Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 142 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
142
Dung lượng
5,97 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ OXYZ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT A.1.Hệ tọa độ không gian Oxyz : + Là hệ gồm trục Ox, Oy , Oz đơi vng góc với i = j = k = ; + Các véctơ i, j , k véctơ đơn vị Ox, Oy , Oz : i j = j.k = i.k = i = (1; 0; ) j = ( 0;1; ) k = ( 0; 0;1) Tọa độ tính chất véctơ Véctơ u = ( x; y; z ) u = xi + y j + zk A.2.Tính chất: A.2.1 Véctơ: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ) , v = ( x2 ; y2 ; z ) + u = x1 + y1 + z1 2 + u v = ( x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG x1 = x2 + u = v y1 = y2 z = z + ku = ( kx1 ; ky1 ; kz1 ) Trang | TỌA ĐỘ OXYZ x1 = kx2 x y z : u = k v y1 = ky2 = = x2 y z z = kz + u phương với v k A.2.2 Tọa độ điểm: Điểm M ( x ; y ; z ) OM = xi + yj + zk Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) D ( xD ; yD ; z D ) AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) + AB =| AB |= ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2 x A + xB y A + y B z A + z B ; ; 2 x +x +x y +y +y z +z + Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: G A B C ; A B C ; B C 3 + Nếu M trung điểm AB thì: M x A − kxB x = M 1− k y − ky B ( k 1) + Nếu M chia AB theo tỉ số k MA = k MB thì: yM = A 1− k z A − kz B zM = − k + Tích vơ hướng hai vectơ:Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ) v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ( ) Tích vơ hướng vectơ là: u v =| u | | v | cos (u , v ) u v = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 Suy ra: u ⊥ v u v = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 = B BÀI TẬP ❑ DẠNG TỐN 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK BÀI TẬP NỀN TẢNG Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 3; − 2;1) , b = ( −1;1; − ) , c = ( 2;1; − ) , u = (11; − 6;5 ) Mệnh đề sau đúng? A u = 2a + 3b + c C u = 3a − 2b − 2c B u = 2a − 3b + c D u = 3a − 2b + c Lời giải Chọn B 3a − 2b + c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = (13; − 7; ) u Nên A sai 2a + 3b + c = ( 3; − 2;1) + ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = ( 5; 0; − ) u Nên B sai 2a − 3b + c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = (11; − 6;5 ) = u Nên C 3a − 2b − 2c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) − ( 2;1; − ) = ( 7; − 10;13 ) u Nên D sai Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2;0 ) B ( −3;0; ) Tọa độ véctơ AB A ( 4; −2; −4 ) B ( −4; 2; ) C ( −1; −1; ) D ( −2; −2; ) Lời giải TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ Chọn B AB = ( −4; 2; ) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = (1;5; ) , ON = ( 3;7; −4 ) Gọi P điểm đối xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P A P ( 5;9; −3) B P ( 2;6; −1) C P ( 5;9; −10 ) D P ( 7;9; −10 ) Lời giải Chọn C Ta có: OM = (1;5; ) M (1;5; ) , ON = ( 3;7; −4 ) N ( 3;7; −4 ) Vì P điểm đối xứng với M qua N nên N trung điểm MP nên ta suy x P = x N − xM = y P = y N − y M = P ( 5;9; −10 ) z = z − z = −10 N M P Câu 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 5; − 1; ) , C ( 3; 2; − ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA + 2MB − MC = 9 9 A M −4; − ; B M 4; − ; − 2 2 9 C M 4; ; 2 9 D M 4; − ; 2 Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y; z ) x = 1 − x + ( − x ) − ( − x ) = 9 MA + 2MB − MC = 1 − y + ( −1 − y ) − ( − y ) = y = − M 4; − ; 2 − z + 2 − z − − − z = ( ) ( ) z = Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho vec tơ a = ( 2; −1; ) , b = ( −1; −3; ) , c = ( −2; −4; −3 ) Tọa độ u = 2a − 3b + c A ( 3; 7; ) B ( −5; − 3; ) C ( −3; − 7; − ) D ( 5; 3; − ) Lời giải Chọn D u = 2a − 3b + c = ( 2; − 1; ) − ( −1; − 3; ) + ( −2; − 4; − ) = ( 2.2 + − 2; − + − 4; − − 3) = ( 5; 3; − ) Câu 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD ABC D Biết A ( 2; 4; ) , B ( 4; 0; ) , C ( −1; 4; − ) D ( 6;8;10 ) Tọa độ điểm B A B ( 8; 4;10 ) B B ( 6;12; ) C B (10;8; ) D B (13; 0;17 ) Lời giải Chọn D TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ A' B' C' D'(6; 8; 10) A(2; 4; 0) B(4; 0; 0) O D C(-1; 4;-7) Giả sử D ( a; b; c ) , B ( a; b; c ) a = −3 −7 1 Gọi O = AC BD O ; 4; b = 2 c = −7 Vậy DD = ( 9; 0;17 ) , BB = ( a − 4; b; c ) Do ABCD ABC D hình hộp nên DD = BB a = 13 b = Vậy B (13; 0;17 ) c = 17 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D Biết A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; −1;1) , C ( 4;5; −5 ) Gọi tọa độ đỉnh A ( a; b; c ) Khi 2a + b + c bằng? A B C D Lời giải Chọn D Ta có AD = (1 − a; −1 − b;1 − c ) AB = ( − a;1 − b; − c ) A A = − a ; − b ;1 − c ( ) AC = ( − a;5 − b; −5 − c ) Theo quy tắc hình hộp, ta có AC = AB + AD + AA TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ( − a;5 − b; −5 − c ) = ( − 3a; − 3b;3 − 3c ) − a = − 3a a = − b = − 4b b = − −5 − c = − 3c c = Vậy 2a + b + c = Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau thuộc mặt phẳng ( Oxy ) A N (1; 0; ) B P ( 0;1; ) C Q ( 0; 0; ) D M (1; 2; ) Lời giải Chọn D Phương trình mặt phẳng ( Oxy ) : z = Kiểm tra tọa độ điểm ta thấy D ( Oxy ) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( −3; 4;3 ) , C ( 3;1; − 3) , số điểm D cho điểm A, B, C , D đỉnh hình bình hành A B C D Lời giải Chọn D Ta có AB = ( −4; 2; ) , AC = ( 2; − 1; − ) Dễ thấy AB = −2 AC nên hai véc tơ AB, AC phương ba điểm A , B , C thẳng hàng Khi khơng có điểm D để bốn điểm A, B, C , D bốn đỉnh hình bình hành Vậy khơng có điểm thỏa mãn u cầu tốn Câu 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + j − k , b ( 2; 3; − ) Tìm tọa độ x = 2a − 3b A x = ( −2; 3; 19 ) B x = ( −2; − 3; 19 ) C x = ( −2; − 1; 19 ) D x = ( 2; − 1; 19 ) Lời giải Chọn B Ta có a = ( 2; 3; − 1) , b = ( 2; 3; − ) x = 2a − 3b = ( −2; − 3; 19 ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TỐN 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, VÉC TƠ Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) B ( 5; 2; ) Khi đó: A AB = 61 B AB = C AB = D AB = Lời giải Chọn C Ta có: AB = ( 4; 0; −3 ) Suy ra: AB = + + ( −3 ) = Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho A (1;1; −3 ) , B ( 3; −1;1) Gọi M trung điểm AB , đoạn OM có độ dài A B C D Lời giải Chọn D Ta có M trung điểm AB nên M ( 2; 0; −1) OM = + + = Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho vectơ u = 2i − j + k Tìm độ dài vectơ u A u = B u = 49 C u = D u = Lời giải Chọn C 2 Ta có u = ( 2; −3; ) nên u = + ( −3) + = Câu 14: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;0 ) ; B ( 0;2;4 ) ; C ( 4; 2;1) Tọa độ diểm D trục Ox cho AD = BC là: A D ( 0; 0; ) D ( 0; 0;8 ) B D ( 0; 0; ) D ( 0; 0; −6 ) C D ( 0; 0; −3) D ( 0; 0;3) D D ( 0; 0; ) D ( 6; 0; ) Lời giải Chọn D Gọi D ( x;0;0 ) 2 AD ( x − 3;4;0 ) x = AD = ( x − 3) + + Ta có: x=6 BC 4;0; − ( ) BC = Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; 2; −1) , B ( 5; 4;3) M điểm thuộc AM = Tìm tọa độ điểm M BM 13 10 11 B ; ; C − ; − ; 3 3 3 3 tia đối tia BA cho A ( 7; 6; ) D (13;11;5 ) Lời giải Chọn A TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ M điểm thuộc tia đối tia BA cho AM = nên B trung điểm AM BM + xM 5 = xM = + yM 4 = yM = M ( 7; 6; ) z = M −1 + z M = Câu 16: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;3) Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ A 10 B 34 C 10 + D 34 Lời giải Chọn C Hình chiếu A lên trục Ox A1 ( 3; 0; ) nên d ( A, Ox ) = AA1 = Hình chiếu A lên trục Oy A2 ( 0; −4; ) nên d ( A, Oy ) = AA2 = Hình chiếu A lên trục Oz A3 ( 0;0;3) nên d ( A, Oz ) = AA3 = Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ 10 + Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3; 0;8) , D ( −5; −4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ những số nguyên, CA + CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Lời giải Chọn A Ta có trung điểm BD I ( −1; −2; 4) , BD = 12 điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b; 0) AB = AD 2 2 2 ( a − 3) + b + = ( a + 5) + (b + 4) ABCD hình vng 2 1 ( a + 1) + (b + 2) + = 36 AI = BD 2 17 a = b = − a a = 17 −14 ; (loại) A(1; 2; 0) A ; 2 5 − 14 b = ( a + 1) + (6 − a ) = 20 b = Với A(1; 2; 0) C ( −3; −6;8) Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; 1; 1) , B ( −1; 1; ) , C ( 3; 1; ) Chu vi tam giác ABC bằng: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ A + B C D + Lời giải Chọn B Ta có: AB = + + = 5, AC = + + = 5, BC = 16 + + = 20 = Vậy chu vi tam giác ABC : AB + AC + BC = Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; −1) ; B (1;1;3 ) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AOB , tính độ dài đoạn thẳng OI 17 11 A OI = B OI = C OI = 2 D OI = 17 Lời giải Chọn D Ta có OA.OB = nên tam giác OAB vng O Vậy, I trung điểm AB , suy ra: OI = 17 AB = 2 Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0; 0; −1) , B ( −1;1;0 ) , C (1; 0;1) Tìm điểm M cho 3MA2 + MB − MC đạt giá trị nhỏ 3 A M ; ; −1 B M − ; ; 4 3 C M − ; ; −1 D M − ; ; −1 Lời giải Chọn D AM = x + y + ( z + 1) AM = ( x; y; z + 1) 2 M x ; y ; z BM = x + 1; y − 1; z ( ) ( ) BM = ( x + 1) + ( y − 1) + z Giả sử 2 2 CM = ( x − 1) + y + ( z − 1) CM = ( x − 1; y; z − 1) 2 3MA2 + MB − MC = x + y + ( z + 1) + ( x + 1) + ( y − 1) + z 2 − ( x − 1) + y + ( z − 1) 3 5 2 = x + y + z + x − y + z + = x + + ( y − 1) + ( z + ) − − 2 4 Dấu " = " xảy x = − , y = , z = −1, M − ; ; −1 2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 3: XÉT SỰ CÙNG PHƯƠNG, SỰ ĐỒNG PHẲNG Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 1) B ( 4; 6; − ) Điểm thuộc đoạn AB điểm sau? A N ( −2; − 6; ) B Q ( 2; 2; ) C P ( 7; 12; ) D M ( 2; − 6; − ) Lời giải Chọn B Giả sử C thuộc đoạn AB AC = k AB, ( k 1) Ta có: AB ( 3;6; −3) , AM (1; −6; −6 ) , AN ( −3; −6;3) , AQ (1; 2; −1) , AP ( 6;12; ) Do có Q thuộc đoạn AB vectơ a , b , c ( x − y ) a + ( y − z ) b = ( x + z − ) c Tính T = x + y + z Câu 22: Trong không gian A cho C B không đồng D phẳng thỏa mãn Lời giải Chọn A Vì vectơ a , b , c không đồng phẳng nên: x − y = x = y = z = y − z = x + z − = Vậy T = x + y + z = Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2; ) , B (1; 0; −1) C ( 0; −1; ) , D ( 0; m; k ) Hệ thức giữa m k để bốn điểm ABCD đồng phẳng A 2m + k = B m + k = C m + k = D m − 3k = Lời giải Chọn C AB = (0; 2; −1) AC = ( −1;1; 2) AD = (−1; m+ 2; k) AB, AC = (5;1; 2) AB, AC AD = m + 2k − Vậy bốn điểm ABCD đồng phẳng AB, AC AD = m + 2k = Chú ý: Có thể lập phương trình ( ABC ) sau thay D để có kết Câu 24: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A a; b; c ; B m; n; p Điều kiện để A, B nằm hai phía mặt phẳng Oyz A am B c p C cp D bn Lời giải Chọn A TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ Ta có phương trình mặt phẳng Oyz x Do A B nằm hai phía mặt phẳng Oyz hồnh độ điểm A hoành độ điểm B trái dấu Điều xảy am Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a = ( 2;3;1) , b = ( −1;5; ) , c = ( 4; − 1;3 ) x = ( −3; 22;5 ) Đẳng thức đẳng thức sau ? A x = a − b + c B x = a − b − c C x = −2 a + b + c D x = a + b − c Lời giải Chọn D Đặt: x = m a + n b + p c , m, n, p m − n + p = −3 ( −3; 22;5 ) = m ( 2;3;1) + n ( −1;5; ) + p ( 4; − 1;3 ) 3m + 5n − p = 22 m + 2n + p = Giải hệ phương trình ( I ) (I ) m = ta được: n = p = −1 Vậy x = a + b − c Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( −1;1; ) , b = (1;1; ) , c = (1;1;1) Tìm mệnh đề A Hai vectơ a b phương C a.c = B Hai vectơ b c không phương D Hai vectơ a c phương Lời giải Chọn B Ta có b ; c = (1; −1; ) suy hai vectơ b c không phương Câu 27: Cho bốn điểm O ( 0; 0; ) , A ( 0;1; −2 ) , B (1; 2;1) , C ( 4;3; m ) Tìm m để điểm O , A , B , C đồng phẳng A m = 14 B m = C m = −14 D m = −7 Lời giải Chọn A Để điểm O , A , B , C đồng phẳng OA, OB OC = Ta có OA = ( 0;1; −2 ) suy OA, OB = ( 5; −2 − 1) OB = 1; 2;1 ( ) Mà OC = ( 4;3; m ) Khi OA, OB OC = 20 − − m = m = 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 10 TỌA ĐỘ OXYZ x = −3 + t A d : y = − 2t ( t z = 1− t x = − − 4t C d : y = −1 + 3t ( t z = 4−t x = 3t B d : y = + t ( t z = + 2t x = −1 − t D d : y = − 3t ( t z = − 2t ) ) ) ) Lời giải Chọn C Vectơ phương : u (1;1; −1) , vectơ pháp tuyến ( P ) n( P ) = (1; 2; ) d ⊥ u d ⊥ u u d = u ; n ( P ) = ( 4; −3;1) d ( P ) u ⊥ n d P ( ) Vì x = t y = 1+ t Tọa độ giao điểm H = ( P ) nghiệm hệ t = −2 H ( −2; −1; ) z = − t x + y + 2z − = Lại có ( d ; ) ( P ) = d , mà H = ( P ) Suy H d Vậy đường thẳng d qua H ( −2; −1; ) có VTCP u d = ( 4; −3;1) nên có phương trình x = − − 4t d : y = −1 + 3t ( t z = 4−t ) Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 0; ) đường thẳng d có phương x −1 y z +1 Viết phương trình đường thẳng qua A , vng góc cắt d = = x x −1 y z − x −1 y z − A : B : = = = = 1 −1 1 x −1 y z−2 x −1 y z − C : D : = = = = −3 1 trình Lời giải Chọn A B Do cắt d nên tồn giao điểm giữa chúng Gọi B = d B d x = t +1 Phương trình tham số d : y = t , t z = t −1 Do B d , suy B ( t + 1; t ; t − 1) AB = ( t ; t ; 2t − ) Do A, B nên AB vectơ phương ( ) Theo đề bài, vng góc d nên AB ⊥ u u = (1,1, ) vectơ phương d Suy AB.u = Giải t = AB = (1,1, −1) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 128 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 59: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1; ) đường thẳng có phương trình x −1 y −1 z Viết phương trình đường thẳng d qua M , cắt vng góc với = = −1 đường thẳng x − y −1 z x − y −1 z A d : B d : = = = = −4 −4 x − y −1 z x − y −1 z C d : D d : = = = = 1 −4 −2 : Lời giải Chọn D Gọi H hình chiếu M lên Nên H (1 + 2t ; −1 + t ; −t ) MH = ( 2t − 1; −2 + t; −t ) Và a = ( 2;1; −1) véc tơ phương Dó đó: MH a = ( 2t − 1) − + t + t = t = 1 2 Khi đó: MH = ; − ; − u = (1; −4; −2 ) véc tơ phương d 3 3 x − y −1 z Vậy d : = = −4 −2 Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1;0; ) đường thẳng d có phương x −1 y z +1 trình: Viết phương trình đường thẳng qua A , vng góc cắt d = = 1 x −1 y z − x −1 y z − A : B : = = = = 1 1 −1 x −1 y z − x −1 y z−2 C : D : = = = = 1 −3 Lời giải Chọn B B Do cắt d nên tồn giao điểm giữa chúng Gọi B = d B d x = t +1 Phương trình tham số d : y = t , t Do B d , suy B ( t + 1; t ; t − 1) z = t −1 AB = ( t ; t ; 2t − 3) Do A, B nên AB vectơ phương Theo đề bài, vng góc d nên AB ⊥ u , ( u = (1;1; ) ) ( u = (1; 1; 2) vector phương d ) Suy AB.u = Giải t = AB = (1;1; − 1) Vậy : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG x −1 y z − = = 1 −1 Trang | 129 TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 7: PTĐT NẰM TRONG (P), VỪA CẮT VỪA VNG GĨC VỚI D Câu 61: Trong không gian Oxyz , Cho ( ) : x + y + z − = Đường thẳng hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1) mặt phẳng d nằm ( ) cho điểm d cách điểm A, B có phương trình x = t A y = − 3t z = 2t x = t B y = + 3t z = 2t x = −t C y = − 3t z = 2t x = 2t D y = − 3t z = t Lời giải Chọn A Mọi điểm d cách hai điểm A, B nên d nằm mặt phẳng trung trực đoạn AB 3 Có AB = ( −3; −1;0 ) trung điểm AB I ; ;1 nên mặt phẳng trung trực AB là: 2 3 5 −3 x − − y − = x + y − = 2 2 Mặt khác d ( ) nên d giao tuyến hai mặt phẳng: 3 x + y − = y = − 3x x + y + z − = z = 2x x = t Vậy phương trình d : y = − 3t ( t z = 2t ) x − y + z −1 mặt phẳng = = 1 −1 ( P ) : x + y + z + = Phương trình đường thẳng a nằm ( P ) , cắt vng góc với d Câu 62: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x = − 4t A y = −4 + 3t z = − t x = − 4t B y = −4 − 3t z = + t x = + 4t C y = −4 + 3t z = + t x = + 4t D y = −3 − 3t z = 1+ t Lời giải Chọn A x = + t d : y = −3 + t có vectơ phương u (1; 1; − 1) Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n (1; 2; ) z = 1− t Vectơ phương đường thẳng d : v = u; n = ( 4; − 3; 1) Tọa độ giao điểm d ( P ) : x = + t y = −3 + t z = 1− t x + y + z + = t = − x = Đường thẳng d cần tìm : y = −4 z = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG x = − 4t y = −4 + 3t z = − t Trang | 130 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng x +1 y z + = = Lập phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x −1 y −1 z −1 x +1 y + z −1 = = = = A B −1 −3 −1 x −1 y −1 z −1 x −1 y +1 z −1 = = = = C D 5 −1 d: Lời giải Chọn A Giao điểm d với ( P ) H (1;1;1) qua H nhận u = n p ; ud làm véc tơ phương x −1 y −1 z −1 u ( 5; −1; −3 ) : = = −1 −3 Câu 64: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : z −1 = ( Q ) : x + y + z − = Gọi d đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , cắt x −1 y − z − vng góc với đường thẳng Phương trình = = −1 −1 đường thẳng d x = + t x = − t x = + t x = + t A y = t B y = t C y = t D y = −t z = 1+ t z = z = z = 1+ t đường thẳng Lời giải Chọn C d' Q I d P Đặt nP = ( 0; 0;1) nQ = (1;1;1) véctơ pháp tuyến ( P ) ( Q ) Do = ( P ) ( Q ) nên có véctơ phương u = nP , nQ = ( −1;1; ) Đường thẳng d nằm ( P ) d ⊥ nên d có véctơ phương ud = nP , u = ( −1; −1; ) x −1 y − z − A = d d A = d ( P ) = = −1 −1 z = z −1 = Xét hệ phương trình x − y − z − y = A ( 3; 0;1) = −1 = −1 x = Gọi d : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 131 TỌA ĐỘ OXYZ x = + t Do phương trình đường thẳng d : y = t z = x y −3 z −2 = = mặt phẳng −3 ( P ) : x − y + z − = Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , cắt vng góc với d có Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : phương trình x + y + z −1 = = A x − y − z +1 = = C x+ y −2 z −5 = = x−2 y+2 z+5 = = D B Lời giải Chọn B x y −3 z −2 = = −3 x − y + z − = Tọa độ giao điểm M d ( P ) nghiệm hệ x − y = −6 x = −2 3 y + z = 11 y = M ( −2; 2;5 ) x − y + 2z − = z = (P) : x − y + z − = có vtpt n = (1; −1; ) , d có vtcp u = ( 2;1; −3) Ta có qua M ( −2; 2;5 ) nhận k = n , u = (1; 7;3 ) vectơ phương có dạng : x+ y −2 z −5 = = Câu 66: Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z – = x +1 y z + = = Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x +1 y + z −1 x −1 y −1 z −1 A B = = = = −1 x −1 y +1 z −1 x −1 y −1 z −1 C D = = = = −1 −1 −3 đường thẳng d : Lời giải Chọn D Gọi M giao điểm d Khi đó, M ( −1 + 2t ; t ; −2 + 3t ) Do điểm M ( P ) nên M (1;1;1) x −1 y −1 z −1 Đường thẳng có u = ud , nP = ( −5;1;3) Vậy : = = −1 −3 Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = x +1 y z + đường thẳng d : = = Phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d là: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 132 TỌA ĐỘ OXYZ x −1 = x −1 C = A y −1 z −1 = y −1 z −1 = −1 −3 x +1 = x −1 D = B y+3 = −1 y +1 = −1 z −1 z −1 Lời giải Chọn C Ta có VTPT mp ( P ) n = (1; 2; 1) ; VTCP đường thẳng d ud = (2;1; 3) ( P) Vì nên VTCP u = n( P ) , ud = (5; − 1; − 3) ⊥ d d = M M = d ( P ) ( P ) Lại có Khi M (1; 1; 1) Vậy phương trình đường thẳng : x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 x y −3 z −2 mặt phẳng = = −3 ( P ) : x − y + z − = Phương trình phương trình đường thẳng nằm Câu 68: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt phẳng ( P ) cắt vuông góc với d ? x + y + z −1 = = x − y − z +1 C = = A x+ y −2 z −5 = = x−2 y+2 z+5 D = = B Lời giải Chọn B x = 2t Đường thẳng d tham số y = + t z = − 3t x = 2t y = 3+t M = d P Gọi ( ) Tọa độ M nghiệm hệ z = − 3t x − y + z − = t = −1 x = −2 M ( −2; 2;5 ) y = z = Gọi đường thẳng cần tìm u = nP , ud = (1; 7;3) x+ y −2 z −5 Vậy đường thẳng cần tìm = = Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng x +1 y z + Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , đồng = = thời cắt vuông góc với đường thẳng d x +1 y + z −1 x −1 y −1 z −1 A B = = = = −1 −3 x −1 y +1 z −1 x −1 y −1 z −1 C D = = = = −1 −1 −3 d: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 133 TỌA ĐỘ OXYZ Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) là: n( P ) = (1; ;1) Vectơ phương đường thẳng d ud = ( 2;1;3 ) x = − + 2t Phương trình tham số đường thẳng d : y = t z = −2 + 3t Xét phương trình: −1 + 2t + 2t − + 3t − = 7t − = t = Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( P ) A (1;1;1) Ta có: A Vectơ phương đường thẳng là: u = n( P ) , ud = ( 5; − 1; − 3) x −1 y −1 z −1 Phương trình tắc đường thẳng : = = −1 −3 x − y + z −1 Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : mặt = = 1 −1 phẳng ( P ) : x + y − z + = Đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) cho d cắt vng góc với đường thẳng A u = (1; 2;1) B u = ( −1; 2;1) C u = ( −1; −2;1) D u = ( −1; 2; −1) Lời giải Chọn B Đường thẳng có vectơ phương u = (1;1; −1) Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = (1; 2; −3 ) u , n = ( −1; 2;1) Đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) cho d cắt vng góc với đường thẳng nên d nhận u d = ( −1; 2;1) làm vectơ phương TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 134 TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 8: GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng có x − y −1 z vng góc với mặt phẳng = = 1 tuyến ( ) ( ) qua điểm điểm sau phương trình A A ( 2;1;1) B D ( 2;1; ) C B ( 0;1; ) ( ) : x + y − 2z −1 = Giao D C (1; 2;1) Lời giải Chọn A Ta có véc – tơ phương đường thẳng u (1;1; ) Véc – tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) : x + y − z − = n (1;1; −2 ) x − y −1 z = = vng góc 1 với mặt phẳng ( ) : x + y − z − = nên ( ) có véc – tơ pháp tuyến Vì ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng có phương trình n = u , n = ( −4; 4;0 ) = (1; −1;0 ) = 4.a Gọi d = ( ) ( ) , suy d có véc – tơ phương ud = a, n = ( 2; 2; ) = (1;1;1) x − y −1 z Giao điểm đường thẳng có phương trình = = mặt phẳng 1 ( ) : x + y − z − = I ( 3; 2; ) x = 3+t Suy phương trình đường thẳng d : y = + t z = 2+t Vậy A ( 2;1;1) thuộc đường thẳng d Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z − = ( Q ) : x + y − z + = Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) Khi AB phương với véctơ sau đây? A w = ( 3; −2; ) B v = ( −8;11; −23 ) C k = ( 4;5; −1) D u = ( 8; −11; −23 ) Lời giải Chọn D * Ta có: ( P ) ⊥ n ( P ) = ( 3; −2; ) , ( Q ) ⊥ n ( Q ) = ( 4;5; −1) AB ( P ) AB ⊥ n ( P ) * Do nên đường thẳng AB có véctơ phương là: AB Q ( ) AB ⊥ n Q ( ) u = n(Q ) ; n( P ) = ( 8; −11; −23) * Do AB véc tơ phương AB nên AB // u = ( 8; −11; −23 ) Câu 73: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , B ( 0; 2; 1) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Đường thẳng d nằm ( P ) cho điểm d cách hai điểm A , B có phương trình TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 135 TỌA ĐỘ OXYZ x = t A y = − 3t z = 2t x = −t B y = − 3t z = 2t x = t C y = + 3t z = 2t x = 2t D y = − 3t z = 2t Lời giải Chọn A 3 Ta có AB = ( −3; −1; ) ; I ; ;1 trung điểm AB A, B nằm hai phía mặt 2 phẳng ( P ) Gọi ( ) mặt phẳng trung trực AB = ( ) ( P ) Khi đường thẳng thuộc mặt phẳng ( P ) cách hai điểm A, B 3 Phương trình mặt phẳng ( ) qua I ; ;1 có véc tơ pháp tuyến AB = ( −3; −1; ) là: 2 5 −3 x − − y − = x + y − = 2 2 Khi d đường giao tuyến ( ) ( P ) Véctơ phương d : ud = n( P ) , n( ) = ( −1;3; −2 ) = − (1; −3; ) , d qua A ( 0; 7; ) x = t Vậy d có phương trình tham số là: y = = 3t ( t tham số) z = 2t Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng x − y −1 z vng góc với mặt phẳng ( ) : x + y + z + = Khi giao tuyến = = 1 −2 hai mặt phẳng ( ) , ( ) có phương trình : A x + y −1 z = = −5 B x y +1 z = = 1 −1 C x y +1 z −1 = = 1 D x − y +1 z = = −5 Lời giải Chọn B x − y −1 z qua M ( 2;1; ) có vtcp : u = (1;1; − ) : = = 1 −2 ( ) : x + y + z + = có vtpt : n = (1;1; ) qua M u , n = ( 4; − 4; ) = (1; − 1; ) vtpt Phương trình ( ) : ( x − ) − ( y − 1) = x − y − = ( ) : Gọi ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng ( ) , ( ) Ta có: qua N ( 0; − 1; ) vtcp n, n = ( 2; 2; − ) = (1;1; − 1) x y +1 z Phương trình ( d ) : = = 1 −1 ( d ) : Câu 75: Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z − = ( ) : x − y − z + = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 136 TỌA ĐỘ OXYZ x = + t A y = 2t z = −1 − 3t x = −1 − t B y = − 2t z = 3t x = −1 + t C y = − 2t z = 3t x = −1 − 3t D y = + 2t z = t Lời giải Chọn C ( ) : x + y + z − = có vectơ pháp tuyến là: n = (1; 2;1) ( ) : x − y − z + = có vectơ pháp tuyến là: n = (1; −1; −1) Khi đó: n , n = ( −1; 2; −3) Vì đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z − = ( ) : x − y − z + = nên vectơ phương đường thẳng u phương với n , n Do chọn u = (1; −2;3) x + y + z −1 = Tọa độ M ( x; y; z ) thỏa hệ phương trình: x − y − z + = 2 y + z = y =1 Cho x = −1 ta được: M ( −1;1; ) y + z =1 z = Phương trình đường thẳng qua điểm M ( −1;1; ) có vectơ phương u = (1; −2;3) x = −1 + t là: : y = − 2t z = 3t ❑ DẠNG TỐN 9: ĐƯỜNG VNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x − y −1 z + = = −1 −2 x−2 y+3 z = = Giả sử M 1 , N cho MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng 1 Tính MN 2 : A MN = ( 5; −5;10 ) B MN = ( 2; −2; ) C MN = ( 3; −3; ) D MN = (1; −1; ) Lời giải Chọn B 1 có VTCP u1 = ( 3; −1; −2 ) có VTCP u = (1;3;1) Gọi M ( + 3t ;1 − t ; −5 − 2t ) N ( + s; −3 + 3s; s ) Suy MN = ( −2 − 3t + s; t + 3s − 4; 2t + s + ) MN u1 = 2s − t − = s = Ta có s − 8t − = t = − MN u2 = Vậy MN = ( 2; −2; ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 137 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 77: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo d : x − y + z +1 = = −4 1 x y −1 z − Phương trình phương trình đường thẳng vng góc = = −6 chung d d ' ? x −1 y −1 z +1 x −1 y −1 z A B = = = = 2 2 x +1 y −1 z x +1 y +1 z C D = = = = 2 2 d ': Lời giải Chọn D AB ⊥ d A ( − a; −2 + a; −1 + a ) d Gọi cho AB ⊥ d B ( −6b;1 + b; + b ) d Ta có AB = ( a − 6b − 3; b − a + 3; 2b − a + ) ; u d = ( −4;1;1) ; u d = ( −6;1; ) ; AB.u d = a = −4 ( 4a − 6b − ) + b − a + + 2b − a + = b = AB.u d = −6 ( 4a − 6b − ) + b − a + + ( 2b − a + ) = A ( −1; −1;0 ) , B ( 0;1; ) , AB = (1; 2; ) Vậy phương trình đường thẳng vng góc chung d d ' x +1 y +1 z = = 2 Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vng góc chung hai x−2 y −3 z + x +1 y − z − đường thẳng d : d : = = = = −5 −2 −1 x y z −1 x−2 y −2 z −3 A = = B = = 1 x−2 y + z −3 x y −2 z −3 C D = = = = 2 2 −1 Lời giải Chọn A Ta có M d suy M ( + 2m;3 + 3m; −4 − 5m ) Tương tự N d suy N ( −1 + 3n; − 2n; − n ) Từ ta có MN = ( −3 + 3n − m;1 − n − 3m;8 − n + 5m ) MN ⊥ d Mà MN đường vng góc chung d d nên MN ⊥ d −38m + 5n = 43 m = −1 ( −3 + 3n − 2m ) + (1 − n − 3m ) − ( − n + 5m ) = − m + 14 n = 19 n = − + n − m − − n − m − − n + m = ( ) ( ) ( ) Suy M ( 0; 0;1) , N ( 2; 2;3) Ta có MN = ( 2; 2; ) nên đường vng góc chung MN x y z −1 = = 1 Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z+2 = = −1 x +1 y −1 z − Đường vng góc chung d1 d cắt d1 , d A B = = −1 Tính diện tích S tam giác OAB d2 : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 138 TỌA ĐỘ OXYZ A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn C x = + 2t1 Phương trình tham số d1 : y = −t1 , a1 = ( 2; −1;1) VTCP d1 z = −2 + t x = −1 + t Phương trình tham số d1 : y = + 7t2 , a2 = (1; 7; −1) VTCP d z = − t A = d1 d A (1 + 2a; − a; −2 + a ) B = d d B ( −1 + b;1 + 7b;3 − b ) AB = ( −2 + b − a;1 + 7b + a;5 − b − a ) AB đường vuông góc chung d1 d AB ⊥ d1 AB.a1 = AB ⊥ d AB.a2 = ( −2 + b − 2a ) − (1 + 7b + a ) + ( − b − a ) = ( −2 + b − 2a ) + (1 + 7b + a ) − ( − b − a ) = −6b − 6a = A (1; 0; −2 ) a =b=0 B − 1;1;3 ( ) 52b + 6a = Ta có OA = (1;0; −2 ) ; OB = ( −1;1;3) ; OA, OB = ( 2; −1;1) Vậy SOAB = OA, OB = x = 1+ t Câu 80: Trong không gian Oxyz , đường vng góc chung hai đường thẳng d : y = z = −5 + t x = d : y = − 2t có phương trình z = + 3t x−4 y z+2 = = −2 x+4 y z−2 C = = −2 A x−4 y z−2 = = −3 −2 x−4 y z+2 D = = −1 B Lời giải Chọn A Giả sử AB đường vng góc chung d d với A d , B d A ( a + 1; 0; a − ) Ta có u d = (1; 0;1) , ud = ( 0; −2;3 ) , BA = ( a + 1; 2b − 4; a − 3b − 10 ) B 0; − b ;3 b + ( ) d ⊥ AB a = ud BA = ( a + 1) + ( a − 3b − 10 ) = Khi d ⊥ AB b = − −2 ( 2b − ) + ( a − 3b − 10 ) = ud BA = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 139 TỌA ĐỘ OXYZ A ( 4; 0; −2 ) BA = ( 4; −6; −4 ) u = ( −2;3; ) VTCP AB B ( 0; 6; ) x−4 y z+2 Kết hợp với AB qua A ( 4; 0; −2 ) AB : = = −2 ❑ DẠNG TỐN 10: HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA D LÊN (P) Câu 81: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình hình chiếu x −1 y + z − đường thẳng mặt phẳng ( Oxy ) ? = = x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t x = + 2t A y = −2 + 3t B y = −2 − 3t C y = −2 + 3t D y = − 3t z = z = z = z = Lời giải Chọn C x −1 y + z − qua M (1; −2;3 ) N ( 3;1; ) = = Gọi M N hình chiếu M N ( Oxy ) ta có M (1; −2; ) , N ( 3;1; ) Đường thẳng x = + 2t Phương trình hình chiếu cần tìm là: M N : y = −2 + 3t z=0 x + y −1 z −1 Hình chiếu = = −3 vng góc d mặt phẳng ( Oyz ) đường thẳng có vectơ phương Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : A u = ( 0;1;3 ) B u = ( 0;1; −3 ) C u = ( 2;1; −3 ) D u = ( 2; 0; ) Lời giải Chọn B 7 Ta có d cắt mặt phẳng ( Oyz ) M M 0; ; − , chọn A ( −3;1;1) d gọi B hình 2 chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( Oyz ) B ( 0;1;1) 9 Lại có BM = 0; ; − Khi đó, vectơ phương đường thẳng cần tìm phương 2 với vectơ BM nên chọn đáp án B Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = đường x = + 5t thẳng d : y = −7 + t ( t z = − 5t d qua mặt phẳng ( P ) x = −11 + 5t A : y = 23 + t z = 32 − 5t TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG ) Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng x = 13 + 5t B : y = −17 + t z = −104 − 5t Trang | 140 TỌA ĐỘ OXYZ x = −5 + 5t C : y = 13 + t z = −2 − 5t x = −17 + 5t D : y = 33 + t z = 66 − 5t Lời giải Chọn C Gọi M ( 7; − 7;6 ) d Gọi N ( x; y; z ) điểm đối xứng M qua mặt phẳng ( P ) I trung điểm MN MN = k nP ( x − 7; y + 7; z − ) = k ( 3; −5; ) Ta có: I ( P ) 3 x − y + z + 84 = x = −5 + 5t Giải hệ, ta có: k = −4 M ( −5;13; − ) Do đó: : y = 13 + t z = −2 − 5t Câu 84: Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu đường thẳng d : x −1 y + z = = −1 mặt phẳng Oyz x = 1− t A d : y = z = x = B d : y = + 2t z = 1+ t x = C d : y = + 2t z = 1− t x = D d : y = −4 + 2t z = 1− t Lời giải Chọn D x = 1+ t x = Ta có: d : y = −2 + 2t Hình chiếu d d lên mặt phẳng Oyz là: d : y = −2 + 2t z = −t z = −t x = Cho t = −1 , ta A ( 0; −4;1) d d : y = −4 + 2t z = 1− t Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : d lên mặt phẳng ( Oxy ) x = − 2t A y = −1 + t z = x = + 2t B y = −1 + t z = x = − + 2t C y = + t z = x −1 = y + = z − Hình chiếu x = D y = −1 − t z = Lời giải Chọn B x = + 2t Phương trình tham số đường thẳng d : y = −1 + t z = + t x = + 2t Do mặt phẳng ( Oxy ) : z = nên hình chiếu d lên ( Oxy ) y = −1 + t z = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 141 TỌA ĐỘ OXYZ x = + 2t Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y = −2 + 4t Hình chiếu song z = + t x +1 y − z − = = có phương trình −1 −1 x = − 2t x = + 2t C y = D y = z = 1+ t z = − 4t song d lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương : x = + t A y = z = + 2t x = − − 2t B y = z = − 4t Lời giải Chọn A Giao điểm d mặt phẳng ( Oxz ) là: M (5;0;5) x = + 2t Trên d : y = −2 + 4t chọn M khơng trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) Gọi A z = + t x +1 y − z − = = hình chiếu song song M lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương : −1 −1 x +1 y − z − = = +/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với : −1 −1 +/ Điểm A giao điểm d’ ( Oxz ) +/ Ta tìm A(3; 0;1) x = + 2t Hình chiếu song song d : y = −2 + 4t lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương z = + t x +1 y − z − : = = đường thẳng qua M (5;0;5) A(3; 0;1) −1 −1 x = + t Vậy phương trình y = z = + 2t HẾT TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 142 ... = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 39 TỌA ĐỘ OXYZ a = - Với a = c thay vào (***) b = −4 R = a − = c = Tương tự trường hợp khác Chọn D TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 40 TỌA ĐỘ OXYZ. .. z − x + y + z + = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 22 TỌA ĐỘ OXYZ 1 13 Ta có: a = 1, b = − , c = − , d = a + b + c − d = − 2 Suy (1) không phương trình đường trịn TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG... x = 2a − 3b = ( −2; − 3; 19 ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TỐN 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, VÉC TƠ Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3)