Mô hình hóa động cơ áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

-2- MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương I: Tổng quan vật liệu áp điện I.1 I.2 Hiệu ứng thuận nghịch 10 Vật liệu áp điện 11 Chương II: Các phương trình chủ đạo rời rạc hoá phương trình II.1 II.2 Các phương trình vật liệu áp điện 16 Rời rạc hoá phương trình 17 II.2.1 Công thức tích phân 17 II.2.2 Bài toán xấp xỉ rời rạc hoá 19 II.2.3 Ký hiệu kỹ sư 21 Chương III: Mô hình phần tử hữu hạn III.1 Phần tử tổng quát 24 III.1.1 Các phép biến đổi 24 III.1.1.1 Tổng quát 24 III.1.1.2 Ma traän Jacobi 26 III.1.1.3 Tính toán ma trận phần tử hữu hạn 27 III.1.1.4 Tích phân Gauss 29 III.1.2 Thaønh lập ma trận độ cứng K 30 III.1.2.1 Công thức tính KUU 30 III.1.2.2 Tính ma trận Kφφ 30 III.1.2.3 Tính ma traän KUφ 31 III.1.3 Thành lập ma trận khối lượng MUU 31 III.2 Phần tử tam giác 32 III.2.1 Toång quan 32 III.2.2 Ma trận độ cứng phần tử tam giác 33 III.2.2.1 Ma trận độ cứng cô 33 III.2.2.2 Ma trận tương tác điện 34 III.2.2.3 Ma trận độ cứng điện 35 III.2.3 Ma trận khối lượng 35 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com -3- Chương IV: Đặc tính vật liệu áp điện PZT-5 giải toán động lực học IV.1 Đặc tính vật liệu áp điện PZT-5 37 IV.1.1 Trường hợp tổng quát 37 IV.1.2 Vật liệu áp điện PZT-5 không gian ba chiều 37 IV.1.3 Vật liệu áp điện PZT-5 không gian hai chiều 39 IV.2 Phương phaùp Time Newmark 39 Chương V: Động áp điện dùng sóng truyền V.1 V.2 Giới thiệu 43 Nguyên lý hoạt động 47 Chương VI: Ứng dụng mô hình động hai chiều VI.1 VI.2 Mô tả toán 50 Chương trình NAAME-PIEZO 52 VI.2.1 Phần mềm GMSH 52 VI.2.2 Phần mềm MATLAB 55 VI.2.3 Công cụ CALFEM 55 VI.2.4 Cấu trúc chương trình tính toán 56 VI.3 Modes dao động, tần số dao động, mode trùng 57 VI.4 Đáp ứng theo thời gian 59 Chương VI: Kết luận hướng phát triển 63 Tài liệu tham khảo 64 Phuï luïc 65 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com - 10 - CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN I.1 Hiệu ứng thuận nghịch Như biết vật liệu áp điện loại vật liệu đặc biệt, tồn hai chuyển đổi qua lại biến dạng điện áp [4], ta gọi hai hiệu ứng hiệu ứng thuận hiệu ứng nghịch: • Hiện ứng thuận (direct effect): vật liệu áp điện bị biến dạng ngoại lực tác dụng chúng sinh điện áp điện cực chúng (electrodes), xem Hình (b) & (c) Hiệu ứng ứng dụng lãnh vực chế tạo cảm biến áp điện (cảm biến lực, cảm biến gia tốc) • Hiệu ứng nghịch (inverse effect): cấp cho vật liệu áp điện điện trường (nhờ vào điện cực) chúng bị biến dạng, xem Hình (d) & (e) Hiệu ứng ứng dụng lãnh vực chế tạo động áp điện (piezomotor), tác động áp điện (piezoelectric actuator), tạo cộng hưởng (piezoelectric resonator), Hình 1.1: Hiệu ứng áp điện thuận (b)(c) nghịch (d)(e) - 11 - I.2 Vật liệu áp điện Vào năm 1880, hai anh em Pierre Jacques Curie người khám phá hiệu ứng áp điện số tinh thể [4], với khả tạo điện áp thay đổi tương ứng với thay đổi lực tác dụng Như ta biết hiệu ứng thuận Vào năm 1922, Langvin cho trình làng cấu chấp hành dựa tinh thể thạch anh Các khám phá vật liệu áp điện (PZT – Titano-ziranate de plomb) mở ứng dụng công nghiệp Các cảm biến sử dụng vật liệu áp điện phát triển ứng dụng lónh vực sóng âm sử dụng nước (sonar), kiểm tra mối hàn sóng siêu âm, làm sóng siêu âm, v.v… Các kỹ thuật dùng cho cảm biến (đo lực, đo gia tốc, …) hòan thiện Việc sử dụng vật liệu áp dụng cấu chấp hành vị trí nghiên cứu, nhiên để điều khiển với khoảng cách 0.5mm cần đến điện hàng ngàn vôn Cơ cấu chấp hành đa lớp (MLAS-Multilayer Actuators), dựa kỹ thuật cao tụ điện đa lớp, xuất thị trường từ năm 1988 Vì MLAS dễ sử dụng nên chúng nhanh chóng ứng dụng cho nhiều lónh vực khác Áp điều khiển cho chúng đến 200V Vật liệu áp điện tinh thể kết tinh có cấu trúc bất đối xứng tạo moment lưỡng cực điện chịu ảnh hưởng biến dạng đàn hồi điện trường cung cấp Vật liệu áp điện vật liệu ferroelectric [5] nhiệt độ điểm Curie: trình phân cực làm vật liệu phân cực Khi trình phân cực xảy vật liệu chịu điện trường cao nhiệt độ Curie Nếu vật liệu nhiệt độ cao nhiệt độ Curie không vật liệu áp điện Nó phân cực trở lại có thêm số điều kiện - 12 - Trong vật liệu gọi điện môi (dielectric material) [4], nguyên tử cấu thành xem bị ion hoá với mức độ tích điện dương âm Trong tinh thể ion thế, tác động điện trường, cation bị thu hút cathode anion bị thu hút anode tương tác tónh điện Các đám mây điện tử biến dạng, tạo nên lưỡng cực điện (electric dipole) Hiện tượng biết đến phân cực điện chất điện môi, phân cực mô tả cách định lượng tổng lưỡng cực điện đơn vị thể tích Hình 1.2 cách hệ thống nguồn gốc phân cực điện Có ba loại: phân cực điện tử (a), phân cực ion (b) phân cực liên quan đến xếp lại lưỡng cực điện (c) Hình 1.2: Nguồn gốc vi mô phân cực điện Vật liệu áp điện có nhiều cách biến dạng khác [10] tùy theo chiều phân cực vật liệu (xem Hình 1.3) - 13 - Hình 1.3: Các kiểu biến dạng vật liệu áp điện tác dụng điện trường theo phân cực khác - 14 - CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO VÀ RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG TRÌNH II.1 Các phương trình vật liệu áp điện Trước tiên, xem xét vật liệu cách điện chiều không chịu tác động ngoại lực Ta biết chuyển vị D (C/m2) quan hệ với điện trường E (V/m) qua hệ số điện môi ε [2] Mối quan hệ thể hiệïn sau: D=εE (2.1) đó: D đại lượng đặc trưng cho chuyển vị điện (C/m2), ε hệ số điện môi vật liệu áp điện (F/m), E điện trường (V/m) Nếu xem xét vật liệu đàn hồi chiều, ứng suất T (N/m2) biến dạng S, chúng có mối quan hệ theo định luật Hooke sau: S= T = sT E (2.2) đó: T ứng suất, E suất đàn hồi Young, S biến dạng, s nghịch đảo E, gọi độ mềm Trong trường hợp vật liệu áp điện, phương trình học điện trường tương tác sau: ⎧S = s E T + dE ⎨ T ⎩D = dT + ε E (2.3) (2.4) d số áp điện diễn dịch theo hai cách sau: Trong phương trình (2.3) d thể mối quan hệ biến dạng S điện trường E không kể đến ứng suất học, - 15 - Trong phương trình (2.4) d thể mối quan hệ chuyển vị điện D ứng suất học T, không kể điện trường E εT số điện môi xét ứng suất T không đổi Phương trình (2.3) (2.4) viết lại dạng sau: T= d S− E E, E s s D= d2 d T⎛ ⎜ ε + − S ⎜ sEε T sE ⎝ (2.5) ⎞ ⎟⎟ E ⎠ (2.6) hoaëc viết gọn nữa: T = cES – eE (2.7) D = eS + εSE (2.8) đặt: cE = e= môdul Young điện trường không đổi, sE d biểu liên hệ chuyển vị điện với biến dạng điện sE trường không, ⎛ ε S = ε T ⎜⎜1 − ⎝ d2 ⎞ ⎟ số điện biến dạng không đổi s E ε T ⎟⎠ Đối với vật liệu áp điện xem xét không gian ba chiều, dạng phương trình giữ nguyên số hạng không vô hướng mà dạng tensơ Vì vậy, vật liệu áp điện dược xem xét trongkhông gian ba chiều, phương trình tensơ viết lại sau: T = C E S − e t E (2.9) D = e.S + ε S E (2.10) đó: T tensor ứng suất (bậc hai), S tensor biến dạng (bậc hai), E vectơ điện trường, D vector chuyển vị điện, - 16 - CE tensor đàn hồi (bậc bốn), e tensor hệ số áp điện (bậc 3), et∗ chuyển vị e, εS tensor số điện môi (bậc 2) Có thể viết tường minh hai phương trình sau: E Tij = Cijkl Skl − ekij Ek (2.11) Di = eikl Skl + ε ijs E j (2.12) Cùng với hai phương trình xem xét phương trình liên quan đến phần học điện Các phương trình chủ đạo học đàn hồi liên quan đến vấn đề cân lực thể dạng phương trình Newton xem xét môi trường liên tục: ρ ∂2U = ∇⋅T ∂t (2.13) U vector chuyển vị, ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ +j + k ⎟⎟ , toán tử divergence ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∇⋅ ≡ ⎜⎜ i Caùc chuyển vị liên quan đến tensơ biến dạng (trong trường hợp biến dạng bé) theo quan hệ sau (viết theo số Einstein) ⎛ ∂U ∂U j Sij = ⎜ i + ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (2.14) Để đơn giản hoá cách viết biểu diễn quan hệ (2.14) dạng vectơ: ˆU S =∇ (2.15) ˆ toán tử gradient đối xứng ∇ Các phương trình chủ đạo liên quan đến phần điện diễn tả định luật Gauss (liên quan đến điện tích) Chúng ta giả thuyết vật liệu áp điện không tích luỹ điện tích Hay nói cách khác môi trường áp điện giả thuyết ∗ Để tránh nhầm lẫn ký hiệu T ứng suất ký hiệu chuyển vị ma trận, từ sau ta dùng ()t để chuyển vị ma trận - 17 - môi trường cách điện lý tưởng, điều có nghóa điện tích tự Điều dẫn đến phương trình sau: (2.16) ∇⋅D = Hơn nữa, biết điện trường liên hệ với điện φ theo quan hệ sau: E = -∇φ (2.17) Tóm lại, ta viết lại phương trình chủ đạo cho vật liệu áp điện sau: T = CE⋅S - et⋅E (2.18) D = e⋅S + εS⋅E (2.19) ∂2U = ∇⋅T ∂t (2.20) ρ (2.19) ∇⋅D = với S = ∇ˆ U E = -∇φ II.2 Rời rạc hóa phương trình Để chuyển toán vi phân định nghóa sang toán tuyến tính để giải phương pháp số, thực hai bước sau [2]: ¾ Chuyển sang toán tích phân ¾ Chuyển sang toán xấp xỉ cách rời rạc hoá II.2.1 Công thức tích phân Trong phần chuyển toán vi phân sang toán tích phân Việc đồng nghóa với việc chuyển dạng mạnh toán sang dạng yếu (weak formulation), để làm điều xem xét hàm thử vector ν hàm thử vô hướng ϑ Gọi ξ ζ không gian hàm thử, dẫn biểu thức sau từ toán vi phân: Lấy tích phân theo thể tích ta được: ∫ρ V ∂2U νdV = ∫ (∇ ⋅ T) νdV, ∂t V ∀v∈ξ (2.20) - 84 - k=3e5;% phong dai chuyen vi x=X(:,2)'; y=X(:,3)'; z=X(:,4)'; a=u'*k; for t=1:sonut x(t)=x(t)+a(2*t-1); y(t)=y(t)+a(2*t); end %\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ figure(1) Coord=[x',y',z']; %dof: ma tran co hang i la bac tu tuong ung voi nut tuong ung Dof=zeros(sonut,2); for i=1:sonut Dof(i,1)=2*i-1; Dof(i,2)=2*i; end Dof; nen=3; [ex,ey,ez]=coordxtr(Edof,Coord,Dof,nen); plotpar=[1 0];%plotpar(linetype(1:3) linecolor(1:4) nodemark(0:2)) elnum=Edof(:,1); figure(2) clf; eldraw2(ex,ey,plotpar,elnum); title('2D PZT co dien truong tinh') TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ TRỊ RIEÂNG % -gia tri rieng -> omega -> f -% -solution equation: (K-omega^2*M)=0 -% -% -you have to run a_mtKtb, a_massM before you run this file -K_uu=Ktb(1:sonut*2,1:sonut*2); a_bc_uu; bc=[bc_t bc_uu]; - 85 - b=bc(:,1); M_uu=M(1:sonut*2,1:sonut*2); [n,n]=size(Ktb); [n_uu,n_uu]=size(K_uu); [la,Egv]=eigen(K_uu,M_uu,b);%(K-omega^2*M)=0: bai toan tri rieng Freq=sqrt(abs(la))/(2*pi); [Freq,Pos]=sort(Freq); % Egv_P=Egv(Pos); x=X(:,2)'; y=X(:,3)'; z=X(:,4)'; Coord=[x',y',z']; %dof: ma tran co hang i la bac tu tuong ung voi nut tuong ung Dof=zeros(sonut,2); for i=1:sonut Dof(i,1)=2*i-1; Dof(i,2)=2*i; end Dof; nen=3; [ex,ey,ez]=coordxtr(Edof,Coord,Dof,nen); Ex=ex; Ey=ey; Edof=ones(sophantu,7); for i=1:sophantu Edof(i,1)=i; end for j=1:3 for i=1:sophantu Edof(i,2*j)=ELE(i,(5+j))*2-1; Edof(i,2*j+1)=ELE(i,(5+j))*2; end end magnfac=0.5; for i=20:40 figure(i), axis('equal'), hold on, axis off title('The eigenmodes are resonance') Ext=Ex+(i-1)*35; %eldraw2(Ext,Ey, [1 0]); - 86 - Edb=extract(Edof,Egv(:,Pos(i))*1e-1);% 1e3: chuyen ve don vi mm eldisp2(Ext,Ey,Edb,[1 0],magnfac); Freqtext=num2str(Freq(i)); text(16+35*(i-1),-3,Freqtext); End GIAÛI BÀI TOÁN ĐỘNG % solution TimeNewmark clc; Freqf=0.121; omega=2*pi*Freqf; T=1/Freqf; dt=T/19; Tt=7*T; % t=[0:dt:Tt]; % G1=100*sin(omega*t); G2=100*cos(omega*t); % [n,n]=size(Ktb); % f=zeros(n,length(G1)); % for i=1:length(Xp) if Xp(i,3)==0 & Xp(i,2)15.4 f(Xp(i,5),:)=G2; end end % -boundary condition, initial condition a_bc; bc=bc_PZT; d0=zeros(n,1); v0=zeros(n,1); % output parameters -ntimes=[0:Tt/5:Tt]; nhist=[5 59 60]; % time integration parameters -ip=[dt Tt 0.25 0.5 length(ntimes) ntimes nhist]; % time integration K=Ktb; k=sparse(K); m=sparse(M); - 87 - alpha=1e-4; C=alpha*k; % C=[]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [nd,nd]=size(K); [ndc,ndc]=size(C); if (ndc==0); C=zeros(nd,nd); end dt=ip(1); tottime=ip(2); alfa=ip(3); delta=ip(4); pdisp=bc; b1 = dt*dt*0.5*(1-2*alfa); b2 = (1-delta)*dt; b3 = delta*dt; b4 = alfa*dt*dt; nstep=1; [nr nc]=size(f); if (nc>1); nstep = nc-1; end [nr nc]=size(pdisp); if (nc>2); nstep = nc-2; end bound=1; if (nc==0); bound=0; end ns=tottime/dt; if (ns < nstep | nstep==1); nstep=ns; end [nr nc]=size(f); tf = zeros(nd,nstep+1); if (nc>1); tf = f; end [nr ncip]=size(ip); nsnap=ip(5); nhist=ip(6); lists=ip(7:6+nsnap); listh=ip(7+nsnap:ncip); [nr nc]=size(listh); D=zeros(nc,nstep+1); V=zeros(nc,nstep+1); A=zeros(nc,nstep+1); Dsnap=zeros(nd,nsnap); Mt=M(1:sonut*2,1:sonut*2); M_=pinv(Mt); M_(nd,nd)=0; a0=M_*(tf(:,1)-C*v0-K*d0 D(:,1) = d0(listh); V(:,1) = v0(listh); A(:,1) = a0(listh); tempd=zeros(nd,1); tempv=zeros(nd,1); tempa=zeros(nd,1); fdof=[1:nd]'; [nr nc]=size(pdisp); %pdisp=bc pd=pdisp(:,2)*ones(1,nstep+1); pv=zeros(nr,nstep+1); pdof=pdisp(:,1); fdof(pdof)=[]; Keff = M(fdof,fdof)+b3*C(fdof,fdof)+b4*K(fdof,fdof); - 88 - Keff_=pinv(Keff); [L,U]=lu(Keff); dnew=d0(fdof); vnew=v0(fdof); anew=a0(fdof); isnap=1; for j = 1:nstep; time=dt*j; dold=dnew; vold=vnew; aold=anew; dpred=dold+dt*vold+b1*aold; vpred=vold+b2*aold; if (bound==1); pdeff=C(fdof,pdof)*pv(:,j+1)+K(fdof,pdof)*pd(:,j+1); reff=tf(fdof,j+1)-C(fdof,fdof)*vpred-K(fdof,fdof)*dpred-pdeff; end y=L\reff; anew=U\y; dnew=dpred+b4*anew; vnew=vpred+b3*anew; if (nhist > | nsnap > 0); if (bound==1); tempd(pdof)=pd(:,j+1); tempv(pdof)=pv(:,j+1); end tempd(fdof)=dnew; tempv(fdof)=vnew; tempa(fdof)=anew; if (nhist > 0); D(:,j+1) = tempd(listh); V(:,j+1) = tempv(listh); A(:,j+1) = tempa(listh); end if (nsnap > & isnap = lists(isnap)); Dsnap(:,isnap) = tempd; isnap=isnap+1; end end end end % end -t=[0:dt:Tt]; D1=D(1,:); D2=D(2,:); D3=D(3,:); D4=D(4,:); figure(100), plot(t,D1,'r ',t,D2,'b-') grid, xlabel('Time (sec)'), ylabel('Displacement (m)') title('Displacement(time) for the and degree-of-freedom') figure(99), plot(D1,D2,'r-') title('Displacement node 3') figure(98), plot(t,D3,'r ',t,D4,'b-') - 89 - grid, xlabel('Time (sec)'), ylabel('Displacement (m)') title('Displacement(time) for the 59 and 60 degree-of-freedom') figure(97), plot(D3,D4,'r-') title('Displacement node 30') - 90 - MỘT SỐ HÀM TRONG CALFEM ĐƯC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN HÀM HOOKE: function [D]=hooke(ptype,E,v) % D=hooke(ptype,E,v) % % PURPOSE % Calculate the material matrix for a linear % elastic and isotropic material % % INPUT: ptype=1: plane stress % 2: plane strain % 3: axisymmetry % 4: three dimensional % % E : Young's modulus % v : Poissons const % % OUTPUT: D : material matrix % - % LAST MODIFIED: M Ristinmaa 1995-10-25 % Copyright (c) Division of Structural Mechanics and % Department of Solid Mechanics % Lund Institute of Technology % if ptype==1 Dm=E/(1-v^2)*[1 v 0; v 0; 0 (1-v)/2]; elseif ptype==2 Dm=E/(1+v)/(1-2*v)*[1-v v v 0; v 1-v v 0; v v 1-v 0; 0 (1-2*v)/2];; elseif ptype==3 Dm=E/(1+v)/(1-2*v)*[1-v v v 0; - 91 - v 1-v v 0; v v 1-v 0; 0 (1-2*v)/2];; elseif ptype==4 Dm=E/(1+v)/(1-2*v)*[1-v v v 0 0; v 1-v v 0 0; v v 1-v 0 0; 0 (1-2*v)/2 0; 0 0 (1-2*v)/2 0; 0 0 (1-2*v)/2]; else error('Error ! Check first argument, ptype=1,2,3 or allowed') return end D=Dm; % end HAØM PLANTE: function [Ke,fe]=plante(ex,ey,ep,D,eq) % Ke=plante(ex,ey,ep,D) % [Ke,fe]=plante(ex,ey,ep,D,eq) % % PURPOSE % Calculate the stiffness matrix for a triangular plane stress % or plane strain element % % INPUT: ex = [x1 x2 x3] element coordinates % ey = [y1 y2 y3] % % ep = [ptype t ] ptype: analysis type % t: thickness % % D constitutive matrix % % eq = [bx; bx: body force x-dir % by] by: body force y-dir % - 92 - % OUTPUT: Ke : element stiffness matrix (6 x 6) % fe : equivalent nodal forces (6 x 1) % % LAST MODIFIED: M Ristinmaa 1995-10-25 % Copyright (c) Division of Structural Mechanics and % Department of Solid Mechanics % Lund Institute of Technology % ptype=ep(1); t=ep(2); bx=0.; by=0.; if nargin==5; bx=eq(1); by=eq(2); end C=[ ex(1) ey(1) 0 0 ex(1) ex(2) ey(2) 0 0 ex(2) ex(3) ey(3) 0 0 ex(3) 0 ey(1) ey(2) ey(3)]; A=1/2*det([ones(3,1) ex' ey']); % - plane stress -if ptype==1 B=[0 0 0 000001 0 1 0]*inv(C); colD=size(D,2); if colD>3 Cm=inv(D); Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else Dm=D; end - 93 - Ke=B'*Dm*B*A*t; fe=A/3*[bx by bx by bx by]'*t; % - plane strain -elseif ptype==2 B=[0 0 0 000001 0 1 0]*inv(C); colD=size(D,2); if colD>3 Dm=D([1 4],[1 4]); else Dm=D; end Ke=B'*Dm*B*A*t; fe=A/3*[bx by bx by bx by]'*t; else error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return end % end -HAØM EDRAW2: function eldraw2(ex,ey,plotpar,elnum) %eldraw2(ex,ey,plotpar,elnum) %eldraw2(ex,ey,plotpar) %eldraw2(ex,ey) % % PURPOSE % Draw the undeformed 2D mesh for a number of elements of % the same type Supported elements are: % % 1) -> bar element 2) -> beam el % 3) -> triangular node el 4) -> quadrilateral node el % 5) -> 8-node isopar elemen - 94 - % % INPUT % ex,ey: nen: number of element nodes % nel: number of elements % plotpar=[ linetype, linecolor, nodemark] % % linetype=1 -> solid linecolor=1 -> black % -> dashed -> blue % -> dotted -> magenta % -> red % % nodemark=1 -> circle % -> star % -> no mark % % elnum=edof(:,1) ; i.e the first column in the topology matrix % % Rem Default is solid white lines with circles at nodes % % % LAST MODIFIED: J Lindemann 1999-01-29 % Copyright (c) Division of Structural Mechanics and % Department of Solid Mechanics % Lund Institute of Technology % % if ~((nargin==2)|(nargin==3)|(nargin==4)) disp('??? Wrong number of input arguments!') break end a=size(ex); b=size(ey); if (a-b)==[0 0] nel=a(1);nen=a(2); else disp('??? Check size of coordinate input arguments!') - 95 - break end if nargin==2; plotpar=[1 1]; end [s1,s2]=pltstyle(plotpar); % ************************************************** % ************* plot coordinates ******************* % ************************************************** x0=sum(ex')/nen; y0=sum(ey')/nen; % ********** Bar or Beam elements ************* if nen==2 x=ex' ; y=ey'; xc=x ;yc=y; % ********* 2D triangular elements ************ elseif nen==3 x=ex' ; y=ey'; xc=[x ; x(1,:)]; yc=[y ; y(1,:)]; % ********* 2D quadrilateral elements ********* elseif nen==4 x=ex' ; y=ey'; xc=[x ; x(1,:)]; yc=[y ; y(1,:)]; % ********* 2D node quadratic elements ********* elseif nen==8 x=ex; y=ey; % xc=[x(1);x(5);x(2);x(6);x(3);x(7);x(4);x(8);x(1)]; % yc=[y(1);y(5);y(2);y(6);y(3);y(7);y(4);y(8);y(1)]; % % isoparametric elements % - 96 - t=-1; n=0; for s=-1:0.4:1 n=n+1; N1=-1/4*(1-t)*(1-s)*(1+t+s); N2=-1/4*(1+t)*(1-s)*(1-t+s); N3=-1/4*(1+t)*(1+s)*(1-t-s); N4=-1/4*(1-t)*(1+s)*(1+t-s); N5=1/2*(1-t*t)*(1-s); N6=1/2*(1+t)*(1-s*s); N7=1/2*(1-t*t)*(1+s); N8=1/2*(1-t)*(1-s*s); N=[ N1, N2, N3 ,N4, N5, N6, N7, N8 ]; % x1(n,:)=N*x'; y1(n,:)=N*y'; end; xc=[xc x1]; yc=[yc y1]; clear x1 clear y1 s=1; n=0; for t=-1:0.4:1 n=n+1; N1=-1/4*(1-t)*(1-s)*(1+t+s); N2=-1/4*(1+t)*(1-s)*(1-t+s); N3=-1/4*(1+t)*(1+s)*(1-t-s); N4=-1/4*(1-t)*(1+s)*(1+t-s); N5=1/2*(1-t*t)*(1-s); N6=1/2*(1+t)*(1-s*s); N7=1/2*(1-t*t)*(1+s); N8=1/2*(1-t)*(1-s*s); N=[ N1, N2, N3 ,N4, N5, N6, N7, N8 ]; x1(n,:)=N*x'; y1(n,:)=N*y'; - 97 - % % end; xc=[xc x1]; yc=[yc y1]; clear x1 clear y1 t=1; n=0; for s=1:-0.4:-1 n=n+1; N1=-1/4*(1-t)*(1-s)*(1+t+s); N2=-1/4*(1+t)*(1-s)*(1-t+s); N3=-1/4*(1+t)*(1+s)*(1-t-s); N4=-1/4*(1-t)*(1+s)*(1+t-s); N5=1/2*(1-t*t)*(1-s); N6=1/2*(1+t)*(1-s*s); N7=1/2*(1-t*t)*(1+s); N8=1/2*(1-t)*(1-s*s); N=[ N1, N2, N3 ,N4, N5, N6, N7, N8 ]; x1(n,:)=N*x'; y1(n,:)=N*y'; end; xc=[xc x1]; yc=[yc y1]; clear x1 clear y1 s=-1; n=0; for t=1:-0.4:-1 n=n+1; N1=-1/4*(1-t)*(1-s)*(1+t+s); N2=-1/4*(1+t)*(1-s)*(1-t+s); N3=-1/4*(1+t)*(1+s)*(1-t-s); N4=-1/4*(1-t)*(1+s)*(1+t-s); N5=1/2*(1-t*t)*(1-s); N6=1/2*(1+t)*(1-s*s); - 98 - N7=1/2*(1-t*t)*(1+s); N8=1/2*(1-t)*(1-s*s); N=[ N1, N2, N3 ,N4, N5, N6, N7, N8 ]; x1(n,:)=N*x'; y1(n,:)=N*y'; end; xc=[xc x1]; yc=[yc y1]; clear x1 clear y1 %********************************************************** else disp('!!!! Sorry, this element is currently not supported!') break end % ************************************************** % **************** plot commands ******************* % ************************************************** axis('equal') hold on plot(xc,yc,s1) plot(x,y,s2) % if nargin==4 % for i=1:nel % h=text(x0(i),y0(i),int2str(elnum(i))); % set(h,'fontsize',8); % end % end xlabel('x'); ylabel('y'); hold off % end ... IV.2 Phương pháp Time Newmark Có nhiều phương pháp giải toán động lực học với lực cưỡng tổng quát Phương pháp sử dụng đề tài phương pháp Time Newmark - 40 - Phương pháp Time Newmark phương pháp. .. 24 - CHƯƠNG III MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN III.1 Phần tử tổng quát Trong phần xây dựng phần tử khối (6 mặt) Điều cho phép dễ dàng tiếp cận mô hình phần tử giản dị hơn, ví dụ phần tử tam giác, tứ... Hoạt động động loại (chủ yếu chế hoạt động stator) liên quan đến chuyển động tuyến tính nên gọi động áp điện tuyến tính Hình 6.1: Mô hình 2D để nghiên cứu ứng xử động áp điện Hình 6.1 mô tả mô hình