Tích phân hàm ẩn

MỘT SỐ BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu Cho hàm số f(x) với x x R Mệnh đề n|o đ}y đúng? A f(3) B f(3) R, f(0) f(x) C f(3) x 1f '(x) với D f(3) Lời giải f(x) x f '(x) f(x) 1.f '(x) ln f(x) x Mà f(0) x f '(x) dx f(x) 1 x dx C nên ln f(0) Như ln f(x) 2 x 1 C C ln f(3) 2 e2 Theo giả thiết f(x) f(3) nên e2 ta f(3) Chọn đ{p {n D Câu Cho hàm số y f' x P 2x f 1f f có đạo hàm liên tục khoảng , f' x x 0, x 0; , biết Tính giá trị f f 2019 2020 2019 A P f x B P 2019 2020 2018 2019 C P D P 2021 2020 Lời giải f '(x) (2x 1)f 2(x) Suy f(x) x2 Do f(2) f '(x) x f 2(x) 22 x2 f '(x) f 2(x) dx ( 2x 1)dx C 1 nên f(2) Hay ta f(x) 2x x C C C GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Ta tính P 1.2 2.3 2019.2020 2020 2019 Chọn đ{p {n B 2020 Câu Cho hàm số f x thỏa mãn f " x f x P f' x f x 2x 3, x R, f f' Tính giá trị D P f3 11 A P B P C P 23 Lời giải f ''(x)f 2(x) 2f '2(x)f(x) 2x (f '(x)f 2(x))' 2x Lấy nguyên hàm hai vế ta có f (x)f '(x) ' dx Cho x (2x ta C 3)dx f 2(x)f '(x) x2 3x C Như ta có f (x)f '(x) x2 3x Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế ta f 2(x)f '(x)dx Cho x suy C (x2 3x , f 3(x) 1)dx x3 f 3(x) x 3x x3 3x2 f 3(2) x C Chọn đ{p {n C Câu Cho hàm số f x x Giá trị f dương thỏa mãn f e x2f x f x f x , GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 A e C e2 B e D e Lời giải f '(x)(x2 1) ln x ln f(x) Do f(x) f '(x) f(x) f(x) 1 x ln x nên ln f(2) 1 ln1 f '(x) dx f(x) C Cho x ln 1 x C dx 1 ln 2 f(2) e.3 e Chọn đ{p {n D Câu Cho hàm số y f f x liên tục thỏa mãn f ' x 2x.f x e x2 , x Tính f A f e2 e B f 1 C f e2 e D f Lời giải Từ giả thiết suy ex f '(x) Mà f(0) C 2xex f(x) Do ex f(x) (ex f(x))' x ef(1) e x f(x) 1 x C e f(1) Chọn đ{p án D Câu Cho hàm số f x liên tục v| có đạo hàm khoảng 0; f x tan xf x a, b A x cos x Giá trị biểu thức P 14 B 3f Biết a f a , thỏa mãn b ln , b C D Lời giải Từ giả thiết ta có cos xf(x) sin xf '(x) x cos x (sin xf(x))' x cos x GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Nguyên hàm hai vế ta có x sin xf(x) cos x suy C Cho x Do sin xf(x) Với x Với x x tan x sin f 6 f Khi a b xd(tan x) Cho x tan x tan xdx x tan x ln cos x sin f 3 3f Do Câu dx ln cos x tan 6 tan ln cos ln cos 3 f 6 ln f ln ln 3 18 ln ln ln Chọn đ{p {n D hàm số f x liên tục có đạo hàm thỏa mãn f' x 2f x f 1, x Tính tích phân f x dx A C e 4e2 B D 4e e2 Lời giải f '(x) 2f(x) e2x f(x) 2x Hay e f(x) e2x e2x e2x f '(x) C Cho x f(x) 2.e2x f(x) e2x e e2x ta có C (e2x f(x))' 2x GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 C 1 1 f(x)dx 0 e 2x x dx e 2x 1 4e2 4e2 Chọn đ{p {n B thỏa mãn đẳng thức f ' x cos x.e cos x , x sin x.f x 2e f x Biết f Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0; 0; Tính I f x dx (l|m tròn đến phần trăm) A I 6, 55 B I C I 10, 31 f '(x) s inx.e 17, 30 D I 16, 91 Lời giải Ta nh}n để đạo h|m f '(x) cos x.ecos x sin xf(x) cos x f(x) ' Suy e cos x e cos x e cos x f(x) s inx+C Cho x Như ta f(x) sin xe cos x 2e cos x Bấm m{y ta I f(x)dx (sin xecos x 2ecos x )dx cos x f(x) cos x ta C 10, 31 Chọn đ{p {n C Câu 3x2 f' x A Cho hàm số y f A A f 2x e f x , f x liên tục, có đạo hàm 1; Biết x 1; , f(0) biểu e Tính giá trị thức B A e C A D A x3 x2 Lời giải Từ giả thiết ta có f '(x)ef(x) 3x2 2x (ef(x))' 3x2 2x ef(x) C GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Vậy A Câu f Ta có ef( nên C Do f(0) f(0) 10 f( 1) Cho f ( 1) 1 f( 1) đoạn 0;4 với x 0;4 0 Chọn đ{p {n C f x số liên tục thỏa mãn 2x f 0 hàm f x x f x 1) f x f x Biết , giá trị f C e2 B e3 A 2e D e2 Lời giải Từ giả thiết có f '(x) f ''(x)f(x) f(x) f '(x) f(x) 1)3 (2x ' (2x 1)3 Lấy nguyên hàm hai vế ta f '(x) f(x) 2x dx 2x 1 Tiếp tục tích phân hai vế v| ý điều kiện f(x) Cho x f '(x) Ta có f(x) suy C f '(x) dx f(x) Suy ln f(x) Hay ln f(x) 2x 2x 1 2 2x 2x C Cho x Với x 1 dx 2x ta C ln f(4) C C f(4) e2 Chọn đ{p {n D GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Câu 11 Cho hàm số f(x) khơng }m, có đạo h|m đoạn 0;1 thỏa mãn f(1) 2f(x) 1, x f '(x) 2x f(x) , x 0;1 Tích phân f(x)dx A B C D Lời giải Từ giả thiết ta có 2f x f ' x x 2f ' x f' x Lấy nguyên hàm hai vế ta f x Với x suy C Do điều kiện f x x2 nên f x 4x2 x4 2x2 x2 x2 1 f x dx x2dx 0 x2f x Bấm m{y tính ta 2xf x x2 f x x2 2x C x2 1 Chọn đ{p {n C Câu 12 Cho hàm số y ta có f ' x f x x f x có đạo hàm sin 2x f ' x cos x thỏa mãn f với f x sin x Tính tích phân I f x dx A I B I C I 2 D I Lời giải Từ giả thiết ta có f ' x f x sin 2x f ' x cos x f x s inx GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 f2 x Nguyên hàm hai vế ta ta C ' Do f x cos x Vậy I cos xf x cos2 x C C Như ta coi đẳng thức l| phương trình bậc hai ẩn cos2 x f x ta tính cos xf x f2 x Với x cos 2x 2 cos2 x s inx mà f cos2 x sin2 x nên f x cos x s inx f x dx cos x s inx dx Chọn đ{p {n B CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Câu Cho hàm số y f x x2 3x; x x;x 1 Tính I f sin x cos xdx A I f 2x dx 71 B I C I 71 32 D I 32 Lời giải Ta có f(sin x) cos xdx f(sin x)d(s inx) f(t)dt f(x)dx (5 x)dx GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 1 f(3 Mặt khác ta có 2x)dx (x2 2x)d(3 f(t)dt 2x) 3 f(x)dx 62 3x)dx Như I f(3 62 71 Chọn đ{p {n B 2 Câu Cho hàm số y f x liên tục 0; biết f x dx f 2x dx 4 Tính I f x dx A I B I C I D I 10 10 Lời giải Ta có f(2x)d(2x) f(2x)dx 1 Suy I f(x)dx 4 f(t)dt f(x)dx 2 f(x)dx f(x)dx Chọn đ{p {n A Câu Cho f x , g x hai hàm số x{c định liên tục 1; thoả mãn điều kiện 3 f x 3g x dx 2f x 10 , g x dx Tính A g x dx 1 f x B C D Lời giải 3 [f(x) Do 3g(x)]dx 10 [f(x) 3g(x)]dx 30 GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 3 [2f(x) Mặt khác g(x)]dx 1 3 [f(x) [2f(x) g(x)]dx 1 3 [f(x) [2f(x) 3g(x)]dx 12 g(x)]dx g(x)]dx 30 12 Chọn đ{p {n B Câu Cho hàm số y f x liên tục đoạn 1; , thỏa mãn cho hàm số f(4 x) f(x) , x 1; Giá trị xf(x)dx A f(x)dx B C D Lời giải Do xf(x)dx 2 (4 t)f(4 t)d(4 t) 3 (4 t)f(t)dt f(x)dx 3 xf(x)dx (4 x)f(x)dx f(x)dx ( 2) f(x)dx 1 Hay f(x)dx Chọn đ{p {n D Câu Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f 2x 3f x , x Biết f x dx Tính tích phân I A I f x dx B I C I D I Lời giải GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 f(2x) 3f(x) 3 f(x)dx f(2x)dx 1 2 f(2x)d(2x) f(t)dt f(x)dx 2 f(x)dx Từ suy f(x)dx f(x)dx Chọn đ{p {n B Câu Cho hàm số f x f liên tục 16, f x dx Tính I x.f 2x dx B 12 A D 13 C 20 Lời giải Sử dụng phương ph{p tích ph}n phần ta có I xf '(2x)dx 0 1 xf(2x) xd(f(2x)) 2 f(2x)dx Từ suy I f(2) f(2x)d(2x) f(2) f(t)dt 16 4 Chọn đ{p {n A Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1 f x dx 1, f cot1 Tính tích phân I A f x tan2 x thỏa mãn f ' x tan x dx ln cos1 B C D cot1 Lời giải GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Trước tiên ta tính J f(x) tan xdx f(x) 1 cos x dx f(x)dx 0 f(x) cos2 x dx 1 f(x)d(tan x) J 1 f(x) tan(x) tan x.f '(x)dx f(1) tan(1) tan x.f '(x)dx f '(x) tan xdx Suy I J f '(x) tan xdx Chọn đ{p {n B Câu Cho hàm số y trị tích phân I A f(x) liên tục f(x) x2 x ; thỏa mãn f(x) x.f x x3 x Giá dx B 16 C D Lời giải Đặt x Ta có I t 3 f t2 t t t2 dt f 1 t t dt xf x2 x x dx GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Suy I I f(x) x2 x 16 :2 Hay I xf dx x x2 x dx xf x2 x dx x x3 x x2 x dx 16 Chọn đ{p {n A thỏa mãn f 2x Câu Cho hàm số f x liên tục 3f x x, x Biết Tính tích phân I f x dx f(x) f x dx A I B I C I D I Lời giải Do f(2x) 3f(x) x nên f(2x)dx Suy 2 f(2x)d(2x) Do I f(x)dx xdx 2 2 f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx Chọn đ{p {n C Câu 10 Cho hàm số f x thoả mãn 2x ln x xf x dx f Biết với a, b số thực dương Gi{ trị a A 35 b C 11 B 29 D Lời giải GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Từ giả thiết ta suy 3 2x ln(x 1)dx xf '(x)dx xd(f(x)) 3 xf(x) 0 f(x)dx f(x)dx 0 Hay 3 f(x)dx 3 2x ln(x 1)dx ln(x 3 ln x 1 x f(x)dx 9 ln Từ suy a 1)d(x ) ln(x 3, b 32 ln a b dx 3 ln ln x2 x 32 ln 2 ln x a x2 x b ln 35 Chọn đ{p {n A Câu 11 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;2 thảo mãn f(0) 3 1).x f(x)dx 2, 2x Tính I f ' x dx f x dx 0 A I B I C I D I Lời giải Từ giả thiết ta có (2x 4)f '(x)dx (2x (2x Suy 4)d(f(x)) 4f(0) 2 f(x)dx f(x)dx 4f(0) 2 4)f(x) f(x)d(2x 4) 4.2 2 Chọn đ{p {n C GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 dx Câu 12 Cho hàm số chẵn y f x liên tục f 2x 5x 11 dx Giá trị f x dx D 16 C B A Lời giải Đặt x t Do f(x) hàm chẵn nên f(2x) Ta có 1 f( 2t) d( t) t 1 Hay 16 f(2x)dx 1 5x.f(2x) 5x 1 f(2x)d(2x) f( 2x) dx 8 f(2x) 5x 11 f(t)d(t) 2 5x f(2x) dx 5x dx f(x)dx f(x)dx 0 Chọn đ{p {n D thỏa mãn f Câu 13 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục f x f x x 2x 2, x xf x dx Tích phân A B C D 10 Lời giải nên f(0) Do f(0) f(2) 2 xd(f(x)) 2 xf(x) 2 f(x)dx 2f(2) f(x)dx xf '(x)dx xf '(x)dx Trước tiên ta tính Suy f(2) f(x)dx Lấy tích phân hai vế biểu thức cho ta có GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 2 f(x)dx f(2 x2 x)dx 2x dx Suy f(x)dx f(2 x) f(x)dx xf '(x)dx f(t)dt Vậy x)d(2 2 f(x)dx f(x)dx 0 10 Chọn đ{p {n D Câu 14 Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn tan x.f cos2 x dx e2 e f ln2 x x ln x dx Tính f 2x A x dx B C D Lời giải e2 e sin x cos x cos2 x f(cos x)dx f(ln2 x) dx x ln x e2 e f(ln2 x) 2 ln x f(cos2 x) cos2 x d(ln x) 1 2 d(cos x) f(t) dt 2t f(t) dt 2t f(x) dx x 1 f(x) dx x 4 Ta có f(2x) dx x f(2x) d(2x) 2x f(t) dt t f(x) dx x 1 f(x) dx x f(x) dx x 4 Chọn đ{p {n D GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 3 Câu 15 Cho hàm số f x liên tục đoạn 2; thoả mãn f x dx 2019 Tính I x2f x dx A I B I 6057 2019 C I D I 673 2019 Lời giải Ta biến đổi I x f(x 1)dx 1 3 f(x 1)d(x 1) 1 3 2019 f(t)dt 673 Chọn đ{p {n C Câu 16 Cho hàm số y thỏa mãn f f x liên tục v| có đạo hàm 2; Tính tích phân I f x dx f' x dx A I B I C I D I 18 10 Lời giải x Đặt t dx I 2tdt f' x dx tf '(t)dt td f(t) tf(t) 2 f(t)dt 2f(2) f(t)dt Chọn đ{p {n A Câu 17 Cho f x hàm số chẵn, liên tục đoạn 1;1 f x dx Kết 1 I f x 11 e x dx bằng: GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 A I B I C I D I Lời giải f( x) Đặt x Do f(x) hàm chẵn nên f(x) I I dx ex 11 Do I f(x) 1 f(x) ex 11 dx f( t) e t ex f(x) ex 11 t ta có d( t) f(t) 11 e t dt etf(t) 11 et Suy I dt dx f(x)dx Chọn đ{p {n C Cho hàm số f x Câu 18 (2x 3)f(x) dx x A I liên tục 3 Tính I B I Biết ln f ex dx f(x)dx C I D I Lời giải Đặt ex ln f(e x t ex dx 1)dx Mặt khác ta có dt f(x)dx 2 f(x) dx x 3)f(x) dx x Từ dễ dàng suy f(t) dt t (2x dt t dx 2 f(x)dx f(x) dx x f(x)dx Chọn đ{p {n B GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Câu 19 Cho hàm số f x thỏa mãn x 10 2f(1) f ' x dx f(0) Tính D I 12 I f x dx A I B I C I 12 Lời giải 10 x f ' x dx x d f x x Suy 10 2f f 1 f x f x dx I f x d x 1 f x dx 10 Chọn đ{p {n A Câu 20 Cho hàm số f(x) liên tục v| có đạo h|m đoạn [0; 5] thỏa mãn A xf '(x)ef(x)dx 8; f(5) f(x) e dx ln Tính I B 33 33 C 17 D 17 Lời giải Từ giả thiết ta có xd e f x xe f x Từ suy 5.5 e f x 5 dx e f x e f x dx 5e f 5 e f x dx 25 17 Chọn đ{p {n C MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TÍCH PHÂN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho hai hàm số f, g liên tục a, b Ta có b b f x g x dx f a Dấu " b x dx a " xảy f x kg x k g2 x dx a Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 f x dx A sin x cosx f sin x dx Tích phân B C 0, f x dx D Lời giải Từ giả thiết ta có 2 sin x cos xf sin x dx sin xf sinx d sin x Từ suy Do x3 f x d x3 f ' x dx x2f x dx x3 f x x3 f ' x dx x3 f ' x dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích ph}n ta GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 Dấu " Vậy I f x 7x 4 f x dx 0 Câu Cho hàm số y xf x dx A I x3 k dx C Do f dx 63 dx 7x4 f' x C k 21 Chọn đ{p {n A f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 1, x6 dx x3 k k 7x 1 x f ' x dx " xảy f ' x Như f ' x f 3 f' x dx B I Tính tích phân I f x dx C I D I Lời giải Theo ta có 1 xf x dx 0 Suy x2 f x d x2 f x 0 x2 d f x f 2 x2f ' x dx x2f ' x dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Dấu " 2 x f ' x dx " xảy f ' x x kx2 k dx f' x dx 5 GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 1 Do xf x dx x.kx dx x 1 f x dx 0 f x x 15 x 15 11 dx 15 f x dx f x k C f 1 k C 11 15 x 15 f x dx A 11 15 Chọn đ{p {n D f x liên tục 0;2 thỏa mãn c{c điều kiện f Câu Cho hàm số y x 3dx k Suy f ' x Vậy 2 Giá trị f x x2 B C dx bằng: D Lời giải Ta cố gắng đưa biểu thức tích phân chứa f ' x Từ giả thiết ta có 2 xf x f x dx 2 xf ' x dx 2f 2 xf ' x dx xf ' x dx 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có Dấu " 2 xf ' x dx x Vậy nên f x x2 f x dx x dx " xảy f ' x Suy f ' x f ' x dx kx Mặt khác x C Do f 2 x dx x2 3 f x dx kxdx C 2k k Chọn đ{p {n D GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518 GV Cao Bá Duyệt – 0972 523 518