luận án tiến sĩ tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2021 L˝I CAM OAN Tæi xin cam oan c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu Lu“n ¡n T‰nh tuƒn ho n v Œn ành cıa nghi»m c¡c ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh l cỉng tr…nh nghi¶n cøu ca riảng tổi Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn khoa hồc ca th TS Vơ Thà Ngåc H v TS L¶ Huy Ti„n C¡c k‚t qu£ Lu“n ¡n ho n to n trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc t¡c gi£ kh¡c cỉng bŁ bĐt ký mt cổng trnh nghiản cứu n o Tp th hữợng dÔn TS Vụ Th Ngồc H TS Lả Huy Tin LIC MèN Lun Ăn ữổc thỹc hiằn ti trữớng i hồc BĂch khoa H Ni, dữợi sỹ hữợng dÔn ca th TS Vụ Th Ngồc H (Tr÷íng ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi) v TS Lả Huy Tin (Trữớng HKHTN- HQG H Ni) Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n hai giĂo viản hữợng dÔn ca mnh, nhng ngữới  tn tnh giúp ù tổi trản ữớng khoa hồc c bi»t l TS Vô Thà Ngåc H , nhœng sü ng viản, khch lằ ca cổ  giúp tổi vữổt qua nhiãu tr ngi vng tƠm hồc Trong quĂ trnh hồc tp, nghiản cứu ti Trữớng i hồc B¡ch khoa H Nºi v tham gia seminar D¡ng i»u tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn v ứng dửng PGS.TSKH.Nguyn Thiằu Huy iãu h nh, tổi  ÷æc Thƒy ch¿ b£o t“n t…nh, Thƒy luæn t⁄o nhng thò thĂch giúp tổi tỹ hồc họi, tm tặi, s¡ng t⁄o Tỉi xin b y tä lỈng bi‚t ìn v vổ knh trồng n Thy ỗng thới, tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh n c¡c thƒy cỉ v nhœng th nh vi¶n nhâm seminar ¢ câ nhœng âng gâp, chia s· gióp tỉi thun lổi nghiản cứu Tổi xin trƠn trồng gòi lới c£m ìn ‚n Ban Gi¡m hi»u, PhỈng o t⁄o, ban l ¢nh ⁄o cịng c¡c thƒy cỉ Vi»n To¡n øng dưng v Tin håc, c¡c thƒy cỉ bº mỉn To¡n cì b£n ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi  luổn giúp ù, ng viản, to iãu kiằn qu¡ tr…nh nghi¶n cøu cıa tỉi Tỉi cơng xin b y tọ sỹ cÊm ỡn chƠn th nh tợi Ban Gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc cì b£n Tr÷íng ⁄i håc Sữ phm K thut Hững Yản, nỡi tổi ang cổng tĂc,  to iãu kiằn thun lổi cho tổi hồc t“p v nghi¶n cøu Sau cịng, tỉi xin d nh líi c£m ìn cho gia …nh, b⁄n b–, nhœng ng÷íi ¢ ln khuy‚n kh‰ch, ºng vi¶n chia s· nhœng khâ khôn cuc sng tổi yản tƠm hồc v ho n th nh lu“n ¡n MÖC LÖC LI CAM OAN LIC MèN MáT Să K HI U DềNG TRONG LU N N M U Lỵ chån • t i Mưc ‰ch, Łi t÷ỉng v phm vi nghiản Phữỡng phĂp nghiản cứu K‚t qu£ cıa lu“n ¡n C§u tróc lu“n ¡n Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 Nòa nhõm liản tửc mnh v toĂn tò sinh 1.2 T‰nh Œn ành mơ v nhà ph¥n mơ cıa n 1.3 Khỉng gian h m Banach ch§p nh“n ÷ỉc 1.4 Khỉng gian gi£m nhỵ 1.5 Nhà ph¥n mơ cıa hå ti‚n hâa 1.6 Nghi»m tun ho n ca phữỡng trnh tin h 1.7 BĐt flng thøc nân Ch÷ìng SÜ T˙N T I V T NH ˚N ÀNH C´ I U KI N CÕA NGHI M TU N HO N ăI VI PHìèNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH 2.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâ 2.2 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâ t‰nh 2.3 Nghi»m tuƒn ho n tr÷íng hỉp hå ti‚n Ch÷ìng NGHI M TU N HO N CÕA PH×ÌNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH C´ TR HÚU H N TRONG KH˘NG GIAN H M CH P NH N ×ĐC 3.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hœu h⁄n khổng gian h m chĐp nh 3.2 Trữớng hổp hồ tin hõa cõ nh phƠn mụ Chữỡng NGHI M TU N HO N CÕA PH×ÌNG TR NH TI N H´A TRUNG T NH C´ TR V˘ H N TRONG KH˘NG GIAN H M CH P NH N ×ĐC 4.1 Nghi»m tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n vỉ h⁄n khỉng gian h m ch§p nh“n 4.2 Nghi»m tuƒn ho n tr÷íng hỉp hå 4.3 a t⁄p Œn ành àa ph÷ìng xung quanh n K TLU NV KI NNGH Nhng kt quÊ Â t ữổc ã xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo DANH MệC C C CNG TR NHCNG Bă CếA LU N N T ILI UTHAMKH O CH MÖC MáT Să K HI U DềNG TRONG LU N R R+ Lp(R):= N : T“p c¡c sŁ thüc : T“p c¡c sŁ thüc khỉng ¥m R : T“p c¡c sŁ thüc khỉng d÷ìng C : T“p c¡c sŁ phøc L1;loc(R+) := fu : R ! R+ j u L1(!) vợi mồi o ữổc ! R+g õ ! R+ ngh¾a l bao âng ! l t“p compact R+ X : Khæng gian Banach E : Khæng gian h m Banach chĐp nhn ữổc C := C([ nh“n gi¡ trà X ÷ỉc trang bà chu'n kukC = C : v Khæng gian c¡ Cb(I; X) : Khỉng gian c¡c h m li¶n tưc, bà ch°n, nh“n giĂ tr trongX; xĂc nh trản I ữổc trang b chu'n kuk1 = sup ku(t)k; t2I vỵi I câ th” l R; R+; R ; [ M(R+) := vỵi chu'n kfk M M := t := ff : R+ ! X j kf( )k Mg vỵi chu'n kfkM := kkf( )kkM: M— U TŒng quan v• hữợng nghiản cứu v lỵ chồn ã t i Phữỡng trnh vi phƠn l mt cổng cử quan trồng mổ tÊ cĂc hiằn tữổng tỹ nhiản v k thut nhữ quĂ trnh truyãn nhiằt, quĂ trnh phÊn øngkhu‚ch t¡n, c¡c mæ h…nh c⁄nh tranh, : : : Trong õ lợp phữỡng trnh vi phƠn mổ tÊ sỹ phö thuºc v o c£ h» tr⁄ng th¡i qu¡ khứ lÔn hằ trng thĂi tữỡng lai, tức l phữỡng trnh vi phƠn va cõ tr ( delay ) va cõ sợm ( advanced ), ữổc gồi l phữỡng tr…nh vi ph¥n trung t‰nh ( neutral ) (xem [1, 2]) Vợi cĂc phữỡng trnh vi phƠn trung tnh, viằc nghiản cứu sỹ tỗn ti v n nh nghiằm ca chóng kh¡ phøc t⁄p Khi â, b‹ng c¡ch chån khỉng gian v toĂn tò thch hổp, lợp phữỡng trnh n y cõ th ữổc vit li dữợi dng phữỡng trnh trung t‰nh trłu t÷ỉng khỉng gian Banach th÷íng ÷ỉc gåi l ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh Trong lu“n Ăn n y chúng tổi s xt cĂc lợp phữỡng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh câ d⁄ng dF ut dt = A(t)F ut + g(t; ut); vỵi câ th” thuºc khỉng gian h m C ho°c khỉng gian gi£m nhỵ C ; to¡n tß tuy‚n t‰nh t 7!A(t) câ th” khỉng bà ch°n tr¶n khỉng gian Banach X v T tun ho n theo bin t; toĂn tò sai phƠn F : C ! X tuy‚n t‰nh bà ch°n, to¡n tß tr„ phi tuy‚n g : R+ C ! X l T -tuƒn ho n v li¶n tưc Lipschitz ho°c ’-Lipschitz H m ut gåi l h m làch sß ("history function") ữổc nh nghắa bi ut( ) := u(t + ) vỵi [ r; 0] ho°c ( ; 0] Ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh ph¡t sinh t nhiãu ứng dửng nhữ hằ sinh thĂi qun th, hằ khuch tĂn, hằ xò lỵ tn hiằu, Ta cõ th” tham kh£o Wu [3], Wu & Xia [4], vợi nhiãu v dử v ứng dửng ca dng phữỡng trnh n y cho mng lữợi ữớng dƠy truyãn tÊi Chflng hn, tĂc giÊ Â xt mt mng lữợi v ch mổ hnh ca nõ tữỡng ứng vợi phữỡng tr…nh @ @t F ut = a â h m u thuºc C := C([ r; 0]; X) vỵi r > v khæng gian Banach X cıa c¡c 1 1 h m trản ữớng trặn ỡn S ; tøc l X = H (S ) ho°c X = C(S ); h m làch sß ut ÷æc x¡c inh bði ut( ) := u(t + ) vợi [ r; 0] v t toĂn tò tuyn t‰nh F v v 0: C¡c bà ch°n tł C([ r; 0]; X) ! X gåi l to¡n tß sai phƠn toĂn tò tr Lỵ thuyt vã phữỡng trnh tin hõa trung tnh sau õ  ữổc phĂt trin bi nhi•u t¡c gi£ kh¡c (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] v c¡c t i li»u tham khÊo õ) Trong Hale [9, 10]  nghiản cứu tnh chĐt nh tnh ca nghiằm lợp phữỡng trnh tin hâa trung t‰nh æ-tæ-næm, mang l⁄i c¡c k‚t qu£ quan trång v• t‰nh Œn ành, t‰nh hót v sü r‡ nh¡nh cıa nghi»m xung quanh mºt tr⁄ng th¡i dłng ” nghiản cứu dĂng iằu tiằm cn nghiằm ca phữỡng trnh ti‚n hâa trung t ‰nh (1), khỉng th” khỉng nghi¶n cứu n sỹ tỗn ti, tnh nhĐt nghiằm tun ho n cıa ph÷ìng tr…nh cơng nh÷ chøng minh t‰nh Œn ành (câ i•u ki»n) cıa nghi»m tuƒn ho n õ trữớng hổp toĂn tò A(t); h m phi tuy‚n g(t; ) l T -tuƒn ho n theo t: im qua li lch sò vã b i toĂn nghiằm tun ho n ca phữỡng trnh vi phƠn Nôm 1950 Massera (xem [11])  nghiản cứu chứng minh ữổc mi li¶n h» giœa nghi»m bà ch°n v nghi»m tuƒn ho n ca phữỡng trnh vi phƠn thữớng Sau õ ữổc Zubelevich m rng v o nôm 2006 (xem [12]) Vợi phữỡng trnh vi phƠn h m, nhn chung cõ mt s phữỡng phĂp thữớng ữổc sò dửng, nhữ phữỡng phĂp Massera (xem [13, 14]), phữỡng phĂp im bĐt ng, chflng h⁄n nh÷ Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] ho°c Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] CĂch tip cn ph bin nhĐt ữổc sò dửng theo hữợng n y l tnh b chn cıa c¡c nghi»m v t‰nh compact cıa ¡nh x⁄ Poincar† thỉng qua mºt sŁ ph†p nhóng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pruss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]) Tuy nhi¶n, mºt sŁ t…nh huŁng thüc t‚, chflng h⁄n nh÷ tr÷íng hỉp ph÷ìng tr…nh vi phƠn o h m riảng vợi miãn khổng b chn (theo tĐt cÊ cĂc hữợng) hoc phữỡng trnh cõ nghiằm khỉng bà ch°n th… ph†p nhóng compact khỉng ¡p dưng ÷ỉc v vi»c lüa chån v†c tì ban ƒu th‰ch hỉp (ho°c câ i•u ki»n) ” £m b£o t‰nh bà ch°n cıa nghi»m xu§t ph¡t tł v†c tì â l khổng d d ng vữổt qua nhng khõ khôn n y, chúng tổi sò dửng nh lỵ dng Massera, tức l nh lỵ chứng minh nu phữỡng trnh vi ph¥n câ nghi»m bà ch°n th… s‡ câ mºt nghi»m to Suy A l V… 6= n vỵi måi n N ta câ p dưng ành lỵ Ănh x ph cho nòa nhõm giÊi tch ta thu ữổc 93 Do õ, vợi := f C : j j = 1g; (T(t)) \ = t > cŁ ; vỵi måi t > 0: Suy ra, vỵi nh hai t“p kh¡c 0; 1, ành, t“p phŒ cıa to¡n tß T(t ) chia th ð ¥y 0 fz C : jzj < 1g; fz C : jzj > 1g: Chóng tỉi chån P = P (t0) l c¡c ph†p chi‚u Riesz t÷ìng øng cıa t“p phŒ v Q = I P Khi â, P v Q giao ho¡n vỵi T(t) vỵi måi t > Ti‚p theo, ta ành nghắa TQ(t) := T(t)Q l hn ch ca T(t) trản ImQ Sò dửng nh lỵ nòa nhõm, nòa nhõm T(t) t>0 câ nhà ph¥n mơ v h⁄n ch‚ TQ(t) kh£ nghch Cụng nhữ vy, tỗn ti cĂc hng s dữỡng N; cho kT(t)jP X k N e t kTQ( t)k = ; 8t kTQ(t) k N e hâa U(t; s) t t; 8t 0; (4.40) 0: s °t A(t) := a(t)A; ta câ A(t) l 1-tuƒn ho n, v Khi â, hå ti‚n hâa U(t; s) t s cõ nh phƠn mụ vợi toĂn tò chiu P (t) = P , vỵi måi t v c¡c h‹ng sŁ N; := thäa m¢n c¡c ¡nh gi¡ kU(s; t)jk = k (U(t; s)jker P ) vỵi mồi t s ToĂn tò sai phƠn F ữổc ành ngh¾a bði Khi â, F câ d⁄ng F = t“p trung t⁄i s H m g : R+ C ! X ÷ỉc x¡c ành bði g t; w( ; ) 94 Ơy, vợi hng s c nh c > 0; h m thüc (t) = t < : Khi â, ta câ Suy M(R+) v ph÷ìng tr…nh (4.38) câ th” vi‚t l⁄i th nh V… k( ; t) l 1-tuƒn ho n n¶n g(t; Hìn nœa, vỵi := Khi â, kg(t; ut(x; )) = (t) Z = (t) (t) e m(t + ) Z = (t) 95 Z V“y, kg(t; ut(x; )) g(t; vt(x; ))k K (t) kut vtk ; vỵi måi ut; vt B : i•u n y suy ra, g thọa mÂn giÊ thit ca nh lỵ 4.3 v nh lỵ 4.4 vợi L0 = + K , (t) = K (t); ’~(t) = 2K (t): V“y, theo ành lỵ 4.3 v nh lỵ 4.4 ta cõ: Nu c lợn (suy ra, k kM nhọ), th phữỡng tr…nh (4.38) câ nh§t nghi»m ı tŁt u^ B (0) l 1-tuƒn ho n v nghi»m u^ n y Œn ành câ i•u ki»n theo Nh“n x†t 4.2 Hỡn na, theo nh lỵ 4.5, tỗn ti mt a t⁄p Œn ành àa ph÷ìng S cıa nghi»m ı tŁt cıa ph÷ìng tr…nh (4.38) xung quanh nghi»m tuƒn ho n u^ K‚t lu“n Ch÷ìng Ch÷ìng n y chóng tỉi  nghiản cứu lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh câ tr„ væ h⁄n d⁄ng (4.1), nâ l sü mð rng ca Chữỡng 3, ỗng thới cụng l m rng b i to¡n cıa Huy & Dang (xem [28]) Cö th, t Chữỡng vợi phữỡng trnh tin hõa trung t‰nh nßa tuy‚n t‰nh câ tr„ hœu h⁄n, phƒn phi tuy‚n g(t; v) l ’Lipschitz vỵi mØi v thuºc khỉng gian h m C; chuy”n sang b i to¡n Ch÷ìng 4, câ tr„ vỉ h⁄n, v thuºc khỉng gian gi£m nhỵ C : °c bi»t, n‚u Fut = u(t) v = ; b i to¡n cıa Ch÷ìng s‡ trð v• b i to¡n cıa Huy & Dang [28] C¡c k‚t qu£ thu ÷ỉc l : Chøng minh sü tỗn ti, tnh nhĐt nghiằm tt tun ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh (4.1) khổng gian giÊm nhợ C ; phữỡng trnh cõ tr væ h⁄n Ch¿ t‰nh Œn ành câ iãu kiằn nghiằm tt tun ho n ca phữỡng trnh õ Chứng minh tỗn ti mt a Œn ành àa ph÷ìng xung quanh nghi»m ı tŁt tuƒn ho n thu ÷ỉc 96 K TLU NV Nhœng kt quÊ Â t KI NNGH ữổc Lun Ăn Tnh tuƒn ho n v Œn ành cıa nghi»m c¡c ph÷ìng trnh tin hõa trung t nh vợi viằc sò dửng c¡c cỉng cư nh÷ ph÷ìng ph¡p Massera, ph÷ìng tr…nh Lyapunov-Perron, nguyản lỵ im bĐt ng, chuỉi Neumann, bĐt flng thức nõn, chứng minh sỹ tỗn ti, nhĐt, t‰nh Œn ành câ i•u ki»n v a t⁄p Œn ành àa ph÷ìng xung quanh nghi»m tuƒn ho n cıa cĂc lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh cõ tr hœu h⁄n ho°c væ h⁄n Nhœng k‚t qu£ n y gâp phƒn mang l⁄i bøc tranh h…nh håc v• d¡ng i»u ti»m c“n nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh vỵi nhi„u phi tuy‚n xung quanh nghi»m tuƒn ho n Xuyản sut lun Ăn, chúng tổi xt lợp phữỡng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh câ d⁄ng dF ut dt = A(t)F ut + g(t; ut); t [0; +1); â, H câ th” l khæng gian h m C ho°c khỉng gian gi£m nhỵ C : C¡c k‚t quÊ chúng tổi  t ữổc l : (i) Thit lp iãu kiằn cho sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh tuyn tnh khổng thun nhĐt ( nh lỵ 2.1) Thit lp iãu kiằn cho sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh nòa tuyn tnh (4.42) vợi phn phi tuyn g(t; v) liản tửc Lipschitz ( nh lỵ 2.2) ho°c ’-Lipschitz, vỵi ’ phư thuºc (ii) thíi gian t v thuºc v o mºt khæng gian h m chĐp nhn ữổc, v thuc khổng gian h m C ( nh lỵ 3.2) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.2) Thit lp iãu kiằn cho sỹ tỗn ti, tnh nhĐt nghiằm tun ho n ca lợp phữỡng trnh (4.42) phn tuyn t‰nh sinh hå ti‚n hâa câ nhà ph¥n mơ v phƒn phi tuy‚n g(t; v) li¶n tưc Lipschitz ( nh lỵ 2.3) hoc (iii) 97 -Lipschitz, vợi v thuc khổng gian h m C ( nh lỵ 3.3) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.3) (iv) Thit lp ữổc iãu kiằn cho tnh Œn ành câ i•u ki»n nghi»m tuƒn ho n cıa lợp phữỡng trnh (4.42) phn tuyn tnh sinh hồ tin hõa cõ nh phƠn mụ (tữỡng ứng ln lữổt vợi ba trữớng hổp trản ca h m tr phi tuyn g l cĂc nh lỵ: nh lỵ 2.4, nh lỵ 3.4, nh lỵ 4.4) (v) Chứng minh sỹ tỗn ti mt a n nh a phữỡng xung quanh nghi»m tuƒn ho n thu ÷ỉc phƒn tuy‚n t‰nh sinh hå ti‚n hâa câ nhà ph¥n mơ, phƒn phi tuy‚n g(t; v) l ’-Lipschitz, v thuºc khæng gian h m C ( nh lỵ 3.5) hoc v thuc khổng gian giÊm nhợ C ( nh lỵ 4.5) ã xuĐt mt s hữợng nghiản cứu tip theo Sau nhng kt quÊ Â t ữổc lun Ăn, mt s vĐn ã sau Ơy cõ th ữổc tip tửc nghiản cứu: Nghiản cứu sỹ tỗn ti, tnh n ành nghi»m tuƒn ho n, a t⁄p Œn ành àa phữỡng ca mt s lợp phữỡng trnh tin hõa trung tnh chứa nhiãu s hng phi tuyn vợi cĂc iãu ki»n Lipschitz kh¡c nhau, c£ tr÷íng hỉp tr„ hœu hn hoc vổ hn KhÊo sĂt sỹ tỗn ti, tnh hƒu tuƒn ho n v a t⁄p b§t bi‚n xung quanh nghi»m hƒu tuƒn ho n cıa ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trung t‰nh 98 DANH MÖC C C C˘NG TR NH KHOA HC CNG Bă CếA LU N N [CT1] Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Loan, Vu Thi Ngoc Ha (2019), Periodic solutions and their conditional stability for partial neutral functional differential equations, Journal of Evolution Equations 19, 1091-1110 (SCIE/Scopus-Q1) [CT2] Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Periodic solutions to partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Vietnam Journal of Mathematics (ESCI/Scopus) DOI: 10.1007/s10013-020-00405-3 Published online 07 April 2020 [CT3] Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu (2020), Periodicity and stability of solutions to neutral differential equations with ’Lipschitz and infinite delays, Annales Polonici Mathematici 125(2), 155-181 (SCIE-Q2) 99 T ILI UTHAMKH O [1] N.T.Huy (2002), Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tubingen, Germany [2] Phm Vôn Bng (2016), Mt s tnh chĐt ca nghiằm phữỡng tr nh vi phƠn khổng gian Banach , Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, Trữớng HBK H Nºi, H Nºi [3] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations , Springer-Verlag, NewYork-Berlin-Heidelberg [4] J Wu, H Xia (1996), Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines , J Diff Equ., 124, 247-278 [5] M Adimy, K Ezzinbi (1998), Strict solutions of nonlinear hyperbolic neu-tral differential equations , Dyn Syst Appl, 7, 389-404 [6] J Wu, H Xia (1999), Rotating waves in neutral partial functional differ-ential equations , J Dyn Diff Eq., Vol 11, no 2, 209-238 [7] M Adimy, K Ezzinbi, M Laklach (2002), Local existence and global con-tinuation for a class of partial neutral functional differential equations , C R Acad Sci Paris, t 330, Serie I, 952-962 [8] M Adimy, H Bouzahir, K Ezzinbi (2004), Existence and stability for some partial neutral functional differential equations with infinite delay , J Math Anal, Appl., Vol 294, no 2, 438-461 [9] J K Hale (1994), Partial neutral functional differential equations , Rev Roumaine Math Pure Appl., Vol 39, no 4, 339-344 [10] J K Hale (1994), Coupled oscillators on a circle, Dynamical phase tran-sitions (Sao Paulo), Resenhas, Vol 1, no 4, 441-457 100 [11] J.L Massera (1950), The existence of periodic solutions of systems of dif-ferential equations , Duke Math J., 17, pp 457-475 [12] O Zubelevich (2006), A note on theorem of Massera , Regul Chao Dyn 11, pp 475-481 [13] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations , J Math Anal Appl., 433 , 1190-1203 [14] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), Periodic solutions to evolution equations: exis-tence, conditional stability and admissibility of function spaces , Ann Polon Math 116, 173-195 [15] J K Hale, O Lopes (1966), Fixed point theorems and dissipative pro-cesses , J Diff Equ., Vol 13, 391-402 [16] S N Chow, J K Hale (1974), Strongly limit-compact maps , Funkcioj Ekvacioj, Vol 17, 31-38 [17] R Benkhalti, H Bouzahir, K Ezzinbi (2001), Existence of a periodic so-lution for some partial functional differential equations with infinite delay , J Math Anal Appl., 256, 257-280 [18] R Benkhalti, A Elazzouzi, K Ezzinbi ( 2006), Periodic solutions for some partial neutral functional differential equations , Elec J Diff Equ., Vol 2006, No 56, pp 1-14 [19] J Serrin (1959), A note on the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations , Arch Rational Mech Anal., , pp 120122 [20] T.Yoshizawa (1975), Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions , Appl Math Scie., 14 SpringerVerlag, New York-Heidelberg [21] J Pruss (1979), Periodic solutions of semilinear evolution equations , Non-linear Anal., 3, 601-612 101 [22] J Pruss (1986), Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces (Book’s Chapter), 216-226, Lecture Notes in Math., 1223, Springer, Berlin [23] T Burton (1985), Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Func-tional Differential Equations , Academic Press, Orlando, Florida [24] J.H Liu, G.M N’Guerekata, Nguyen Van Minh (2008), Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations , Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [25] N.T.Huy (2014), Periodic motions of Stokes and Navier Stokes flows around a rotating obstacle , Arch Ration Mech Anal 213 , 689703 [26] M Geissert, M Hieber, N.T.Huy (2016), A general approach to time peri-odic incompressible viscous fluid flow problems , Arch Ration Mech Anal 220, 1095 1118 [27] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2017), Dichotomy and perriodic solution to partial functional differential equations , Disc Cont Dyn Sys series B, 22, 3127-3144 [28] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2018), Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and admissibility , Act Math Vie., 43, 415-432 [29] J Hadamard (1901), Sur l’int†ration et les solutions asymptotiques des equations diff†rentielles , Bulletin de la Soci†t† Math†matique de France, 29, pp 224-228 [30] O Perron (1929), Uber stabilitat und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen , Math Zeit., 29, pp 129-160 [31] O Perron (1930), Die stabilitatsfrage bei differentialgleichungen , Mathe-matische Zeitschrift, 32, pp 703-728 [32] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1961), Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations , Translated from the second revised Russianedi-tion, International Monographs on Advanced Mathematics and Physics, Gordon and Breach Science Publishers, New York 102 [33] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), The method of integral manifolds in nonlinear mechanics , Contr Diff Equ., 2, pp.123-196 [34] N.T Huy (2009), Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line , J Math Anal Appl 354, pp 372-386 [35] N.T Huy (2009), Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations , J Diff Equ., 246, pp 1820-1844 [36] N.T Huy, T.V Duoc (2014), Integral manifolds for partial functional dif-ferential equations in admissibility spaces on a half-line , J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [37] N.T.Huy, P.V.Bang (2012), Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations , Semigroup Forum, 84, 216-228 [38] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2014), Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past Appl Anal Disc Math., 8, 224 - 242 [39] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2015), Invariant Stable Manifolds for Partial Neu-tral Functional Differential Equations in Admissible Spaces on a Half-line , Disc Cont Dyn Syst series B, 20, 2993 3011 [40] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2017), Unstable manifolds for partial neutral differ-ential equations and admissibility of function spaces , Act Math Vie., 42, 187 207 [41] Trành Vi‚t D÷ỉc (2014), a t⁄p t‰ch ph¥n v d¡ng i»u ti»m c“n nghiằm ca mt s lợp phữỡng tnh tin hõa , Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, Trữớng HKHTN- HQG H Ni, H Ni [42] Trnh XuƠn Yn (2021), Tnh chĐt nh tnh ca nghiằm mt s lợp cĂc phữỡng trnh câ tr„ v trung t‰nh , Lu“n ¡n Ti‚n s¾ To¡n håc, Tr÷íng H B¡ch khoa H Nºi, H Nºi [43] K.J Engel, R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evo-lution Equations , Graduate Text Math., 194, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 103 [44] K.J Engel (1999), Spectral theory and generator property of onesided cou-pled operator matrices" Semigroup Forum, 58, pp 267 - 295 [45] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications , 88, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin [46] N.T.Huy (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admis-sibility of function spaces on a half-line , J Func Anal., 235, 330354 [47] J.J Massera, J.J Schaffer (1966), Linear Differential Equations and Func-tion Spaces , Academic Press, New York [48] F Rabiger, R Schnaubelt (1996), The spectral mapping theorem for evo-lution semigroups on spaces of vector-valued functions , Semigroup Forum, 48, 225 - 239 [49] Triebel H (1978), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Op-erators , North-Holland [50] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay , Lect Notes Math., 1473, Springer, Berlin [51] J Hale, J Kato (1978) Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac, 21, pp 11-41 [52] J.H Liu (2000), Periodic Solutions of Infinite Delay Evolution Equations , J Math Anal Appl., 247, pp 627-644 [53] O Perron (1930), Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen Math Z., 32, 703-728 [54] J.L Massera, J.J Schaffer (1958), Linear differential equations and func-tional analysis, I , Ann of Math., 67, pp 517-573 [55] J.L Massera, J.J Schaffer (1959), Linear differential equations and func-tional analysis, II , Ann of Math., 69, 88-104 [56] Ju L Daleckii, M G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces" Transl Amer Math Soc Provindence RI ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ... mºt Lu“n ¡n vła ÷ỉc cổng b mợi Ơy trản cng thổng tin o to cıa tr÷íng ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi (xem [42])  chứng minh sỹ tỗn ti a n nh, khổng n nh, a tƠm ca phữỡng trnh tin hâa trung t‰nh xung quanh... Chóng tỉi luổn gồi M l khổng gian Banach tữỡng ứng vợi khổng gian h m Banach chĐp nhn ữổc M Ngo i ra, lu“n ¡n n y, ” chøng minh sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm tun ho n ca phữỡng trnh tin hõa trung tnh