Toán ứng dụng trong kinh doanh
Cao Hào Thi 79 Chương 8 HÀM NHIỀU BIẾN (Functions of Several Variables) 1. Hàm của hai dạng nhiều biến độc lập: + Hàm của 2 biến độc lập: j = f(x,y) → S = xy + Hàm của nhiều biến độc lập: u = f(x,y,z) → V = xyz u = f(w,x,y,z) Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm Một Công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau: Sản phẩm A: C(x) = 500 + 70x , x số lượng sản phẩm A Sản phẩm B: C(y) = 200 + 100y , y số lượng sản phẩm B Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là C(x,y) C(x,y) = C(x) + C(y) C(x,y) = 700 + 70x + 100y Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B: C(10,5) = 700 = 70*10 + 100*5 = 1900$ C(20,10) = 3100$ Ví dụ: Các hàm doanh thu, chi phí và lợi nhuận Gọi p là giá của sản phẩm A q là giá của sản phẩm B p và q được xác định như sau: pxyqxy=−+=+−⎧⎨⎩210 4300 12 ⇒ 4 21012 300xy pxyq−= −−=−⎧⎨⎩ xpq=−−−−−−210 1300 1241112 ypq=−−−−4 2101 30041112 a/ Hàm doanh thu hàng tuần R(x,y) R(x,y) = px + qy = (210-4x+y)x + (300+x-12y)y R(x,y) = 210x+300y-4x2+2xy-12y2 Xác định doanh thu ở mức 20m sản phẩm A và 10 sản phẩm B. R(20,10) = 4800$ Cao Hào Thi 80 b/ Hàm lợi nhuận hàng tuần P(x,y) P(x,y) = R(x,y) - C(x,y) P(x,y) = 140x+200y-4x2+2xy-12y2-700 P(20,10) = 1700$ 2. Đạo hàm riêng phần: (Partial Derivatives) 2.1 Đạo hàm riêng phần bậc 1 Cho z = f(x,y) a. Đạo hàm riệng phần theo biến x được ký hiệu: ∂∂ΖΧ, fx hay fx(x,y) ∂∂ΖΧ∆Χ∆∆=+ −→lim(,)(,)0fx xy fxyx b. Đạo hàm riêng phần theo biến y được ký hiệu ∂∂ΖΥ, fy hay fy(x,y) ∂∂ΖΥ∆Υ∆∆=+ −→lim(, ) (,)0fxy y fxyy Ví dụ: P(x,y) = 140x+ 200y-4x2+2xy-12y2-700 ∂∂ΡΧ= Px(x,y) = 140-8x+2y Px(15.10) = 40 Ở mức sản lượng A là 15,B = 10. Nếu gửi nguyên sản lượng B, khi sản lượng A tăng 1 đơn vị thì chi phí tăng 40$. 2.2 Đạo hàm riêng phần 2: (Second order Partial Derivative) Cho z = f(x,y) thì ta có các đạo hàm riêng phần như sau: ()∂∂∂∂∂∂22zxxzxfxy f=⎛⎝⎜⎞⎠⎟==ΧΞ ΧΧ, ()∂∂∂∂∂∂22zyyzyfxy f=⎛⎝⎜⎞⎠⎟==ΥΥ ΥΥ, ()∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22zxyz xzyfxy fxyzyx yzxfxy fff=⎛⎝⎜⎞⎠⎟===⎛⎝⎜⎞⎠⎟==⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪=ΧΥΥΧ ΥΧΧΥ ΥΧ(,), Cao Hào Thi 81 Ví dụ: Cho z=f(x,y) = 3x2-2xy3+1. Tìm a/∂∂2zxyz,∂∂∂2zyx fxy(2,1) b/∂∂22x,∂∂22zy Giải: a/ ()∂∂∂∂∂∂∂zyxyzxy xxy y=− ⇒ = − =−6662222 ()∂∂∂∂∂∂∂zyxyzxy yxy y=+ − ⇒ = − − =−62 6 2 63223 2 fxy(2,1) = fyx(2,1) = -6*12 = -6 b/ ()∂∂∂∂∂∂∂∂22362 6zxxzxxxy=⎛⎝⎜⎞⎠⎟=+− =+ ∂∂∂∂∂∂222612zyyzyxy xy=⎛⎝⎜⎞⎠⎟=− =− 3. Cực trị của hàm hai biến: 3.1 Cực trị của hàm 2 biến: Nếu: 1. z = f(x,y) 2. fx(a,b) = 0 và fy(a,b) = 0 ⇒ (a,b) là điểm dừng. 3. Tồn tại các đạo hàm bậc 2 của f tại vùng xung quanh điểm (a,b) 4. A = fxx(a,b), B = fxy(a,b), C = fyy(a,b) Thì 1. Nếu AC B−>20∆6744844 và A<0 thì (a,b) là điểm cực đại địa phương (Local Maximum) 2. Nếu AC -B2 > 0 và A>0 thì (a,b) là điểm cực tiểu địa phương 3. Nếu AC - B2 ≤ 0 thì không có điểm cực trị. AC - B2 < 0 thì (a,b) là điểm yên ngựa (Saddle Point) AC - B2 = 0 không có cực trị Ví dụ: Cho hàm lợi nhuận P(x,y) = -2x2+2xy-y2+10x-4y +107. Tìm mức sản lượng (x,y) sao cho lợi nhuận lớn nhất. Bước 1 : Tìm điểm dừng (Critical Point) ()()∂∂∂∂pxPxy x ypyPxy x y==−++===−−=ΧΥ,,421002240 ⇒ xy==⎧⎨⎩31 (3,1) là điểm dừng Cao Hào Thi 82 Bước 2: Tính A = fxx(3,1), B = fxy(3,1), C = fyy(3,1) Pxx(x,y) = -4 = A Pxy(x,y) = 2 = B Pyy(x,y) = -2 = C Bước 3 AC BA−=>=− <⎧⎨⎩24040 ⇒ (3,1) là điểm cực đại địa phương P(3,1) = 120$ 3.2 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier Method) 1. Thành lập bài toán Cực đại hay cực tiểu z = f(x,y) (Maximize or Minimize) Với điều kiện (Ràng buộc) g(x,y) = 0 (Subject to) 2. Thành lập hàm Lagrange F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) λ là hằng số chưa được xác định 3. Tìm các điểm dừng, tọa độ (x,y) của điểm lừng danh là nghiệm của hệ phương trình ()()∂∂λλxFxy F xy,, ,,==Χ0 ()()∂∂λλyFxy F xy,, ,,==Υ0 ()()∂∂λλλλzFxy F xy,, ,,==0 hay g(x,y) = 0 4. Tìm giá trị của hàm z = f(x,y) tại các điểm dừng 5. Tìm giá trị biên của miền xác định. 6. Giá trị lớn nhất hay bé nhất trong các điểm vừa tìm sẽ là cực trị có điều kiện. Ví dụ: Giả sử có sẵn 720m kẽm gai, người ta muốn rào 1 khu đất như hình vẽ. Hãy xác định x và y để diện tích được rào có giá trị lớn nhất. Hàng rào hiện hữu Diện tích = xy Chiều dài = 3x+y=720 Kẽm gai hiện có xx xy Cao Hào Thi 83 Giải: Bước 1: Thành lập bài toán Maximize A = f(x,y) = x,y Điều kiện g(x,y) = 3x+y-720 = 0 Bước 2: Hàm lagrange F(x,y, λ) = f(x,y) +Vg(x,y) = xy + λ(3x+y-720) Bước 3: Tìm điểm dừng Fx = y+3λ = 0 Fy = x+λ = 0 ⇒=−==⎧⎨⎪⎩⎪λ120120360xy λ = 3x+y-720 = 0 Bước 4: A(120,360) = f(120,360) = 43200m2 Bước 5: A(0,0) = f(0,0) = 0 Kết luận: (120.360) là điểm cực đại Diện tích lớn nhất là 43200m2 . 2101 30041112 a/ Hàm doanh thu hàng tuần R(x,y) R(x,y) = px + qy = (210-4x+y)x + (300+x-12y)y R(x,y) = 210x+300y-4x2+2xy-12y2 Xác định doanh thu ở mức 20m. phẩm B: C(10,5) = 700 = 70*10 + 100*5 = 1900$ C(20,10) = 3100$ Ví dụ: Các hàm doanh thu, chi phí và lợi nhuận Gọi p là giá của sản phẩm A q là giá