Coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tự nhiên goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau ủoõi moọt tửứ X, mà moọt trong ba chửừ soỏ ủaàu tieõn phaỷi baống 1.. 2..[r]
(1)
Đề kscl theo khối thi đH Mơn tốn 11 lên 12- ban khtn
Thời gian làm 150 phút
Ngày
:18
/ 7/ 2009
Câu 1:
(3,0 đ)
1
Cho haứm soỏ: y = x
3+ 3x
2+ mx + coự ủoà (C
m
); (m laứ tham soỏ).
a Xaực ủũnh m ủeồ (C
m) caột ủửụứng thaỳng y = taùi ủieồm phaõn bieọt C(0, 1),
D, E cho caực tieỏp tuyeỏn cuỷa (C
m) taùi D vaứ E song song vụựi nhau.
b Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng (-2;1)
2 Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f(x)=
x
ax
bx
c
3
3
1
đạt cực đại tại
điểm x=3 đồ thi (C) tiếp xúc với đường thẳng (d):
3
1
3
x
y
giao điểm
của (C) với trục tung
Câu 2
: (2,0 đ)
1 Giaỷi phửụng trỡnh: 2cos3x +
3sinx + cosx = 0
2 Giải hệ phương trỡnh
2
2
91
2
(1)
91
2
(2)
x
y
y
y
x
x
Câu 3
:(2,0 đ)
Tớnh theồ tớch cuỷa hỡnh choựp S.ABC, bieỏt ủaựy ABC laứ moọt tam giaực
ủều cánh a,
maởt bẽn (SAB) vuõng goực vụựi ủaựy, hai maởt bẽn coứn laùi cuứng taùo
vụựi ủaựy goực a.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C):
x
2
y
2
2
x
4
y
1
0
điểm M(4;3).
Chứng tỏ qua M có tiếp tuyến với (C) giả sử A;B điểm tiếp xúc
Lập phương trỡnh đường thẳng AB
Câu 4
: (2,0 đ)
1 Cho taọp hụùp X =
0,1,2,3,4,5,6,7
Coự theồ laọp ủửụùc bao nhiẽu soỏ tự
nhiên gồm chửừ soỏ khaực ủoõi moọt tửứ X, mà moọt ba chửừ soỏ
ủầu tiẽn phaỷi baống 1
2 Tìm m để phương trình
sin
2x
cos
x
m
có nghiệm
0
;
Câu 5
: (1,0 đ)
Cho x, y, z số dương thoả
1 1
2009
x
y
z
Tỡm giỏ trị lớn biểu
thức : P =
1
1
1
2
x y z
x
2
y z
x y
2
z
(2)
Họ tên thí sinh:
Số báo danh:
-1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x
2+ y
2– 6x + = Tỡm M thuộc trục tung
sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 60
0.
HƯỚNG DẪN GIẢI: I PHẦN CHUNG:
Câu 1: : y = x3 + 3x2 + mx + (C m)
1 m = : y = x3 + 3x2 + 3x + (C 3)
+ TXẹ: D = R
+ Giới hạn: x
lim
y
, lim
x y
+ y’ = 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x
* Baỷng bieỏn thieõn:
+ y” = 6x + = 6(x + 1)
y” = x = –1 điểm uốn I(-1;0)
* ẹoà thũ (C3):
2 Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (Cm) vaứ ủửụứng thaỳng y = laứ:
x3 + 3x2 + mx + = 1 x(x2 + 3x + m) =
x 0
x
3x m 0
(2)
* (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = tái C(0, 1), D, E phãn bieọt:
Phửụng trỡnh (2) coự nghieọm xD, xE
m 0
9 4m 0
4
m
0
3 m 0
9
Luực ủoự tieỏp tuyeỏn taùi D, E coự heọ soỏ goực laàn lửụùt laứ:
kD = y’(xD) =
2
D D D
3x
6x
m
(x
2m);
kE = y’(xE) =
2
E E E
3x
6x
m
(x
2m).
Caực tieỏp tuyeỏn tái D, E vuõng goực vaứ chổ khi: kDkE = –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vỡ xD + xE = –3; xDxE = m theo ủũnh lý Vi-ột)
4m2 – 9m + = m =
1 65
8
ẹS: m =
1
9
65 hay m
1
9
65
8
8
Câu 2:
3 sin x cosx cos3x 0
sin
3
sinx + cos
(3)
cos
x
3
cos3x
cos
x
3
cos(
3x)
k
x
3
2
(k Z)
x
k
3
x =
k
3
2
(k
Z)
2 Điều kiện: x ≥ y ≥ : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x
2
91
y
2
91
y
2
x
2
y
2
x
2
2
2 91 91 2 2 ( )( )
x y y x
y x y x
y x x y 2
( )
2
91 91
x y
x y x y
x y x y
x = y (trong ngoặc dương x y lớn 2)
Vậy từ hệ ta có: x291 x 2x2 x291 10 x 1 x2
2
9
3
(
3)(
3)
2 1
91 10
x
x
x
x
x
x
1
1
(
3) (
3)
1
0
2 1
91 10
x
x
x
x
x =
Vậy nghiệm hệ x = y =
Câu 3:
J =
bb
ln10 x 8 2/ 1/
3 x e
b e
e dx
du u
3
u
e
2
b 2/
3 (e 2) ;
2
(vụựi u = e
x– 2, du = e
xdx)
Suy ra:
b 2/ b ln2 b ln2
3
3
lim J lim
4 (e
2)
(4) 6
2
2
Câu 4:
Dửùng
SH AB
Ta coự:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
vaứ SH laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh choựp. Dửùng
HN BC, HP AC
SN BC, SP AC
SPH SNH
DSHN = DSHP HN = HP
DAHP vuoõng coự:
o
a 3
HP HA.sin60
.
4
DSHP vuoõng coự:
a 3
SH HP.tg
tg
4
Theồ tớch hỡnh choựp
2
ABC
1
1 a 3
a a
S.ABC : V
.SH.S
.
.tg
tg
3
3 4
4
16
Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có:
4ab ≤ (a + b)2
1
4
a b
a b
ab
1 1
(
,
0)
4
a b
a b
Ta có:
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
2
x y z
4 2
x
y z
4 2
x
4
y
z
8
x
2
y
2
z
(4)Tương tự:
1
1 1
1
1
2
8 2
2
x
y z
x
y
z
1
1 1
1
1
2
8 2
2
x y
z
x
y
z
Vậy
1
1
1
2
x y z
x
2
y z
x y
2
z
1 1 1
2009
4
x
y
z
4
Vậy MaxP =
2009
4
x = y = z =3
2009
II.PHẦN TỰ CHỌN:
1 Phần 1: Phần dành cho chương trỡnh bản
Câu 6a.1a
1.Giả sử AB: 5x - 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = Vậy A(0;3) Đường cao đỉnh BO qua O nhận VTCPa
= (7; - 4) AC làm VTPT Vây BO: 7x - 4y = B(-4;-7)
A nằm Oy, đường cao AO trục OY, Vậy AC: y + = Goùi A(a; 0; 0)
Ox
Khoaỷng caựch tửứ A ủeỏn maởt phaỳng (a) : 2
2a
2a
d(A; )
3
2 2
(D) quaM (1; 0; 2)
0
vaứ coự vectụ chổ phửụngu (1; 2; 2)
ẹaởt
M M
0
u
Do ủoự: d(A; D) laứ ủửụứng cao veừ tửứ A tam giaực
AM M
00
2
AM M
0
[AM ; u]
2.S
8a
24a 36
d(A; )
M M
u
3
Theo giaỷ thieỏt: d(A; a) = d(A; D)2
2 2
2
2a
8a
24a 36
4a
8a
24a 36
4a
24a 36 0
3
3
4(a 3)
0
a 3.
Vaọy, coự moọt ủieồm A(3; 0; 0)
Câu 6a.2a
n =
a b cd e
* Xem caực soỏ hỡnh thửực
ab cd e
, keồ caỷ a = Coự caựch choùn vũ trớ cho (1 laứ a
hoaởc laứ b hoaởc laứ c) Sau ủoự choùn trũ khaực cho vũ trớ coứn laùi tửứ X \
1: soỏ
caựch choùn
A
74.
Nhử theỏ coự x (7 x x x 4) = 2520 soỏ hỡnh thửực thoỷa yẽu cầu ủề baứi.
* Xem caực soỏ hỡnh thửực
0bcd e
.
* Loái nhửừng soỏ dáng hỡnh thửực
0b cd e
ra, ta coứn 2520 – 240 = 2280 soỏ n thoỷa yẽu
cầu ủề baứi.
1 Phần 2: Phần dành cho chương trỡnh nâng cao:
Câu 6b.1b
(C) cú tõm I(3;0) bỏn kớnh R = M Oy M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm)
Vậy
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
(5)Vỡ MI phõn giỏc AMB (1) AMI = 300
sin 30
0IA
MI
MI = 2R
2
9
m m
(2) AMI = 600
sin 60
0IA
MI
MI =
2 3
3
R 2
9
4 3
3
m
Vơ nghiệm Vậy có hai điểm M1(0;
7
) M2(0;-7
)2.- (d1) ủi qua ủieồm A(0; 0; 4) vaứ coự vectụ chổ phửụng
u
1
(2; 1; 0)
- (d2) ủi qua ủieồm B(3; 0; 0) vaứ coự vectụ chổ phửụng
u
2
(3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u ; u ] 36 0
1
AB, u , u
1
khõng ủồng phaỳng
Vaọy, (d1) vaứ (d2) cheựo
Goùi MN laứ ủửụứng vuoõng goực chung cuỷa (d1) vaứ (d2)
M (d )
M(2t; t; 4)
,/ /
2
N (d )
N(3 t ; t ; 0)
/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)
Ta coự:
/ / /
1
/ /
2
MN u
2(3 t 2) (t
t) 0
t
1
M(2; 1; 4)
N(2; 1; 0)
t 1
3 t 2t (t
t) 0
MN u
Toùa ủoọ trung ủieồm I cuỷa MN: I(2; 1; 2), baựn kớnh
1
R
MN 2.
2
Vaọy, phửụng trỡnh maởt caàu (S):
2 2
(x 2)
(y 1)
(z 2)
4.
Câu 6b.2b
Xeựt phửụng trỡnh Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = 0
Deó daứng nhaọn thaỏy phửụng trỡnh coự nghieọm Z1 = –1, sau ủoự baống caựch chia thửực ta thaỏy
phửụng trỡnh coự nghieọm thửự hai Z2 = Vaọy phửụng trỡnh trụỷ thaứnh:
(Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = 0
Suy ra: Z3 =
2 i
vaứ Z4 = –2 i
ẹaựp soỏ: