Tự học hàm số lượng giác

GV TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm Biên tậ tập) Ll20202020v , Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x Tập xác định Chu kỳ Tính chẵn lẻ Sự biến thiên D=ℝ T = 2π D=ℝ T = 2π Lẻ Chẵn  π  π HSĐB trên:  − + k2π ; + k2π    HSĐB trên: ( −π + k 2π ; k 2π HSĐB trên: ( k 2π ; π + k 2π π  3π + k2π ; + k2π  2  HSNB trên:  x Bảng biến thiên –π − y = sin x π 0 π π –π x ) π y = cos x ) –1 –1 –1 Đồ thị Hàm số y = tan x y = cot x y = tan x y = cot x π  D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  Tập xác định D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} Tập giá trị Chu kỳ Tính chẵn lẻ ℝ T =π ℝ T =π Lẻ Sự biến thiên Đồng biến  − Lẻ Nghịch π  π  + kπ ; + kπ    x Bảng biến thiên − π π 2 +∞ y = tan x –∞ Đồ thị biến khoảng: ( kπ ; π + kπ ) x +∞ π y = cot x –∞ TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – CHỦ CHỦ ĐỀ 1: LƯ LƯỢNG GIÁC Dạng Tìm tập xác định hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tập xác định hàm số y = f ( x ) tập hợp tất giá trị biến số x cho f(x) có nghĩa f ( x) có nghĩa g ( x) ⇔ g ( x) ≠ • y= • y = n f ( x ) có nghĩa ⇔ f ( x ) ≥ 0, (n ∈ ℕ) • y = n +1 f ( x) có nghĩa ⇔ f ( x ) có nghĩa (n ∈ ℕ) • y = tan f ( x ) có nghĩa ⇔ cos f ( x ) ≠ ⇔ f ( x ) ≠ • y = cot f ( x) có nghĩa ⇔ sin f ( x ) ≠ ⇔ f ( x ) ≠ kπ ,(k ∈ ℤ) π + kπ ,( k ∈ℤ ) B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: − sin x − cos x a) y = b) y = sin x + cos x π  c) y = tan  x −  3  π  d) y = cot  x +  6  C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Tìm tập xác định mỗ i hàm số sau: x b) y = cos a) y = sin 3x π  f) y = tan  x +  e) y = − sin x 3  c) y = cos x g) y = cos x 2x x −1 π  h) y = cot  x −  4  d) y = cos D BÀI TẬP NÂNG CAO Bài Tìm tập xác định mỗ i hàm số sau: sin x + 1+ x b) y = a) y = sin cos x + 1− x f) y = e) y = sin x −1 cos x − cos 3x c) y = cot x cos x − g) y = tan x + cot x d) y = tan h) y = Bài Tìm m để hàm số sau xác định ∀x ∈ ℝ : y = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x Bài Tìm tập xác định hàm số: a) y = + tan x − cos x x 3 sin x − cos x b) y = sin x − sin x + Dạng Tìm giá trị lớn Giá trị nhỏ hàm số lượng giác A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số lượng giác ∀x ∈ ℝ : ≤ sin x ≤ , ≤ cos x ≤ −1 ≤ sin x ≤ , −1 ≤ cos x ≤ ≤ sin x ≤ , ≤ sin x ≤ , ≤ cos x ≤ (khi sin x ≥ , cos x ≥ ) ≤ cos x ≤ • Sử dụng tính chất bắt đẳng thức: a ≤ b ⇔ a≤c b ≤ c a ≤ b a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (cộng vế với c) ⇔a+c≤b+d c ≤ d a ≤ b ⇔ a.c ≤ b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a ≤ b ⇔ a.c ≥ b.c (nếu c < 0: đổi chiều) a≤b⇔b≥a a > b > 0  ⇔ a.c > b.d c > d > 0 a > b > ⇔ a n > b n (n ∈ ℕ* ) • Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, … a>b>0⇔ 1 < a b a > b ⇔ a n +1 > b n +1 ( n ∈ ℕ* ) B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mỗ i hàm số sau: π  b) y = – 2sin x c) y = 2cos  x +  + a) y = cos x + 3  d) y = − sin( x ) − TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – CHỦ CHỦ ĐỀ 1: LƯ LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mỗ i hàm số sau: + 4cos2 x a) y = b) y = 4sin x c) y = 2(1 + cos x ) + d) y = cos2 x + 2cos x e) y = + 3cos x f) y = – 4sin x cos2 x g) y = 2sin x – cos x h) y = – sin x i) y = – 4sin x π  j) y = 3sin  x −  − 6  π  l) y = cos x + cos  x −  3  k) y = − 2cos2 x sin x D BÀI TẬP NÂNG CAO Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số a) y = sin x + cos x b) y = sin x (1 − cos x ) Bài Tìm giá trị lớn hàm số y = cot x + cot y + tan x tan y + Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau  π 2π  a) y = sin x đoạn  − ;   3  π π    π π b) y = cos  x +  − cos  x −  đoạn  − ;  4 4    6 Dạng Xét tính chẵn – lẻ hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f ( x ) xác định D : ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D a) Hàm số chẵn D   f (− x ) = f ( x ) ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D b) Hàm số lẻ D   f (− x ) = − f ( x )  ∀x ∈ D ⇒ − x0 ∉ D c) Hàm số không chẵn, không lẻ D nếu:   ∀x0 ∈ D : f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) ≠ − f ( x0 ) Nhận xét: Chú ý: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ x = −x (a − b) n = (b − a) n , n ∈ ℝ (a − b) n +1 = −(b − a) n +1 , n ∈ ℝ B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Xét tính chẵn lẻ mỗ i hàm sồ sau: b) y = 3sin x – a) y = x – sin x cos x e) y = d) y = sin x cos x + tan x x c) y = sin x – cos x f) y = − cos x TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – CHỦ CHỦ ĐỀ 1: LƯ LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài Xét tính chẵn lẻ mỗ i hàm sồ sau: tan x + cot x + cos x a) y = b) y = − sin x − cos x π  d) y = cos3 x e) y = tan  x +  5  g) y = x sin x + tan x h) y = c) y = x sin x f) y = x3 − sin x cos x sin − x − cos x − 1− x Dạng Tính tuần hoàn hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để xét tính tuần hồn hàm số ta dựa vào khái niệm sau: Hàm số y = f ( x ) xác định tập D gọi hàm số tuần hoàn ∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D ∃T ≠ cho   f ( x + T ) = f ( x ) , ∀x ∈ D Nếu tồn số T > nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn y = f ( x ) Chú ý: ● y = sin ( ax + b ) có chu kỳ T0 = ● y = tan ( ax + b ) có chu kỳ T0 = 2π a ● y = cos ( ax + b ) có chu kỳ T0 = 2π a π ● y = cot ( ax + b ) có chu kỳ T0 = π a a ● y = f1 ( x ) có chu kỳ T1 y = f ( x ) có chu kỳ T2 hàm số y = f1 ( x ) ± f ( x ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 C BÀI TẬP MẪU Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau a) y = + sin 2 x b) y = sin x Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau b) y = sin 2 x + cos 2 x a) y = x + sin x C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 10 Bài 11 Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau ( a ≠ ): b) y = cos ( ax + b ) c) y = tan ( ax + b ) a) y = sin ( ax + b ) Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số: a) y = cos3x (1 + cos x ) b) y = sin x + cos6 x c) y = sin( x ) d) y = cot ( ax + b ) TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – CHỦ CHỦ ĐỀ 1: LƯ LƯỢNG GIÁC Dạng Sử dụng đồ thị A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Vẽ đồ thị hàm số miền • Dựa vào đồ thị xác định giá trị cần tìm B BÀI TẬP MẪU 3π   để hàm số y = tan x nhận giá trị: Ví dụ Hãy xác định giá trị x đoạn  −π ;   b) c) dương d) âm a)  3π  Ví dụ Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm giá trị x đoạn  − ; 2π  để hàm số đó:   a) Nhận giá trị –1 b) Nhận giá trị âm 9 B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 12 Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x , tìm giá trị x để cos x = Bài 13 Cho hàm số f ( x ) = sin x , g ( x ) = cos x , h ( x ) = tan x khoảng: 3π  610π    π π  31π 33π   452π J1 =  π ; ; ;−  , J =  − ;  , J3 =   , J4 =  −       4   Hỏi hàm ba hàm đồng biến khoảng J1 ? Trên khoảng J ? Trên khoảng J ? Trên khoảng J ? (Trả lời cách lập bảng biến thiên) Bài 14 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? Khẳng định sai? Giải thích sao? a) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến hàm số y = cos x nghịch biến b) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến hàm số y = cos2 x nghịch biến Bài 15 Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x vẽ đồ thị hàm số y = sin x Bài 16 Cho hàm số y = f ( x ) = sin x a) Chứng minh với số nguyên dương k tùy ý, ln có f ( x + kπ ) = f ( x ) với mọ i x  π π b) Lập bảng biến thiên hàm số y = 2sin x đoạn  − ;   2 c) Vẽ đồ thị hàm số y = 2sin x Bài 17 CMR: sin 2( x + kπ ) = sin x với mọ i số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = sin x Bài 18 x x CMR: cos ( x + k 4π ) = cos với mọ i số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = cos suy 2 x đồ thị hàm số y = cos ... mà hàm số y = sin x đồng biến hàm số y = cos x nghịch biến b) Trên mỗ i khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến hàm số y = cos2 x nghịch biến Bài 15 Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x vẽ đồ thị hàm số. .. hàm số: a) y = + tan x − cos x x 3 sin x − cos x b) y = sin x − sin x + Dạng Tìm giá trị lớn Giá trị nhỏ hàm số lượng giác A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số lượng giác. .. Dạng Xét tính chẵn – lẻ hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f ( x ) xác định D : ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D a) Hàm số chẵn D   f (− x ) = f ( x ) ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D b) Hàm số lẻ D   f (− x ) =