Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS ĐỀ THI HSG TỐN LỚP CĨ ĐÁP ÁN ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2+ x x2 2− x x − 3x A=( − − ):( ) 2− x x −4 2+ x x − x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x2 y z x y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) Điểm Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS b 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 a(x + 1) – x(a + 1) = ax + a – a x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 2 2 Bài 2: a ĐKXĐ : 2 − x x x − x 2 2 + x x − 3x x 2 x − x3 + x 4x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( 3) = = − x x − + x 2x − x (2 − x)(2 + x) x( x − 3) = 1,0 1,0 x2 + 8x x(2 − x) = (2 − x)(2 + x) x − 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x 0, x 2, x A = x−3 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x −3 x −3 x 3(TMDKXD) Vậy với x > A > c x − = x−7 = x − = −4 x = 11(TMDKXD) x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1)2 0;( y − 3)2 0;( z + 1)2 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS b 2,5 Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 =0 x y z xyz 0,5 ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y z + + = 1(dfcm) a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO = DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC = ADC HBC = KDC Chứng minh : CBH CDK ( g − g ) CH CK = CH CD = CK CB CB CD b, K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC( g − g ) AF AK = AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC( g − g ) CF AH = CD AC 0,25 0,25 0,25 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Mà : CD = AB CF AH = AB AH = CF AC AB AC 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: c Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Cho biểu thức: Câu2 10 − x x A= + + :x − + x + x −4 2−x x+2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 + + 9 a b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Điểm (2 điểm) Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS b x − 30x + 31x − 30 = ( x − x + 1) ( x − 5)( x + ) = (*) 2 Vì x2 - x + = (x - ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x + = x = x = − a b c + + =1 c Nhân vế của: b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn đpcm 10 − x x Biểu thức: A = + + : x − + x+2 x −4 2−x x+2 −1 a Rút gọn kq: A = x−2 −1 1 x = x = b x = 2 Câu (6 điểm) 4 A = c A x −1 Z x 1;3 d A Z x−2 A= HV + GT + KL (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A (2 điểm) B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) C AE = FM = DF AED = DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME + MF = a không đổi S AEMF = ME.MF lớn ME = MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD (1 điểm) a Chứng minh: Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS b c 1 a = 1+ a + a a c 1 a Từ: a + b + c = = + + b b b a b 1 = + + c c c Câu 4: (2 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c + + = + + + + + + a b c b a c a c b 3+2+2+2=9 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ị thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a − a + a − 7a + 14 a − a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập ph-ơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải ph-ơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c + + 3 b+c−a a +c−b a +b−c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần l-ợt D E Chứng minh : Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS a) BD.CE= BC b) DM,EM lần l-ợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên d-ơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án ®Ị thi häc sinh giái C©u : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a +1 a−2 0,25 a−2+3 ; ta thấy P nguyên a-2 -ớc 3, = 1+ a2 a2 mà Ư(3)= 1;1;3;3 0,25 Từ tìm đ-ợc a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a + 2ab + b ) − 3ab = =(a+b) (a + b) − 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a + b) − 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đ-ợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x −4; x −5; x −6; x −7 0,25 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS Ph-ơng trình trở thµnh : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã tìm đ-ợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y+z x+z x+ y ; 0,5 ;b = ;c = 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25 Thay vào ta đ-ợc A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 + + 2) hay A 0,25 C©u : (3 ®) Tõ ®ã suy a= a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ = 120 M Vì M =600 nên ta cã : Mˆ = 1200 − Mˆ Suy Dˆ = Mˆ x Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy E D BD CM , từ BD.CE=BM.CM = BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B M C 0,5 BD MD mµ BM=CM nªn ta cã = CM EM BD MD = BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ = Dˆ , ®ã DM tia phân giác góc BDE Chứng minh t-ơng tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên d-ơng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đ-ợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đ-ợc giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5)( a + ) + 15 Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: ( x − a )( x −10) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4 − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P= Câu 1 1 + + + + 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án Biểu điểm Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS 2đ A = ( a + 1)( a + 3)( a + )( a + ) + 15 ( = (a = (a = (a )( ) ( ) + 8a + 22 a + 8a + 120 ) + 8a + 12 )( a = ( a + )( a + ) ( a 2ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ ) = a + 8a + a + 8a + 15 + 15 2 + 8a + 11 − ) + 8a + 10 ) + 8a + 10 2 Giả sử: ( x − a )( x −10) + = ( x − m)( x − n ) ;(m, n Z ) x − ( a + 10 ) x + 10a + = x − ( m + n ) x + mn m + n = a +10 m.n =10 a +1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + mn − 10m − 10n + 100 = m(n − 10) − 10n + 10) = m,n nguyên ta có: 1đ m−10=1 n −10=1 v 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ m−10=−1 n −10=−1 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + Để A( x) B( x) a − 3= b + 4=0 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ a =3 b =−4 3ñ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc Hay DHE = 900 mặt khác ADH = AEH = 900 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) AHB 900 AHD = = = 450 2 Do AHE = AHC 900 = = 450 2 AHD = AHE 10 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS 4.1 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam giác = CE CB vuông CDE CAB đồng dạng) 1,0 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) 4.2 4.3 Nên AEB = 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD Ta cã: (do BEC ADC ) = = BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH = = = = nªn (do ABH CBA ) BC AC AC AB BE Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 AHM = 450 Tam gi¸c ABE vuông cân A, nên tia AM phân gi¸c gãc BAC AB ED GB AB AH HD Suy ra: , mµ = = ( ABC DEC ) = ( ED // AH ) = AC DC GC AC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: = = = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Phßng GD & ĐT huyện Thờng Tín Trờng THCS Văn Tự Gv: Bùi Thị Thu Hiền đề S 18 đề bài: Bài 1( ®iĨm): Cho biĨu thøc: 2x − 2x − 21 + x − x + − +1 : P= 2 x − 12 x + 13 x − x − 20 x − x + x − a) Rót gọn P c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình: b) Tính giá trị P x = 15 x − = 12 + a) x + 3x − x + 3x − b) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 28 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS c) x − + = Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời Bài (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên ®êng chÐo BD lÊy ®iĨm P, gäi M lµ ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm C qua P a) Tø gi¸c AMDB hình gì? b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD = d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm, Tính cạnh hình chữ nhật ABCD PB 16 Bài 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 + + x2 + y + xy áp án biểu điểm Bài 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5® −3 x ; x ; x ; x ;x §iỊu kiƯn: 2 a) Rót gän P = b) x = 2x − 2x − 0,5® 2® −1 1 x = hc x = 2 1 …P= 2 −1 …P = +) x = 2x − c) P = = 1+ x −5 2x − +) x = Ta cã: 1® 1 Z 29 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS VËy P Z Z x x5 Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 x = (TM§K) x – = -1 x = (KTM§K) x – = x = (TM§K) x – = x = (TM§K) KL: x d) {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên P= 1đ 2x − = 1+ x −5 2x − 0,25đ Ta có: > Để P > th× x −5 >0 x–5>0 x>5 0,5đ Với x > P > Bài 2: a) 0,25 15 x − = 12 + x + 3x − x + 3x − 15 x − = 12 + x + x − ( x + )( x − 1) ( ) §K: x −4; x 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) … 3x.(x + 4) = 3x = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 b) 25 23 21 19 1® 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x − + − − 3 + − 4 = + 25 23 21 19 1 1 + + + =0 (123 – x) 25 23 21 19 1 1 + + + >0 Do 25 23 21 19 Nªn 123 – x = => x = 123 S = {123} c) 1® x−2 +3 = 30 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS Ta cã: nªn x − 0x => x−2 +3 > x−2 +3 = x2 +3 PT đợc viết dới dạng: x2 +3= x−2 =5–3 x−2 =2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x = (km / h) 10 3 (3 20 = h ’ 1® 0,25® (h) ) 0,25® Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x + ( km / h ) 10 0,25đ Theo đề ta có phơng tr×nh: 3x + = x 10 0,5đ x =150 Vậy khoảng cách A B 150 (km) 3.150 = 45 ( km / h ) Vận tốc dự định là: 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL D 0,5® 0,25® 0,5® C P M F I E A O B a) Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD 31 Thaygiaongheo.com Chia s kin thc Toỏn THCS PO đờng trung bình tsm giác CAM AM//PO tứ giác AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nªn gãc IAE = gãc IEA Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, ®ã EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đờng trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ MF AD c) MAF DBA ( g g ) nên không đổi (1đ) = FA d) Nếu AB PD PB PD = = k PD = 9k , PB = 16k th× = 16 PB 16 NÕu CP ⊥ BD th× CBD DCP ( g − g ) CP PB = PD CP 1® ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 ®ã BC = (cm) CD = (cm) 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 1 + b) + x 1+ y2 + xy (1) 32 1® Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS 1 1 − + − 0 2 + x + xy + y + xy x ( y − x) y ( x − y) + 0 2 + x + xy + y + xy ( ) ( ) ( ) ( ) ( y − x ) ( xy − 1) ( ) (1 + x2 )(1 + y ) (1 + xy ) V× x 1; y => xy => xy => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu = xảy x = y) 1® ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 2( x − y) x y − + =0 y − x3 − x y + Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có din tớch nh nht H-ớng dẫn chấm biểu điểm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x − 7x − = = 5x + + B 2x − 2x − Với x Z A B Z ( 2x – 3) 2x − Mà Ư(7) = −1;1; −7;7 x = 5; - 2; ; A B 33 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS x y = x − x − y4 + y − y3 − x − (y3 − 1)(x − 1) ( x − y4 ) − (x − y) ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) = xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y )( x + y ) ( x + y2 ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) c) (1,5đ) Biến đổi = ( x − y ) (x + y − 1) xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + = ( x − y ) (x (0,25đ) − x + y − y) = ( x − y ) x(x − 1) + y(y − 1) xy(x y + 3) xy x y + (x + y) + (0,25đ) = ( x − y ) x(− y) + y( − x) = ( x − y ) (−2xy) xy(x y + 3) xy(x y + 3) = −2(x − y) Suy điều cần chứng minh x y2 + (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x +1 x + x + x + x + x + x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x +6 ( + 1) + ( + + 1) + ( + + 1) = ( = + 1) + ( + + 1) + ( + + 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) (0,25đ) x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 + x + 2009 + x + 2009 − x + 2009 − x + 2009 − x + 2009 = 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ( x + 2009 )( 1 1 1 + + − − − ) = (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì Do : + + − − − 2008 2007 2006 2005 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) 2004 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009 2003 E I 1 B EDF C cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ = Fˆ2 Mà Eˆ + Eˆ + Fˆ1 = 900 Fˆ2 + Eˆ + Fˆ1 = 900 O A EDF = 90 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF 1 2006 2003 D B 34 F Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a = 2(x – )2 + (0,25đ) 2 a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = (0,25đ) a BD = AE = D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 8 2 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25) S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bµi 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x − 16 A = x x2 + Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x + 2x + 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x+2 = x − x x ( x − 2) 35 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tích AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 ®iÓm) A= BiÓu ®iÓm x(4 x − 16 x[(2 x) − x(2 x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = x − x( x + 2) x( x + 2) x + 2x x + 2x Bµi 3: (2 ®iĨm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x vµ x + x vµ x -1 b) Rót gän: (1 ®iĨm) 5x + 5( x + 1) = = (0,5 ®iĨm) 2 x + x x( x + 1) x 5 (0,25 ®iĨm) = = 2x x = 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x = 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x x(x + 2) - (x - 2) = x2 + 2x – x +2 = 2; - Gi¶i: x ( x − 2) x ( x 2) x= (loại) x = - VËy S = − 1 36 (0,25 ®iĨm) 1® Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) b) ¸p dơng pitago ∆ vu«ng ABC AB + AC = 152 + 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = = hay = = HB HA BA HB HA 15 20 05 AH = = 12 (cm) 25 15 15 BH = = (cm) 25 ta cã : BC = 1® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1® 1® 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 − BH = − = 3,5(cm) 2 1 = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = SAHM - VÏ ®óng hình: 1đ A B H S 21 Bi 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 37 M C 1® Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = b) 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + 2xz z + 2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA' HB' HC' + + Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 = xy + yz + xz = yz = –xy–xz + + =0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) Tính A = ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) 38 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a, b, c, d 9, a (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m N, 31 k m 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k abcd + 1353 = m (0,25điểm) Do đó: m –k = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) 2 (0,25điểm) • Bài (4 điểm): Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' = = a) S ; AA' ABC AA'.BC (0,25điểm) A (0,25điểm) C’ H N SHAB HC' SHAC HB' = = Tương tự: ; SABC CC' SABC BB' B HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC x B’ M I A’ b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vng A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 39 (0,25điểm) C D (0,25điểm) (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) (AB+BC+AC) (AB + BC + CA ) 4 (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n + 3n + 2n + 6n Có giá trị số nguyên n2 + D= n5-n+2 số ph-ơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) (n 2) a, a b c + + = biÕt abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a + + + + b2 c2 a2 b a c c, Câu 3: (5điểm) a, Giải ph-ơng trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d-ơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đ-ờng chéo.Qua kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chøng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 + = AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ-ờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 40 §iĨm 0,5 0,5 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Tốn THCS n2 + B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 -ớc tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mÃn (5điểm) Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) (n 4) + 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 VËy D chia d- Do ®ã sè D có tận 7nên D số ph-ơng Vậy giá trị n để D số ph-ơng B=n2+3n- b, (2®iĨm) a b c + + = ab + a + bc + b + ac + c + ac abc c + + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1®iĨm) b, (2®iĨm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu a+b+c=0 (5điểm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2 +a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x +y 2xy DÊu b»ng a2 b2 a b a + = ; b c c b c 2 c b c b b + = 2 a c a a c 2 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 a2 c2 a c c + = ; b a b b a 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thøc trªn ta cã: a b2 c2 a c b 2( + + ) 2( + + ) b c a c b a 2 a b c a c b + + 2 + + b c a c b a 41 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 86 84 82 1 1 (x-300) + + = x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82 a, (2®iĨm) 1,0 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Câu Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 (5®iĨm) k=± 8,5 Với k=8,5 tacó ph-ơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x= ; x = 0,5 0,5 0,5 −1 0,5 Với k=- 8,5 Ta có ph-ơng trình: 64x -16x+9=0 (8x-1) +8=0 v« nghiƯm 2 − 1 2 VËy S = , 0,5 c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên d-ơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng (x,y)=(3;1) B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đ-ờng cao) S DAB –SAOB = S CBA- SAOB O K E F Hay SAOD = SBOC I N 0,5 0,5 0,5 M D 0,5 C 1,0 0,5 EO AO Mặt khác AB//DC = Câu DC AC (5điểm) AB = AO AB = AO AB = AO EO = AB DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 = = + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ b, (2điểm) Vì EO//DC đ-ờng thẳng KN đ-ờng thẳng phải dựng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cđa EM vµ KN lµ I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN 42 1,0 1,0 ... Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 86 84 82 1 1 (x-300)... x + 3x − b) 1 48 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 28 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS c) x − + = Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng... BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = (2x – 8) (2x – 4)