các chuyên đề ôn thi đh

Suy ra phöông trình (*) voâ nghieäm.[r]

 Chuyên đề 3: ĐẠI SỐ

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.    

 

2n

2n

B A B

A B (với n  *)

2. 2nA B 2n B (hayA 0)

A B

 



  



 (với n 

*)

3. 2n 1 A  2n 1 B  A B  (với n  *)

4.

 

   

   

  



A B

A B C

A B C

5.

 

    

    



  



2 2

A B

A B C C 0

A B C

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giaûi phương trình: x x 4 x     10 3x (x  R)

Giải

Điều kiện: –2  x  Đặt t = x x  

 t2 = 9(2 + x) – 36 2 x x    + 36(2 – x) = 9(10 – 3x –4 x ) Phương trình cho trở thành t – t2

9 =  t = t =

 Với t = 0: x x 0     x x  

 9((2 + x) = 36(2 – x)  x

 (Thỏa điều kiện–2  x  2)

 Với t = 9: x x 9    3 x x 9    (*) Do –2  x  nên x

6 x 9

  

 

  

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Vậy phương trình cho có nghiệm x



Cách khác:

Đặt u = x vaø v = x (u  0, v  0) :  u.v = x



2

u x

v x

  

 

 

  u

2 + 4v2 = 10 – 3x vaø u2 + v2 =

Do phương trình cho trở thành 3u 6v 4uv u2 2 4v2 (1)

u v (2)

    

 

 



(1)  3u – 6v = u2 + 4v2– 4uv  3(u – 2v) = (u – 2v)2  u – 2v = = u – 2v

ª Với u = 2v vào (2) ta v2

5

  v

5

  u

5



Suy ra:

4 x

5 2 x

5

  

 

  





16 x

5 x

5

        

 x

5



ª Với u = + 2v vào (2) ta (3 + 2v)2 + v2 =  5v2 +12v +5 =

Phương trình vô nghiệm v 

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Giải phương trình 3x 1  x 3x  214x (x    )

Giải

Điều kieän: 1 x 6 

3

Với điều kiện x 6,

   phương trình cho tương đương:

 3x 4    1 x 3x214x 5 0        

   

3x 15 x (x 5)(3x 1) 0

3x x

 x – = hay    

   

3 (3x 1) 0

3x x

Nhận xét: x 1

3 neân 3x + 

Do    

   

3 (3x 1) 0

3x x vô nghiệm

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Giải phương trình: 3x 5x x3        

Giải

Điều kiện x 

5 Khi đặt u33x v  5x, v 0  (*) Ta có   

  

3

u 3x

v 5x  

3

5u 3v

Phương trình cho trở thành hệ:   

 



2u 3v

5u 3v

     



 

    

  



2

8 2u v

3 2u

5u

3

     

    



8 2u v

3

15u 4u 32u 40

  

     

    



8 2u v

3

u 15u 26u 20

 u = 2 v = (nhận) Thế u = 2 v = vào (*), ta được:

   

 



33x 2 2

6 5x

   

   



3x

6 5x 16 x = 2 (nhaän) Vaäy phương trình có nghiệm x = 

Bài 4: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI D NĂM 2007 Giải phương trình:3 x25x 10 5x x   

Giaûi

Đặt t = x25x 10 (với t   ) suy t2 = x2– 5x + 10  5x – x2 = 10  t2 Phương trình cho trở thành: 3t = 10  t2  t loại 

t

   

 

Vaäy x25x 10 =   x2 5x + 10 =   

  

x x

Bài 5: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Giải phương trình: 3x 7  x 1 =

Giải

Điều kiện: x 1

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

3x 7  x +   3x + = x + + x 

 x + = x   (x + 1)2 = 4(x + 1)   

  

x

x (thoûa x 1)

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Giải phương trình: 2x x  23x (x    )

Giaûi

Đặt t = 2x (t 0)    t = 2x   x = t21 Phương trình cho trở thành: t4 4t24t  

 (t 1) (t 2  2t 1)  t 1, t  1 (nhận) Với t = ta có x = Với t = 1, ta có x =   Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 

Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Giải phương trình: 3x 2  x 4x 3x    25x (1) 

Giải

Đặt t = 3x 2  x t suy    

t2 4x 3x  25x 2 4x 3x 25x t  23 Khi đó: (1) trở thành: t = t2–  t2– t – =   

 

   

 

t loại t nhận

Khi đó: (1)  3x 2  x (*)  

Điều kiện:       

3x

x

x (a)

Với điều kiện x  1, phương trình (*) tương đương:

3x – + x – + 3x x 9    3x x 2x   



    

 

  

 

 

       

 

 2

6 2x x

3x x 2x x 19x 34



 

   

    

x

x x

x 17

Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Giải phương trình: x + x = 2 x 1  x28x (x    )

Giải

Điều kiện

   

  



   



7 x x

x 8x

 x 

Với điều kiện  x  7, phương trình cho tương đương: x – – x x    x x =    

 x x 2     x x =     

  x 2   x 1  x =  

 x x

x

x x

    



  

   



Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Giải phương trình sau: x 2 x 1    x 4 

Giải

Điều kiện: x 

Phương trình cho tương đương với

   

 

2

2 x 1 x x 1 x

x x nhaän

          

    

Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ  ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Giải phương trình: 3x 3  x  2x (1) 

Giaûi

Điều kiện:

  

      

  



3x

5 x x

2x

(a)

Với điều kiện  x  5, phương trình (1) tương đương: 3x 3  2x 4  x

 

        

         

     

   

2

3x 2x x (2x 4)(5 x)

(2x 4)(5 x) x (2x 4)(5 x) (x 2)

(x 2) 2(5 x) (x 2)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 11:

Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x5 x2 2x  =

Giải

Ta có x5 x2 2x  = (1)

(1)  x5 = (x + 1)2  điều kieän x 

Với  x < VT < VP   (1) vơ nghiệm Do xét x 

Xeùt f(x) = x5 x2 2x  1, x 

f'(x) = 5x4 2x  = 2x (x3 1) + 2(x4 1) + x4 > 0, x  Do f(x) tăng [1; +), f liên tục

Vaø f(1); f(2) < nên f(x) = có nghiệm

Bài 12:

Giải phương trình: x 4  x 2x 12 x    216

Giải

 Điều kiện:       

x

x x

 Đặt t = x 4  x t      t2 = 2x + 2 x216 Phương trình (1) trở thành: t2– t – 12 =  

 t 4t 3 (loại)  Với t = 4: x 4  x 4   2x + x216 16 x  

 x216 x vaø x    

 

 

   

   

  

   

 2

4 x 4 x 8

x x

x 16 x

 Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

2 B

A B A

A B

  

   

 



2.      

 

 

B B

A B hay

A A B

3.    

 

B A B

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Giải bất phương trình:  

 2 

x x 1

1 2(x x 1)

Giaûi

Điều kiện x  Khi đó:

 

 2 

x x 1

1 2(x x 1) 

    



  

2

x x 2(x x 1) 0

1 2(x x 1) (*)

Nhận xét:

Mẫu số: 1 2(x2 x 1) 1 2 x 1 0

2

  

            

 

 

 

Do bất phương trình (*) trở thành: x x 1  2(x2 x 1)

≤

 2(x2    x 1) x x  

 

   

 

     

 2

x x

2(x x 1) x x

   

       

 2

x x

2(x x 1) x x 2x x 2x x

   

    



x x

x x 2x x x 

   

 

    



x x

(x 1) x(x 1) x

    

  



x x

(x x) 

   

 

  



x x

x x

       



x (1 x)

x x 

   

 



0 x x (1 x)    

  



0 x

x 3x 

   

  



0 x

3

x

 x3

2

Caùch khaùc:

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 

 2 

x x 1

1 2(x x 1)      

2

x x 2(x x 1) (1)

• x = 0: (1) không thỏa

• x > 0: Chia hai vế bất phương trình (1) cho x ta (1)        

 

1

x x

x x

 

      

 

1

2 x x

x x

Đặt t  x   1 x t2 2

x x

(1) trở thành:       

   



2

2

t

2(t 1) t

2t t 2t (*)

(*)   

  



t

t 2t 0  

   

 



t

t 0 t = Do đó:  x 1  x x 0 

x

1

x 6 3 5

2 x

4

1

x (loại)

2

  

  



   

  

  

Baøi 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Giải bất phương trình: x x 2    5x x   

Giaûi

x x 2    5x 



  



    

  

       

  

 

 



x x x

2 x

x x 2 x x   x 

Bài 3: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải bất phương trình: 5x210x 2x x    (1)

Giaûi

5x210x 2x x   

Điều kiện để bậc hai có nghĩa là:

5x2 + 10x +   x 5 hoặc x 5

5 (*)

 5 5x210x 1   36 5x210x (*) 

Đặt t 5x210x 1, t  

(*) trở thành t2 + 5t – 36   t  (nhận)  t 9 (loại) Với t  4, ta có: 5x210x    x2 + 2x – 

 x 3  x  (những giá trị thỏa điều kiện (*))

Baøi 4: CAO ĐẲNG BÁN CÔNG HOA SEN NĂM 2007 Giải bất phương trình: x24x > x – (1)

Giải

Điều kiện: x2– 4x   x   x 

Trường hợp 1: x – <  x < 3: (1) so sánh với điều kiện x  Trường hợp 2: x 

(1)  x2– 4x > x2– 6x +  x > 9 So với điều kiện x  ta nhận x >

2 Kết luận: nghieäm x  0; x >

2

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

Giải bất phương trình: 5x 1  x 1  2x 

Giải

Điều kiện:

  

    



  



5x

x x

2x

Khi bất phương trình cho tương đương với

5x 1  2x 4  x 1 5x 2x x (2x 4)(x 1)          x + > (2x 4)(x 1)  x24x 2x  26x 

x210x 0   0 x 10 Kết hợp với điều kiện ta có:

 x < 10 nghiệm bất phương trình cho

Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ

Giải bất phương trình: 8x26x 4x 0   

Giaûi

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

2

2

2

1

x x

4

8x 6x

1

4x x

4

8x 6x (4x 1) 8x 2x 0

1

x x

1

4 x x .

1

x x

    

    

 

    

     

   

    

    

    

Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ

Giải bất phương trình: 2x 7  x  3x (1) 

Giải

Điều kiện

  

   

   

2x x 3x

 2 x

3 (a)

(1)  2x 7  3x 2  x

 2x 3x x 3x x        

 3x x     (3x – 2)(5 – x)   3x2– 17x + 14   x   x  14

3

So với điều kiện (a) ta có nghiệm 2 x hay14 x

3

Bài 8:

Giải bất phương trình:      

 

2

2 x 16 7 x

x

x x

Giaûi

Điều kiện

   

     



 

 

 

   



x x

x x

x 16 x 4

Bất phương trình cho tương đương với

x 216   x x  x 21610 2x 

  

 2

2

10 2x 10 2x

V

2 x 16 10 2x

x 16

 



 

 

    

 

 



 

  

 

    



x x

10 34 x 10 34

 x 10  34

Baøi 9:

Giải bất phương trình x23x 2x 23x  

Giaûi

x23x 2x 23x  

        

 



2

2

2x 3x

2x 3x

x 3x

 x x = x < 12 V x >

2 x x 3

 



    

   



 x  

2  x   x =

Bài 10: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM Giải bất phương trình: x 1  x 1 

Giaûi

       

     

 

 

x x

x x

2x x 16 x x

 

   

      

  

     

 2

x 1 x 8

65

8 x 65 x

16 x

16

x x 16x 64

 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Daïng 1:       



1 1 2 2

1 2

2 2

A x B y C

, Với A A B B

A x B y C

Laäp:  1  1 2 2 1

2

A B

D A B A B

A B

x  1  1 2 2 1

2

C B

D C B C B

C B ;   

1

y 2

2

A C

D A C A C

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Nếu D  0: hệ có nghiệm:  

  

Dx x

D Dy y

D Neáu  

 



D

Dx (hoặc Dy 0): hệ vô nghiệm

Nếu: D = Dx = Dy = 0: hệ có vô số nghiệm

Dạng 2: Đối xứng loại 1: f(x, y) với f(x, y) f(y, x)

g(x, y) g(x, y) g(y, x)

 

 

   

 

Đặt:    



2

S x y

(điều kiện S 4P)

P x.y

Ta hệ: F(S, P) ta tìm S, P

E(S, P)

 

 



Khi x,y nghiệm phương trình: X2SX P   Dạng 3: Đối xứng loại 2: f(x, y) (1)

f(y, x) (2)

 

 



Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta : (y  x) h(x, y) = y x (a)

h(x, y) (b)

 

  



Kết hợp: 



(a) vaø (1) (b) vaø (1)

Dạng 4: Hệ tổng quát: Thường biến đổi để nhận ẩn số phụ, sau dùng phương pháp để giải tiếp

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải hệ phương trình:  

   

2

2

2

5x y 4xy 3y x y (1)

xy x y x y (2)

     

 

   

 (x, y  R)

Giaûi

Ta coù : (2) xy x 2y2 2 x2y22xy x2y2xy xy 1    

xy x  2y22 0 xy x  2y2 2

Trường hợp 1: 5x y 4xy2 3y3 x y  (1)

xy (3)

     

 

Ta coù: (3)  y1

x (Vì x = khơng nghiệm) vào (1) ta được:

(1)  5x2 4x 3 x

x x x x

          

       

       

5x 33 2x

x x x

      3x 33

x x

    3x46x2 3 3 x 2120 x y

x y

   

     



Trường hợp 2: 2  

2

5x y 4xy 3y x y (1)

x y (4)

     

 

 



Thế (4) vào (1) ta được:

(1)  5x y 4xy2  23y3x2y2x y 0  4x y 5xy2  22y3x30



2

x x x

4

y y y

      

   

    (*) (Chia hai veá cho y

3 0)

Đặt t = x

y Phương trình (*) trở thành:

4t2   5t t3  t34t2    5t t 1  2 t 2 0  t = hay t =

Vaäy (*)  x

y = hay x y =

 Với x

y = xét trường hợp 1

 Với x

y =  x = 2y vàox2y22 ta được:

 2y 2y2 2y2 2

5

10 10

y x

5

10 10

y x

5



  

  



    

 

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: x

y



 

  

x

y

 

 

   

2 10 x

5 10 y

5

 

 

   

2 10 x

5 10 y

5

        

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Giải hệ phương trình:      

   



2 2

(4x 1)x (y 3) 2y (1)

4x y 4x (2) (x, y  )

Giaûi

Điều kiện: x3

4 Đặt u = 2x; v 2y  Phương trình (1) trở thành

u(u2 + 1) = v(v2 +1)  (u  v)(u2 + uv + v2 + 1) =  u = v Nghóa là:

   

   

   

2

3 x

4

2x 2y

5 4x y

2

Phương trình (2) trở thành 256x24x42 4x (*) 

4

Xét hàm số f(x) 4x 46x2252 4x

4 treân

3 0;

4

 

 

 

  



2

f '(x) 4x(4x 3)

3x < Mặt khác:    

 

1

f

2 nên (*) có nghiệm x = 12 y = Vậy hệ có nghiệm x =

2 vaø y =

Baøi 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải hệ phương trình:     

  

 2

2 2x y 2x y

x 2xy y (x, y  )

Giaûi

    

  

 2

2 2x y 2x y (1)

x 2xy y (2) Điều kiện : 2x + y  (*)

(1) (2x y) 2x y 0      2x y hay   2x y  3 (loại)  2x + y =  y = – 2x (3)

Thay (3) vào (2) ta có: x2– 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 =  x2 + 2x – =  x = hay x = –3

Vậy nghiệm hệ phương trình   



x

y hay

      x y

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Giải hệ phương trình: xy x 7y2 2 2 x, y 

x y xy 13y

          Giải

Vì y = không thỏa mãn hệ cho, nên Hệ cho tương đương:

           2 x

x (chia veá cho y)

y y

x

x 13 (chia veá cho y )

y y Đặt a = x1

y; b = xy Ta coù a = x1

y    

2 2

1 x

a x

y

y    

2 2

1

x a 2b

y

Hệ trở thành   

  



a b

a 2b b 13 

   

  

a b

a b 13 

   

  



a b

a a 20

  



a b hay

     

a

b 12

Vaäy         x y x y hay          x y x 12 y       

x 4x

x 3y hay

       

x 5x 12

x 12y (VN)

       x 1 y

hay  



x y Hệ có nghiệm (x; y) = (1; )1

3 ; (x; y) = (3; 1)

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Giải hệ phương trình  

 2  

2 x x y

x, y

x y

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Giải

Điều kiện x 

Hệ cho tương đương:    

  

 2

x(x y) x

x (x y) x (*)

Đặt t = x(x + y) Hệ (*) trở thành:

             

     

    

 2  

t x t x t x x x

tx t t

t x (t x) 2tx

Vaäy

 

  

     

          

   

x

x x x

3

x(x y) x(x y) y y

2

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Giải hệ phương trình:

      

 

     



2

4

5

x y x y xy xy

4

x y xy(1 2x)

4

Giaûi

Hệ phương trình cho tương đương với :

      

 

    



2

2

5

x y xy(x y) xy

4

(x y) xy

4 Đặt u = x2 + y, v = xy ta có hệ:     



   



5

u u.v v (1)

4

u v (2)

4 Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được:

u2– u – uv =  u(u – – v) =   

   

u v u

 Trường hợp 1: u = thay vào (2)  v 5

4 Vaäy



       

  

  

  

    

  

2

3

3 x

x y y x 4

5

xy x y 25

4 16

 Trường hợp 2: v = u – thay vào (2) ta được: u2         u u v

Vaäy:

         

 

  

    

      

 

 

2 x 1

x y x

2 2x

3

3 y

xy y 2

2 2x

Hệ phương trình có nghiệm là: 5; 325

4 16

 



 

 

  vaø

3 1;

2

  

 

 

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Giải hệ phương trình:     

  



4 2

2

x 2x y x y 2x

(x, y )

x 2xy 6x

Giaûi

Giải hệ phương trình: x42 2x y x y3 2 2x (x, y )

x 2xy 6x

    

 



  





   

 

       

  

  

  



2 2

2

2

(x xy) 2x

x

x 3x 2x

x 3

xy 3x

 x4 + 12x2 +48x2 + 64x =  x(x + 4)3 =   

   

x

x

 x = khoâng thỏa mãn hệ phương trình

 x = 4  y 17

4

Nghiệm hệ phương trình là: 4; 17

  

 

 

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Giải hệ phương trình:      

   



2

xy x y x 2y

(x, y )

x 2y y x 2x 2y

Giaûi

Hệ phương trình:      

   



2

xy x y x 2y (1)

(x,y )

x 2y y x 2x 2y (2)

Điều kiện:  



x y

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 (x + y)(2y – x + 1) =      

y x

x 2y

* Trường hợp 1: y = x Do điều kiện y   x  loại * Trường hợp 2: Thay x = 2y + vào (2) ta được:

(2y 1) 2y y 2y 2y       

   

      

  

y

(y 1) 2y y y

y Vậy hệ có nghiệm x = 5; y =

Bài 9: ĐẠI HỌC SAØI GỊN KHỐI A NĂM 2007 Giải hệ phương trình:    

  



3

x 2y x

y 2x y

Giaûi

   

  



3

x 2y x

y 2x y      

   

 

     



2

x 2y x

x y x xy y x y



   

   

     

  

  

   

  

3

3

2

x 2y x I

x y

x 2y x

II

x xy y

(I)      

 

x x

y y 2; (II) x

2 + xy + y2 + = 0

Do   y2 4(y2 + 1) < nên (II) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (1; 1); (2; 2)

Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Giải hệ phương trình: x y xy (x, y )

x y

   

 



   



Giải

Điều kiện: x 1, y 1, xy Đặt t = xy (t 0). 

Từ phương trình thứ hệ suy ra: x + y = + t Bình phương hai vế phương trình thứ hai ta được: x y 2 xy x y 16       (1) Thay xy = t2, x + y = + t vào (1) ta được:

        

      

 

 2 

0 t 11 t 11

t

4(t t 4) (11 t) 3t 26t 105

Với t = ta có x + y = 6, xy = Suy nghiệm hệ là: (x; y) = (3; 3)

Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải hệ phương trình:    

   



2

x y(y x) 4y

(x 1)(y x 2) y (x, y  )

Giaûi

 Xét y = hệ phương trình trở thành   

  



2

x

(x 1)(x 2) voâ nghieäm

 Xét y  Chia vế hai phương trình hệ cho y ta được:

 

   

 



   



2

x 1 y x 4

y

x 1(y x 2) 1

y

(*)

Đặt: ux21

y v = y + x – (*) trở thành:

  

 



   

 

u v u

u.v v

Vaäy:

 

 

     

  

  

   

 

     



2

2

x 1 1

x y x x

y

y x y x

y x

     

 

 

x x

hay

y y

Bài 12: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải hệ phương trình:    

  



2

2

(x y)(x y ) 13

(x y)(x y ) 25 (x, y  )

Giaûi

       

     

 

 

2 2

2 2

(x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 13 (1)

(x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2)

         

 



3

(x y) x y

x y

(x y) 25  (3; 2) (2;  3)

Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải hệ phương trình:     

   



2

2 2

x xy y 3(x y)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Giải

Đặt u = x  y, v = xy

Ta coù:        

 

 

 

2

u 3u v u u

v v

v 2u

    

 

u x

v y

         

  

u x x

hoặc

v y y

Bài 14: DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Giải hệ phương trình:

   

    

 

    



2

x y x y

x x y y y

Giaûi

Hệ phương trình cho tương đương

     

    



2

2

x y x y

x y x y xy 

     

 

  

2

x y x y

xy (I)

 Đặt S = x + y, P = x.y

(I)      

  

2

S 2P S

P 

 

 

   



 

    

   

 

2

2

P

thỏamãn S 4P

S

P

thỏamãn S 4P

S

 Với S = 0, P = 2 x, y nghiệm phương trình: X2– SX + P = X2– =   

  

1

X

X

Vậy nghiệm hệ     

  

 

 

x x

y y

 Với S = 1, P = 2 x, y nghiệm phương trình: X2– SX + P = X2 + X – =   

  



1

X

X

Vậy nghiệm hệ     

  

 

x x

y y

Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ

Giải hệ phương trình:      

 



2x y x y

3x 2y

Giaûi

     

    



2x y x y

(2x y 1) (x y) Điều kiện: x + y  0; 2x + y +  (*) Đặt u = 2x y ;    v x y  

Hệ trở thành:

   

       

   



       

 

  

   



1

2

2

u

u v 2x y x

v x y 1 y 1

u v

u loại

(thỏa mãn (*) nên nghiệm)

Bài 16:

Giải hệ phương trình    

  



1

x y

x y

2y x

Giaûi

Điều kiện: xy  Hệ phương trình tương đương với:



        

  

  

    

 

    



3

3

y x

x y y x xy

xy

2y x x x

2y x



 

2

3

xy

y x

hoặc 1 1 3

x 2x x x vô nghiệm

2 2

    

 

    

       

    

    





  

   

   



y x

x x x  x = y =  x = y = 1

Bài 17:

Giải hệ phương trình

 

   



 

 

2 2

2

y

3y x

x

3x y

Giaûi

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Ta có hệ phương trình cho tương đương  

 

2

2

3yx y

3xy x 2

  

 

 



(1)  (2) ta 3xy (x  y) = (y  x) (y + x)  (x  y) (3xy + x + y) =



 

1

x

x loại

 

  



 y = x, vào (1) ta 3x3 x2 =

 (x  1) (3x2 + 2x + 2) =  x =  y = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm     

  

 

 

x x

y y

Baøi 18:

Giải hệ phương trình    

   



3x y x y

x y x y

Giaûi

Điều kiện    



x y x y

Khi hệ phương trình     

 

   

 

    



2

2

x y x y

x y x y



  2 

x y x y = x y x y 1

x y x + y = (loại)

x+y x y

   

      

 

     

    

 

  

  

  

  



3 x =

x 2

y y

2

Bài 19: CAO ĐẲNG BÁN CÔNG HOA SEN Giải hệ phương trình:   

 

 2

x y y x x y y x 20

Giaûi

Đưa hệ:   

 



2

4 2

u v uv

u v u v 20

Giải hệ ta    

 

 

u u ; v v

Nghiệm hệ cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4)

 Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ

A ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  

2

2x y x xy m

x x y 2m

    

 

   

 (x, y R)

Giaûi

Ta coù:  

2

2x y x xy m

x x y 2m

    

 

   

 

3 2

2

2x x y 2x xy m

x x 2x y 2m

                      2

x 2x y x 2x y m

x x 2x y 2m

                     2

x x 2x y m

x x 2x y 2m

   

 

    

 (*)

Đặt: u = x2– x = x

2          u   v = 2x – y  v  R

Hệ (*) trở thành: uv m

u v 2m

 



  

 

 

u 2m u m

v 2m u

   

 

  



 u2 u m 2u 1 

v 2m u

          

u u m (1)

2u v 2m u

           Đặt: f(u) u2 u

2u

 



 , với

1 u   Ta coù:   2

2u 2u

f '(u) 2u      ,

u (Loại)

2 f '(u)

1

u (Nhaän)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

u

4



2

  + 

f'(u) + 

f(u)

2



 –

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hệ cho có nghiệm  (1) có nghiệâm u thuộc 1;

 



 

2 m

2





Baøi 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Tìm giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:

x (4 x)(2x 2) m 4 x         2x 2  ( xR)

Giải

Điều kiện:  x 

Đặt t = 4 x 2x2 với x  [1; 4]

t' = 1

2 2

 

x x =

2

2 2

  

 

x x

x x

t' =  4 x 2x2  16 – 4x = 2x –  6x = 18  x =  t = Điều kieän:  t  x Ta coù: t2 = + x + (4x)(2x2) t' +

 x + (4x)(2x2) = t2 t

(1) thaønh: + t2 = m + 4t

 t2– 4t + = m (2) Xét f(t) = t2– 4t + với t  [

3; 3]

f'(t) = 2t – 4, f'(t) =  t =  f(t) =

t 3 3 f'  +

f 74 3

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [ 3; 3]   m 

Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình   

  

x my

Giaûi

Ta coù:   

  

x my mx y

D m m , D2 x m 3m, Dy 1 m

m m

 

        

Ta thaáy: m, D = + m2  hệ có nghiệm:

 

  



  

  

   

 

  

2

1 3m

Dx x

x

D m

Dy m

y y

D m

Hệ có nghiệm (x; y) thoûa xy <    

 

2

1 3m m. 0

m m

 (1 + 3m)(3 – m) <  m 1

3 hay m >

Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

Định m để hệ phương trình sau vơ nghiệm:    

  

 2

x y xy m

x y xy m

Giaûi

S = x + y, P = xy

Hệ trở thành        

 



2

S P m

S P nghiệm phương trình: X mX m

PS m

 X = hay X = m –

Vaäy (S = 1, P = m – 1) hay (S = m – 1, P = 1) Hệ vô nghiệm  S2– 4P <     



  



1 4(m 1)

(m 1) 0 54 < m <

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2mx 2x   

Giải

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: x2mx 2x (1)   



 

2

2 x 2x

2

x mx (2x 1) f x 3x (m 4)x (2)

    

 

 

   

 

      

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –



2

(m 4) 12

S m

2

1 m

f

2

    





   



   

     

  



 m9

2

Bài 6:

Tìm m để hệ phương trình sau   

  



x y

x x y y 3m có nghiệm

Giải

  

  



x y

x x y y 3m (I)

Điều kiện x  0, y 

Đặt u x u3x x, u 0

v = y  v3y y, v 0

(I)  u v 3 3

u v 3m

   

  



 u3 + (1  u)3 =  3m  u2 + u = m (0  u  1) Khảo sát f(u) =  u2 + u; f'(u) = 2u + 1; f’(u) =  u = 1

2 Bảng biến thieân

u 12

f'(u) +  f(u) 14

Nhờ bảng biến thiên ta chọn  m 

Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ

Cho phương trình       

 

2

x m x m

3

Chứng minh với m  phương trình ln có nghiệm

Giaûi

      

 

2

x m x m

Đặt t x2 4  t2 = x2 +  x2 = t2– (1)  t2– +   

 

 

2

m t

3 + – m 3 =

 f(t) = t2 +   

 

 

2

m t

3  – m

3 = (2)

Xeùt 1.f(2) =        

 

3 4

m 2m m 2m h(m)

3

 h'(m) = 3m2 + 4m; h'(m) =  m =  m4

 Bảng biến thiên: x

0 43 +

h'(m) + 

h (m) 4

27

4

3 

 Vậy m  h(m) <  a.f(2) <  (2) có nghiệm t1 < < t2  (1) có nghiệm m

Bài 8: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

Xác định m để phương trình sau có nghiệm: x22x 3  m =

Giải

Phương trình  x22x 3 = m, điều kiện m   x2  2x + = m2 (x – 1)2 = m2–