Mô hình dịch bệnh sir ngẫu nhiên

Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuÈn bÞ 1.1 XÝch Markov 1.2 Quá trình khuếch tán Mô tả mô hình 10 2.1 Gi¶ thiÕt 10 2.2 Mô tả mô hình nh- xích Markov 2.3 Xác suất chuyển trạng thái 15 2.4 Tính biến thiên số mắc bệnh khoảng thời gian có bệnh dịch: 12 m« pháng 18 2.5 Xác suất để có cá thể nhiễm bệnh cá thể nhiễm bệnh ban đầu 21 Mô hình khỏi bệnh (R = ) 3.1 23 Số cá thể gặp ngẫu nhiên 24 i 3.2 Số cá thể gặp số cố định 24 3.2.1 Xấp xỉ trình khuếch tán 25 3.2.2 Thời gian đạt tới mét tû lƯ l©y nhiƠm 31 M« hình khỏi bệnh (R < ) 34 4.1 Tác động thay đổi số cá thể tiếp xúc với cá thể ngày 34 4.2 Bất biến tỷ lệ 4.3 Sự phụ thuộc vào xác suất truyền bệnh 41 4.4 Tác động sù thay ®ỉi R 44 39 KÕt ln 46 Tµi liƯu tham khảo 48 ii Mở đầu Bệnh truyền nhiễm vấn đề quan trọng th-ờng nguyên nhân bệnh tật ng-ời chết hàng loạt giới Các bƯnh míi nh- bƯnh vi khn ebola, héi chøng h« hÊp cÊp tÝnh (SARS), cóm gia cÇm, bƯnh sèt West Nile trở nên gay cấn Tệ hại hơn, bệnh đáng l-u ý lịch sử nh- bệnh bạch hầu, bệnh bại liệt tái xuất Bệnh đậu mùa, đ-ợc xem đà bị dập tắt từ nhiều năm tr-ớc, đà quay trở lại có nguy biến thành mẫu thí nghiệm vi khn mµ bän khđng bè sinh häc -a thÝch Vi rút kháng nguyên ng-ời HIV đe dọa trở thành nguyên nhân gây chết ng-ời nhiều bùng nổ bệnh dịch hạch kỷ 14 (có khoảng 25 triệu ng-ời chết Châu Âu thời đó) hay bệnh cúm nguyên nhân làm cho khoảng 20 triệu ng-ời chết đầu kỷ 20 Hơn việc lan truyền dịch bệnh vật nuôi gây hậu kinh tế thảm khốc, chẳng hạn bùng nổ bệnh lở mồm long móng Anh gần Một số mô hình cổ ®iĨn vỊ ®éng häc sù lan trun dÞch bƯnh quần thể th-ờng tất định (xem [3]) Các mô hình phổ biến nh- mô hình ph-ơng trình vi phân SIR (mẫn cảm, mắc bệnh hồi phục) Kecmack McKendrick đà tỏ hữu ích trong việc xác định toàn nhân tố ảnh h-ởng tới tốc độ phát triển quy mô cuối bệnh dịch Tuy nhiên rõ ràng chất hầu hết trình phát triển lan truyền bệnh ngẫu nhiên Mô hình xác suất thật đà có lịch sử thuyết phục vào tr-ớc thời kỳ Bernoulli Chẳng hạn ta xem mô hình xác suất [6, 7, 8] Có vẻ nh- số bệnh không phù hợp với mô hình đ-ợc đơn giản hóa đòi hỏi cần xem xét kỹ khía cạnh chúng chúng có cách truyền bệnh đặc tr-ng, chẳng hạn nh- tr-ờng hợp bệnh sốt rét Chúng ta tiếp cận vấn đề theo t- t-ởng Isham nói mô hình đơn giản nh-ng có ích cho việc tìm đ-ợc nguyên lý quan trọng Do luận văn xem xét mô hình với thời gian rời rạc, mô hình ngẫu nhiên với không gian trạng thái rời rạc Các trạng thái bao hàm yếu tố thực tiễn toán xét, nhvậy mở rộng cho mô hình t-ơng tự tr-ớc Có hai kiểu mô hình ngẫu nhiên cổ điển với thời gian rời rạc, chúng đ-ợc gọi kiểu xích nhị thức Đó mô hình Greenwood mô hình Reed-Frost Chúng đà đ-ợc đề cập đến giảng thống kê sinh học John Hopkins Trong mô hình hệ liên tiếp đ-ợc ®¸nh sè thêi gian t = 0, 1, 2, Trong đó, cá thể nhiễm bệnh gây bệnh cho cá thể mẫn cảm hệ, sau không tham gia vào trình bệnh dịch Giả sử rằng: cỡ quần thể n ( số), số cá thể mẫn cảm thời điểm t X (t), số cá thể mắc bệnh (mới) thời điểm t Y (t); X (t) Y (t) độc lập với Nh- thế, điều kiện ban đầu X (0)+ Y (0) = n, thời điểm X (t + 1) + Y (t + 1) = X (t), t = 0, 1, 2, , lµ sè cá thể lây nhiễm số cá thể mẫn cảm phát sinh hệ t + 1, chúng đ-ợc sinh từ số cá thể mẫn cảm hƯ thø t Do ®ã: t X (t) + Y (j) = n, j=0 t Y (j) lµ toµn thĨ số cá thể mắc bệnh thời điểm t Giả sử số j=0 cá thể nhiễm bệnh thời điểm t + biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số X (t) p (Y (t)) Trong p (Y (t)) xác suất để cá thể mẫn cảm trở thành mắc bệnh số mắc bệnh thời điểm ®ã lµ Y (t) Do ®ã: P (Y (t + 1) = k|X (t) = x, Y (t) = y) = x p(y)k (1 − p (y))x−k , k víi k = 0, 1, 2, , x Trong mô hình Greenwood, p (y) = p lµ mét h»ng sè vµ không phụ thuộc vào số cá thể mắc bệnh y Trong mô hình Reed-Frost ta giả thiết xác suất để cá thể thoát khỏi trạng thái mẫn cảm trở thành mắc bệnh có y cá thể mắc bƯnh lµ: − p (y) = (1 − p)y , p = p (1) xác suất để cá thể mẫn cảm trở thành mắc bệnh cá thể lây nhiễm cụ thể Mô hình Reed-Frost đà đ-ợc sử dụng để phân tích liệu bệnh khuẩn cầu màng nÃo Nó đ-ợc sử dơng réng r·i viƯc ph©n tÝch lan trun bƯnh dịch nông nghiệp nh-: bệnh lở mồm long móng gia súc Nhật, bệnh lao bò sữa Achentina h-ơu Thụy Điển Mặc dù đơn giản rõ ràng, mô hình Reed-Frost không dễ dàng phân tích liệu n lớn, cần phải tìm kiếm ph-ơng pháp xấp xỉ Ví dụ nh- trình phân nhánh giai đoạn đầu xấp xỉ chuẩn cho kích cỡ cuối (tức tổng số cá thể mắc bệnh) bệnh dịch Tuy nhiên Ball O'Neill đà thành công nhờ việc xây dựng trình dịch bệnh theo cách Sellke [20] để tìm thấy phân phối số l-ợng cuối bệnh dịch Chúng ta tiếp tục khảo sát cụ thể mô hình toán học mà liên quan chặt chẽ với số điểm đặc tr-ng truyền bệnh mô hình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Một điều quan tâm đến nhóm cá thể gặp cá thể cho tr-ớc ngày cụ thể Tình thực tế nhóm gồm có số nhóm hạt nhân mà gặp hầu nhhàng ngày Chẳng hạn nh- thành viên gia đình đồng nghiệp Ngoài có nhóm ngẫu nhiên mà số l-ợng thành phần thay đổi ngày Thí dụ, ng-ời gặp chuyến đi; hoạt động khác, nh- kiện thể thao, mua sắm giải trí Một kết thú vị gần đà đ-ợc khám phá cho mô hình có đặc tr-ng nh- vậy, nh-ng ta quan tâm đến mô hình mà số gặp gỡ số cố định cộng số ngẫu nhiên Tất cá thể gặp gỡ đ-ợc chọn ngẫu nhiên phần lại quần thể Điểm đặc tr-ng thứ hai tồn thời kỳ R ngµy sau nhiƠm bƯnh mµ chØ thêi kú cá thể mắc bệnh có khả truyền bệnh cho cá thể mẫn cảm khác Chúng ta đề cập đến vấn đề xác định toàn số cá thể mắc bệnh để bệnh dịch biến quần thể (nếu có thể) Tr-ờng hợp R = đơn giản nhiều, đ-a số ph-ơng pháp phân tích cho tr-ờng hợp xem xét xấp xỉ khuếch tán cho số mắc bệnh nh- hàm ngẫu nhiên thời gian Luận văn gồm ch-ơng: Ch-ơng I: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Bao gồm số định nghĩa trình Markov, xích Markov xích Markov rời rạc, trình khuếch tán số kết trình khuếch tán chiều Ch-ơng II: Mô tả mô hình: đ-a số giả thiết nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên đơn giản SIR, mô tả mô hình nh- xích Markov, phụ thuộc vào xác suất chuyển trạng thái nh- biến thiên cỡ khoảng thời gian có bệnh dịch, xác suất việc v-ợt giới hạn lan truyền ban đầu Ch-ơng III: Mô tả mô hình cá thể đà mắc bệnh khỏi bệnh (R = ) với tr-ờng hợp số cá thể gặp ngẫu nhiên số cá thể gặp số cố định Ch-ơng IV: Mô tả mô hình tr-ờng hợp cá thể đà mắc bệnh khỏi bệnh sau thời gian cố định (R < ): phụ thuộc mô hình vào số cá thể tiếp xúc, bất biÕn tû lƯ, x¸c st trun bƯnh cịng nh- sù thay đổi theo giá trị R Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Hữu D- Ng-ời thầy đà giao đề tài có định h-ớng đắn cho trình hoàn thành khóa luận Nhân đây, gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học đà cung cấp cho kiến thức với lời khuyên bổ ích suốt trình học tập nhà tr-ờng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tổ Seminar Toán sinh thái đà giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, anh chị bạn đồng nghiệp tr-ờng Đại học điều d-ỡng Nam Định giúp đỡ tận tình cổ vị hÕt søc to lín st thêi gian qua Dù đà cố gắng song thời gian kiến thức hạn hẹp nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô bạn góp ý để tiến Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Bích Ngọc Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Xích Markov Xét không gian đo đ-ợc (X, B) cho tất tập điểm đo đ-ợc trình ngẫu nhiên t, t T R nhận giá trị không gian pha (X, B) Ký hiÖu F=t = σ{ξt } = t1(B) = {t1 (B), B B} đại số tại t T-ơng tự nh- F≤t = σ{ξs , s ≤ t}, F≥t = σ{ξs , s t} t-ơng ứng đại số khứ tr-ớc thời điểm t t-ơng lai sau t Quá trình ngẫu nhiên t, t T R đ-ợc gọi Markov t T, A Ft , B Ft , hầu ch¾n ta cã P(AB|F=t ) = P(A|F=t )P(B|F=t ) Hay nói cách khác: Quá trình Markov trình t-ơng lai khứ độc lập ta biết đ-ợc Nếu biểu thị điều thời gian, trình, t-ơng lai phụ thuộc vào khứ thông qua Nếu tập T tập hợp số nguyên (hay nguyên d-ơng) - tức ta xét dÃy biến ngẫu nhiên- trình Markov đ-ợc gọi xích Markov Nếu không gian pha (không gian trạng thái) X xích Markov tập hữu hạn hay đếm đ-ợc (còn đại số B tất nhiên đại số tất tập nó) đ-ợc gọi xích rời rạc; xích hữu hạn (có không gian pha hữu hạn) đ-ợc tách khỏi lớp xích rời rạc đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu mô hình Giả thiết T = R Ký hiệu D tập hợp hàm hàm số đo đ-ợc giới nội xác định X Toán tử tuyến tính L : D D đ-ợc gọi toán tử cực vi trình Markov t t f (ξt ) − Lf (ξs)ds lµ mét martingale víi f D(L) Trong đó, D(L) miền xác định toán tử A 1.2 Quá trình khuếch tán Trong mục nhắc lại khái niệm số tính chất trình khuếch tán chiều Định nghĩa 1.2.1 (Quá trình khuếch tán) Ta gọi họ Markov (t , Px) không gian pha (Rr , B r ) trình khuếch tán Rr , a) Tập xác định toán tử cực vi chứa tất hàm có giá hữu hạn khả vi liên tục hai lần tồn hàm vector (bi (x)) hàm ma trận đối xứng (aij (x)) xác định không âm với x, cho víi f ∈ C2 r ∂ 2f (x) ij Af (x) = Lf (x) ≡ a (x) i j + i,j=1 ∂x ∂x r bi (x) i=1 ∂f (x) ∂xi b) Mäi quü đạo liên tục Toán tử vi phân L gọi toán tử sinh trình khuếch tán Cho I = (l, r) khoảng mở R1 (−∞ ≤ l < r ≤ ∞) Cho σ (x) b (x) hàm đủ trơn nhận giá trị thực I cho (x) > với x I Giả sử ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên dX (t) = (X (t)) dB (t) + b (X (t)) dt X (0) = x ∈ I cã mét nghiƯm nhÊt lµ X x (t) xác định khoảng [0, e) với e lµ thêi gian bïng nỉ cđa nghiƯm: e = lim τn , ®ã τn = inf {t; X x (t) ∈ / [an, bn ]} n↑∞ (an , bn (n = 1, 2, ) đ-ợc chọn cho l < an < bn < r vµ an ↓ l; bn ↑ r) Chóng ta cã thĨ thÊy r»ng lim X x (t) tồn l r tập te {e < } giá trị hữu hạn Trong tr-ờng hợp này, định nghĩa X x (t) giới hạn cho t ≥ e Cho WI lµ tËp tÊt đ-ờng cong liên tục w : [0, ) −→ [l, r] cho: w (0) ∈ I vµ w (t) = w (e (w)) víi ∀t ≥ e (w) := inf {t; w (t) = l hay e (w) đ-ợc gọi thời gian bùng nổ đ-ờng w Khi đó: X x = {X x (t)} biến ngẫu nhiên WI -giá trị biến thiên víi e [X x ] = e (tøc lµ X x (ω) = X x(·, ω) ∈ WI , ω ) Cho Px quy luật xác suất WI X x Chúng ta thấy {Px} đ-ợc định nghĩa trình ngẫu nhiên I Nó đ-ợc gọi L-khuếch tán tối thiểu, toán tử L đ-ợc định nghĩa bởi: d2 d L = σ (x) + b (x) dx dx r} Hình 4.3: Đ-ờng đồ thị minh họa phụ thuộc trung bình toàn cỡ dịch bệnh SIR vào số cá thể tiếp xúc với cá thể ngày N , cho thêi gian håi phơc lµ R = 1, 2, ngày thời gian hồi phục Nh-ng điều đáng ý có thay đổi lớn cỡ khác bệnh dịch giá trị trung gian N (4, 5, 6) , chẳng hạn nh- tăng thời gian hồi phục từ tíi 4.VÝ dơ, cã c¸ thĨ tiÕp xúc với cá thể ngày, trung bình tổng số mắc bệnh khoảng R = nh-ng khoảng 120 R = 4; t-ơng tự với N = trung bình tổng số mắc bệnh 20 R = nh-ng gần 160 R = Hình 4.4 biểu thị khoảng thời gian có dịch bệnh t-ơng ứng từ kết h×nh 4.3 Cho R = 1, cã Ýt sù thay đổi khoảng thời gian có dịch bệnh tăng dần số cá thể tiếp xúc với cá thể ngày Khi R = khoảng thời gian có dịch bệnh tăng nhanh đạt đ-ợc số lớn (biểu thị hình N = 9) sau giảm xuống giá trị chung N Khi R = khoảng thời gian có dịch bệnh lớn đạt đ-ợc có tiếp xúc ngày với cá thể 37 Hình 4.4: Đ-ờng đồ thị biểu thị phụ thuộc trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh SIR vào biến thiên số cá thể tiếp xúc với cá thể ngµy N , cho thêi gian håi phơc R = 1, 2, Kết hình 4.3 cho thấy số cá thể tiếp xúc với cá thể ngày nhỏ (ít tiếp xúc ngày với cá thể) có lợi ích việc giảm R Một kết luận t-ơng tự N lớn (lớn tiếp xúc ngày với cá thể) Tại giá trị trung gian số cá thể tiếp xúc với cá thể ngày, muốn giảm nhanh tổng số cá thể mắc bệnh ta thực đ-ợc cách giảm thời gian phục hồi (cũng thời kỳ lan truyền) Điều có đ-ợc can thiệp d-ợc lý điều trị khác làm cho khỏi bệnh nhanh chóng hay sách xà hội đà hạn chế l-u thông cá thể mắc bệnh, đà giảm đáng kể giá trị R và/ N 38 4.2 Bất biến tỷ lệ Một khía cạnh quan trọng mô hình muốn biết phát triển bệnh dịch thay đổi định tính định l-ợng có thay đổi cỡ toàn quần thể Mặc dù cỡ quần thể nhỏ bầy động vật riêng biệt chí biệt lập khu định c- loài ng-ời, quần thể thành thị th-ờng số lớn nhiều Sự mô quần thể lớn nh- với mô hình mô hình t-ơng đối hợp lý th-ờng tốn nhiều thời gian điều quan trọng kết cho quần thể t-ơng đối nhỏ sử dụng cho mô hình lớn không Hình 4.5: Kết cho mô hình ngầu nhiên SIR biểu quan hệ bất biến trung bình tỷ lệ mắc bệnh cuối với tỷ lệ mắc bệnh ban đầu cỡ quần thể Cho giá trị tham số đ-ợc nhìn thấy hình Hình 4.5 biểu thị kết cho tỷ lệ mắc bệnh cuối quần thể, cho cỡ quần thể n = 100, 500 1000, cho giá trị khác tỷ 39 Hình 4.6: Một đ-ờng biểu diễn phụ thuộc trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh mô hình ngẫu nhiên rời rạc SIR vào tỷ lệ mắc bệnh ban đầu với cỡ quần thể khác Giá trị tham số đà cho nh- hình tr-ớc lệ mắc bệnh ban đầu quần thể Những kết nhận đ-ợc số tiếp xúc với cá thể đơn vị thời gian ngẫu nhiên, với phân bố d-ới Tham số giữ nguyên cho thí nghiệm, thời gian hồi phục R = ngày, xác suất để cá thể mắc bệnh tiếp xúc cá thể mẫn cảm với cá thể mắc bệnh p = 0, 1; số cá thể tiếp xúc với cá thể tất + U U đ-ợc phân bố [0, 1, , , 10] Kết đ-ợc tính trung bình 50 thí nghiệm thấy cho quần thể khác có khác đáng kể tỷ lệ mắc bệnh cuối tỷ lệ mắc bệnh ban đầu nhỏ (< 0, 02) , nh-ng chØ qn thĨ cã cì nhỏ 500 Mặt khác tỷ lệ mắc bệnh cuối gần nh- (cho 500, 1000) tăng tăng tỷ lệ mắc bệnh ban đầu Ngoài tỷ lệ mắc bệnh ban đầu 0, 02, tỷ lệ 40 mắc bệnh cuối hầu nh- không phụ thuộc vào cỡ quần thể cho tất giá trị đ-ợc tính toán đến Trung bình cho khoảng thời gian có dịch bệnh biểu diễn hình 4.6 nh- hàm tỷ lệ mắc bệnh ban đầu, cho tập cỡ quần thể tham số đà cho nh- hình 4.5 Có phụ thuộc chặt chẽ vào cỡ quần thể khoảng thời gian có dịch bệnh tỷ lƯ m¾c bƯnh ci cïng Khi tû lƯ m¾c bƯnh ban đầu nh- nhau, tăng cỡ quần thể lên trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh tăng Có thể giải thích d-ới dạng số hoạt ®éng tiÕp xóc hiƯu qu¶ Gi¶ sư r»ng cì cđa quần thể n, tỷ lệ mắc bệnh ban đầu p1 tỷ lệ mắc bệnh cuối p2 , giả sử ta xem xét vấn đề cho tập khác n Số tr-ờng hợp là: n(p2 p1 ) nghĩa số cá thể mắc bệnh cho n = 1000 lín h¬n rÊt nhiỊu n = 100 điều dĩ nhiên lớn nhiều so với p1 cho n cố định 4.3 Sự phụ thuộc vào xác suất truyền bệnh Trong phần đ-a số kết từ việc nghiên cứu tính chất bệnh dịch phụ thuộc nh- vào xác suất truyền bệnh p tiếp xúc cá thể mẫn cảm với cá thể mắc bệnh Hình 4.7, đồ thị biểu thị trung bình số cuối tr-ờng hợp, lấy 50 thí nghiệm, cho quần thể cỡ 500 với cá thể mắc bệnh ban đầu Có tập kết cho giá trị thời gian håi phơc lµ R = 1, 2, vµ Số tiếp xúc ngày với cá thể đ-ợc phân bố tập số nguyên 15 41 Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc vào p cỡ trung bình cuối trình truyền bệnh quần thể cỡ 500 với cá thể mắc bệnh ban đầu cho giá trị khác thời gian hồi phục R = 1, 2, mà ghi đ-ờng cong Khi thời gian hồi phục R = ngày, (nhìn đ-ờng cong màu xanh), cá thể mắc bệnh có khả truyền bệnh thời gian ngắn, tỷ lệ trung bình quần thể trở thành mắc bệnh 50% đến tận giá trị p đạt mức cao, giá trị khó xảy p = 0, 15, sau tỷ lệ trung bình quần thể trở thành mắc bệnh tăng tới gần 100% Khi cá thể mẫn cảm có khả nhiễm bệnh vòng ngày, hầu nhtoàn quần thể bị nhiễm bệnh p > 0, 02 có 50% quần thể trở thành mắc bệnh p = 0, 05 Một khía cạnh đ-ợc quan tâm đặc biệt thay đổi trung bình số cuối tr-ờng hợp R thay đổi Ví dụ: p = 0, 1; cho thêi gian håi phôc R = 2, trung bình số mắc bệnh cuối gần 400 Trái lại R = 1, trung bình số mắc bệnh cuối 50, R = trung bình số mắc bệnh cuối gấp lần tr-ờng hợp R = 42 Điều quan trọng việc giảm thiểu hậu bệnh dịch vấn đề ng-ời mà vấn đề kinh tế Số trung bình tr-ờng hợp giảm không cách giảm xác suất truyền bệnh p mà giảm nhanh cách giảm R Trong thực tế, giảm R thực cách nắm đ-ợc cá thể mang bệnh, cách ly khỏi quần thể sớm tốt, tr-ớc chúng truyền bệnh cách sử dụng thuốc điều trị nhanh khỏi bệnh Hình 4.8: Đồ thị biểu thị phụ thuộc vào xác suất mắc bƯnh p mét sù tiÕp xóc cđa c¸ thĨ mẫn cảm với cá thể mắc bệnh trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh với quần thể có cỡ 500 với cá thể mắc bệnh ban ®Çu, cho thêi gian håi phơc R = 1, 2, Trong hình 4.8 biểu diễn phụ thuộc vào p trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh, cho tập tham số nh- hình 4.7 Cho giá trị tập R, trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh lớn đạt đ-ợc giá trị cụ thể p, khoảng 0, 05 R = 2, và khoảng 0, R = Trung bình khoảng thời gian có dịch bệnh phụ 43 thuộc đáng kể vào p p biến thiên từ tíi 0, 2, nhÊt lµ R = vµ R = 4, nh-ng nã kh«ng phơ thc nhiỊu p lớn 0, 4.4 Tác động thay đổi R Hình 4.9: Đồ thị biểu diễn trung bình toàn cá thể mắc bệnh so với thời gian hồi phục với giá trị khác xác suất mắc bệnh tiếp xúc cá thể mẫn cảm với cá thể mắc bƯnh Trong h×nh 4.9 chóng ta minh häa sù phơ thuộc trung bình tổng số tr-ờng hợp vào thời gian hồi phục R, cho giá trị khác xác suất mắc bệnh p Dữ liệu giống nh- hình 4.7 hình 4.8 nh-ng đ-ợc vẽ khác Khi xác suất mắc bệnh p 0, gần nh- toàn quần thể mắc bệnh bất chấp độ dài khoảng thời gian hồi phục Hơn nữa, xác suất mắc bệnh p = 0, 02 số cá thể mắc bệnh nhỏ chí kể thời gian hồi phục dài ngµy Nh- vËy sù phơ thc vµo R lµ p nhỏ lớn Bởi vậy, giá trị trung gian 44 p, tăng R trung bình toàn tr-ờng hợp tăng nhanh chóng Do đó, giá trị p, giảm thời gian lây nhiễm có tác dụng to lớn việc ngăn chặn dịch bệnh 45 Kết luận Chúng ta đà thiết lập mô hình ngẫu nhiên đơn giản lan truyền bệnh toàn quần thể có cỡ cố định Thời gian rời rạc cá thể gặp số cố định cộng với số ngẫu nhiên cá thể khác ngày Mô hình xích Markov phần đà đặc tr-ng đ-ợc bệnh dịch cách thực tế mô hình rời rạc cổ điển ví dụ nh- mô hình Reed-Frost mà th-ờng đ-ợc phân tích truyền bệnh nông nghiệp Chúng ta đà đề cập đến tr-ờng hợp mà có vài cá thể mắc bệnh ban đầu Bằng ph-ơng pháp phân tích mô phỏng, xét xem tham số mô hình tác động nh- tới tiến trình lan truyền bệnh, kết cuối toàn cá thể mắc bệnh khoảng thời gian có bệnh dịch Ngoài từ điều kiện ban đầu có yếu tố thay đổi: n (cỡ quần thể) , p (xác suất mắc bệnh cá thể mẫn cảm), R (số ngày mà cá thể trì nhiễm bệnh) tËp Ni (i = 1, 2, , n), (ë ®ã Ni số ngẫu nhiên cá thể tiếp xúc với cá thể i ngày); Ni đ-ợc cấu thành từ yếu tố cố định yếu tố ngẫu nhiên Mức độ bất biến tỷ lệ đà cho thấy tỷ lệ mắc bệnh cuối phụ thuộc vào tỷ lệ mắc bệnh ban đầu phụ thuộc tuyệt đối vào cỡ truyền bệnh Điều đ-ợc làm sáng tỏ việc nhận thấy cá thể mắc bệnh ban đầu hay nhiều bắt đầu trình truyền bệnh độc lập với cá thể mắc bệnh khác Một biểu thức gần mà ta dễ dàng thu đ-ợc từ xác suất để có cá thể mắc bệnh sau thời điểm t = Chóng ta cã thĨ thÊy r»ng cã mét giao động đáng kể số cá thể mắc bệnh ban đầu có khả làm phát sinh ổ dịch nhỏ tham số đà cho, với xác suất mắc bệnh nhỏ, gây 46 ổ dịch lớn, nh- đà thấy hình 2.1 Khoảng thời gian trun bƯnh t-¬ng øng cịng biĨu hiƯn sù biÕn thiên lớn Tr-ờng hợp R = biểu thức xấp xỉ khuếch tán thu đ-ợc từ số cá thể mắc bệnh nh- hàm thời gian, dẫn đến biểu thức logistic cho trung bình số cá thể mắc bệnh Trong phần 4.1; 4.3 4.4 sử dụng mô phỏng, khảo sát theo trung bình, tác động thay đổi số tiếp xúc ngày, xác suất mắc bệnh độ dài thời gian hồi phục Điều đáng ý trung bình khoảng thời gian có bệnh dịch lớn xảy tỷ lệ tiếp xúc xác suất mắc bệnh tăng, giảm mạnh cỡ bệnh dịch thời gian hồi phục giảm cho số miền, nh-ng tất tham số khác Những phát ứng dụng thực tế đ-a yếu tố mà điều khiển đ-ợc kích cỡ khoảng thời gian có bệnh dịch có tác dụng nguồn lực kinh tế Cần nhiều mô để nghiên cứu trọn vẹn nhân tố liên quan, phân tích tiềm hữu ích to lớn nh- so sánh với kết mô hình với mô hình ph-ơng trình vi phân mô hình Reed-Frost, khía cạnh đ-ợc đề cập đến t-ơng lai 47 Tài liệu tham khảo [1] E.H Kaplan, D.L Craft, LM Craft, L.M Wein, Emergency response to a smallpox attack: the case for mass vaccination, Proc Natl Acad Sci USA 99 (2002) 10935 [2] R.M Anderson, R.M May, Infectious Diseases of Humans, OUP, Oxford,1992, [3] H W Hethcote, The mathematics of infectious disease, SIAM Rev, 42 (2002) 599, [4] W O Kermack, A G McKendrick, A contribution to the mathematical theory of epidemics part I, Proc Roy Soc Lond A115 (1927) 700 [5] D Bernoulli, Essai d'une nouvelle de la mortalite' cause'e par la petite ve'role, et des avantages de I'Inoculation pour la pre'venir, Me'm Math Phys Acad Roy Sci (1760) [6] N T J Bailey, The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications, Griffin, London, 1975 [7] O Diekmann, J A P Heesterbeek, Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases, Wiley, Chichester, 2000 48 [8] V Isham, "Stochastic models for epidemics: current isues and developments, in: Celebrating Statistics: Papers in honor of Sir David Cox on his 80th birthday", Oxford University Press, Oxford, 2005 [9] M Greenwood, On the statistical measure of infectiousness, J Hyg Camb, 2005 [10] H Abbey, An examination of the Reed-Frost theory of epidemics, Hum Biol 24 (1952) 201 [11] J Ranta, P.H Makela, A Takala, E Arjas, Predicting the course of meninggococcal diease outbreaks in closed subpopulations, Epidemiol Infect 123 (1999) 359 [12] T Tsutsui, N Minamib, M Koiwai, T Hamaokaa, I Yamanea, K Shimura, A stochastic-modeling evaluation of the foot-and-mouthdiease survey conducted after the outbreak in Miyazaki, Japan in2000, Prev Vet Med 61 (2003) 45 [13] A.M Perez, M P Ward, V Ritacco, Simulation-model evaluation of bovine tuberculosis-eradication strategies in Argentine dairy herds, Prev Vet Med 54 (2002) 351 [14] A.M Perez, M P Ward, A Charmandarian, V Ritacco, Simulation model of within-herd transmission of bovine tuberculosis in Argentine dairy herds, Prev Vet Med 54 (2002) 361 [15] H Wahlstrom, L England, T Carpenter, U Emanuelson, A Engvall, I Vagsholm, A Reed-Frost model of the Spread of tuberculosis within seven Swedish extensive farmed fallow deer herds,Prev Vet, Med 35 (1998) 181 49 [16] A.D Barbour, S Utev, Approximating the Reed-Frost epidemic process, Stoch Proc Appl 113 (2004) 173 [17] F G Ball, O D Lyne , Optimal vaccination policies for stochastic epidemics among a population of households, Math Biosci 177,178 (2002) 333 [18] S N Ethier, T.G Kurtz, Markov Processes, Characterization and Convergence, Wiley, New York, 1986 [19] F.G Ball, P O'Neill, The distribution of general final state random variables for stochastic epidemic models, J Appl Prob 36 (1999) 473 [20] T Sellke, On the asymptotic distribution of the size of a stochastic epidemic, J Appl Prob 20 (1983) 390 [21] C Lefevre, P Picard, A non-standard familyof polynomials and the final-size distribution of Reed-Frost epidemic processes, Adv Appl Prob.22 (1990)25 [22] J Ng, E J Orav, A generalized chain-binomial model with application to HIV infection, Math Biosci 101 (1990) 99 [23] P Neal, Compound Poisson limits for household epidemics, J Appl Prob 42 (2005) 334 [24] H C Tuckwell, Elementary Applications of Probability Theory: An Introduction to Stochastic Differential Equations, Chapman Hall, London, 1995 [25] Henry C Tuckwell, Ruth J Wiliams Some properties of a simple stochastic epidemic model of SIR type 50 [26] A.D.Ventxel Giáo trình lý thuyết trình ngẫu nhiên Nhà xuất "Mir" - Maxcơva - Liên Xô Bản dịch Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội - ViÖt Nam [27] Nobuyuki IKEDA, Shinzo WATANABE The Theory of Stochastic Processes Osaka and Kyoto, February 1980 51 ... II: Mô tả mô hình: đ-a số giả thiết nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên đơn giản SIR, mô tả mô hình nh- xích Markov, phụ thuộc vào xác suất chuyển trạng thái nh- biến thiên cỡ khoảng thời gian có bệnh. .. quy mô cuối bệnh dịch Tuy nhiên rõ ràng chất hầu hết trình phát triển lan truyền bệnh ngẫu nhiên Mô hình xác suất thật đà có lịch sử thuyết phục vào tr-ớc thời kỳ Bernoulli Chẳng hạn ta xem mô hình. .. toán xét, nhvậy mở rộng cho mô hình t-ơng tự tr-ớc Có hai kiểu mô hình ngẫu nhiên cổ điển với thời gian rời rạc, chúng đ-ợc gọi kiểu xích nhị thức Đó mô hình Greenwood mô hình Reed-Frost Chúng đÃ