Mô hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên

Trong bài báo này, chúng tôi sẽ sử dụng công cụ của lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên để phân tích chi tiết mô hình tăng trưởng kinh tế Solow và nghiên cứu chuyển động đồng thời của nhiều quỹ đạo của các quá trình tiến hóa theo thời gian trong mô hình tăng trưởng kinh tế Solow.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 MƠ HÌNH TĂNG TRƢỞNG SOLOW NGẪU NHIÊN Hồng Diệu Hồng1 TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi sử dụng công cụ lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên để phân tích chi tiết mơ hình tăng trưởng kinh tế Solow nghiên cứu chuyển động đồng thời nhiều quỹ đạo trình tiến hóa theo thời gian mơ hình tăng trưởng kinh tế Solow Từ khóa: Hàm phi tuyến, nhiễu, quỹ đạo, dáng điệu dài hạn quỹ đạo ĐẶT VẤN ĐỀ Tăng trƣởng kinh tế mục tiêu tất quốc gia Mơ hình kinh tế Solow đƣa để giải thích tăng trƣởng kinh tế dài hạn cách nghiên cứu q trình tích lũy vốn, lao động tăng trƣởng dân số gia tăng suất lao động Mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow có ý nghĩa quan trọng kinh tế Việt Nam thời kỳ độ lên chủ nghĩa xã hội Trong giai đoạn này, đóng góp vốn vào tốc độ phát triển kinh tế hay tăng trƣởng kinh tế đáng kể Trong mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow công nghệ đƣợc coi biến ngoại sinh, phù hợp với thực trạng kinh tế Việt Nam từ trƣớc đến chủ yếu nhập cơng nghệ từ nƣớc ngồi Mặt khác, mơ hình cịn đƣa phƣơng pháp hoạch tốn tăng trƣởng, cho phép xác định tính tốn đóng góp yếu tố đầu vào đƣợc sử dụng Nhƣ vậy, sử dụng phƣơng pháp để xác định, tính tốn, đánh giá vai trị nguồn tăng trƣởng kinh tế Việt Nam Chính mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow đƣợc lựa chọn làm sở lý thuyết cho việc xác định, đánh giá vai trò nguồn lực tăng trƣởng kinh tế Việt Nam Mục tiêu báo sử dụng công cụ lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên để phân tích chi tiết mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow Điểm mấu chốt thay nghiên cứu quỹ đạo ta nghiên cứu chuyển động đồng thời nhiều quỹ đạo trình tiến hóa theo thời gian mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Sự tăng trƣởng kinh tế Xét kinh tế bao gồm gia đình cơng ty đồng nhƣ Bởi vậy, cá thể coi nhƣ giá đƣợc biết họ tiêu thụ, đầu tƣ, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 95 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 định sản xuất Có sản phẩm kinh tế, mà đƣợc tiêu thụ sử dụng nhƣ đầu vào sản xuất Hai nhân tố tiền vốn nhân công cần phải có cho q trình sản xuất Cơng nghệ đƣợc miêu tả hàm sản xuất Yt  F ( Kt , Lt , zt , at ) Trong K t Lt tiền vốn nhân công thời điểm t; zt , at độ đo suất lao động trạng thái tiến công nghệ; Lt , zt , at biến ngẫu nhiên Với zt , at Yt đầu tổng hợp thời điểm t với điều kiện K t vốn Lt nhân công đƣợc sử dụng trình sản xuất Ta giả thiết với cặp ( zt , at ) hàm Yt tân cổ điển tuyến tính Hàm sản xuất F đƣợc gọi tân cổ điển đƣa đại lƣợng dƣơng giảm dần sản phẩm thặng dƣ, tức d K F  0, d KK F  0, d L F  0, d LL F  0, Thuần tuyến tính, nghĩa  F ( K , L, z, a)  F ( K ,  L, z, a),   Chúng ta giới hạn phân tích cho cơng ty điển hình Giả sử kinh tế đóng, tức vốn đầu tƣ thời điểm t+1 nguồn tài sản chƣa tiêu thụ giai đoạn trƣớc Quy luật vận động tiền vốn đƣợc cho công thức (2.1) Kt 1  F ( Kt , Lt , zt , at )  (1  t ) Kt  Ct Trong đó,  t tốc độ giá vốn đầu tƣ thời điểm t Ct tổng hợp tiêu thụ thời điểm t Trong (2.1), ta giả thiết tổng mức đầu tƣ tổng tiết kiệm hộ gia đình Cơng ty xác nhận nhu cầu họ vốn sức lao động cách tối đa hóa lợi nhuận vào thời kỳ Giả thiết thị trƣờng cạnh tranh hoàn hảo, tiền vốn sức lao động thu đƣợc từ sản phẩm thặng dƣ họ trạng thái tự nhiên, tức là: rt  d K F ( Kt , Lt , zt , at ) , wt  d L F ( Kt , Lt , zt , at ) , Trong đó, biến ngẫu nhiên rt , w t ký hiệu lãi suất thực tiền lƣơng thực 2.2 Mơ hình Solow ngẫu nhiên Trong mơ hình tăng trƣởng giả sử dáng điệu hộ gia đình đƣợc miêu tả tiêu thụ phần  st tổng sản phẩm giai đoạn Ta cịn giả thiết thêm hộ gia đình khơng bị thiếu tiện ích cơng việc sản xuất đƣợc sử dụng hết nhân cơng họ Ta đƣa giả thiết cụ thể nhƣ sau: Hàm sản xuất đƣợc cho công thức F ( Kt , Lt , zt , at )  g ( z ) F ( K , aL) 96 (2.2) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Trong đó, g hàm đo đƣợc, F hàm tân cổ điển Điều có nghĩa tiến kỹ thuật bổ sung cho nhân công biến động sản xuất tham gia vào hàm sản xuất cách nhân tính Sự tiến hóa nhân cơng có kỹ thuật, at Lt đƣợc cho at 1Lt 1  (1  n1 )at Lt biến ngoại sinh (nt ,  t , st g ( zt )) đƣợc mô tả trình ergodic Giả thiết khả tiêu thụ hộ gia đình tƣơng thích với giả thiết vốn tƣ không khả nghịch, tức sản lƣợng giai đoạn tiêu thụ vốn tƣ mà không giá khơng thể tiêu thụ đƣợc K Ta định nghĩa vốn tƣ cho lao động có kỹ thuật k1  , đƣợc a1 L1 gọi cƣờng độ vốn tƣ Với giả thiết trên, từ (3.1) ta có quy tắc ngẫu nhiên cho cƣờng độ tiền vốn nhƣ sau Kt 1 (1   t ) Kt  st g ( zt ) F ( K t , at Lt ) kt 1   at 1 Lt 1 (1  nt )at Lt  (1   t )kt  st g ( zt ) f (kt ) (1  nt ) Ở f (k ) : F (k ,1) Hàm f(k) hàm sản xuất tân cổ điển Giả sử (, F , P, ) hệ động lực ergodic;  ,  , n biến ngẫu nhiên cho  ( t ) tốc độ giá,  ( t ) f (kt )  phần tổng sản phẩm đƣợc giành cho đầu tƣ, n( t ) tốc độ tăng trƣởng lao động có kỹ thuật Với trạng thái ban đầu k0 cho trƣớc cƣờng độ tiền vốn, tiến hóa ngẫu nhiên cƣờng độ tiền vốn đƣợc cho phƣơng trình sai phân ngẫu nhiên (1   ( t ))kt   ( t )) f (kt ) kt 1  (2.3)  nt ( t ) Phƣơng trình (2.3) đƣợc gọi mơ hình Solow ngẫu nhiên Nó sinh hệ động lực ngẫu nhiên R ta đặt điều kiện thích hợp lên tham số Định nghĩa Mơ hình Solow ngẫu nhiên đƣợc cho công thức (1   ( t ))kt   ( t )) f (kt ) kt 1   h( t, kt ) t  nt (  ) (2.4) Ở đây, kt cƣờng độ vốn tƣ (tiền vốn cho ngƣời làm việc giai đoạn t) Phƣơng trình (2.4) phƣơng trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến mơ tả tiến hóa ngẫu nhiên cƣờng độ tiền vốn kt theo thời gian t Hàm f : R   R hàm tân cổ điển Các trình  ( t ),  ( t ), n( t ) q trình ergodic, mơ hình biến động dừng tỷ lệ giá, tỷ phần đầu tƣ tổng sản phẩm tỷ lệ phát triển 97 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 dân cƣ Tỷ phần đầu tƣ tổng sản phẩm  ( t ) f (k1 ) mô tả tỷ lệ tích lũy ngẫu nhiên biến động nhân tính kỹ thuật Trƣờng hợp f (0)  tƣơng ứng với kinh tế mà khơng thể sản xuất sản phẩm khơng có vốn Trƣờng hợp f (0)  sản xuất sản phẩm với nhân công đầu vào Trạng thái trạng thái bất động dãy biến động ngẫu nhiên f (0)  Khi  ()   ,  ()   , n()  n , (2.4) mơ hình Solow tất định Mệnh đề [3] Giả sử f hàm dương tăng dần, lõm chặt có đạo hàm liên tục R Nếu   n  0, s  f thỏa mãn điều kiện Inada  lim f ' (k )  k   n  lim f ' (k )   , k 0 s mơ hình Solow tất định có điểm bất động không tầm thường k ( , n, s) Điểm bất động ổn định hút toàn cục R Nếu f (0)  không cần đặt điều kiện lên lim f ' (k ) k ( , n, s) hút toàn cục R k 0 2.3 Định lý điểm bất động ngẫu nhiên Định lý trƣờng hợp định lý điểm bất động Banach cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến Cho G( )  Rd ,  , tập ngẫu nhiên, tức G( ) tập đóng hầu chắn { G( ) U   } đo đƣợc với tập mở U Trong báo này, xét biến ngẫu nhiên g ( ) với giá trị G( ) Giả sử  hệ động lực ergodic Khi quỹ đạo g ( t ), t  Z , biến ngẫu nhiên: g :   Rd tăng nhanh hàm số mũ Tức limsup log  g ( t ) t t  Hoặc tăng chậm hàm số mũ: (tức limsup log  g ( t ) t  t   hầu chắn  hầu chắn) g đƣợc gọi tempered nếu: lim e t g ( t )  với   t  H:={ Tất biến ngẫu nhiên tempered g ( ) thỏa mãn g ()  G() } Tính tempered yếu tính khả tích Định lý Cho  hệ động lực ngẫu nhiên ánh xạ x (1, ,x ) khả vi liên tục hầu chắn  ergodic Giả sử tồn tập ngẫu nhiên G( ),   cho H tập không rỗng thỏa mãn: 1) (1, 1, g ( 1))  H  g  G 2) sup log d x(1, , x)  C ( x) EC ( x)  xG ( ) 98 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 3) Nếu với g  H mà có (1, 1, g ( 1 )) dãy Cosi với   ,giới hạn dãy thuộc H Khi tồn biến ngẫu nhiên g   H hầu chắn cho (a) (1, , g  ())  g  ( ) (b) lim (t , , g ( ))  g  ( t)  g  H t  (c) g  ( ) ác định Các điều kiện 1), 3) điều kiện tính bất biến, tính co trung bình tính đầy đủ Kết luận khẳng định tồn điểm bất động ngẫu nhiên g  mà có H tập miền hút Với nhiễu tầm thƣờng định lý định lý Banach điểm bất động ánh xạ khả vi Dáng điệu dài hạn quỹ đạo với giá trị khởi đầu g ()  G() hoàn toàn xác định quỹ đạo g  ( t ) Trong trƣờng hợp đặc biệt ta có: t 1 t 1  s  ( s ,  , g (  ))  lim g (  )  Eg  ,   t  t t  t s 0 s 0 lim Và nhƣ số hầu chắn g  khả tích Nếu g  ( )  tốc độ tăng trƣởng  g ( )   g  ( )  g  ( ) tempered, g  ( ) Do tính tempered g  E log(1   g  ())  log g  khả tích Chứng minh Với   , g1  H, g2  H ,  i0 (,  ,g1 ,g ) cho với i  i0 d ((i, i, g1 ( i)), (i, i, g2 ( i)))  d ((1, 1, (i  1, i, g1 ( i )), (1, 1, (i  1, i, g2 ( i ))))  ek ( 1 ) d 1 ((i 1, i,g1 ( i )), (i 1, i,g ( i ))) i ( )Ki  exp( k (  j )d  i (g1 ( i )), g ( i ))  e   (*) j 1 Do tính tempered   d ( g1 ( ),g ( )) Từ (*) suy d ((i, i, g ( i)), (i 1, i 1, g ( i 1 ))) i  exp( k (  j ))d  i (g( i ), (1, i 1, g( i 1 ))) (**) j 1 Với  t  t1 (*), (**), ta có 99 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 [t] d ((t, t, g ( t )), (t1 , t1, g ( t1)))  exp( k (  j )) j 1  d [t] ((t  [t], t [t] [t], g ( t [t] [t] )), (t1  [t], t1 [t] [t], g ( t1 [t] [t] ))) [t]  exp( k (  j ))  d [t] ((t  [t], t [t] [t], g ( t [t] [t] )), g ( t )) j 1  [t1 ]-[t]-1  j 0 d [t] (( j, t [t], g ( t  j )), ( j  1, t  j 1, g ( [t]-j-1 ))), ( j  1, [t ] j 1, g ( [t]-j-1 )))  d [t] (([ t1 ]  [t], [t1 ], g ( [t1 ])), (t1  [t], t1 [t] [t], g ( t1 [t] [t])))) Đặt i  [t] , h( ) : sup d ((s,   s,g(  s)),g())) s[0,1] Với t1  t , d ((t, t, g ( t )), (t1 , t1, g ( t1))) i  m j 1 m0 j 1  exp( k (  j ))  (exp( k ( i  j )l ( i m )  M M hữu hạn với t  tính tempered h( ) m  k ( i  j  )  Kn  , i  Z  j 1 Ta chứng minh M  0, i   Với   có i0 ( ,  ) cho  i  i0 ( ,  ) log  h( i )   i, i  (k( j  )  K)   i j 1 Cho a > bất kỳ, chọn a     max(- ,K) Vì  a  i  m m 0 j 1   (exp( k (  ))h( i j  i m  ))   e m   , nên m 0  m m 0 j 1 lim e a.i   (exp( k ( i j ))h( im ))  0, i  i0 i  m m 0 j 1  (exp( k (  ))h( im ) tempered i j Từ M  0, i   Nên (t, t,g( t )) dãy Cauchy, giới hạn đƣợc ký hiệu g  ( ) g   H 100 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Do tính liên tục  (1, ,g* ())  (1, , lim((t, t ,g( t))) x   lim (t  1, ,g ( t 1))  g* ()  t 1 x  * Vậy: (1, ,g* ( ))  g* ( )  t lim (t , , g ( ))  g (  )  t  g  H Tính g  ( ) : Giả sử tồn hai điểm bất động g1 , g2  H Từ (*) ta có g1 ( )  g2 ( ) Nên g  ( ) Mệnh đề [3] Nếu tập hợp H biến ngẫu nhiên tempered định lý chứa biến ngẫu nhiên g ( )  g điểm bất động ngẫu nhiên g  :   Rd đo khứ F  :  { (s, t )  s  t } 2.4 Dáng điệu động lực mơ hình Solow ngẫu nhiên Chúng ta chứng tỏ động lực học mơ hình Solow ngẫu nhiên xác định điểm bất động ngẫu nhiên ổn định hút tồn cục Đặc biệt, đảm bảo dáng điệu dài hạn tất quỹ đạo cƣờng độ tiền vốn nhƣ đƣợc xác định quỹ đạo điểm bất động ngẫu nhiên Định lý Giả thiết trình ngẫu nhiên biểu diễn tốc độ giá phát triển dân số, tích tỷ lệ tiết kiệm biến động sản xuất, tương ứng lấy giá trị  () [ , max ]  [0,1] n() [n ,n max ]  (1, )  () [min ,max ]  (0, ) với E   Giả thiết f không âm, tăng dần, lõm chặt có đạo hàm liên tục Giả sử  max  nmax  ,   nmax  lim f ' (k )  max  lim f ' (k )   , k  E log min k 0   ( )   ( ) f ' (k ) 0  n( ) Trong k : k ( max , nmax , min ) trạng thái bất động không tầm thường mơ hình Solow tất định 101 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Khi tồn điểm bất động ngẫu nhiên dương k  hệ động lực ngẫu nhiên  R sinh mô hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên Điểm k  ổn định, đo khứ hút toàn cục R , tức  k  (t , , k )  k  ( t )  t   hầu chắn Do dáng điệu dài hạn tất quỹ đạo ác định điểm bất động ngẫu nhiên k  Nếu f (0)  khơng cần điều kiện đặt lên lim f ' (k ) k  hút toàn cục R k 0 Chứng minh Chứng minh áp dụng Định lý điểm bất động ngẫu nhiên Đặt G : [k ( max , nmax , min ), ) G( )  G tập hợp ngẫu nhiên Do tính đóng G , H   , k  k ( max , nmax , min ) , áp dụng Định lý ta nhận đƣợc điểm bất động ngẫu nhiên khơng tầm thƣờng k  Tính bất biến H : Ta kiểm tra điều kiện (1) Định lý Vì h(, k )  k nên G bất biến dƣơng, k  k ( max , nmax , min ) điểm bất biến không tầm thƣờng nhỏ tất ánh xạ tất định h(k ) (1, 1, g ( 1 ))  G với g  G Từ tính lõm f ta suy ra: f (k )  f ( y)  f ' ( y)k với k y  cố định tùy ý Do   ( )   ( ) f ' ( y)  ( ) f ( y) (1, , k )  k  n( )  nmin Vì E   nên  tempered, suy ra: 1   n( )  nmin Suy hàm (1, 1, g ( 1 )) tempered Tính chất 2) Định lý 3: tính hút Điều đƣợc suy trực tiếp từ giả thiết 3) Định lý f giảm nhận giá trị max phần tử nhỏ G,tức sup f ' (k )  f ' (k ) kG Tính chất 3) Định lý Cho g  G giả sử (t , 1, g ( 1)) dãy Cosi với  , giới hạn thuộc G( ) với  , G()  G bất biến dƣơng đóng Để chứng minh 3) ta cần kiểm tra đƣợc lim (t , t, g ( t )) biến t  ngẫu nhiên tempered Đặt xt 1  a( t ) xt  b( t ) , với a( ) : 102  ( f (k ))   ( )   ( f ' (k )) , b( ) :  nmin  n( ) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Khi lim (1, 1, g ( 1 )) bị chặn điểm bất động ngẫu nhiên t  x ( ) ổn định giả thiết 3) hút biến ngẫu nhiên tempered  Sự tồn x ( ) : Có điểm bất động ngẫu nhiên  x ( ) : b(  )   b(  1 i  ). a( 1 )  ( i 1) i 1 j 1 Nhận xét với     E log a , tồn t ( ,  ) để i  a(  )  e i với i  t ( ,  ) 1 j 1 Do tính tempered b( ) (đƣợc suy từ Eb   ), ta nhận đƣợc tồn hầu chắn x ( ) Tính tempered x ( ) : Ta có E log a  b tempered, với   tồn s0 (,  ) cho  s  s0 (,  ) nên log b(  s )   s s  (log a( j  )  E log a)   s j 1 Bởi a( ) > b( ) > ta có biểu diễn sau x ( t )  exp log b( (t 1)) +  t 1 t i 1 j 1 j 1  exp[log b( (i1t ))   (log a(  j)  E log a)  (log a(  j)  E log a)  iE log a] Vì vậy, với   E log a với t  s0 (, s) ta có:  x ( t )  exp ( (t  1))   exp ( ((i   t )  (t  i)  iE log a) i 1  exp ( (t  1)  exp ( (3t  1) exp (2  E log a)  exp (2  E log a) Do x ( ) tăng chậm hàm số mũ, tempered Tính hút tồn bộ: Nếu q trình nhiễu tầm thƣờng k ( , n,  ) trạng thái bất động hút toàn cục R Tính chất đơn điệu sau đƣợc thỏa mãn: (1,, k )  h(, k )  k với   k  k : k ( max , nmax , min ) Với k  tồn t (, k ) ,sao cho  ( s )   với  s  t (, k ) (t (, x),, k )  k Từ tính ergodic  ta suy t lim 1[0, ] ( s )  P{  ( )   }>0 , t  t s 0 103 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Và ta nhận đƣợc P{  ( )   với vô hạn   } =1 Vậy tồn đại lƣợng hữu hạn T (, k ) với  , k thỏa mãn yêu cầu nêu Tính F  đo Từ tính hút tồn cục từ Mệnh đề suy tính điểm bất động ngẫu nhiên R Cũng từ Mệnh đề ta có F  đo đƣợc Ví dụ Xét hàm f (k)  (1  Ak ) với    1, A > Điều kiện (2) (3) Định lý đƣợc thỏa mãn  n  1 E  nmin A  min{( max max ) , } min E ( max  nmax )1 1 f (k)     ( A  k )  A k   Ta có k Điều kiện Inada (2) Định lý đƣợc suy bất đẳng thức   nmax  A  ( max ) (*) min Từ Và k (  max  nmax )  A    nmax 1 f ' (k)  A( max ) min Trong k  (*) Mặt khác ta có điều kiện hút (3) Định lý viết lại nhƣ sau: Elog( +  ( ) (k)) < Elog(1+ n( ) ) Do hàm log lõm (tính chất suy Elog < logE bất đẳng thức Jensen) ta thu đƣợc điều kiện đủ sau: E( +  ( ) (k)) < exp(Elog(1+ n( ) )) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với E ( )   exp( E log(1  n( ))) f ' (k ( max , nmax , min ))  (2.5) E ( ) Sử dụng n( )  nmin , (3.5) đƣợc suy từ bất đẳng thức sau E ( )  n E ( ) Sử dung (3.6) ta có điều kiện (3) đƣợc thỏa mãn  1 E  nmin  A  E ( max  nmax )1 f ' (k ( max , nmax , min ))  104 (2.6) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 KẾT LUẬN Bài báo tập trung nghiên cứu mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow sử dụng công cụ lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên phân tích chi tiết mơ hình tăng trƣởng Solow với tham biến ngẫu nhiên Bài báo làm sáng tỏ đƣợc động lực học mô hình Solow ngẫu nhiên đƣợc mơ tả hồn tồn điểm ngẫu nhiên hút toàn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Trần Thọ Đạt (2010), Mơ hình tăng trưởng kinh tế, Nxb Đại học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội B.Schmalfuss(1996), A random fixed poin theorem Based on Lyapunov exponents, Randdtaionom and Computational Dynamics, 4,257-268 B.Schmalfuss (1998), A random fixed poin theorem and the random graph transformation, J.Math App 225,91-113 Mirman, L.J (1972), On the existence of steady measur for one sector growth models with uncertain technology, International Economic Review, 12, 271-286 Mirman, L.J(1973), The steady state behavior of a class of one sector growth models with uncertain technology, Journal of Economic Theory 6, 219-242 THE SOLOW ECONOMIC GROWTH MODEL Hoang Dieu Hong ABSTRACT In this paper, we use the theory of random dynamic system as a tool to analyze in detail the Solow economic growth model and study the simultaneous motions of orbits of evolution processes over time in the Solow economic growth model Keywords: Non-linear function, interference, orbit, long-termed pattern of orbits * Ngày nộp bài: 21/9/2020; Ngày gửi phản biện: 13/10/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 * Bài báo kết nghiên cứu từ đề tài cấp sở mã số ĐT-2019-17 Trường Đại học Hồng Đức 105 ... mơ hình Solow tất định 101 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Khi tồn điểm bất động ngẫu nhiên dương k  hệ động lực ngẫu nhiên  R sinh mơ hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên. .. biến ngẫu nhiên tempered định lý chứa biến ngẫu nhiên g ( )  g điểm bất động ngẫu nhiên g  :   Rd đo khứ F  :  { (s, t )  s  t } 2.4 Dáng điệu động lực mơ hình Solow ngẫu nhiên. .. tập trung nghiên cứu mơ hình tăng trƣởng kinh tế Solow sử dụng công cụ lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên phân tích chi tiết mơ hình tăng trƣởng Solow với tham biến ngẫu nhiên Bài báo làm sáng tỏ