Nhận dạng hệ thống điều khiển nguyễn doãn phước, phan xuân minh

THƯ VIỆN ĐẠI HỌC NHA TRANG M 629.892 Ng 527 Ph HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN (^,/ièụx tKÙtuỷ dd dế* uéi t&tcviệ* củ* cdú*9 t&i Xin vui lịng: • Khơng xé sách N g u y ễ n D oãn P hước & P h a n X uân M inh NHẬN DẠNG HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT - 2001 - ii M ã số: 6T6.5 KH KT - 2001 123-10-6/4/01 iii Lời nói đầu N hận dạng hệ thống công việc phải thực giải toán Điều khiển Tự động Lý đơn giản vi khơng thê phân tích, tổng hợp hệ thống khơng có mơ hình tốn học mơ tả hệ thống Trong q trình xây dựng mó hình hệ thống phương diện lý thuyết người ta thường không th ể khảo sát ảnh hưởng mơi trường đến tính động học hệ thống tác động qua lại bên hệ thống cách xác tuyệt đổi R ất nhiều yếu tô bị bỏ qua xem xét đến tác động ngẫu nhiên Bởi vậy, nói cách chặt chẽ hiếu biết lý thuyết ban đầu hệ thống có th ể giúp người ta khoanh vùng lớp mò hình thích hợp Đê có th ế có mơ hình cụ th ể có chất lượng phù hợp với toán điểu khiển đặt lớp mơ hình thích hợp phải sử dụng phương pháp nhận dạng Thời điểm đời chuyên ngành Nhận dạng xem vào khoảng cuối thập niên 50 Tuy đời muộn N hận dạng ầã phát triển nhanh có thành tựu vượt bậc Nguyên nhân phát triển vuợt bậc phần từ yêu cẩu thực tể, song có lẽ phần nhờ có hỗ trợ tích cực ngành khoa học liên quan, đặc biệt x lý tín hiệu Tin học S ự ph t triển Nhận dạng lĩnh vực Điều khiển tự động từ năm 1960 đến có th ể chia làm ba giai đoạn phát triển sau: Giai đoạn khoảng từ năm 1960 đến 1975 đánh dấu nhận dạng mơ hình khơng tham sơ' cho đơi tượng điều khiển tuyến tính mà trọng tâm chủ yếu thiết lập hàm trọng lượng hay hàm đặc tính tần biên-pha dạng dãy giá trị (phức) Kiến thức lý thuyết cần thiết cho giai đoạn phần lớn xây dựng sở lý thuyết hàm phức phân tích phổ tín hiệu Giai đoạn hai đặc trưng đời lớp mơ hình động liên tục rời rạc có tham sơ' gọi giai đoạn nhận dạng tham sô' mô hỉnh Thông tin lý thuyết ban đầu vê hệ thống vừa đủ đ ể người ta có thê lựa chọn bậc (hay cấu trúc) cho mô hình liên tục rời rạc Nhiệm vụ nhận dạng giai đoạn xác định giá trị tham sổ mơ hình với hướng nghiên cứu tập trung xét tính hội tụ phương pháp ảnh hưởng nhiễu vào kết Giai đoạn ba khoảng từ năm 1990 trở lại đánh dấu nhận dạng mơ hình động học liên tục phi tuyến nhận dạng mơ hình tham sơ cho hệ nhiều chiều, hướng nghiên cứu xét tính nhận dạng hệ nhiều chiều Dần dần, củng giai đoạn người ta chuyển hướng vào nhận dạng hệ thống suy biến (singular systems) IV Trong phương pháp nhận dạng hệ thống dùng rộng rãi, chúng tơi có th ể chọn lọc giới thiệu vài phương pháp đặc trưng làm đại diện Phương hướng chọn lựa từ mơ hình khơng tham sơ' với cơng cụ phân tích p h ổ tín hiệu (chương 2) đ ể m cho cơng việc nhận dạng tham s ố mơ hình liên tục tuyến tính mơ hình rời rạc tuyến tính sau (chương chương 4) N h sách có nội dung chủ yếu giới thiệu phương pháp nhận dạng hình thành giai đoạn Một phần lý phương pháp trở thành chuẩn mực cài đặt chương trình tiện dụng M ATLAB giúp bạn đọc có th ể sử dụng chúng đ ể kiểm nghiệm lại điều đọc Phần phương pháp giai đoạn chưa có nhiều sức thuyết phục ứng d ụng mong muốn N h ằ m giúp bạn đọc tiện theo dõi thuật tốn trình bày, sách chúng tơi cịn giới thiệu s ố chương trình viết ngơn ngữ lập trình c thê thuật toán đê tham khảo Cuốn sách viết với mục đích cung cấp thêm tài liệu hỗ trợ việc tự học cho sinh viên ngành Điều khiển T ự động học môn L ý thuyết Điều khiển nâng cao, sinh viên ngành Điện, ngành khác có liên quan tới việc xây dựng mơ hình hệ thống Ngồi ra, sách cịn có mục đích xa giới thiệu với người cơng tác lĩnh vực phân tích tổng hợp hẹ thống kỹ thuật tài liệu tra cửu, tham khảo cơng việc xây dựng mơ hình hệ thống Đ ể có th ể thực m ục đích ngày tốt, tác giả mong nhận góp ý sửa đổi hay bổ sung thêm từ phía bạn đọc Thư góp ý xin gửi về: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Khoa Điện, Bộ môn Điểu khiển Tự động Sô' Đại Cồ Việt C / - Hà Nội, ngày 24.4.2001 Các tác glả V Mục lục Nhập môn 1.1 Tại 1.1.1 1.1.2 1.1.3 phải nhận d n g Đ ịnh n g h ĩa .3 Lớp mơ hình thích h ợ p Mô tả sai lệch mô hình TMvà dốitượng thực T 1.2 Phân lớp toán nhận d n g 1.3 Quá trình ngẩu n h iê n 11 1.3.1 Khái n iệ m 11 1.3.2 Các tham s ố trình ngẫu n h iê n .12 1.3.3 Đ ại lượng đánh giá lượng thơn g tin có nguồn phát tin hiệu ngẫu n hiên 15 Nhộn dọng m ố hình khơng tham sổ nhã phân tích phổ tín hiệu 19 2.1 Toốn tử Fourier rời r c .21 2.1.1 Hàm m rộng dirac âí.t) 21 2.1.2 Mơ h ìn h hóa q trình rời rạc tín h iệ u .23 2.1.3 Ánh Fourier hàm m rộng Xa( t) 24 2.1.4 Quan hệ X(ja>) XJja>) 25 2.1.5 H iệu ứng trùng p hổ dịnh lý S han n on 27 2.1.G Hiệu ứng rò rỉ (leakage) kỹ thu ật hàm cửa s ổ 29 2.1.7 Kết luận DFT thu ật toán F F T 34 2.1.8 Toán t'ử DFT ngược 44 2.2 N hận dạng m ật dộ phổ tín h iệ u .46 2.2.1 Nhận dạng hàm tương q u a n .47 2.2.2 Nhận dạng m ật dộ p h ổ 52 2.3 N hận dạng m hình khơng tham s ổ 56 2.3.1 Xác d inh đường đặc tính tần G(ja>) 56 2.3.2 Xác định hàm trọng lượng từ đưởng đặc tính t ầ n 60 Nhận dọng m hình liên tục, tuyến tính c ó tham số tù mơ hình khơng tham số 63 3.1 X ạc đ ịnh tham s ố m h ình từ đường dộ A(í) 63 3.Ï.1 N hững kết luận tổng q u t 63 3.1.2 Xác đ ịnh tham s ố cho m h ìn h P Ĩ ! 70 3.1.3 Xác đ ịnh tham s ố cho m ô h ìn h ITj ITn 72 3.1.4 3.1.5 3.1.6 Xốc đ ịnh tham s ố m hình PTị PT„ 79 Xác đ ịnh tham s ố m hình Lead/Lag 90 Xác đ ịnh tham số m h ình dối tượng dao dộng bậc hai tắt d ầ n 95 3.2 X ác d ịnh tham s ố m ô hình từ giá trị G(jn£lx) nhận dạng theo phương pháp bị động 99 3.2.1 T huật toán C h olesk y 100 3.2.2 N hận dạng tham s ố m ô h ìn h 105 3.2.3 N hận dạng lặp tham s ố m h ìn h 112 VI Nhộn dạng tham số mơ hình ARMA 121 4.1 Đặt vân dề 121 4.1.1 Phát biếu toán nhận d ạng m h ìn h ARMA .121 4.1.2 Chuyển thành hài toán tương dương có hệ sơ k h u ếch đại m h ình .7 122 4.2 Nhậĩ dạng chủ dộng tham sô m h ình A R 123 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 Phương pháp Y u le-W alk er .123 Sai sơ dư báo tuyến tín h phương pháp Y ule-W alker 124 Giải phương trình Y ule-W alker nhờ thu ật toán L e v in so n 127 Phương pháp dự báo đ iều hịa th u ật tốn B u rg 136 Kết lu ậ n 139 4.3 N hận dạng chủ đ ộng tham sô' m ô h ìn h M A 140 4.3.1 Thay m h ình MA b ằn g m h ìn h AR tương d n g 140 4.3.2 T huật toán nhận d ạng cho trường hợp s=2nb 142 4.3.3 T huật toán nhận d ạng ch o trường hợp s>2nb 143 4.4 N hận dạng chủ đ ộng tham sô m ô hình ARMA 145 4.4.1 N hận d ạng tham sô AR m h ìn h ARMA 145 4.4.2 Nhận d ạng tham sơ’ MA m h ình ARM A 146 4.4.3 T huật tốn nhận d ạng tham sơ m h ình ARM A 147 4.5 N hận dạng bị đ ông tham sô m ô h ìn h ARMA 149 4.5.1 Nhận dạng bị động tín h iệu vào tiền đ ịn h 150 4.5.2 N hận d ạng bị động tín h iệu vào ngẫu n h iê n 153 4.5.3 C huyển bái toán nhận d ạng ch ủ d ộ n g 156 Những kỹ thuật bổ trợ 163 5.1 DFT thời gian ngắn (SF T ) 163 5.1.1 Tư tưởng phương p h p 163 5.1.2 T huật toán SFT với hàm cửa sổ B a r tle tt 164 5.1.3 T huật toán SFT với m ột h àm cửa sổ bất k ỳ 166 5.1.4 ứ n g d ụn g đế nhận d ạn g m h ìn h có tham sơ' thay d ố i 171 5.2 N ôi su y 175 5.2.1 N ội su y cố đ iể n 176 5.2.2 Nội su y s p lin e 176 5.2.3 N ội su y B - s p lin e 177 5.2.4 S s ố nội su y B -s p lin e 182 5.3 N goại su y 187 5.3.1 Cực dại en trop ie loại 188 5.3.2 Cưc dại en trop ie loại 189 5.4 Lý th u yết hãm m rộ n g .191 5.4.1 Đ ịnh n g h ĩa 191 5.4.2 T Í n h c h ấ t 193 5.4.3 Toán tử F ourier m rộn g 196 Tài íiệu tham khảo 201 NHẬP MÔN 1.1 Tại phải nhận dạng Xét toán điều khiến theo nguyê‘11 tắc phán hồi đáu hình l.l Muốn tổng hợp điều khiến cho đối tượng đê’ hệ kín có chất lượng nhu' mong muốn trước tiên cần phái hiểu biết đối tượng, tức cần phái có mị hình tốn học mô tá đối tượng Không điều khiên đối tượng khơng hiếu biết hiếu sai lệch Kết quà tống hợp điều khiển phụ thuộc nhiều vào mỏ hình mơ tá đối tượng Mơ hình xác, hiệu suất cơng việc cao Việc xây dựng mị hình cho đơi tirựng gọi mơ hình hóa Người ta (hường phân chia phương pháp mơ hình hóa làm hai loại: w ự )e ự ị ' l— Bộ điểu u ( / ì Đối tượng —> khiển điều khiển - phương pháp lý thuyết - ịphươngb ưphápư thực nghiệm V & V Hình khiền theo nguyẽn tẳc phản hổi đẩu Phương pháp lý thuyết phương pháp thiết lập mơ hình dựa định luật có sẩn vổ quan hệ vật lý bên quan hệ giao tiếp với mơi trường bơn ngồi dối tượng Các quan hệ mô tá theo quy luật lý-hóa, quy luật cân dạng phương trình tốn học Trong trường hợp mà hiểu biết quy luật giao tiếp bôn đỏi tượng mối quan hệ đối tượng với mơi trường bên ngồi khơng dược đầy dú dê’ xây dựng dược mơ hình hồn chinh, từ dó có thè cho biết thơng ti!) ban đẩu dạng mơ hình người ta phái áp dụng phương pháp thực nghiệm dê hồn thiện nót việc xây dựng mơ hình dốt tượng trẽn cư sớ quan sát tin hiệu vào u{t) y(t) cúa đối tượng cho mỏ hình thu bàng phương pháp thực nghiệm thóa mãn yêu cầu phương pháp lý thuyết dề Phương pháp thực nghiệm dó gọi nhận dạng hệ thống điểu khiến Nhừ vậy, khái niệm nhận dạng hệ thống điều khiển hiểu bố sung cho việc mơ hình hóa đối tượng mà lượng thông tin ban đầu đối tượng điều khiển khống đầy đủ Các thơng tin ban đẩu có tên gọi chung thông tin A-priori Chẳng hạn ta phải xây dựng mơ hình cho đối tượng xe chuyên hàng Tín hiệu đầu vào tác động để đẩy xe lực u{t) Dưới tác động lực u{t) xe quăng đường kv hiệu y(t) Ví dụ 1: III Ỷ ■* dỷ* u{t) Hình 1.2: Xây dựng mõ hình cho đối tượng xe chuyển hàng Lọ — -C H y{t) —► Khi chuyến động có hai lực cán trớ chuyển động cứa xe (bỏ qua ma sát tĩnh) Thứ lực ma sát động xác định bởi: Fs = d ỳ , d hệ số ma sát động thứ hai lực cản trờ thay đổi tốc độ F , =m ỷ , m khối lượng xe Theo nguyên lý cân lực ta có mơ hình mơ tả đối tượng, tức mơ tá quan hệ tín hiệu vào u(t) tín hiệu ray(r) sau: mỷ + dỷ = u => G(s) = k — s(l + Ts) ( l.la ) k = — v T = — d d Mơ hình ( l.la ) xây dựng từ hiếu biết ban đẩu đối tượng, chưa phải mô cụ thổ cho xe chở hàng mà ta xét tham số hệ số ma sát d khối lượng xe m chưa có Nói cách khác mơ hình mà ta cần mơ hình có dạng (l.la ) Để có mơ hình hồn chỉnh ta cần phải xác định nốt tham số k T lại Để làm điều này, người ta áp dụng phương pháp thực nghiệm cách tác động tạm thời vào xe thời điểm t- lực cố định, ví dụ u{t)= l đo tín hiệu quãng đường y(t) Biểu diễn quãng đường y(t) phụ thuộc theo t dạng đổ thị ta có hình 1.3 Từ đồ thị ta tính T giao điểm đường tiệm cận y(t) với trục hoành k S5~ Câu hỏi ta lai tính At Hình 1.3: Nhận dạng tham số cho mơ hình xe chỏ hàng tham số trá lời sau chương Ví dụ 2: Ta xét thêm ví dụ với dối tượng động chiều Từ kiến thức lý thuyết chung động cư chiều (thông tin A-priori) người ta chi xác định mơ hình xấp xi tuyến tính cúa có dạng khâu quán tính bậc hai sau: Cr(s) = (1 + 7\s)(l + Tọs) (l.lb) cịn lại chi tiết ba tham số k, Tị T-, chưa thể xác định cịn phụ thuộc vào đặc tính riêng kết cấu động Nói Hình 1.4: Xác định tham sị’ cho mơ hlnh đối tượng động cd chiều cách khác, từ thông tin A-priori người ta chi biết động chiều thuộc lớp mơ hình qn tính bậc hai (l.lb ), k, Tị , T, phần tứ cúa R Để tìm mơ hình cụ cho đối tượng từ lớp mơ hình dạng (l.lb ) người ta phải áp dụng phương pháp thực nghiệm (nhận dạng) Nếu tác động nhiễu bỏ qua được, phép đo xác cơng việc nhận dạng thực cách động kích thích dối tượng với tín hiệu đầu vào thích hợp chọn trước phương pháp thường dùng xác định hàm độ thơng qua đo tín hiệu tín hiệu vào hàm l(f) Tiếp theo người ta biếu diễn hự) dạng đổ thị kẻ đường tiếp tuyến với h(t) điếm uốn đế có a, h đường tiệm cận /=co để có k (hình 1.4) Hai tham số T| T lại xác định từ a b Chi tiết thêm cách xác định Tị , T-, từ a , h dược trình bày sau chương Ở dề cập sơ lược đê’ minh họa cho khác biệt phương pháp xây dựng mơ hình theo kiểu lý thuyết thực nghiệm (nhận dạng) 1.1.1 Định nghĩa Khái niệm vé toán nhận dạng vừa nêu Zadeh thu gọn vào định nghĩa phát biểu năm 1962 với hai nét sau: 1) Nhận dạng phương pháp thực nghiệm nhằm xác định mơ hình cụ lớp mơ hình thích hợp cho sở quan sát tín hiệu vào 2) Mơ hình tìm phải có sai số với dối tượng nhó Theo định nghĩa toán nhận dạng phân biệt với ba điểm Đó là: - Lớp mơ hình thích hợp Chắng hạn lớp mơ hình tuyến tính khơng có cấu trúc (khơng biết bậc mơ hình) có cấu trúc (ví dụ lớp mơ hình ( 1)), lớp mơ hình lưỡng tuyến tính (bilinear), - Loại tín hiệu quan sát (tiền định/ngẫu nhiên) - Phương thức mô tả sai lệch mô hình đối tượng thực 188 5.3.1 Cực đại entropie loại Gọi {xk }, k = 0, 1, , N - \ dãy gồm N giá trị tín hiệu đo khoảng quan sát Ị0, N T a) Theo kết mục 4.2.2 sai lệch giá trị đo xk giá trị dự báo tuyến tính x ị tính theo *{ = - ỵ , a k x n -k k-\ k = na , ,N - (5-36) có trung bình bình phương nhỏ tham số a, , a 2, , a n i , K nhận dạng theo phương pháp Yule-W alker Cũng với tham số , đại lượng entropie loại tín hiệu H ,= JlnSy(ffl)dfl> (5:37) -00 có giá trị cực đại, mật độ phổ Sx(co) \xk Ị tính s x( co) = - - (5.38) + ị a ke~M T " Ế=1 Như vậy, phép ngoại suy xk , k>N khơng làm thay đổi giá trị trúng bình bình phương sai lệch I xk - x ị I làm cho giá trị mật độ phổ (5.38) khơng thay đổi làm cho entropie Hị (5.37) giữ được gịá trị cực đại cúã Nhận xét đưa ta đến phép ngoại suy phải là: x k ~ ~ ỉ akx n~k fe=i k>N (5.39) T a có thuật tốn ngoại suy cực đại entropie loại cậc giá trị x ki, kầ.N sau: 1) Chọn bậc na mô hình AR mơ tả tín hiệu x(t) Ta sử dụng kệ't tập thuộc chương (trang 160) để nhận dạng na • ' • ■■■■■ í 2) Xác địhh at , « 2, , d„ từ {xk } ,k = 0, 1, , IV-1 thuật toán nhận dạng tham số mơ hình AR biết Y ule-W alker Burg 3) Thực hiên với k = N , N + , công thức (5.39) để tính xk VỚỊ k>N 189 5.3.2 Cực đại entropie loại Bên cạnh thuật toán ngoại suy theo nguyên tắc cực đại entropie loại vừa trình bày ta cịn có hình thức ngoại suy cực đại entropie khác để xác định xk với k >N từ công thức entropie loại 2: H i= - ỊS x (a>)ỉnSx ((ú)da> (5.40) Trưốc hết ta đặt vấn đề nhận dạng mật độ phổ S x(cò) ịxk }, k = 0, 1, , iV-1, với S x(ũỉ) nhận dạng được, giá trị entropie loại Hi (5.40) lớn Tất nhiên mật độ phổ S x(co) có phải thỏa mãn điều kiện biên S x(co)=Ta ỵ r x(mTa )e-jmT«‘u m=- co o rx(m Ta) = ^ ~ ] s x (co)ejmT“lưd m , 2ĩĩ j (5.41) rx(m Ta) giá trị hàm tương quan tín hiệu xự) tính theo cơng thức nhận dạng bias (2.45) ưnbias (2.47) Theo định lý 2.7 chương (trang 48) số m điều kiện bièn (5.41) cần chạy từ - N+\ đến N - đủ Như tốn tìm cực đại cho (5.40) với điều kiện biên (5.41) vừa nêu tốn tối ưu tĩnh nghiệm tìm cách đơn giàn theo nguyên lý Lagrange Trước hết ta lập hàm N-1 Q = H 2+ ] s x (co)ejmTalodũ) - K -rx{mTa) , (5.42) m= - N+1 Ẵm , m = -iv + l, , N - số Lagrange Sau ta đạo hàm hai vế cùa (5.42) theo biến Sx(co): 3% = j [ _ ( + in|Sí + as*(*> 11 tv-l X , jm T a(0 dco m ~-N + l tìm điều kiện để đạo hàm bị triệt tiêu được: (5.43) m = -N + l JV-1 S x(co) =exp -1 + JmTaa> X Ẳm( 1=-W+1 (5.44) 190 Vấn đề lại 1'à xác định hệ số Ảm , m = - N + \, , IV—'1 Có nhiều cách xác định Ẫm với ưu nhược điểm khác Ở ta theo phương pháp Wu giới thiệu tài liệu 118| Nếu gọi {cm },cm = c(mTa) dãy giá trị hàm cự) có ảnh Fourier CỢco) = ln|Sj.(íu)| chuyến ngược cơng thức (5.43) sang miền thời gian có Nỵ Ẫ mS ự - m f a ) = m + c{t) , (5.45) m - - jV +1 ảnh Fourier ổ(t~mTa) e^mTatủ Do C(jcị) hàm thực nơn cự) phải hàm chẵn, tức c(t) = c{-t) Suy Ằm = Ẳ -m Viết lại (5.45) cho t=mTa , 771=0,1, , N —\ được: - m=0: Ằq= l+c0 — k h im = l: Ẳị = C| - m = N -1: XN-\ - CN -1 vặ cơng thức xác định hệ sô' Ấm Ta đến thuật toán nhận dạng mật độ phổ S xị co) x(t) từ dãy \xk }, k = 0, 1, , N ~ theo nguyên tác cực đại entropie loại sau: 1) Sửdụng hàm s p e c ( ) giới thiệu chương (tran«; 55) dể xác định S x (nQ / ) , 71=0,1, , Ả -i với Ấ= 2N -\ sổ Lag M=N- 2) Tính =ln|Ỗx(«Q/l)Ị, « = ,1 , , Ả -ỉ 3) Chuyển ngược dãy {C (n íịi) } nhờ hàm i n v d t () để có ịc m ị, m = - N + 1, ,A M + Co 7« =0 4) Xác định Ăm = cm m = 1, :, N -1-.' Ầ_m m < 5) Tính S x(cị) theo cơng thức (5.44) Tiếp tục, theo định lý 5.3 cho mật độ phổ S x(cữ), tức là: T„ p ,2 ¡N nhân dang bias r J m T n ) [N - m nèu nhận dạng unluas rx(m Ta ) 191 ' N Wu đưa tài liệu 118J mối quan hệ cm vàxk xữ > sau: lnxo m=0 Cyn x0 k=0 m >0 "^0 ec° k = k~l xk = mcmx k-m ckx + £ k m =0 k> Sử dụng quan hệ ta có thuật toán ngoại suy xk , k >N gồm bước: 1) Xác định S x (n íìẢ) /1=0,1, , Ẫ -ì nhờ hàm spec với Ă=2N-ị chí số Lag M = N -1 2) Tính C(nQX) = ln|ỗj (nQẢ)|, n~ 0,1, , X-1 chuycn ngược dãy {C{nQ.x) } sang miền thời gian nhờ hàm in v d t ( ) để có Icm }, m=- N +1, , N - 3) Ngoại suy xk với k = N , N +1, theo công thức _ xk - mcmxk-m L m =0 — K cm- m>N 5.4 Lỷ tKuyết hàm mở rộng 5.4.1 Định nghĩa Ngay đầu chương ta khảng định nhờ có lý thuyết hàm mờ rộng mà hán chất toán học "hàm số" dirac ổ(t) hiểu cách chặt chẽ tổng quát Khái niệm "hàm số" ổ(t) khơng định nghĩa tốn học kinh diên (nên viết dấu ngoặc kép) Thực chất ổ(t) phiếm hàm (functiơn) ìiẽh tục, tuyến tính D a C“(R-)> hay cịn gọi hàm mở rộng, đồ c “(k) ký hiểư chí tập hợp cấc hàm thực liên tục, có đạo hàm vơ hạn lẫn R D tập c “(R) gồm hàm có thời gian sống hữu hạn, tức hàm có supp ẹặ)={ t er I b (5.46) 192 phần tử D Ví dụ chứng tỏ D không rỗng Theo thuật ngữ kỹ thuật hàm mở rộng xem q trình biến đổi tín hiệu ợ>{t)eD thành hàng số Định nghĩa 1: Gọi D tạp Cưj(R) gồm hàm có thời gian sống hữu hạn Khi phiếm hàm liên tục, tuyến tính r(t): D -» R gọi hàm mở rộng hội tụ Ọn{t)-+ ( ) dãy I (pn{t) Ị D thỏa mãn: a) với k e N tùy ý hợp tất k miền thời gian sống suppí»„(í) hàm nự)-+(pự) o at (t)dt; v(t)— (5.47) —00 gọi hàm mở rộng (regular) Chú ý dấu tích phân cơng thức (5.47) có ý nghĩa hình thức Nó sử dụng đẻ nói r(t) có phép biến đổi, phép cộng, phép lấy đạo hàm , giống phép biến đổi tích phân, thân khơng phải tích phân theo nghía tốn học thơng thưịng tích phân Riemann hay tích phân Lebesgue Xét hàm Heaviside l(í) Với tích phân J 1(t)(p(t)dt - ị )m(7\ KOI b> Kí)iỉ = Bên cạnh định lý vể ảnh đạo hàm đạo hàm ảnh, ta cịn có kết ln ảnh tích chập cần thiết nhận dạng phát biểu sau: Định lý 5.6: Giả sửK0> r t(t), r->(0 e E ' , a)