Hội Toán Học Việt Nam thông tin toán học Tháng Năm 1999 Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Lu hành nội Tập Số Thông Tin Toán Học Tổng biên tập: Đỗ Long Vân Lê Tuấn Hoa Hội đồng cố vấn: Phạm Kỳ Anh Đinh Dũng Nguyễn Hữu Đức Trần Ngọc Giao Phan Quốc Khánh Phạm Thế Long Nguyễn Khoa Sơn Vũ Dơng Thụy Ban biên tập: Nguyễn Lê Hơng Nguyễn Bích Huy Lê Hải Khôi Tống Đình Quì Nguyễn Xuân Tấn Đỗ Đức Thái Lê Văn Thuyết Nguyễn Đông Yên Tạp chí Thông Tin Toán Học nhằm mục đích phản ánh sinh hoạt chuyên môn cộng đồng toán học Việt nam quốc tế Tạp chí thờng kì 46 số năm Thể lệ gửi bài: Bài viết tiếng việt Tất bài, thông tin sinh hoạt toán học khoa (bộ môn) toán, hớng nghiên cứu trao đổi phơng pháp nghiên cứu giảng dạy đợc hoan nghênh Tạp chí nhận đăng giới thiệu tiềm khoa học sở nh giới thiệu nhà toán học Bài viết xin gửi soạn Nếu đợc đánh máy tính, xin gửi kèm theo file (đánh theo ABC, chủ yếu theo phông chữ VnTime) Quảng cáo: Tạp chí nhận đăng quảng cáo với số lợng hạn chế sản phẩm thông tin liên quan tới khoa học kỹ thuật công nghệ Mọi liên hệ với tạp chí xin gửi về: Tạp chí: Thông Tin Toán Học Viện Toán Học HT 631, BĐ Bờ Hồ, Hà Nội e-mail: lthoa@thevinh.ncst.ac.vn â Hội Toán Học Việt Nam ảnh bìa lấy từ su tầm GS-TS Ngô Việt Trung Thông báo Ban chấp hành Hội Toán Học Việt Nam Hởng ứng lời kêu gọi Ban chấp hành Hội việc chấn chỉnh lại công tác quản lý hội viên thu phí hội viên, năm 1998 có 626 hội viên đóng hội phí (trực tiếp đóng theo quan) Ban chấp hành Hội xin cảm ơn hởng ứng nhiệt tình quí vị bạn, đặc biệt đại diện BCH Hội sở Số tiền hội phí thu đợc năm 1998 đợc sử dụng chủ yếu cho việc in ấn Nội san Thông Tin Toán học Hội Trong cuối số Thông Tin Toán học xin công bố danh sách hội viên đóng hội phí Ban chấp hành Hội mong năm 1999 quí vị bạn tiếp tục ủng hộ công tác (Phiếu đăng kí hội viên hội phí năm 1999 đăng bìa số này) Xin cám ơn cộng tác quí vị bạn Hà Nội, ngày 28 tháng năm 1999 BCH Hội Toán học Việt Nam Cơ sở Groebner Hình học Đại số Ngô Việt Trung (Viện Toán học) Khái niệm sở Groebner đời năm 70 để giải toán chia đa thức Sau 20 năm khái niệm có ứng dụng to lớn nhiều chuyên ngành toán học khác từ Đại số qua Hình học, Tô pô, Tổ hợp đến Tối u Trong báo giới thiệu khái niệm sở Groebner ý nghĩa việc tính toán hình thức (tính toán với biến số) nh số vấn đề lý thuyết Hình học Đại số.1 Bài toán thử phần tử Khái niệm sở Groebner có xuất xứ từ toán sau đây: Cho f g1, ,gm đa thức nhiều biến Khi ta tìm đợc đa thức h1, ,hm cho f = g1h1 + + gmhm Lúc ta gọi f tổ hợp tuyến tính đa thức đa thức g1, ,gm Theo ngôn ngữ đại số đẳng thức có nghĩa f nằm iđêan sinh g1, ,gm Vì ngời ta gọi toán toán thử phần tử (membership problem) Đây toán xuất hầu hết lĩnh vực toán học Chẳng hạn, đối tợng nghiên cứu hình học thông thờng tập nghiệm hệ phơng trình đa thức Một tập nghiệm nh đợc gọi đa tạp đại số Tập nghiệm phơng trình đa thức đợc gọi siêu mặt Mọi đa tạp đại số tập giao siêu mặt Từ nẩy sinh vấn đề siêu mặt chứa hình hình học cho trớc, cụ thể đa thức f(x1, ,xn) triệt tiêu nghiệm hệ phơng trình đa thức: g1(x1, ,xn) = 0, gm(x1, ,xn) = Thay hệ phơng trình hệ phơng trình tơng đơng thích hợp ta quy vấn đề thành vấn đề đa thức f tổ hợp tuyến tính đa thức đa thức g1, ,gm Trong trờng hợp biến ta dễ dàng quy toán thử phần tử trờng hợp m = Khi toán phát biểu lại dới dạng đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) cho trớc Bài toán đợc giải thuật toán Euclid Thuật toán cho phép ta xác định (sau số hữu hạn phép tính) đa thức r(x) có bậc nhỏ bậc g(x) cho f(x) viết dới dạng: f(x) = g(x)h(x) + r(x) Ta coi r(x) nh phần d phép chia f(x) cho h(x) Do bậc r(x) nhỏ bậc g(x) nên f(x) chia hết cho g(x) r(x) = Tiếc thuật toán Euclid áp dụng trờng hợp nhiều biến Để thấy điều ta nhớ lại xem thuật toán Euclid làm việc nh Thuật toán Euclid: Giả sử f = a0xs + a1xs-1 + + as g = b0xt + b1xt-1 + + bt Nội dung báo báo cáo mời Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Thái Nguyên, 12/1998 với s = bậc f t = bậc g, tức a0 b0 Nếu s < t ta đặt r = f Nếu s t ta viết f = (a0/b0)xs-tg + f1 với bậc f1 < bậc f Khi ta thay f f1 quay lại bớc Thuật toán phải dừng sau số hữu hạn bớc bậc f giảm dần Trờng hợp nhiều biến có khó khăn ta quy trờng hợp m = đợc Ngay m = ta áp dụng thuật toán Euclid coi f(x1, ,xn) g(x1, ,xn) đa thức biến theo x = xn a0/b0 không đa thức ta tiếp tục bớc thuật toán đợc Tuy thuật toán Euclid không giải đợc toán thử phần tử nhng chứa đựng mầm mống lời giải cho trờng hợp nhiều biến Đó việc xét hạng tử có bậc cao việc hạ bậc sau bớc Điểm mấu chốt khái niệm bậc cho ta quy tắc xác định thứ tự hạng tử đa thức biến Trong trờng hợp nhiều biến khái niệm bậc thông thờng không phù hợp có nhiều hạng tử có bậc Vì ngời ta phải xắp xếp thứ tự hạng tử theo quy tắc tìm cách giảm thứ tự sau bớc Điều dẫn đến khái niệm sở Groebner với thuật toán chia Thuật toán chia Do hạng tử ứng với đơn thức x1a1 xnan nên ngời ta phải đa xắp xếp thứ tự thích hợp cho đơn thức Thứ tự hay đợc dùng đến thứ tự từ điển Thứ tự coi x1, ,xn nh chữ đơn thức x1a1 xnan nh từ có a1 chữ x1 đầu, , an chữ xn đuôi: x1a-1 > x1a > x1a-1x2 > > x1a-1xn > x1a-2x2 > Tiếp theo ta thay hệ đa thức g1, ,gm cho trớc hệ tổ hợp tuyến tính đa thức e1, ,ep g1, ,gm cho f tổ hợp tuyến tính đa thức khác không g1, ,gm hạng tử cao f chia hết cho hạng tử lớn đa thức e1, ,ep Một hệ đa thức nh đợc gọi sở Groebner hệ g1, ,gm Cơ sở Groebner tồn Ví dụ Xét hệ hai đa thức g1 = x12+3x1x2, g2 = 2x12+x22 Nếu ta xắp xếp đơn thức theo thứ tự từ điển x12 > x1x2 > x22 Đơn thức lớn hai đa thức x12 Tuy nhiên chúng có sở Groebner hệ đa thức e1 = x12 + 3x1x2 = g1, e2 = x1x2 - x22/6 = (2g1- g2)/6, e3 = x23 = [(6x1+19x2)g2 - (12x1+2x2) g1]/19 với hạng tử lớn x12, x1x2, x23 Thật vậy, thấy hạng tử lớn tổ hợp tuyến tính đa thức bậc g1, g2 x12, x1x2 Còn hạng tử lớn tổ hợp tuyến tính đa thức bậc > g1, g2 phải chia hết cho đơn thức x12, x1x2, x23 đơn thức bậc > chia hết cho đơn thức Một ta có sở Groebner ta có thuật toán chia tơng tự nh thuật toán Euclid Thuật toán xác định cho đa thức f đa thức r có hạng tử lớn không chia hết cho hạng tử lớn e1, ,ep cho f viết dới dạng f = h1e1 + + hpep + r Do e1, ,ep tổ hợp tuyến tính đa thức g1, ,gm nên f tổ hợp tuyến tính g1, ,gm r tổ hợp tuyến tính đa thức g1, ,gm Theo định nghĩa sở Groebner điều xảy r = Thuật toán chia Giả sử e1, ,ep sở Groebner hệ g1, ,gm Nếu hạng tử lớn f không chia hết cho hạng tử lớn đa thức e1, ,ep ta đặt r = f Nếu hạng tử lớn f chia hết cho hạng tử lớn đa thức ei ta viết f = hei + f1 với h thơng hạng tử lớn f ei f1 đa thức có hạng tử lớn < hạng tử lớn f (điều phụ thuộc vào lựa chọn thứ tự đơn thức) Khi ta thay f f1 quay lại bớc Thuật toán phải dừng sau số hữu hạn bớc hạng tử lớn f có thứ tự giảm dần Sử dụng thuật toán chia ta dễ dàng giải toán thử phần tử với đa thức f, g1, ,gm cho trớc Ví dụ: Giả sử f = x13 e1, e2, e3 sở Groebner ví dụ Ta có x13 = x1e1 - 3x12x2, 3x12x2 = 3x2e2 - x1x22/2, x1x22/2 = x2e2/2 - x23/12 x23/12 = e3/12 Vì x13 tổ hợp tuyến tính đa thức hai đa thức g1 = x12+3x1x2, g2 = 2x12+x22 Từ bớc ta nhận đợc x13 = x1e1 - 3x1e2 + x2e2/2 - e3/2 = x1g1 - (6x1-x2)(2g1- g2)/12 - [(6x1+19x2)g2 - (12x1+2x2) g1]/38 = [(72x1+50x2)g1 - (140x1+95x2)g2]/228 Việc sử dụng hệ đa thức giống nh sở Groebner xuất từ đầu kỷ công trình Gordan, Macaulay, Hilbert Ngời thấy đợc tầm quan trọng thuật toán chia nhà toán học ngời áo Groebner Ông đặt vấn đề tính sở Groebner làm đề tài luận án phó tiến sĩ cho học trò ông Buchberger Năm 1970 Buchberger [B] tìm thấy thuật toán hữu hiệu để tính sở Groebner Sau ngời ta phát Groebner biết nét thuật toán từ năm 50 Cùng thời gian xuất kỹ thuật tơng tự giống nh thuật toán chia công trình Hironaka giải kỳ dị, Grauert Giải tích phức Cohn Lý thuyết vành không giao hoán Cơ sở Groebner đợc nghiên cứu thời kỳ máy tính cá nhân đời bắt đầu trở nên phổ cập Ngay ngời ta thấy lập trình thuật toán chia để giải toán với biến số mà ngày đợc gọi tính toán hình thức (symbolic computation) Bản thân thuật toán chia chứa đựng thuận lợi cho việc lập trình nh: Việc xắp xếp thứ tự hạng tử đa thức cho phép ta biểu diễn đa thức nh véc tơ hệ số ta đa liệu đa thức vào máy tính cách dễ dàng Việc xét hạng tử lớn đa thức cho phép máy tính cần thử tọa độ véc tơ tơng ứng Có thể tham khảo tài liệu [CLO] [E] sở Groebner thuật toán chia đa thức Hiện chơng trình máy tính toán học lớn nh MATHEMATICA, MAPLE, v.v có cài đặt thuật toán làm việc với sở Groebner Ngoài có chơng trình máy tính chuyên dụng nh MACAULAY, COCOA, v.v đợc xây dựng chủ yếu dựa vào khái niệm sở Groebner nhằm giải việc tính toán hình thức Hình học đại số Đại số giao hoán Về mặt lý thuyết khái niệm sở Groebner đa phơng pháp vấn đề nghiên cứu Trớc tiên ngời ta thấy nhiều cần xét tập hợp các hạng tử đầu sở Groebner đủ để có thông tin cần thiết hệ đa thức ban đầu Có thể thay hạng tử đơn thức nên thực chất ta phải xét số hữu hạn số tự nhiên ứng với số mũ biến đơn thức Ta coi số tự nhiên nh điểm nguyên điểm có toạ độ số nguyên Vì nhiều toán Hình học Đại số quy việc xét tính chất tổ hợp hay tô pô tập hợp hữu hạn điểm nguyên Sau giới thiệu số kết ứng dụng sở Groebner Hình học Đại số Bậc đa tạp định thức Cho X = (xij) ma trận mìn biến số t min{m,n} số tự nhiên tùy ý Ta ký hiệu với It hệ minor bậc t X Vt tập ngiệm It Tập Vt trờng hợp đặc biệt lớp đa tạp định thức tập nghiệm loại minor khác X Nếu ta cắt Vt với số hữu hạn siêu phẳng vị trí tổng quát có lúc ta nhận đợc số hữu hạn điểm Số điểm phụ thuộc vào Vt đợc gọi bậc Vt, ký hiệu deg Vt Trong đại số ngời ta dùng ký hiệu số bội e(It) thay cho deg Vt Từ đầu kỷ ngời ta biết công thức: e(It) = định thức ma trận (Cm-im+n-i-j)i,j=1, ,t-1 Phép chứng minh công thức phức tạp ứng dụng để tính bậc đa tạp định thức khác Gần ngời ta phát dùng sở Groebner để tính bậc đa tạp định thức từ nảy sinh mối quan hệ tuyệt đẹp hình học, đại số, tô pô tổ hợp Nếu ta xắp xếp đơn thức k[X] theo thứ tự từ điển ta chứng minh đợc tập minor cấp t sở Groebner It Giả sử M minor cấp t dòng i1 < Ví dụ Nếu P tam giác R2 có đỉnh (0,0), (1,2), (2,1) P có tam giác hoá đồng điệu tam giác hoá quy có bậc tam giác có đỉnh x1, x2, x3 đơn diện có đỉnh LP mà không thuộc f(x2) x2 f(x3) f(x1) x4 x3 f(x4) x2 x1= (0,0) x4 x3 x1 Khái niệm tơng ứng với đa diện nguyên hình học đa tạp xuyến xạ ảnh Giả sử n = #LP EP tập hợp điểm nguyên có dạng (z,1), z LP, Rr+1 ứng với phần tử (1, , r+1) tập xuyến (k*)r+1 ngời ta có điểm không gian xạ ảnh Pkn+1 có tọa độ phần tử 1a1 rarr+1, (a1, ,ar) EP Tập hợp điểm đợc gọi đa tạp xuyến VP P Đây đối tợng nghiên cứu quan trọng môn Hình học đại số Theo kết Kempf-Knudsen-Mumford-SaintDonald Gelfand-Kapranov-Zelevinsky (xem [Stu]) đa tạp xuyến VP có nhiều tính chất hình học tốt đa diện nguyên P có tam giác hoá đồng điệu quy Trong đại số ngời ta quan tâm đến hệ IP gồm đa thức n biến triệt tiêu điểm đa tạp xuyến VP Cứ ứng với sở Groebner IP ngời ta có tam giác hoá quy tam giác hoá đồng điệu hạng tử lớn sở Groebner tơng ứng đợc xác định tập đa diện đơn có đỉnh LP không thuộc vào Ví dụ Trong ví dụ IP có sở Groebner (tơng ứng với tam giác hoá đồng điệu quy P) x1x2x3 - x43 với hạng tử lớn x1x2x3 (tơng ứng với tam giác có đỉnh x1, x2, x3 đơn diện có đỉnh LP mà không thuộc ) Nếu P có tam giác hoá đơn điệu quy bậc IP có sở Groebner gồm đa thức có bậc Khi ta nhận đợc từ IP đại số Koszul khái niệm có xuất xứ từ Lý thuyết nhóm lợng tử Vì ngời ta quan tâm đến việc tìm lớp đa diện nguyên có tam giác hoá đồng điệu quy bậc Định lý [BGT] Giả sử P đa diện nguyên R2 cho chứa điểm nguyên Các điều kiện sau tơng đơng: (i) P có tam giác hoá đồng điệu quy bậc (ii) Biên P có điểm nguyên Cuối xin kết thúc báo với toán sơ cấp sau Với số tự nhiên c ta ký hiệu với cP đa diện nguyên có đỉnh có toạ độ bội c lần toạ độ đỉnh P Giả thuyết Tồn số c > cho đa diện nguyên cP có tam giác hoá đồng điệu quy áp dụng định lý ta thấy giả thuyết với r = với c = Tài liệu tham khảo [BGT] W Bruns, J Gubeladze, N.V Trung, Normal polytopes, triangulations, and Koszul algebras, J Reine Angew Math 485 (1997), 123-160 [B] B Buchberger, An algorithmic criterion for the solvalbility of algebraic systems of equations, Aequationes Math (1970), 374-383 [CLO] D Cox, J Little D OShea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer 1991 [E] D Eisenbud, Commutative Algebra with a View toward Algebraic Gemetry, Springer 1994 [HT] J Herzog N.V Trung, Groebner bases and multiplicity of determinantal and Pfaffian ideals, Advances in Math 96 (1992),1-37 [Sta] R Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Birkhauser 1983 [Stu] B Sturmfels, Groebner Bases and Convex Polytopes, Univ Lect Ser 8, Amer Math Soc 1995 Lời Toà soạn: Giới thiệu hớng nghiên cứu, phơng pháp giảng dạy, quan điểm, kinh nghiệm việc nghiên cứu toán, học toán, đề tài thú vị, giúp cho độc giả có tầm nhìn rộng toán Chúng hi vọng tới nhận đăng đợc nhiều giới thiệu nh