Toán ứng dụng trong kinh doanh
Cao Hào Thi 53 Chương 6 LÃI SUẤT (Interest Rate) 1. Các khái niệm về lãi: 1.1 Lãi tức (tiền lời) (Interest) (Lãi tức) = (Tổng vốn tích lũy) - (Vốn gốc ban đầu) Principal 1.2 Lãi suất: Khi lãi tức biểu thị theo tỉ lệ phần trăm đối với số vốn ban đầu cho một đơn vị thời gian thì được gọi là lãi suất. Lãi suất trong 1 đơn vị thời gian (Lãi suất) = *100% Vốn gốc 1.3 Sự tương tương: Từ lãi suất, chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương. Đó là những số tiền khác nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế. Ví dụ: Nếu lãi suất là 12% một năm thì 1 triệu đồng hôm nay sẽ tương đương với 1,12 triệu đồng sau một năm. Tổng tiền lũy tính = 1+1*12% = 1,12 triệu đồng. 1.4 Lãi tức đơn (Simple Interest) Khi lãi tức chỉ tính theo số vốn gốc mà không tính thêm lãi tức lũy tích, phát sinh từ lãi ở các thời đoạn trước, người ta gọi là lãi tức đơn. 1.5 Lãi tức ghép (Compound Interest) Trong tính toán lãi tức ghép, lãi tức ở mỗi thời đoạn được tính theo số vốn gốc và cả tổng số tiền lãi lũy tích được trong các thời đoạn trước đó. Như vậy, lãi tức ghép phản ánh được hiệu quả giá trị theo thời gian của đồng tiền cho cả phần tiền lãi trước đó. Cách tính lãi tức ghép thường được dùng cho thực tế. 2. Lãi tức đơn: 2.1 Lãi tức đơn I I = P r t P: số vốn gốc hay trị giá hiện tại (Present Value) r: lãi suất đơn tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng .) t: số thời đoạn vay. Cao Hào Thi 54 Ví dụ: Một người vay 1 triệu đồng với lãi suất đơn 4% tháng và sẽ trả cả vốn lẫn lãi sau 6 tháng. Hỏi anh ta phải trả bao nhiêu tiền? Giải: Tiền lời trong 6 tháng: I = Prt = 1000000 × 0.04 × 6 = 240000đ Số tiền phải trả: F = P + I = 1000000 + 240000 = 1240000đ 2.2 Tổng vốn lũy tích (Amount) hay giá trị tương lai F (Future Value): F = P + I = P + Prt F = P(1 + rt) Ví dụ: Tìm tổng số tiền phải trả (kể cả vốn gốc lần tiền lãi) của món nợ 800$ lãi suất đơn 12% năm sau 4 tháng? P = 800 r = 12% năm t ==41213 năm Số tiền phải trả: F = P(1 + rt) = 800 (1 + 0.12×31) = 848$ Ví dụ: Ông A cho Công ty X vay một số tiền với lãi suất đơn 10% năm. Sau 9 tháng Công ty trả cho ông A số tiền là 5000$. Hỏi ông A đã cho Công ty vay bao nhiêu tiền? Giải: F = P(1+rt) F = 5000$ r = 10% năm. t ==912075. năm PFrt=+=+=15000101075465116$.* Ví dụ: Nếu bạn hùn vốn vào môt doanh nghiệp với số tiền 960$. Sau 6 tháng bạn nhận được số tiền gồm cả vốn lẫn lãi là 1000$. Hỏi lãi suất đơn tính cho mỗi năm là bao nhiêu? F = P(1+rt) F = 1000$ Cao Hào Thi 55 P = 960$ t ===6121205. năm rFPt=−=−==// 1 1000 960 105404800 0833 r = 8.33% năm 3. Lãi tức ghép: 3.1 Lãi tức ghép: Nếu P là vốn gốc và r là lãi suất ghép tính theo năm và ghép lãi theo năm. Đến cuối năm thứ 1 tổng vốn tích lũy sẽ là: P1 = P(1+r) Cuối năm thứ 2: P2 = P1(1+r) = P(1+r)2 Cuối năm thứ 3: P3 = P2(1+r) = P(1+r)3 Tương tự, đến cuối năm thứ n: Pn = P(1+r)n Pn = F = giá trị tương lai của giá trị hiện tại P sau n năm. Ví dụ: Nếu số tiền 1000$ được đầu tư với lãi suất ghép là 8% năm ghép lãi theo năm thì sau 5 năm thì tổng vốn tích lũy (gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ là bao nhiêu? Giải: F = P(1+r)n = 1000(1+0.08)5 = 1469.33$ Nếu r là lãi suất đơn thì: F = P(1+rt) = 1000(1+0.08×5) = 1400$ 3.2 Lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa (effective rate & nominal rate) a. Lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa: Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm hay còn gọi thời đoạn phát biểu lãi là 1 năm. Thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm. Ví dụ: Lãi suất 12% năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng lãnh lãi một lần + Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm + Thời đoạn ghép lãi: quý + Thời đoạn trả lãi: 6 tháng Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất thực. Nếu thời đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa. Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danh nghĩa trong một thời đoạn × Số thời đoạn trong thời kỳ. Cao Hào Thi 56 Ví dụ: a/ Lãi suất danh nghĩa 3% quý. ⇒ Lãi suất danh nghĩa theo năm là = 3%*4 = 12% năm b/ Lãi suất I=12% quý ⇒ Lãi suất thực là 12% ghép lãi theo quý. c/ Lãi suấ I=20% năm, ghép lãi theo quý ⇒ Lãi suất danh nghĩa thời đoạn ghép lãi là quý ⇒ Lãi suất thực là 5% quý b. Tính toán lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa: Tính chuyển lãi suất thực theo những thời đoạn khác nhau: Gọi i1 là lãi suất thực ở thời đoạn ngắn (VD: tháng) i2 là lãi suất thực ở thời đoạn dài (VD: năm) m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (VD: m = 12) P là vốn gốc, sau 1 thời đoạn dài hay sau m thời đoạn ngắn, ta có: P(1+i2)1 = P(1+i2)m i2 = (1 + i1)m - 1 Tính chuyển lãi suất danh nghĩa sang lãi thực: Bước 1: Từ lãi suất danh nghĩa tính chuyển sang lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi. Bước 2: Tính chuyển lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi sang lãi suất thực trong thời đoạn tính toán. irmm=+⎛⎝⎜⎞⎠⎟−1112 Với: i = lãi suất thực trong thời đoạn tính toán. r = lãi suất danh nghĩa trong thời đoạn phát biểu m1 = số thời đoạn ghép lãi có trong thời đoạn phát biểu. m2 = số thời đoạn ghép lãi có trong thời đoạn tính toán. Ví dụ: Lãi suất r = 15% năm, ghép lãi theo quý. ⇒ Lãi suất thực theo quý là: 154% quý ⇒ Lãi suất thực tế theo 6 tháng: 101541 7 64%2+⎛⎝⎜⎞⎠⎟−= ⇒ Lãi suất thực theo năm là: 101544 1 1586%4+⎛⎝⎜⎞⎠⎟−= Cao Hào Thi 57 Ví dụ: Số tiền 10000$ được gửi đi tiết kiệm với lãi suất 9% năm, ghép lãi theo tháng (9% per annual, compounded montlily). Hỏi sau bao nhiêu tháng sẽ có được số tiền là 12000$. F = P(1+i)n F = P100912+⎛⎝⎜⎞⎠⎟.n 12000 = 10000(1+0.0075)n 1.2 = 1.0075n ln 1.2 = n ln10075 n ===ln .ln .1210075018230 007524 31 tháng n = 25 tháng. Tóm lại: F = P(1+i)n ()PFin=+1 Ví dụ: Một người lập 1 số tiết kiệm gửi đầu tiên 1 triệu đồng. Sau 4 năm gửi 3 triệu đồng, sau 6 năm gửi 1,5 triệu đồng. Lãi suất là 12% năm ghép lãi nửa năm 1 lần. Hỏi sau 10 năm người đó có được bao nhiêu? 0123456789101 triệu Đ1.5 triệu Đ3 triệu ĐF = ? Giải: Lãi suất thực 1 năm là: i = 101221 012362+⎛⎝⎜⎞⎠⎟−= i = 12.36% năm Giá trị tương lai F nhận được: F = 1(F/P, 12.36%, 10) + 3(F/P, 12.36%, 6) + 1.5(F/P, 12.36%, 4) = 1(1+0.1236)10 + 3(1+0.1236)6 + 1.5(1+0.1236)4 = 11.634 trĐ Cao Hào Thi 58 Ví dụ: Tính số tiền tích lũy được trong một sổ tiết kiệm sau 12 tháng nếu sơ đồ gửi tiền như hình sau. Giả sử ngân hàng trả lãi 6% năm, ghép lãi 6 tháng 1 lần và trả lãi suất đơn cho các khoản ở giữa kỳ. 01234567891011127580 8090 85100F = ? Giải: Lãi suất thực trong 6 tháng đầu là 6/2 = 3% = 0.03 Vì lãi suất ở những tháng giữa kỳ không được tính theo lãi ghép nên ta phải qui đổi về cuối tháng 6 và cuối tháng 12. + Với 6 tháng đầu: F6 = 100 156003 90 1360 03 80 27385+×⎛⎝⎜⎞⎠⎟++×⎛⎝⎜⎞⎠⎟+= . ngĐ + Với 6 tháng cuối: F12 = 75 156003 85 146003 70 1160 03 23393+×⎛⎝⎜⎞⎠⎟++×⎛⎝⎜⎞⎠⎟++×⎛⎝⎜⎞⎠⎟= ngĐ Qui F6 và F12 về mốc cuối tháng 12: F = 273.85(F/P, 3%, 1) + 233.93 F = 516 ngĐ 4. Giá trị tương lai của dòng tiền phân bố dài; vốn chìm (Future Value Of an Annuity - Sinking Funds) 4.1 Giá trị tương lai của dòng tiền phân bố đều: 0123 ……………… n-1nAF = ? Cao Hào Thi 59 Vấn đề: Cho A tìm F = ? F = A + A(1+i)1 + A(1+i)2 + . . . . + A(1+i)n-1 F = A[1+(1+i)+(1+i)2+. . . + (1+i)n-1] ⇒ Sqqnn=−−=11Tổng của n số hạng của cấp số nhân ()FAiin=×+−11 Ví dụ: Nếu mỗi tháng gửi 100$ vào qũi tiết kiệm với lãi suất 9% năm, ghép lãi theo tháng. Hỏi số tiền sẽ nhận được vào cuối năm thứ năm sẽ là bao nhiêu? ()iiAFn11 −+= 60125 =×=n $41,542.70075.11)0075.01(10060=−+=FF 1000075.01209.0===Ai Tiền lời = F - Tiền gửi (Interest - FutureValue - Deposit) = 7542,41 - 100×60 = 1542,41$ Ghi chú: A = PMT = payment 4.2 Vốn chìm: Vấn đề: Cho F tìm A ()AFiin=×+−11 Ví dụ: Một Công ty ước tính sẽ thay thế một thiết bị sau 5 năm với giá 10000$. Để có được số tiền này sau 5 năm, một quỹ vốn chìm được thiết lập bằng cách hàng tháng gửi đều một số tiền A vào ngân hàng với lãi suất 6% năm ghép lãi theo tháng. Hỏi số tiền A là bao nhiêu? ()AFiin=×+−11 với i ==006120 005 A = 143,33$ n = 12*5 = 60 F = 10000 Cấp số nhân u1 = 1 = số hạng đầu q = (i+1) = công bội Cao Hào Thi 60 5. Giá trị hiện tại của dòng tiền phân bố đều - Tiền trả góp: 5.1 Giá trị hiện tại của dòng phân bố đều (Present value of an Annuity) 0123 ……………… n-1nAP = ? Vấn đề: Cho A tìm P = ? + A ⇒ F : ( )FAiin=×+−11 + F ⇒ P : ()()()PFiPAiiiinn=+=×+−×+11111 Vậy: ( )PAiin=×−+−11 5.2 Tiền trả góp: (Amortization) Vấn đề: Cho P tìm A ()APiin=×−+−11 Ví dụ: Tìm giá trị hiện tại của dòng tiền phân bố đều có giá trị là 200$ mỗi tháng kéo dài trong 5 năm với lãi suất 6% năm ghép lãi theo tháng. ()PAiin=×−+−11 Với i ==006120 005 P = 10.345,11$ n = 12*5 = 60 A = 200 Ví dụ: Giả sử Anh/Chị mua một truyền hình giá 800$ và đồng ý trả góp đều 18 tháng với lãi suất 1,5% tháng. a/ Hỏi số tiền Anh/Chị phải trả góp mỗi tháng là bao nhiêu? b/ Tổng số tiền lãi Anh/Chị phải trả là bao nhiêu? Cao Hào Thi 61 Giải: a/ ()APiin=×−+−11 Với i = 0.015; n = 18; P = 800 A = 51,04$ mỗi tháng b/ Tổng tiền lãi phải trả = Tổng số tiền phải trả - Nợ ban đầu = 51,04×8-800 = 118,72$ Ghi chú: Trả góp vô hạn hay hưởng lợi vô hạn (n → ∞). Khi n → ∞ thì (1+i)-n → 0 Khi đó A = Pi ⇒ PAi= hay iAP= IRR(A) > IRR(B) ⎯→⎯? A > B Vấn đề: ∑ vốn Công ty = 90trĐ, MARR = 16%/năm Phương án A: vốn 50trĐ → IRR(A) = 35%/năm Phương án B: vốn 80trĐ → IRR(B) = 29%/năm Chọn phương án nào? RRRRAB=×+×==×+×=50 35 40 169026 6%80 29 10 169028 3%,, ⇒ Chọn B Tiêu chuẩn NPV: ()()NPVBCtttn=−+=∑4012 NPV ≥ 0 ⇒ của cải của xã hội, Công ty phát triển. + RQĐ: a. Từ chối, bác bỏ dự án ⇐ NPV < 0 b. Hạn chế ngân sách ⇒ chọn tập dự án có NPV cao nhất. Ví dụ: Dự án Chi phí đầu tư P(trĐ) NPV Dự án Chi phí đầu tư P(trĐ) NPV A 1 60000 E 2 6 B 3 400000 F 6 7 C 2 150000 G 1 0.6 D 2 225000 Cao Hào Thi 62 Ngân sách = 4trĐ ⇒ A,B Ngân sách 7 trĐ 5trĐ ⇒ B,D E,G 36640,⎧⎨⎩ ⇒ 6,6 6trĐ ⇒ B,D,A F,G 67106.⎧⎨⎩⇒ 7,6 7trĐ ⇒ A,B,C Chọn F,G c. So sánh các dự án loại trừ nhau ⇒ chọn NVPmax d. Các dự án loại trừ nhau nhưng có thời gian hoạt động khác nhau. NPV(A ± B) = NPV(A) ± NPV(B) Vấn đề: NPV và IRR Tiêu chuẩn NVP a. Suất chiết tính ị% không đổi theo t t 0 1 2 3 … n CF CF0 CF1 CF2 CF3 … CF n ()()() ()NPV CFCFICFICFICFINN=+++++++++0112233111 1 . b. Suất chiết tính ị% thay đổi theo t t 0 1 2 3 CF CF0 CF1 CF2 CF3 i i1 i2 i3 ()()()()()NPV CFCFiCFiiCFiii=++++++++++011221332311 1 111 Ví dụ: Tìm NPV của dự án t 0 1 2 3 4 CF($) -20000 7000 7000 7000 7000 Suất chiết tính i = 13% năm Giải: ()()()NPV=− ++++++++2000070001013700010037000101370001013234 = 821.30$ > 0 [...]... 9.09 1.091 20% B 72.73 1.073 18% B C 10% Chọn theo tiêu chuẩn nào? Ví dụ: 0 -1000 CF 1 1100 NPV = −1000 + 1100 =0 1+ i i = 10% =IRR Ví dụ: 0 2 -100 CF 1 300 -200 -200 là tiền dọn gạch, đất sau khi sử dụng NPV = −100 + 300 200 − =0 1 + i (1 + i ) 2 −1 + 3 2 − =0 1 + i (1 + i ) 2 -(1+i)2 + 3(1+i) -2 = 0 -i2 -2i - 1 + 3+ 3i - 2 = 0 -i2 + i =0 i(1-i) =0 i hay Cao Hào Thi =0 ⇒ i = 0% i =1 ⇒ i = 100% 66 . lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi. Bước 2: Tính chuyển lãi suất thực trong thời đoạn ghép lãi sang lãi suất thực trong thời đoạn tính toán. irmm=+⎛⎝⎜⎞⎠⎟−1112. i = lãi suất thực trong thời đoạn tính toán. r = lãi suất danh nghĩa trong thời đoạn phát biểu m1 = số thời đoạn ghép lãi có trong thời đoạn phát