a
1−√a +√a).(
1+a√a
1+√a −√a)
a) Rót gän P
b) Tìm a để P< 7 − 4√3
Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= ( 2√x
√x +3+
√x
√x −3−
3 x +3
x − 9 ):(
2√x −2
√x −3 − 1)
a) Rút gọn P b) Tìm x P<
2
c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P
Bµi 12: Cho biĨu thøc: P= (x −3√x
x − 9 −1):(
9− x
x+√x − 6−
√x − 3
2−√x−
√x − 2
√x +3)
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x để P<1
Bµi 13: Cho biĨu thøc : P= 15√x −11
x +2√x −3+
3√x −2
1−√x −
2√x +3
√x+3
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x để P=
2
c) Chøng minh P
3
Bµi 14: Cho biĨu thøc: P= 2√x
√x +m+
√x
√x − m− m2
4 x − m2 víi m>0
a) Rót gän P
b) Tính x theo m để P=0
c) Xác định giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bài 15: Cho biểu thức P= a
2 +√a
a−√a+1−
2 a+√a
√a +1
a) Rót gän P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P c) Tỡm a P=2
d) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P Bµi 16: Cho biĨu thøc P= ( √a+1
√ab+1+
√ab+√a
√ab− 1 −1):( √a+1
√ab+1−
√ab+√a
√ab − 1 +1)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị cđa P nÕu a= 2−√3 vµ b= √3 −1
1+3
c) Tìm giá trị nhỏ P nÕu √a+√b=4
Bµi 17: Cho biĨu thøc : P= a√a− 1
a −√a −
a√a+1
a+√a +(√a −
1 √a)(
√a+1
√a− 1+
√a −1
√a+1)
a) Rót gän P
(3)c) Với giá trị a P>6 Bài 18: Cho biểu thức: P= (√a
2 − 2√a)
2
(√√a −1a+1−
√a+1
√a −1)
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị a để P<0 c) Tìm giá trị a để P=-2 Bài 19: Cho biểu thức P= (√a−√b)
2
+4√ab √a+√b
a√b − b√a
√ab
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rỳt gn P
c) Tính giá trị P a= 2√3 vµ b= √3
Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= ( x +2
x√x −1+
√x x +√x +1+
1 1−√x):
√x −1
2
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x
Bµi 21: Cho biĨu thøc : P= (2√x +x
x√x −1−
1
√x −1):(1 −
√x +2 x+√x +1)
a) Rót gän P
b) TÝnh √P x= 5+2√3
Bµi 22: Cho biĨu thøc P= 1:( 2+√x+
3 x 4 − x−
2 4 −2√x):
1 4 − 2√x
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x để P=20 Bài 23: Cho biểu thức : P= ( x − y
√x −√y+
√x3−√y3 y − x ):
(√x −√y)2+√xy √x +√y
a) Rót gän P
b) Chøng minh P
Bµi 24: Cho biĨu thøc P= (
√a+√b+
3√ab
a√a+b√b).[(
1 √a −√b−
3√ab
a√a− b√b):
a− b a+√ab+b]
a) Rót gän P
b) TÝnh P a=16 vµ b=4
Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= 1+(2 a+√a −1 1 − a −
2 a√a −√a+a
1 −a√a )
a −√a
2√a −1
a) Rót gän P b) Cho P=
1+6 tìm giá trị a
c) Chøng minh r»ng P>
3
Bµi 26: Cho biÓu thøc: P= (x −5√x
x −25 −1):(
25 − x
x+2√x −15−
√x +3
√x +5+
√x −5
√x −3)
a) Rót gän P
(4)Bµi 27: Cho biÓu thøc P= ( 3√a
a+√ab+b−
3 a
a√a −b√b+
1 √a −√b):
(a −1) (√a−√b) 2 a+2√ab+2 b
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức P= (
√a− 1−
1 √a):(
√a+1
√a − 2−
√a+2
√a −1)
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị a để P>
6
Bµi 29: Cho biĨu thøc: P= [(
√x+
1
√y)
2
√x+√y+
1
x+
1
y]:√
x3+y√x +x√y +√y3
√x3y +√xy3
a) Rót gän P
b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức : P= √x
3
√xy −2 y−
2 x
x +√x −2√xy −2√y
1− x 1−√x
a) Rót gän P
b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P<0,2
Bµi tËp rót gän Bµi 31 :
1) Đơn giản biểu thức : P = 14 5 14 5 .
2) Cho biÓu thøc : Q =
x x x
x
x x x
a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H
íng dÉn : 1 P = 6
2 a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : Q = x −1 .
b) | Q | > - Q ⇔ x > 1.
c) x = {2;3} th× Q Z Bµi 32 : Cho biĨu thøc P =
1 x
x1 x x
a) Rót gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị cđa biĨu thøc P x =
1 .
H
íng dÉn :
a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : P = x+1
(5)b) Víi x =
1
2 th× P = - – 2 √2 .
Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A = x√x +1
x − 1 − x −1
√x +1
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) Tính giá trị biểu thức A x = 14 c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để | A | = A.
H
íng dÉn :
a) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : A = √x
√x − 1 .
b) Víi x = 14 th× A = - 1.
c) Víi x < th× A < 0.
d) Víi x > th× | A | = A.
Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A =
1
1
a a a
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) Xác định a để biểu thức A > 12 .
H
íng dÉn :
a) ĐKXĐ : a > a9 Biểu thức rót gän : A =
√a+3 .
b) Víi < a < th× biĨu thøc A > 12
Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A =
2
x x x 4x x 2003
x x x x
.
1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
H
íng dÉn :
a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ±
b) BiĨu thøc rót gän : A = x +2003
x víi x ≠ ; x ≠ ± 1.
c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z .
Bµi 36 : Cho biĨu thøc: A =
2 x x x x x x
:
x
x x x x
.
a) Rót gän A.
b) Tìm x để A < 0.
(6)H
íng dÉn :
a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = √x+1
√x − 1 .
b) Víi < x < th× A < 0. c) x = {4 ;9} th× A Z
Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A =
x x x
:
x x x x 1 x
a) Rót gän biĨu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: < A < 2.
H
íng dÉn :
a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x +√2x+1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A > ⇔
x +√x+1 > với x > ; x ≠ (1)
+) A < ⇔
x +√x+1 < ⇔ 2( x+√x +1 ) > ⇔ x+√x > vì
theo gt th× x > (2)
Tõ (1) (2) suy < A < 2(đpcm) Bµi 38 : Cho biĨu thøc: P =
a a a
4 a
a a
(a 0; a 4)
a) Rót gän P.
b) Tính giá trị P với a = 9.
H
íng dÉn :
a) §KX§ : a 0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P =
√a − 2
b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = 4
Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N =
a a a a
1
a a
1) Rót gän biĨu thøc N.
2) Tìm giá trị a để N = -2004
H
íng dÉn :
a) §KX§ : a 0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a
b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005.
Bµi 40 : Cho biĨu thøc P=x√x+26√x −19 x +2√x − 3 −
2√x
√x − 1+
√x −3
√x +3
a Rót gän P
b Tính giá trị P x=7 − 4√3
(7)đó.
H
íng dÉn :
a ) §KX§ : x 0, x 1 BiĨu thøc rót gän : P=x+16
√x+3
b) Ta thÊy x=7 − 4√3 §KX§ Suy P=103+3√3
22
c) Pmin=4 x=4.
Bµi 41 : Cho biÓu thøc P=( 2√x
√x +3+
√x
√x +3−
3 x+3
x −9 ):(
2√x −2
√x −3 − 1)
a Rút gọn P b Tìm x để P<1
2 c Tìm giá trị nhá
nhÊt cña P.
H
íng dÉn :
a ) §KX§ : x 0, x 9 BiĨu thøc rót gän : P= − 3
√x+3
b Víi 0 ≤ x <9 th× P<−1
2
c Pmin= -1 x = 0
Bµi 42: Cho A=
1 1
4
1
a a
a a
a a a
víi x>0 ,x1
a Rót gän A
b TÝnh A víi a = 4 15 10 4 15 ( KQ : A= 4a )
Bµi 43: Cho A=
3
1 :
9
x x x x x
x x x x x
víi x0 , x9, x4
a Rót gän A.
b x= ? Thì A < 1. c Tìm x Z để A Z
(KQ : A=
3
x )
Bµi 44: Cho A =
15 11 2
2 3
x x x
x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b Tìm GTLN A. c Tìm x để A =
1
d CMR : A
2
(KQ: A =
(8)Bµi 45: Cho A =
2 1
1 1
x x
x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b T×m GTLN cđa A ( KQ : A =
x x x )
Bµi 46: Cho A =
1
1 1
x x x x x víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b CMR : 0 A ( KQ : A =
1
x x x )
Bµi 47: Cho A =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
a Rót gän A.
b Tìm x Z để A Z
( KQ : A =
5
x )
Bµi 48: Cho A =
2
5
a a a
a a a a
víi a 0 , a9 , a4
a Rút gọn A. b Tìm a để A < 1
c Tìm a Z để A Z ( KQ : A =
1 a a )
Bµi 49: Cho A=
7 2
:
4 2
x x x x x
x x x x x
víi x > , x4
a Rót gän A. b So s¸nh A víi
1
A ( KQ : A =
9 x x )
Bµi50: Cho A =
2
3
: x y xy
x y
x y
y x
x y x y
víi x0 , y0, xy
(9)b CMR : A 0 ( KQ : A =
xy
x xyy )
Bµi 51 : Cho A =
1 1 1
1
x x x x x x
x
x x x x x x x
Víi x > , x
1.
a Rót gän A.
b Tìm x để A = ( KQ : A =
2 x x
x
)
Bµi 52 : Cho A =
4
:
2
2
x x x
x x x
x x
víi x > , x4.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A = 1 x)
Bµi 53 : Cho A=
1 1 1
:
1 x x x x x
víi x > , x1.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =
3 2 x )
Bµi 54 : Cho A=
2 1
:
1
1
x x
x x x
x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b Tìm x Z để A Z (KQ: A =
x x )
Bµi 55: Cho A=
1 2
:
1
1 1
x
x
x x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b Tìm x Z để A Z
c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =
1 x x )
Bµi 56 : Cho A =
2 3 2
:
9
3 3
x x x x
x
x x x
víi x0 , x9
a Rút gọn A. b Tìm x để A <
(10)( KQ : A = 3 a )
Bµi 57 : Cho A =
1
:
1
1 1
x x x x x
x x
x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =
4
x x )
c CMR : A 1
Bµi 58 : Cho A =
1 1
:
1
x
x x x x x
víi x > , x1.
a Rót gän A (KQ: A =
1
x x
) b.So sánh A với 1
Bài 59 : Cho A =
1
:
3 3
x x x
x
x x x
Víi
1 0,
9
x x
a Rút gọn A. b Tìm x để A =
6
c Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
x x
x
)
Bµi 60 : Cho A =
2
2 2
1 2
x x x x
x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b CMR nÕu < x < th× A > 0 c TÝnh A x =3+2
d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )
Bµi 61 : Cho A =
2 1
:
1 1
x x x
x x x x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A =
2
(11)Bµi 62 : Cho A =
4
1 :
1
1
x x
x x
x
víi x > , x1, x4.
a Rót gän
b Tìm x để A =
1
Bµi 63 : Cho A =
1 3
:
1
1
x x x x
x x
x x
víi x0 , x1.
a Rót gän A.
b TÝnh A x= 0,36
c Tìm x Z để A Z
Bµi 64 : Cho A=
3 2
1 :
1
x x x x
x x x x x
víi x 0 , x9 ,
x4.
a Rót gän A.
b Tìm x Z để A Z
c Tìm x để A < (KQ: A =
2
x x
)
Phần 2: Các tập hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình : m2 x (2 1)2=2 x +m2
a) Giải phơng trình m=2+1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 −√2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình :
(m− ) x2− mx+m− 2=0 (x lµ Èn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt
c) Tính x12+x22 theo m
Bài 3: Cho phơng trình :
x2−2 (m+1) x +m −4=0 (x ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm phân biệt với m c) Chứng minh biểu thức M= x1(1 − x2)+x2(1 − x1) khơng phụ thuộc vào m Bài 4: Tìm m để phơng trình :
a) x2− x +2 (m 1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x2
+2 x+m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
c) (m2
+1)x2−2 (m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiƯm tr¸i dấu
Bài 5: Cho phơng trình : x2( a 1) x −a2
+a −2=0
(12)b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị a để x12+x22 đạt giá
trị nhỏ
Bài 6: Cho b c hai số thoả mÃn hệ thức:
b+
1
c=
1
CMR hai phơng trình sau phải có nghiÖm x
2
+bx +c=0
x2+cx +b=0
Bài 7:Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm số chung: 2 x
2
−(3 m+2) x+12=0(1)
4 x2−(9 m −2) x +36=0(2)
Bµi 8: Cho phơng trình :
2 x22 mx+m2 2=0
a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn ph-ơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x2
+4 x +m+1=0
a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
b) T×m m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện
x12+x22=10
Bài 10: Cho phơng trình
x22 (m 1) x +2 m− 5=0
a) Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm với m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi hai nghiệm mang dấu ?
Bài 11: Cho phơng trình
x2−2 (m+1) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham số )
a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; hÃy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tỡm giá trị m để 10 x1x2+x12+x22 đạt giá trị nh nht
Bài 12: Cho phơng trình
(m− 1) x2− mx+m+1=0 víi m lµ tham số
a) CMR phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt ∀ m≠ 1
b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm phơng trình
c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1
x2
+x2
x1
+5 2=0
Bài 13: A) Cho phơng trình :
x2− mx+m− 1=0 (m lµ tham số)
a) Chứng tỏ phơnh trình có nghiƯm x1; x2 víi mäi m ; tÝnh nghiƯm kÐp (
có) phơng trình giá trị m tơng ứng b) Đặt A=x12+x22 x1x2
Chøng minh A=m2
−8 m+8 Tìm m A=8
Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng
c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lÇn nghiƯm
(13)x2−2 mx+2 m −1=0
a) Chøng tá r»ng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với m b) §Ỉt A= 2(x12+x22)− x1x2
CMR A= 8 m2−18 m+9
T×m m cho A=27
c)Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Bài 14: Giả sử phơng trình a x2
+bx+c=0 cã nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 Đặt
Sn=x1n+x2n (n nguyên dơng)
a) CMR a Sn+2+bSn+1+cSn=0
b) ¸p dơng TÝnh gi¸ trÞ cđa : A= (1+√5
2 )
+(1−√5 )
5
Bµi 15: Cho
f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiệm với mäi m
b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) =
cã nghiƯm lín h¬n Bài 16: Cho phơng trình :
x2−2 (m+1) x +m2− m+5=0
a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng
c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu
d) Gäi x1; x2 hai nghiệm có phơng trình Tính x1
+x22 theo m Bµi 17: Cho phơng trình x2 x
3+8=0 có hai nghiệm x1; x2 Không giải
ph-ơng trình , hÃy tính giá trị biểu thức : M =6 x1
2
+10 x1x2+6 x22
5 x1x2
+5 x1
x2
Bµi 18: Cho phơng trình
xx (m+2) x+ m+1=0
a) Giải phơng trình m=
2
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x1(1 x2)+x2(1 x1)=m2
Bài 19: Cho phơng trình x2
+mx+n −3=0 (1) (n , m lµ tham sè)
Cho n=0 CMR phơng trình có nghiệm với m
Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phơng trình (1) thoả mãn hệ : {x1− x2=1
x12− x 2=7
Bµi 20: Cho phơng trình:
x22 (k ) x − k − 5=0 ( k lµ tham sè)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k
b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trÞ cđa k cho x1
2
+x22=18
Bài 21: Cho phơng trình
(14)a) Giải phơng trình (1) m=1 b) Giải phơng trình (1) m
c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bài 22:Cho phơng trình :
x2−(2 m− 3) x+m2−3 m=0
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m
Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1<x1<x2<6 Bài tập hàm số bậc
B
µi 23 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4)
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành
H
íng dÉn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b
Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :
¿
2=a+b
− 4=−a+b ¿{
¿
⇔ a=3 b=−1
¿{
Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x –
3
B
µi 2 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ
3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy
H
íng dÉn :
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m <
2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ Suy : x= ; y =
Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 34
3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :
¿ y=− x+2 y=2 x − 1
¿{
¿
⇔ (x;y) = (1;1)
Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m – 2)x + m +
Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = − 1
2 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ;
Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ B
µi 25 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m
H
(15)1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị ln qua M(x0 ;y0) Ta có
y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔
¿ x0=1
y0=2
¿{
¿
Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (1;2)
B
µ26 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song
với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)
Ta cã : với m Z 2m , vây phơng trình có nghiệm : x = (m + 2)
-4 m -
để pt có nghiệm ngun ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m =
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23
Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x
4 = – 2x +
x − 1
Vì y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = y =
bài tập phần hệ pt B
ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 3x 4y
b)
x 4y 4x 3y
c)
2x y y 4x
d)
x y x y e)
2x 4x 2y
f)
2
2 x x y
3
1, x x y B
ài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y x my
1) Giải hệ phơng trình theo tham số m
(16)B
µi 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y m 2x y 3(m 2)
1) Giải hệ phơng tr×nh thay m = -1
2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
B
ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a x (a 1)y
cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức
2x 5y x y
nhận giá trị nguyên.
B
ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay (1) ax y
1) Gi¶i hƯ (1) a =
2) Với giá trị cđa a th× hƯ cã nghiƯm nhÊt
B
ài 6 : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình
mx y n nx my
cã nghiƯm lµ 1; 3
4.Vài tốn ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)
Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2 = c a
NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Phơng trình cần tìm : x2 – S x + p =
c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều
kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*)
x1 +
x2
=x1+x2
x1x2
= S
p
*) x1
x2+ x2
x1=
x12+x22
x1x2 =
S2−2 p
(17)*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*)
x1−a +
x2−a
= x1+x2−2 a (x1− a)( x2−a)=
S − 2a p − aS+a2
(Chó ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiện
0 )
d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho
trớc Tìm nghiệm thứ 2
Cách gi¶i:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: Δ≥ 0 (hoặc Δ❑
≥ 0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị
tham sè
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 ) mà ta thay lu«n
x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số
- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình
bậc hai có Δ < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trc
Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm
+) Cỏch 1: Thay giỏ tr tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)
+) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ
+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm thứ
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gi¶i.
Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có
2 nghiƯm ph©n biƯt:
x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9
+ NÕu Δ❑ = ⇔ m = 3
- Với m =3 phơng trình cã nghiƯm lµ x1.2 =
- Víi m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2
+ NÕu Δ❑ < -3 < m < phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng trình có nghiƯm x = -2
Víi m < - m > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9
Với -3< m < phơng trình vô nghiƯm
(18)Híng dÉn
Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = -
2
* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kÐp
x1 = x2 = - b
❑
a =
2
2 −3 = -
- NÕu Δ❑ > m >2 Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
x1,2 = m± 3√m −2 m −3
- NÕu Δ❑ < m < Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = phơng trình có nghiƯm x = -
2
Víi m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > m phơng tr×nh cã nghiƯm x1,2 = m± 3√m −2 m −3
Với m < phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 =
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( √3−√5 )x - √15 =
d) x2 –(3 - 2 √7 )x - 6 √7 = 0
Gi¶i
a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =
Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = , x2 = c a=
− 2009
2
b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
x2 = - c a=−
204
17 = - 12
c) x2 + (
√3−√5 )x - √15 = cã: ac = - √15 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5
x1x2 = - 15 = (- )
Vậy phơng trình cã nghiƯm lµ x1 = - √3 , x2= √5
(hc x1 = √5 , x2 = - √3 )
d ) x2 –(3 - 2
√7 )x - √7 = cã : ac = - √7 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có
¿
x1 + x2= - 2√7
x1 x2 = - 6√7= 3(-2√7)
¿{
(19)
VËy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = -
Bài : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =
Suy : x1 =
Hc x2 = m+1
3
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)
* m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = -
* m – ⇔ m (*)
⇔ x1=−1
¿ x2=2 m− 2
m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ nghịêm phơng trình : x2 3x =
a) TÝnh:
A = x12 + x22 B = |x1− x2|
C= x
1−1 +
x2− 1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
b) lập phơng trình bậc có nghiệm lµ
x1−1
vµ
x2−1 Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có
hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2− p=√37
+ C =
x1−1+
1
x2− 1 =
(x1+x2)−2 (x1−1)(x2− 1)=
S −2 p − S +1=−
1
9
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã : S = x
1−1 +
x2− 1=−
1
9 (theo c©u a)
p =
(x1−1)(x2− 1)
=
p − S +1=−
1
VËy x
1−1
vµ x
2−1
(20)X2 – SX + p = ⇔ X2 +
9 X -
9 = ⇔ 9X2 + X - =
Bµi : Cho phơng trình :
x2 ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)
1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >
Giải.
1 Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -
5 k + )
= 5(k2 – 2.
5 k + 25 +
36
25 ) = 5(k - ) +
36
5 > với giá trị
của k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ p < ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.
2 k + +
7
4 ) <
⇔ -(k -
2 )2 -
4 < ln với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghim
phân biệt trái dấu với k
3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiƯm víi mäi k Theo hƯ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -
4 )2 + 87 16 ]
Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -
4 )2 + 87
16 ] >
⇔ k – > ( v× (2k -
4 )2 + 87
16 > víi mäi k)
⇔ k > VËy k > giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số)
1 Giải phơng trình (1) víi m = -5
2 Chøng minh r»ng phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi
m
3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình
(1) nãi phần 2.)
Giải
1 Với m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x =
1 , x2 = -
2 Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +
= m2 + 2.m.
2 + +
19
4 = (m + )2 +
19
4 > với m
(21)3 Vì phơng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
2 )2 + 19
4 ]
=> |x1− x2| = m+
1 2¿
2 +19
4
¿
√¿
2√19
4 = √19 m +
1
2 = ⇔ m = -1
2
Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -
2
Bµi : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m – = (m lµ tham sè)
1) Giải phơng trình m = -
2
2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với m
3) T×m tÊt giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm
Giải:
1) Thay m = -
2 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc
5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiÖm x1 = , x2=
2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x =
+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :
Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 m− 1+5
2(m+2) =
2 m+4
2 m+4=1 x2 =
2 m− 1− 5
2(m+2) =
2(m− 3)
2(m+2)=
m− 3 m+2 Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m
3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp
Trêng hỵp : 3x1 = x2 ⇔ = m−3
m+2 giải ta đợc m = -
9
2 (đã giải câu 1)
Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−3
m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =
11
(thoả mÃn điều kiện m - 2) Kiểm tra l¹i: Thay m = 11
2 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình :
15x2 20x + = phơng trình nµy cã hai nghiƯm
x1 = , x2 =
15 =
3 (thoả mÃn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè
1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu
(22)Gi¶i
1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x =
4
+ NÕu m LËp biÖt sè Δ❑
= (m – 2)2 – m(m-3)
= m2- 4m + – m2 + 3m
= - m +
Δ❑
< ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiƯm
Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp
x1 = x2 = - b
❑
a =
m−2
m =
4 − 2 =
1
Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt
x1 = m−2 −√− m+4
m ; x2 =
m−2+√− m+4
m
VËy : m > : ph¬ng trình (1) vô nghiệm
m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 = m−2 −√− m+4
m ; x2 =
m−2+√− m+4 m
m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c
a < ⇔
m−3
m <
⇔
¿m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3<0 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿m>3 m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Trêng hỵp ¿ m>3 m<0 ¿{ ¿
không thoả mÃn
Trờng hợp m<3 m>0 ¿{ ¿
⇔ < m <
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
Δ❑ ⇔ m (*) (ở câu a có)
(23)9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = -
4
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4 tho¶ m·n
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc
m = -
4 Sau thay m = -9
4 vào phơng trình (1) :
-
4 x2 – 2(-9
4 - 2)x -
4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =
cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > =>
x1=3
¿ x2=
7
¿ ¿ ¿ ¿
VËy víi m = -
4 phơng trình (1) có nghiệm x=
*)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm
Cách 1: Thay m = -
4 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2
=
9 (Nh phần làm)
C¸ch 2: Thay m = -
4 vào công thức tính tổng nghiệm:
x1 + x2 =
2(m−2)
m =
2(−9 4−2)
−9
4
=34
x2 = 34
9 - x1 = 34
9 - =
C¸ch 3: Thay m = -
4 vào công trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm
x1x2 = m−3
m =
−9
4− 3
−9
4 =21
9 => x2 = 21
9 : x1 = 21
9 : =
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kÐp ⇔ Δ❑ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )
k1 = − −√33
2 ; k2 =
(24)VËy cã giá trị k1 = 33
2 k2 =
5+33
2 phơng trình (1) Có
nghiệm kép 2.Có cách giải
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
Δ❑
⇔ k2 + 5k – (*)
Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi Ðt: x1 + x2 = - b
a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k
VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0
(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -
2
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k –
+ k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n
+ k2 = -
2 => Δ
❑ = 49
4 − 35
2 −2=
49 −70 −8
4 =−
29
8 không thoả mÃn
Vậy k = giá trị cần tìm
Cách : Không cần lập điều kiện Cách giải là:
T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -
2 (cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =
+ Víi k2 = -
2 (1) => x2- 7x + 39
2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình
vô nghiệm
Vậy k = giá trị cần tìm
Bài tËp vỊ pt bËc hai
B
µi 1 : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x
1 vµ x2 hai nghiệm phơng
trình Không giải phơng trình, hÃy tính: 1) x12 + x22
2) x1 x1 x2 x2
3)
2
1 x
2 2
1 2
x x x x x x
x x x x
B
ài 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.
TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x
1, x2 lµ hai nghiƯm phơng trình)
B
ài 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0
1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng
trình) B
ài 4 : Cho phơng trình:
x2 2mx + 2m = 0.
1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:
(25)B
µi 5 : Cho phơng trình:
x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m =
2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2
=
Bài : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1)
1) Giải phơng trình (1)
2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23
B
µi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23
B
ài 8 : Cho phơng trình:
(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*)
1) Giải phơng trình m =
2) Tìm m để phơng trình (*) có nghim phõn bit
Bài Cho phơng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi
mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt có nghiệm x= m−m+1
2 m−1 = 2 m− 1
pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<
2 m− 1 <0
¿
1
2 m− 1+1>0 2 m−1<0
¿{
¿
=>
¿
2 m 2 m− 1>0 2 m− 1<0
¿{
¿
=>m<0
VËy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0
Phần 3: Hệ ph ơng trình:
Bi53: Tỡm giá trị m để hệ phơng trình ; {(m+1) x − y=m +1
x+(m−1 ) y=2
Có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y nhỏ Bài 54: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị
a) {|x|+1= y
2 y −5=x b) {
x −|y|=2
x
4+
y
4=1
c) {|y +1|=x −1
y =3 x 12
Bài 55: Cho hệ phơng trình : {2 x+by=− 4
bx − ay=− 5
a)Giải hệ phơng trình a=|b|
b)Xỏc nh a b để hệ phơng trình có nghiệm : * (1;-2)
(26)*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 56:Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m: {mx − y=2 m
4 x − my=6+m
Bài 57: Với giá trị a hệ phơng trình : {x +ay=1
ax Ã+ y=2
a) Cã mét nghiƯm nhÊt b) V« nghiƯm
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau: {x2+xy+ y2=19
x − xy + y=− 1
Bµi 59*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiÖm: { |x − 1|+|y −2|=1
(x − y)2+m(x − y −1)− x + y=0
Bµi 60 :GiảI hệ phơng trình: {2 x
2
− xy+3 y2=13
x2− xy −2 y2=−6
Bài 61*: Cho a b thoả mÃn hệ phơng tr×nh : {a
3
+2 b2− b+3=0
a2+a2b2− 2b=0 .TÝnh a
2 +b2
Bài 61:Cho hệ phơng trình : {(a+1) x y =3
a x+ y=a
a) Gi¶i hệ phơng rình a=- 2
b) Xỏc nh giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số đồ thị
¿ ¿
¿ Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d)
Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)
b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √2 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2+ √2
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bài 63: Cho hàm số : y=2 x2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx− 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2 x+m
1.Xác định m để hai đờng :
a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hồnh độ x=-1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm toạ độ A B
(27)Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi
Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x2 hai điểm phân biệt A B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 66: Cho (P) y=− x2
a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)
b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √2 Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y=3
4x − 3
a) VÏ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d)
a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x − 1|=m
Bài 69: Với giá trị m hai đờng thẳng :
(d) y=(m− 1) x+2 (d') y=3 x − 1
a) Song song víi b) C¾t
c) Vu«ng gãc víi
Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng :
(d1)y=2 x − 5 (d2)y =x+2 (d3)y=a x −12
đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 71: CMR m thay đổi (d) 2x+(m-1)y=1 qua điểm cố định Bài 72: Cho (P) y=1
2x
đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P)
Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2|
a) Vẽ đồ thị hàn số
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình
|x − 1|+|x +2|=m
Bài 74: Cho (P) y=x2 đờng thẳng (d) y=2x+m
a) VÏ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 75: Cho (P) y=−x
2
4 vµ (d) y=x+m
a) VÏ (P)
b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P)
Bµi 76: Cho hµm sè y=x2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d)
a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
(28)c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B b»ng 3√2
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì ?
b) Tìm a để hàm số y=a x2 (P) qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d2 ) qua A vng góc với ( d1 )
d) Gäi A vµ B lµ giao ®iĨm cđa (P) vµ ( d2 ) ; C lµ giao ®iĨm cđa ( d1 ) víi trơc
tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC Bài 78: Cho (P) y=1
4x
đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lợt -2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x∈[− 2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn
Bµi 79: Cho (P) y=x
2
4 điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M có hệ số góc m b) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi
c) Gọi xA;xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt
giá trị nhỏ tính giá trị
d) Gäi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ gi¸c AA'B'B
*TÝnh S theo m
*Xác định m để S= 4 (8+m2√m2+m+2)
Bµi 80: Cho hµm sè y=x2 (P)
a) VÏ (P)
b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=−1
4x
đờng thẳng (d) y=mx− 2m −1
a) VÏ (P)
b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định
Bµi 82: Cho (P) y=−1
4x
điểm I(0;-2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m
a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn
Bµi 83: Cho (P) y=x
2
4 đờng thẳng (d) qua điểm I(
2;1 ) cã hƯ sè gãc lµ m
a) VÏ (P) viết phơng trình (d) b) Tìm m cho (d) tiÕp xóc (P)
c) T×m m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bµi 84: Cho (P) y=x
2
4 đờng thẳng (d) y=−
x
2+2
a) VÏ (P) vµ (d)
(29)c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d)
Bµi 85: Cho (P) y=x2
a) VÏ (P)
b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 86: Cho (P) y=2 x2
a) VÏ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hồnh độ x=2 Xác định giá trị m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1)x + y=m
(d2)mx+ y=1
c¾t điểm (P) y= x2
Phần 5: Giải toán cách lập ph ơng trình
1 chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ơtơ hết , cịn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xi dịng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nơ nớc yên lặng ,biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nớc km/h
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động quãng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quãng đờng 30 phút Tính chiều dài qng đờng ngời
Bài 92: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc
4 quãng đờng AB ,
xe tăng vận tốc thêm Km/h qng đờng cịn lại Tính qng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút
Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biết thời gian nhiều thời gian 30 phút
(30)Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ?
Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 Km/h Khi đến B ngời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 Km/h Tính qng đờng AB biết thời gian lẫn 50 phút
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau ngợc từ B A Thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi
Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 Km/h Lúc đầu tơ với vận tốc , cịn 60 Km đợc nửa quãng đ-ờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h quãng đđ-ờng cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB
Bài 100: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qng đờng sơng AB biết hai ca nô đến B lúc
Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút , ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
Bài 102: Một ca nô chạy sông , xuôi dòng 108 Km ngợc dòng 63 Km Một lần khác , ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 Km ngợc dịng 84 Km Tính vận tốc dịng nớc chảy vận tốc riêng ( thực ) ca nơ
Bµi103: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km , 20 phút Tính vận tốc tầu nớc yên lặng , biết vận tốc dòng nớc Km/h
Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sơng A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quãng đ ờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng
(31)Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cách B 30 Km , ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng lúc đầu
2 Năng xuất
Bi 108: Hai đội cơng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày vợt mức 6000 đơi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà cịn vợt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch
Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng vợt mức đợc tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe đ-ợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng
Bài 112: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung tổ tổ hồn thành đợc
3 mức khoán Nếu để tổ làm
riêng tổ làm xong mức khoán tổ phải làm ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc
Bài 114: Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơngviệc Hỏi ngời làm cơng việc xong
3 ThĨ tÝch
Bài 115: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc
3 thÓ tÝch bÓ chøa ,
máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với
(32)Bài 118: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vịi thứ 15 phút khố lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút thỡ s c
5 bể Hỏi vòi chảy riêng sau
đầy bể ?
Bài 119: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai
giờ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?
GiảI toán c¸ch lËp pt
B
ài 1 : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tơ thứ hai Tính vận tốc xe ô tô
B
ài 12 : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 qng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB
B
ài 2 : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nðu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II 2/3 lơng nớc vịi I chảy đợc Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể
B
ài 3 : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
B
ài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?
B
ài 5 : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) đã trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ
B
ài 6 : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ
B
µi 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều
di thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu
B
ài 8 : Một ca nô xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km, cùng lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô
B
ài 9 : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B tr ớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe
B
ài 10 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có cơng nhân? Biết suất lao động công nhân nh
B
(33)tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình
B
ài 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km
B
ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h
B
ài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
B
ài 14 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế?
B
ài 15 : Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?
B
ài 16 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát núc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều
thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua Tính vận tốc vật
B
ài 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm
B
ài 18 : Một khối lớp tổ chức tham quan ô tô Mỗi xe chở 22 h/s cịn thừa 01 h/s Nếu bớt 01 ơtơ xếp h/s ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ, h/s Mỗi xe chở không 32 h/s
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất
Bài 20: Một ca nơ xi dịng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dịng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nơ lúc dịng nớc n lặng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?
Bài 22: Hai tơ khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc tơ thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km
(34)Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng
Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ
Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ
Hỏi tổ trồng đợc cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tơ B giảm 5km/h vận tốc tơ A lần vận tốc ô tô B
Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hp tỏc xó ó
bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280
Phần : Hình học
A lý thuyết: I.Đờng tròn:
1,Định nghÜa:
Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của điểm với đờng tròn :
xÐt (0 ; R ) điểm M
v trớ tng đối Hệ thức
M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc
( O ; R) OM = R
M n»m ( O ; R ) OM < R
* Của đờng thẳng với đờng tròn :
xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
(35)a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R a ( O ; R ) không
giao d > R
* Của hai đờng trịn :
xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r Hai đờng tròn tiếp xúc
nhau :
+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :
1
d = R + r d = R – r Haiđờng trịn khơng
giao :
+hai đờng trịn ngồi :
+đờng tròn lớn đựng đ-ờng tròn nhỏ :
0
d > R + r
d < R -r 3 Tiếp tuyến đ ờng tròn :
a Định nghĩa :
ng thng d đợc gọi tiếp tuyến đờng tròn có điểm chung với đờng
b, TÝnh chÊt :
+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm
+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c, C¸ch chøng minh :
Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn
4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :
* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần
(36)5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :
* Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung chúng cách tâm
* Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng tròn, dây cung lớn gần tâm
II Gúc ng trũn:
1, Các loại góc đ ờng tròn :
- Góc tâm - Gãc néi tiÕp
- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
2, Mèi quan hệ cung dây cung:
* nh lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây
b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng trũn:
a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:
a, §Þnh nghÜa:
Tứ giác nội tiếp đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
b, C¸ch chøng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc
B Bµi tËp:
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt các
c¹nh AB, AC lần lợt E F
a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp
c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
(37)Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  ct
(O) M Nối OM cắt BC I Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: gãc BMA < gãc AMC
3 Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC
4 Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?
6 Chứng minh AM phân giác góc OAH
7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc víi NC Chøng minh OE=1 2MB
8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE
9 Chøng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp
10.Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) c¾t BM kÐo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK
11 So sánh góc KMC KCB víi gãc A
12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M
13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM
15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON
16.Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC
theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI vuông góc víi BC
2 Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI
4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.
Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O)
tại D , AO kéo dài cắt (O) E
a Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân
b Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm cđa BC
c TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm
Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung
AM, MN, NB b»ng Gäi P lµ giao điểm AM BN, H giao điểm cđa AN víi BM CMR:
(38)b PH ┴ AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c ON tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH
Bµi 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm gi÷a cđa cung nhá AB.
Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR: a Tam giác MAE MCA đồng dạng
b ME MC = MF MD c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp
d Khi AB=R√3 tam giác OAM
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng trịn
tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tứ giác AEHF hình gì?
b Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC
d Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cđa (O) vµ (I)
e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng
vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp
b TÝnh gãc AHE
c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE
e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E
là giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a EF ┴ AC
b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp
Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA
( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chứng minh IA tiếp tuyến ca (O)
(39)Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ vỊ cïng phÝa víi AB c¸c
tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chøng minh r»ng :
a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)
b MO lµ tia phân giác góc AMN
c MN l tip tuyến đờng trịn đờng kính AB
d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi
Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiÕp tun chung ngoµi
của hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M
a Chứng minh A, B, C thuộc đờng trịn tâm M
b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M
d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M
Bài 13: Cho (O) (O)tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự
tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :
a Góc DME góc vuông
b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là
trung ®iĨm cđa BC
a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp
b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE
d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.
Bµi 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát
tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp
b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA
c Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH.
d BH c¾t (O) t¹i K Chøng minh AE // CK
Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động trên
(40)b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp
c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động
Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đ-ờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đ đ-ờng tròn D, tia AD BC cắt E
a Chứng minh tam giác ABE cân B
b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi
Bi 18: Cho na lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R)
Hai tiÕp tuyÕn t¹i B D cắt T a Chứng minh OT // AB
b Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tÝch tam gi¸c TBD theo R
d TÝnh diƯn tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R
Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc nhau
tại C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC vi (O) l F
a Tứ giác AEBD hình gì?
b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF néi tiÕp
d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF=1
2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)
Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ
đ-ờng tròn tâm O đđ-ờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I
a.Tứ giác ADBE hình ? sao? b.Chøng minh BI // AD
c.Chøng minh ba ®iĨm I, B, E thẳng hàng MD = MI
d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)
Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát
tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng trịn
(41)Bµi 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O)
ti E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chứng minh MA = MD
b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng
kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB
b Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD ng qui
c Chứng minh DM phân gi¸c cđa gãc ADE
d Chứng minh M tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE
Bµi 24: Cho tam giác ABC vuông A.
a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc víi BC t¹i C
b Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?
Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) c Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)
Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M
là điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN khơng đổi
b Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cõn ti D
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M là
một điểm cung BC không chứa điểm A
a Xỏc nh v trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng
c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn
Bµi 27: Cho (O,R) (O,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO cắt (O) tại
C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB ( A∈(O), B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I
a Chøng minh c¸c tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chøng minh AB=2√R r
c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA’2.
(42)Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng
tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’ a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB
b Gäi D,E theo thø tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O) Chứng minh D, O, E thẳng hàng
c Tìm vị trí C cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC
Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C
và D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )
a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const
Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vuông góc M bên (O) Từ A vÏ mét
đờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:
a Gãc MAH = góc MCB b Tam giác ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiếp
Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ng ời ta kẻ cùng
mt na mt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:
a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB
c APB vu«ng
d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bµi 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát
tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)
a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn b Chứng minh góc AOC=góc BIC
c Chøng minh BI//MN
d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC
lÊy D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD) a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp
b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.
Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB <
cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vuông góc với BC D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F
a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp
(43)d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.
Bài 35 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R im M di chuyn trờn na
đ-ờng tròn Ngời ta vẽ đđ-ờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt ®iÓm thø hai C, D
a Chøng minh CD//AB
b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định
c Chứng minh tích KM.KN cố định
d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc
Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C,
D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K
a CM: NKD MAK cân
b CM: t giỏc MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK
d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND
Bµi 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với ®iĨm A vµ tiÕp tun chung Ax
Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ
đờng kính BO1D, CO2E
a Chøng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông
c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d Gi I l trung im DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d
(44)A.Lý thuyết: I Một số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí t ơng đối:
a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng :
* a // b a , b (P), a vµ b điểm chung * a cắt b a , b (P), a b có điểm chung
* a b chéo a b không thuộc mặt phẳng b Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng ( P):
* a // (P) a (P) khơng có điểm chung * a cắt (P) a (P) có điểm chung * a (P) a (P) có vơ số điểm chung c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):
* (P) // (Q) điểm chung
* (P) (Q) = a có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng)
* (P) (Q)
2 Mét số cách chứng minh:
a Chứng minh hai đ ờng thẳng song song :
C1: a b thuộc mặt phẳng
a b điểm chung C2: a // c b // c
C3 :
(P) //(Q) (P)∩(R)=a (Q)∩(R)=b}
⇒a // b
b.Chøng minh ® ờng thẳng song song với mặt phẳng :
a // b
b⊂(P)}⇒ a // (P)
c.Chøng minh hai mặt phẳng song song:
a , b(Q),aXb
a // (P), b //(P)}⇒(P)// (Q)
d.Chøng minh hai đ ờng thẳng vuông góc:
a(P)
b(P)}a b
e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
a b , a ⊥ c
bXc , b⊂(P), c⊂(P)}⇒ a ⊥(P)
(45)a⊥(P)
a⊂(Q)}⇒(P)⊥(Q)
II Một số hình không gian: 1 Hình lăng trụ :
Sxq = P h với P: chu vi đáy
V = B h h : chiều cao B: diện tích đáy
1 H×nh trơ:
Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy
V = B.h = R2.h h: chiỊu cao.
2 H×nh chãp :
Sxq=1 2P d
V =1
3B h
với d: đờng cao mặt bên
2 H×nh nãn :
Sxq=1
2P d=πR l
V =1
3B h= 3πR
2
h
d: đờng sinh; h: chiều cao 3 Hình chóp cụt :
Sxq=1
2(P+ P ') d
V =1
3(B+B '+√B B').h
3 H×nh nãn cơt :
Sxq=12(P+P ') d=π(R+r)d
V =1
3(B+ B '+√B B').h=
π h
3 (R
2
+r2+R r)
4 Hình cầu:
S=4 πR2 V =4
3πR
3
B Bài tập:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm mp(ABCD) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm cđa AD, CD LÊy ®iĨm E AB, F BC cho: AE=1
4AB; CF= 4CB
a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH
b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng
Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a
Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a b CMR:
(46)Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D SA cho SD=1
4SA, E∈ AB cho BE=1
4BA Gọi M trung điểm SC, I giao điểm DM AC, N giao
điểm IE BC CMR: a SB // (IDE)
b N trung điểm BC
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lấy điểm S
a Chøng minh BC SH
b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC)
c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa
h×nh chãp S ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S
a Chøng minh SA = SB = SC
b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC)
c TÝnh Sxq V hình chóp S ABC biết AB=33 cm ; SA = cm
Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E SA, F AB cho SE=1
3SA ;BF=
3BA
Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa SC, BC CMR: a EF // GH
b EG, FH, AC đồng qui
Bµi 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đ ờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm
a CMR: SB AC b TÝnh SB, BC, SC
c CM: Tam giác SAC vuông d Tính Stp , V
Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:
a (SAB) (SAD) b SC BD
c Các tam giác SBC SDC vuông d TÝnh Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm
a TÝnh AB?
(47)c TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD
Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450
TÝnh Sxq vµ V
Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ V ?
Bµi 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm
a CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ hình chữ nhật b CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA’2.
c TÝnh Stp , V ?
Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300.
TÝnh Stp vµ V ?
Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đờng chéo BD’
b Tính Stp V hình chóp A ABD
c Tính Stp V hình chãp A’.BC’D
Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3
= lÝt )
Bµi 18: Một mặt phẳng qua trục OO hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( gọi thiết diện) hình chữ nhật cã diƯn tÝch b»ng 72 cm2 TÝnh
bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ
Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón
b TÝnh V cđa hình nón
c Gọi CD dây cung (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD (AOB)
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC =
cm, gãc ACB = 600.
Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V
Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt
b Tính V hình nón sinh hình nún ct ú
Bài 24: Một hình thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600.
TÝnh Stp hình tạo thành quay hình thang vuông vßng xung quanh:
(48)Bài120: Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đờng
kính COA COB Qua trung điểm M AB , dùng DE AB.
a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G
d) *Xét vị trí MF đờng trịn tâm O’ , vị trí AE với đờng trịn ngoại
tiÕp tø gi¸c MCFE
Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đờng trịn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC= R
2 CMR
ΔPOQ
ΔCED=
25 16
d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng trịn tâm O hình thang vng CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng trịn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng trịn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng trịn b) Tứ giác CEIO hình ?
c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ
tÝch cđa ®iĨm H
Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE
a) Tø giác AFEC hình ? Tại ?
b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH
2 H ; F đối xứng qua AC
Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiÕp xóc A Đờng nối tâm
ct ng trũn O’ đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN
vng góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E
a) So sánh AMO với NMC ( - đọc góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng O’P = R ; OP = R’
c) Xét vị trí PE với đờng trịn tâm O’
(49)a) Tø gi¸c ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )
a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tun MP vµ MQ lµ 45
❑0
b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I cïng nằm đ ờng tròn
c) Tỡm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp MPQ M chạy d
Bài 128: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB
Bµi 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), mét cung trßn BC n»m
ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đ ờng vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH
a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ BC
Bµi 130: Cho ABC ( AC > AB ; B ^A C > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm
ca AB , AC.Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R√2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN
a) CMR OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC
cña (O)
Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF
a) AFC vµ BEC cã quan hƯ với nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân
c) Gi D l giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N
(50)c) Gi¶ sư AM=3MB TÝnh tØ sè
CN ND
¿❑
❑
d) Bài 134: Một điểm M nằm đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng trịn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đ-ờng tròn (O) đđ-ờng kính AB
Bài 135: Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy =600 cho
tia Ox, Oy c¾t cạnh AB , AC lần lợt M, N
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ suy BC2 = BM.CN
b) CMR : MO, NO theo thø tù tia phân giác góc BMN, MNC
c) CMR đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng trịn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC Bài136: Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB=2R (
M ≠ A , B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn
b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C ) vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M
kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng trịn (O’) I
a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC
Bài 139: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng trịn cắt MA , MB lần lợt điểm thứ hai C , D
a) Chøng minh : CD // AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN ln qua điểm K cố định
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho đờng trịn đờng kính AB , điểm C , D đờng tròn cho C , D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD lần lợt M , N ; giao điểm MN với AC , AD lần lợt H , I ; giao điểm MD với CN K
(51)b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ?
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:
a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA t¹i A
Bài 145: Cho (O;R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA
a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?
c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao ®iĨm cđa PN víi OM CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xỏc nh v trí P cho K nằm đờng trịn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F
a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O’)
(52)đ-ờng trung trực đoạn AB I Đđ-ờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đđ-ờng thẳng d C D ( D nằm gãc BOM )
a) CMR c¸c tia OC , OD tia phân giác góc AOM , BOM b) CMR : CA DB vuông gãc víi AB
c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD
d) CMR : AC.BD = R2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB điểm M đờng trịn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H , I Cãc dây AM HI cắt K
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi
b) H¹ ΙΡ⊥ ΑΜ Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)
c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với đờng trịn cố định
Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900
C ^O D=900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E v F
a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ?
b) CMR : D điểm cung MB
c) Mt đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc
Bài 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q
a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC
(53)Trêng THCS §ång Têng
Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Nghệ an Năm học 2009 - 2010
(54)Môn thi : Toán
Thi gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
C©u I (3,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc A =
x x x
x x
.
1) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x =
9 4.
3) Tìm tất giá trị x để A <
Câu II (2,5 điểm) Cho phng trỡnh bậc hai, víi tham sè m : 2x2 – (m + 3)x + m =
0 (1)
1) Gi¶i phương trình (1) m =
2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả
m·n
x1 + x2 =
1
5 x x
2 .
3) Gäi x1, x2 lµ hai nghiệm phng trình (1) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu
thøc
P = x x1
Câu III (1,5 điểm) Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài
45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định CD
đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AC AD E F
1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.
2) Chøng minh tứ giác CEFD nội tiếp c ng tròn
3) Gọi I tâm đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đường thẳng cố định
(55)
Sở Giáo dục đào tạo
Hµ Néi Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPTNăm học: 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 24 tháng năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức
1
4 2
x A
x x x
= + +
- - + , víi x≥0; x≠4
1) Rót gän biĨu thøc A
2) Tính giá trị biểu thức A x=25 3) Tìm giá trị x để
1
A
=-
Bµi II (2,5 điểm)
Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình:
Hai t sn suất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may đợc 1310 áo Biết ngày tổ thứ may đợc nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ may ngày đ-ợc áo?
Bài III (1,0 điểm)
Cho phng trỡnh (n x): x2- 2(m+1)x m+ 2+ =2 1) Giải phơng trình cho với m=1
2) Tìm giá trị m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả
m·n hÖ thøc:
2 2 10
x +x = .
Bài IV (3,5 điểm)
Cho ng tròn (O; R) A điểm nằm bên ngồi đờng trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm)
1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp
2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA=R2.
3) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC
4) Đờng thẳng qua O, vng góc với OA cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM+QN ≥ MN
Bµi V (0,5 điểm)
Giải phơng trình:
( )
2 1
2
4
x - + x + + =x x + +x x+
-Hết -L
u ý : Giám thị không giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: Số báo danh
(56)Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị sè 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi TỐN ( chung cho tất thí sinh)
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (2.0 điểm )
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) x b)
1
x Trục thức mẫu
a)
3
2 b)
1 1
3 Giải hệ phương trình :
1 x
x y
Bài (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép
tính
c) Tính diện tích tam giác OAB Bài (1.0 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x ; x
(với m tham số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Bài (4.0 điểm )
Cho đường trịn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE.
(57)c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O)
d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc
đường tròn (O)
-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 19.6.2009
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
a) Cho biết A 5 15 A 5 15 Hãy so sánh: A + B tích A.B
b) Giải hệ phương trình:
2x
3x 12
y y
Bài 2: (2.50 điểm)
Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx – ( m tham số,
m 0)
a) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ Õy
b) Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
c) Gọi A(xA; yA), B(xB;yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) Tìm
các giá trị m cho: yA + yB = 2(xA + xB) – Bài 3: (1.50 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài chiều rộng hình chữ nhật
(58)Cho đường trịn (O;R) Từ điểm M ngồi (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (C khác A B) Gọi D, E, F hình chiếu vng góc C AB, AM, BM
a) Chứng minh AECD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: C E CBAD .
c) Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh: IK//AB
d) Xác nhận vị trí điểm C cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ Tính
giá trị nhỏ OM = 2R
HẾT
-Đề thi có 01 trang
Giám thị khơng giải thích thêm.
SBD: ………Phịng: ………
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2009-2010
Mơn thi: TỐN ( hệ số – mơn Tốn chung) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
*****
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho
2 1
1
1
x x x
P
x
x x x x
(59)b Chứng minh P <1/3 với x#1
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình:
(1)
a Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt
b Gọi nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
c Tìm hệ thức khơng phụ thuộc vào m
Câu 3: (2,5 điểm)
Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vịi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 2/5 bể Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI (M khác C I) Đường thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD P cắt DC Q
a Chứng minh DM AI = MP IB b Tính tỉ số
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ
(60)Bài (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = √9 x −27+√x −3 −1
2√4 x −12 với x >
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x cho A có giá trị
Bài (1,5 điểm)
Cho hàm số y = ax + b
Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2, -1) cắt trục hồnh điểm có hoành độ 32
Bài (1,5 điểm).
Rút gọn biểu thức: P = (
√a− 1−
1 √a):(
√a+1
√a − 2−
√a+2
√a −1) với a > 0, a 1 , a≠ 4
Bài (2 điểm).
Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1)
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2
Bài (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có góc A 600, góc B, C nhọn vẽ các
đường cao BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số DEBC
d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE
(61)Sở GD & ĐT Bến Tre KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Đề khảo sát Môn: Toán
Thời gian : 120 phút
Bài 1:(4 điểm)
1) Cho hệ phương trình :
¿ −2 mx+ y =5
mx+3 y=1
¿{
¿
a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để x – y =
2)Tính
1
20 45 125
5
B
3)Cho biÓu thøc :
1 1 1
A= :
1- x x x x x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) TÝnh giá trị A x =
Bài 2:(4 điểm)
Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =
a) Giải phương trình m=
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11
c) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m
d) Với giá trị m phng trình có nghiệm x1 vµ x2 cïng dấu
Bài 3: (1 điểm)
Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ
Bài :(3 điểm)
Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) y= 2x+3 có đồ thị (D)
a) Vẽ (P) (D) hệ trục toạ độ vng góc.Xác định toạ độ giao điểm (P) (D)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (P) điểm A B có hồnh độ -2
Baứi 5: (8 ủieồm)
Cho hai đng tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ
cát tuyến cắt hai ng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , ng thẳng EC , DF cắt
nhau t¹i P
(62)2) Một cát tuyến qua A vuông góc với AB cắt (O1) (O2) lần lt C,D
Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng tròn AB = R
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH Câu (1 điểm)
Hăy rút gọn biểu thức:
A =
a a a a
a a a a
(với a > 0, a ¹ 1)
Câu (2 điểm)
Cho hàm số bậc y = 1 3x –
a) Hàm số đă cho đồng biến hay nghịch biến R? V́ sao? b) Tính giá trị y x = 1 3.
Câu (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 – 4x + m + = 0
a) Tìm điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình m =
Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh BA lấy điểm N, cạnh CA lấy điểm P cho BM = BN CM = CP Chứng minh rằng:
a) O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu (1 điểm)
Cho tam giác có số đo ba cạnh x, y, z nguyên thỏa măn: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0
(63)(64)GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH
Câu 1.(1 điểm)
Rút gọn:
A =
a a a a
a a a a
(a > 0, a ¹ 1)
=
3
a a a a a a 1
a a
a a a a
=
a a a a a 2
a a
(a > 0, a ¹ 1)
Câu 2.(2 điểm)
a) Hàm số y = 1 3x – đồng biến R có hệ số a = 1 3 < b) Khi x = 1 3 y = 1 1 31= – – = - 3.
Câu 3.(3 điểm)
a) Phương trình x2 – 4x + m + = 0
Ta có biệt số D’ = – (m + 1) = – m.
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: D’ > Û – m > Û m < 3.
b) Khi m= phương trình đă cho trở thành: x2 – 4x + = 0
D’ = – = > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = - 3, x2 = +
Câu 4.(3 điểm) A
N
B M C
P O
1
2
1
2
1 1
(65)a) Chứng minh O tâm đường trịn ngoại tiếp DMNP
Ta có: O giao điểm ba đường phân giác DABC nên từ điều kiện giả thiết suy ra:
DOBM = DOMN (c.g.c) OM = ON (1)
DOCM = DOCP (c.g.c) OM = OP (2)
Từ (1), (2) suy OM = ON = OP
Vậy O tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP
b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp
Ta có DOBM = DOMN M N 11, DOCM = DOCP P M2
Mặt khác P P 180 M M12 0 1 (kề bù) P M1 P N11
V́ N N12 = 1800 nên P N12= 1800
Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu (1 điểm)
Chứng minh tam giác đều
Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = (1)
V́ x, y, z Ỵ N* nên từ (1) suy y số chẵn.
Đặt y = 2k (k Ỵ N*), thay vào (1):
2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = Û x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0
Û x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = (2)
Xem (2) phương trình bậc hai theo ẩn x
Ta có: D = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =
= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40
Nếu k ³ 2, z ³ suy D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do k = 1, suy y =
Thay k = vào biệt thức D:
D = - – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32
Nếu z ³ D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do z = 1,
Nêu z = D = - – + 32 = 21: khơng phương, suy phương trình (2) khơng có nghiệm ngun
Do z =
Thay z = 2, k = vào phương trình (2):
x2 – 2x + (6 + – 10) = Û x2 – 2x = Û x(x – 2) = Û x = (x > 0)
Suy x = y = z =
(66)Phòng GD - ĐT Trực
Ninh Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010Môn Toán
( Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: Trắc nghiệm (2 điểm) Hóy vit vo bi lm phương án trả lời
mà em cho ,
( Chỉ cần viết chữ ứng với câu trả lời đó)
Câu Giá trị biểu thức (3 5)2 bằng
A 3 B 3 C 2 D 5
Câu Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x
A m = B m = C m = D m =
Câu x 7 x bằng
A 10 B 52 C 46 D 14
Câu Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2
A ( 2; 8) B (3; 12) C ( 1; 2) D (3; 18)
Câu Đường thẳng y = x cắt trục hồnh điểm có toạ độ
A (2; 0) B (0; 2) C (0; 2) D ( 2; 0)
Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có
A
AC sin B
AB
B
AH sin B
AB
C
AB sin B
BC
D
BH sin B
AB
Câu Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h Diện tích xung
quanh hình trụ
A r2h B 2r2h C 2rh D rh
Câu Cho hình vẽ bên, biết BC đường kính đường tròn (O), điểm A nằm
trên đường thẳng BC, AM tiếp tuyến (O) M góc MBC = 650.
Số đo góc MAC
A 150 B 250 C 350 D 400
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thøc A=(√x −2 x −1 −
√x+2 x +2√x +1)
x2− x +1
2
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị x để A = -
Bµi 3: ( ®iĨm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng thẳng y = 2mx -
m2 + m - (d)
a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm (d) (P)? b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt?
c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 hoành độ giao
điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá tr nh nht ?
Bài 4: Hình học ( ®iĨm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
A
B O
C M
(67)a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC
Tính tỉ số OKBC tứ giác BHOC nội tiếp
d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC
Bµi 3: ( ®iĨm) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng:
x2 y+
y2
x ≥ x+ y
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
Bài (2,0 điểm)
- HS chọn câu cho 0,25 điểm
- Đáp án
Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 8
A C B D A B C D
Bài 2: điểm A=(√x −1x −2− √x+2
x +2√x +1)
x2− x +1
2 §K x ≥ o , x ≠ 1
¿(√x −2) (√x +1)−(√x +2) (√x −1)
(√x+1)2(√x − 1)
( x −1)2
2 0,5 ®
¿− 2√x (x − 1)(√x +1) (√x −1)
(x −1)(√x+1) 0,5® ¿−√x (√x −1) 0,25® b) NÕu A = -2 ta cã −√x (√x −1)=−2
đặt ẩn phụ √x= y ( y ≥0) ta có phương trình -y(y-1)= -
0,25®
- y2 + y + = giải phơng trình có nghiệm y
1= -1 ( Loại ) y2 =
0,25đ
√x= y⇒√x=2 VËy x=
0,25®
Bài 3: điểm
Câu a: Khi m =1 PT đờng thẳng d y = 2x 1
Toạ độ giao điểm (d) (P) phải nghiệm hệ phương trình
¿ y =x2 y=2 x − 1
¿{
¿
0,25®
Giải hệ phương trình kết luận toạ độ giao điểm (d) (P) (1,1)
(68)Câu b
(d) (P) cát điểm phân biệt
hệ phơng trình
¿ y =x2
y=2 mx −m2+m− 1
¿{
¿
cã nghiƯm 0,25®
⇒ x2
− mx+m2− m+1=0 cã nghiệm phân biệt Lập công thức =b2 ac giải tìm đợc m
1 0,25đ
Vậy m
1 (d) (P) cắt điểm phân biệt 0,25đ
Câu C
Khi ng thng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 hồnh độ giao
®iĨm
VËy x1; x2 nghiệm PT x22 mx+m2m+1=0 0,25đ
A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)
Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức … 0,25đ tính đợc m = 1,5 A đạt giá trị nhỏ nht 0,25
Bài 4: điểm
a) Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC
Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC 0,25®
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE hai đường cao ΔABC 0,25® H trực tâm Δ ABC
AH vng góc với BC 0,25® b) Xét Δ AEC Δ AFB có:
chung
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB 0,25® 0,25® c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
(69)tiếp)
0,25®
0,25®
Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC )
0,25®
Vậy mà BC = 2KC nên
0,25®
d) Xét Δ EHB Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
0,25®
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
Bài (1 đ)
Với x y dương, ta có 0 ;( x − y )x + y2
≥ 0 0,25® x − y¿2≥ 0⇒ x3+y3− x2 y − xy2≥ 0
⇒(x+ y)¿ 0,25®
⇒ x2
y+ y2
x ≥ x+ y (1) 0,50®
Vậy (1) với x>0 , y >0
§Ị thi tun sinh
*Trờng THPT Nguyễn TrÃi
( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên)
Thời gian: 150 phót
(70)Cho biĨu thøc
A =
(√x +2 − 4√x −2+√x +2+4√x − 2)
√x42−
4
x+1
1) Rót gän biĨu thøc A
2) Tìm số ngun x để biểu thức A số nguyên
Bài 2.( điểm)
1) Gọi x 1 x 2 hai nghiệm phơng trình.
x2 -(2m-3)x +1-m = 0
Tìm giá trị m để: x ❑1 2+ x ❑
2 +3 x ❑1 x ❑2 (x
¿
1
¿ ¿❑
+ x ❑2 ) đạt giá trị lớn
2) Cho a,b lµ số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003
Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ.
Bài ( điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800 TÝnh tØ sè BC
AB
2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tớnh gúc ACD
Bài ( điểm)
Chứng minh bất đẳng thức: | √a2
+b2−√a2+c2 | | b-c|
với a, b,c số thực
*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )
Bài ( điểm) cho biÓu thøc: P(x) = 2 x −√x 2−1 3 x2− x +1
1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <
Bài ( điểm)
1) cho phơng trình: x
2
2(2 m+ 1) x+ m2+6 m
x − 2 =0 (1)
a) Giải phơng trình m =
(71)b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 x ❑2
tho¶ m·n x 1 +2 x 2 =16 2) Giải phơng trình: √ 2 x
1+x+√ 2+
1 2 x=2
Bài (2 điểm)
1) Cho x,y hai số thực thoả mÃn x2+4y2 = 1
Chøng minh r»ng: |x-y| √5
2
2) Cho ph©n sè : A= n2+4
n+5
Hái cã số tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số cha tối giản
Bài 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) (0 ❑2 ) cắt P Q Tiếp
tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) A, tiếp xúc với (0
❑2 ) B Tiếp tuyến (0 ❑1 ) P cắt (0 ❑2 ) điểm thứ hai D khác P, đờng
thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc ng trũn
2)Tam giác BPR cân
3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB
Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy
điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE
Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM
(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút )
Câu Cho phơng trình x2 +px +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt a ❑
1 , a
phơng trình x2 +qx +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt b ❑
1 ,b ❑2 Chøng minh: (a
❑1 - b ❑1 )( a ❑2 - b ❑1 )( a ❑1 + b ❑1 b ❑2 +b ❑2 ) = q2 - p2
Câu 2: cho số a, b, c, x, y, z tho¶ m·n
x = by +cz y = ax +cz
z = ax +by ; víi x + y+z
Chøng minh:
1+a+ 1+b+
(72)Câu 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0
b) Cho số dơng x;y;z thoả mÃn x3+y3+z3 =1
Chøng minh: x
√1 − x2+
y2
√1− y2+
z2
√1 − z2≥ 2
C©u Chøng minh r»ng có số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình:
x3-y3 = 1993.
Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định
(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)
Câu 1(1đ):
tính giá trị biểu thøc A=
a+1+
1
b+1 víi a=
1
2+√3 vµ b= 2+√3
Câu 2(1.5đ):
Giải pt: x2 x+4+x =8 Câu 3(3®):
Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là
-1 vµ
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB
b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có din tớch max
Câu4(3,5đ):
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng trịn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đờng trịn (O) M Kẻ đờng cao Ak tam giác.Chứng minh:
a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO
c) AH=2NO
Câu (1đ):
tính tổng:
(73)Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)
thời gian: 150
Bài 1(3) Giải phơng tr×nh:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27
2)
x −1¿2 ¿ ¿
1
x (x −2)−
1
Bài 2(1) Cho số thực dơng a,b,c vµ ab>c; a3+b3=c3+1 Chøng minh r»ng a+b>
c+1
Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a,
x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c khơng phụ thuộc x,y.
Bµi 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm
là số hữu tỉ với số nguyên n
Bài 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O dây AB( AB không qua O) M điểm
trên đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ
1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ
2) Chứng minh tiếp tuyến chung đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB đờng tròn tâm Q tiếp xúc với MA song song với đờng thẳng cố định M thay đổi
Chuyªn tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)
thời gian:150 phút
Bài 1:
1/iải phơng trình:
5x +
2√x=2 x +
1 2 x+4
(74)Bµi 2:
Cho hƯ phơng trình:
x2 +xy = a(y 1)
y2 +xy = a(x-1)
1/ gi¶i hƯ a= -1
2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm
Bµi 3:
1/ cho x,y,z lµ sè thùc thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ cđa A =2xy
+yz+ zx
2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0
Bµi 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:
1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/ BC
DI = AB DK +
AC DH
Bµi 2: (3đ)
Cho hệ phơng trình:
(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2
gọi nghiệm hệ phơng trình (x;y)
1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1
3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2 x y
x+ y nhận giá trị nguyên
(75)Cho tam giác ABC ( ^A=900 ) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác
ABC cho BC=BD A ^B C=C ^B D ; gọi I trung điểm CD; AI cắt BC E Chứng minh:
1 C ^A I=D ^B I
2 ABE lµ tam giác cân AB.CD = BC.AE
Bài 4: (1đ)
tính giá trị biểu thức A= x
5
−4 x3−3 x +9 x4❑
❑+3 x
2
+11 víi
x x2+x+1=
1
*Trờng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006)
(dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150)
Bài 1: (2đ)
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chøng minh nÕu a +b +c chia hÕt cho P chia hết cho
Bài 2(2đ)
Cho hệ phơng trình:
(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m
xy(x2+y2)=m
1 Gi hƯ víi m= -10
2 Chứng minh khơng tồn giá trị tham số m để hệ cú nghim nht./
Bài (2đ):
Ba số dơng x, y,z thoả mÃn hệ thức
x+
2
y+
3
z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3
1 Chứng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trị nhỏ P
Bài (3đ):
Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A&P) cho DA.DP = DB.DC
(76)2 gọi S S lần lợt diện tích hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:
s ' s ≤(
EF AD)
2
Bài 5(1đ)
Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 ng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng
Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy
§Ị thi HS giái TP Hải Phòng (2004-2005)
(toán bảng B thêi gian: 150’)
Bµi 1
a) Rót gän biÓu thøc:
P=
x − y¿2 ¿ ¿
√¿
√x y2
xy +¿
b)Gi¶i phơng trình:
5 26 ()
x
¿
5+2√6 (¿)
¿ ¿x
¿ ¿ ¿
√¿
Bµi 2
a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng
víi c¹nh hun cđa tam gÝac
(77)b) Tìm Max & Min cđa biĨu thøc y= 4 x +3
x2+1
Bµi 3
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, có góc C=450 Đuờng trịn đờng kớnh
AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N a> chứng minh MN vuông góc víi OC b> chøng minh √2 MN = AB
Bµi 4:
Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,
nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF
*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho đối tng , thi gian: 150)
Bài 1(2đ): Cho biểu thøc P= x√x −1
x −√x −
x√x +1 x +√x +
x +1
√x
1.Rót gän P
2 T×m x biÕt P= 9/2
Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham số).
1 Giải bpt với m= 1- √2
2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm
Bµi 3(2®):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = parabol
(P):y= ax2 (a tham số dơng).
1 Tỡm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung
2 Gọi xA&xB hoành độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T=
4
xA+xB
+
(78)Đờng trịn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C
1 Chứng minh tam giác AIB & AMC tam gÝac c©n
2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giỏc AMC t Max
Bài 5(1đ):
Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = α
,gãc AMB = β Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β
Hå Chí Minh năm học 2004-2005, lớp (thời gian:90 )
Bài 1(3đ): Tính:
a) [6.( 1 )
3
− 3.(− 1
3 )+1]−(
− 1
3 −1)
b) (63+3.62 + 33) :13
c)
10 − 90−
1 72−
1 56−
1 42−
1 30 −
1 20 −
1 12−
1 6
1
Bài 2(3đ):
a) Cho a
b= b c=
c
a vµ a+b+c #0, a= 2005 TÝnh b,c
b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc a+b a− b=
c+ d c −d
1
ta cã tû lÖ thøc a
b= c
d
Bài 3(4đ):
di ba cnh ca tam giác tỉ lệ vớ 2;3;4 Ba chiểu cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
bài 4(3đ):
V th cỏc hm s: 2x với x y = x vi x<0
Bài 5(3đ):
Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 + +42 +4 +1) +25 số chia hết cho 100.
Bài 6(4đ):
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia ph©n
(79)Thi häc sinh giái TP Hải Phòng (2004-2005)
(Toán bảng A- thời gian:150’)
Bµi 1:
a Rót gän biĨu thøc: P = √x2y2
xy +√
( x − y )2
x − y (√ x2
x y2
y )
b Giải phơng tr×nh: 2+√x
√2+√2+√x+
2 −√x
√2 −√2 −√x=√2
Bµi 2:
a ( đề nh bảng B)
b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =
Bµi 3:
Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.
Bµi 4:
Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F
(80)Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005)
( lớp 9, thời gian: 150)
Bài 1(3,5đ):
1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ x3, x4 nghiệm
phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị biểu thức: ( x
1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2
-x4)
2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng tr×nh (a2+b2-1)x2
-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 có nghiệm.
Bài (1,5đ):
Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn m+1
n +
n+1
m số nguyên chøng minh r»ng:
íc chung lín nhÊt cđa m n không lớn m=n
Bài (3đ):
Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai
đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đờng thẳng song song với
CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng
MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh: a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD
b Tam giác EPQ tam giác cân
Bài (2đ):
Giải hệ phơng trình: x+y = x5 + y5 =11
§Ị thi học sinh giỏi lớp (năm học 2003-2004)
(81)Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham sè a: x+4∨ y∨¿∨x∨¿
¿y∨+¿x − a∨¿1
a gi¶i hƯ pt a=-2
b tìm giá trị tham số a h pt cú ỳng hai nghim
Câu 2(2đ):
a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max biÓu thøc: A= -z2+z(y+1) +xy
b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r √2
2
Câu 3(2đ):
Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.
Câu (3®):
Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P
a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đờng trịn
b gi¶ sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc cđa tam gi¸c ABC
c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP
Tỉnh Haỉ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):
Giải pt: |xy − x − y +a|+|x2y2
+x2y + xy2+xy − b|=0 víi
a= (√57+3√6+√38+6) (√57 −3√6 38+6)
b= 17 122+3 22+3+22
Bài 2(2.5đ)
Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai
pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 có nghiệm chung.
Tính giá trị biÓu thøc (2004a)/ (b +c)
(82)Cho hai đờng tròn tâm O1, O2 cắt A,B ng thng O1A ct (O2) ti D,
đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) C
Qua A k ng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh
r»ng:
1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm đờng tròn
2 BC+BD = MN Bài 4(2đ)
Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.
Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ):
1 Chøng minh r»ng: A = 2√3+√5−√13+√48
√6+√2 số nguyên
2 Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho: abc = n2 – 1
cba =(n-2)2
Baì 2(6đ)
1 Giải pt: x3 + 2x2 + 2
√2 x +2 √2 =0
2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.
a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy
b) Gäi A,B lµ giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max
c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn
Bài 3(8đ):
1 Cho ng trũn tâm O dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định
(83)* TØnh Phó Thä (150 phót)
Bài 1(2đ):
a) chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) chia hết cho 24
b) tìm nghiệm nguyên dơng pt: xy – 2x – 3y +1=
Bµi 2(2®):
Cho số a,b,c khác đơi khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 +
c3 = 3abc TÝnh: (b −c
a +
c − a
b +
a − b c )(
a b − c+
b c − a+
c a− b)
Bài 3(2đ)
a) tỡm a pt: |x| +2ax = 3a -1 có nghiệm
b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c tho¶ m·n ®iỊu kiƯn |f (x)| víi
mäi x [−1 ;1] T×m max cđa biĨu thøc 4a2 +3b2.
Bài (1,5đ)
Cho gúc xOy hai điểm A,B lần lợt nằm hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB = m (m độ dài cho trớc) Chứng minh:đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vng góc với AB luụn i qua mt im c nh
Bài 5(2.5đ):
Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha,hb,hc lần lợt đờng cao ma,mb,mc
đờng trung tuyến cạnh BC,CA,AB; R&r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp & nội tiếp tam gíac ABC Chứng minh ma
ha
+mb
hb
+mc
hc
≤R+r
r
§Ị sè 1:
Bài cho số a1,a2,a3,a2003 Biết:
ak = 3 k
2+3 k +1
(k 2+k )3 víi mäi k = 1,2,3….2003
TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+ +a2003
Bµi Cho A = 1- +13 -19 +25 -31 +………
a) BiÕt A có 40 số hạng Tính giá trị A b) Biết A có n số hạng Tính giá trị cña A theo n
Bài Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 400, đờng cao AH Các điểm E, F
theo thø tù thuéc đoạn thẳng AH, AC cho góc EBA = gãc FBC = 300 Chøng
(84)Bµi Cho sáu số tự nhiên a 1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 tho¶
m·n:
2003 = a ❑1 <a ❑2 <a ❑3 <a ❑4 <a ❑5 <a ❑6 .
1) Nếu tính tổng hai số thực đợc tổng?
2) Biết tất tổng khác Chøng minh a ❑6 2012
Bài Hãy khơi phục lại chữ số bị xố( để lại vết tích
chữ số dấu * ) để phép toán đúng.
***
***2 **** ***
§Ị số 2: Bài
Giải hệ phơng trình
¿
xy +2 x+ y=0 yz +2 z +3 y=0 xz +3 x+z =0
¿{ {
Bài
Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)
Bài Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : S =
(2-x)(2-y)
Bµi 4.
Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800 Trong tam giác ABC có
điểm M cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300 TÝnh gãc BMC
Bµi
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O ❑1 ),(O ❑2 )
theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự Z, T ( Z T
kh¸c I) Chøng minh r»ng XZ = YT
(85)Bài Cho số phơng A, B, C.
Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12
Bµi Chøng minh r»ng :
√3
√2 −1=√3 9−
3
√2 9+
3
√4
Bµi Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c Chøng minh r»ng:
b2− c2
(a+b)(a+c )+
c2− a2
(b+c )(b+a)+
a2− b2
(c +a)(c +b)=
b − c b +c+
c − a c +a+
a b a+b
Bài Cho tam giác ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt
l độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:
1
x+
1
y+
1
z >1
Bµi Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.
Chứng minh r»ng: HB HC
AB AC+
HC HA BC BA +
HA HB CA CB =1
Đề số 4: Bài 1.
BiÕt r»ng A=654 ×999 997⏟
100 ch÷ sè9
+1965
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho
Bµi 2
Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ
Bµi
Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1
Bài 4.
Giải phơng trình x4+16x+8=0
(86)Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm ng thng d
Đề số 5 Bài 1
Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ
Bài 2.
Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện
a2005+b2005 1; x2005+y2005≤ 1
Chøng minh r»ng: a1975
x30+b1975 y301
Bài
Giải phơng trình
√10+√24 +√40+√60=2005(2 x − 1)+√2+√3+√5
Bµi
Với số nguyên dơng n, kí hiệu 1
n
.n
+n+1
n ! an=¿
TÝnh tæng
a1+a2+ +a2005 Trong n! kí hiệu tích n số ngun dơng liờn tip u
tiên
Đề số 6: Bài 1:
Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi sè 2005.
Bµi 2:
Cho ba sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a3
b + b3
c + c3
a ≥ a√ac +b√ba+c√cb
(87)
gi¶i phơng trình: x4 + x3+ x2+x +
2 =0
Bµi 4:
Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2= 2AD.OM
Bµi 5:
Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá tr ln nht
Đề số 7:
Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - = x3 + x + 1
Bài 2:
tìm Max cđa biĨu thøc √x − x3
+√x+ x3 với x
Bài 3:
Giải hệ phơng trình:
x 2+xy+ y 2=√3
2 (x+ y )
¿
x2004+y2004 = 22005
Bµi 4:
cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đ-ờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b
Bµi 5:
Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hàng
AE AE=
AM AN AB AC =
OM ON OB OC
(88)Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396
Bµi 2:
Giải hệ phơng trình:
x2 –xy +y2 =3
z2 +yz +1 =0
Bài 3:
Tìm Max biểu thức: A= 2004 x
2
+6006 x +6√x3− x2+x − 2− 8003
x2+3 x −4
Bài 4:
Cho a,b,c cạnh tam gi¸c, chøng minh:
3
√a+b − c+√3b +c − a+√3c +a − b ≤√3a+√3b+√3c
Bµi 5:
cho tam giác ABC Đờng tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB,BC theo thứ tự P, Q Phân giác góc A cắt tia PQ E Chứng minh AE vuông góc với CE
Đề số 9: Bài 1:
Giả sử (a1;a2;a3;a37),(b1;b2;b3;b37),(c1;c2;c3;.c37) ba số nguyên
Chng minh tồn số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để số a= 1/3(ak
+al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời số nguyên
Bµi 2:
Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ √x2
−1
Bµi 3:
Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm ngun:
m2|x +m|+m3+|m2x +1|=1 Bµi 4:
Cho tam giác ABC, H điểm cạnh BC AD đờng phân giác tam giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/ (BL.CL)=HD2/LD2
Bµi 5:
(89)Chøng minh r»ng: √3
3 ≤ SAMN≤ 3√3
8
Đề số 10. Bài 1:
Cho p số nguyên tố >3
Chứng minh pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 lu«n có nghiệm dơng (x
0;y0;z0)
Bài 2:
Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3 Chứng minh r»ng:
a
1+b2+
b
1+c2+
c
1+a2≥
Bµi 3:
Gi¶i pt: √3 x2
−7 x+3−√x2−2=√3 x2− x −1 −√x2−3 x +4
Bµi 4:
Cho tam giấcBC (AB<AC) P điểm nằm tam giác cho góc ^PBA=^PCA Gọi H & K chân đờng vng góc hạ từ P xuống AB & AC; I trung điểm BC Chứng minh: ^HIB <^KIC
Bµi 5:
Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O) gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB Gọi M giao điểm đờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm đờng thẳng BO,EF; P giao điẻm Co DF Chứng minh tam giác NAB,MAC,PBC có cựng din tớch
Đề số 11:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
(90)Bài 2:
Tồn hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?
Bài 3:
Đặt: A=
2 3+
3 4+ + 2003 2004+
1 2005 2006
B=
1004 2006+
1005 2005+ + 2006 1004
Chứng minh A/B số nguyên
Bài 4:
Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E&F hình chiếu vng góc M AB&AC; O trung diểm EF; Q hình chiếu vng góc A đ-ơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định
Bµi 5:
Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)
Đề số 12: Bài 1:
Cho Sn= √
3+Sn− 1
1 −√3 Sn 1
với n số tự nhiên không nhá h¬n BiÕt S1 = 1, tÝnh S = S1
+ S2 + S3 +… + S2004 + S2005
Bài 2:
Giải hệ phơng trình: x
√y+ y
(91)x2008 + y2008 =8(xy)
❑
2005
Bµi 3:
Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa hịn bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp
Bµi 4:
Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c (b+c)a
2003
2 +
(c +a)b2003
2 +
(a+b)c2003
2 với a,b,c số dơng
Đề số 13: Bµi 1:
Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc
Bµi 2:
Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1 xác định dấu
cđa hƯ sè a
Bµi 3:
Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1
(92)Cho a1=1/2; an+1= (2n − 1
2 n=2) an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh r»ng: a1 + a2 +
a3 +…+ a2005 <
Bµi 5:
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vng góc với AC
§Ị sè 14: Bµi 1:
Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 nghiệm nguyên.
Bài 2:
Gi¶i pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2
Bài 3:
Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0
x +9y -3z + 2xz =
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số vô tỉ
Bài 5:
Cho ng trịn tâm O, đờng kính AB Trên nửa đờng trịn đờng kính AB lấy điểm C,D cho cung AC < cung AD (D#B) E điểm nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B) I,K lần lợt giao điểm CE & AD, IO & BE Chứng minh: ^ CDK = 900.
Đề 1
Câu1 : Cho biểu thøc
A=
1− x2
¿2 ¿ x¿
(xx − 13−1+x)( x3
+1
x +1 − x):¿
Víi x √2 ;1
.a, Ruý gän biÓu thøc A
.b , Tính giá trị biểu thức cho x= √6+2√2
c Tìm giá trị x A=3
Câu2.a, Giải hệ phơng trình:
x − y¿2+3 (x − y)=4 ¿
2 x +3 y=12
(93)b Giải bất phơng trình: x
3−4 x2−2 x − 15
x2+x+3 <0
Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn
D-ng hình vD-ng ABCD thuộc nửa mặt phẳD-ng bờ AB, khôD-ng chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED
a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?
đáp án
C©u 1: a Rót gän A= x2−2
x
b.Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A= +2√2
√6+2√2
c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= 3 ±√17
2
Câu : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4
Từ ta có
x − y¿2+3 (x − y)=4 ¿
2 x +3 y=12
¿ ¿ ¿
<=>
*
¿ x − y=1
2 x +3 y=12
¿{
¿
(1)
*
¿ x − y=− 4
2 x +3 y=12
¿{
¿
(2)
Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta c x=0, y=4
Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)
mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x
Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1
2 m−1 = 2 m− 1
pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1<
(94)O K
F E
D
C B
A
¿
1
2 m− 1+1>0 2 m−1<0
¿{
¿
=>
¿
2 m 2 m− 1>0 2 m− 1<0
¿{
¿
=>m<0
VËy Pt cã nghiÖm khoảng (-1,0) m<0
Câu 4:
a Ta cã KEB= 900
mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn đờng trịn)
do CF kéo dài cắt ED D
=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK
hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK b BCF= BAF
Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450
Ta cã BKF= BEF
Mà BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vng ABED)=> BKF=450
V× BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B
Đề 2 Bµi 1: Cho biĨu thøc: P = (x√x −1
x −√x −
x√x+1 x +√x ):(
2(x − 2√x +1)
x − 1 )
a,Rót gän P
b,Tìm x ngun để P có giỏ tr nguyờn
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm
b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x13− x23| =50
Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x
1, x2Chứng
minh:
a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biƯt t
1 vµ t2
b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2
Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm
của tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A
a, Xỏc nh v trớ điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành
b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn
Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña: A =
x2 +y2+
(95)Đáp án
Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0 ; x ≠ 1 a, Rót gän: P = 2 x (x −1)
x ( x −1) :
2( √x −1❑z)
2
x −1 <=> P =
√x −1¿2 ¿ ¿
√x −1 ¿
b P = √x+1
√x − 1=1+
2 √x − 1
Để P nguyên
x 1=1x=2 x=4 x −1=− 1⇒√x=0⇒ x=0
√x −1=2⇒√x=3⇒ x=9 √x −1=−2⇒√x=−1(Loai)
VËy víi x= {0 ;4 ; 9} P có giá trị nguyên
Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
=(2 m+1 )2− 4(m2
+m− 6)≥ 0
x1x2=m2+m−6 >0
x1+x2=2 m+1<0
¿{ {
¿
⇔ Δ=25>0
(m− 2)(m+3)>0
m<−1
2
⇔ m<− 3 ¿{ {
b Giải phơng trình: m+3
3
(m − 2)3−¿=50 ¿
¿m1=− 1+√5
m2=− 1−√5
¿ ⇔|5 (3 m2+3 m+7)
|=50⇔ m2
+m−1=0
⇔ {
Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0
V× x1> => c (1 x1)
2 +b
x1
+a=0. Chøng tá x1
1
nghiệm dơng phơng
tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t =
1
x1 Vì x2 nghiệm phơng trình:
ax2 + bx + c = => ax
(96)vì x2> nên c (
1
x2)
+b (
x2)
+a=0 điều chứng tỏ x1
2
nghiệm dơng
phơng trình ct2 + bt + a = ; t =
1
x2
VËy nÕu phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x
1; x2 phơng
tr×nh : ct2 + bt + a =0 cịng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1 ; t2 t1 =
1
x1 ; t2 =
1
x2
b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên
t1+ x1 =
1
x1
+ x1 t2 + x2 =
1
x2
+ x2
Do x1 + x2 + t1 + t2
Bµi 4
a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên
CH AB BH AC => BD AB CD AC Do đó: ABD = 900 ACD = 900
Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng trịn tâm O
tứ giác BHCD hình bình hành
b) Vỡ P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB
nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB
Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB
Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB
Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC
VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800
Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thy APQ tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng trịn tâm O
H
O P
Q
D
C B
(97)
Đề 3
Bài 1: Cho biểu thức:
√x+√y
P= x
(√x +√y)(1 −√y )−
y
¿(√x+1)¿−
xy
(√x +1)(1 −√y)
a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ;
-2)
a) Chøng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt
b) Xác định m để A,B nằm hai phớa ca trc tung
Bài 3: Giải hệ phơng tr×nh :
¿
x + y +z=9
1 x+ y+ z=1
xy +yz+zx =27
¿{ {
¿
Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn
(C A ;C B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với
đ-ờng tròn (O), gọi M ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N
a) Chứng minh tam giác BAN MCN c©n b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R
Bµi 5: Cho x , y , z∈ R tháa m·n :
x+ y+ z=
x + y +z
HÃy tính giá trị biểu thức : M =
4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10)
Đáp án
Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ≥ ; y ≥ ; y ≠1 ; x+ y ≠ 0
*) Rót gän P:
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( ) 1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
(98)Q N M O C B A
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y.
VËy P = √x+√xy −√y
b) P = ⇔ √x+√xy −√y = ⇔√x(1+√y)−(√y +1)=1
⇔(√x −1) (1+√y)=1
Ta cã: + y 1 x 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình
ng thng (d) l : y = mx + m –
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –
⇔ x2 + mx + m = (*)
Vì phơng trình (*) có =m2 m+8=(m 2)2+4 >0 m nên phơng trình (*) có
hai nghim phõn bit , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – = có
hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <
Bµi :
¿
x + y +z=9(1)
1 x+ y+ z=1(2)
xy +yz+ xz=27(3)
¿{ {
¿
§KX§ : x ≠ , y ≠ , z≠
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
81 81
81 27
2( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y x y
y z y z x y z
z x z x
Thay vµo (1) => x = y = z =
Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =
Bµi 4:
a) XÐt Δ ABM vµ ΔNBM
Ta có: AB đờng kính đờng trịn (O) nên :AMB = NMB = 90o
M điểm cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => ΔBAN cân đỉnh B
Tø gi¸c AMCB néi tiÕp
(99)=> Tam giác MCN cân đỉnh M b) Xét ΔMCB ΔMNQ có :
MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).
=> ΔMCB= ΔMNQ (c g c). => BC = NQ
Xét tam giác vuông ABQ có AC BQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =
(√5− 1) R
Bµi 5:
Tõ :
x+
1
y+
1
z=
1
x + y +z =>
1
x+
1
y+
1
z−
1
x+ y +z=0
=> x + y
xy +
x + y +z− z z ( x+ y+ z)=0 ⇒( z+ y)(
xy+
z ( x+ y +z ))=0 ⇒ ( x+ y)(zx +zy +z2+xy
xyz (x+ y+ z) )=0
⇒( x+ y )( y +z)(z+x)=0
Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
VËy M =
4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =
§Ị 4
Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với
đ-ờng thẳng d qua đđ-ờng thẳng y = x lµ: A.y =
2 x + ; B.y = x - ; C.y =
2 x - ; D.y = - 2x -
Hãy chọn câu trả lời
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn li
3 bình Tỉ số bán
kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B
√2 ; C
√3 ; D kết khác
Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0
2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = x + y
Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) -
Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)
2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay sao
cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MA
MB =
Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ
Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I bất
kú đoan CD
a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN
(100)M D
C B
A
x
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định
Híng dÉn
Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng.
2) Chọn D Kết khác: Đáp số là:
Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)
= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)
= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2
VËy A chia hết cho số phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.
XÐt A2 = (
√x + √y )2 = x + y + 2
√xy = + √xy (1) Ta cã: x + y
2 √xy (Bất đẳng thức Cô si)
=> > √xy (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2
√xy < + = Max A2 = <=> x = y =
2 , max A = √2 <=> x = y =
Bài3 Câu 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c)
Nªn víi x = th× - = (4 + b)(4 + c)
Cã trêng hỵp: + b = vµ + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10
Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =
Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5)
Câu2 (1,5điểm)
Gọi D điểm cạnh AB cho: AD =
4 AB Ta có D điểm cố định
Mµ MA
AB =
2 (gt) AD MA =
1
XÐt tam gi¸c AMB tam giác ADM có MâB (chung) MA
AB = AD MA =
1
Do Δ AMB ~ Δ ADM => MB
MD = MA
AD =
=> MD = 2MD (0,25 ®iĨm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC
DÊu "=" x¶y <=> M thuéc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M
- Dựng đờng trịn tâm A bán kính
2 AB
- Dùng D trªn tia Ax cho AD =
(101)K O N M I D C B A
M giao điểm DC đờng tròn (A;
2 AB)
Bµi 4: a) Dùng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N
Do MâN = 900 nên MN đờng kính
Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)Δ Δ => CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi
c) Ta cã IA = IB = IM = IN
Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN qua hai điểm A, B cố định
§Ị 5
Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 1 2 1 2 1 0
x y y z z x
TÝnh giá trị biểu thức :A x 2007y2007z2007
Bài 2) Cho biÓu thøc :M x2 5x y 2xy 4y2014
Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ nht ú
Bài Giải hệ phơng trình :
2 18
1 72
x y x y
x x y y
Bài Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ
trên đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D a.Chứng minh : AC BD = R2.
b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ
Bµi 5.Cho a, b lµ số thực dơng Chứng minh :
2 2
2
a b
a b a b b a
Bµi 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC.
Hớng dẫn giải
Bài Từ giả thiết ta cã :
2
2
2
2
2
x y y z z x Cộng vế đẳng thức ta có :
2 2 1 2 1 2 1 0
x x y y z z
x 12 y 12 z 12
1 x y z
(102) 2007 2007 2007
2007 2007 2007 1 1 1 3
A x y z
Vậy : A = -3
Bài 2.(1,5 điểm) Ta cã :
4 4 2 1 2 2 2007
M x x y y xy x y
22 12 2 1 2007
M x y x y
2
2
1
2 1 2007
2
M x y y
Do
2
1
y
vµ
2
2
2
x y
x y,
2007
M
Mmin 2007 x2;y1
Bài Đặt :
1
u x x
v y y
Ta cã :
18 72 u v uv
u ; v nghiệm phơng
trình :
2
1
18 72 12;
X X X X
12 u v ; 12 u v 12 x x y y ; 12 x x y y
Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị
Bài 4 a.Ta cã CA = CM; DB = DM
Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD
R2 = AC BD
b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp
;
MCO MAO MDO MBO
COD AMB g g
(0,25®)
Do :
Chu vi COD OM
Chu vi AMB MH
(MH
1 AB)
Do MH1 OM nªn
1
OM
MH
Chu vi COD chu vi AMB
(103)DÊu = x¶y MH1 = OM MO M điểm cung AB
Bài (1,5 điểm) Ta có :
2 1 0; 2 a b
a , b >
1
0;
4
a a b b
1
( ) ( )
4
a a b b
a , b > 0
0
a b a b
Mặt khác a b 2 ab 0
Nh©n tõng vÕ ta cã :
1 2
a b a b ab a b
2 2
2
a b
a b a b b a
Bài (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E giao điểm AD (O) Ta cã:ABDCED (g.g)
BD AD
AB ED BD CD
ED CD
AD AE AD BD CD
AD AD AE BD CD
L¹i cã : ABDAEC g g
2
AB AD
AB AC AE AD
AE AC
AD AB AC BD CD
Đè 6 Câu 1: Cho hàm số f(x) = √x2− x+4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f (x)
x2−4 x ± 2
Câu 2: Giải hệ phơng trình
x ( y −2)=(x +2)( y −4 )
(x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biĨu thøcA = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x +
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
d
e
c b
(104)b) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB
Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R v d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa
m·n: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
C©u 1a) f(x) =
x − 2¿2 ¿ ¿
√x2− x+4=√¿
Suy f(-1) = 3; f(5) =
b)
f (x)=10⇔ x −2=10
¿ x −2=−10
¿ x=12
¿ x=−8
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
c) A= f (x)
x2− 4=
|x − 2|
(x − 2)(x +2)
Víi x > suy x - > suy A= x +2
Víi x < suy x - < suy A=− x +2
C©u 2
( 2) ( 2)( 4) 2
( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21
x y x y xy x xy y x x y
x y x y xy y x xy y x x y
x -2
y
C©u a) Ta cã: A = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x +
√x
(105)((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) − x − 1
√x − 1):(
√x (√x − 1)
√x − 1 +
√x
√x −1) =
(x −√x −1√x +1− x −1
√x −1):(
x −√x+√x
√x −1 ) =
x −√x+1− x +1
√x − 1 :
x
√x −1 =
−√x +2
√x − 1 : x
√x −1 = −√x +2
√x − 1 ⋅
√x − 1
x =
2 −√x x
b) A = => 2 −√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3
C©u 4
Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH
PB = CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC ∞ POB Do đó: AH
PB = CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trung ®iĨm cđa AH
b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã
AH2=(2 R −AH CB
2PB )
AH CB
2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2 +¿
¿ ⇔ AH=4R CB PB
4 PB2+CB2=
4R 2R PB
Câu Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
O
B H C
(106)Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m −1 x1 x2=m− 1
2 3x1− 4x2=11
⇔ ¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=7m−7
26-8m 313-4m −4 7m 7 26-8m=11 { {
Giải phơng trình 313-4m −4
7m− 7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11
§Ị
C©u 1: Cho P =
2 x x x + 1 x x x - 1 x x
a/ Rót gän P
b/ Chøng minh: P <
1
3 với x x 1.
Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m lµ tham sè.
a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm bng ba ln nghim
Câu 3: a/ Giải phơng trình :
1
x +
1
2 x = 2
b/ Cho a, b, c số thực thâa m·n :
0
2
2 11
a b
a b c
a b c
Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c
Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D
c¾t ë K
a/ Chøng minh tứ giác ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK h×nh g×? V× sao?
c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hnh
Đáp án
Câu 1: Điều kiện: x x 1 (0,25 điểm)
P = x x x + 1 x x x -
( 1)( 1)
x
x x
(107)=
2 ( )
x x + 1 x x x - 1 x =
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
= ( 1)( 1)
x x
x x x
=
x x x
b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P <
1
3
x
x x < 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )
x - 2 x + > 0
( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)
Câu 2:a/ Phơng trình (1) có nghiệm chØ ’ 0. (m - 1)2 – m2 – 0
– 2m 0
m 2.
b/ Víi m th× (1) cã nghiệm.
Gọi nghiệm (1) a nghiƯm lµ 3a Theo Viet ,ta cã:
3 2
.3
a a m
a a m
a= m 3( m
)2 = m2 – 3
m2 + 6m – 15 = 0
m = –32 6 ( thâa mÃn điều kiện).
Câu 3:
Điều kiện x ; – x2 > x ; x < 2.
Đặt y = 2 x >
Ta cã:
2 2 (1) 1 (2) x y x y
Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hc xy =
-1
* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình: X2 – 2X + = X = x = y = 1.
* NÕu xy =
-1
2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phơng trình:
X2 + X -
1
2 = X =
(108)Vì y > nên: y =
1
2
x =
1
2
Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
1
2
Câu 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang
Do ú, t giỏc ABCK l hình bình hành AB // CK BACACK
Mµ
2
ACK
s®EC =
1
2s®BD = DCB
Nªn BCD BAC
Dựng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC
D AB
Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm
§Ị 8
Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = √x2+1 − x −
√x2+1− x Là số tự
nhiên
b Cho biÓu thøc: P = √x
√xy+√x +2+
√y
√yz +√y+1+
2√z
√zx+2√z +2 BiÕt x.y.z = , tÝnh
√P
C©u 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a Chứng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC
Câu3 Giải phơng trình: √x −1 −3
√2 − x=5
Câu Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R √2 Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đờng trịn Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB AC lần lợt D
E
Chøng minh r»ng:
a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b
3R<DE<R
đáp án Câu 1: a
A = √x2+1 − x − √x
2+1+x
(√x2+1 − x ).(√x2+1+x )
=√x2+1 − x (x2+1+x )= x
A số tự nhiên -2x số tự nhiên x = k
2
(trong k Z k )
b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z > v
xyz=2
Nhân tử mẫu cđa h¹ng tư thø víi √x ; thay ë mÉu cđa h¹ng tư thø bëi
(109)P =
√x+2+√xy
¿
√z¿
√x
√xy+√x +2+
√xy √xy +√x+2+
2z
(1đ)
P=1 P >
Câu 2: a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB y = 2x +
Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C khơng thẳng hàng
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuc ng thng AB
A,B,D thẳng hàn b.Ta cã :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
⇒ AB2 = AC2 + BC2 ABC vuông C
VËy SABC = 1/2AC.BC =
2√10 √10=5 ( đơn vị diện tích )
Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√2 − x=v3 ta có hệ phơng trình:
¿ u − v=5 u2+v3=1
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v =
⇒ x = 10
C©u 4
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ⇒ ABOC l hỡnh vuụng (0.5)
Kẻ bán kính OM cho BOD = MOD ⇒
MOE = EOC (0.5®) Chøng minh BOD = MOD
⇒ OMD = OBD = 900
T¬ng tù: OME = 900
⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC
⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE >
3 R
VËy R > DE >
3 R
Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = √x2
− x+4
a) TÝnh f(-1); f(5)
B
M A
O
C D
(110)b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f (x)
x2−4 x ± 2
C©u 2: Giải hệ phơng trình
x ( y −2)=(x +2)( y −4 )
(x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3)
¿{
¿
C©u 3: Cho biÓu thøc
A = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x +
√x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
2) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB
Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa
m·n: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
C©u 1
a) f(x) =
x − 2¿2 ¿ ¿
√x2− x+4=√¿
Suy f(-1) = 3; f(5) =
b)
f (x)=10⇔ x −2=10
¿ x −2=−10
¿ x=12
¿ x=−8
¿ ¿ ¿ ⇔¿
(111)c) A= f (x) x2− 4=
|x − 2|
(x − 2)(x +2)
Víi x > suy x - > suy A= x +2
Víi x < suy x - < suy A=− x +2
C©u 2
¿
x ( y −2)=(x+2)( y − 4)
(x −3)(2 y+7)=(2 x − 7)( y +3)
¿ ⇔
xy −2 x=xy+2 y − x −8
2 xy − y +7 x −21=2 xy − y +6 x −21
¿ ⇔ x − y=− 4
x + y=0
⇔
¿x=-2
y =2 ¿ ¿{
¿
C©u 3a) Ta cã: A = (x√x+1
x −1 −
x −1
√x −1):(√x +
√x
√x −1)
= ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) − x − 1
√x − 1):(
√x (√x − 1)
√x − 1 +
√x
√x −1)
= (x −√x +1
√x −1 − x −1
√x −1):(
x −√x+√x
√x −1 )
= x −√x+1− x +1
√x − 1 :
x
√x −1
= −√x +2
√x − 1 : x
√x −1 =
−√x +2
√x − 1 ⋅
√x − 1
x =
2 −√x x
b) A = => 2 −√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3
C©u 4
B H C
E A P
(112)a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)
b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
EH PB =
CH
CB ; (1)
Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC ∞ POB
Do đó: AH
PB = CH
OB (2)
Do CB = 2OB, kÕt hỵp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm
AH
b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã
AH2=(2 R −AH CB
2PB )
AH CB
2PB
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2R¿2
¿
4PB2+¿
¿ ⇔ AH=4R CB PB
4 PB2+CB2=
4R 2R PB
¿
C©u (1đ)
Để phơng trình có nghiệm phân biƯt x1 ; x2 th× >
<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
O
(113)¿
x1+x2=−2m −1 x1 x2=m− 1
2 3x1− 4x2=11
⇔ ¿{ {
¿
¿
x1=13-4m x1=7m−7
26-8m 313-4m
7 −4
7m− 7 26-8m=11
¿{ {
Giải phơng trình 313-4m 4
7m 7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho cú hai nghim phõn bit t
Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức:
A =
√3+√5 + √5+√7 +
1
√7+√9 + +
1 √97 +√99
B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟ 99sè C©u II :Ph©n tÝch thành nhân tử :
1) X2 -7X -18
2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10
C©u III :
1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2
Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung im ca BC, M l mt
điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q
a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP
MQ
C©u 5:
Cho P = √x
2
− x +3
√1− x
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án Câu :
1) A =
√3+√5 + √5+√7 +
1
√7+√9 + +
1 √97 +√99
=
2 ( √5−❑√3 + √7−√5 + √9 −√7 + + √99 −√97 ) =
2 ( √99 −√3
)
2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟
(114)=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 +
3 ( 99+999+9999+ +999 99)
198 +
3 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +
B = (10101−102
27 ) +165
C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®)
2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3
= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2
= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
= (x2+5x +3)(x2+5x +7)
3) a10+a5+1
= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1
- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)
-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)
Câu 3: 4đ
1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>
a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>
a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>
(ad - bc)2 (®pcm )
DÊu = x·y ad=bc
2) áp dụng đẳng thức ta có :
52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) =>
x2 + y2 25
17 => 4x2 + 4y2
100
17 dÊu = x·y x=
17 , y = 20
17 (2đ)
Câu : 5đ
Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = gãc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>
MPD đồng dạng với Δ ICA => DM
CI = MP
IA => DM.IA=MP.CI hay
DM.IA=MP.IB (1)
Ta cã gãc ADC = gãc CBA,
Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.
Do Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>
DM BI =
MQ
IA => DM.IA=MQ.IB (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy MP
MQ =
C©u
Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0
Tõ 1-x > => x <
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nªn ta cã :
(115)VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã :
P = √x
2− x +3 √1− x =
√(x −1)(x − 3)
√1− x =√3 − x
Đề 11
Câu : a Rút gọn biÓu thøc A=√1+1
a2+
1
( a+1)2 Với a > b Tính giá trị tæng B=√1+1
12+ 22+√1+
1 22+
1
32+ +√1+ 992+
1 1002
C©u : Cho pt x2− mx+m− 1=0
a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ m
b Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt
P= 2 x1x2+3 x12+x
22+2(x1x2+1)
C©u : Cho x ≥ , y ≥ 1 Chøng minh.
1 1+x2+
1 1+ y2≥
2 1+xy
Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn,
từM kẻ MH AB (H AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vng góc H trên MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB D
1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn
2 Chøng minh
MA2 MB2 =
AH BD
AD BH
H
ớng dẫn Câu a Bình phơng vÕ ⇒ A=a2+a+1
a (a+1) (V× a > 0)
c áp dụng câu a
A=1+1
a−
1
a+1 ¿⇒ B=100 − 1
100= 9999 100
C©u a : cm Δ≥ 0∀ m
(116)¿ x1+x2=m
x1x2=m− 1
¿{
¿
⇒ P=2 m+1
m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn
⇒−1
2≤ P≤ 1
⇒GTLN=−1
2⇔m=− 2
GTNN=1⇔m=1
Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc.
b®t ⇔ x ( y − x ) (1+x2)(1+xy )+
y ( x − y )
(1+ y2)(1+xy )≥ 0
⇔( x − y )2
(xy − 1)≥ 0 xy ≥1
C©u 4: a
- Kẻ thêm đờng phụ
- Chứng minh MD đờng kính (o) =>
b
Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1
HF = H2
⇒AH
BD AD
BH =
HE h1 MA2
HF h2 MB2 (1)
⇔ Δ HEF ∞ ΔDF'E'
⇒HF h2=HE h
Thay vµo (1) ta cã: MA
2 MB2 =
AH BD
AD BH
Đề 12
Câu 1: Cho biÓu thøc D = [√a+√b
1 −√ab+
√a+√b
1+√ab ] : [1+
a+b+2 ab
1 −ab ]
a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a =
2 3
c) Tìm giá trị lớn D
Câu 2: Cho phơng trình
2 −√3 x
2- mx +
2 −√3 m
2 + 4m - = (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
M
o E'
E A
F F'
B I
(117)b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoã mãn x1
1 +
x2=x1+x2
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, ^A=α(α=900 )
Chøng minh r»ng AI = bc Cos
α
2
b+c
(Cho Sin2 α=2 Sinα Cos α )
Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng
tròn cho N A ≤ N B Vễ vào đờng trịn hình vng ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q
b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định
C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1
HÃy tính giá trị của: B = xy
z +
zx
y +
xyz
x
Đáp án
Cõu 1: a) - Điều kiện xác định D
¿ a ≥ 0 b ≥ 0
ab ≠ 1
¿{ {
¿
- Rót gän D D = [2√a+2 b√a
1− ab ] : [
a+b+ab
1− ab ]
D = 2√a
a+1
b) a =
2+√3
¿
√3+1¿2⇒√a=√3+1 2¿
2 2+√3=¿
VËy D =
2+2√3 2√3+1
=2√3 −2 4 −√3
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
2√a≤ a+1⇒ D ≤1
VËy gi¸ trị D
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1
2x
+x −9
2=0⇔ x
(118)c b a I C B A ⇒ x1=−1 −√10
x2=− 1+√10
¿{
b) Để phơng trình có nghiệm Δ≥ 0⇔− m+2 ≥ ⇔m ≤1
4 (*)
+ Để phơng trình có nghiệm khác
¿m1≠ − −3√2 m2≠ − 4+3√2
¿ ⇔ 1
2m
+4 m−1 ≠
⇒
{
(*)
+
1
x1+
1
x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2− 1)=0⇔
x1+x2=0
x1x2− 1=0 ¿{
⇔
2 m=0
m2+8 m−3=0
⇔
¿m=0
m=−4 −√19
m=− 4+√19
¿{
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=− −√19
C©u 3:
+ SΔ ABI=1
2AI cSin
α
2;
+ SΔ AIC=
1
2AI bSin
α
2;
+ SΔ ABC=1
2bcSin α ;
SΔ ABC=SΔ ABI+SΔ AIC
⇒ bcSin α=AISinα
2(b+c )
⇒ AI=bcSin α
Sinα 2(b+c )
=
2 bcCosα
b+c
C©u 4: a) N ˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O)
QA QB
Suy Q cố định
b) ^A
1= ^M1(¿^A2)
Tø gi¸c ABMI néi tiÕp
c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định
(119)Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF
ABF vuông A B=45^ 0 A ^F B=450
L¹i cã Pˆ1 450 AFBPˆ1 Tø gi¸c APQF néi tiÕp A ^P F= A ^Q F=900
Ta cã: A ^P F +A ^P M=900
+900=1800 M1,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz (1
x2+
1
y2+
1
z2) = =xyz
2 xyz=2
Đề 13
Bài 1: Cho biÓu thøc A =
4( 1) 4( 1)
1 4( 1)
x x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A
Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4)
a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M
Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + = 0
cã nghiÖm nguyªn
Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D
đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bµi : Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh:
(120)Đáp án Bài 1:
a) §iỊu kiƯn x tháa m·n
2
4( 1) 4( 1) 4( 1)
x x x x x x x 1 x x x x
x > vµ x 2
KL: A xác định < x < x >
b) Rót gän A
A =
2
2
( 1) ( 1)
( 2)
x x x
x x A =
1 1 2
2
x x x
x x
Víi < x < A =
2 1 x
Víi x > A =
2
x
KÕt luËn
Víi < x < th× A =
2 1 x
Víi x > th× A =
2
x
Bµi 2:
a) A B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có
d¹ng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13
b) Gi¶ sư M (x, 0) xx’ ta cã
MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (04)2
MAB c©n MA = MB (x 5)2 4 (x 3)2 16 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16
x =
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 3:
Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng
Ta lại có: m = 0; < loại m = th× = = 2 2 nhËn
m th× 2m(m - 2) > 2m2 - 4m - > 0
(121) m4 - 2m + < < m
(m2 - 1)2 < < (m 2)2
không phơng
Vậy m = giá trị cần tìm
Bài 4:
a)
( )
2
EADEFD sd ED
(0,25)
( )
2
FADFDC sd FD
(0,25)
mµ EDA FAD EFD FDC (0,25)
EF // BC (2 gãc so le nhau)
b) AD phân giác góc BAC nên DE DF
sđ
2
ACD
s®(AED DF ) =
1
2s®AE = s®ADE
do ACDADE EAD DAC
DADC (g.g) T¬ng tù: s®
( )
2
ADF sd AF sd AFD DF
=
1
( )
2 sd AFD DE sd ABD ADFABD
do AFD ~ (g.g
c) Theo trªn:
+ AED ~ DB
AE AD
AD AC hay AD2 = AE.AC (1)
+ ADF ~ ABD
AD AF
AB AD
AD2 = AB.AF (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF
Bài (1đ):
Ta có (y2 - y) + 2y3 y4 + y2
(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4 x2 + y3 đó
x3 + y3 x2 + y2 (1)
+ Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0
x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
(x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mµ x2 + y3 x3 + y4
x2 + y2 x + y (2)
vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) 0
x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + 0
(x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4)
mµ x2 + y3 x3 + y4
x + y Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
F E
A
B
(122)§Ị 14
C©u 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1
cho A= ( - ) x2- 4(x-1) x-1
a/ rót gän biĨu thøc A
b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình
x2-(m+5)x-m+6 =0
Cã nghiƯm x1 vµ x2 tho· m·n mét ®iỊu kiƯn sau:
a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13
Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình
mx-y=1
m3x+(m2-1)y =2
vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 4: tìm max vµ cđa biĨu thøc: x 2 +3x+1
x2+1
Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450 Một
tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q
a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng trịn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP
c/ KỴ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số ®o gãc MAB biÕt CPD=CM
h
íng dÉn
Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x x>1≠
( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2
A= ( ) (x-2)2 x-1
x- -1 + x-1 + x- x- = = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng
* x- =1 x=0 loại * x- =2 th× x=5
vËy víi x = th× A nhận giá trị nguyên
Cõu 2: Ta có x = (m+5)∆ 2-4(-m+6) = m2+14m+1 để ph≥ ơng trìnhcó hai nghiệmphân
biƯt vµchØ m -7≤ -4 vµ m -7+4 (*) ≥ a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1)
x1+x2=m+5 (2)
x1x2 =-m+6 (3)
Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)
x1+x2 = m+5(2’)
x1x2 =-m+6 (3’)
giải hệ ta đợc m=0 m= Tho (*)
Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2
3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0
3m2-1 -2 3m≠ 2≠-1 m=±1/2 m= 1/2±
(123)3m3-m=-m3 m=0
3m2-1= -2 m= 1/2±
V« nghiƯm
Khơng có giá trị m để hệ vô số nghiệm
Câu 4: Hàm số xác định với x∀ (vì x2+1 0) x≠ 2+3x+1
gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=
x2+1
(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm
*y0=1 suy x = y0 1; ’=9-(y≠ ∆ 0-1)2≥0 (y0-1)2≤ suy ra
-2 ≤ y0 ≤ 4
Vậy: ymin=-2 y max=4
Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) Giải
a/ A1 và B1 nhìn đoạn QE dới góc 450
tứ giác ABEQ nội tiếp đợc FQE = ABE =1v
chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v
Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân ∆
AE
AQ = 2 (1)
t¬ng tự APF vuông cân
AF
AB = 2 (2)
tõ (1) vµ (2) AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF AQP
S S
= ( )2 hay S
AEF = 2SAQP
c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD
MCD= MPD=APD=CPD=CMD
MD=CD ∆MCD MPD=600
mµ MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã APB=450 MAB=600-450=150
Đề 15 Bài 1: Cho biểu thøc M = 2√x − 9
x −5√x+6+
2√x +1
√x − 3+
√x +3
2 −√x
a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = 5
c Tìm x Z M Z
bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình
3x2 +10 xy + 8y2 =96
b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ =
Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà mÃn
x +
1
y +
1
z =
1
Q
P M
F
E
D C
(124)Chøng ming r»ng:
2 x + y +z +
1
x +2 y +z +
1
x + y +2 z
b Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: B = x
2
−2 x+2006
x2 (với x ) Bài 4: Cho hình vuông ABCD KỴ tia Ax, Ay cho x ^A y = 45 ❑0
Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn
b S Δ AEF = S Δ APQ
Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C ^P D =
C ^M D
Bài 5: (1đ)
Cho ba số a, b , c kh¸c tho· m·n:
¿
1
a+
1
b+
1
c=0 ¿
; H·y tÝnh P = ac
c2+ bc
a2+ ac
b2 đáp án
Bµi 1:M = 2√x − 9
x −5√x+6+
2√x +1
√x − 3+
√x +3
2 −√x
a.§K x ≥ ; x ≠ ;x ≠ 9 0,5®
Rót gän M = 2√x − 9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x − 2)
(√x −2) (√x −3)
Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x − 2
(√x −2) (√x −3) M =
(√x+1)(√x − 2)
(√x −3) (√x − 2)⇔ M= √x +1
√x −3
b M = 5⇔√x −1
√x − 3=5 ⇒√x +1=5(√x − 3)
⇔√x +1=5√x − 15
⇔16=4√x
⇒√x=16
4 =4⇒ x=16
c M = √x+1
√x − 3=
√x −3+4
√x −3 =1+
4 √x −3
Do M z nªn √x −3 ớc x 3 nhận giá trÞ: -4; -2; -1; 1; 2;
⇒ x∈{1; ;16 ;25 ;49} x ≠ 4⇒ x∈{1;16 ;25 ;49}
Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96
< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
(125)Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thnh
tích thừa số không nhỏ lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12
Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn
¿ x +2 y=6
3 x+4 y=24
¿{
¿
HÖ PT vô nghiệm
Hoặc
x +2 y=6
3 x+4 y=16
¿{
¿
⇒ x=4 y=1 ¿{
Hc
¿ x +2 y =8
3 x+4 y=12
¿{
¿
HƯ PT v« nghiƯm
Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm lµ (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A∀ A
Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/
❑/x −2005+2008 − x /❑/3 /❑3 (1)
mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hợp (1 (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
(3) sảy
x −2006 /❑0
y − 2007/❑0
⇔ ¿x=2006
y=2007 ¿{
¿
Bµi 3
a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b Với a, b thuộc R: x, y > ta có a
2
x + b2
y≥
(a+b )2
x + y (∗)
< >(a2y + b2x)(x + y) (a+b )2xy
a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy
a2y2 + b2x2 2abxy
(126) (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0
DÊu (=) x¶y ay = bx hay
a b
x y
áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 4 4
2x y z 2x y z x y x z x y x z
2 2
1 1
1 1
4 4
16
x y x z x y z
T¬ng tù
1 1
2 16
x y z x y z
1 1
2 16
x y z x y z
Cộng vế bất đẳng thức ta có:
1 1 1 1 1 1
2 2 16 16 16
1 4 4 1 1
.4
16 16
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
V×
1 1
x yz
2 2006 x x B x x
Ta cã: B=x
2−2 x+2006
x2 ⇔ B=
2006 x2−2 2006 x +20062
2006 x
⇔ B=( x − 2006)
2+2005 x2
x2 ⇔
(x −2006 )2+2005
2006 x2 +
2005 2006
V× (x - 2006)2 víi mäi x
x2 > víi mäi x kh¸c
2
2
2006 2005 2005
0 2006
2006 2006 2006
x
B B khix
x
(127)Bµi 4a EBQ EAQ 450 EBAQ
néi tiÕp; ˆB = 900 gãc AQE = 900 gãcEQF =
900
T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450
à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 gãc APF = 900 gãc EPF = 900 …… 0,25®
Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên ®iĨm E, P, Q, F, C cïng n»m trªn
1 đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ
b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE
Gãc AFE + gãc EPQ = 1800
àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
à
2
2 1 2
2
APQ
APQ AEE AEF
S
k S S
S
c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cùng chắn cung MD)
Lại có góc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cđa DC)
à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC gúc CMD = 600
tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM)
Và gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300
à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750
à gãcMAB = 900 750 = 150
Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)
à x = -(y + z)
à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = 0
Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
(128)§Ị 16 Bµi 1Cho biĨu thøc A =
x2−3¿2+12 x2 ¿ ¿ ¿
√¿
+ x+2¿
2−8 x2
¿
√¿
a Rót gän biĨu thøc A
b T×m giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên
Bài 2: (2 ®iÓm)
Cho đờng thẳng:
y = x-2 (d1)
y = 2x – (d2)
y = mx + (m+2) (d3)
a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) ln qua với giá trị m
b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy
Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)
a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt
b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m
c Tìm giá trị nhỏ P = x2
1 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình
(1))
Bi 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung
lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE
a Chøng minh r»ng DE// BC
b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp
c Gọi giao điểm dây AD BC F Chøng minh hÖ thøc:
CE =
CQ + CE
Bài 5: Cho sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 1< a
a+b+ b b+c+
c c +a<2
đáp án Bài 1: - Điều kiện : x
a Rót gän: A=√x
4+6 x2 +9
x2 +√x
− x +4
¿x
2 +3
|x| +|x − 2|
- Víi x <0: A=−2 x
2
+2 x −3
x
- Víi 0<x 2: A=2 x+3
x
- Víi x>2 : A=2 x2−2 x+3
x
b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên <=> x2 + ⋮|x|
<=> 3=> x ⋮|x| = {−1 ;−3 ;1 ;3 }
Bµi 2:
(129)<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m
¿ x+1=0
2− y=0
¿{
¿
=.>
¿ x=−1
y =2 ¿{
¿
Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua
b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ ¿
y =x −2 y=2 x − 4
¿{
¿
=>
¿ x=2 y=0 ¿{
¿
VËy M (2; 0)
Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3)
Ta cã : = 2m + (m+2) => m= -
3
VËy m = -
3 (d1); (d2); (d3) đồng quy
Bµi 3: a Δ' = m2 –3m + = (m -
2 )2 +
4 >0 ∀ m
VËy ph¬ng trình có nghiệm phân biệt
b Theo ViÐt:
¿
x1+x2=2(m−1)
x1x2=m− 3
¿{
¿
=>
¿
x1+x2=2m −2
2 x1x2=2m −6
¿{
¿
<=> x1+ x2 – 2x1x2 – = không phụ thuộc vào m
a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3)
= (2m -
2 )2 + 15
4 ≥ 15
4 ∀ m
VËyPmin =
15
víi m =
5
Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận
a S® ∠ CDE =
2 S® DC =
2 S® BD = ∠BCD
(130)b ∠ APC =
2 s® (AC - DC) = ∠ AQC
=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQC nhìn đoan AC)
c.Tứ giác APQC néi tiÕp
∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) ∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ Ta cã: DE
PQ = CE
CQ (v× DE//PQ) (1) DE
FC = QE
QC (v× DE// BC) (2)
Céng (1) vµ (2) : DE
PQ+ DE FC =
CE+QE
CQ =
CQ CQ=1
=>
PQ+ FC=
1
DE (3)
ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) :
CQ+ CF=
1
CE
Bµi 5:Ta cã: a
a+b+c < a
b+a <
a+c
a+b+c (1)
b
a+b+c < b
b+c <
b+a
a+b+c (2)
c
a+b+c < c
c+a <
c +b
a+b+c (3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : < a
a+b +
b
b+c + c
c+a <
Đề số 15: Bài 1:
Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.
Bài 2:
Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3
x2 + y2 + z2 +x –y = a
Bµi 3:
Cho (x +√x2
+1)(y +√y2+1)=1 tÝnh M = x √y2+1+ y√x2+1
Bµi 4:
(131)Chøng minh: BX = CA; CY = BA
§Ị sè 16: Bài 1:
Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình phơng số
nguyên
Bài 2:
Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 H·y tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =
a2+b2−c2
c +
b2+c2−a2
a +
c2+a2− b2
b
Bµi 3:
Chøng minh r»ng số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố
Bài 4:
Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD
Bµi 5:
Trong mặt phẳng cho (O) hai điểm A,B cố định nằm đờng trịn Tìm vị trí điểm m cho đờng thẳng AM cắt (O) C AM = AC + CB (C#A)
Đề số 17: Bài 1:
Chứng minh số d phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 số nguyên tố
Bài 2:
Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6
x+
1
y+
1
z=2 −
4 xyz
Bµi 3:
Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006
2005 ) < f( 2005 2004 )
Bµi 4:
Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng
AE AF=
AM AN AB AC =
OM ON OB OC
(132)Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1, C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 +
AC3 = BC3 + AC1 = d, d độ dài đoạn thẳng cho trớc Bin lun
Đề số 18; Bài 1:
Cho số nguyên n > 2005 số thực x thoả m·n 2006n + 2005n =xn Hái x cã thĨ lµ
số nguyên không?
Bài 2:
Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trị Max & Min cđa F = x –y
Bµi 3:
Rót gän:
T = (
14 +1
4)(3
+1
4) (2005
+1 4)
(24+1 4)(4
4 +1
4) .(2006
+1 4)
Bµi 4:
Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác
Bµi 5:
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới đờng thẳng AB,BC ,CD ,DA 2a
§Ị thi tun sinh
*Trêng THPT NguyÔn Tr·i
(133)Thời gian: 150 phút
Bài (3 điểm)
Cho biÓu thøc
A =
(√x +2 − 4√x −2+√x +2+4√x − 2)
√
x2−
4
x+1 1) Rót gän biĨu thøc A
2) Tìm số nguyên x để biểu thức A l mt s nguyờn
Bài 2.( điểm)
1) Gäi x ❑1 vµ x ❑2 hai nghiệm phơng trình.
x2 -(2m-3)x +1-m = 0
Tìm giá trị m để: x ❑1 2+ x ❑
2 +3 x ❑1 x ❑2 (x
¿
1
¿ ¿❑
+ x ❑2 )
đạt giá trị ln nht
2) Cho a,b số hữu tØ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003
Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ.
Bài ( điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 TÝnh tØ sè BC
AB
2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD
Bài ( điểm)
Chng minh bất đẳng thức: | √a2
+b2−√a2+c2 | | b-c|
với a, b,c số thực
*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )
Bài ( điểm) cho biểu thức: P(x) = 2 x −√x 2−1
3 x2− x +1
1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <
Bài ( điểm)
1) cho phơng trình: x
2
2(2 m+1) x+3 m2+6 m
(134)a) Giải phơng trình m =
3
b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 x ❑2
tho¶ m·n x ❑1 +2 x ❑2 =16
2) Giải phơng trình: 2 x
1+x+ 2+
1 2 x=2
Bài (2 điểm)
1) Cho x,y hai số thực thoả mÃn x2+4y2 = 1
Chøng minh r»ng: |x-y| √5
2
2) Cho ph©n sè : A= n
2 +4
n+5
Hái cã bao nhiªu sè tự nhiên thoả mÃn n 2004 cho A phân số cha tối giản
Bi 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) (0 ❑2 ) cắt P Q Tiếp
tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) A, tiếp xúc với (0
❑2 ) B Tiếp tuyến (0 ❑1 ) P cắt (0 ❑2 ) điểm thứ hai D khác P, đờng
thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đờng tròn
2)Tam giác BPR cân
3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB
Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy
điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE
To¸n 9(150’)
Bµi 1(5) Cho A=(x+2
3 x +
x+1− 3) : 2 − xx +1 −
3 x+1 − x2 3 x
a) Rót gän A
b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên
Bµi 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3
a) Rót gän A
(135)Bài 3.( 4) Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( ngời
bắn viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác 8,9,10 thông báo: a) Hùng đạt điểm 10
b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm
Đồng thời cho biết thơng báo có thơng báo đúng, cho biết kết điểm bắn ngi
Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông A, AB= c,AC=b Lần lợt dựng AB, AC
bên tam giác ABC tam giác vuông cân ABD t¹i D, ACE t¹i E a) Chøng minh r»ng điểm E, A, D thẳng hàng
b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ giác BDEC
d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b,c
Bµi 5(3) Cho tứ giác ABCD,M điểm CD( khác C, D)
Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn giá trị CA+CB;DA+DB)
Toán 9( 120 phút) Bài 1(4)
Giải phơng trình:
(1 1011 +
2 102+ +
10 110)x= 1 11+
1
2 12+ + 100 110
Bµi 2(4)
Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị ln nht
Bài 3( 4)
Cho phơng tr×nh
a+3 x +1−
5 −3 a
x − 2 =
ax+3
x2− x − 2
Với giá trị a phơng trình có nghiệm không nhỏ 1?
Bài 4(4)
(136)nhận đợc, dựng đợc tứ giác nội tiếp hình thang này( đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân)
Bµi 5(4)
Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi I ❑b ,I ❑c theo thứ tự độ dài cảu đờng phân giác góc B góc C Chứng minh b>c I ❑b
<I ❑c
§Ị thi vào chuyên 10( Hải Dơng)
thời gian: 150
Bài 1(3) Giải phơng trình:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27
2)
x −1¿2 ¿ ¿
1
x (x −2)−
1
¿
Bµi 2(1) Cho số thực dơng a,b,c ab>c; a3+b3=c3+1 Chứng minh r»ng a+b>
c+1
Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a,
x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c khơng ph thuc x,y.
Bài 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm
là số hữu tỉ với mäi sè nguyªn n
Bài 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O dây AB( AB không qua O) M điểm
trên đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ
1) Chøng minh r»ng MI vuông góc với PQ
(137)*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)
thời gian:150 phút
Bài 1:
1/iải phơng trình:
5x +
2√x=2 x +
1 2 x+4
2/chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005
Bài 2:
Cho hệ phơng trình:
x2 +xy = a(y – 1)
y2 +xy = a(x-1)
1/ gi¶i hƯ a= -1
2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm
Bµi 3:
1/ cho x,y,z lµ số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhá nhÊt cña A =2xy
+yz+ zx
2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0
Bµi 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:
(138)2/ BC
DI = AB DK +
AC DH
*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài (3đ):
1 Giải pt: √x+1 −√3 x=2 x −1
2 Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đờng thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y
x +6x =
Bài 2(2,5đ):
1 Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè)
tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên
2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh ph -ơng trình sau có nghiệm:
t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0
Bài 3(3đ)
Cho tam giác ABC
1 Gọi M trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vng góc với BE
2 LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chứng minh:
a) OD
AD + OE BE+
OF CF =1
b) (1+AD OD)(1+
BE OE)(1+
CF OF) 64
Bài 4(0.75đ)
xét đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c
Q(x)=x2 +x + 2005
Biết phơng trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm Chứng minh P(2005)>1/64
Bài (0,75đ)
(139)Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005)
thời gian :150
Bài 1: (3đ)
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)
1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm:
a) A(-1;3), b) B( √2 ; -1), c) C(1/2; 5)
2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1
Bài 2: (3đ)
Cho hệ phơng trình:
(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2
gọi nghiệm hệ phơng trình lµ (x;y)
1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1
3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2 x − y
x+ y nhËn gi¸ trị nguyên
Bài (3đ)
Cho tam giác ABC ( ^A=900 ) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác
ABC cho BC=BD vµ A ^B C=C ^B D ; gäi I lµ trung điểm CD; AI cắt BC E Chứng minh:
1 C ^A I=D ^B I
2 ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE
Bài 4: (1đ)
tính giá trị biểu thức A= x
5−4 x3−3 x +9
x4❑
❑+3 x
2+11 víi
x x2+x+1=
1
*Trờng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006)
(dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150’)
(140)Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chứng minh nÕu a +b +c chia hÕt cho th× P chia hết cho
Bài 2(2đ)
Cho hệ phơng trình:
(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m
xy(x2+y2)=m
1 GiaØ hÖ víi m= -10
2 Chứng minh khơng tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nht./
Bài (2đ):
Ba số dơng x, y,z tho¶ m·n hƯ thøc
x+
2
y+
3
z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3
1 Chøng minh P x+2y+3z-3 2.Tìm giá trị nhỏ P
Bài (3đ):
Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A&P) cho DA.DP = DB.DC
1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng
2 gọi S S lần lợt diện tÝch cđa hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:
s ' s ≤(
EF AD)
2
Bài 5(1đ)
Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng
Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy
§Ị thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(toán bảng B – thêi gian: 150’)
Bµi 1
(141)P=
x − y¿2 ¿ ¿
x y2 xy +
b)Giải phơng trình:
5 −2√6 (¿)
¿ ¿x
¿
5+2√6 (¿)
¿ ¿x
¿ ¿ ¿
√¿
Bµi 2
a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ng
với cạnh huyền tam gíac
√5
b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4 x +3
x2+1
Bµi 3
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450 Đuờng trịn đờng kính
AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N a> chøng minh MN vu«ng gãc víi OC b> chøng minh √2 MN = AB
Bµi 4:
Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,
nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF
(142)(dành cho đối tng , thi gian: 150)
Bài 1(2đ): Cho biểu thøc P= x√x −1
x −√x −
x√x +1 x +√x +
x +1
√x
1.Rót gän P
2 T×m x biÕt P= 9/2
Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m tham số).
1 Giải bpt với m= 1- √2
2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm
Bµi 3(2®):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = parabol
(P):y= ax2 (a tham số dơng).
1 Tỡm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung
2 Gọi xA&xB hoành độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T=
4
xA+xB+
xA+xB
Bµi 4(3®):
Đờng trịn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C
1 Chứng minh tam giác AIB & AMC tam gÝac c©n
2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giỏc AMC t Max
Bài 5(1đ):
Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = α ,gãc AMB = β Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β
Thi häc sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(Toán bảng A- thời gian:150)
Bài 1:
a Rút gän biÓu thøc: P = √x2y2
xy +√
( x − y )2
x − y (√ x2 x
(143)b Giải phơng tr×nh: 2+√x
√2+√2+√x+
2 −√x
√2 −√2 −√x=√2
Bµi 2:
a ( đề nh bảng B)
b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =
Bµi 3:
Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.
Bµi 4:
Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F
a chứng minh BF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác nội tiếp
Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005)
( líp 9, thêi gian: 150’)
Bµi 1(3,5®):
1 Gäi x1, x2 la nghiƯm cđa phơng trình x2 + 2004x + = x3, x4 nghiệm
phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị biểu thức: ( x
1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2
-x4)
2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2
-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 có nghiệm.
Bài (1,5đ):
Cho hai số tự nhiên m n thoả m·n m+1
n +
n+1
m lµ sè nguyªn chøng minh r»ng:
íc chung lín nhÊt m n không lớn m=n
Bài (3®):
Cho hai đờng trịn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến chung gần B hai
đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đờng thẳng song song với
CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M & N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng
MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh: a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thng CD
b Tam giác EPQ tam giác cân
Bài (2đ):
(144)x5 + y5 =11
§Ị thi häc sinh giỏi lớp (năm học 2003-2004)
Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút )
Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a: x+4∨ y∨¿∨x∨¿
¿y∨+¿x − a∨¿1
a gi¶i hƯ pt a=-2
b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm
C©u 2(2đ):
a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max cđa biĨu thøc: A= -z2+z(y+1) +xy
b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r √2
2
Câu 3(2đ):
Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.
Câu (3®):
Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P
a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đờng tròn
b giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo gãc cđa tam gi¸c ABC
(145)TØnh Haỉ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):
Giải pt: |xy − x − y +a|+|x2y2+x2y + xy2+xy − b|=0 víi
a= (√57+3√6+√38+6) (√57 −3√6 −√38+6)
b= 17 122+3 22+3+22
Bài 2(2.5đ)
Hai phng trỡnh: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai
pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 còng có nghiệm chung.
Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c)
Bài 3(3đ):
Cho hai ng trũn tâm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A ct (O2) ti D,
đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) t¹i C
Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N Chứng minh
r»ng:
1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm đờng trịn
2 BC+BD = MN Bµi 4(2đ)
Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.
Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ):
1 Chøng minh r»ng: A = 2√3+√5−√13+√48
√6+√2 lµ sè nguyên
2 Tìm tất số tự nhiên cã ch÷ sè abc cho: cba =(n-2)2
(146)Baì 2(6đ)
1 Giải pt: x3 + 2x2 + 2 √2 x +2 √2 =0
2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.
a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy
b) Gäi A,B giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max
c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn
Bài 3(8đ):
1 Cho đờng trịn tâm O dây cung BC khơng qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định2 Cho đờng tròn (O,R) (O’,R’) (R>R’), cắt A,B Tia OA căt (O) D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC & BE
Đề số 2: Bài
Giải hệ phơng trình
xy +2 x+ y=0 yz +2 z +3 y=0 xz +3 x+z =0
¿{ {
¿
Bµi
Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)
Bµi Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : S =
(2-x)(2-y)
Bài 4.
Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800 Trong tam gi¸c ABC cã
®iĨm M cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300 TÝnh gãc BMC
Bµi
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự Z, T ( Z T
(147)§Ị sè 3:
Bài Cho số phơng A, B, C.
Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12
Bµi Chøng minh r»ng :
√3
√2 −1=√3 9−
3
√2 9+
3
√4
Bµi Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c Chøng minh r»ng:
b2− c2
(a+b)(a+c )+
c2− a2
(b+c )(b+a)+
a2− b2
(c +a)(c +b)=
b − c b +c+
c − a c +a+
a b a+b
Bài Cho tam giác ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt
l độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:
1
x+
1
y+
1
z >1
Bµi Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.
Chứng minh r»ng: HB HC
AB AC+
HC HA BC BA +
HA HB
CA CB =1 §Ị sè 4:
Bài 1.
Biết A=654 ì999 997
100 ch÷ sè9
+1965
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho
Bµi 2
Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ
Bµi
Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả m·n: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1
Bµi 4.
(148)Bµi
Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm đờng thng d
Đề số 5 Bài 1
Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ
Bài 2.
Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện a2005
+b2005 1; x2005+y2005≤ 1
Chøng minh r»ng: a1975 x30+b1975 y30≤1
Bài
Giải phơng trình
10+24 +√40+√60=2005(2 x − 1)+√2+√3+√5
Bµi
Víi sè nguyên dơng n, kí hiệu 1
n
.n
+n+1
n ! an=¿
TÝnh tỉng
a1+a2+ +a2005 Trong n! kí hiệu tích n số nguyên dơng liên tiếp u
tiên
Đề số 6: Bài 1:
Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi sè 2005.
Bµi 2:
Cho ba sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:
a3
b + b3
c + c3
a ≥ a√ac+b√ba+c√cb
(149)
giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +
2 =0
Bµi 4:
Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2= 2AD.OM
Bµi 5:
Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị lớn nht
Đề số 7:
Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 - x - = x3 + x + 1
Bài 2:
tìm Max biĨu thøc √x − x3
+√x+ x3 víi x
Bài 3:
Giải hệ phơng tr×nh:
¿
√x 2+xy+ y 2=√3
2 (x+ y )
¿
x2004+y2004 = 22005
Bµi 4:
cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đ-ờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b
Bµi 5:
Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hàng
AE AE=
AM AN AB AC =
OM ON OB OC
Đề số 8 Bài 1:
Cho s 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396
Bµi 2:
Giải hệ phơng trình:
(150)z2 +yz +1 =0
Bµi 3:
T×m Max cđa biĨu thøc: A= 2004 x
2
+6006 x +6√x3− x2+x − 2− 8003
x2+3 x −4
Bµi 4:
Cho a,b,c cạnh tam giác, chứng minh:
3
√a+b − c+√3b +c − a+√3c +a − b ≤√3a+√3b+√3c
Bµi 5:
cho tam giác ABC Đờng tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB,BC theo thứ tự P, Q Phân giác góc A cắt tia PQ E Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi CE
đơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định
Bµi 5:
Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)
Đề số 12: Bài 1:
Cho Sn= √
3+Sn− 1
1 −√3 Sn 1 với n số tự nhiên không nhỏ BiÕt S1 = 1, tÝnh S = S1
+ S2 + S3 +… + S2004 + S2005
Bài 2:
Giải hệ phơng trình: x
√y+ y
√x=xy
x2008 + y2008 =8(xy)
❑
2005
Bµi 3:
Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp
Bµi 4:
(151)a + b + c (b+c)a
2003
2 +
(c +a)b2003
2 +
(a+b)c2003
2 với a,b,c số dơng
Đề số 13: Bài 1:
Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc
Bµi 2:
Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1 xác định dấu
cđa hƯ số a
Bài 3:
Giải pt: (x 2005)6 + (x- 2006)8 = 1
Bµi 4:
Cho a1=1/2; an+1= (2n − 1
2 n=2) an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh r»ng: a1 + a2 +
a3 +…+ a2005 <
Bµi 5:
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vng góc vi AC
Đề số 14: Bài 1:
Chứng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 kh«ng cã nghiệm nguyên.
Bài 2:
Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2
Bµi 3:
Gi¶i hƯ pt: 3x – y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0
x +9y -3z + 2xz =
Bµi 4:
(152)Bµi 5:
Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB Trên nửa đờng trịn đờng kính AB lấy điểm C,D cho cung AC < cung AD (D#B) E điểm nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B) I,K lần lợt giao điểm CE & AD, IO & BE Chứng minh: ^ CDK = 900.
Đề số 15: Bài 1:
Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.
Bài 2:
Hóy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3
x2 + y2 + z2 +x –y = a
Bµi 3:
Cho (x +√x2
+1)(y +√y2+1)=1 tÝnh M = x √y2+1+ y√x2+1
Bµi 4:
Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN CM O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y
Chøng minh: BX = CA; CY = BA
§Ị số 16: Bài 1:
Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình phơng số
nguyên
Bài 2:
Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 H·y tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =
a2+b2−c2
c +
b2+c2−a2
a +
c2+a2− b2
b
Bµi 3:
Chøng minh số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố
Bài 4:
Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD
Bài 5:
(153)Đề số 17: Bµi 1:
Chøng minh r»ng sè d phÐp chia số nguyên tố cho 30 số nguyên tố
Bài 2:
Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6
x+
1
y+
1
z=2 −
4 xyz
Bµi 3:
Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006
2005 ) < f( 2005 2004 )
Bài 4:
Cho tam giác ABC, ®iĨm O n»m tam gi¸c BO,CO theo thø tù cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng
AE AF=
AM AN AB AC =
OM ON OB OC
Bµi 5:
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1, C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 +
AC3 = BC3 + AC1 = d, d độ dài đoạn thẳng cho trớc Biện luận
Đề số 18; Bài 1:
Cho số nguyên n > 2005 số thực x thoả mÃn 2006n + 2005n =xn Hỏi x là
số nguyên không?
Bài 2:
Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trị Max & Min F = x –y
Bµi 3:
Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác
Bµi 4:
(154)