PHÂN LOẠI CHUYÊN đề TOÁN 202

HD EDUCATION PHÂN LOẠI CÂU HỎI TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Tháng 1- 2021 Mục lục Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số §2 Cực Trị Của Hàm Số §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 7 14 19 27 30 Chuyên đề Khối Đa Diện §1 Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Khối Đa Diện §2 Thể Tích Khối Chóp §3 Thể Tích Khối Lăng Trụ §4 Tỉ Số Thể Tích 51 51 52 55 58 Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit §1 Lũy Thừa §2 Lơgarit §3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit §4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ §5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit §6 Bài Tốn Thực Tế 65 65 65 70 73 77 87 Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu §1 Mặt Nón §2 Mặt Trụ §3 Mặt Cầu 91 91 94 98 Chuyên đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng §1 Nguyên Hàm §2 Tích Phân 103 103 108 §3 Ứng Dụng Của Tích Phân 118 Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian §1 Tọa Độ Trong Khơng Gian 127 127 §2 Phương Trình Mặt Phẳng 130 §3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Khơng Gian §4 Bài Tốn Tổng Hợp 134 140 Chuyên đề Số Phức §1 Số Phức, Phép Toán Số Phức §2 Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức §3 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức §4 Cực Trị Số Phức 149 149 154 157 159 MỤC LỤC Chuyên đề Tổ Hợp, Xác Suất §1 Tổ Hợp §2 Xác Suất 161 161 162 Chuyên đề Dãy Số, Giới Hạn, Đạo Hàm §1 Dãy Số, Cấp Số §2 Giới Hạn, Đạo Hàm 167 167 168 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách §1 Góc §2 Khoảng Cách 171 171 175 Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Tính đơn điệu hàm số cho cơng thức 1.1 (Đề minh họa 2016) Hỏi hàm số y = 2x4 + đồng Åbiến ã khoảng nào? Å ã 1 D − ; +∞ A (−∞; 0) B (0; +∞) C −∞; − 2 1.2 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = x3 + 3x + Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) nghịch biến khoảng (0; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) đồng biến khoảng (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) x−2 Mệnh đề đúng? x+1 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) B Hàm số nghịch biến khoảng (−1; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) 1.3 (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số y = 1.4 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số x3 − 2x2 + x + Mệnh đề đúng? Åy = ã A Hàm số nghịch biến khoảng ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) Å ã Å ã 1 C Hàm số đồng biến khoảng ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng −∞; 3 1.5 (Đề thức 2017) Hàm số y = nghịch biến khoảng đây? x +1 A (−∞; +∞) B (−∞; 0) C (−1; 1) D (0; +∞) 1.6 (Đề tham khảo 2017) Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞)? x−2 A y = 2x3 − 5x + B y = C y = 3x3 + 3x − D y = x4 + 3x2 x+1 Tính đơn điệu hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.7 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (0; 1) D (1; +∞) x −∞ + y 0 − y −∞ −1 +∞ + − −∞ §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số 1.8 (Đề thức 2019) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (2; +∞) C (0; 2) D (−2; 0) x −∞ f (x) f (x) 1.9 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −2) B (−2; 0) C (0; +∞) D (0; 2) −2 − 0 + − +∞ +∞ −∞ −2 + y 0 − + −1 −∞ f (x) f (x) −1 − −∞ + − +∞ x −∞ y y −1 + +∞ − +∞ x + +∞ −∞ −2 −1 + f (x) 0 − −∞ 1.13 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 1) B (−1; 0) C (−∞; −1) D (0; 1) +∞ + f (x) + +∞ −2 1.12 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−∞; 0) B (0; 1) C (−1; 0) D (−∞; −1) −1 − +∞ −1 1.11 (Đề thức 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−1; 0) B (−∞; 0) C (0; 1) D (1; +∞) − −∞ x +∞ y 1.10 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (−1; 1) C (0; 1) D (−∞; −1) + x +∞ − −1 −∞ y −1 O −1 x −2 1.14 (Đề thức 2020) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (1; +∞) y −1 O x Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Tính đơn điệu hàm số hợp 1.15 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (2 − x) đồng biến khoảng A (−2; 1) B (1; 3) C (2; +∞) D (−∞; −2) 1.16 (Đề thức 2019) Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu f (x) hình bên Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng dây? A (1; 2) B (4; +∞) C (2; 4) D (−2; 1) x −∞ f (x) y −1 x O −3 − −1 + 0 +∞ − + 1.17 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x f (x) −∞ − + + 0 +∞ − + Hàm số y = f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng đây? A (0; 2) B (1; +∞) C (−1; 0) 1.18 (Đề thức 2018) Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) Hai hàm số y = f (x) y = g (x) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị củaÅhàm sốãy = g (x) Hàm số h(x) = f (x + 4) − g 2x − đồng biến khoảngÅ ã đây? Å ã 25 A 6; B ;3 Å ã Å4 ã 31 31 C ; +∞ D 5; 5 D (−∞; −1) y y = f (x) 10 O 10 11 x y = g (x) Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 1.19 (Đề tham khảo 2020) Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f (x) = x + mx2 + 4x + đồng biến R? A B C D 1.20 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D 1.21 (Đề tham khảo 2017) Hỏi có số nguyên m để hàm số y = m2 − x3 + (m − 1)x2 − x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C D §2 Cực Trị Của Hàm Số Điều kiện đơn điệu hàm số y = ax + b cx + d 1.22 (Đề thức 2020) Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = biến khoảng (−∞; −7) A (4; +∞) B [4; 7) C (4; 7) x+4 đồng x+m D (4; 7] 1.23 (Đề thức 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = biến khoảng (−∞; −10)? A B x+2 đồng x + 5m C Vô số D mx − 1.24 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) = (m tham số thực) Có giá trị x−m nguyên m để hàm số cho đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C D tan x − 1.25 (Đề minh họa 2016) Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = tan x − m π đồng biến khoảng 0; A m m < B m < C m D m §2 Cực Trị Của Hàm Số Cực trị hàm số cho cơng thức 1.26 (Đề thức 2019) Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x + 2)2 , ∀x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C D 1.27 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)(x + 2)3 , ∀x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C D 1.28 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)(x + 4)3 , ∀x ∈ R Số điểm cực đại hàm số cho A B C D 1.29 (Đề minh họa 2016) Tìm giá trị cực đại yCĐ hàm số y = x3 − 3x + A yCĐ = −1 B yCĐ = C yCĐ = D yCĐ = x +3 1.30 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số y = Mệnh đề đúng? x+1 A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số −6 C Cực tiểu hàm số −3 D Cực tiểu hàm số 1.31 (Đề thức 2017) Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB? A N(1; −10) B M(0; −1) C Q(−1; 10) D P(1; 0) Cực trị hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.32 (Đề thức 2018) Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho A B C D y O 10 x Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 1.33 (Đề thử nghiệm 2017) Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục đoạn [−2; 2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f (x) đạt cực đại điểm đây? A x = B x = −1 C x = D x = y −2 −1O x −2 −4 1.34 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Điểm cực đại hàm số cho A x = −1 B x = C x = −3 D x = x −∞ f (x) f (x) −1 − +∞ + +∞ − −3 1.35 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C −4 D x −∞ + y −∞ − −4 −∞ y y + +∞ −∞ x y 1.36 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số đạt cực đại điểm A x = B x = C x = D x = +∞ − +∞ + +∞ − −∞ 1.37 (Đề thức 2019) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực tiểu A x = −1 B x = −3 C x = D x = x −∞ y y −1 − +∞ + +∞ − −3 1.38 (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Giá trị cực đại hàm số cho A B C D x −∞ y y −∞ − +∞ + +∞ − −∞ 1.39 (Đề thức 2017) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Mệnh đề sai? A Hàm số có giá trị cực đại B Hàm số có ba điểm cực trị C Hàm số có hai điểm cực tiểu D Hàm số có giá trị cực đại x −∞ y y −1 − +∞ + +∞ − + +∞ 11 0 §2 Cực Trị Của Hàm Số 1.40 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C D −5 x −∞ + f (x) − + +∞ −5 −∞ x f (x) 1.41 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực đại B x = A x = −1 D x = −2 C x = +∞ −∞ −1 + f (x) − 0 + +∞ f (x) +∞ −2 −∞ 1.42 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x), bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ −1 + f (x) − − Số điểm cực trị hàm số cho A B +∞ + C D 1.43 (Đề tham khảo 2020) Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu f (x) sau: x −∞ −2 + f (x) − + Số điểm cực trị hàm số cho A B +∞ + C D 1.44 (Đề thức 2020) Cho hàm số f (x) liên tục R có bảng xét dấu f (x) sau: x f (x) −∞ −1 + 0 − Số điểm cực đại hàm số cho A B 1 + C +∞ − − D Điều kiện để hàm số đạt cực trị x0 1.45 (Đề thức 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + (m − 2)x5 − (m2 − 4)x4 + đạt cực tiểu x = 0? A B C D Vô số Cực trị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 1.46 (Đề thử nghiệm 2017) Biết M(0; 2), N(2; −2) điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Tính giá trị hàm số x = −2 A y(−2) = B y(−2) = −18 C y(−2) = D y(−2) = 22 1.47 (Đề tham khảo 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + m2 − x có hai điểm cực trị A B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng y = 5x − Tính tổng tất phần tử S A B −6 C D 12 Chuyên đề Dãy Số, Giới Hạn, Đạo Hàm Phương trình tiếp tuyến −x + có đồ thị (C) điểm A(a; 1) Gọi S tập hợp x−1 tất giá trị thực a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng giá trị tất phần tử S A B C D 2 Lời giải −x0 + (x ) (x ) Ta có y = − Gọi M ; y ta có y = ; y = − 0 0 (x − 1)2 x0 − (x0 − 1)2 −x0 + (x − x0 ) + Phương trình tiếp tuyến (C) M y = − x®0 − (x0 − 1) x0 1 −x0 + (a ) Tiếp tuyến qua A nên ta có = − − x + ⇔ x0 − 2x02 + 6x0 + a + (x0 − 1)2 Để có tiếp tuyến ñthì f (x0 ) = 2x02 + 6x0 + a + có nghiệm khác f (x0 ) có nghiệm kép (1) Điều tương đương với f (x ) có hai nghiệm phân biệt nghiệm (2) ® ® ∆=0 − 2a + = Ta có (1) ⇔ ⇔ ⇔a= f (1) a−1 ® ® ∆>0 − 2a + > Và (2) ⇔ ⇔ ⇔ a = f (1) = a−1=0 ß ™ 3 Suy S = 1; nên tổng phần tử S + = 2 Chọn phương án B 9.10 (Đề tham khảo 2018) Cho hàm số y = 169 §2 Giới Hạn, Đạo Hàm 170 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách §1 Góc Góc hai đường thẳng 10.1 (Đề tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦ A O B M C Lời giải Gọi N trung điểm AC ta có MN AB Do góc OM AB góc OM MN Ta có OA = OB = OC OA, OB, OC đơi vng góc nên AB = BC = CA 1 Lại có OM = BC; ON = AC; MN = AB 2 ’ = 60◦ Suy OM = ON = MN hay tam giác OMN đều, suy OMN Vậy góc OM AB 60◦ A N O B M C Chọn phương án A Góc đường thẳng mặt phẳng 10.2 (Đề thức 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có √ AB = BC = a, AA = 6a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ D A C B A B Lời giải 171 D C §1 Góc Ta có AC hình chiếu A C (ABCD), suy góc A C ’ (ABCD) A CA √ A A √ ’ Tam giác A CA vng A có tan A CA = = √ = AC Vậy góc A C (ABCD) 60◦ D A C B A D B C Chọn phương án D 10.3 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S B = 2a Góc đường thẳng S B mặt phẳng đáy A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Lời giải Ta có AB hình chiếu S B (ABCD) S Do góc đường thẳng S B mặt phẳng đáy S‘ BA AB Trong tam giác S AB vuông A có cos S‘ BA = = ⇒ S‘ BA = 60◦ SB A B D C Chọn phương án C 10.4 (Đề tham √ √ khảo 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABCD) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ S A D B C Lời giải Ta có S A ⊥ (ABCD), suy AC hình chiếu S C (ABCD) Do góc S C (ABCD)√là S‘ CA √ Vì ABCD hình vng cạnh 3a nên AC = a Xét S AC vng A có √ √ S A a ⇒ S‘ CA = 30◦ tan S‘ CA = = √ = AC a Vậy góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABCD) 30◦ Chọn phương án B 10.5 (Đề thức 2019) Cho hình chóp S ABC có S A vng √ góc với mặt phẳng (ABC), S A = 2a, tam giác ABC vuông B, AB = 3a BC = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABC) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ S A D B C S C A B Lời giải 172 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách Ta có S A ⊥ (ABC) ⇒ AC hình chiếu S C (ABC) Do góc S C (ABC) S‘ CA Trong tam giác ABC vng B có √ √ AC = AB2 + BC = 3a2 + a2 = 2a C A Trong tam giác S AC vuông A có tan S‘ CA = S SA = ⇒ S‘ CA = 45◦ AC B Vậy góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABC) 45◦ Chọn phương án D 10.6 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABC có S A vng góc với mặt √ phẳng (ABC), S A = a 2, tam giác ABC vuông cân B AC = 2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng S B mặt phẳng (ABC) A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ S A C B Lời giải Ta có S A ⊥ (ABC), suy AB hình chiếu S B (ABC) Do góc S B (ABC) S‘ BA √ AC Tam giác ABC vuông cân B, suy AB = √ = a 2 ‘ Khi tam giác S AB vuông cân A, suy S BA = 45◦ Vậy góc S B (ABC) 45◦ S A C B Chọn phương án A 10.7 (Đề thức 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông √ B, AB = a, BC = 2a; S A vng góc với mặt phẳng đáy, S A = a 15 Góc đường thẳng S C mặt phẳng đáy A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ S A C B Lời giải Ta có S A ⊥ (ABC), suy AC hình chiếu S C mặt phẳng (ABC) ‘ Do góc đường thẳng S C mặt √ phẳng (ABC) √ S CA Tam giác ABC vuông B có AC = AB2 + BC = a SA √ Tam giác S AC vng C có tan S‘ CA = = ⇒ S‘ CA = 60◦ AC Vậy góc S C mặt phẳng đáy 60◦ S A C B Chọn phương án B 173 §1 Góc 10.8 (Đề tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm S D (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) √ √ 2 A B C D 3 S M A D B Lời giải Gọi O = AC ∩ BD H trung điểm OD Ta có S O⊥(ABCD) MH S O nên MH ⊥ (ABCD) ’ Suy góc BM (ABCD) √ MBH √ √ a a Ta có S O = S A2 − AO2 = ⇒ MH = S O = 2 √ 3a ’ = MH = Lại có BH = BD = , suy tan MBH 4 BH C S M A D H O B C Chọn phương án B Góc hai mặt phẳng 10.9 (Đề tham khảo 2019) Cho hình lập phương ABCD.A B C D Góc hai mặt phẳng (A B CD) (ABC D ) A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ Lời giải ® BC ⊥ CD Ta có CD ⊥ (BCC B ) ⇒ CD ⊥ BC , ⇒ BC ⊥ (A B CD) ⇒ (ABC D ) ⊥ (A B CD) BC ⊥ B C Vậy góc (A B CD) (ABC D ) 90◦ Chọn phương án A 10.10 (Đề thức 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB) √ √ √ √ 17 13 13 85 85 B C D A 65 65 85 85 C B A D O M B A C I D Lời giải Gọi P,®Q trung điểm D C AB B Q MP ⊥ C D AB K D Ta có ⇒ AB ⊥ (MPQ) A MQ ⊥ AB Từ suy (MAB) ⊥ (MPQ) (MC D ) ⊥ (MPQ) Do góc (MAB) (MC D ) góc MQ MP O a a Đặt AB = a, ta có OI = ⇒ MI = OI = M 5a B I Gọi K tâm ABCD, ta có MK = IK − MI = A D √ √ √ √ 10a 34a Suy MP = MI + IP2 = , MQ = MK + KQ2 = , PQ = 2a 6 174 C C P Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách Gọi α góc tạo hai mặt phẳng (MC D ) (MAB), ta có √ MP2 + MQ2 − PQ2 85 ’ = cos α = | cos PMQ| = 2MP · MQ 85 Chọn phương án D 10.11 (Đề tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác √ ABC.A B C có AB = AA = Gọi M, N, P trung điểm cạnh A B , A C BC (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin của√góc tạo hai √ mặt phẳng (AB √ C ) (MNP) √ 17 13 18 13 13 13 A B C D 65 65 65 65 C N M B A C P P B Lời giải Gọi K trung điểm B C I giao điểm A K MN Dễ thấy (AA KP) vng góc với (AB C ) (PMN) Do góc √ (AB C ) (PMN) góc √ AK PI √ 2 Ta có AP = AB − BP = 3; AK = AP2 + PK = 13; PI = √ PK + KI = Gọi O = AK ∩ PI ta có OAP ∼ OKI OA OP AP Do = = = OK OI KI √ 2 13 Từ suy OA = AK = ; OP = PI = 3 3 √ Ä # » # »ä OA2 + OP2 − AP2 13 Trong OAP có cos OA, OP = = 2OA.OP √ 65 13 Vậy côsin góc tạo (AB C ) (MNP) 65 Chọn phương án C A C K B N I A MO C P B A §2 Khoảng Cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 10.12 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B, AB = a, S A vng góc √ với mặt phẳng đáy S√A = 2a Khoảng cách từ√A đến mặt phẳng (S BC) √ 5a 2a 5a 5a A B C D 5 Lời giải Gọi H hình chiếu A S B, ta có AH ⊥ (S BC) √ S S A · AB 2a · a 5a Do d(A, (S BC)) = AH = = √ = SB 4a2 + a2 H A C B Chọn phương án C 175 §2 Khoảng Cách 10.13 (Đề thức 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng√cách từ M đến mặt √ phẳng A BC √ √ 2a 21a 2a 21a A B C D 14 C A B M A C B Lời giải z C A C A B B M H M I x A C A O y C N B B C1: Gọi O, O trung điểm BC B C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có Ç√ å Å ã Å ã Å ã 1 1 M 0; − ; , A ; 0; , B 0; ; , C 0; − ; 2 2 Ç √ ầ ợ # ằ # ằú 3 # » #» Khi BA = − ; ; −1 , BC = (0; −1; 0) ⇒ BA , BC = −1; 0; 2 √ Từ suy (A BC) có phương trình −x + z = √ √ 21 Vậy d(M, (A BC)) = … = 14 1+ C2: Gọi I giao điểm AM A C, ta có MI MC 1 = = ⇒ d(M, (A BC)) = d(A, (A BC)) AI AA 2 ® BC ⊥ AN Gọi N trung điểm BC, ta có ⇒ BC ⊥ (A AN) BC ⊥ AA ® AH ⊥ A N Gọi H hình chiếu A A N, ta có ⇒ AH ⊥ (A BC) AH ⊥ BC √ a √ a· AA · AN a 21 Tam giác A AN vng A có AH = =   = AN 3a a2 + 176 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách √ a 21 Vậy d(M, (A BC)) = AH = 14 Chọn phương án B 10.14 (Đề thức 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (S AB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A√đến mặt phẳng √ (S BD) √ √ a 21 a a 21 a 21 A B C D 14 28 S A D B C Lời giải √ a Gọi H trung điểm AB, ta có S H ⊥ (ABCD) S H = z S S x I A D H K B D A y H O B C C C1: Gọi O giao điểm AC BD, K trung điểm BO, ta có HK AO ⇒ HK ⊥ BD Hơn S H ⊥ BD, suy BD ⊥ (S HK) Gọi I hình chiếu H S K có HI ⊥ S K HI ⊥ BD, suy ra√ HI ⊥ (S BD), hay d [H, (S BD)]√ = HI Xét tam giác S HK vuông √ H có √ a a 14 S H · HK a 21 HK = AC = ⇒ S K = S H + HK = Từ suy HI = = 4 SK 14 √ a 21 Vì H trung điểm AB nên d [A, (S BD)] = 2d [H, (S BD)] = C2: Chọn hệ trục tọa độ Ç Oxyz, có Ox, Oy, Oz hình vẽ Ç Chọn a√= å 1, √ Oå ≡ HÅ trục Å ã ã Å ã 1 #» ta có A ; 0; , S 0; 0; , B − ; 0; D ; 1; Khi BS = ; 0; , 2 2 2 ầ ợ # ằ # ằú 3 #» BD = (1; 1; 0), suy BS , BD = − ; ; Do (S BD) có phương trình 2 √ Å √ ã √ √ √ 3 − x+ + y + z = ⇔ 3x − 3y − z + = 2 2 √ √ 3 + √ √ 2 21 a 21 Vậy, d [A, (S BD)] = √ = , hay d [A, (S BD)] = 7 3+3+1 Chọn phương án C ‘ = 60◦ , S A = a 10.15 (Đề tham khảo 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD S A vng góc với mặt phẳng√đáy Khoảng cách từ B đến √ √ mặt phẳng (S CD) √ 21a 21a 15a 15a A B C D 3 177 §2 Khoảng Cách Lời giải Gọi O tâm đáy chọn hệ trục tọa độ hình vẽ √ ‘ = 60◦ nên ABD đều, suy BD = a, AC = a Ta có BAD Chọn a = 2, ta có √ √ B(0, −1; 0), S (− 3; 0; 2), C( 3; 0; 0), D(0; 1; 0) √ √ #» # » Khi îS C = (2 ó 3; Ä0; −2), S D = ( √ √ ä 3; 1; −2) #» # » Suy S C, S D = 2; 3; Do (S CD) có phương trình √ √ √ √ √ 2x + 3(y − 1) + 3z = ⇔ x + 3y + 3z − = S z y x D C O A B √ √ √ − 3− 21 Vậy d(B, (S CD)) = √ = 1+3+3 Chọn phương án A Khoảng cách hai đường thẳng chéo 10.16 (Đề tham khảo 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD √ A C √ √ 3a A B 2a C 3a D a A D C B D A B C Lời giải Ta có A C (ABCD) nên d(A C , BD) = d[A C , (ABCD)] = d[A , (ABCD)] = A A = a Chọn phương án D 10.17 (Đề thức 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = a Khoảng cách hai đường thẳng AC S B √ 2a a a 6a A B C D 3 2 Lời giải Gọi E điểm đối xứng với D qua A S Ta có AC BE ⇒ AC (S BE) Do d(AC, S B) = d(AC, (S BE)) = d(A, (S BE)) Gọi H hình chiếu A BE, ta có BE ⊥ (S AH) Gọi K hình chiếu A S H, ta có AK ⊥ (S BE) AB · AE 2a K Trong ABE có AH = √ = √ 2 AB + AE E D S A · AH 2a A Suy AK = √ = S A2 + AH H 2a B C Vậy d(AC, S B) = AK = Chọn phương án A 178 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 10.18 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AB = 2a, AC = 4a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = a (minh họa hình vẽ) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng√S M BC bằng√ a a a 2a A B C D 3 S M A B C Lời giải z S S H M A x M A B y N C K B C C1: Gắn hệ tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có S (0; 0; 1), M(0; 1; 0), B(0; 2; 0), C(4; 0; 0) Khi ỵ # » # »ó # » #» #» S M = (0; 1; −1), BC = (4; −2; 0), S M, BC = (−2; −4; −4), S B = (0; 2; −1) Do Vậy d(S M, BC) = ỵ # » # »ó # » S M, BC · S B |0 − + 4| d(S M, BC) = = √ = ỵ # » # »ó + 16 + 16 S M, BC 2a C2: Gọi N trung điểm AC, ta có MN BC, suy d(S M, BC) = d(BC, (S MN)) Vì M trung điểm BC nên suy d(BC, (S MN)) = d(B, (S MN)) = d(A, (S MN)) Gọi K hình chiếu A MN, ta có AK ⊥ MN S A ⊥ MN nên MN ⊥ (S AK) Gọi H hình chiếu A S K, ta có AH ⊥ S K AH ⊥ MN, suy AH ⊥ (S MN), hay d(A, (S MN)) Trong AMN vng A có AK = AM · AN a · 2a 2a = √ = √ MN a2 + 4a2 Trong S AK vng A có 2a a· √ AS · AK 2a AH = =   = SK 4a2 a + Vậy d(S M, BC) = AH = 2a 179 §2 Khoảng Cách Chọn phương án D 10.19 (Đề thức 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam√giác vng cân A, AB = a; S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 3a Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường thẳng AC S M √ √ √ 2a 21a 39a a A B C D 13 S A C M B Lời giải z S S H A A C C N y M M B x B C1: Gọi N trung điểm AB, ta có AC MN ⇒ AC (S MN) Do d(AC, S M) = d(AC, (S MN)) = d(A, (S MN)) ® AC ⊥ AB Lại có ⇒ AC ⊥ (S AB), mà MN AC nên MN ⊥ (S AB) AC ⊥ S A ® AH ⊥ S N Gọi H hình chiếu A S N, ta có ⇒ AH ⊥ (S MN) AH ⊥ MN √ AS · AN a 39 Tam giác S AN vuông A có AH = √ = + AN 13 AS √ a 39 Vậy d(AC, S M) = AH = 13 C2: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có Å ã √ ä 1 A(0; 0; 0), C(0; 1; 0), S 0; 0; , M ; ;0 2 Ä Å ã ã ỵ # » # »ó Å √ √ ä 1 √ #» # » #» Ä Suy AC = (0; 1; 0), S M = ; ; − , AS = 0; 0; , suy AC, S M = − 3; 0; − 2 √ − √ 39 Vậy d(AC, S M) = … = 13 3+ Chọn phương án C 180 Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 10.20 (Đề tham khảo 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = 3a (minh họa hình bên) Gọi M trung điểm AB Khoảng √ cách hai đường thẳng S B DM √ 13a 3a 3a 13a A B C D 13 13 S M A B D Lời giải z S S H A M B y M A D N B C D x C1: Từ giả thiết, suy ABCD hình thang cân Gọi N trung điểm CD, ta có MN ⊥ AB MN = Gắn hệ tọa độ hình vẽ đặt a = 1, ta có … AD2 C √ a − (AB − CD) = Ç√ å S (0; −1; 3), B(0; 1; 0), D ; − ; , M(0; 0; 0) 2 ầ ầ ợ # ằ # »ó 3 3 √ #» # » Suy S B = (0; 2; −3), DM = − ; ; ⇒ S B, DM = − ; ; 2 2 # » Lại có BM = (0; −1; 0), √ ỵ # » # »ó # » 3 S B, DM · BM d(S B, DM) = = … = ỵ # » # »ó 27 S B, DM + +3 4 C2: Ta có AB = 2CD ⇒ BM = CD = BC, MBCD hình thoi Từ suy DM BC ⇒ DM (S BC), d(DM, S B) = d(DM, (S BC)) = d(M, (S BC)) = d(A, (S BC)) √ Tương tự, ta có AMCD hình thoi, suy DM ⊥ AC AC = a Hơn DM ⊥ S A nên DM ⊥ (S AC) ⇒ BC ⊥ (S AC) Gọi H hình chiếu A S C, ta có AH ⊥ S C AH ⊥√ BC nên AH ⊥ (S BC) S A · AC 3a · a 3a Trong S AC vuông A có AH = √ = √ = 9a2 + 3a2 S A2 + AC 1 3a Vậy d(DM, S B) = d(A, (S BC)) = AH = 2 Chọn phương án B 181 C §2 Khoảng Cách BẢNG ĐÁP ÁN 1.1 B 1.11 C 1.21 B 1.31 A 1.41 A 1.51 D 1.61 D 1.71 A 1.81 C 1.91 D 1.101 D 1.111 C 1.121 A 1.131 C 2.5 A 2.15 C 2.25 C 2.35 B 3.6 C 3.16 D 3.26 B 3.36 B 3.46 C 3.56 C 3.66 C 3.76 D 3.86 B 3.96 A 4.3 D 4.13 B 4.23 A 4.33 A 4.43 A 5.10 B 5.20 D 5.30 C 5.40 D 5.50 B 5.60 B 5.70 B 6.2 B 6.12 D 6.22 B 6.32 B 6.42 A 6.52 B 6.62 C 6.72 C 6.82 D 7.1 D 7.11 C 1.2 D 1.12 C 1.22 D 1.32 B 1.42 B 1.52 A 1.62 C 1.72 B 1.82 B 1.92 B 1.102 A 1.112 B 1.122 B 1.132 D 2.6 D 2.16 A 2.26 C 2.36 C 3.7 A 3.17 D 3.27 A 3.37 D 3.47 D 3.57 B 3.67 C 3.77 B 3.87 B 3.97 C 4.4 B 4.14 C 4.24 B 4.34 A 5.1 C 5.11 C 5.21 B 5.31 A 5.41 B 5.51 D 5.61 C 5.71 C 6.3 B 6.13 D 6.23 B 6.33 D 6.43 A 6.53 D 6.63 D 6.73 C 6.83 C 7.2 D 7.12 D 1.3 A 1.13 B 1.23 D 1.33 B 1.43 C 1.53 C 1.63 C 1.73 D 1.83 D 1.93 B 1.103 B 1.113 A 1.123 D 1.133 D 2.7 D 2.17 A 2.27 D 2.37 D 3.8 C 3.18 A 3.28 D 3.38 B 3.48 B 3.58 A 3.68 D 3.78 A 3.88 C 3.98 B 4.5 A 4.15 D 4.25 C 4.35 B 5.2 B 5.12 A 5.22 B 5.32 B 5.42 D 5.52 B 5.62 A 5.72 C 6.4 B 6.14 D 6.24 D 6.34 D 6.44 C 6.54 D 6.64 B 6.74 B 6.84 A 7.3 A 7.13 D 1.4 A 1.14 B 1.24 D 1.34 B 1.44 D 1.54 B 1.64 C 1.74 C 1.84 A 1.94 C 1.104 B 1.114 D 1.124 A 1.134 C 2.8 B 2.18 B 2.28 B 2.38 D 3.9 B 3.19 D 3.29 A 3.39 B 3.49 B 3.59 B 3.69 B 3.79 A 3.89 A 3.99 C 4.6 A 4.16 A 4.26 A 4.36 C 5.3 B 5.13 C 5.23 A 5.33 A 5.43 A 5.53 C 5.63 D 5.73 B 6.5 C 6.15 A 6.25 B 6.35 D 6.45 D 6.55 B 6.65 C 6.75 D 6.85 D 7.4 A 7.14 A 1.5 D 1.15 A 1.25 A 1.35 C 1.45 A 1.55 D 1.65 A 1.75 C 1.85 B 1.95 D 1.105 B 1.115 A 1.125 A 1.135 A 2.9 B 2.19 A 2.29 C 2.39 B 3.10 B 3.20 C 3.30 B 3.40 D 3.50 A 3.60 D 3.70 D 3.80 D 3.90 B 3.100 C 4.7 B 4.17 A 4.27 B 4.37 C 5.4 A 5.14 D 5.24 A 5.34 D 5.44 B 5.54 D 5.64 A 5.74 D 6.6 A 6.16 A 6.26 B 6.36 A 6.46 A 6.56 D 6.66 C 6.76 C 6.86 A 7.5 B 7.15 C 1.6 C 1.16 D 1.26 C 1.36 C 1.46 B 1.56 A 1.66 D 1.76 C 1.86 D 1.96 D 1.106 C 1.116 A 1.126 D 1.136 C 2.10 C 2.20 C 2.30 D 3.1 B 3.11 B 3.21 C 3.31 A 3.41 C 3.51 A 3.61 D 3.71 C 3.81 C 3.91 D 3.101 D 4.8 B 4.18 C 4.28 B 4.38 D 5.5 A 5.15 A 5.25 A 5.35 C 5.45 C 5.55 D 5.65 C 5.75 C 6.7 C 6.17 A 6.27 A 6.37 A 6.47 B 6.57 B 6.67 B 6.77 B 6.87 A 7.6 C 7.16 B 182 1.7 C 1.17 C 1.27 B 1.37 A 1.47 D 1.57 C 1.67 A 1.77 A 1.87 A 1.97 A 1.107 B 1.117 D 1.127 B 2.1 B 2.11 C 2.21 B 2.31 B 3.2 A 3.12 B 3.22 C 3.32 C 3.42 D 3.52 A 3.62 A 3.72 C 3.82 D 3.92 A 3.102 A 4.9 C 4.19 C 4.29 C 4.39 B 5.6 C 5.16 B 5.26 C 5.36 A 5.46 D 5.56 B 5.66 A 5.76 D 6.8 C 6.18 B 6.28 D 6.38 C 6.48 C 6.58 A 6.68 B 6.78 D 6.88 A 7.7 D 7.17 C 1.8 C 1.9 B 1.10 A 1.18 B 1.19 B 1.20 A 1.28 C 1.29 D 1.30 A 1.38 D 1.39 A 1.40 D 1.48 C 1.49 D 1.50 B 1.58 B 1.59 D 1.60 C 1.68 B 1.69 B 1.70 C 1.78 A 1.79 D 1.80 B 1.88 C 1.89 C 1.90 B 1.98 B 1.99 A 1.100 D 1.108 C 1.109 C 1.110 C 1.118 A 1.119 D 1.120 A 1.128 C 1.129 B 1.130 C 2.2 A 2.3 C 2.4 C 2.12 B 2.13 A 2.14 D 2.22 A 2.23 D 2.24 D 2.32 C 2.33 A 2.34 A 3.3 C 3.4 D 3.5 B 3.13 B 3.14 A 3.15 D 3.23 A 3.24 A 3.25 D 3.33 A 3.34 C 3.35 C 3.43 D 3.44 A 3.45 B 3.53 C 3.54 D 3.55 C 3.63 D 3.64 C 3.65 D 3.73 B 3.74 C 3.75 A 3.83 B 3.84 B 3.85 A 3.93 A 3.94 B 3.95 D 3.103 A 4.1 C 4.2 A 4.10 A 4.11 D 4.12 D 4.20 B 4.21 D 4.22 D 4.30 D 4.31 D 4.32 D 4.40 D 4.41 C 4.42 B 5.7 A 5.8 D 5.9 D 5.17 D 5.18 D 5.19 C 5.27 B 5.28 C 5.29 B 5.37 D 5.38 B 5.39 A 5.47 A 5.48 C 5.49 D 5.57 A 5.58 B 5.59 C 5.67 D 5.68 A 5.69 D 5.77 A 5.78 B 6.1 D 6.9 B 6.10 D 6.11 C 6.19 C 6.20 A 6.21 C 6.29 C 6.30 A 6.31 C 6.39 D 6.40 C 6.41 C 6.49 A 6.50 A 6.51 D 6.59 B 6.60 D 6.61 C 6.69 A 6.70 A 6.71 C 6.79 B 6.80 D 6.81 B 6.89 B 6.90 C 6.91 D 7.8 A 7.9 B 7.10 C 7.18 C 7.19 C 7.20 B Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 7.21 B 7.22 D 7.23 B 7.24 A 7.25 B 7.26 B 7.27 D 7.28 A 7.29 C 7.30 B 7.31 A 7.32 D 7.33 A 7.34 D 7.35 A 7.36 D 7.37 B 7.38 A 7.39 C 7.40 A 7.41 C 7.42 A 7.43 D 7.44 D 7.45 B 7.46 B 7.47 B 7.48 C 7.49 C 7.50 D 7.51 C 7.52 B 7.53 B 7.54 A 7.55 D 7.56 D 7.57 C 7.58 A 7.59 A 7.60 B 8.1 C 8.2 B 8.3 B 8.4 A 8.5 C 8.6 A 8.7 B 8.8 D 8.9 C 8.10 A 8.11 A 8.12 A 8.13 D 8.14 B 8.15 B 8.16 C 8.17 D 8.18 D 8.19 D 8.20 C 9.1 B 9.2 D 9.3 C 9.4 A 9.5 B 9.6 D 9.7 A 9.8 C 9.9 C 9.10 B 10.1 A 10.2 D 10.3 C 10.4 B 10.5 D 10.6 A 10.7 B 10.8 B 10.9 A 10.10 D 10.11 C 10.12 C 10.13 B 10.14 C 10.15 A 10.16 D 10.17 A 10.18 D 10.19 C 10.20 B 183 ... 3.29 (Đề thức 2020 ) Tập xác định hàm số y = x A R B (0; +∞) C R {0} D [0; +∞) 3.30 (Đề thức 2020 ) Tập xác định hàm số y = log5 x A (−∞; 0) B (0; +∞) C (−∞; +∞) D [0; +∞) 3.31 (Đề tham khảo 2020 )... 3.65 (Đề tham khảo 2020 ) Tập nghiệm bất phương trình log x A (−∞; 10) B (0; +∞) C (10; +∞) 3.66 (Đề tham khảo 2020 ) Nghiệm phương trình log3 (2x − 1) = A x = B x = C x = 2 3.67 (Đề thức 2020 )... rừng trồng năm đạt 1000 ha? A Năm 2028 B Năm 2047 C Năm 2046 D Năm 2027 39 Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu §1 Mặt Nón Diện tích thể tích 4.1 (Đề tham khảo 2020 ) Diện tích xung quanh hình nón