Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P, vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42 .... SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN Đáp án gồm 05 trang Câu I.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌCÔN CẤP TỐC 2012 SỐ 16 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số Tìm các giá trị m để đường thẳng y = mx – m + cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: cos x cos x 1 2 sin x sin x cos x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 3 2 x x x x x ( x ) x dx x 1 x Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N là các điểm di động trên các DMN ABC Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y cạnh AB, AC cho Chứng minh rằng: x y 3 xy P x3 y 16 z 3 x y z Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z 0 t/m x+y+z > Tìm GTNN: II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = và hai đường thẳng x 1 y z x y 2 z 2 d2: d1: , Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n , biết n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = B Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), tr.tâm G(2; 0) §ỉnh B và C nằm trên d1: x + y + = và d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG x y2 z 1 và mặt phẳng (P): x + y + z + = Gọi Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: M là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới 42 (2) log y x log y 1 2 x y 25 ( x, y ) Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình -Hết - SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN Đáp án gồm 05 trang Câu I Nội dung Điểm HS tu lam 2,0 II 2.0 Giải phương trình ĐK: sin x cos x 0 Khi đó cos x cos x 1 2 sin x sin x cos x 1.0 0.25 PT sin x cos x 1 2 sin x sin x cos x sin x cos x sin x sin x.cos x 0 0.25 sin x cos x sin x 0 sin x cos x x k 2 x m 2 k , m Z Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 0.25 (thoả mãn điều kiện) 0.25 x k 2 và x m2 2 Giải phương trình: x x x x x ( x ) 3 x x 0 PT 2 7 x x x 3 x x 0.25 x x 1 x 16 0 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - III Tính tích phân 3 1.0 0.25 3 x x 0 x x 2( x 2) x 1 x 0 x2 x x k , m Z x dx x 1 x 0.25 0.25 1.0 (3) x 0 u 1 x u x 2udu dx ; đổi cận: x 3 u 2 0.25 Đặt u = 2 x 2u 8u dx du (2u 6)du 6 du u 3u u 1 x x 1 Ta có: 2 u 6u ln u 1 ln 0.25 0.25 0.25 IV 1.0 D Dựng DH MN H DMN ABC DH ABC Do mà D ABC là tứ diện nên H là tâm tam giác ABC C B 0.25 N H M A 3 DH DA AH Trong tam giác vuông DHA: 2 0.25 S AMN AM AN sin 600 xy Diện tích tam giác AMN là V S AMN DH xy 12 Thể tích tứ diện D AMN là Ta có: S AMN S AMH S AMH 0.25 1 xy.sin 600 x AH sin 300 y AH sin 300 2 0.25 x y 3xy V 1.0 Trước hết x y ta có: x y x y (biến đổi tương đương) 0.25 x y 0 Đặt x + y + z = a Khi đó x y 4P a 64 z 3 a z z (với t = a , t 1 ) 0;1 Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t Có f '(t ) 3 64t t , f '(t ) 0 t 0;1 a 64 z 3 t 64t 0.25 0.25 (4) Lập bảng biến thiên Minf t t 0;1 64 81 16 GTNN P là 81 đạt x = y = 4z > 0.25 VI.a 2.0 1.0 Do B là giao AB và BD nên toạ độ B là nghiệm hệ: x y 0 x y 14 0 21 x 21 13 B ; 5 y 13 0.25 Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc AB và BD, kí hiệu nAB (1; 2); nBD (1; 7); nAC ( a; b) (với a2+ b2 > 0) là VTPT các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB 0.25 a b 2 2 a 2b a b 7a 8ab b 0 a b - Với a = - b Chọn a = b = - Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm hệ: x y 0 x 3 A(3; 2) x y 0 y 2 Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x x y 0 I 7;5 2 x y 14 0 y 5 0.25 14 12 C 4;3 ; D ; 5 Do I là trung điểm AC và BD nên toạ độ - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 0.25 1.0 Phương trình tham số d1 và d2 là: x 2t x 2 m d1 : y 1 3t ; d : y 5m z 2 t z 2m Giả sử d cắt d1 M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) và cắt d2 N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN (3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) 0.25 0.25 (5) Do d (P) có VTPT nghiệm nP (2; 1; 5) nên 3 m 2t 2k 5m 3t k k : MN kn p 2m t 5k có 0.25 m 1 Giải hệ tìm t 1 Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: VII.a x 1 2t y 4 t z 3 5t 0.25 thoả mãn bài toán Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n , biết n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = n N Điều kiện: n Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = log4(n – 3)(n + 9) = n 7 n 13 (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = Vậy n = n Khi đó z = (1 + i) = (1 + i) = i i (thoả mãn) thoả (không mãn) i (2i )3 (1 i ).( 8i) 8 8i Vậy phần thực số phức z là 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 VI.b 2.0 1.0 Giả sử B( xB ; yB ) d1 xB yB 5; C ( xC ; yC ) d xC yC xB xC 6 y yC 0 Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: B 0.25 Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) 0.25 Ta có 0.25 BG (3; 4) VTPT nBG (4; 3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = Bán kính R = d(C; BG) = phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 81 25 0.25 1.0 (6) Ta có phương trình tham số d là: x 3 2t y t x 3 2t y t z t z t x y z 0 toạ độ điểm M là nghiệm hệ (tham số t) M (1; 3;0) nP (1;1;1) ud (2;1; 1) Lại có VTPT của(P) là , VTCP d là u u , n (2; 3;1) Vì nằm (P) và vuông góc với d nên VTCP d P MN ( x 1; y 3; z ) Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc M trên , đó u MN Ta có vuông góc với 0.25 0.25 nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = x y z 0 x y z 11 0 ( x 1) ( y 3) z 42 Lại có N (P) và MN = 42 ta có hệ: Giải hệ ta tìm hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) 0.25 x y 2 z 5 3 Nếu N(5; -2; -5) ta có pt x 3 y 4 z : 3 Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt : VII.b Giải hệ phương trình log y x log y 1 2 x y 25 0.25 1.0 ( x , y ) y x y 0 Điều kiện: 0.25 y x log y x log y log y x y 25 x y 25 Hệ phương trình x 3 y x 3 y 2 x y 25 9 y y 25 15 ; x; y 10 10 15 ; x; y 10 10 x 3 y 25 y 10 y x y 4 x y 25 0.25 0.25 (không thỏa mãn đk) (không thỏa mãn đk) 0.25 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì điểm phần (7) đáp án quy định (8)