Toán ứng dụng trong kinh doanh
Cao Hào Thi 67 Chương 7: LỢI ÍCH VÀ CHI PHÍ BIÊN (Marginal Benefit and Cost) 1. Gia số, đường tiếp tuyến và tỷ lệ thay đổi: (Increments, Tangent Lines and Rates of Change) 1.1 Gia số: x∆y∆xy = f(x)f(x2)x2f(x1)x10 Cho hàm y = f(x) ∆x = x2 - x1 ∆y = f(x2) - f(x1) = f(x1+∆x) - f(x1) ∆y là sự thay đổi của y khi biến x thay đổi một lượng ∆x. Ví dụ: Cho hàm yx=22 a/ Tìm ∆x, ∆y và ∆∆yx đối với x1 = 1 và x2 = 2 b/ Tìm ()fx x fxx11+−∆∆() với x1 = 1 và ∆x = 2 Giải: a/ ∆x = x2 - x1 = 2 - 1 = 1 ∆y = f(x2) - f(x1) = f(2) - f(1) = 22123222−= ∆∆yx==32132 b/ ()()fx x fxxff1112 12921222+−=+−=−=∆∆()() Cao Hào Thi 68 1.2 Độ dốc và đường tiếp tuyến: 01231020xytiếp tuyếncát tuyến∆y∆xP2P1 a. Độ dốc đường cát tuyến: (Secant line) P1(x1,y1) và P2(x2,y2) ( )myyxxfx x fxxyx=−−=+−=212111∆∆∆∆() b. Độ dốc đường tiếp tuyến: (Tangent line) myx=→lim∆Χ∆∆0 = lim()()∆Χ∆∆→+ −011fx x fxx Độ dốc của tiếp tuyến cũng là độ dốc của đồ thị tại điểm (x1, f(x1)). Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x2. Tìm độ dốc và phương trình của tiếp tuyến tại x = 1. Vẽ đồ thị của hàm số f, đường tiếp tuyến tại điểm (1, f(1)) và đường cát tuyến đi qua 2 điểm (1, f(1)) và (2, f(2)). Giải: + Tính gia số ∆x, ∆y và ∆∆yx ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆yxfxfxxxxxxx=+−=+−=++−=+()()()111112 1222 2 + Tính độ dốc của đường tiếp tuyến myxx==+=→→lim lim∆Χ ∆Χ∆∆∆0022 + Tính tọa độ tiếp điểm: x = 1 ⇒ f(x) = f(1) = 12 = 1 ⇒ tiếp điểm (1,1) + Phương trình tiếp tuyến y - y1 = m(x-x1) y - 1 = 2(x - 1) y = 2x – 1 Cao Hào Thi 69 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4-224681012xy + Phương trình cát tuyến x1 = 1 ⇒ y1 = f(1) = 12 = 1 x2 = 2 ⇒ y2 = f(2) = 22 = 4 yyyyxxxx−−=−−121121 ⇔ yx−−=−−141121 Vậy: y = 3x - 2 1.3 Tỉ lệ thay đổi (tốc độ thay đổi) Cho hàm y = f(x) Tỉ lệ thay đổi trung bình (Average Rate) =∆∆∆∆yxfx fxxxfx x fxx=−−=+−() () ( ) ()212111 Tỉ lệ thay đổi tức thời (Instantaneaus) = lim∆Χ∆∆→∞yx Ví dụ: Cho phương trình đường cầu của sản phẩm kẹo như sau: D(x) = 100 - x2 với 0 ≤ x ≤ 10$ D(x) = là số kg kẹo ở mức giá x($). -2 2 4 6 8 1020406080100xy a/ Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình về lượng khi giá thay đổi từ 2$ lên 5$, nghĩa là tìm ∆y/∆x ứng với x1 = 2$ và x2 = 5$. b/ Khi ∆x→0 thì ∆y/∆x có giá trị là bao nhiêu? (Đó cũng là tỉ lệ thay đổi tức thời của D(x) ứng với x tại điểm x = 2) Cao Hào Thi 70 Giải: ∆x = x2 - x1 = 5-2 = 3 a/ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆yxDx x DxxDxDxyxxxxxxx=+−=+ −=−+ − −=−− − − +=− −()()()()()[ ]1122 222100 2 100 2 100 4 4 100 44 Với ∆x = 3 ⇒=−∆∆yx7 b/ lim∆Χ∆∆→=−04yx 2. Đạo hàm 2.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x), đạo hàm của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là y’ = f’(x). fxfx x fxx'( ) lim()()=+ −→∆Χ∆∆0 Nếu giới hạn f’(x) tồn tại thì f được gọi là có vi phân tại x. Ví dụ: Tìm đạo hàm f’(x) của hàm f tại x, cho biết f(x) = x2 Giải: Bước 1: Tìmfx x fxx()()+−∆∆ fx x fxxxx xxxx xxxx()()()+−=+−=+=+∆∆∆∆∆∆∆22 222 Bước 2: Tìm giới hạn fxfx x fxxxxx'( ) lim()()lim=+−=+=→→∆Χ ∆Χ∆∆∆0022 Vậy f’(x) = 2x 2.2 Phương trình của đường tiếp tuyến Phương trình của đường tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x) tại x = x1 sẽ là: y - y1 = m(x-x1) với m = f’(x1) Ví dụ: Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm y = f(x) = x2 tại x = 1 f’(x) = 2x ⇒ m = f’(1) = 2 y - f(1) = m(x-1) y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x – 1 2.3. Chi phí biên (Marginal Cost) Cao Hào Thi 71 a/ Hàm tổng chi phí C(x) = là tổng chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm trong một thời đoạn nào đó. b/ Hàm chi phí biên C’(x) = là tỉ lệ thay đổi chi phí ứng với sự thay đổi một đơn vị sản phẩm (nói cách khác là lượng chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm) ở mức sản lượng là x. CxCx x Cxx'( ) lim()()=+ −→∆Χ∆∆0 2.4 Các công thức tính theo đạo hàm ký hiệu y’, f(x), dydx Hàm số y = f(x) Đạo hàm y = f’(x) y = C y’= 0 y = xn (n số nguyên dương) y’ = nxn-1 y = Cx y’ = C y = u(x) ± v(x) y’ = u’(x) ± v’(x) y = u*v y’ = u’v+uv’ y = un y’ = nun-1*u’ yuv= yuv uvv'''=−2 yx=1 yx'=−12 yv=1 yvv''=−2 yax bcx d=++ yad bccx d=−+()2 yx= yx'=12 yu= yuu''=2 y = lnx yx'=1 y = logax yxa'ln=1 y = ex y’ = ex y = ax y’ = axln a Cao Hào Thi 72 Ví dụ: Cho hàm chi phí C’(x) = 2+8x-x2 với 0 ≤ x ≤ 4 đơn vị, C tính theo ngân $ a/ Tìm chi phí biên tại x b/ Tìm chi phí biên tại x = 1, 2 và 3. Giải thích ý nghĩa. Giải: a/ CxCx x Cxxx'( ) lim()()=+−=−→∆Χ∆∆082 b/ + x = 1 ⇒ C’(x) = 6 (=6000$) Ở mức sản lượng x = 1. Để sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm sẽ cần 1 chi phí là 6000$ + x = 2 ⇒ C’(x) = 4 + x = 3 ⇒ C’(x) = 2 c/ Chi phí trung bình (Average Cost): là chi phí cho 1 đơn vị sản phẩm CxCxx()()= d. Chi phí trung bình biên (Marginal Average Cost) Cx'( ) Cx'( )là đạo hàm của C(x) Ví dụ: C(x) = x2 + 4x → C’(x) = 2x +4 CxCxxx()()==+4 → Cx'( )= 1 3. Phân tích biên trong kinh tế:(Marginal Analysis) 3.1 Chi phí, doanh thu và lợi nhuận biên: (Marginal Cost, Revenue and Profit) Nếu x là số đơn vị sản phẩm được sản xuất trong một thời đoạn nào đó, ta có: + Tổng chi phí (Total cost) = C(x) + Chi phí biên (Marginal Cost) = C’(x) = MC(x) + Tổng doanh thu (Total Revenue) = R(x) + Doanh thu biên (Marginal Revenue) = R’(x) = MR(x) + Tổng lợi nhuận (Total Profit) = P(x) = R(x) - C(x) + Lợi nhuận biên = P’(x) = R’(x) - C’(x) = MP(x) Cao Hào Thi 73 Ví dụ: Bộ phận nghiên cứu thị trường của Công ty sản xuất radio xác định phương trình của đường cầu như sau: x = 10000 - 1000p (Số lượng sản phẩm là x ở mức giá p$) hay px=−101000 Với x là số lượng máy radio được tiêu thụ hàng tuần ở mức giá p$/mỗi radio. Bộ phận tài chánh của Công ty ước tính phương trình tổng chi phí như sau: C(x) = 7000 + 2x Hãy tìm C’)x), R(x), R’(x), P(x) và P’(x). Giải: Chi phí Tổng chi phí: C(x) = 7000 + 2x Chi phí biên tế: C’(x) = 2 C’(x) > 0 ⇒ C(x) đồng biến với x Doanh thu Tổng doanh thu R(x) = p*x = (101000−x)x =1010002xx− Doanh thu biên R’(x) = 10500−x R’(2000) = 6 R’(5000) = 0 Ở mức x = 2000 nếu x tăng 1 đơn vị thì R(x) tăng 6$ ⇒ R→ max Lợi nhuận Tổng lợi nhuận P(x) = R(x) - C(x) = ()1010007000 22xxx−⎛⎝⎜⎞⎠⎟−+ = −+−xx210008 7000 Lợi nhuận biên: Pxx'( )=− +5008 P’(4000) = 0 ⇒ P→ maxp’(1000) = 6$ P’(6000) = -4 Cao Hào Thi 74 Điểm hòa vốn Tại điểm hòa R(x) = C(x) hay P(x) = 0 −+−xx210008 7000 = 0 x2 - 8000x + 7000000 = 0 xxx=±==⎧⎨⎩8000 36 000 00021000700012 3.2 Chi phí, doanh thu và lợi nhuận trung bình biên: Chi phí trung bình (Average Cost) = CxCxx()()= Chi phí trung bình biên (Marginal Average Cost) = Cx MCx'( ) ( )= Doanh thu trung bình = RxRxx()()= Doanh thu trung bình biên = Rx MRx'( ) ( )= Lợi nhuận trung bình = PxPxx()()= Lợi nhuận trung bình biên = Px MPx'( ) ( )= 4. Sự co giãn của cung và cầu: 4.1 Các định nghĩa: Sự co giãn của cầu: Sự co giãn của cầu đo lường sự đáp ứng của lượng cầu với thay đổi về giá Độ co giãn của cầu là tỉ lệ giữa phần trăm thay đổi của lượng cầu và phần trăm thay đổi của giá. ηD=%thay đổi lượng cầu/% thay đổi về giá= %%∆∆QP ηDQQPPPQQP==×∆∆∆∆ ()()ηDDD DQQQPP P=−−10010 0// Cao Hào Thi 75 Sự co giãn của cung: Sự co giãn của cung đo lường sự đáp ứng của lượng cung và sự thay đổi về giá. Độ co giãn của cung là tỉ lệ phần trăm giữa thay đổi của lượng cung và phần trăm thay đổi của giá. εS=% thay đổi lượng cầu / % thay đổi về giá = %%∆∆QP ()()εεSSSS SQQPPPQQPQQQPP P==×=−−∆∆∆∆10010 0// 4.2 Cách xác định độ cao giãn tại một điểm Giá và độ co giãn của cầu: Cho phương trình đường cầu x = f(p) với x là số lượng đơn vị sản phẩm ở mức giá p. px0Dpp + ∆px = f(p) ∆x = f(p+∆p) - f(p) ∆p > 0 ⇒ ∆x < 0 ∆p < 0 ⇒ ∆x > 0 Độ co giãn của cầu ở mức giá p là: ηDxxpp==∆∆ % thay đổi về lượng cầu / % thay đổi về giá Gọi: E(p) là độ co giãn tức thời của cầu (Point Elasticly of Demand) Cao Hào Thi 76 ( )()()Epxxppfp p fpfpppEpfp p fppPfpEpPfpfp p fppEpPfpfppp( ) lim lim()()( ) lim()()()()lim()()()'( )==+−=+−×=×+−=×→→→→∆Ρ ∆Ρ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆0000 Ví dụ: Cho phương trình đường cầu x = f(p) = 500(20 - p) a/ Tìm phương trình của độ co giãn cầu tức thời E(p) b/ Tìm E(p) tại p = 4$, P = 16$ và p = 10$. Giải thích ý nghĩa. Giải: a/ EpPfpfpPpEpPP()()'( )()()()=×=−×−=−−500 2050020 0 ≤ P ≤ 20 vìEpPP()<≥⎧⎨⎩⇒≤0020 b/ E(4) = −416= -0.25 E(16) = −164= -4 E(10) = -1 Ở mức giá p = 4 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 0.25% Ở mức giá p = 6 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 4% Ở mức giá p = 10 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 1% Tóm lại: Cho phương trình cầu: x = f(p). Độ giãn tức thời của cầu là: EpPfpfp()()'( )=× và E(p) ≤ 0 o -1 ≤ E(p) ≤ 0 ⇒ Cầu không (hoặc ít) co giãn (theo giá) (Demand is inelastic) o E(p) < -1 ⇒ Cầu co giãn (theo giá) o E(p) = -1 ⇒ Cầu có độ co giãn đơn vị. . CxCxxx()()==+4 → Cx'( )= 1 3. Phân tích biên trong kinh tế:(Marginal Analysis) 3.1 Chi phí, doanh thu và lợi nhuận biên: (Marginal Cost, Revenue. C’(x) = 2 C’(x) > 0 ⇒ C(x) đồng biến với x Doanh thu Tổng doanh thu R(x) = p*x = (101000−x)x =1010002xx− Doanh thu biên R’(x) = 10500−x R’(2000) = 6 R’(5000)