Hai kiểu đường tròn Apllonius và một số ứng dụng

Hai kiểu đường tròn Apllonius và một số ứng dụng Hai kiểu đường tròn Apllonius và một số ứng dụng Hai kiểu đường tròn Apllonius và một số ứng dụng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LƯƠNG THỊ KIM TÂN HAI KIỂU ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LƯƠNG THỊ KIM TÂN HAI KIỂU ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2020 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng.Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, q thầy cô giảng dạy lớp Cao học K12A trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K12B ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Lương Thị Kim Tân ii Danh mục hình 1.1 Đường trịn Apollonius đoạn thẳng 1.2 Đường tròn (Oa ) trực giao với (ABC) 1.3 LO trục ba đường tròn 1.4 P ∈ (Oa ) ⇔ ∆XY Z cân X 1.5 Điểm isodynamic P đẳng giác với điểm Fermat F 1.7 Dựng điểm isodynamic 1.6 Điểm isodynamic P1 tâm tam giác A B C 1.8 Tam giác Kiepert tâm phối cảnh Kiepert K(θ) 11 1.9 Đường tròn trực giao với đường tròn bàng tiếp 14 1.10 Ba đường tròn Apollonius trục Lemoine 1.11 Tam giác X1 Y1 Z1 có diện tích nhỏ 1.12 Tournament of the Towns 1995 16 17 17 1.13 Ba đường tròn đồng trục 18 1.14 IIa tiếp tuyến chung ω1 ω2 1.15 All Russian MO, 2011 19 20 1.16 ELMO 2013, G13 22 1.17 Quỹ tích P trường hợp 23 1.18 VMO 2000, Bài 24 1.19 VMO 1999, 1.20 Bài toán 1.2 25 26 2.1 Dựng đường tròn Apollonius kiểu theo điểm Feuerbach 29 2.2 Điểm Apollonius O0 ≡ X(181) 30 2.3 Dựng tâm điểm đường tròn 35 2.4 Dựng tâm vị tự E1 E2 39 2.5 Một đường tròn trực giao với đường tròn 40 iii 3.1 Bài toán 43 3.2 Dựng đường tròn (O1 ) tiếp xúc BC, (Ib ), (Ic ) 44 3.3 Dựng đường tròn tiếp xúc đường tròn 45 3.4 ∆U V W ∆ABC phối cảnh điểm H 47 3.5 ∆U V W vị tự với ∆DEF , tâm vị tự J 49 3.6 Đường tròn Ka qua điểm Ka,a , Kb,a , Kc,a 3.7 Ba đường tròn Ka , Kb , Kc qua Sp 52 54 iv Mục lục Chương Đường tròn Apollonius kiểu 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 1 Tính chất đường trịn Apollonius kiểu 1.1.2 Cặp điểm isodynamic (cặp điểm đẳng động) 1.2 Tọa độ barycentric 10 1.2.1 Ký hiệu Conway 10 1.2.2 Đường tròn đẳng phương 11 1.3 Một số ứng dụng 16 1.3.1 Các ví dụ 16 1.3.2 Các toán khác 24 Chương Đường trịn Apollonius kiểu 28 2.1 Định nghĩa, tính chất 28 2.2 Tâm Apollonius, điểm Apollonius 36 2.3 Một số ứng dụng 37 2.3.1 Dựng điểm Ap , O0 thước com pa 37 2.3.2 Đường tròn trực giao với đường tròn 39 Chương Một số vấn đề liên quan 42 3.1 Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn 42 3.1.1 Hai toán dựng 42 3.1.2 Tam giác tạo cực tuyến 46 3.2 Các đường tròn Apollonius khác 51 Tài liệu tham khảo 58 Chương Đường tròn Apollonius kiểu 1.1 Định nghĩa tính chất Apollonius nhà hình học lỗi lạc người Hy Lạp Tên tuổi ông gắn liền với số toán tiếng, đặc biệt toán đường trịn Apollonius Có bốn định nghĩa khác đường trịn có tên gọi “đường trịn Apollonius”: (1) Quỹ tích tất điểm (trên mặt phẳng) mà tỷ số khoảng cách từ đến điểm cố định số (Durell 1928, Ogilvy 1990) (2) Đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn bàng tiếp tam giác (Kimberling 1998, trang 102) (3) Một đường tròn tiếp xúc với đường tròn cho trước (tức nghiệm toán Apollonius) (4) Một ba đường tròn qua đỉnh tam giác hai điểm đẳng giác tam giác (Kimberling 1998, trang 68) Chương trình bày đường trịn Apollonius kiểu Trước tiên ta giới thiệu đường tròn Apollonius đoạn thẳng định nghĩa sách phổ thơng, chẳng hạn [1], Giáo trình hình học sơ cấp Bổ đề 1.1.1 Trên mặt phẳng cho hai điểm A, B Tập hợp điểm P PA cho tỉ số = k không đổi (k > 0) đường tròn PB Chứng minh Gọi C, D hai điểm nằm đoạn thẳng AB CA DA PA CA DA cho = = k Khi = = nên C, D chân CB DB PB CB DB đường phân giác ngồi góc AP B Suy CP D = 900 Vậy P nằm đường trịn đường kính CD Ngược lại giả sử P điểm nằm đường trịn đường kính CD, CP D = 900 Mặt khác, bốn điểm A, B, C, D hàng điểm điều hòa, tức (ABCD) = −1 nên theo tính chất đường phân giác ta có C, D chân đường phân PA = k Như tập hợp giác góc AP B Từ PB điểm P đường trịn đường kính CD Hình 1.1: Đường trịn Apollonius đoạn thẳng Định nghĩa 1.1 Đường trịn quỹ tích điểm mà tỷ số khoảng cách từ đến hai điểm cố định số k gọi đường trịn Apollonius đoạn thẳng ứng với tỉ số k Chú ý k = 1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung trực đoạn thẳng Từ định nghĩa đường tròn Apollonius đoạn thẳng định nghĩa đường tròn Apollonius tam giác sau Định nghĩa 1.2 Đường tròn Apollonius kiểu tam giác ABC ứng với đỉnh A đường tròn qua A hai chân đường phân giác A Như tam giác, có ba đường tròn Apollonius kiểu ứng với ba đỉnh tam giác Ta gọi đường tròn A−Apollonius, B−Apollonius C−Apollonius, tương ứng Rõ ràng đoạn thẳng nối chân phân giác chân phân giác đường kính đường trịn Apollonius kiểu 1, tương ứng Sau tìm hiểu số tính chất đường trịn 1.1.1 Tính chất đường trịn Apollonius kiểu Tính chất 1.1.1 Mỗi đường trịn Apollonius kiểu trực giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Gọi D, E chân đường phân giác ngồi góc BAC tam giác ABC , J trung điểm DE Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do (BCDE) = −1 nên theo hệ thức Newton Oa A2 = Oa D2 = Oa B.Oa C hay Oa A tiếp tuyến (O) Điều có nghĩa (Oa ) ⊥ (O) Hình 1.2: Đường trịn (Oa ) trực giao với (ABC) Từ tính chất ta thấy tâm đường tròn Apollonius giao tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp kẻ từ đỉnh tới cạnh đối diện Ta nhắc lại đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua đường phân giác đỉnh đường đối trung tam giác Trong tam giác, ba đường đối trung cắt điểm, điểm gọi điểm Lemoine hay điểm đối trung ký hiệu L Tính chất 1.1.2 Ba đường Apollonius kiểu tam giác đồng trục, trục đẳng phương chúng đường thẳng OL với L điểm Lemoine Chứng minh Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) đường tròn A-Apollonius, B -Apollonius, C -Apollonius, X giao điểm thứ hai (Oa ) với (O) Do (Oc ) ⊥ (O) nên Oa A, Oa X hai tiếp tuyến (O) Suy tứ giác ABXC tứ giác điều hoà hay AX đường đối trung ứng với đỉnh A ∆ABC Như AX qua điểm Lemoine L tam giác ABC Nghĩa L nằm trục đẳng phương (Oa ) (O) Tương tự L nằm trục đẳng phương (Ob ) (O), (Oc ) (O) hay L có phương tích đường tròn (Oa ), (Ob ), (Oc ) Mặt khác, phương tích O ba đường trịn Apollonius R2 Vậy OL trục đẳng phương (Oa ), (Ob ), (Oc ) Ba đường trịn đồng trục Hình 1.3: LO trục ba đường tròn Hệ 1.1.1 Ba tâm đường tròn Apollonius kiểu thẳng hàng Chứng minh Vì OL trục đẳng phương ba đường trịn nên ta có OA OB ⊥ OL OB OC ⊥ OL Suy OA , OB , OC thẳng hàng 44 Xét đường tròn (O1 , O1 X) tiếp xúc với hai đường tròn (Ib , rb ), (Ic , rc ) với đường thẳng BC điểm X Ac Ab , Hình 3.2 Hình 3.2: Dựng đường trịn (O1 ) tiếp xúc BC, (Ib ), (Ic ) Bổ đề 3.1.1 Điểm X có tọa độ √ X = (0 : p p − c − (p − a) p − b : p √ p − b − (p − a) p − c Chứng minh Nếu (O1 ) đường tròn tiếp xúc với (Ib , rb ), (Ic , rc ) với √ √ √ √ (BC) X ∈ Ac Ab Ac X : XAb = rc : rb = p − b : p − c Chú ý Ac Ab = b + c nên BX = Ac X − Ac B √ p−b =√ (b + c) − (p − a) √ p−b+ p−c √ √ p p − b − (p − a) p − c √ = √ p−b+ p−c √ √ p p − c − (p − a) p − b √ Tương tự, XC = √ p−b+ p−c Ta suy X có tọa độ 45 Hoàn toàn tương tự, có đường trịn (O2 , O2 Y ), (O3 , O3 Z) tiếp xúc CA Y , tiếp xúc AB Z tương ứng chúng tiếp xúc với cặp đường tròn bàng tiếp Tọa độ Y Z suy từ tọa độ X cách hốn vị vịng trịn số a, b, c Hình 3.3: Dựng đường trịn tiếp xúc đường trịn Bài tốn 2: Cho đường tròn (Oi , ri ), i = 1, 2, phía đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng Dựng đường tròn tiếp xúc ngồi với đường trịn (Oi , ri ), i = 1, 2, Lời giải Với i = 1, 2, giả sử (Oi , ri ) tiếp xúc với Si tiếp xúc (O, r) Ti Nếu đường thẳng S1 T1 cắt lại đường trịn (O, r) T tiếp tuyến với (O, r) T đường thẳng Do đó, điểm T, T2 , S2 thẳng hàng nên T, T3 , S3 thẳng hàng Vì đường thẳng T2 T3 đường đối song với theo đường thẳng T T2 T T3 nên đối song với theo đường thẳng T S2 T S3 điểm T2 , T3 , S3 , S2 đồng viên Từ T T2 T S2 = T T3 T S3 ta khẳng định điểm T nằm trục đẳng phương đường tròn (O2 , r2 ) (O3 , r3 ) mà đường vng góc hạ từ trung điểm S2 S3 xuống đường nối tâm O2 O3 Cùng lý đó, nằm trục đẳng phương đường tròn (O3 , r3 ) (O1 , r1 ) mà đường vng góc hạ từ trung điểm S1 S3 xuống đường nối tâm O1 O3 Do T tâm đẳng phương ba đường trịn (Oi , ri ), i = 1, 2, 46 đường tròn (T1 T2 T3 ) ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo cực T , phương tích T T1 T S1 Từ đó, đường trịn (O, r) dựng sau: - Dựng đường vuông góc d1 từ trung điểm E1 S1 S2 xuống O1 O2 - Dựng đường vng góc d2 từ trung điểm E2 S1 S3 xuống O1 O3 - Dựng T = d1 ∩ d2 Với i = 1, 2, gọi Ti giao T Si với (Oi , ri ) - Dựng đường tròn (T1 T2 T3 ) đường trịn cần dựng, hình 3.3 3.1.2 Tam giác tạo cực tuyến Xét tam giác tạo đường thẳng cực tuyến đỉnh A, B, C đường tròn bàng tiếp (Ia ), (Ib ), (Ic ) tương ứng Cực tuyến A (Ia , ) ký hiệu Ba Ca , tương tự có cực tuyến Cb Ab B cực tuyến Ac Bc C Bổ đề 3.1.2 Các cực tuyến đỉnh A, B, C đường tròn bàng tiếp tương ứng tạo thành tam giác với đỉnh U = (−a(b + c) : σC : σB ), V = (σC : −b(c + a) : σA ), W = (σB : σA : −c(a + b)) Chứng minh Đường thẳng (Ba Ca ) có phương trình x y z −(p − b) p = hay (Ba Ca ) : px + (p − c)y + (p − b)z = −(p − c) p Tương tự, (Cb Ab ) : (p − c)x + py + (p − a)z = 0; (Ac Bc ) : (p − b)x + (p − a)y + pz = Giao điểm U = Ab Cb ∩ Ac Cc (hình 3.4) có tọa độ: U = (−a(2p − a) : ab − 2p(p − c) : ca − 2p(p − b) = (−a(b + c) : a2 + b2 − c2 : c2 + a2 − b2 ) = (−a(b + c) : σC : σB ) Tọa độ V = Ba Ca ∩ Ac Cc W = Ca Ba ∩ Ab Cb nhận từ U hốn vị vịng quanh a, b, c tính tương tự 47 Mệnh đề 3.1 Hai tam giác U V W ABC phối cảnh với tâm phối cảnh trực tâm H tam giác ABC Hình 3.4: ∆U V W ∆ABC phối cảnh điểm H Chứng minh Hình 3.4 Tọa độ A = (1 : : 0), U = (−a(b + c) : σC : σB ), 1 : : , ta có định thức cấp 3: H= σA σB σC 0 −a(b + c) σC σB = 1 σA σB σC Suy điểm A, U, H thẳng hàng Tương tự B, V, H C, W, H ba điểm thẳng hàng Như vậy, H tâm phối cảnh tam giác U V W ABC Mệnh đề 3.2 Tam giác U V W có đường trịn ngoại tiếp tâm H , bán kính rH = 2R + r Chứng minh Hình 3.4 Vì H, B, V thẳng hàng nên HV ⊥ CA Tương tự, HW ⊥ AB Ta có V W tạo góc với CA AB (ACa Ba = 48 ABa Ca ) nên tạo góc với HV HW Ta suy ∆HV W cân đỉnh H , nghĩa HV = HW Cùng lý đó, HU = HV H tâm ngoại tiếp ∆U V W Áp dụng định lý sin vào tam giác AU Bc ta có: 1800 − C sin ABc sin ABc U AU = , suy AU = ABc = ABc C sin ABc U sin Bc U A sin Bc U A sin C cos = (p − b) cot C = r Hơn nữa, hạ OE ⊥ BC = ABc a C sin HA = 2EO EO = OB cos A nên HA = 2OB cos A = 2R cos A Từ đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆U V W HU = HA + AU = 2R cos A + = 2R + r Mệnh đề 3.3 Tam giác U V W tam giác tiếp xúc DEF vị tự với tâm vị tự b+c c+a a+b J= (3.1) : : b+c−a c+a−b a+b−c 2R + r Tỷ số vị tự − r Chứng minh Phép vị tự dễ dàng suy từ tính song song đường thẳng V W EF, W U F D, U V DE Tâm vị tự điểm chung J đường thẳng DU, EV F W (hình 3.5) Các đường thẳng có phương trình (b − c)(b + c − a)x + (b + c)(c + a − b)y − (b + c)(a + b − c)z = 0, −(c + a)(b + c − a)x + (c − a)(c + a − b)y + (c + a)(a + b − c)z = 0, (a + b)(b + c − a)x − (a + b)(c + a − b)y + (a − b)(a + b − c)z = Suy (b + c − a)x : (c + a − b)y : (a + b − a)z = c + a −(c + a) −(c + a) c − a c−a c+a : : = −(a + b) a − b (a + b) a − b (a + b) −(a + b) 49 Hình 3.5: ∆U V W vị tự với ∆DEF , tâm vị tự J = 2a(b + c) : 2a(c + a) : 2a(a + b) = b + c : c + a : a + b Từ suy ra: J= b+c c+a a+b : : b+c−a c+a−b a+b−c Vì tam giác U V F DEF có đường trịn ngoại tiếp 2R + r (H, 2R + r), (I, r) nên tỷ số vị tự − Tâm vị tự J chia đoạn IH r IJ r theo tỷ số = JH 2R + r Chú ý Điểm J có ký hiệu X(226) danh sách [4] Mệnh đề 3.4 (Định lý 7, [3]) Hai tam giác XY Z U V W phối cảnh, tâm phối cảnh điểm có tọa độ (α : β : γ) xác định sau: σB σC a(b + c) +√ + √ , p−c p−a p−b σC σA b(c + a) β=√ +√ + √ , p−a p−c p−b α=√ 50 γ=√ σA σB c(a + b) +√ + √ p−a p−c p−b Chứng minh Với tọa độ X U tính bổ đề, đường thẳng XU có phương trình x y z =0 −a(b + c) σC σB √ √ √ √ p p − c − (p − a) p − b p p − b − (p − a) p − c Hệ số x (p(σB + σC ) − aσB ) √ p − b = (p(σB + σC ) − aσC ) p − c √ = a (ap − σB ) p − b − (ap − σC ) p − c √ = a(b + c) (p − c) p − b − (p − b) p − c Tương tự ta tính hệ số y z Từ ta rút gọn phương trình thành √ √ (p − c) p − b − (p − b) p − c x + p(p − b) − (p − a) p − c y √ + (p − a) p − b − p p − c z = √ √ √ Với u = p − a, v = p − b, ω = p − c ta viết lại phương trình đường thẳng XU thành: −vw(v−w)x+(v(u2 +v +w2 )−u2 w)y+(u2 v−w(u2 +v +w2 ))z = (3.2) Tương tự cho phương trình (V Y ), (W Z): (v w−u(u2 +v +w2 ))x−wu(w−u)y+(w(u2 +v +w2 )−uv2)z = 0, (3.3) (u(u2 +v +w2 )−vw2 )x+(w2 u−v(u2 +v +w2 ))y −uv(u−v)z = (3.4) Rõ ràng tổng hệ số x (3.2), (3.3), (3.4) Cũng vậy, tổng hệ số y , z phương trình (3.2), (3.3), (3.4) Do hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường Giải hệ ta nhận tọa độ giao điểm chung đường thẳng XU, Y V, ZW α : β : γ = = uv(v (u2 + v + w2 ) − w2 u2 ) + wu(w2 (u2 + v + w2 ) − u2 v ) 51 −vw(v + w2 )(2u2 + v + w2 ) : vw(w2 (u2 + v + w2 ) − u2 v ) + uv(u2 ((u2 + v + w2 ) − v w2 ) −wu(w2 + u2 )(u2 + 2v + w2 ) : wu(u2 (u2 + v + w2 ) − v w2 ) + vw(v ((u2 + v + w2 ) − w2 u2 ) −uv(u2 + v )(u2 + v + 2w2 ) (p − b)p − (p − c)(p − a) (p − c)p − (p − a)(p − b) a(b + c) + − = w v u (p − c)p − (p − a)(p − b) (p − a)p − (p − b)(p − c) b(c + a) : + − u w v (p − a)p − (p − b)(p − c) (p − b)p − (p − c)(p − a) c(a + b) + − : v u w Từ đó, sử dụng ký hiệu Conway ta (x : y : z) = σB σC a(b + c) σC σA b(c + a) σA σB c(a + b) + − : + − : + − w v u u w v v u w Mệnh đề 3.4 chứng minh Lưu ý tâm tam giác xây dựng Mệnh đề 3.4 chưa có danh sách tâm tam giác [4], ta đặt tên tâm Như tâm phối cảnh tam giác XY Z U V W Tọa độ tính theo cơng thức Mệnh đề 3.4 3.2 Các đường tròn Apollonius khác Ở mục ta xét đến đường tròn Apollonius khác: đường tròn tiếp xúc (một tiếp xúc hai tiếp xúc ngoài) với đường tròn bàng tiếp Các đường tròn Apollonius loại liên quan đến điểm Spieker Sp ≡ X(10) Hơn ta phát tam giác phối cảnh với tam giác sở ABC Từ xuất điểm tâm tam giác chưa có [4] Các tốn Vẫn lấy ABC tam giác sở (Ia , ), (Ib , rb ), (Ic , rc ) đường tròn bàng tiếp nằm đối diện đỉnh A, B, C tương ứng Ta biết có đường trịn tiếp xúc đường trịn đó: Ba đường thẳng BC, CA, AB (xét đường tròn với bán kính vơ hạn); đường trịn Apollonius kiểu (tiếp xúc tiếp xúc ngồi), cịn lại đường tròn ta xét ký hiệu Ka , Kb , Kc Đường tròn Ka tiếp xúc với (Ia ), tiếp 52 Hình 3.6: Đường tròn Ka qua điểm Ka,a , Kb,a , Kc,a xúc với (Ib ) (Ic ), tương tự Kb , Kc Các đường tròn có tâm Spieker Sp điểm chung Ta xét tốn đường trịn Ka , Kb , Kc : Thứ tam giác có đỉnh tiếp điểm Ka,a , Kb,b , Kc,c có phối cảnh với ∆ABC hay không? Thứ hai, ký hiệu Ma , Mb , Mc tương ứng tâm đường tròn Ka , Kb , Kc , hy vọng tam giác Ma Mb Mc phối cảnh với ∆ABC Một số kết Bài tốn dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước giải từ lâu Bằng cách áp dụng cách làm J D Gergonne vào ba đường tròn bàng tiếp Boris Odehnal chứng minh việc dựng đường trịn Ka , Kb , Kc hồn tồn thực thước kẻ (đường tròn coi dựng dựng điểm thuộc nó), [5] Gọi Ka,b tiếp điểm (Ia ) với Kb tương tự xác định điểm lại Các tiếp điểm Ka,a , Kb,a , Kc,a giao (Ia ), (Ib ), (Ic ) với đường thẳng nên cạnh nối tiếp điểm cạnh BC với tâm đẳng phương (Ia ), (Ib ), (Ic ), cụ thể điểm Sp ≡ X(10) X(10) = (b + c : c + a : a + c) 53 Đường tròn Ka đường tròn chứa ba tiếp điểm này, hình 3.6 Hai đường trịn Kb , Kc dựng tương tự Một níc biểu diễn phương trình dạng xt µx xt = (x0 , x1 , x2 ) véc tơ tọa độ barycentric điểm X cịn µ ma trận đối xứng cỡ × 3:   f r q   µ =  r g p , q p h ứng với níc f x2 + gy + hz + 2pyz + 2qzx + 2rxy = 0, [7] Nếu ξ thuộc níc tiếp tuyến ξ đường thẳng có phương trình µξ t = Đối với đường trịn bàng tiếp ma trận µ   p p(p − c) p(p − b)   µa =  p(−c) (p − c) −(p − b)(p − c) , p(p − b) −(p − b)(p − c) (p − b)2   (p − c)2 p(p − c) −(p − a)(p − c)   µb =  p(p − c) p2 p(p − a) , −(p − a)(p − c) p(p − a) (p − a)   (p − b)2 −(p − a)(p − b) p(p − b)   µc = −(p − a)(p − b) (p − a)2 p(p − a) p(p − b) p(p − a) p2 Kiểm tra đơn giản ta nhận tọa độ barycentric tiếp điểm Ka,a = (−(b + c)2 (p − b)(p − c) : c2 p(p − b) : b2 p(p − c)), Ka,b = (−c2 p(p − b) : (c + a)2 (p − b)(p − c) : (ap + bc)2 ), Ka,c = (−b2 p(p − c) : (ap + bc)2 : (a + b)2 (p − b)(p − c)); Kb,a = ((b + c)2 (p − a)(p − c) : −c2 p(p − a) : (bp + ac)2 ), Kb,b = (c2 p(p − a) : −(c + a)2 (p − a)(p − c) : a2 p(p − c)), Kb,c = ((bp + ac)2 : −a2 p(p − c) : (a + b)2 (p − a)(p − c)); Kc,a = ((b + c)2 (p − a)(p − b) : (cp + ab)2 : −b2 p(p − a)), Kc,b = ((cp + ab)2 : (c + a)2 (p − a)(p − c) : −a2 p(p − b)), Kc,c = (b2 p(p − a) : a2 p(p − b) : −(a + b)2 (p − a)(p − b)) (3.5) 54 Hình 3.7: Ba đường trịn Ka , Kb , Kc qua Sp Mệnh đề 3.5 ([5]) Tam giác Ka,a Kb,b Kc,c phối cảnh với tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm ζ= p−a p−b p−c : : a2 b c (3.6) Chứng minh Tọa độ Ka,a , Kb,b , Kc,c viết lại thành: (b + c)2 (p − b)(p − c) p − b p − c : : b2 c2 p b c p−a (c + a) (p − a)(p − c) p − c = : − : a2 c2 a2 p c p−a p−b (a + b)2 (p − a)(p − b) = : : − a2 b2 a2 b p Ka,a = − Kb,b Kc,c (3.7) Từ suy AKa,a , BKb,b , CKc,c đồng quy điểm ζ có tọa độ (3.6) Chú ý ζ chưa có [4] Mệnh đề 3.6 ([5]) Các đường thẳng AKa,a , BKa,b , CKa,c đồng quy 55 Chứng minh Tọa độ Ka,a , Ka,b , Ka,c viết dạng Ka,a Ka,b Ka,c (b + c)2 (p − b)(p − c) p − b p − c =− : : , b2 c2 p b c p(p − b)(p − c) (c + a)(p − b) (p − c)2 p − c : : , =− (ap + bc)2 c2 (ap + b2 )2 c 2 p(p − b)(p − c) p − b (a + b) (p − b) (p − c) =− : : (ap + bc)2 b b2 (ap + bc)2 (3.8) Từ đó, đường thẳng AKa,a , BKa,b , CKa,c gặp điểm ν=− p(p − b)(p − c) p − b p − c : : (ap + bc)2 b c Ta có điều phải chứng minh Giả sử Ma , Mb , Mc thứ tự tâm ba đường tròn Ka , Kb , Kc Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.6 ta có: Mệnh đề 3.7 ([5]) Tam giác Ma Mb Mc phối cảnh với tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm ω= : : +δ với , δ xác định (3.9) = −a5 − a4 (b + c) + a3 (b − c)2 + a2 (b + c)(b2 + c2 ), δ = 2abc(b2 + bc + c2 ) + 2(b + c)b2 c2 Chứng minh Từ tọa độ điểm Ka,a , Kb,a , Kc,a xác định phương trình Ka tâm đường tròn điểm Ma = (m1 : m2 : m3 ) với m1 = −2a4 (b + c) − a3 (4b2 + 4bc + 3c2 ) + a2 (b + c)(b2 + c2 ) − (b + c − a)(b2 − c2 )2 m2 = −c5 − c4 (a + b) + c3 (a − b)2 + c2 (a + b)(a2 + b2 ) + 2abc(a2 + ab + b2 ) + 2a2 b2 (a + b) m3 = −b5 − b4 (c + a) + b3 (c − a)2 + b2 (c + a)(c2 + a2 ) + 2abc(c2 + ca + a2 ) + 2c2 a2 (c + a) Tương tự ta viết tọa độ Mb Mc Viết phương trình đường thẳng AMa , BMb , CMc , chúng đồng quy điểm, tâm phối cảnh ω (3.9) 56 Điểm ω chưa có danh sách tâm tam giác Ta mô tả ω tâm phối cảnh tam giác Ma Mb Mc ABC Tọa độ ω tính theo cơng thức Mệnh đề 3.5 Nội dung chương chủ yếu phát cặp tam giác vị tự phối cảnh, kỹ thuật chủ yếu tính tốn tọa độ barycentric Ngồi ta có mơ tả sơ lược số điểm tâm tam giác theo nghĩa [4], đồng thời phát điểm chưa có danh sách thống kê [4], chẳng hạn điểm ký hiệu bởi: , ζ, ω, 57 Kết luận luận văn Luận văn trình bày tường minh kết sau Đường tròn Apollonius kiểu ứng dụng giải toán Phần bổ sung cặp điểm Isodynamic có ích ứng dụng Các kết đường tròn Apollonius kiểu 2, cách dựng sơ cấp kết hợp với tính toán tọa độ barycentric khai thác kiến thức sâu sắc cặp tam giác vị tự phối cảnh Các tâm vị tự tâm phối cảnh phát có ý nghĩa Mô tả sơ lược điểm danh sách tâm tam giác (sách giáo khoa Giáo trình hình học chưa có dịp đề cập đến): G ≡ X(2), O ≡ X(3), H ≡ X(4), L ≡ X(6), Ge ≡ X(7), M ≡ X(9), Sp ≡ X(10), J+ ≡ X(15), J− ≡ X(16), X(43), X(181), J ≡ X(226), X(386), X(573), X(650), O0 ≡ X(970), X(1682), X(1695), X(2051) Một số điểm chưa có danh sách đó, chẳng hạn điểm , ζ, ω, nói Chương Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Nghiên cứu mặt cầu Apollonius không gian - Mô tả tâm tam giác khác “Bách khoa toàn thư tâm tam giác” 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, (2019), Tài liệu Chun tốn Hình học 10, 11, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [2] Dekov, D.,(2006), Apollonius Circle, Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry, N0 [3] Nikolaos Dergiades N., Salazar J., C., (2009), Some Triangle Centers Associated with the Tritangent Circles, Forum Geom., Volume 9, pp 259–270 [4] Kimberling, C.,(2000), Encyclopedia of Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [5] Odehnal, B., (2010), Some Triangle Centers Associated with the Circles Tangent to the Excircles, Forum Geom., Volume 10, pp 35–40 [6] Stevanovie0, M., R., (2003), The Apollonius Circle and Related Triangle Centers, Forum Geom., Volume 3, pp 187-195 [7] Yiu, P.,(2001), Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlatic University Lecture Notes ... Dựng đường tròn tiếp xúc đường tròn tiếp tuyến Cho đường tròn (O, r), (O , r ) tiếp tuyến chung Cần dựng đường tròn (O1 , r1 ) tiếp xúc hai đường tròn A, A tiếp xúc đường thẳng X , với X A A Một. .. áp dụng vào tốn khác nên chúng tơi khơng giới thiệu chi tiết Ví dụ 3.1.1 Ứng dụng vào đường tròn bàng tiếp tam giác Ta ứng dụng cách dựng vào đường tròn bàng tiếp ∆ABC Cụ thể dựng đường tròn tiếp... Apollonius kiểu tiếp xúc ngồi đường tròn Apollonius kiểu định nghĩa đường tròn Apollonius kiểu tiếp xúc đường tròn bàng tiếp Cách dựng đường tròn Apollonius kiểu tiếp xúc dựa vào định lý Feuerbach cồng