Đang tải... (xem toàn văn)
Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) và 2 đường thẳng AB và OM.. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌCƠN CẤP TỐC 2012 SỐ 12 Mơn: Toán – 0985.873.128
Thời gian làm bài: 180 phút
I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I(2,0 điểm) Cho hàm số y=1
3mx
3
+(m −1)x2+(4−3m)x+1 có đồ thị (Cm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C1) hàm số m=1
2 Tìm tất giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (L): x+2y-3=0
Câu II(2,0 điểm) Giải phương trình – HPT:
1/
1
sin 2x sin x 2cot 2x
2sin x sin 2x
2/
3 3
2
y x x x y y 6x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = I =
3
4
sin x
4 dx 2sin x cos x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đôi O, OB = a, OC = a 3và OA =a 3 Gọi M trung điểm cạnh BC
Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) đường thẳng AB OM Câu V(1,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
7
27
ab bc ca abc
.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a(2,0 điểm)
1.Cho đường tròn (C): x2y2 4x 8y 0 Viết phương trình đường thẳng qua điểm 5; 2
Q cắt đường tròn (C) hai điểm M, N cho MN 5 2.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 5;0 Viết phương trình đường thẳng d qua A biết d cắt Oz tạo với Oz góc 600.
Câu VII.a(1,0 điểm) Tìm mơđun số phức Z+1, biết
2
1 (3 )
i i Z
i i
.
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm
16 23 ; 27
H
, phương trình
cạnh BC: x – 6y + = trung điểm cạnh AB
5 ; 2
K
Viết phương trình đường thẳng AB, AC
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình
1
2
x z
y
Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d cho khoảng cách từ d tới (P) lớn
Câu VII.b(1,0 điểm) Tính môđun số phức z, biết
12
(2)-Hết -Đáp án
Câu Nội dung Điểm
I (2điểm)
1
Khi m =1
3
1
1
y x x Tập xác định:
Chiều biến thiên: y ' x 21 y’>0
x
xlim y ,
xlim y
Bảng biến thiên:
0,5
+ Hàm số đồng biến
+ Hàm số có khơng cực đại cực tiểu
0,25
Đồ thị:
Đồ thị giao với Oy (0;1)
0,25
2
Phương trình đường thẳng (L) có hệ số góc
1
nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm k=2 Lúc x hồnh độ tiếp điểm
2
f '(x) 2 mx 2(m 1)x (4 3m) 2 mx 2(m 1)x 3m (1) Bài toán trở thành
0,25
x - +
y’ +
+
y -
y
1
(3)tìm tất m cho phương trình (1) có nghiệm âm
Nếu m=0 (1)
2x x
loại
0,25
Nếu m0thì dễ thấy
phương trình (1) có nghiệm
2 hay x= m
x
m
0,25
do để có nghiệm âm
0
0 2
3
m m
m m
Vậy
2 hay
3
m m
thì (C) có tiếp điểm có hồnh độ âm thỏa yêu cầu đề
0,25
II 2,00
1 Giải phương trình:
1
sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x
1,00
Điều kiện:
sin x cos x
(i)
0,25
pt
2
sin 2x sin 2x.sin x cos x 2cos 2x 0,25
2
cos 2x cos 2x cos x cos 2x
2cos x cos x : VN
0,25
k x
4
( thỏa điều kiện (i) )
0,25
2 Giải hệ phương
trình:
3 3
2
y x x x y y 6x
trên tập số thực
1,00 Khi x = y =
(4)hpt
Khi x 0 , ta có
3
6 3
3
y y y
x y 9x x x 3y x
x x x Mà
2 y
x y y 6x y x
x 0,25 Do 3
y y y y
x 3y x x 27 x y
x x x x
0,25 Ta có y y 2
x x
x x
Vậy tập nghiệm hệ
x y, (0 ; 0) , (1 ; 2) , (2 ; 2)
T
0,25
III Tính tích phân I =
3
4
sin x
4 dx 2sin x cos x
1,00 I = 4 sin x dx 2sin x cos x
= 4
1 sin x cos x dx sin x cos x
0,25
Đặt t = sinx – cosx
dt = (cosx + sinx)dx Đổi cận: x =4
t = x =
3
t = I
= 2 1 dt t 2 0,25 Đặt
t tan u dt tan u du
; u
I =
4
2
2 tan u
(5)4
u
2
0,25
IV 1,00
Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH Chứng minh OH vng góc mp (ABC)
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi
O(0;0;0),
(0; 0; 3); ( ; 0;0), (0; 3;0),
A a B a C a
0,25
phương trình mặt phẳng (ABC)
x a+
y a√3+
z
a√3−1=0
Vậy
d(O;(ABC))=
√a12+ 3a2+
1 3a2
=a√3 √5 =
a√15
; ;
2
a a M
3
0; ;
2
a a
N
.
3 3
; ; , 0; ;
2 2
a a a a
OM ON
2 2
3 3
[ ; ] ; ;
4 4
a a a
OM ON
, n( 3; 1; 1) VTPT
của mp ( OMN ) Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O
với vectơ pháp tuyến
0,5
3
a
O
a x
(6)( 3; 1; 1) n
:
n xy z
MN đường trung bình tam giác
ABC AB // MN
Ta có:
3 0 3 15
( ; ( ))
5
3 1
a a a
d B OMN
Vậy:
15
( ; ( ))
5 a d B NOM
0,25
Cách 2
Suy d(O, (ABC)) = OH =
5
a
AB //(OMN)
d(AB;OM) = d(AB; (OMN)) =
15
( ; ( ))
5 a d B NOM
OM = MN = a , ON =
a
2 SOMN =
2
a 15
OB = OM = MB = a OBM
SOBM =
2
a
4
Gọi I trung điểm OC NI đường
trung bình
OAC NI
(OBC) NI =
a
VN.OBM =
1
3SOBM.NI
=
a
0,25
0,25
0,25
(7)Mặt khác, VN.OBM =
1
3SOMN.d[B, (OMN)] d[B,
(OMN)] = NOBM OMN
3V
S =
3a 15
MN đường trung bình tam giác
ABC AB // MN
AB //(OMN)
d(AB;OM) = d(AB; (OMN)) =
3
( ; ( ))
15
a
d B NOM ¿a√15
5 (đvd)
V 1,00
Ta có
2 ( ) (1 ) (1 ) (1 )
ab bc ca abc a b c a bc a a a bc Đặt t= bc ta có
2
( ) (1 )
4
b c a
t bc
.Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t đoạn
2
(1 )
0;
a
0,25
Có f(0) = a(1 – a)
( )
4 27
a a
và
0,25
2
(1 ) 1
(2 )
4 27 3 27
a
f a a
với a 0;1
0,25 Vậy
7
27
ab bc ca abc
Đẳng thức xảy a = b = c = 1/3
0,25
VIa 2,00
1 1,00
Đường trịn (C) có tâm I(2;4) bán kính R=5
(8)Gọi đường thẳng
qua Q(5;2)
có phương trình
A(x-5)+B(y-2)=0 với
2 0 A B ,
do tiếp tuyến M, N vng góc với nên MIN900 hay
tam giác MIN vuông cân I, suy
1
( , )
2
d I R
0,25
Hay
2
2
| A B 4-2 |
| |
2 B A A B
A B
2
17B 24AB 7A
(*) Chọn B=1 (*)
2
1
7 24 17 17
7
A
A A
A
0,25
A= -1; B=1: phương trình đường thẳng :
-x+y+3=0
17
A
; B=1: phương trình đường thẳng :
17x-7y-71=0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm: -x+y+3=0hoặc 17x-7y-71=0
0,25
VIa 2
Gọi K giao điểm d trục Oz K(0 ; ; k)
2;5; ; 0;0;1 AK k k
0,25
2
2
cos ; cos 60 27
2 27
k
AK k k k k
k
3
k
0.25
Với k=3 có
0;0;3 , 2;5;3
K AK
(9)
Với k=-3 có
0;0; , 2;5; 3
K AK
Phương trình d :
3
;
5
2
x y z x y z
0.25
VIIa 2 1,00
Ta có
2
1 3 1 3
5
1 1
i i i i i i
Z i
i i
0,5 Suy ra,
2
1 1 26
Z i Z 0,5
VIb 2,00
1 1,00
đt AH qua H vuông góc BC (AH) : 6x
+ y + =
A thuộc AH suy A(a ; –6a – ) B thuộc BC suy B(6b – ; b)
K trung điểm AB suy a = –1 ; b =
0,25
Suy A(–1 ; 5) , B(–4 ; 0) Pt (AB): 5x – 3y + 20 =
0;25
đường cao CH qua H , vng góc AB : (CH) : 3x + 5y – 11 =
0,25
HC cắt BC C suy C(2; 1) suy pt (AC) : 4x + 3y – 11 =
0,25
2 1,00
Gọi H hình chiếu vng góc A d =>H cố định AH = const
Do (P)//d nên khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (p)
0,25
(10)vng góc H (p)
( , )H p HI HA HI
d
lớn A ≡ I
=> (p) mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT
H∈d⇒H(1+2t ;t ;1+3t)
Và
u=(2;1;3) AH⊥d⇒AH u= 0¿
- véc tơ phương
của d)
⇒H(3;1;4)⇒AH(−7;−1;5)
0,25
(P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x +y - 5z -77 =
0,25
VIIb Tính mơđun số
phức z, biết
3
12
z i z
1,00
Giả sử
, ,
z x yi x y .
3
12 ( ) 12
z i z x yi i x yi
0,25
3
3 2
2
3 (1)
3 (3 12)
3 12 (2)
x xy x x xy x y y i x yi
x y y y
0,25 Do
2
0 (1)
x x y
Thế vào (2) ta
2 3
3(3y 1)y y 12 y 2y y
(3)
0,25
Giải pt (3) ta
1
y x Do x
> nên x =
Vậy z 2 i z
0,25