Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau 3.. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Đề thi Học sinh giỏi lớp 12
Năm học 95-96
Câu 1: Giải hệ phương trình :
¿ x2
+1=2y y2+1=2x
¿{ ¿
Câu 2: Cho bất phương trình : m√x2−2x+17−(2m+1)4√x2−2x+17+m+1>0 (1)
1.Giải phương trình (1) với m =
2.Với giá trị bất phương trình (1) : a.Nghiệm với giá trị x ? b.Có nghiệm ? Câu 3: Cho parabol y = 0,5x2 điểm M(x
0 ,y0) với y0 < 0,5 x02 Các tiếp tuyến kẻ từ M tới parabol tiếp xúc với
parabol N1(x1,y1 ) N2(x12,y2 )
Chứng minh : y0 + y1 = x0x1 ; y0 + y2 = x0x2
Giả sử M chạy đường thẳng y = - 0,5 Chứng minh đường thẳng N1N2 qua điểm cố
định Tìm toạ độ điểm cố định
Câu 4: Cho đường trịn có pt: x2 + y2 = R2 ( R ) , ABCD hình thoi ngoại tiếp đg trịn M ( Rcosa ;
Rsina) ; N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a – b ) khác 0) tiếp điểm cạnh AB BC với đường trịn Viết phương trình cạnh hình thoi ABCD Tính diện tích hình thoi theo R ; a ; b
Câu 5: Cho Sn =
2 2
2( 1) 2( 2) 2( )
( 1) 1 ( 2) 1 ( ) 1
n n n n
n n n n
Với n = 1,2,3 Tìm giới hạn có S n n →+∞
Năm học 96-97
Câu 1: Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) hàm số y=2x4+(1 – 2x )4
2 Giải phương trình : 2x4 +( 1- 2x)4=
27
Câu 2: Cho elip (E) có phương trình x
2 9+
y2
4 =1
1 Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M ( 0; √13¿ tới (E) Xác định góc tiếp tuyến Tìm tập hợp điểm N cho tiếp tuyến kẻ từ N tới (E) vuông góc với
Câu 3: ABC tam giác có góc nhọn Chứng minh ΔABC tam giác : cosA+cosB+cosC=cos(A+2B
3 )+cos(
B+2C
3 )+cos(
C+2A
3 )
Câu 4: Chứng minh với m hàm số f(t) = m√3mt−2 đồng biến tập xác định
1 Cho hệ phương trình :
¿
x3+2=m.√3 my−2
y3
+2=m.√3mz−2
z3
+2=m.√3 mx−2 ¿{ {
¿
a Giải hệ m = b Giải hệ m =
Năm học 97-98
Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x3 –12x-20 (1)
1 Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) hàm số (1) Tính f(√34+√316)
(2)Câu 2: Cho hệ phương trình :
¿ x2−2x ≤ m−1
x2−4x ≤1−4m
¿{ ¿
1 Giải hệ với m =1 Giải biện luận hệ theo m
Học sinh chọn hai câu 3a , 3b sau:
Câu 3a: Cho A(x0,y0) điểm thuộc đường trịn x2+y2=25 (E) elíp có phương trình : x
2 16+
y2 =1
1 Chứng tỏ A nằm ngồi (E)
2 Chứng minh từ A ta kẻ haitiếp tuyến (E) hai tiếp tuyến vng góc Gọi tiếp điểm tiếp tuyến với (E) B C
3 Giả sử h khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Tìm giá trị lớn nhỏ h
Câu 3b: Cho ABCDlà tứ diện với cạnh Hai điểm M N chuyển động cạnh AB AC cho tnp(DMN) mp(ABC)
1 Chứng minh tnp(DMN)luôn qua đường thẳng cố định
2 Đặt AM=x AN=y Tính theo x,y diện tích ΔAMN chứng minh : x + y = 3xy Tìm giá trị lớn nhỏ thể tích V tứ diện ADMN
Câu 4:Cho số a,b,c thoả mãn : a , b , c ≤2 a + b + c =3 Chứng minh : a4+ b4 + c4 17
2 Tìm giá trị lớn biểu thức : a1997+ b1997 + c1997
Năm học 98-99
Câu 1: Cho hàm số : y = - 4x3 + 3x (1)
1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số (1) tìm điểm cực đại , cực tiểu đồ thị hàm số Chứng minh bất đẳng thức : 13<sin 200<26
75
Câu 2: Cho phương trình cos[π
8(3x −√9x
+160x+800)]=1(2) Giải phương trình (2)
2 Tìm tất nghiệm nguyên (2)
H c sinh ọ được ch n câu 3a ho c 3b dọ ặ ướ đi ây
Câu 3a: Cho elip (E) có phương trình x
2 16+
y2
9 =1 hai điểm M (4cos α ; 3sin α ) ; N(4cos β ;3 sinβ )
trong α ; β thay đổi thoả mãn hệ thức : cosαcosβ+16 sinαsinβ=0 Chứng minh điểm MvàN thuộc (E)
2 Chứng minh tiếp tuyến (E) Nvà M vng góc với Tìm giá trị lớn nhỏ đoạn thẳng MN
Câu 3b: Hình chóp S.ABCcó mặt SAB,SBC SCA tam giác vuông S Kẻ SH mp(ABC) với H∈mp(ABC)
1 Chứng minh H trực tâm ΔABC
2 Chứng minh hệ thức :
SH2= SA2+
1 SB2+
1 SC2
3 Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi cho ab + bc + ca khơng đổi Tìm GTLN đoạn thẳng SH Câu 4: A,B,C góc tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức :
P = cos A + cos B + cos C +
1 sin A
2 +sin
B
2+sin
C
2
năm 1999-2000
Câu1(6đ): Cho hàm số : y=xlnx (1)
1 Tìm tập xác định khoảng đồng biến nghịch biến giá trị nhỏ hàm số CMR : √x
2 lnx ≥−
(3)3 Tính đạo hàm hàm số f(x)=
x=0 Câu2( 4đ): Giải bất phương trình sau: log3(x2+1)+ log5(x4+1)
Câu3a(6đ):
Giả sử A (x0; y0 ) điểm thuộc đường trịn x2 + y2 =25; (E) elip có phương trình : x
2 16+
y2
9 =1
a Chứng minh từ A kẻ hai tiếp tuyến tới (E) hai tiếp tuyến vng góc với Gọi tiếp điểm chúng B C
b Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tam giác ABC
Câu 3b(6đ):Tứ diện ABCD có cạnh AD lớn đặt BC =x dựng DH AK vng góc với BC ( H ,K thuộc cạnh BC )
1 Gọi V thể tích tứ diện ABCD chứng minh V 61AK BC DH Chứng minh : DH √1−x
2
3 Tìm x để thể tích V tứ diện ABCD lớn Câu 4(4đ): Cho phương trình : x4 = 4
√4x+1+1 (2)
1 Giả sử x0 nghiệm phương trình (2) chứng minh x0 >
2 Giải phương trình (2)
Năm học 2000-2001
Câu1 Cho hàm số : F(x) =
3 ( 1)
x 1
a x=1 x
x
Với giá trị a hàm số có đạo hàm x=1 ? vơí giá trị a tìm tìm F’(1)
Câu : Cho tam giác ABC biết mặt phẳng (ABC) có điểm M cho MA=1 ;MB=MC=6 gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh : S 10√5 dấu xẳy ?
Câu3: Cho A’(-a;0); A(a;0)và elip có phương trình (E): x
2
a2+ y2
b2=1 Với a > b > Trên (E) lấy điểm M tìm quỹ tích trực tâm H tam giác MA A’ điểm M di chuyển (E)
Câu : iải hệ sau : sinx +
siny = siny +
1
sin 2000 = sin 2000 + sinx
Câu : Cho hai phương trình sau : (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 3x =(8a -4)log
3(3a - 1/2) - x3 (2)
Tìm a để số nghiệm phương trình (1) không vượt số nghiệm (2)
Năm học 2001-2002
Câu1 :Giải hệ phương trình sau x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2
2x 22x+y + 3y 8x+y =1
Câu2 : Tìm m để phương trình sau vô nghiệm (4m-3) √x+3 + (3m -4) √1− x =1-m Câu :Gọi A,B,C ba góc tam giác ABC
a.CMR : (1+ tg A2 )(1+tg B2 )(1+ tg C2 )=2+2 tg A4 tg B4 tg B4 b Xác định giá trị A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn T=(1+ tg A
2 )(1+tg
B
2 )(1+ tg
C
2 )
Câu :Trên mặt phẳng toạ độ cho họ đường thẳng : y= 2(1− m)
1+m x +
1+m¿2 ¿ (m−1)(3+m)
¿
(4)Năm học 2002-2003
Câu1: Cho hàm số : f(x) = x3 – 3x2 –7x + (1)và M(x
0;y0)là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) Tiếp tuyến M đồ
thị hàm số (1) cắt trục hoành A cắt trục tung B Tìm toạ độ M cho điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1 Hoàng độ A số dương Tung độ B số âm OB = 2OA ( O gốc toạ độ
Câu2: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình : cosx2 cos ( x2 2x1) Giải bất phương trình : 8 2 3 x 4 3x 2 3 x 5
Câu3: Cho họ đường trịn có phương trình : (Cm): x2+y2-2mx+2(m+1)y-1=0; (Km): x2+ y2-x+(m-1)y+3=0
1 Tìm trục đẳng phương đường tròn
2 Chứng minh m thay đổi , trục đẳng phương qua điểm cố định Câu4 : Giả sử tham số a thuộc đoạn [0; ]4
và hàm số ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa – sina)-3x2 sin2a xác định [-sina ;
cosa] Tìm a để giá trị nhỏ hàm số đạt giá trị lớn
Năm học 2003-2004
Câu1 (5đ):Giải bất phương trình sau : (3x -2x-1)(
√x+3−2¿ >0 Câu 2(6đ):
1 Cho phương trình : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2 Chứng minh với giá trị m hệ ln có nghiệm (x ; y): mx -2y >m
x2 + y2 -2mx + y =0
Câu3 (6đ): Trong không gian cho hai đường thẳng d1,d2 cho 0x ,d1,d đơi chéo vng góc với
1 Xét đường thẳng d qua gọi α , β , δ thứ tự góc d với đường 0x ,d1,d
Chứng minh tg2 α tg2 β tg2 δ - (tg2 α +tg2 β +g2 δ ) =2.
2 Biết khoảng cách ba đường thẳng ba đường 0x ,d1,d đơn vị độ dài hình
hộp ABCD.A’B’C’D’ thoả mãn : B’ d thuộc 0x ; A’ C’ thuộc d1;A D’ thuộc d2 Tính thể tích hình hộp
ABCD,A’B’C’D’
Câu 4(3đ):Cho a,b dương chứng minh : (a + 1)ln(a+1) + eb (a +1) (b+1)
Năm học 2004 - 2005
Câu I ( điểm) Cho hàm số f(x) = 2mx x2 2x2m , với m tham số.
1) Khi m =
3
; tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số 2) Xác định m để hàm số nghịch biến R
Câu II ( điểm) Tính tích phân I =
2
4
1
1
( 1)( x 1)
x
dx
x x e
Câu III (7 điểm)Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy; cho đường parabol (P) có phương trình: y = x2 và
đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0
1) Chứng minh (P) (C) có giao điểm phân biệt
2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đường tròn (C) Hãy lập phương trình đường trịn qua điểm M( 2, - 1) tiếp xúc với đường tròn (C) điểm A
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi qua điểm A cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt T1 , T2 Gọi (d1) , (d2)
thứ tự tiếp tuyến (P) tiếp điểm T1 , T2 Biết (d1) cắt (d2) điểm N; chứng minh điểm N nằm
trên đường thẳng cố định
Câu IV (3 điểm) Chứng minh với số thực x thuộc khoảng ( ;
(5)