Luận văn thạc sĩ Dao động, Đàn hồi, Cơ học, Thể rắn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đinh Công Đạt DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CĨ TÍNH ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đinh Công Đạt DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CĨ TÍNH ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 604421 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn Dũng Hà Nội – Năm 2014 Lời cảm ơn Lời cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người hết lịng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin học đặc biệt thầy cô giáo dạy dỗ em suốt năm học vừa qua Em xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Hội đồng chấm luận văn có ý kiến đóng góp quý báu giúp em mở rộng kiến thức, rút kinh nghiệm làm luận văn em hoàn thiện Nhân em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót cịn tồn tại, kính mong nhận dẫn, góp ý chân thành thầy giáo, nhà khoa học bạn Tác giả luận văn Đinh Công Đạt Phụ lục Mở đầu.…………… …………………………………………………………………1 Chương Hệ phương trình vỏ thoải b ng vật liệu có t nh biến thiên (FGM) …………………………………………………………………………………3 1.1 Vật liệu composite có t nh biến thiên (FGM).… …………………… 1.2 Các hệ thức vỏ thoải……………… …………………………4 1.3 Phương trình chuyển động vỏ thoải FGM đàn hồi… …… 10 Chương Phân t ch dao động phi tuyến vỏ thoải đàn hồi…… ………15 2.1 Điều kiện biên phương pháp giải………………………………………15 2.2 Phân t ch dao động vỏ thoải………………………………………… 23 2.2.1 Dao động tự tuyến t nh… ………………………………… 24 2.2.2 Quan hệ tần số biên độ dao động tự phi tuyến …….25 2.2.3 Dao động cưỡng phi tuyến ……………………………… 26 Chương Tính tốn số………………………………………………………………28 3.1 Kết so sánh……………………………………………………………28 3.2 Tính tốn số cho vỏ thoải FGM ……………… …………………………31 3.2.1 Tần số dao động riêng ….……………………………………….31 3.2.2 Khảo sát dao động phi tuyến…………………………………….32 3.2.2.1 Panel cầu………… ….……………………………….33 3.2.2.2 Panel trụ.………… ….……………………………….34 3.2.3 Ảnh hưởng số mũ k …………………………………….35 3.2.3.1 Panel cầu………… ….……………………………….35 3.2.3.2 Panel trụ.………… ….……………………………….36 3.2.4 Ảnh hưởng k ch thước hình học ….……………………….37 3.2.4.1 Panel cầu………… ….……………………………….37 3.2.4.2 Panel trụ.………… ….……………………………….38 3.2.5 Ảnh hưởng biên độ lực ….….……………………….39 3.2.5.1 Panel cầu………… ….……………………………….39 3.2.5.2 Panel trụ.………… ….……………………………….40 3.2.6 Ảnh hưởng tần số lực ….….……………………….41 3.2.6.1 Panel cầu………… ….……………………………….41 3.2.6.2 Panel trụ.………… ….……………………………….42 3.2.7 Ảnh hưởng hệ số …… ….….……………………….43 3.2.7.1 Panel cầu………… ….……………………………….43 3.2.7.2 Panel trụ.………… ….……………………………….46 Kết luận…… …………………………………………………………………….….51 Tài liệu tham khảo …………………………………………… …………………52 Phụ lục ….…………………….………………………………………………………53 Mở đầu Vỏ cấu trúc sử dụng rộng rãi hầu hết lĩnh vực sống Sự tương tác tĩnh động vỏ với môi trường đàn hồi vấn đề quan trọng vỏ trụ vỏ nón sử dụng rộng rãi kết cấu kỹ thuật đại như: đường hầm, bể chứa, bình chịu áp, ống nước ngầm, đường ống dẫn, ống lót, thiết bị xử lí số ứng dụng khác Một số trường hợp vỏ đặt vào môi trường đất, đường ống, động tên lửa chứa đầy nhiên liệu chất rắn chất lỏng Có cách tiếp cận khác để phân tích tương tác kết cấu môi trường xung quanh Hầu hết đất biểu diễn thích hợp b ng mơ hình tốn học Pasternak, đất cát chất lỏng lại biểu diễn mơ hình Winkler Năm 1884 nhóm nhà nghiên cứu vật liệu Nhật Bản công bố loại vật liệu gọi vật liệu t nh biến thiên FGM (Functionally Graded Material) Vật liệu loại hình thành từ việc pha trộn hai loại vật liệu khác mà giữ ưu điểm vật liệu thành phần, FGM có nhiều t nh năn ưu việt như: Độ cứng cao, hệ số dãn nở nhiệt, truyền nhiệt thấp… Phân t ch động lực kết cấu vỏ làm b ng vật liệu FGM vấn đề mở, cịn nghiên cứu công bố Gần tác giả Đào Huy B ch, Vũ Đỗ Long [2] nghiên cứu động lực vỏ thồi khơng hồn hảo FGM với bốn cạnh tựa lề đưa phương trình t nh đến yếu tố phi tuyến hình học, đồng thời nhận đáp ứng phi tuyến tức thời panel trụ panel cầu chịu k ch động Các tác giả Đào Văn Dũng Vũ Hoài Nam [3] nghiên cứu khảo sát động lực phi tuyến cho vỏ thoải khơng hồn hảo FGM với hai cạnh ngàm hai cạnh tựa lề Nhóm tác giả Librescu.L, Lin W [4], nghiên cứu vồng dao động mặt cắt biến dạng thẳng cong đàn hồi phi tuyến Massalas C Kafousias N [5] đưa dao động phi tuyến vỏ trụ thoải đàn hồi phi tuyến Chiên RD chen CS [6] nghiên cứu dao động phi tuyến phân lớp đàn hồi phi tuyến Nhóm tác giả Đào Huy B ch, Đào Văn Dũng, Vũ Hoài Nam phân t ch động lực phi tuyến vỏ thoải hai độ cong gân gia cường lệch tâm Nguyễn Đình Đức Trần Quốc Quân [8] nghiên cứu ổn định phi tuyến FGM khơng hồn hảo hai độ cong với gân gia cường lệch tâm đàn hồi có kể đến yếu tố nhiệt.Nghiên cứu động lực vỏ thoải FGM khơng hồn hảo đàn hồi tuyến tính gần đưa tác giả Đỗ Quang Chấn [9] Trong luận văn tác giả trình bày nghiên cứu dao động vỏ cầu, vỏ trụ thoải FGM đặt đàn hồi phi tuyến bậc Mơ hình hóa tốn, viết phương trình cân b ng trường hợp này, sau b ng việc sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin đưa phương trình dao động phi tuyến vỏ Khảo sát số, tính tần số dao động riêng kết cấu ảnh hưởng hệ số Khảo sát dao động đáp ứng thời gian kết cấu tác động k ch thước hình học, hệ số nền, biên độ tần số lực k ch động b ng Maple so sánh với kết biết Luận văn bao gồm ba chương ch nh, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương Trình bày hệ phương trình vỏ thoải b ng vật liệu có t nh biến thiên Chương Phân t ch dao động phi tuyến vỏ thoải đàn hồi Chương T nh toán số để ảnh hưởng số tỉ phần thể tích, kích thước hình học, hệ số đến đáp ứng vỏ Chương Hệ phương nh ản ủ ỏ hoải ng ậ iệ nh iến thiên 1.1 Vật liệ omposi e tính biến thiên (FGM) Vật liệu compsite vật liệu tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu khác tạo nên vật liệu có t nh iu việt hẳn vật liệu ban đầu làm việc riêng r khối lượng nh , độ bền cao, khả chồng nhiệt, chống ăn m n hóa tốt,… Gần đây, số vật liệu composite có chức thông minh đời nh m đáp ứng nhu cầu thực tiễn việc chế tạo cấu kiện đại thỏa mãn điều kiện làm việc khắc nghiệt vật liệu gia cường sợi, vật liệu t nh biến thiên,… Vật liệu có t nh biến thiên FGM tạo thành từ hai vật liệu thành phần gốm Ceramic kim loại Metal t lệ thể t ch thành phần biến đổi trơn liên tục từ mặt sang mặt kết cấu Vật liệu FGM khắc khục nhược điểm vật liệu truyền thống composite thông thường khả chống chịu tác dụng cơ, l , hóa Do có modul đàn hồi E cao hệ số truyền nhiệt K , hệ số dãn nở nhiệt  thấp gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao khả kháng nhiệt tốt Hơn thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm d o khắc phục rạn nứt t nh gi n vật liệu gốm chịu nhiệt độ cao em bảng 1.1 Vật liệu Các t nh chất E ( N / m2 ) ν α K ρ Kim loại: Nhôm (Al) 70.0 109 0.3 23 106 20.4 2707 Ti-6Al-4V 105.7 109 0.298 6.9 106 18.1 4429 Gốm : Zirconia 151109 0.3 10 106 2.09 3000 Nhôm oxit 320 109 0.26 7.2 106 10.4 3750 Cơ t nh vật liệu biến thiên theo chiều dày vỏ theo quy luật phân bổ lũy thừa phụ thuộc vào thể t ch thành phần vật liệu tham gia tạo thành vật liệu vỏ  2z  h  E ( z )  EmVm  EcVc  Em   Ec  Em     2h   2z  h   ( z )   mVm  cVc   m   c   m     2h  v( z )  v  const k k (1.1) Trong vm vc phân tố thể t ch gốm kim loại chọn; k số đặc trưng t phần thể t ch, k đại lượng không âm; h độ dày vỏ 1.2 C hệ h ản ủ ỏ hoải t vỏ thoải có độ dày h mặt phắng chiếu n m ngang có dạng hình chữ nhật với cạnh tương ứng a b chịu tải nén phân bố qo đàn hồi Bài toán đặt cần xác định tần số dao động riêng tự tuyến tính, xây dựng mối quan hệ tần số - biên độ khảo sát đáp ứng kết cấu chịu lực cưỡng Mặt trung bình vỏ trường hợp chung phải xác định hệ tọa độ cong Tuy nhiên, vỏ thoải có độ nâng mặt vỏ nhỏ nhiều so với k ch thước a, b nên người ta d ng hệ tọa độ Đề để thay cho hệ tọa độ cong Như vậy, trường hợp s có: Quan hệ phi tuyến chuyển vị - biến dạng theo l thuyết độ v ng lớn biến dạng nhỏ Von Karman là: u  w     k1w    , x1  x1  2w 1  , x1 v  v     k2 w    , x2  x2  2  2w , x22  120  u v w w   , x2 x1 x1 x2 (1.2) 2w 12  x1x2 Trong đó: 10 ,  20 , 120 thành phần biến dạng mặt trung bình vỏ Đại lượng u, v, w chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng Phương trình tương th ch biến dạng trường hợp có dạng:  2w  2w 2w  210  2 20  2 120 2w 2w     k1  k2   x22 x1 x1x2  x1x2  x1 x22 x2 x1 Với , (1.3) độ cong vỏ Biến dạng điểm cách mặt trung bình khoảng cách z là: 1  10  z 1 ,    20  z  ,  12   120  z 12 Liên hệ ứng suất – biến dạng cho bởi:   v  , E     v  , E  12   12 G 1  (1.4) ổ 3.2.5.1 Panel trụ t vỏ thoải FGM panel trụ với cạnh tựa lề, k ch thước là: a =70 1.5 m; với R = 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm Aluminum h = 0.01m; ( b N/ , = 2702kg/ Alumina ) Hệ số Poisson chọn v =380 , 0.3 Ta chọn hệ số m = n = 1; k =1 Với hệ số K1  1.5 107 ( N / m3 ) , K2  1.5 105 ( N / m) , K3  1.5 109 ( N / m5 ) tần số lực = 1000 ( độ lực Q thay đổi (Q = 150.000; 50.000; 10.000 (N/ đáp ứng phi tuyến thể hình 10 ), biên ụ ổ Như qua hình hình 10 ta thấy r ng, đáp ứng phi tuyến vỏ thoải FGM panel cầu panel trụ có thay đổi biên tải trọng ngồi thay đổi Biên độ tải trọng ngồi lớn đáp ứng phi tuyến vỏ cao 3.2.6 Ảnh hưởng tần s l c 3.2.6.1 Panel cầu t vỏ thoải FGM panel cầu với cạnh tựa lề, k ch thước là: a b 1.5m; h với R = 0.01m; ( =70 N/ , = 2702kg/ 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum Alumina ) Hệ số Poisson chọn v =380 , 0.3 Với m = n = 1, k =1; hệ số K1  1.5 107 ( N / m3 ) , K2  1.5 105 ( N / m) , K3  1.5 109 ( N / m5 ) Khi tần số dao động riêng vỏ = 2869 Khi lực ngồi có biên độ Q = 150.000 (N/ thay đổi dần đến giá trị ( = 2000 ( ), = 2800 ( ), ứng phi tuyến trường hợp thể hình 11 = 2870 ( tần số đáp k 3.2.6.2 Panel trụ t vỏ thoải FGM panel trụ với cạnh tựa lề, k ch thước là: a b 1.5m; h = với R 0.01m; ( =70 N/ , 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum = 2702kg/ Alumina ) Hệ số Poisson chọn v =380 0.3 Với m , n 1, k =1; hệ số K1  1.5 107 ( N / m3 ) , K2  1.5 105 ( N / m) , K3  1.5 109 ( N / m5 ) Khi tần số dao động riêng vỏ = 1570 Khi lực ngồi có biên độ Q thay đổi dần đến giá trị ( = 1000 ( ), = 1300 ( 150.000 (N/ ), ứng phi tuyến trường hợp thể hình 12 = 1560 ( tần số đáp ụ k Qua hình 11 hình 12 ta thấy r ng, với biên độ lực k ch động nhau, đặt có hệ số nhau, tần số lực k ch động ngồi thay đổi đáp ứng phi tuyến vỏ thoải panel cầu panel trụ thay đổi theo Khi tần số dao động tải trọng tần số dao động riêng vỏ gần xảy tượng cộng hưởng, biên độ đáp ứng phi tuyến vỏ cao 3.2.7 Ảnh hưởng hệ s 3.2.7.1 panel cầu t vỏ thoải FGM panel cầu với cạnh tựa lề, k ch thước là: a b 1.5m; h với R = 0.01m; ( =70 N/ , 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum = 2702kg/ ) Hệ số Poisson chọn v Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1,k = 1; với hệ số K1 thayđổi : K1  1.5 107 ( N / m3 ); K1  107 ( N / m3 ); K1  10 107 ( N / m3 ) , K2  0( N / m) K3  0( N / m5 ) ,với biên độ lực Q ( 150.000 (N/ tần số lực , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 13 , = 1000 K1 ổ t vỏ thoải FGM panel cầu với cạnh tựa lề, k ch thước là: a b 1.5m; h với R = 0.01m; ( =70 N/ , 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum = 2702kg/ ) Hệ số Poisson chọn v Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1,k = 1; với hệ số K2 thayđổi : K2  1.5 105 ( N / m); K2  105 ( N / m); K2  10 105 ( N / m) , K1  0( N / m3 ) K3  0( N / m5 ) ,với biên độ lực Q ( 150.000 (N/ tần số lực ngồi , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 14 , = 1000 ổ t vỏ thoải FGM panel cầu với cạnh tựa lề, k ch thước là: a b 1.5m; h với R = 0.01m; ( =70 N/ , 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum = 2702kg/ Hệ số Poisson chọn v Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1,k = 1; với hệ số K3 thay đổi K3  1.5 109 ( N / m5 ); K3  109 ( N / m5 ); K3  10 109 ( N / m5 ) , K1  0( N / m3 ) K2  0( N / m) ,với biên độ lực Q ( 150.000 N tần số lực , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 15 , = 1000 ổ Qua hình 13, 14 hình 15 ta thấy r ng , với biên độ số tải trọng nhau, đặt vỏ cầu có hệ số Ki thay đổi đáp ứng phi tuyến vỏ thay đổi theo Vỏ có hệ số lớn s có biên độ đáp ứng phi tuyến nhỏ Ảnh hưởng hệ số K2 lớn K1 rõ ràng hệ số K3 không ảnh hưởng lớn đến đáp ứng phi tuyến hệ 3.2.7.2 panel trụ X t vỏ thoải FGM panel trụ với cạnh tựa lề, k ch thước là: a với R = 0.01m; ( =70 N/ , = 2702kg/ ) Hệ số Poisson chọn v b 1.5m; h 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1, k = 1; với hệ số K1 thay đổi : K1  1.5 107 ( N / m3 ); K1  107 ( N / m3 ); K1  10 107 ( N / m3 ) , K2  0( N / m) K3  0( N / m5 ) ,với biên độ lực Q ( 150.000 (N/ tần số lực ngồi , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 16 , = 1000 ụ ổ t vỏ thoải FGM panel trụ với cạnh tựa lề, k ch thước là: a với R = 0.01m; ( =70 N/ , = 2702kg/ ) Hệ số Poisson chọn v 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1,k = 1; với hệ số K2 thayđổi : K2  1.5 105 ( N / m); K2  105 ( N / m); K2  10 105 ( N / m) K3  0( N / m5 ) ,với biên độ lực Q ( b 1.5m; h 150.000 (N/ , K1  0( N / m3 ) tần số lực ngồi , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 17 , = 1000 ụ ổ X t vỏ thoải FGM panel trụ với cạnh tựa lề, k ch thước là: ab b 1.5m; h với R = 0.01m; ( =70 N/ , = 2702kg/ Hệ số Poisson chọn v 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum Alumina =380 , 0.3 Với m = n = 1, k = 1; với hệ số K3 thay đổi: K3  1.5 109 ( N / m5 ); K3  109 ( N / m5 ); K3  10 109 ( N / m5 ) , K1  0( N / m3 ) K2  0( N / m) ,với biên độ lực Q ( 150.000 N tần số lực , đáp ứng phi tuyến trường hợp thể hình 18 , = 1000 ụ K3 ổ Qua hình 16, 17 hình 18 ta thấy r ng , với biên độ số tải trọng nhau, đặt vỏ trụ có hệ số Ki thay đổi đáp ứng phi tuyến vỏ thay đổi theo Vỏ có hệ số lớn s có biên độ đáp ứng phi tuyến nhỏ Ảnh hưởng hệ số K1 lớn K2 K2 lớn K3 Nhận x t Qua việc khảo sát hai trường hợp vỏ thoải panel trụ panel cầu ta có kết luận sau: - Với vỏ cầu vỏ trụ số dao động riêng có giá trị nhỏ m n 1; số mũ k tăng lên tần số dao động riêng giảm - Trong trường hợp biên độ tần số tải trọng cho kết biên độ dao động lớn vỏ đặt đàn hồi có thay đổi lớn giảm so với trường hợp không đặt đàn hồi - Trong trường hợp biên độ tần số tải trọng nhau, cho số k biến thiên đáp ứng phi tuyến vỏ FGM biến đổi đáng kể Mức độ thay đổi phụ thuộc vào độ lớn biên độ tần số tải trọng tác dụng - Trong điều kiện biên độ tải trọng khác đáp ứng phi tuyến vỏ khác Biên độ tải trọng tăng biên độ đáp ứng phi tuyến cao - Trong trường hợp vỏ chịu tải trọng có biên độ tải trọng đặt có c ng hệ số, tần số dao động tải trọng tần số dao động riêng vỏ gần biên độ đáp ứng phi tuyến vỏ cao - Trong trường hợp biên độ tần số tải trọng nhau, đặt vỏ có hệ số K1, K2, K3 thay đổi đáp ứng phi tuyến vỏ thay đổi theo Ảnh hưởng K2 nhiều K1 K1 ảnh hưởng nhiều K3 Vỏ đặt có hệ số lớn s có biên độ đáp ứng phi tuyến nhỏ - Trong trường hợp biên độ tần số tải trọng ngồi nhau, đặt có c ng hệ số nền, k ch thước vỏ thay đổi, đáp ứng phi tuyến vỏ thay đổi ế ận Trên sở phương trình cho vỏ thoải FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật xây dựng [2], luận văn tìm nghiệm giải t ch thỏa mãn điều kiện tựa lề B ng phương pháp Bubnov – Galerkin dẫn đến phương trình vi phân phi tuyến cấp hai hàm f(t) Luận văn nhận biểu thức hiển tần số dao động tự tuyến tính quan hệ biên độ tần số, nhận đáp ứng phi tuyến tức thời bốn tần số dao động riêng panel cầu FGM panel trụ FGM Đã so sánh đáp ứng phi tuyến vỏ trường hợp tựa lề đặt đàn hồi với trường hợp không đặt đàn hồi Biên độ áp dụng phi tuyến vỏ giảm hệ số hệ số K1, K2, K3 tăng lên Ảnh hưởng K2 nhiều K1 K1 ảnh hưởng nhiều K3 Khi hệ số đàn hồi K1= K2= K3 = kết thu tr ng khớp với lời giải [2], K2= K3 = kết thu quay [9] Trường hợp toán tĩnh ; = 0), vật liệu nhất, đẳng hướng E z = , (z) =  =  cho kết ph hợp với kết [10] Đã khảo sát ảnh hưởng t nh vật liệu, biên độ tần số tải trọng ngoài, k ch thước vỏ tới độ v ng đáp ứng phi tuyến vỏ thoải FGM Lời giải số thực b ng Maple Hướng phát triển sau luận văn: - Nghiên cứu toán ổn định vỏ thoải FGM có gân gia cường đàn hồi có t nh đến tính phi tuyến bậc ba b ng phương pháp giải tích - Nghiên cứu toán dao động vỏ thoải FGM có gân gia cường đàn hồi có t nh đến tính phi tuyến bậc ba b ng phương pháp giải tích T i iệ h m hảo [1] Koizumi M (1993), “ The concept of FGM” Ceram Trans Funct Grad Mater; (34) ,pp.3-10 [2] Dao Huy Bich, Vu Do Long (2010), “Non-linear dynamical analysis or inperfect functionally graded material shallow shells”, Vietnam Journal of Mechnics, VAST 2010, Vol.32, No 2, pp 1-14 [3] Đào Văn Dũng, Vũ Hoài Nam 2010), “Phân t ch động lực phi tuyến vỏ thoải khơng hồn hảo có t nh biến thiên với điều biên tựa lề ngàm” , T k k t [4] Librescu L, Lin W (1997), “Postbuckling and vibration of shear deformable flat and curved panel on a nonlinear elastic foundation”, Int J Nonlinear Mech, 32, pp.211 - 225 [5] Massalas C, Kafousias N ( 1979), “Nonlinear vibrations of shallow cylindrical panel on a nonlinear elastic foundation” J sound and vib, 66 (4), pp 507 – 512 [6] Chien RD, Chen CS (2005), “Nonlinear vibration of laminated plates on a nonlinear elastic foundation” Compos Struct, 70, pp 90 – 99 [7] Dao Huy Bich, Dao Van Dung, Vu Hoai Nam (2013), “Nonlinear dynamic analysis of eccentrically stiffened functionally graded double curved thin shallow shells”, Compos Struct, 96, pp.384 – 395 [8] Nguyen Dinh Duc, Tran Quoc Quan (2013), “Nonlinear post buckling of imperfect eccentrically stiffened P – FGM double curved thin shallow shells on elastic foundations in thermal environments”, Compos Struct, 106,pp 590 – 600 [9] Đỗ Quang Chấn(2014), ng phi n c a v tho i FGM n i, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Khoa học tự nhiên [10] Trần Lưu Chương, Phạm Sĩ Liêm 1967 , Lý thuy t b n v m nghiên cứu toán thuộc Ủy ban khoa học kỹ thuật nhà nước i, phòng Phụ ụ Giải phương Phương cx + nh ậ heo C dono nh d dạng , trogn a, b, c, d số thực cho trước (a 0) C h giải Bây ta x t cách giải phương trình Vì a nên ta chia hai vế phương trình cho a Do ta cần giải phương trình dạng: Đặt x y- + + bx + c = (2) , trở thành: - y + q = (3) Trong đó: = - b, q = Đặt = 27 -4 Để x t số nghiệm , ta khảo sát tương giao hàm số với trục Ox Chú hàm bậc cắt Ox tại: Một điểm hàm đơn điệu Hai điểm Ba điểm: t hàm số , ta có: Nếu suy , suy Nếu suy hàm đồng biến, có nghiệm √ (√ ) ( √ ) Từ ta có kết sau: Nếu có nghiệm Để tìm nghiệm ta làm sau: Đặt y u v, ki trở thành: Ta chọn u v cho: hay lúc ta có hệ: , Do nghiệm phương trình: (4) Phương trình có hai nghiệm: √ Và √ Suy √ √ Công thức Nếu (*) gọi công thức Cardano có hai nghiệm, nghiệm k p nghiệm đơn Tức là: Nếu ( √ √ √ √ √ √ √ √ (**) có ba nghiệm phân biệt, ba nghiệm n m khoảng √ √ ) Để tìm ba nghiệm ta đặt dạng: √ , với √ , √ Giải ta nghiệm , từ ta suy ba nghiệm phương trình là: √ ; ta đưa √ ; √ (***) ... Đạt DAO ĐỘNG CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CĨ TÍNH ĐẾN TÍNH PHI TUYẾN BẬC BA Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 604421 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn. .. học tập làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót cịn tồn tại, kính mong nhận dẫn, góp ý chân thành thầy cô giáo, nhà khoa học bạn Tác giả luận văn Đinh Công... tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người hết lòng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin học đặc