Coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tự nhiên goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau ủoõi moọt tửứ X, mà moọt trong ba chửừ soỏ ủaàu tieõn phaỷi baống 1.. 2..[r]
(1)Đề kscl theo khối thi đH Mơn tốn 11 lên 12- ban khtn Thời gian làm 150 phút
Ngày:18 / 7/ 2009 Câu 1: (3,0 đ)
1 Cho haứm soỏ: y = x3 + 3x2 + mx + coự ủoà (C
m); (m laứ tham soỏ).
a Xaực ủũnh m ủeồ (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = taùi ủieồm phaõn bieọt C(0, 1), D, E cho caực tieỏp tuyeỏn cuỷa (Cm) taùi D vaứ E song song vụựi nhau.
b Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng (-2;1)
2 Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f(x)= x ax bxc
3 3 1
đạt cực đại tại điểm x=3 đồ thi (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): 3
1 3 x y
giao điểm của (C) với trục tung
Câu 2: (2,0 đ)
1 Giaỷi phửụng trỡnh: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0
2 Giải hệ phương trỡnh
2
2
91 2 (1)
91 2 (2)
x y y
y x x
Câu 3:(2,0 đ)
Tớnh theồ tớch cuỷa hỡnh choựp S.ABC, bieỏt ủaựy ABC laứ moọt tam giaực ủều cánh a,
maởt bẽn (SAB) vuõng goực vụựi ủaựy, hai maởt bẽn coứn laùi cuứng taùo vụựi ủaựy goực a.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C):x2 y2 2x4y10 điểm M(4;3).
Chứng tỏ qua M có tiếp tuyến với (C) giả sử A;B điểm tiếp xúc Lập phương trỡnh đường thẳng AB
Câu 4: (2,0 đ)
1 Cho taọp hụùp X = 0,1,2,3,4,5,6,7 Coự theồ laọp ủửụùc bao nhiẽu soỏ tự nhiên gồm chửừ soỏ khaực ủoõi moọt tửứ X, mà moọt ba chửừ soỏ ủầu tiẽn phaỷi baống 1
2 Tìm m để phương trình sin2 x cosx m có nghiệm 0; Câu 5: (1,0 đ)
Cho x, y, z số dương thoả
1 1
2009
x yz Tỡm giỏ trị lớn biểu
thức : P =
1 1 1
2x y z x2y z x y 2z
(2)
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
-1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + = Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600.
HƯỚNG DẪN GIẢI: I PHẦN CHUNG:
Câu 1: : y = x3 + 3x2 + mx + (C m)
1 m = : y = x3 + 3x2 + 3x + (C 3)
+ TXẹ: D = R
+ Giới hạn: xlim y , limx y
+ y’ = 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x
* Baỷng bieỏn thieõn:
+ y” = 6x + = 6(x + 1)
y” = x = –1 điểm uốn I(-1;0)
* ẹoà thũ (C3):
2 Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (Cm) vaứ ủửụứng thaỳng y = laứ:
x3 + 3x2 + mx + = 1 x(x2 + 3x + m) =
x 0
x 3x m 0 (2)
* (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = tái C(0, 1), D, E phãn bieọt:
Phửụng trỡnh (2) coự nghieọm xD, xE
m 0
9 4m 0 4
m
0 3 m 0 9
Luực ủoự tieỏp tuyeỏn taùi D, E coự heọ soỏ goực laàn lửụùt laứ:
kD = y’(xD) =
2
D D D
3x 6x m (x 2m);
kE = y’(xE) =
2
E E E
3x 6x m (x 2m).
Caực tieỏp tuyeỏn tái D, E vuõng goực vaứ chổ khi: kDkE = –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vỡ xD + xE = –3; xDxE = m theo ủũnh lý Vi-ột)
4m2 – 9m + = m =
1 65 8
ẹS: m =
1 9 65 hay m 1 9 65
8 8
Câu 2:
3 sin x cosx cos3x 0 sin
3sinx + cos
(3) cos
x 3 cos3x cos
x 3 cos( 3x)
k x
3 2 (k Z)
x k
3 x =
k
3 2 (k Z)
2 Điều kiện: x ≥ y ≥ : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x291 y291 y 2 x 2y2 x2
2
2 91 91 2 2 ( )( )
x y y x
y x y x
y x x y 2
( )
2
91 91
x y
x y x y
x y x y
x = y (trong ngoặc dương x y lớn 2)
Vậy từ hệ ta có: x291 x 2x2 x291 10 x 1 x2
2
9 3
( 3)( 3) 2 1 91 10 x x x x x x
1 1
( 3) ( 3) 1 0
2 1 91 10 x x x x
x =
Vậy nghiệm hệ x = y =
Câu 3: J =
b
b
ln10 x 8 2/ 1/
3 x e
b e
e dx du u
3 u
e 2
b 2/
3 (e 2) ;
2 (vụựi u = ex – 2, du = exdx)
Suy ra:
b 2/ b ln2 b ln2
3 3
lim J lim 4 (e 2) (4) 6
2 2
Câu 4:
Dửùng SH AB
Ta coự:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
vaứ SH laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh choựp.
Dửùng HN BC, HP AC
SN BC, SP AC SPH SNH
DSHN = DSHP HN = HP
DAHP vuoõng coự:
o a 3
HP HA.sin60 . 4
DSHP vuoõng coự:
a 3 SH HP.tg tg
4
Theồ tớch hỡnh choựp
2
ABC
1 1 a 3 a a
S.ABC : V .SH.S . .tg tg
3 3 4 4 16
Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có:
4ab ≤ (a + b)2
1 4
a b
a b ab
1 1
( , 0)
4 a b a b
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
(4)Tương tự:
1 1 1 1 1
2 8 2 2
x y z x y z
1 1 1 1 1
2 8 2 2
x y z x y z
Vậy
1 1 1
2x y z x2y z x y 2z
1 1 1 2009
4 x y z 4
Vậy MaxP =
2009
4 x = y = z = 3 2009
II.PHẦN TỰ CHỌN:
1 Phần 1: Phần dành cho chương trỡnh bản
Câu 6a.1a
1.Giả sử AB: 5x - 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = Vậy A(0;3) Đường cao đỉnh BO qua O nhận VTCPa
= (7; - 4) AC làm VTPT Vây BO: 7x - 4y = B(-4;-7)
A nằm Oy, đường cao AO trục OY, Vậy AC: y + = Goùi A(a; 0; 0) Ox
Khoaỷng caựch tửứ A ủeỏn maởt phaỳng (a) : 2
2a 2a
d(A; )
3 2 2
(D) qua M (1; 0; 2)0 vaứ coự vectụ chổ phửụng u (1; 2; 2)
ẹaởt M M0 u
Do ủoự: d(A; D) laứ ủửụứng cao veừ tửứ A tam giaực AM M0
0
2
AM M
0
[AM ; u]
2.S 8a 24a 36
d(A; )
M M u 3
Theo giaỷ thieỏt: d(A; a) = d(A; D)
2
2 2
2
2a 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
3 3
4(a 3) 0 a 3.
Vaọy, coự moọt ủieồm A(3; 0; 0)
Câu 6a.2a n = a b cd e
* Xem caực soỏ hỡnh thửực ab cd e, keồ caỷ a = Coự caựch choùn vũ trớ cho (1 laứ a hoaởc laứ b hoaởc laứ c) Sau ủoự choùn trũ khaực cho vũ trớ coứn laùi tửứ X \ 1 : soỏ caựch choùn A74.
Nhử theỏ coự x (7 x x x 4) = 2520 soỏ hỡnh thửực thoỷa yẽu cầu ủề baứi. * Xem caực soỏ hỡnh thửực 0bcd e.
* Loái nhửừng soỏ dáng hỡnh thửực 0b cd e ra, ta coứn 2520 – 240 = 2280 soỏ n thoỷa yẽu cầu ủề baứi.
1 Phần 2: Phần dành cho chương trỡnh nâng cao:
Câu 6b.1b
(C) cú tõm I(3;0) bỏn kớnh R = M Oy M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm)
Vậy
0
60 (1) 120 (2)
AMB AMB
(5)Vỡ MI phõn giỏc AMB (1) AMI = 300 sin 300
IA MI
MI = 2R
2
9
m m
(2) AMI = 600 sin 600
IA MI
MI =
2 3 3 R
2 9 4 3
3
m
Vơ nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7) M2(0;- 7)
2.- (d1) ủi qua ủieồm A(0; 0; 4) vaứ coự vectụ chổ phửụng u1 (2; 1; 0)
- (d2) ủi qua ủieồm B(3; 0; 0) vaứ coự vectụ chổ phửụng u2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u ; u ] 36 01 AB, u , u1
khõng ủồng phaỳng
Vaọy, (d1) vaứ (d2) cheựo
Goùi MN laứ ủửụứng vuoõng goực chung cuỷa (d1) vaứ (d2)
M (d ) M(2t; t; 4),
/ /
2
N (d ) N(3 t ; t ; 0)
/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)
Ta coự:
/ / /
1
/ /
2
MN u 2(3 t 2) (t t) 0 t 1 M(2; 1; 4) N(2; 1; 0) t 1
3 t 2t (t t) 0 MN u
Toùa ủoọ trung ủieồm I cuỷa MN: I(2; 1; 2), baựn kớnh
1
R MN 2. 2
Vaọy, phửụng trỡnh maởt caàu (S):
2 2
(x 2) (y 1) (z 2) 4.
Câu 6b.2b
Xeựt phửụng trỡnh Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = 0
Deó daứng nhaọn thaỏy phửụng trỡnh coự nghieọm Z1 = –1, sau ủoự baống caựch chia thửực ta thaỏy
phửụng trỡnh coự nghieọm thửự hai Z2 = Vaọy phửụng trỡnh trụỷ thaứnh:
(Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = 0
Suy ra: Z3 = 2 i vaứ Z4 = –2 i
ẹaựp soỏ: 1,2, 2 i, 2 i