Bài tập trắc nghiệm Ứng dụng của tích phân có đáp án và lời giải

Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.. Tính quãng đường (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳnA[r]

(1)

BÀI TẬP

Dạng1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a x, =b a( <b)

Câu Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox đường thẳng x=a x, =b a( <b)

A ( ) b

a

f x dx

∫ B 2( )

b

a

f x dx

∫ C ( )

b

a

f x dx

∫ D ( )

b

a

f x dx

π∫

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích

A. ( )d ( )d

b c

a b

f x x− f x x

∫ ∫ B. ( )d ( )d

b c

a b

f x x+ f x x

∫ ∫

C. ( )d ( )d

b c

a b

f x x f x x

−∫ +∫ D. ( )d ( )d

b b

a c

f x x− f x x

∫ ∫

Câu Cho hàm số f x( ) liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng?

A. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S =∫ f x x−∫ f x x B. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S = −∫ f x x−∫ f x x

C ( ) ( )

0

d d

d

c d

S = −∫ f x x+∫ f x x D. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S =∫ f x x+∫ f x x

Câu Diện tích hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (a<b)(phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức:

O x

y

c b a

( ) y= f x

O x

y

c d

( ) y= f x

(2)

A ( )d b

a

S =∫ f x x B ( )d ( )d

c b

a c

S= −∫ f x x+∫ f x x C ( )d

b

a

S = ∫ f x x D ( )d ( )d

c b

a c

S=∫ f x x+∫ f x x

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục  có đồ thị ( )C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 (phần tô đen)

A ( ) f x dx

∫ B ( ) ( )

0 f x dx f x dx

−∫ +∫

C ( ) ( ) f x dx− f x dx

∫ ∫ D ( )

0 f x dx

∫

Câu Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S

A ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

=∫ +∫ B ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

=∫ −∫

C ( )

2

1

d

S f x x

−

= ∫ D ( )

2

1

d

S f x x

−

= −∫

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx33x2, trục hoành hai đường thẳng x1, x4

x y

2

3

2 O

O x

y

2

1 −

(3)

A 53

4 B

51

4 C

49

4 D

25

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx43x24, trục hoành hai đường thẳng x0, x3

A 142

5 B

143

5 C

144

5 D

141 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 x y

x  

 , trục hoành đường thẳng x2là

A 3 ln 2 B 3 ln 2 C 3 ln 2 D 3 ln 2

Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=cosx, trục tung, trục hoành đường thẳng x=π

A 3 B 2. C 4 D 1.

Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ycos 2x, trục hoành hai đường thẳng 0,

2 x x

A 2 B 1 C 3 D 4

Câu 12 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =ex +e−x, trục hoành, trục tung đường thẳng x= −2

A

2

e

S = + (đvdt) B

e

S = − (đvdt) C

e

S = − (đvdt) D

2

e

S = − (đvdt) Câu 13 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2, trục hoành Ox, đường thẳng x=1, x=2

A

S= B

3

S= C S =7 D S =8

Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y=x2 x2+1, trục Ox đường thẳng x=1 a b ln(1 b)

c

− +

với a b c, , số nguyên dương Khi giá trị a b c+ +

A 11 B 12 C 13 D 14

Câu 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x y

x + =

− trục tọa độ Ox, Oy ta được: S alnb

c

= − Chọn đáp án đúng

A a+b+c=8 B a>b C a-b+c=1 D a+2b-9=c

Câu 16 Cho parabol ( )P có đồ thị hình vẽ:

O x

y

1

(4)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )P với trục hoành

A 4 B 2 C 8

3 D

4

Câu 17 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=x3+2x+1, trục hoành, x=1 x=2

A 31

S = B 49

4

S= C 21

4

S = D 39

4 S =

Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2 4, đường thẳng x3, trục tung trục hoành

A 22

3 B

32

3 C

25

3 D

23

Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong , trục hoành hai đường thẳng

A B C 201

5 D

201

Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong yxlnx, trục hoành đường thẳng xe

A

1 e 

B

1 e 

C

1 e 

D

1 e  Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số =

y x , trục hoành hai đường thẳng 1x= − , 2x= biết đơn vị dài trục tọa độ cm

A

15 (cm ) B 15

(cm )

4 C

2 17

(cm )

4 D

2 17 (cm ) Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 1lnx

x

= , trục hoành đường thẳng e

x= A 1

2 . B 1 C

1

4 D 2

Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

y=x + −x trục hoành

A 9 B 13

6 C

9

2 D

3 Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường

1

y=x − , x=3 Ox có diện tích

A 8 B 4

3 C

16

3 D

20 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 x y

x + =

+ , trục hoành đường thẳng

x=

A 3 ln 2+ B 3 ln 2+ C 3 ln 2− D 3 ln 2−

Câu 26 Cho hình phẳng H giới hạn đường y= x; y=0; x=4 Diện tích S hình phẳng H

A 16

S = B S=3 C 15

4

S= D 17

3 S =

4 y=x − x

3,

x= − x= 202

3

(5)

Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x=4,x=9 đường cong có phương trình

8 y = x A 76

3 B

152

3 C 76 D

152

Câu 28 Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex, y=0, x=0, x=ln Đường thẳng x=k (0< <k ln 8) chia ( )H thành hai phần có diện tích S1 S2 Tìm k để S1 =S2

A ln9

k = B k =ln C 2ln

3

k= D k=ln

Câu 29 Cho hình phẳng hình vẽ Tính diện tích hình phẳng

A B C D

Câu 30 Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn đường y=x2−2x, y=0, x= −10, 10

x=

A 2000

S = B S=2008 C 2008

3

S= D 2000

Câu 31 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2 +2, x=1, x=2, y=0 A 10

3

S = B

3

S= C 13

3

S = D

3 S =

Câu 32 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y=x2 x2+1, trục Ox đường thẳng x=1 a b ln 1( b)

c

− +

với a, b, c sốnguyên dương Khi giá trị a b c+ +

A 11 B 12 C 13 D 14

Câu 33 Cho hình phẳng giới hạn đường , , , Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích , (hình vẽ)

( )H ( )H

9

ln

2 −

9

ln −2

9

ln

2 +

( )H y=x2 y=0 x=0 x=4

(6)

Tìm để

A B C D

Câu 34 Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( )=ax3+bx2+c, đường thẳng x=1, x=2 trục hồnh (miền gạch chéo) cho hình

A 51

S = B 52

8

S= C 50

8

S= D 53

8 S =

Câu 35 Cho hàm số liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Khẳng định sau sai?

A B

C D

Câu 36 Cho hàm số (với tham số khác ) có đồ thị Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai trục tọa độ Có giá trị thực thỏa mãn ?

A Không B Một C Ba D Hai

Câu 37 Cho hàm số có đồ thị Giả sử cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh Khi thuộc khoảng đây?

k S1 =S2

k= k =4 k =5 k=3

( )

f x 

( ) ( )

0

1

d d

f x x f x x

−

<

∫ ∫ ( ) ( )

1

d d

f x x f x x

−

+ <

∫ ∫

( )

0

d

f x x

−∫ > ( )

0

1

d

f x x

−

<

∫

2 x m y

x − =

+ m ( )C S

( )C m S =1

4

y=x − x +m ( )Cm ( )Cm ( )Cm

m S

O x

y

4 k

16

2 S

O

x y

1

(7)

A B C D

Câu 38 Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị ( )Cm , với m tham số thực Giả sử ( )Cm cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ

Gọi S1, S2, S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Giá trị m để S1+S3 =S2 A

2

− B 5

4 C

5

− D 5

2

Câu 39 Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung đường thẳng đạt giá trị nhỏ Mệnh đề sau đúng?

A B C D

Câu 40 Giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung đường thẳng x = đạt giá trị nhỏ là:

A m = 2. B m = 1. C m = -1. D m = -

Câu 41 Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y= −x , trục hoành đường thẳng x= −2, x=m, (− < <2 m 2) Tìm số giá trị tham số m để 25

3 S=

A 2 B 3 C 4 D 1

Câu 42 Xét hàm số liên tục miền có đồ thị đường cong Gọi phần giới hạn đường thẳng , Người ta chứng minh độ dài đường cong Theo kết trên, độ dài đường cong phần đồ thị hàm số

bị giới hạn đường thẳng , với , giá trị bao nhiêu?

A B C D

Câu 43 Xét hàm số y= f x( ) liên tục miền D=[ ]a b; có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x=a, x=b Người ta chứng minh diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành xoay S quanh Ox ( ) ( ( ))2d

b

a

S = π∫ f x + f′ x x Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối tròn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

( ) 2 ln

x x

f x = − đường thẳng x=1, x=e quanh Ox ( 1;1)

m∈ − m∈( )3;5 m∈( )2;3 m∈(5;+ ∞)

2

3

y= x + mx+m +

x= ( 4; 1)

m∈ − − m∈( )3;5 m∈( )0;3 m∈ −( 2;1)

2

3

y= x + mx+m +

( ) =

y f x D=[ ]a b, C S

C x=a x=b

S ∫ 1+( ′( ))2d b

a

f x x S

( )=ln

f x x x=1 x= m− m+ln1+ m

n m n∈

2− +

m mn n

(8)

A

2

8 e

π −

B

4

64 e

π −

C

4

4 16

16

e e

π

+ +

D

4

16 e

π −

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), ( ), , y=g x x=a x=b

Câu 44 Cho hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục [ ]a b; Gọi ( )H hình giới hạn hai đồ thị y= f x( ), y=g x( ) đường thẳng x=a, x=b Diện tích hình ( )H tính theo cơng thức:

A ( ) d ( ) d

b b

H

a a

S =∫ f x x−∫ g x x B ( ) ( )d

b H

a

S =∫ f x −g x x

C ( ) ( ) d

b H

a

S = ∫f x −g x  x D ( ) ( ) d b

H a

S =∫f x −g x  x

Câu 45 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hai hàm số f x1( ) f2( )x liên tục đoạn [ ]a b; hai đường thẳng x=a, x=b (tham khảo hình vẽdưới) Cơng thức tính diện tích hình ( )H

A 1( ) 2( )d b

a

S =∫ f x − f x x B ( 1( ) 2( ))d

b

a

S =∫ f x − f x x C 1( ) 2( )d

b

a

S =∫ f x + f x x D 2( )d 1( )d

b b

a a

S=∫ f x x−∫ f x x

Câu 46 Cho hàm số y= f x( ) liên tục  thỏa mãn f ( )0 < <0 f( )−1 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=0, x= −1 x=1 Xét mệnh đề sau

(I) ( ) ( )

0

1

d d

S f x x f x x

−

= ∫ +∫ (II) ( )

1

d

S f x x

−

= ∫

(III) ( )

1

d

S f x x

−

=∫ (IV) ( )

1

1 d

S f x x

−

= ∫

Số mệnh đề

A 1 B 4 C 2 D 3

Câu 47 Cho hàm số f x( ) liên tục [ ]1; Gọi ( )D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), y=0, x=1 x=2 Cơng thức tính diện tích S ( )D công thức công thức đây?

A ( )

2

1

d

S =∫ f x x B ( )

2

d

S=∫ f x x C ( )

2

1

d

S=∫ f x x D ( )

2

d S =π∫ f x x

O x

y

a c1 c2 b

( ) f x

(9)

Câu 48 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y=0, y= x, y= −x

A 8

π

B 16

3 π

C 10π D 8π

Câu 49 Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol

y=x , đường thẳng y= − +x trục hoành đoạn [ ]0; (phần gạch sọc hình vẽ)

A 3

5 B

5

6 C

2

3 D

7

Câu 50 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x2 x 2, y x 2và hai đường thẳng x 2; x3 Diện tích (H)

A 87

5 B

87

4 C

87

3 D

87 Câu 51 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

4

( ) :

1

x x

C y

x    

 , tiệm cận xiêm ( )C hai đường thẳng x0,xa a ( 0) có diện tích Khi a

A 1e5 B 1e5 C 1 2e D 1 2e

Câu 52 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y=sinx, y=cosx đường thẳng

x= , x= π ?

A B 2 C −2 D 3

Câu 53 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x y =ex, trục tung đường thẳng x=1 tính theo cơng thức:

A

0

ex d

S =∫ − x B ( )

1

0

ex d

S=∫ −x x C ( )

1

0

ex d

S=∫ x− x D

1

ex d

S x x

−

= ∫ − Câu 54 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=ex, y=2, x=0, x=1

A S =4 ln e 5+ − B S=4 ln e 6+ − C S =e2−7 D S = −e Câu 55 Tìm a để diện tích S hình phẳng giới hạn ( )

2

: ,

1

x x

P y x

− =

− đường thẳng

:

d y= −x x=a, x=2a (a>1) ln ?

(10)

Câu 56 Biết diện tích hình phẳng giới đường y=sinx, y=cosx, x=0, x=a( với ;

4 a∈ π π

  ( )

1

3

2 − + − Hỏi số a thuộc khoảng sau đây? A 7,1

10

 

 

  B

51 11 , 50 10

 

 

  C

11 ; 10

 

 

  D

51 1,

50

 

 

 

Câu 57 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= x2, y=0, x=0, x=4 Đường thẳng y=k (0< <k 16) chia hình ( )H thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ)

Tìm k để S1 =S2

A k=8 B k =4 C k=5 D k=3

Câu 58 Cho hai hàm số y= f x( ) y= g x( ) liên tục đoạn [ ]a b; với a<b Kí hiệu S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y=3f x( ), y=3g x( ), x=a, x=b; S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( )−2, y=g x( )−2, x=a, x=b Khẳng định sau đúng?

A S1=2S2 B S1=3S2 C S1=2S2−2 D S1=2S2+2 Dạng3:Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), ( )y=g x

Câu 59 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y 2 x2 đường thẳng y x A 7

2 B

9

4 C 3 D

9

Câu 60 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2 y= x là: A

6 π

B 1

6 C

5

6 D

1 − Câu 61 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x

y x A

12 B

1

13 C

1

14 D

1 15 Câu 62 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y2x33x21

3

4

yx  x  x A 37

13 B

37

12 C 3 D 4

Câu 63 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn ( )

:

P y= x − , tiếp tuyến ( )P ( )2;

M trục Oy

1 S

O x

y

4 k

16

(11)

A

S = B S =2 C

3

S = D

3 S =

Câu 64 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  1 ex x y,   1 e x Diện tích (H)

A e

B 2 e

C 2 e

D e Câu 65 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số

1 ,

y x  y x  Diện tích (H)

A 71

3 B

73

3 C

70

3 D

74 Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng , x

2, x>1 x

y x

 

  





2 10

3

y xx a

b Khi a2bbằng

A 16 B 15 C 17 D 18

Câu 67 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số

4 ,

y x  x y x Diện tích (H)

A 108

5 B

109

5 C

109

6 D

119

Câu 68 Diện tích hình phẳng giới hạn ( ) :P yx23, tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ

x trục tung A 8

3 B

4

3 C 2 D

7 Câu 69 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2,

3

y= − x+ trục hoành A 11

6 B

61

3 C

343

162 D

39

Câu 70 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y= 3x2, cung trịn có phương trình

2

4

y= −x (với 0≤ ≤x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A 4 12 π+

B 4

6 π −

C 4 3

6

π+ −

D 5

3 π −

Câu 71 Gọi S diện tích giới hạn đường:

2 y 3x y mx  = 

=

 Tìm m để diện tích S=4?

O x

y

(12)

A m=6 B m=-6 C m=±6 D Không tồn m Câu 72 Cho (P) y=x2+1 (d)y=mx+2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) (d) đạt giá trị nhỏ ?

A 1

2 B

3

4 C 1 D 0

Câu 73 Với giá trị m diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) :P y= − +x2 2x

( )

( ) :d mx m<0 27 đơn vị diện tích

A m= −1 B m= −2 C m∈∅ D m∈

Câu 74 Tích diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) hình sau

A

S = B 10

3

S = C 11

3

S= D

3 S= Câu 75 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3

y= − +x x+ đường thẳng y=5 A 5

4 B

45

4 C

27

4 D

21

Câu 76 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đường y= 2x; y=2x−2 trục hồnh Tính diện tích ( )H

A 5

3 B

16

3 C

10

3 D

8 Câu 77 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x −x đồ thị hàm số

y= −x x

A S =13 B 81

12

S = C

4

S= D 37

12 S = Câu 78 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ):

1 x

H y

x − =

+ trục tọa độ Khi giá trị S

A S =ln 1− (đvdt) B S=2 ln 1− (đvdt) C S=2 ln 1+ (đvdt) D S =ln 1+ (đvdt) Câu 79 Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y= − +x3 12x y= −x2

A 343 12

S = B 793

4

S= C 397

4

S= D 937

12 S =

Câu 80 Cho ( )H hình phẳng giới hạn ( )C :y= x, y= −x trục hồnh (hình vẽ) Diện tích ( )H

x y

g x( ) = x

f x( ) = x 4 2

(13)

A 10

3 B

16

3 C

7

3 D

8

Câu 81 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x tiếp tuyến với đồ thị ( )4,

M trục hoành A 8

3 B

3

8 C

1

3 D

2 Câu 82 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2 y= +x

A S =9 B

4

S= C

2

S= D

9 S= Câu 83 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường

4

y= x − x+ , y= +x (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A 37

2 B

109

6 C

454

25 D

91

Câu 84 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=2x2 y=5x−2 A

4

S= B

8

S= C

8

S= D

4 S= Câu 85 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x y2, =x

A

S = B

6

S = C

3

S = D

2 S =

Câu 86 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=e, y=ex y= −(1 e)x+1 (tham khảo hình vẽ bên)

O x

y

( )C

d 2

4

O x

y

1

3

e y=

ex y=

O x

1 e

(14)

Diện tích hình phẳng ( )H A e

2

S = + B e

2

S= + C e

2

S = − D e

2 S = + Câu 87 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y=x2−2x đường thẳng y=x

A 9

2 B

11

6 C

27

6 D

17 Câu 88 Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn đường parabol

2 y=ax −

4

y= − ax có diện tích 16 Giá trị a

A 2 B 1

4 C

1

2 D 1

Câu 89 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y =x3 y=x5bằng

A 0 B 4 C 1

6 D 2

Câu 90 Cho hình ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2−4x+4, đường cong y=x3 trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích S hình ( )H

A 11

S = B

12

S = C 20

3

S = D 11

2 S = − Câu 91 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ln(x+1), đường thẳng y=1 trục tung (phần tô đậm hình vẽ)

Diện tích ( )H

A e 2− B e 1− C 1 D ln

Câu 92 Hình phẳng ( )H giới hạn parabol 12 x

y= đường cong có phương trình

4 x

(15)

A ( )

2

3 π+

B 4

6 π +

C 4

6 π +

D 4

3 π+

Câu 93 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình trịn ( )C :x2+y2 =8 parabol ( )

2 ;

2 x

P y= chia

hình trịn thành hai phần Gọi S1 diện tích phần nhỏ, S2 diện tích phần lớn Tính tỉ số S S ?

A

3

9

S S

π π

+ =

− B

1

3

9

S S

π π

− =

+ C

1

3

9

S S

π π

+ =

+ D

1

3

9

S S

π π

+ =

− Câu 94 Tính diện tích hình phẳng giới han đường

A B C D

Câu 95 Tính diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường tròn y= 2−x2 đường thẳng d qua hai điểm A(− 2;0) B( )1;1 ( phần tô đậm hình vẽ)

A 2 π +

B 3 2

4 π+

C 2

4 π −

D 3 2

4 π −

Câu 96 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol

2

y= x đường Elip có phương trình

2

x y

+ = (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A 2 π+

B 2

3 π

C

4 π+

D 3

4 π

2

y=x − y= − x 13

3

7

3

(16)

Câu 97 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= x2−1 y=k, 0< <k Tìm k để diện tích hình phẳng ( )H gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc

trong hình vẽ bên

A k= 34. B k= 32 1.− C

2 k =

D k= 34 1.−

Câu 98 Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục đoạn [−3;3] Biết diện tích hình phẳng S1, S2 giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng y= − −x M , m Tính tích phân ( )

3

d f x x

−∫

A 6+ −m M B 6− −m M C M − +m D m−M −6 Câu 99 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đường cong y= x nửa đường trịn có phương trình y= 4x x− (với 0≤ ≤x 4) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A 4 15 24 π+

B 8

6 π−

C 10

6 π−

D 10 15

6 π−

O

x y

(17)

Câu 100 Cho hình phẳng D giới hạn parabol 2

y= − x + x, cung trịn có phương trình

16

y= −x , với (0≤ ≤x 4), trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D

A 8 16

π − B 2 16

3

π− C 4 16

3

π+ D 4 16

3 π − Câu 101 Cho Parabol ( )

:

P y=x hai điểm A, B thuộc ( )P cho AB=2 Diện tích hình phẳng giới hạn ( )P đường thẳng AB đạt giá trị lớn

A 2

3 B

3

4 C

4

3 D

3 Câu 102 Cho hàm số

4

2

2 x

y= − m x + Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm sốđã cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 64

15

A ∅ B { }±1 C 2;

2

 

± ± 

 

 

  D

1 ; ± ±      Câu 103 Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn (O R; ) (O R′; ), OO′ =4R Trên đường tròn

(O R; ) lấy hai điểm A, B cho AB=a Mặt phẳng ( )P qua A, B cắt đoạn OO′ tạo với đáy góc 60°, ( )P cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện

A

3 R

π

 

+

 

  B

2

3 R

π

 

−

 

  C

2

3 R

π

 

+

 

  D

2

4

3 R

π   −      

Câu 104 Cho parabol ( )P :y=x2và đường thẳng d thay đổi cắt ( )P hai điểm A, B cho AB=2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( )P đường thẳng d Tìm giá trị lớn

max

S S A

3 2018

6 max

S = + B

3 2018

3 max

S = C

3 2018

6 max

S = − D

3 2018 = max S

Câu 105 Cho parabol hai điểm , thuộc cho Tìm giá trị lớn diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng

A B C D

( )

:

P y=x A B ( )P AB=2

( )P AB

3 3 O x y 4 16 y= −x

2

(18)

Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường cong (>2 đường cong)

Câu 106 Cho parabol ( )P :y=x2+2 hai tiếp tuyến ( )P điểm M(−1;3) N( )2;6 Diện tích hình phẳng giới hạn ( )P hai tiếp tuyến

A 9

4 B

13

4 C

7

4 D

21

Câu 107 Cho ( )H hình phẳng tơ đậm hình vẽvà giới hạn đường có phương trình 10

3

y= x−x ,

2

x x

y

x x

− ≤



=  − >

 Diện tích ( )H bằng?

A 11

6 B

13

2 C

11

2 D

14

Câu 108 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −x nửa đường tròn 2

1 x +y = bằng?

A π −

B

2 π−

C

2 π −

D

4 π −

Câu 109 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2x,

y=x , y=1 miền x≥0,y≤1

A 1

2 B

1

3 C

5

12 D

2 Câu 110 Cho hình phẳng giới hạn đường

4

y= −x , y=2, y=x có diện tích

S = +a bπ Chọn kết quảđúng:

A a>1, b>1 B a b+ <1 C a+2b=3 D 2

4

a + b ≥ Câu 111 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2 27

; ;

27

y x y x y

x

  

A 27 ln B 27 ln C 28 ln D 29 ln

Câu 112 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol

6 12

y=x − x+ tiếp tuyến điểm A( )1; B(−1;19)

A 1

3 B

2

3 C

4

3 D 2

Câu 113 Diện tích hình phẳng giới hạn bởiy=2x;

y=x ;y=1 miềnx≥0; y≤1 A 1

3 B

1

2 C

5

12 D

2

O x

1 −

1

(19)

Câu 114 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng ,

y x y x đồ thị hàm số yx3 a

b Khi a b

A 68 B 67 C 66 D 65

Câu 115 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y1,y x đồ thị hàm số

2 x y miền x0,y1là a

b Khi b a

A 4 B 2 C 3 D 1

Câu 116 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )P :y=x2−4x+5 tiếp tuyến ( )P A( )1; B( )4;5

A 9

4 B

4

9 C

9

8 D

5

Câu 117 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, y=1,

y= −x A e

2

S = − B e

2

S = − C e

2

S = + D e

2 S = +

Câu 118 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y=8x , y= x đồ thị hàm số y= x3 phân số tối giản a

b Khi a b+

A 62 B 67 C 33 D 66

Câu 119 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−4x+3 ( )P tiếp tuyến kẻ từ điểm 3;

2 A − 

  đến đồ thị ( )P Giá trị S

A 9 B 9

8 C

9

4 D

9

(20)

A b=3 4a. B b= 32a. C 3

b= a D

6 b= a

Câu 121 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 4x trục hoành Hai đường thẳng y=m y=n chia ( )H thành phần có diện tích (tham khảo hình vẽ)

Giá trị biểu thức ( ) (3 )3

4

T = −m + −n A 320

9

T = B 75

2

T = C 512

15

T = D T =450

Câu 122 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x2, x

y = , y 27 x = A 63

8 B

63 27 ln

8

− C 27 ln D 27 ln 63

4

−

Câu 123 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường y=(x−3)2, trục tung trục hoành Gọi

k , k2 (k1>k2) hệ số góc hai đường thẳng qua điểm A( )0;9 chia ( )H làm ba phần có diện tích Tính k1−k2

A 13

2 B 7 C

25

4 D

27

Câu 124 Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị ( )d1 :y=2x−2, ( )2 :

2 x

(21)

A 189 16

S = B 13

3

S= C 487

48

S= D 27

4 S = Dạng5:Diện tích S giới hạn đường:

- Đồ thị x=g y( ), x=h y( ), h y( ) liên tục đoạn [ ]c d,

- Hai đường thẳng x=c x, =d ( ) ( )

d

c

S =∫ g y −h y dy

Câu 125 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y22y x 0, x y A 9

4 B

9

2 C

7

2 D

11 Câu 126 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau

A 8

3 B

11

3 C

7

3 D

(22)

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH

1 Diện tích hình phẳng

a)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn  a b; , trục hoành

hai đường thẳng xa, xb xác định: ( )

b

a

S f x dx

b)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục đoạn  a b;

hai đường thẳng xa, xb xác định: ( ) ( )

b

a

Sf x g x dx

Chú ý:

- Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số f x( ) khơng đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g y( ), xh y( ) hai đường thẳng yc,

yd xác định: ( ) ( )

d

c

S g y h y dy

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x( ), ( ), , y g x xa xb ( ) ( )

b

a

S f x g x dx Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình f x( )g x( ) (1)

+) Nếu (1) vơ nghiệm  ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a b; giả sử   ( ) ( )  ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx



   

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f x( )g x( ) đoạn  a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân

 =

 =

 

=   = 

1

2

( ) : ( )

( )

C y f x

H

x a x b

( )C

2

( )C

1( ) 2( )

b

a

S =∫ f x − f x dx

a c1 y

O c2 b x

 =  =   =   = 

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1 c2

= ( ) y f x y

O c3 b x

( ) b

a

(23)

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x( ), ( )y g x S f x( ) g x dx( )

 

  Trong  , nghiệm nhỏ lớn

nhất phương trình f x( ) g x( ) a    b Phương pháp giải toán

Bước Giải phương trình f x( ) g x( ) tìm giá trị  , Bước Tính S f x( ) g x dx( )

 

  trường hợp

HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường

thẳng x=a x, =b a( <b)

Câu Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox đường thẳng x=a x, =b a( <b)

A. ( ) b

a

f x dx

∫ B. 2( )

b

a

f x dx

∫ C. ( )

b

a

f x dx

∫ D. ( )

b

a

f x dx

π∫

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích

A. ( )d ( )d

b c

a b

f x x− f x x

∫ ∫ B. ( )d ( )d

b c

a b

f x x+ f x x

∫ ∫

C. ( )d ( )d

b c

a b

f x x f x x

−∫ +∫ D. ( )d ( )d

b b

a c

f x x− f x x

∫ ∫

Ta có f x( )≥ ∀ ∈0 x [ ]a; b f x( )≤ ∀ ∈0 x [ ]b c; nên diện tích hình phẳng ( )d ( )d

b c

a b

f x x− f x x

∫ ∫

Câu Cho hàm số f x( ) liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng?

O x

y

c b a

(24)

A. ( ) ( )

d d

d

c d

S =∫ f x x−∫ f x x B. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S = −∫ f x x−∫ f x x

C. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S = −∫ f x x+∫ f x x D. ( ) ( )

0

d d

d

c d

S =∫ f x x+∫ f x x

Ta có ( )

0

d c

S =∫ f x x ( ) ( )

0

d d

d

c d

f x x f x x

=∫ +∫

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f x( )≥0 với x∈[ ]c d; f x( )≤0 với x∈[ ]d;

Do ( )d ( )d

d

c d

S =∫ f x x−∫ f x x

Câu Diện tích hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (a<b)(phần tơ đậm hình vẽ) tính theo công thức:

A. ( )d

b

a

S =∫ f x x B. ( )d ( )d

c b

a c

S= −∫ f x x+∫ f x x

C. ( )d

b

a

S = ∫ f x x D. ( )d ( )d

c b

a c

S=∫ f x x+∫ f x x

Hướng dẫn giải Chọn B

Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có:

( )d ( ) d ( ) d ( )d ( )d

b c b c b

a a c a c

S =∫ f x x=∫ − f x  x+∫f x −  x= −∫ f x x+∫ f x x

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục  có đồ thị ( )C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 (phần tô đen)

O x

y

c d

(25)

A. ( ) f x dx

∫ B. ( ) ( )

0 f x dx f x dx

−∫ +∫

C. ( ) ( ) f x dx− f x dx

∫ ∫ D. ( )

0 f x dx

∫

Hướng dẫn giải Chọn C

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: x∈( )0;1 f x( )>0, x∈( )1; f x( )<0 Vậy S = ( ) ( )

0 f x dx− f x dx

∫ ∫

Câu Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S

A. ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

=∫ +∫ B. ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

=∫ −∫

C. ( )

2

1

d

S f x x

−

= ∫ D. ( )

2

1

d

S f x x

−

= −∫

Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x= −1 đến x=1 trục hoành → mang dấu dương

⇒ 1 ( )

1

d

S f x x

−

= +∫

Miền hình phẳng giới hạn từ x=1 đến x=2 ởdưới trục hoành → mang dấu âm

⇒ 2 ( )

1

d S = −∫ f x x

Vậy ( ) ( )

1

d d

S f x x f x x

−

= ∫ −∫

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x33x2, trục hoành hai đường thẳng x1, x4

A. 53

4 B.

51

4 C.

49

4 D.

25

Hướng dẫn giải Ta có x33x2    0 x [1; 4]

Khi diện tích hình phẳng

x y

2

3

2 O

O x

y

2

1 −

(26)

3

4

3 3 3

1 1 3

27 51

3 ( ) ( )

4 4

x x

S  x  x dx x  x dx  x  x dx   x   x    

   

  

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x4 3x24, trục hoành hai đường thẳng x0, x3

A. 142

5 B.

143

5 C.

144

5 D.

141

Hướng dẫn giải Ta có x43x2    4 x [0;3]

Khi diện tích hình phẳng

3

4 4

0

2

5

3

0

3 ( 4) ( 4)

48 96 144

4

5 5 5

S x x dx x x dx x x dx

x x

x x x x

        

   

   

           

   

  

Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x y

x

 

 , trục hoành đường thẳng

2 x

A. ln 2 B. ln 2 C. ln 2 D. ln 2

Hướng dẫn giải

Ta có x    1 x nên  

2 2

1

1 ln ln

2

x

S dx dx x x

x x 

 

 

  

         

   

 

Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=cosx, trục tung, trục hoành đường thẳng x=π

A. 3 B. 2. C. 4 D. 1.

Hoành độgiao điểm đồ thị hàm số y=cosx trục hồnh nghiệm phương trình cos

2

x= ⇔ =x π +kπ Xét [ ]0;π suy x=π

Diện tích hình phẳng cần tính

0

2

cos d cos d

S x x x x

π

=∫ −∫ =

Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ycos 2x, trục hoành hai đường thẳng 0,

2 x x

A. B. C. D.

Ta có cos 0;

4

x    x        Nên

2 4

0 0

4

1

cos cos cos sin sin

2

S x dx xdx xdx x x

    

 

   

   

        

   

  

(27)

A.

4

e

S = + (đvdt) B.

4

e

S = − (đvdt) C.

2

e

S = − (đvdt) D.

4

e

S = − (đvdt)

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

2

ex e x d

S − x

−

= ∫ + ( )0

2 ex e−x

−

= −

2 e

e

= − e4 2

e −

= (đvdt)

Câu 13 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2, trục hoành Ox, đường thẳng x=1, x=2

A.

S= B.

3

S= C. S =7 D. S =8

Diện tích hình phẳng

2

d S=∫ x x

2 d x x =∫ 3 x

=

3

= −

3

=

Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y=x2 x2+1, trục Ox đường thẳng x=1 ln(1 )

a b b

c

− +

với a b c, , sốnguyên dương Khi giá trị a b c+ +

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

Ta có

( )

1

2

0

1

3 2

0

2

1d ( )d

( ) 1(3 1)d

2 1d

S x x x x x x

x x x x x x

S x x

= + = + + = + + − + + = − − + ∫ ∫ ∫ ∫

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân phần để tính

2

1d

T =∫ x + x a=3,b=2,c=8 Câu 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 x y x + =

− trục tọa độ Ox, Oy ta

được: S alnb

c

= − Chọn đáp án đúng

A. a+b+c=8 B. a>b C. a-b+c=1 D. a+2b-9=c

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh ( -1;0) Do đó:

Câu 16 Cho parabol ( )P có đồ thịnhư hình vẽ:

O x

y

1

(28)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )P với trục hoành

A. B. C.

3 D.

4 26T

Hướng dẫn giải 26T

Chọn D 26T

Từđồ thịta có phương trình parabol 26T

4

y=x − x+ 26T

Parabol ( )P cắt Ox hai điểm có hoành độ x=1, x=3 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( )P với trục hồnh ta có

3

4 d

S =∫ x − x+ x ( )

3

4 d

x x x

= ∫ − + 3 2 3 x x x   =  − +    =

Câu 17 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=x3+2x+1, trục hoành, x=1 x=2 A. 31

4

S = B. 49

4

S= C. 21

4

S = D. 39

4 S =

Diện tích hình phẳng cần tìm

3

31 d

4 S=∫ x + x+ x=

Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2 4, đường thẳng x3, trục tung trục hoành

A. 22 B. 32 C. 25 D. 23

Hướng dẫn giải Xét pt   x2 đoạn  0;3 có nghiệm x2 Suy 2 23 4 S    x dx   x dx

Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong , trục hoành hai đường thẳng

A. B. C. 201

5 D.

201

Xét pt x34x0 đoạn  3; có nghiệm x 2; x0; x2 Suy

2

3 3

3 2

201

4 4

4

S x x dx x x dx x x dx x x dx



 

        

Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong yxlnx, trục hoành đường thẳng xe A. 2 e  B. 2 e  C. e  D. e 

Hướng dẫn giải Xét pt xlnx0 khoảng 0;ecó nghiệm x1 Suy 1 ln e e S x xdx 

Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số =

y x , trục hoành hai đường thẳng

1x= − , 2x= biết đơn vị dài trục tọa độ cm

4 y=x − x

3,

x= − x= 202

3

(29)

A.

15 (cm ) B. 15

(cm )

4 C.

2 17

(cm )

4 D.

2 17 (cm ) Lời giải

Chọn D

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số =

y x , trục hoành hai đường thẳng 1x= − , 2x=

là ( )

2 4

3 3

1

0 17

dvdt

1

4 4

− −

= = − + = − + =

−

∫ ∫ ∫ x x

S x d x x dx x dx

Do đơn vị dài trục tọa độ cm nên diện tích cần tìm S =17 cm( )2 Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 1lnx

x

= , trục hoành đường thẳng

e x=

A.

2 . B. C.

1

4 D.

Phương trình hồnh độgiao điểm: 1lnx

x = ⇔ x=1

Diện tích hình phẳng giới hạn là: ( )

e

e e

1 1

1 ln

ln d ln d ln

2

x

x x x x

x = = =

∫ ∫

2

y=x + −x trục hoành

A. B. 13

6 C.

9

2 D.

3

Hoành độgiao điểm đồ thị hàm số trục hồnh nghiệm phương trình:

2

x + − =x

2 x x

=  ⇔  = −



2

2 d

S x x x

−

= ∫ + − 1( )

2

9 d

2

x x x

−

= −∫ + − = Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường

1

y=x − , x=3 Ox có diện tích

A. B.

3 C.

16

3 D.

20

-2

O y

(30)

Phương trình hồnh độgiao điểm đường

1

y= x − Ox là: x2− = ⇔ = ±1 x Diện tích hình phẳng là:

3

1 d

S x x

−

=∫ − 1( ) 3( )

1

1 d d

x x x x

−

= ∫ − + +∫ − 3

1

8

3

x x

−

   

= − +  + −  =

   

Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x y

x

+ =

+ , trục hoành đường thẳng x=2

là

A. ln 2+ B. ln 2+ C. ln 2− D. ln 2−

Ta có: 1

2 x

x x

+ = ⇔ = −

+ Vậy

2

1

d x

S x

x

−

+ =

+

∫

1

1 d

2 x

x

−

 

=  − 

+

 

∫ ( )2

1

ln

x x

−

= − + = −3 ln Câu 26 Cho hình phẳng H giới hạn đường y= x; y=0; x=4 Diện tích S hình phẳng H

A. 16

3

S = B. S=3 C. 15

4

S = D. 17

3 S =

Xét phương trình x=0 ⇔ =x

Ta có

4

0

2 16

d

3

S =∫ x x= x x =

Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x=4,x=9 đường cong có

phương trình

8 y = x A. 76

3 B.

152

3 C. 76 D.

152

Vì x∈[ ]4;9 ⇒ = ±y 8x Vậy

9

4

152 2 d

3 S = ∫ x x=

(31)

A. ln9

k = B. k =ln C. 2ln

3

k= D. k=ln

Ta có ( )

ln

0

e dx ex

S +S = ∫ x= = ; 1 ( )

0

e d e e

k

x x k

S =∫ x= = −

Mà 1 2 1 e ln9

2 2

k

S =S ⇒S = ⇒ − = ⇒ =k

Câu 29 Cho hình phẳng hình vẽ Tính diện tích hình phẳng

A. B. C. D.

Diện tích hình phẳng là:

Đặt , nên:

.

74T

Câu 30 Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn đường 74T

2

y=x − x74T, 74Ty=0, 74T 74Tx= −1074T, 74Tx=1074T A. 2000

3

S = B. S=2008 C. 2008

3

S= D. 2000

( )H ( )H

9

ln

2 −

9

ln −2

9

ln

2 +

( )H

3

1

ln d S =∫x x x

2

d d

ln

d d

2

u x

u x x

v x x

v x

 =

 =

 ⇒

 = 

  =



1

ln d S =∫x x x

3

1

ln d

2x x x x

= − ∫

3

2

1

ln

2x x 4x

= − 9ln

2

(32)

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị y=x2−2x y=0

2

x − x=

2 x x

=  ⇔  =

 Trên đoạn [−10;10] ta có

2

x − x≥ , ∀ ∈ −x [ 10; 0]và [2;10 ]

2

x − x≤ , ∀ ∈x [ ]0;

Do 10

10

2 d

S x x x

−

= ∫ − ( ) ( ) ( )

0 10

2 2

10

2 d d d

x x x x x x x x x

−

= ∫ − −∫ − +∫ − 2008

3

= ( đvdt)

Nhận xét:

Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà khơng chia khoảng có sai khác kết máy casio vinacal.Trongtrườnghợpnàymáyvinacalchođápsốđúng.

Câu 31 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2+2, x=1, x=2, y=0

A. 10

3

S = B.

3

S= C. 13

3

S = D.

3 S =

Gọi S diện tích cần tìm Ta có ( )

2

2 d S=∫ x + x 13

3

=

Câu 32 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y=x2 x2+1, trục Ox đường thẳng x=1

( )

ln

a b b

c

− +

với a, b, c sốnguyên dương Khi giá trị a b c+ +

A. 11 B.12 C. 13 D. 14

Cách (dùng máy tính):

Phương trình hồnh độgiao điểm x2 x2+ = ⇔ =1 x

2

1d

S=∫x x + x x2 x2 + ≥ ∀ ∈1 0, x [ ]0;1

( )

1 2

ln

1d a b b

x x x

c

− +

+ =

∫

Bước 1: Bấm máy tính tích phân

2

1d 0, 4201583875

(33)

( ) ( )

ln ln

a b b a b b

D c

c D

− + − +

= ⇔ = (coi c= f x( ), a =x, b∈ ta thử giá trị 5; 4; 0,1; 2;3;

b= − − )

Thử với b=1:

Thử với b=2: Mode + ( ) X ln 1( 2) F X

D

− +

= ;

Kết quả: a=3; c=8, b=2

Cách (giải tự luận):

Phương trình hồnh độgiao điểm 2

1 0

x x + = ⇔ =x Diện tích hình phẳng cần tìm

1 2

1d

S=∫x x + x x2 x2 + ≥ ∀ ∈1 0, x [ ]0;1 Đặt x=tant⇒dx= +(1 tan2t)dt

Đổi cận 0;

4 x= ⇒ =t x= ⇒ =t π

Khi ( )

( )

2

4 4

2 2

3

2 2

0 0

sin 1 sin cos

tan tan tan d d d

cos cos cos cos

t t t

S t t t t t t

t t t t

π π π

=∫ + + =∫ =∫

Đặt u=sint⇒du=cos dt t

Đổi cận 0;

4

t = ⇒ =u t= ⇒ =π u

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

3 3

2 2

0 0

1 1 1

d d d

1 1

u u

S u u u

u u u u

   − −    = = = −    − −  −  −  ∫ ∫ ∫ Ta có ( ) ( )( )

2 2

3 3

2 2

3

0 0

1 1 1 1

d d d

8 1 1

1

u u

H u u u

u u u u

u  − + +    = =   =  +  − +  + −  −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2

3

0

1 1 1

d

8 u u u u u u

   =  + +  +   + − −  − +    ∫ ( ) ( ) ( ) 2

3 2

0

1 1

d

8 u u 1 u u

    = + +  + − −    ∫ ( ) ( ) ( ) 2

2 2

0

1 1

d

8

16 16 1

0

u

u u u

 −  = +  +  + −  −   ∫ ( ) 2 2

2

d

2 1 u u

= +

−

(34)

Tính ( ) 2 2 d K u u = − ∫ ( ) ( )( )

2 2

2

0 0

6 1 1

d d d

2 1 1

1

u u

K u u u

u u u u

u  − + +    = =  − +  =  − + +    −   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2

3 1 1

d ln 2 3ln

2 1 1 1

0 u u

u u u u u

u u    +  =  + +  =  − +  = + + − + − + − − +     ∫

Vậy 3ln 1( 2) 3ln 1( 2)

2 8

H

+ + + +

= + =

Khi 3ln 1( 2)

8

S K

+ +

= −

( ) ( ( )) ( )

7 3ln 1 ln

3 3ln

8

+ + − +

= − + + =

Câu 33 Cho hình phẳng giới hạn đường , , , Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích , (hình vẽ)

Tìm để

A. B. C. D.

Hoành độgiao điểm đồ thị hai hàm số

Do diện tích , diện tích

Ta có

Câu 34 Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( )=ax3+bx2+c, đường thẳng x=1, x=2 trục hoành (miền gạch chéo) cho hình

( )H y=x2 y=0 x=0 x=4

y=k (0< <k 16) ( )H S1 S2

k S1 =S2

k= k =4 k=5 k =3

2

y=x y=k x= k

( )

4

1 d

k

S = ∫ x −k x

4

2

0 d S =∫x x−S

1

S =S ( )

4 2 d d k

x k x x x

⇔ ∫ − = ∫ 32 3 k x kx   ⇔ −  =   3 64 32

3 3

k

k k

⇔ − − + =

3

16 6k k

⇔ = − ⇔( ) ( )k 3−6 k 2+16=0

(0;16) 2

2

(35)

A. 51

S = B. 52

8

S= C. 50

8

S= D. 53

8 S =

Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( )=ax3+bx2+c, đường thẳng x= −1, x=2 trục hoành chia thành hai phần:

 Miền D1 hình chữ nhật có hai kích thước 3⇒S1 =3

 Miền D2 gồm:

( )

1

1;

f x ax bx c

y

x x

 = + +

 = 

 = − = 

Dễ thấy ( )C qua điểm A(−1;1), B( )0;3 , C( )2;1 nên đồ thị ( )C có phương trình ( ) 3

3

2

f x = x − x +

3

2

1 27

3 d

2

S x x x

−

 

⇒ =  − + −  =

 

∫

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 1 2 51 S = +S S =

Câu 35 Cho hàm số liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Khẳng định sau sai?

A. B.

C. D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Mà với

Do ta có Vậy A sai

( )

f x 

( ) ( )

0

1

d d

f x x f x x

−

<

∫ ∫ ( ) ( )

1

d d

f x x f x x

−

+ <

∫ ∫

( )

0

d

f x x

−∫ > ( )

0

1

d

f x x

−

< ∫

( ) ( ) ( )

0

1

d d

S f x x S f x x

−

= ∫ < =∫

( )

f x ≤ x∈ −[ 1; 0] x∈[ ]0; ( ) ( ) ( )

1

1 f x dx f x dx

−

⇔ −∫ < −∫ ( ) ( )

0

1

d d

f x x f x x

−

⇔∫ >∫

O

x y

1

(36)

Câu 36 Cho hàm số (với tham số khác ) có đồ thị Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai trục tọa độ Có giá trị thực thỏa mãn ?

A. Không B. Một C. Ba D. Hai

(do )

Vậy

Để

Câu 37 Cho hàm số có đồ thị Giả sử cắt trục hoành bốn điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh Khi thuộc khoảng đây?

A. B. C. D.

Phương trình hồnh độgiao điểm với trục hồnh

Đặt , phương trình trở thành

Để có bốn nghiệm phân biệt phải có hai nghiệm dương phân biệt Điều xảy

và

Gọi hai nghiệm , bốn nghiệm (theo thứ tự từ nhỏđến lớn)

phương trình , , ,

Do tính đối xứng nên từ giả thiết ta có

Vậy nghiệm hệ

2 x m y x − =

+ m ( )C S

( )C m S =1

0

x=

0

y m

⇒ = − < m≠0

y= ⇒ =x m2 >0

2 d m x m S x x − = + ∫ 2 1 d m m x x + = − + ∫ 2 1 d m m x x  +  =  −  +  

∫ (( 2) )

0

1 ln

m

m x x

= + + −

( 2) ( )

1 m ln m m

= + + −

1

S= ( 2) ( )

1+m ln m + −1 m =1⇔ +(1 m2) ((ln m2+ − =1) 1) ( )

ln m 1

⇔ + =

1

m e

⇔ + = ⇔ = ±m e−1

4

y=x − x +m ( )Cm ( )Cm

( )Cm

m

( 1;1)

m∈ − m∈( )3;5 m∈( )2;3 m∈(5;+ ∞)

( )Cm

4

x − x + =m ( )1

t=x (t≥0) ( )1 t2− + =4t m ( )2

( )1 ( )2

0 0 S P m ∆ > 

 = > 

 = >  0 m m − > 

⇔  >

 ⇔ < <0 m ( )3

t t2 (t1 <t2) ( )2

( )1 x1= − t2 x2 = − t1 x3 = t1 x4 = t2

( )Cm

( ) ( )

3

4

0

4 d d

x x

x

x − x +m x= − +x x −m x

∫ ∫ 4( )

0

2 d

x

x x m x

⇔∫ − + = x x x mx   ⇔ − +  =   4 4 x x mx

⇔ − + = 54 43

4 x x mx ⇔ − + = 4

4 4

4

0 20 15

5

x x

mx x x m

⇔ − + = ⇔ − + = x 4 4 4

3 20 15

x x m

 − + =   − + =  4 4 4

15 60 15

3 20 15

x x m

 − + =  ⇔  − + =  4 4 4

12 40

3 20 15

x x

x x m

 − =

 ⇔ 

− + =

(37)

Kết hợp điều kiện suy

Câu 38 Cho hàm số y=x4−3x2+m có đồ thị ( )Cm , với m tham số thực Giả sử ( )Cm cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ

Gọi S1, S2, S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Giá trị m để S1+S3=S2

A.

− B.

4 C.

5

− D.

2

Gọi x1 nghiệm dương lớn phương trình

3

x − x + =m , ta có m= − +x x ( )1 Vì S1+S3 =S2 S1 =S3 nên S2 =2S3 hay ( )

1

0

d

x

f x x=

∫

Mà ( )

1

0

d x

f x x

∫ 1( )

0

3 d

x

x x m x

=∫ − + 5 x x x mx   = − +    1 x x mx

= − + 14

1

5 x

x  x m

=  − + 

 

Do đó, 14

1

5 x

x  −x +m=

  ⇔ 1 x x m

− + = ( )2 (vì x1>0) Từ ( )1 ( )2 , ta có phương trình

4

2

1

x

x x x

− − + = ⇔

1

4x 10x

− + = ⇔

1 x = Vậy m= − +x14 3x12

4

=

Câu 39 Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành, trục

tung đường thẳng đạt giá trị nhỏ Mệnh đềnào sau đúng?

A. B. C. D.

Ta có suy

4

2

4

0

12 40 10

3 20 15 3

20 x m x x x

x x m

m  =   =    − =    ⇔  − + =  =      =  

( )3 20

9 m=

2

3

y= x + mx+m +

x= ( 4; 1)

m∈ − − m∈( )3;5 m∈( )0;3 m∈ −( 2;1)

2 2

3 2

y = x + mx+m + =x + mx+ + x + y> ∀ ∈0, x 

2

0

3

S = ∫ x + mx+m + dx = ( ) ( )

2

2 2

0

2

3

(38)

Ta thấy , suy đạt giá trị nhỏ Câu 40 Giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

, trục hoành, trục tung đường thẳng x = đạt giá trị nhỏ là:

A m = 2. B. m = C. m = -1 D. m = -

Vì với m tùy ý ta ln có nên diện tích hình phẳng cần tìm

S đạt giá trị nhỏ m = - (dùng casio thửnhanh hơn) Chọn C

Câu 41 Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −4 x2, trục hoành đường thẳng x= −2, x=m, (− < <2 m 2) Tìm số giá trị tham số m để 25

3 S=

A. B. C. D.

Ta có

2

25

4 d

3 m

S x x

−

= ∫ − =

Phương trình

4−x = ⇔ = ±0 x

Bài − < <2 m nên (−2;m) 4−x2 =0 vơ nghiệm

( )

2

25 25 25

4 d d

3 3

m m m

x

x x x x x

− − −   − = ⇔ − = ⇔  −  =   ∫ ∫ 3

8 25 16 25

4

3 3 3

m m m m     ⇔  −  − − +  = ⇔ − + =     3 3 3

16 25

4

12

3 3

1 41

16 25 12 41

4

3

3 3

m

m m m

m m

m m m

m m m  − + =  − + =    − + =  ⇔ ⇔ ⇔  − + = −  − − =  − − =   

( )1 Xét hàm số f m( )=m3−12m, với m∈ −( 2; 2) có

( ) ( )

3 12

f′ m = m − = m − < , ∀ ∈ −m ( 2; 2)

Do f m( ) nghịch biến (−2; 2)⇒ f m( )< f ( )− =2 16⇒m3−12m−41 0<

Khi ( )1 12 ( 3)( 3) 21

2

m m m m m m −

⇔ − + = ⇔ − + − = ⇒ = thỏa mãn

Vậy có 21

m= − thỏa mãn toán

2 2m 2m

= + + + ( )

2 m 2m

= + + 2 2 m      =  +  + −     

2

2 2 m   =  +  +   2

S ≥ S

2 m= −

2

3

y= x + mx+m +

2

3x +2mx+m + >1 ∀x

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

0

3 1 10

(39)

Câu 42 Xét hàm số liên tục miền có đồ thị đường cong Gọi

phần giới hạn đường thẳng , Người ta chứng minh độdài đường

cong Theo kết quảtrên, độdài đường cong phần đồ thị hàm số

bị giới hạn đường thẳng , với ,

giá trị bao nhiêu?

A. B. C. D.

Ta có

Khi đó, độdài đường cong

Đặt Suy ra:

Đổi cận: ;

Suy ra:

Mà nên suy

Vậy

Câu 43 Xét hàm số y= f x( ) liên tục miền D=[ ]a b; có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x=a, x=b Người ta chứng minh diện tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S quanh Ox ( ) ( ( ))2d

b

a

S = π∫ f x + f′ x x Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )

2

2 ln

4

x x

f x = − đường thẳng x=1, x=e quanh Ox

A. 2 e π − B. 4 64 e π − C.

4 16

16 e e π + + D. 4 16 e π −

Cách (Giải tự luận)

Ta có ( ) ( ) ( ( ))

2 2 2

2 ln ln 1 1

4 4 16

x x x x

f x f x x f x x x

x x x

− ′ ′  

= = − ⇒ = − ⇒ = −  = + −

 

Lại có ( ) 0, ( )1;

f x x x e

x

′ = − > ∀ ∈ , nên f x( ) đồng biến [ ]1;e Suy

( ) ( ) [ ]

1 0, 1;

2

f x ≥ f = > ∀ ∈x e

Từđây ta thực phép tính sau

( ) =

y f x D=[ ]a b, C S

C x=a x=b

S ∫ 1+( ′( ))2d b

a

f x x S

( )=ln

f x x x=1 x= m− m+ln1+ m

n m n∈

2− +

m mn n

6

( )

′ =

f x x

S

3 3

2

1 1

1 d + d + d

= ∫ + = ∫ x = ∫ x

l x x x x

x x x

2

= +

t x 2

1

= +

t x ⇒t td =x xd

1

= ⇒ =

x t x= 3⇒ =t

( )( )

2

2 2

2

1 1

d d ln

1 1

  −

= =  +  = +

−  − +  +

∫ t ∫ t

l x x t

t t t t

( )

1 1 2

2 ln ln 2 2 ln 2 ln

2 3

+ +   = − +  − − = − + = − +   l ln +

= − + m

l m m

n =   =  m n 2 − + =

(40)

( ) ( ( ))

2 2

2

ln 1

2 d d

2 16

b e

a

x x

S f x f x x x x

x

π ′ π    

= + =  −  + + − 

 

∫ ∫

( )

2

1

2

3

1

ln 1 ln

2 d d

2 16 2 4

ln 1 1 ln

2 d ln d

2 4 16

e e

x x x x

S x x x x

x x

x x x

x x x x x x x I I I

x x

π π

π π π

     

=  −  + + =  −   + 

 

   

    

=  −  +  =  + − −  = + +

   

 

∫ ∫

Với

4

3 1

1

d

2 8 16 16

e

e x x e e

I =  x + x x= +  = + −

   

∫

( )

2

2 1

1

1 1 1

ln d ln

4 4 16 16

e e

I = − x x x= − x x− = − e −

 

∫

3

1

1 ln 1

d ln

16 32 32

e

e x

I x x

x

 

= −  = − = −

 

∫

Cách

Học sinh trực tiếp bấm máy tính tích phân

2

ln 1

2 d

2 16

e

x x

S x x

x

π  

= − + + − 

 

∫ để có

(41)

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), ( ), , y=g x x=a x=b

Câu 44 Cho hàm số y= f x( ), y =g x( ) liên tục [ ]a b; Gọi ( )H hình giới hạn hai đồ thị ( )

y= f x , y= g x( ) đường thẳng x=a, x=b Diện tích hình ( )H tính theo cơng thức:

A. ( ) d ( ) d

b b

H

a a

S =∫ f x x−∫ g x x B. ( ) ( )d

b H

a

S =∫ f x −g x x

C. ( ) ( ) d

b H

a

S = ∫f x −g x  x D. ( ) ( ) d

b H

a

S =∫f x −g x  x

Câu 45 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hai hàm số f x1( ) f2( )x liên tục đoạn [ ]a b; hai đường thẳng x=a, x=b (tham khảo hình vẽdưới) Cơng thức tính diện tích hình ( )H

A. 1( ) 2( )d b

a

S =∫ f x − f x x B. ( 1( ) 2( ))d

b

a

S =∫ f x − f x x C. 1( ) 2( )d

b

a

S =∫ f x + f x x D. 2( )d 1( )d

b b

a a

S=∫ f x x−∫ f x x

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

Câu 46 Cho hàm số y= f x( ) liên tục  thỏa mãn f( )0 < <0 f ( )−1 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=0, x= −1 x=1 Xét mệnh đề sau

(I) ( ) ( )

0

1

d d

S f x x f x x

−

= ∫ +∫ (II) ( )

1

d

S f x x

−

= ∫

(III) ( )

1

d

S f x x

−

=∫ (IV) ( )

1

1 d

S f x x

−

= ∫

Số mệnh đềđúng

A. B. C. D.

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=0, x= −1 x=1 ( )

1

d

S f x x

−

= ∫ nên (2)

Do f ( )0 < <0 f ( )−1 nên ( )

1

d

S f x x

−

= ∫ sai

O x

y

a c1 c2 b

( ) f x

(42)

Tương tự ( )

1 d

S f x x

−

= ∫ sai ( ) ( )

0

1

d d

S f x x f x x

−

= ∫ +∫ sai

Câu 47 Cho hàm số f x( ) liên tục [ ]1; Gọi ( )D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )

y= f x , y=0, x=1 x=2 Cơng thức tính diện tích S ( )D công thức công thức đây?

A. ( )

2

1

d

S =∫ f x x B. ( )

2

d

S=∫ f x x C. ( )

2

1

d

S =∫ f x x D. ( )

2

d S =π∫ f x x

A.

π

B. 16

3 π

C. 10π D. 8π

Ta có:

0

0 2

2

x x

x x x

 = ⇒ =



= − ⇒ = 

 = − ⇒ =



Dựa vào hồnh độgiao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y= x, y=0 x=0; x=2 Phần thứ hai giới hạn y= x, y= −x x=2; x=4

Thể tích vật thể bằng:

( ) ( )

2

2 2

0

d d

V =π∫ x x+π∫ x− − x x ( ( ) )

2

0

d d

x x x x x

π π

= ∫ + ∫ − −

( )

2

0 2

2 16

2 3

x

x x π

π π − 

= +  −  =

 

Câu 49 Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol

y=x , đường thẳng y= − +x trục hoành đoạn [ ]0; (phần gạch sọc hình vẽ)

A 3

5 B.

5

6 C.

2

3 D.

7

Ta có ( )

2

1

2

0 1

5

d d

3

x x

S = x x+ − +x x= + − + x =

 

(43)

Câu 50 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số yx2 x 2, y x 2và hai đường thẳng x 2; x3 Diện tích (H)

A. 87 B. 87 C. 87 D. 87

Xét phương trình 2

(x           x 2) (x 2) x x Suy 2 2 87 4

S x dx x dx



    

Câu 51 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 4 ( ) : x x C y x    

 , tiệm cận xiêm ( )C hai đường thẳng x0,xa a ( 0) có diện tích Khi a

A.1e5 B.1e5 C. 2e D. 2e

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Ta có

:

TCX y  x Nên

0

1

( ) ln ln(1 )

1

a

a a

S a dx dx x a

x x                          

Suy ln(1a)   5 a e5

Câu 52 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y=sinx, y=cosx đường thẳng

x= , x= π ?

A. B. 2 C. −2 D.

Ta có

sin cos d

S x x x

π

=∫ −

Phương trình sinx−cosx=0 ⇔tanx=1

4

x π k

⇔ = + π (k∈)

Cho [ ]0;

4 k

π+ π∈ π

0

4

k x π

⇒ = ⇒ =

Biến đổi

sin cos d

S x x x

π

=∫ −

0

4

sinx cosx xd sinx cosx xd

π π π =∫ − +∫ − ( ) ( ) 4

sinx cosx dx sinx cosx dx

π

= ∫ − + ∫ − ( ) ( )

0

cosx sinx cosx sinx 2

π π

π

= − − + − − =

Câu 53 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x y=ex, trục tung đường thẳng x=1 tính theo công thức:

A.

0

ex d

S =∫ − x B. ( )

1

0

ex d

S=∫ −x x C. ( )

1

0

ex d

S=∫ x− x D.

1

ex d

S x x

−

= ∫ −

(44)

Vì khoảng ( )0;1 phương trình ex = x khơng có nghiệm ex > x, ∀ ∈x ( )0;1 nên

( )

1

0

ex d ex d

S =∫ −x x=∫ −x x

Câu 54 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y=ex, y=2, x=0, x=1 A. S =4 ln e 5+ − B. S=4 ln e 6+ − C.

e

S = − D. S = −e

Gọi S diện tích cần tìm Ta có

0

ex d S=∫ − x Xét ex− =2

ln x

⇔ =

Bảng xét dấu ex−2 :

Ta có

0

ex d

S =∫ − x ( ) ( )

ln

0 ln

ex dx ex dx

= −∫ − + ∫ − ( )ln ( )1

0 ln

2x ex ex 2x

= − + −

4 ln e

= + − Vậy S =4 ln e 5+ −

Câu 55 Tìm a để diện tích S hình phẳng giới hạn ( )

2 : , x x P y x − =

− đường thẳng

:

d y= −x x=a, x=2a (a>1) ln ?

A. a=1 B. a=4 C. a=3 D. a=2

Ta có: ( )

2 2 d a a x x

S x x

x

−

= − −

−

∫ d

1 a a x x = −

∫

d a a x x = −

∫ (vì a>1) ln( 1)2a a x

= − (vì a>1)

( ) ( )

ln 2a ln a

= − − − ln2

1 a a − = −

Ta có: ln2 ln a a − = − a a − ⇔ =

− ⇔ =a

Câu 56 Biết diện tích hình phẳng giới đường y=sinx, y=cosx, x=0, x=a( với ;

4 a∈ π π

  ( )

1

3

2 − + − Hỏi số a thuộc khoảng sau đây? A. 7,1

10

 

 

  B.

51 11 , 50 10

 

 

  C.

11 ; 10

 

 

  D.

51 1, 50      

Ta có: sinx<cosx với 0; x∈   π

 , sinx>cosx với x 2, π π

 

∈  

Diện tích hình phẳng giới đường y=sinx, y=cosx, x=0,x=a với ; a∈ π π

 

0

sin cos d = a

S =∫ x− x x

0

4

sin cos d + sin cos d = a

x x x x x x

π

− −

∫ ∫ 4( ) ( )

0

4

cos sin d + sin cos d a

x x x x x x

π

− −

∫ ∫

x ln

(45)

4 4

0

4

2 cos d + sin d = sin cos

4 4

a a

S x x x x x x

π π π π π π π π         =  +   −   +  −  −          ∫ ∫

3

2

S − + −

⇒ =

4

0

4

2 sin cos

4

a

S x x

π

π π

   

=  +  −  − 

    sin sin4 cos x cos

π π  π 

   

=  − −   − − 

     

Câu 57 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2, y=0, x=0, x=4 Đường thẳng y=k (0< <k 16) chia hình ( )H thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ)

Tìm k để S1 =S2

A. k=8 B. k =4 C. k=5 D. k=3

Hoành độgiao điểm đồ thị hai hàm số y=x2 y=k x= k

Do diện tích ( )

4

1 d

k

S = ∫ x −k x, diện tích

2

0 d S =∫x x−S Ta có S1 =S2 ( )

4 2 d d k

x k x x x

⇔ ∫ − = ∫ 32 3 k x kx   ⇔ −  =   3 64 32

3 3

k

k k

⇔ − − + =

3

16 6k k

⇔ = − ⇔( ) ( )k 3−6 k 2+16=0

(0;16) 2

2

2 k k k k k ∈  = +  ⇔ = − ⇒ =  = 

Câu 58 Cho hai hàm số y= f x( ) y=g x( ) liên tục đoạn [ ]a b; với a<b Kí hiệu S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y=3f x( ), y=3g x( ), x=a, x=b; S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( )−2, y=g x( )−2, x=a, x=b Khẳng định sau đúng?

A. S1=2S2 B. S1=3S2 C. S1=2S2−2 D. S1=2S2+2

2

2 cos 2 cos

2 4

S=  − −  a−π − = − − a−π 

   

 

3

2

− + −

=

1 51 11

cos 1, 047 ,

4 2 12 50 10

a π + a π π a π a

(46)

Ta có 1 ( ) ( )d b

a

S =∫ f x − g x x ( ) ( )d b

a

f x g x x

= ∫ − ( ( ) 2) ( ( ) 2) d

b

a

f x g x x

 

(47)

Dạng3:Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), ( )y=g x

Câu 59 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y 2 x2 đường thẳng y x A.

2 B.

9

4 C. D.

9

Ta có 2

2 x x x x          



2x     x, x [ 1; 2] Nên 2 2 1

(2 )

2

x x

S x x dx x

                

y=x y=x là: A.

6 π

B.

6 C.

5

6 D.

1

−

Phương trình hồnh độgiao điểm là:

x =x

1 x x =  ⇔  =  Ta có diện tích hình phẳng cần tính là:

1

d S=∫ x −x x

1 3 x x   =  −    = Câu 61 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x

y x A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

Ta có

1 x x x x         Nên 1 3 3

0 0

2

( )

3 12

S x x dx x x dx   x  x  

 

 

Câu 62 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y2x33x21

4

yx  x  x A. 37

13 B.

37

12 C. D.

Ta có 3

2

1 x

x x x x x x

x                  Nên

1

3 3

2

2 ( ) ( )

S x x x dx x x x dx x x x dx

 

        

0

4

2

37

4 12

x x x x

x x                       

Câu 63 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn ( )

:

P y= x − , tiếp tuyến ( )P ( )2;

(48)

A.

S = B. S =2 C.

3

S = D.

3 S =

2 y′ = x

( )2 y′ =

Phương trình tiếp tuyến ( )P M( )2;

( )

2 2

y= x− = x−

Diện tích hình phẳng cần tìm 2 ( ) 2( )

0 4 d d

S =∫ x − − x− x= ∫ x − x x

3

0

x x

 

=  − 

 

4

=

Câu 64 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  1 ex x y,   1 e x Diện tích (H)

A. e

B. 2 e

C. 2 e

D. e

Hướng dẫn giải Xét pt  1 x  1

e x e x

    có nghiệm x0, x1

Suy    

1

0

2

x x e

S x e e dxx e e dx 

Câu 65 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x21 , y x 5 Diện tích (H)

A. 71

3 B.

73

3 C.

70

3 D.

74

Hướng dẫn giải Xét pt x2 1 x 5 có nghiệm x 3, x3

Suy     

3

2

-3

-1 - -1 -

S  x x  dx x x dx

Bảng xét dấu x2 1 đoạn  0;3

x

2

x  - +

Vậy    

1

2

0

73

2

3 S    x x dx x  x dx 

Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng , x 2, x>1 x

y x

 

  





2 10

3

y xx a b Khi a2bbằng

A. 16 B. 15 C. 17 D. 18

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

(49)

2

2 10

0

10

2

3

x x x x

    

Nên

1

2

0

10 10 13

2

3

S  xx x dx   xx  x dx

   

 

Câu 67 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x24x3 , y x Diện tích (H)

A. 108

5 B.

109

5 C.

109

6 D.

119

Hướng dẫn giải Xét pt x24x  3 x có nghiệm x0, x5

Suy      

1

2 2

0

109

5

6 S  x x dx x  x dx   x x dx

Câu 68 Diện tích hình phẳng giới hạn ( ) :P y x23, tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ

x trục tung A.

3 B.

4

3 C. D.

7

Hướng dẫn giải PTTT (P) x2 y4x3

Xét pt  2 4 3 0

2 x

x x x x

x   

       

  

Suy    

2

2 2

0 0

8

4 4 4

3

x

S  x  x dx x  x dx    x  x 

 

 

Câu 69 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2,

3

y= − x+ trục hoành A. 11

6 B.

61

3 C.

343

162 D.

39

Phương trình hồnh độgiao điểm đường y=x2,

3

y= − x+

2

3

x = − x+ ⇔3x2+ − =x

1 x x

=   ⇔

 = − 

Hoành độgiao điểm đường thẳng

3

(50)

Hoành độgiao điểm parabol y=x2 với trục hồnh x=0 Diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

0

1

d d

3

S = x x+ − x+  x

 

∫ ∫ 31

1

3

x

x x

 

= + − + 

 

11

=

Câu 70 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y= 3x2, cung trịn có phương trình

2

4

y= −x (với 0≤ ≤x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A. 12 π+

B.

6 π −

C. 3

6

π+ −

D.

3 π −

Phương trình hồnh độgiao điểm parabol y= 3x2 cung tròn

4

y= −x (với 0≤ ≤x 2)

2

4−x = 3x ⇔ −4 x2 =3x4

2

4 x x

 = 

⇔  = − ⇔ =x (vì 0≤ ≤x 2)

Cách1: Diện tích ( )H

1

2

0

3 d d

S =∫ x x+∫ −x x 31

3 x I

= +

3 I

= + với

2

4 d

I =∫ −x x

Đặt: x=2sint, ;

2 t∈ − π π

  ⇒dx=2cos dt t

Đổi cận:

6

x= ⇒ =t π ,

2 x= ⇒ =t π

2

6

4 4sin cos d

I t t t

π

=∫ − 2

6

4 cos dt t π

π

=∫ ( )

6

2 cos dt t π

π

=∫ + ( )2

6 2x sin 2t

π π

= +

3

π

= −

Vậy 3

3 3

S= + =I + π − = π−

Cách2: Diện tích ( )H diện tích phần tư hình trịn bán kính trừ diện tích hình phẳng giới hạn cung trịn, parabol trục Oy

O x

y

2

O x

y

2

(51)

Tức ( )

2

0

4 d

S = −π ∫ −x − x x

Câu 71 Gọi S diện tích giới hạn đường:

2 y 3x y mx  = 

=

 Tìm m để diện tích S=4?

A. m=6 B. m=-6 C. m=±6 D. Không tồn m

Xét phương trình 3xP

2 P = mx

x m x

3 =   ⇔

 = 

Xét m>0 diện tích giới hạn đường:

2 y 3x y mx  = 

=

 là:

( )  

= − = − = −  =

 

⇒ = ⇔ = ⇔ =

∫ ∫

m m

0

2

3

2

m

0

3

mx m

S 3x mxdx mx 3x dx x

2 54

m

S 4 m

54

Xét m<0 diện tích giới hạn đường:

2 y 3x y mx  = 

=

 là:

( )  

= − = − = −  = −

 

−

⇒ = ⇔ = ⇔ = −

∫ ∫

m

0

0 3

2

m

3

mx m

S 3x mxdx mx 3x dx x

2 54

m

S 4 m

54 Vậy m= ±6

Câu 72 Cho (P) y=x2+1 (d)y=mx+2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) (d) đạt giá trị nhỏ ?

A.

2 B.

3

4 C. D.

Hoành độgiao điểm (P) (d) nghiệm phương trình:

2

1 0,

x −mx− = ∆ ≥ ⇔m + ≥ ∀m

Phương trình có nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: Theo định lý Viet kết hợp yêu cầu:

1 2

1

x x m

x x x x

+ =



 = −

  <  Ta có:

2

1

2

( 1) ( )

x x

(52)

2

2 3

2

2 1

2

( )

2 3

x

mx x mx x

mx x

x x x

= − + = − + − + −

2

1

( ) ( 1)

2

m m

x x  m  m  

= −  + − + = +  + 

   

S có GTNN m=0

Câu 73 Với giá trị m diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) :P y= − +x2 2x

( )

( ) :d mx m<0 27 đơn vị diện tích

A. m= −1 B. m= −2 C. m∈∅ D. m∈

Phương trình hồnh độgiao điểm:

( )

2

3

2 2 2 2

0

3

0

2

3

6 12 27

m

m m

x

x x mx x m x

x m

x mx

S x x mx dx x x mx dx x

m m m

−

− −

= 

− + = ⇔ − − = ⇔ 

= − > 

 

= − + − = − + − = − + − 

 

= − + − + =

∫ ∫

Do m= −1

Câu 74 Tích diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) hình sau

A.

3

S = B. 10

3

S = C. 11

3

S = D.

3 S=

Dựa hình vẽ, ta có hình phẳng giới hạn đường:

y x

y x y

 = 

= − 

 = 

Suy ( )

2

0

d d

S =∫ x x+∫ x− +x x 10

=

3

y= − +x x+ đường thẳng y=5 A.

4 B.

45

4 C.

27

4 D.

21 x

y

g x( ) = x

f x( ) = x 4 2

O

x y

g x( ) = x

f x( ) = x

4 2

(53)

+ Xét phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị − +x3 3x+ =3 ⇔x3−3x+ =2

1 x x

= −  ⇔  =



Vậy diện tích hình phẳng cần tính

3

3 2d

S x x x

−

= ∫ − + 27

4

=

Câu 76 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đường y= 2x; y=2x−2 trục hồnh Tính diện tích ( )H

A.

3 B.

16

3 C.

10

3 D.

8

Phương trình hoành độgiao điểm :



( )2 2

1

2 2

4 10

2 2

x x

x x x

x x

≥

  ≥



= − ⇔ ⇔ ⇔ =

− + =

= −

 



 2x− = ⇔ =2 x  2x = ⇒ =0 x Đồ thị:

Diện tích hình ( )H : ( )

1

0

5

2 d 2 d

3 D D

S=S +S =∫ x x+∫ x− x+ x= Câu 77 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

y=x −x đồ thị hàm số

y= −x x

A. S =13 B. 81

12

S = C.

4

S= D. 37

12 S =

(54)

Ta có 3

2

2 0

1 x

x x x x x x x x

x = −   − = − ⇔ + − = ⇔ =  = 

Ta có ( ) ( )

0

3

2

37

2 d d

12

S x x x x x x x x

−

= ∫ + − + ∫ + − =

Câu 78 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ): 1 x H y x − =

+ trục tọa độ

Khi giá trị S

A. S =ln 1− (đvdt) B. S=2 ln 1− (đvdt) C. S =2 ln 1+ (đvdt) D. S =ln 1+ (đvdt)

Đồ thị hàm số 1 x y x − =

+ cắt trục hoành điểm ( )1;

Ta có ( )

1 1

1

0 0

1

d d d ln ln

1 1

x x

S x x x x x

x x x

− −  

= = − = −  −  = − − + = −

+ +  + 

∫ ∫ ∫

Câu 79 Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y= − +x3 12x y= −x2 A. 343

12

S = B. 793

4

S= C. 397

4

S= D. 937

12 S =

Hoành độgiao điểm hai đường cong nghiệm phương trình;

3

4

12 12

0 x

x x x x x x x

x =   − + = − ⇔ − + + = ⇔ = −  =  Ta có

3

12 d 12 d

S x x x x x x x x

−

= − +∫ + + − +∫ +

( ) ( )

0

3

99 160 937

12 d 12 d

4 12

x x x x x x x x

−

= ∫ − − + − +∫ + = + =

Câu 80 Cho ( )H hình phẳng giới hạn ( )C :y= x, y= −x trục hồnh (hình vẽ) Diện tích ( )H

A. 10

3 B.

16

3 C.

7

3 D.

8

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y= x y= −x 2:

2 x = −x

( )2 2 x x x ≥  ⇔  = −  2

5

x x x ≥  ⇔  − + =

 ⇔ =x

O x

y

( )C d 2

(55)

Diện tích hình phẳng ( )H

( )

2

0

d d

S =∫ x x+∫ x− −x x ( )

2

0

d d

x x x x x

=∫ +∫ − + 3 2 2 2

3

x x x

x     = + − +      10 = Câu 81 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x tiếp tuyến với đồ thị M( )4, trục hoành

A.

3 B.

3

8 C.

1

3 D.

2

Gọi d phương trình tiếp tuyến hàm số y= x M( )4, : 1

4

d y x

⇒ = +

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, d trục Ox

0

4

1

1 d d

4

S x x x x x

−

   

=  +  +  + −  =

   

∫ ∫

Câu 82 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2 y= +x

A. S =9 B.

4

S= C.

2

S= D.

9 S=

Phương trình hoành độgiao điểm

2

x = +x

2 x x = −  ⇔  =  Ta có 2 d

S x x x

− =∫ − −

3 2

x x x −   =  − −  =  

Câu 83 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường

4

y= x − x+ , y= +x (phần tơ đậm

hình vẽ) Diện tích ( )H

A. 37

2 B.

109

6 C.

454

25 D.

91

Diện tích ( )H

( )

5

4 3 d

S =∫ x − x+ − x+ x ( )

5

2

3 d

x x x x

=∫ + − − +

( ) ( ) ( ) ( )

5

2 2

0

3 d d d d

x x  x x x x x x x x x

= + − − + − − + + − + 

 

∫ ∫ ∫ ∫

O x

y

1

(56)

5

2 3

2 2

0

3 3

2 3

x x x x

x x x x x x x

 

        

= +  −  − +  − − +  + − + 

 

        

55 4 20

2 3

 

= − + + 

 

109

=

Câu 84 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=2x2 y=5x−2

A.

4

S= B.

8

S= C.

8

S= D.

4 S=

Phương trình hồnh độgiao điểm hai đồ thị y=2x2 y=5x−2:

2

x − x+ = ⇔ =x x=2 Diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị

2 2

2 d

S =∫ x − x+ x ( )

2 2

2x 5x dx

= ∫ − + 9

8

= − =

Câu 85 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x y2, =x A.

6

S = B.

6

S = C.

3

S = D.

2 S =

Phương trình hoành độgiao điểm: x2 = → =x x ∨ =x

1 S =∫ x −x dx=

Câu 86 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=e, y =ex y= −(1 e)x+1 (tham khảo hình vẽ bên)

Diện tích hình phẳng ( )H A. e

2

S = + B. e

2

S= + C. e

2

S = − D. e

2 S = +

Cách1:Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị y=ex với đường thẳng y=e ex = ⇔ =e x

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị y=ex với đường thẳng y= −(1 e)x+1

( )

ex = −1 e x+ ⇔ =1 x

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị y=e với đường thẳng y= −(1 e)x+1

( )

e= −1 e x+ ⇔ = −1 x

e y=

ex y=

O x

1 e

(57)

Diện tích hình phẳng ( )H ( )

0

1

e e d e e dx

S x x x

− =∫ − − − +∫ − ( ) ( ) ( ) 1

e e x dx e ex dx

− = ∫ − − − + ∫ − ( ) ( ) ( ) 1 e

e e e

2 x x x x −  −  =  − −  + −   e + =

Cách2: Xem x hàm theo biến y

Hình phẳng ( )H giới hạn đường x=lny, ( 1) e

x= y−

− , y=1, y=e

Diện tích hình ( )H ( ) e

1

ln d

1 e

S=  y− y−  y −

 

∫ e e( )

1

ln d d

1 e

y y y y

= − −

−

∫ ∫

Tính ( )

e

e 1

ln d ln

A=∫ y y= y y−y =

Tính ( )

e

e 2

1

1 1 e 1 e

1 d e

1 e e e 2

y

B= y− y=  −y =  − + = −

− ∫ −   −  

Vậy 1 e e

2

S= − − = +

Câu 87 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y=x2−2x đường thẳng y=x A.

2 B.

11

6 C.

27

6 D.

17

Ta có: 2

3 x

x x x

x =  − = ⇔  = 

Diện tích hình phẳng cần tìm ( )

3

2

0

9

2 d d

2 S=∫ x − x−x x= ∫ x − x x = Câu 88 Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn đường parabol

2 y=ax −

4

y= − ax có diện tích 16 Giá trị a

A. B.

4 C.

1

2 D.

Xét phương trình: 2 2

2

ax ax ax x

a

− = − ⇔ − = ⇔ = ±

Diện tích hình phẳng giới hạn y=ax2−2 y= −4 2ax2

( )

2

8

3 d d

a a

S ax x ax x

a

− −

= ∫ − = ∫ − =

Theo giả thiết 16 16

S a

a

= ⇔ = ⇔ =

Câu 89 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 y=x5bằng

A. B. C.

(58)

Phương trình hồnh độgiao điểm

0 1 x

x x x

x =  = ⇔ = −

 =



Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x5 y= x3

( ) ( )

1

5 5

1

d d d

6

S x x x x x x x x x

− −

=∫ − = ∫ − −∫ − =

Câu 90 Cho hình ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2−4x+4, đường cong y=x3 trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích S hình ( )H

A. 11

2

S = B.

12

S = C. 20

3

S = D. 11

2 S = −

Parabol y=x2 −4x+4 có đỉnh I( )2;0

Phương trình hồnh độgiao điểm y=x2−4x+4 y= x3 x3−x2+4x− = ⇔ =4 x Câu 91 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ln(x+1), đường thẳng y=1 trục tung (phần tô đậm hình vẽ)

Diện tích ( )H

A. e 2− B. e 1− C.1 D. ln

Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y=ln(x+1) đường thẳng y=1

( )

ln x+ = ⇔ = −1 x e

Diện tích ( )H ( ) e

0

ln d

S x x

−

= ∫ +

Đặt ( )

1

ln d d

1

d d

1

u x u x

x

v x



= +

 =

 ⇒

+

 

=

  = + Khi ( ) ( ) ( )

e e

0

1 ln d e e 1

S x x x

− −

(59)

Câu 92 Hình phẳng ( )H giới hạn parabol 12 x

y= đường cong có phương trình

2

4 x y= − Diện tích hình phẳng ( )H

A. 4( 3) π+

B.

6 π +

C.

6 π +

D.

3 π+

2

4 12

x x

− = 4

4 144 x x ⇔ − = 4 144 x x

⇔ + − =

36 576

x x

⇔ + − =

2 12 48 x x  = ⇔  = −

 ⇔ = ±x

Diện tích hình phẳng ( )H

2 2

2 d 12 x x S x −   =  − −   

∫ 2

2 3

1

16 d d

2 12

x

x x x

− − = ∫ − − ∫ Xét 2 16 d

I x x

−

= ∫ − Đặt x=4sint, với ; 2 t∈ − π π

  ⇒dx=4 cos dt t Với x= −2

3

t π

⇒ = −

Với x=2

3 t π

⇒ =

Khi đó:

3

16 16 sin cos dt

I t t

π

−

= ∫ −

3

16 cos tdt π

π

−

= ∫ ( )

3

8 cos dtt π π − = ∫ + 3

8 sin

2 t t π π −   =  +    16 3 π = +

Vậy:

2 3

2 16

4

2 36

x S π −   =  + −  

8 24 24

2

3 36

π  + 

= + −  

 

8

2

3

π

= + − 4( 3)

3 π+

=

Câu 93 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình trịn ( )C :x2 +y2 =8 parabol ( )

2 ;

2 x

P y= chia hình

trịn thành hai phần Gọi S1 diện tích phần nhỏ, S2 diện tích phần lớn Tính tỉ số S S ?

A S S π π + =

− B 12

3 S S π π − =

+ C 12

3 S S π π + =

+ D 12

3 S S π π + = −

Hướng dẫn giải Chọn A

x y

(60)

Giao điểm ( )P ( )C nghiệm hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 x y x y  + =   =  

Thay ( )2 vào ( )1 ta được:

4

2

8 32

4 x

x + = ⇔x + x − =

( ) 2 x x x L  = ⇔ ⇔ = ± = − 

Phần nhỏ giới hạn đường

2 x

y= ; y= 8−x2 ; x= −2; x=2 nên ta có:

( )

2 2 2

2

1

2 2

8 d d d

2

A B

x x

S x x x x x

− − −   =  − −  = − −   ∫ ∫ ∫  

Tính ( )

2

8 d

A x x

−

= ∫ −

Đặt x=2 sint⇒dx=2 cos dt t

Đổi cận:

4

x= − ⇒ = −t π ;

4 x= ⇒ =t π

2

4

8 8sin 2 cos d

A t t t

π

−

= ∫ −

4

8 cos dt t π

π

−

= ∫ ( )

4

4 cos dt t π

π

−

= ∫ +

4

4 sin

2 t t π π −   =  + 

  =2π +4

2 2 d x B x − = ∫ = ⇒

S = π+ ⇒ 2

4

3 S =πR − =S π −

Vậy S S π π + = −

Câu 94 Tính diện tích hình phẳng giới han đường

A. B. C. D.

Câu 95 Tính diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường tròn y= 2−x2 đường thẳng d qua hai điểm A(− 2;0) B( )1;1 ( phần tô đậm hình vẽ)

2

y=x − y= − x 13 3 11 2

x − = − x ⇔ x2+ − =x ⇔ x = ⇔ = ±1 x 1

2

2 d

S x x x

−

= ∫ − + 1( )

1

2 d

x x x

− = ∫ − + ( ) ( ) 2

2 d d

x x x x x x

−

= ∫ − − +∫ − +

0

3

1

2

3

x x x x

x x

−

   

=  − −  + − + 

   

7 7

6

(61)

A. 2 π +

B. 2

4 π+

C. 2

4 π −

D. 2

4 π −

Ta có d qua B( )1;1 có VTCP u = AB= +(1 2;1) ( VTPT n= −( 1;1+ 2)

Suy phương trình tổng quát d: 1− (x− + +1) (1 2)(y− =1) ⇔ − + +x (1 2)y− =0

1

1 2

y= x+

+ +

Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm

2

1

2 d

1 2

S x x x

−

 

=  − − − 

+ +

 

∫ =

1

2

1

2 d d

1 2

x x x x A B

− −

 

− −  +  = −

+ +

 

∫ ∫

Ta có

2

1

d

1 2

B x x

−

 

=  +  =

+ +

 

∫ 1 2 x22 +1 22x1 2

+ + −

 

1

2

+ =

Xét tích phân

2

2 d

A x x

−

= ∫ −

Đặt x= sint ⇒dx= cos dt t ; Đổi cận:

2

x= − ⇒ = −t π

4 x= ⇒ =t π

Khi

2

2cos tdt A

π

π −

= ∫ ( )

2

1 cos dtt

π

π −

= ∫ + 1sin 2

2

t t

π

π π

 

= +  = +

  −

Vậy 1 2

4 2

S = π + − − = π −

Câu 96 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol 2

y= x đường Elip có phương trình

2

1

x y

(62)

A. π+

B.

3 π

C.

4 π+

D.

4 π

Ta có 2 x y

+ =

4 x y

⇒ = ± −

Phương trình hồnh độgiao điểm đường cong nửa Elip Parabol

2 x x

− =

3x x

⇔ + − = 2 1 x x x x  =  = −  ⇔ ⇔  = = −  

Suy diện tích hình phẳng ( )H cần tính ( ) 2 d H x

S x x

−

 

=  − − 

 

∫

1

4 d

2− x x

= ∫ − − Xét

I x dx

−

= ∫ − , đặt x=2 sint ta

6

2

6

4 sin cos d

I t t t

π

−

= ∫ −

6

2 cos t td π π − = ∫ ( ) 6

1 cos dt t π

π

−

= ∫ +

6 sin 2 t t π π −   = +    3 π = +

Do ( ) 3

3

H

S = +π −

6 π +

=

Chú ý: Ta bấm máy ( )

1 2 d H x

S x x

−

 

=  − − 

 

∫ so sánh kết với phương án Câu 97 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường

1

y= x − y=k, 0< <k Tìm k để diện tích hình phẳng ( )H gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên

A. k= 34 B. k= 32 1.− C.

2 k =

D. k= 34 1.− Chọn D

(63)

Diện tích hình phẳng giới hạn

1 , ,

y= −x y=k x= diện tích hình phẳng giới hạn :

2

1 , 1, ,

y= −x y=x − y=k x>

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

0 1

1 d d d

k k

k

x k x k x x k x x

− +

−

− − = − + + − +

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1 1 1

3 3

1

1 1 1

3

k k k k k k k k k

k k k k k

⇔ − − − − − = − − − − − + − −

+ + + − + + − + +

( )

2

1

3 k k

⇔ + + = ⇔( 1+k)3=2 ⇔ =k 4 1.−

Câu 98 Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục đoạn [−3;3] Biết diện tích hình phẳng

S , S2 giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng y= − −x M, m Tính tích phân ( )

3

3 d f x x

−∫

A. 6+ −m M B. 6− −m M C. M − +m D. m−M −6

Ta có

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1

1

3 3 3

1 d d d

2 x

M S x f x x x x f x x x

− − − −

 

= = − − − = − − − = − − 

 

∫ ∫ ∫ ( )

3

d f x x

− = −∫

(64)

( )

( ) ( ) ( )

3 3

2

1 1

1 d d d

m=S =∫ f x + +x x=∫ f x x+∫ x+ x ( ) ( )

3

1 1

d d

2 x

f x x  x f x x

= + +  = +

 

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

1 3

1

3

d d 6 d d

S S f x x f x x M m f x x f x x

− −   − = − − − ⇔ − = − − +    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 d

M m f x x

−

⇔ − = − −∫ ( )

3

d

f x x m M

−

⇔ ∫ = − +

Câu 99 Cho ( )H hình phẳng giới hạn đường cong y= x nửa đường trịn có phương trình

4

y= x x− (với 0≤ ≤x 4) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

A. 15 24 π +

B.

6 π −

C. 10

6 π−

D. 10 15

6 π−

Ta có 4x−x2 = x ⇔ x2−3x=0 x x =  ⇔  = 

Vậy diện tích hình phẳng ( )H ( )

2

4 d

S =∫ x−x − x x

3

2

0

4x x dx x xd

=∫ − −∫

( )

3

2

4 x dx

=∫ − − −

Đặt x− =2 sint, ; 2 t∈ −π π

 ⇒dx=2 cos dt t Khi x t π

= ⇒ = − ;

6 x= ⇒ =t π

Suy

2

2 sin cos d

S t t t

π

−

= ∫ − − ( )

2

2 cos dt t π

π

−

= ∫ + − ( )6

2 2t sin 2t

π π

−

= + −

Câu 100 Cho hình phẳng D giới hạn parabol 2

y= − x + x, cung trịn có phương trình

16

y= −x , với (0≤ ≤x 4), trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D

A. 16

π − B. 16

3

π− C. 16

3

π+ D. 16

3 π −

O x y 4 16 y= −x

2

y= − x + x O

x y

(65)

Diện tích hình phẳng D

2

0

1

16 d

2

S =  −x − − x + x x

 

∫

Xét tích phân

2

16 d

I =∫ −x x Đặt x=4 sint, ;

2 t∈ −π π

 

Khi 2

0

dt 16 16sin cos d

I t t t

π

=∫ ∫ − 2

0

16 cos tdt

π

= ∫ 16 1sin

2t t

 

=  + 

  =4π

4

2

0

1 16

2 d

2

J = − x + x x= − x +x  =

   

∫

Vậy 16 S = π −

Câu 101 Cho Parabol ( ) :

P y=x hai điểm A, B thuộc ( )P cho AB=2 Diện tích hình phẳng giới hạn ( )P đường thẳng AB đạt giá trị lớn

A.

3 B.

3

4 C.

4

3 D.

3

Cách1: Gọi A a a( ; 2), B b b( ); với a<b

Ta có: ( )2 ( 2)2

2

AB= ⇔ b−a + b −a =

2 :x a y a AB

b a b a

− −

=

− −

2

x a y a

b a

− −

⇔ =

+

( )( )

y a b x a a

⇔ = + − + ⇔ =y (a b x+ ) −ab

( )

( 2) ( )( )

d d

b b

a a

S =∫ a b x+ −ab−x x=∫ x−a b−x x Đặt t= −x a Suy ra:

( ) (( ) 2) ( ) ( )3

0 0

d d

2

b a b a

b a t t b a

S t b a t t b a t t t

− −

− − − −

= ∫ − − = ∫ − − = − =

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( )

2

2 2 2 2

2

4 4

1

b a b a b a b a b a

a b

− + − = ⇔ − + + = ⇔ − = ≤

+ +

Suy ra: ( )

3 3

2

6

b a

b a− ≤ ⇒ =S − ≤ =

O x

y

B

(66)

Dấu “=” xảy chi a b b a

+ =   − = 

1 b a

=  ⇔  = −

 ⇔ A(−1;1); B( )1;1 Vậy giá trị lớn AB

3

Chúý: Khi làm trắc nghiệm ta dựđốn (linh cảm:D) a, b đối nhau, nghĩa là: a b+ =0 Từ

đó, thay vào ( )2 ( 2 2)2

4

b−a + b −a = , tìm a= −1, b=1 Suy ra: A(−1;1); B( )1;1

Viết phương trình: AB y: =1 Từđó: ( )

1

4

1 d

3

S x x

−

= ∫ − =

Hoặc linh cảm, đặc biệt hóa AB song song với Ox, từđó tìm a b+ =0

Cách2: Sử dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn ( )P :y=ax2+bx c+ ( )d :y=mx+n

Đầu tiên ta lập phương trình hồnh độgiao điểm ( )P ( )d :

ax +bx+ =c mx+n ⇔ax2+ −(b m x c n) + − =0 Khi diện tích hình phẳng là:

3

4 36 S

a ∆

= , với ∆ =(b−m)2−4a c( −n) Áp dụng:

Tương tự, ta có ( )AB :y=(a b x ab+ ) − , a<b

PTHĐGĐ: ( )

x = a b x+ −ab ⇔x2−(a b x+ ) +ab=0, có ∆ =(b−a)2

Suy ra: ( )

6

2

36 36

b a

S = ∆ = − ( )

3 b a

S −

⇒ = đánh cách

Câu 102 Cho hàm số

4

2

2 x

y= − m x + Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm sốđã cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 64

15

A. ∅ B.{ }±1 C. 2;

2

 

± ± 

 

 

  D.

1 ; ± ± 

 

 

Tập xác định D=

( )

3 2

2 2

y′ = x − m x= x x − m ;

0

2 x

y x m

x m

=   ′ = ⇔ =

 = − 

Đồ thị hàm sốđã cho có cực đại cực tiểu ⇔ ≠m

Vì

2

a= > nên hàm sốđạt cực đại x=0 suy điểm cực đại đồ thị hàm số A( )0; Đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình d y: =2

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )Cm d là:

2

0

2 2

2

2 x x

x

m x x m

x m

 =

 = 

− + = ⇔ ⇔ =

=

  = −

(67)

Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý hàm sốđã cho hàm chẵn)

2 4 4 4

2 2 2

2 0

5

2 d 2 d 2 d

2 2

2

2 64

2

10 15

m m m

m

x x x

S m x x m x x m x x

m x

m x m

−

 

= − = − =  − 

 

 

=  −  =

 

∫ ∫ ∫

Ta có 64 1

1 15

m

S m

m = 

= ⇔ = ⇔ 

= −



Câu 103 Cho khối trụcó hai đáy hai hình trịn (O R; ) (O R′; ), OO′ =4R Trên đường tròn (O R; ) lấy hai điểm A, B cho AB=a Mặt phẳng ( )P qua A, B cắt đoạn OO′ tạo với đáy góc 60°, ( )P cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện

A.

3 R

π

 

+

 

  B.

2

3 R

π

 

−

 

  C.

2

3 R

π

 

+

 

  D.

2

4

3 R

π

 

−

 

 

Cách1: Gọi diện tích cần tìm S, diện tích hình chiếu xuống đáy S′ Ta có: S′ =S.cos 60°

Hình chiếu phần elip xuống đáy miền sọc xanh hình vẽ

Trong ∆AOB ta có: 

2 2

1 cos

2

OA OB AB

AOB

OA OB

+ −

= = − 

3

AOB π

⇒ =

Suy ra: sđAOB lớn

π

=

Do 2

quat

4

1 2

3 sin

2 3

AOB AOB

S S S R R R

π

π π

∆

 

′ = + = +   = + 

   

Vậy 2

cos 60

S

S= ′ =  π + R = π + R

°    

Cách2: Ta có:  

2 2

1

cos 120

2 2

OA OB AB R

AOB AOB OH

OA OB

+ −

= = − ⇒ = ° ⇒ =

(68)

Suy ra: phương trình đường trịn đáy 2 2

x +y =R ⇔ = ±y R −x Hình chiếu phần elip xuống đáy miền sọc xanh hình vẽ

Ta có 2

2

2 d

R

S R x x

−

= ∫ − Đặt x=R.sint

3

S  π R

⇒ = + 

 

Gọi diện tích phần elip cần tính S′

Theo cơng thức hình chiếu, ta có

cos 60

S

S′ = = S = π + R

°  

Cách3: Gọi I H K E, , , điểm hình vẽ

* Ta có: IHO=60°

2

2 2

4

R R

OH =OB −BH =R − =

2 R OH

⇒ = tan 60

2 R

OI OH

⇒ = ° = ,

cos 60 OH

IH = =R

° ,

IOH EKH

∆ ∆ nên ta có: IE OK IE 2R

IH =OH = ⇒ =

* Chọn hệ trục tọa độ Ixy hình vẽ ta có elip ( )E có bán trục lớn a=IE=2R ( )E qua

; R A−R 

  nên ( )E có phương trình ( )

2 2

:

4

x y

E

R +R = * Diện tích thiết diện

2 2

2

2 d d

4

R R

x x

S R x R x

R R

− −

= ∫ − = ∫ −

* Xét tích phân:

2

1 dx

4 R

R

x I

R

−

= ∫ − , đặt sin ; ;

2 x= R t t∈ − π π

(69)

( )

2 2

6

sin 2

1 cos d

2 2

R R t

I t t t R

π π

π

− −

 

= + =  +  = + 

   

∫

3

S  π R

⇒ = + 

 

Câu 104 Cho parabol ( )P :y=x2và đường thẳng d thay đổi cắt ( )P hai điểm A, B cho AB=2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( )P đường thẳng d Tìm giá trị lớn Smax S

A.

3 2018

6 max

S = + B.

3 2018

3 max

S = C.

3 2018

6 max

S = − D.

3 2018

6 = max

S

Giả sử ( ; )

A a a ;

( ; ) ( )

B b b b>a cho AB=2018 Phương trình đường thẳng d là: y=(a b x+ ) −ab Khi

( )

( ) ( )3

2

( ) d d

6

b b

a a

S =∫ a b x ab+ − −x x=∫ a b x ab+ − −x x= b a−

Vì AB=2018⇔(b a− )2+(b2−a2)2 =20182 ⇔(b a− )2(1+ +(b a)2)=20182 ( )2 2

2018 b a

⇒ − ≤ 2018 20183

6

b a b a S

⇒ − = − ≤ ⇒ ≤ Vậy

3 max

2018

S = a= −1009 1009

b=

Câu 105 Cho parabol hai điểm , thuộc cho Tìm giá trị lớn diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng

A. B C D

Gọi hai điểm thuộc cho

Khơng tính tổng qt giả sử

Theo giả thiết ta có nên

Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng ta có

( )

:

P y=x A B ( )P AB=2

( )P AB

3

4

3

5

x y

y=x2

O A

B

( 2) ;

A a a ( )2

;

B b b ( )P AB=2

a<b

AB= (b a− )2+(b2−a2)2 =4 ⇔(b a− ) (2 b a− )2+ =1 A B y=(b a x ab+ ) −

(70)

Mặt khác nên

Vậy Vậy

( )

d b

a

S =∫ a+b x−ab−x  x ( )

2

b

a

x x

a b abx

 

= + − − 

 

( )3 b a− = ( ) (2 )2

1

b a−  b a− + = b a− = − ≤b a (b−a)2+ ≥1 ( )3 3

2

6

b a

S= − ≤ max

4

(71)

Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường cong (>2 đường cong)

Câu 106 Cho parabol ( )P :y=x2+2 hai tiếp tuyến ( )P điểm M(−1;3) N( )2;6 Diện tích hình phẳng giới hạn ( )P hai tiếp tuyến

A.

4 B.

13

4 C.

7

4 D.

21

Phương trình tiếp tuyến M(−1;3) d1:y= − +2x Phương trình tiếp tuyến N( )2;6 d2:y=4x−2

Phương trình hồnh độgiao điểm d1 d2: − + =2x 4x−2

2 x

⇔ = Vậy

1

2

2 d

S x x x

−

=∫ + + −

2 2

2 d

x x x

+∫ + − +

4

=

Câu 107 Cho ( )H hình phẳng tơ đậm hình vẽvà giới hạn đường có

phương trình 10

3

y= x−x ,

2

x x

y

x x

− ≤



=  − >

 Diện tích ( )H bằng?

A. 11

6 B.

13

2 C.

11

2 D.

14

Hoành độgiao điểm hai đồ thị hàm số y= −x y= −x − = − ⇔ =x x x Diện tích hình phẳng cần tính

1

2

0

10 10

d d

3

S =  x−x +x x+  x−x − +x  x

   

∫ ∫

1

2

0

13

d d

3

S  x x  x  x x  x

⇔ =  −  +  − + 

   

∫ ∫

1

2

0

13

d d

3

S  x x  x  x x  x

⇔ =  −  +  − + 

   

∫ ∫

1

3

2

0

13 13

2

6

x x

S  x   x x

⇔ = −  + − +  =

   

Câu 108 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −x nửa đường tròn 2

1 x +y = bằng?

A. π −

B.

2 π−

C.

2 π −

D.

4 π −

O x

1

−

1

(72)

1 1

1

x x

y x

x x

− ≥



= − =  − <



2 2

1

x +y = ⇔ = ± −y x tính nửa đường trịn nên ta lấy y= 1−x2

Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −x nửa đường trịn x2+y2 =1 phần tơ

màu vàng hình vẽ

Cách 1:

1 1

.1.1

4

S = πR − = −π (1

4 diện tích hình trịn – diện tích tam giác vng cân) Cách 2:

( )

1

2

1 d

S =∫ −x − −x  x ( )

1

2

0

1 x dx x dx

=∫ − +∫ −

1

0 x

I  x

= + − 

 

1 I

= − Tính

1

2

0

1 d

I =∫ −x x

Đặt x=sint, ;

2 t∈ − π π

 ; dx=cos dt t Đổi cận x= ⇒ =0 t 0;

2 x= ⇒ =t π

2

0

1 d

I =∫ −x x

2

1 sin t.cos dt t

π

=∫ −

0

cos cos dt t t

π

=∫ 2

0

cos dt t

π

=∫

0

1 cos d

t t

π + =∫

2

0 sin

2

t t

π π

 

=  +  =

 

Vậy

4 S= −π

Câu 109 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2x,

y=x , y=1 miền x≥0,y≤1

A.

2 B.

1

3 C.

5

12 D.

2

Cách1:

Ta có:

2 y

(73)

1

0

5 d

2 12

y

S =∫ y− y= (Bấm máy trực tiếp xét dấu bỏ ) Cách2:

Phương trình hồnh độgiao điểm:x2 =2x⇔x2 −2x=0 x x

=   = 

Phương trình hồnh độgiao điểm: 1

1 x x

x =  = ⇔  = −



Phương trình hồnh độgiao điểm:2 1

2 x= ⇔ =x

Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm

( ) ( )

1

2

1

2

2 d d

S =∫ x−x x+∫ −x x

3

2

1

2

3

0 2

x x

   

= −  + − 

   

5 12

=

Câu 110 Cho hình phẳng giới hạn đường

4

y= −x , y=2, y=x có diện tích

S = +a bπ Chọn kết quảđúng:

A. a>1, b>1 B. a b+ <1 C. a+2b=3 D. a2+4b2 ≥5

Các phương trình hồnh độgiao điểm:

* 4−x2 =x ⇔

2 x

x x

≥  

− =

 ⇔

0 x x

≥  

=  * 4−x2 =2 ⇔ x=0

* x=2

x y

3

(74)

Diện tích cần tính là: ( ) ( )

2

0

2 d d

S= ∫ − −x x+ ∫ −x x ( )

2 2

2

0

2dx x dx x dx

= ∫ + ∫ − − ∫ −

( )

2 2

0

2 d

2 x

x  x  x x

= + −  − −

  ∫

2

2 2 x dx

= + − −∫ − 2

0

3 x dx

= − ∫ −

Đặt x=2sint ⇒ dx=2 cos dt t Đổi cận: x=0 ⇒ t=0; x= ⇒ t=π

Ta có ( )

2 4

2 2

0 0

4 x dx 4 sin t.2 cos dt x cos dt x cos dt x

π π π

− = − = = +

∫ ∫ ∫ ∫

4

0

1

2 sin 2

2 2

t t

π

π π

   

=  +  =  + = +

   

Vậy

2

S= − − = −π π

Theo kí hiệu tốn ta suy a=2,

b= − Do mệnh đềđúng a2+4b2 ≥5 Câu 111 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2; 2; 27

27

y x y x y

x

  

A. 27 ln B. 27 ln C. 28 ln D. 29 ln

Xét pthđgđ 2 27 27

0 0; 3;

27 27

x x

x x x x x

x x

           

Suy

2

3

2

0

27

27 ln

27 27

x x

S x dx dx

x

   

   

        

   

 

Câu 112 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol

6 12

y=x − x+ tiếp tuyến điểm A( )1; B(−1;19)

A.

3 B.

2

3 C.

4

3 D.

(75)

Gọi tiếp tuyến điểm A( )1; d1 Suy d1: y= y′( )(1 x− + = − +1) 4x 11 Gọi tiếp tuyến điểm B(−1;19) d2 Suy d2: y=y′( )(−1 x+ +1) 19= − +8x 11

Ta có phương trình hồnh độgiao điểm d1 parabol

6 12 11

x − x+ = − + ⇔ =x x

Ta có phương trình hồnh độgiao điểm d2 parabol

2

6 12 11

x − x+ = − + ⇔ = −x x Ta có phương trình hoành độgiao điểm d2 d1

4x 11 8x 11 x

− + = − + ⇔ =

Vậy diện tích hình phẳng cần tính

0

2

1

6 12 11 d 12 11 d

3 3

S x x x x x x x x

−

= ∫ − + + − +∫ − + + − = + =

Câu 113 Diện tích hình phẳng giới hạn bởiy=2x;

y=x ;y=1 miềnx≥0; y≤1 A.

3 B.

1

2 C.

5

12 D.

2

Phương trình hồnh độgiao điểm x2 =1⇒ =x 1; 2x=1

2 x

⇔ = Hình phẳng cần tính tạo từ hai hình ( )H1 ( )H2

Trong ( )

1

2

1 0;

2

y x

H y x

x x

 =   =  

 = =



1

2

0

2 d

S x x x

⇔ =∫ −

24

=

Và ( )

2

1

;

2 y

H y x

x x

 =   = =



 = =



1 2

1

1 d

S x x

⇔ =∫ −

24

=

(76)

Câu 114 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng ,

y x y x đồ thị hàm số yx3 a

b Khi a b

A. 68 B. 67 C. 66 D. 65

Hướng dẫn giải Ta có

3

8 0;8 ;

1 2

x x

x x x x x x x

x x

   

 

         

 

 



Nên    

1 2

3

0

63

8

4 S  x x dx  x x dx

Câu 115 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y1,y x đồ thị hàm số

2 x y miền x0,y1là a

b Khi b a

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Ta có

2

1 1; 0;1

4

x x

(77)

Nên

2

1

0

5

4

x x

S x dx   dx

   

 

Câu 116 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )P :y=x2−4x+5 tiếp tuyến ( )P A( )1; B( )4;5

A.

4 B.

4

9 C.

9

8 D.

5

Ta có y′ =2x−4

Tiếp tuyến ( )P A B y= − +2x 4; y=4x−11 Giao điểm hai tiếp tuyến 5;

2 M − 

 

(78)

( ) ( )

4

2

5

2

9

4 d 11 d

4 S=∫ x − x+ + x− x+∫ x − x+ − x+ x=

Câu 117 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, y=1,

y= −x A. e

2

S = − B. e

2

S = − C. e

2

S = + D. e

2 S = +

Ta có ( ) ( )

1 e

0

1 d ln d

S =∫ − −x  x+∫ − x x ( ) ( )

e

1 e

2

0 1

1 ln d ln

2 x

x x x x

= + − −∫ −

e

1

1 d

2 x x x

−

= − −∫ e

1 x

= − + (e 1)

= − + − e

2

= −

Câu 118 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y=8x , y= x đồ thị hàm số y= x3 phân số tối giản a

b Khi a b+

A. 62 B. 67 C. 33 D. 66

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4

-3 -2 -1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

x y

Ta có

x y

1

e

y = ln( )x

y = x y =

(79)

3 2 x x x x =  = ⇔  = ±

 loại x= −2

3 x x x x =  = ⇔  = ±

 loại x= −1

Suy ( ) ( )

2

3

0

8 d d

S = ∫ x−x x−∫ x−x x

2

2 4

0

8

2 4

x x x x

    = −  − −      63 16 4 = − =

Khi a b+ =67

Câu 119 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−4x+3 ( )P tiếp tuyến kẻ từđiểm 3;

2 A − 

  đến đồ thị ( )P Giá trị S

A. B.

8 C.

9

4 D.

9

Giả sử ∆ đường thẳng qua 3;

2 A − 

  có hệ số góc k,

2

:

3 y k x  ∆ =  − −

 

Để đường thẳng ∆ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=x2−4x+3 hệ phương trình ( )

( )

2

3

4 3

2

x k

x x k x

− =    − + =  − −      

có nghiệm

Thay (1) vào (2) ta (2 4) 3

2 x − x+ = x− x− −

 

2

3

x x

⇔ − =

3 x x =  ⇔  =  Với x=0 k = −4, phương trình tiếp tuyến y= − +4x

Với x=3 k =2, phương trình tiếp tuyến y=2x−9

Diện thích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−4x+3 hai tiếp tuyến y= − +4x y=2x−6

( ) ( ) 3 2

4 d d

S =∫ x − x+ + x− x+∫ x − x+ − x+ x ( )

3 2

d d

x x x x x

=∫ +∫ − +

( )

3 3

3

2

3

(80)

Câu 120 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol ( )P :y=x2 hai đường thẳng y=a, y=b (0< <a b) (hình vẽ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P đường thẳng y=a (phần tô đen); ( )S2 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P đường thẳng y=b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau a b S1=S2?

A. b=3 4a. B. b= 32a. C. 3

b= a D.

6 b= a

Phương trình hồnh độgiao điểm parabol ( )P :y=x2 với đường thẳng y=b

x = ⇔ = ±b x b

Phương trình hồnh độgiao điểm parabol ( )P :y=x2 với đường thẳng y=a

x = ⇔ = ±a x a

Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P :y=x2 đường thẳng y=b

( 2)

0

2 d

b

S = ∫ b−x x

3

0

3 b x bx

 

=  − 

 

b b b b

 

=  − 

 

4 b b

=

Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) :

P y=x đường thẳng y=a(phần tô màu đen)

( 2)

1

2 d

a

S = ∫ a−x x

3

0

3 a x ax

 

=  − 

 

a a a a

 

=  − 

 

4 a a

=

Do S =2S1

4

2

3

b b a a

⇔ = ⇔( ) ( )b 3=2 a 3

2

b a

⇔ = ⇔ =b 4a

(81)

Giá trị biểu thức T =(4−m) (3+ 4−n)3 A 320

9

T = B. 75

2

T = C. 512

15

T = D. T =450

Sử dụng cơng thức: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ax2+bx c+ trục hoành bằng

3 S

a ∆

= , với a≠0 ∆ =b2 −4ac>0

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số với trục hoành − +x2 4x=0

4 x x

=  ⇔  =

 Diện tích hình ( )H ( )

4

32 d

3 S = − +∫ x x x=

Từ đó, diện tích S1 giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 4x đường thẳng y=m

( )3

3 1

16

6

m

S S

a

− ∆

= = =

diện tích S2 giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 4x đường thẳng y=n

( )3

3 2

16 2

6

n

S S

a

− ∆

= = =

Từđó

( )

2

3

2

3 64

16 32

4

6

1 128

16 64 4

4

6

m

n n

 −   

 =  − =  

 ⇔  

 

 

 −  − =

 

=

   



Suy (4 ) (3 )3 320 T = −m + −n =

Câu 122 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x2, x

y = , y 27 x

= A. 63

8 B

63 27 ln

8

− C. 27 ln D 27 ln 63

4

−

Xét phương trình hồnh độgiao điểm:

2 27 x

x

= ⇔ =x 3;

2

8 x

x = ⇔ =x ;

27 x

x

(82)

Ta có :

3

2

0

27

d d

8

HP

x x

S x x x

x

   

=  −  +  − 

   

∫ ∫

3

3 3

0

27 ln

3 24 24

HP

x x x

S = −  + x − 

   

63 63

27 ln

8

= + − =27 ln

Câu 123 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường y=(x−3)2, trục tung trục hoành Gọi

k , k2 (k1>k2) hệ số góc hai đường thẳng qua điểm A( )0;9 chia ( )H làm ba phần có diện tích Tính k1−k2

A. 13

2 B. C.

25

4 D.

27

Gọi d1:y=k x1 +9, d2:y=k x2 +9 (k1 >k2) Gọi 1

1

;

M d Ox M

k

 

= ∩ ⇒ − 

 ; 2

9 ;

N d Ox N

k

 

= ∩ ⇒ − 

 

9

k k

 

− < −

 

 

Giao điểm ( )P :y=(x−3)2 với hai trục tọa độ C( )3; , A( )0;9

Theo giả thiết ta có 2 1

1

9 18

2O

AON ANM

S S OM N k k

k k

∆ = ∆ ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =

Lại có ( ) ( )

3

2

1 243 27

3S d

2 2

AON H

S x x OA ON k

k

∆

= ⇔∫ − = ⇔ = − ⇔ = −

Suy 1 27

k = − 1 2 27

4 k k

⇒ − =

Câu 124 Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị ( )d1 :y=2x−2,

( )2 :

2 x

d y= + , ( )P : y=x2−4x+3 A. 189

16

S = B. 13

3

S= C. 487

48

S= D. 27

4 S =

(83)

x

x x

+ = − +

2

x x

⇔ − + =

1 x

x  =  ⇔

 = 

Phương trình hồnh độgiao điểm: 2x− =2 x2 −4x+3 ⇔x2−6x+ =5

5 x x

=  ⇔  =



Phương trình hồnh độgiao điểm: 2

2 x

x− = + 3

2x

⇔ − = ⇔ =x Diện tích hình phẳng ( )H :

( ) ( )

2

1

2

1 d 2 d

2 x

S =  + − x − x+  x+  x− − x − x+  x

 

∫ ∫

( )

1

2

1

2

9

2 d d

2

x x x x x x

 

= − + −  + − + −

 

∫ ∫

1

3

2

1

2

9

2

3

x x

x x x x

   

= − + −  + − + − 

   

189 16

(84)

Dạng5:Diện tích S giới hạn đường:

-Đồ thị x=g y( ), x=h y( ), h y( ) liên tục đoạn [ ]c d,

-Hai đường thẳng x=c x, =d ( ) ( )

d

c

S =∫ g y −h y dy

Câu 125 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y22y x 0, x y A.

4 B.

9

2 C.

7

2 D.

11

Hướng dẫn giải Biến đổi hàm số theo biến số y x  y2 ,y x y

Xét pt tung độgiao điểm ( y2 )y   y 0 có nghiệm y0, y3

Vậy  

3

2

0

9

3

2 S   y y dy y y dy

Câu 126 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau

A.

3 B.

11

3 C.

7

3 D.

10

Ta có 2

2 y

y y

y       

 

 , Nên

2

10

( )

(85)

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị Biết đồ

thị qua gốc tọa độ đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Tính giá trị ?

A B C D

Câu 2: Cho hàm số y f x ax3bx2 cx d a b c d , , , ;a0 có đồ thị (C) Biết

đồ thị(C) qua gốc toạđộvà đồ thị hàm số y f ' x cho hình vẽ bên Tính

 3  1

f  f ?

A 24 B 28 C 26 D 21

đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y 9 điểm có hoành độdương đồ thị hàm số

 

'

y f x cho hình vẽ bên Tìm phần ngun giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành?

A 2 B 27 C 29 D 35

Câu 4: Cho hàm số y f x ax4bx2c a( 0) có đồ thị(C), đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Biết đồ thị hàm số y f ' x đạt cực tiểu điểm 3;

3

  

 

  Đồ thị hàm số

 

y f x tiếp xúc với trục hoành hai điểm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành?

( )

3

( ) , , , ,

y= f x =ax +bx + +cx d a b c d∈ a≠ ( )C

( )C y= f '( )x

(4) (2) H = f − f

45

H = H =64 H =51 H =58

x y

1 5

(86)

A

15 B

8

15 C

14

15 D

16 15

Câu 5: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục và có đồ thị hàm f ' x hình vẽ Biết

 0

f  , tính giá trị f 1 ?

A 0 B 3 C 8 D 11

Câu 6: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  đồ thị hàm số y= f′( )x

đoạn [−2; 6] hình vẽ Tìm khẳng định

A

[ 2;6] ( )

maxy f

− = − B max[−2;6] y= f ( )2 C max[−2;6] y= f ( )6 D max[−2;6] y= f ( )−1 Câu 7: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  đồ thị f′( )x đoạn [−2;6]

như hình bên Khẳng định đúng?

x y

1 1

x y

O

1

−

1

3

2

(87)

A f ( )− <2 f ( )− <1 f ( )2 < f( )6 B f ( )2 < f ( )− <2 f( )− <1 f( )6 C f ( )− <2 f ( )2 < f( )− <1 f( )6 D f ( )6 < f( )2 < f ( )− <2 f ( )−1

Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x  đồ thị hàm số f′( )x cắt trục hoành điểm a b c d, , , (hình sau)

Chọn khẳng định khẳng định sau:

A f a( ) ( ) ( ) ( )> f b > f c > f d B f a( ) ( ) ( ) ( )> f c > f d > f b C f c( ) ( ) ( ) ( )> f a > f d > f b D f c( ) ( ) ( ) ( )> f a > f b > f d Câu 9: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình Biết phương trình

 

f x  có bốn nghiệm phân biệt a, 0, b, c với a  0 b c y

x (C): y = f(x)

3

1

6

1

(88)

Mệnh đềnào đúng?

A f b  f a  f c . B f c  f b  f a  C f b  f c  f a . D f c  f a  f b 

Câu 10: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số y= f′( )x hình

Lập hàm số g x( )= f x( )−x2−x Mệnh đềnào sau đúng?

A g( )− >1 g( )1 B g( )− =1 g( )1 C g( )1 =g( )2 D g( )1 >g( )2 Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f′( )x hình bên

Đặt h x( )=2 ( )f x −x2

Mệnh đềnào ?

A h(4)= − >h( 2) h(2). B h(4)= − <h( 2) h(2) C h(2)>h(4)> −h( 2). D h(2)> − >h( 2) h(4)

Câu 12: Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f′( )x hình vẽ Đặt g x( )=2f x( )+x2 Mệnh đềnào đúng?

O x

y

1

−

1

−1

(89)

A g( )3 <g( )− <3 g( )1 B g( )1 <g( )3 <g( )−3 C g( )1 <g( )− <3 g( )3 D g( )− <3 g( )3 <g( )1 Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f x,( ) hình bên Đặt

2 ( ) ( ) ( 1) g x = f x + +x

A g(1)<g(3)< −g( 3) B g(1)< − <g( 3) g(3).

C g(3)=g( 3)− < g(1) D g(3)=g( 3)− >g(1)

Câu 14: Cho hàm số liên tục có đồ thị cho hình Đặt Mệnh đềnào

A

B

C

D Không tồn giá trị nhỏ đoạn

Câu 15: Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f′( )x có đồ thịnhư hình vẽdưới ( )

y= f x  y= f′( )x

( ) ( ) ( )2

2

g x = f x − +x [ 3;3] ( ) ( ) ming x g

− =

[ 3;3] ( ) ( ) maxg x g

− =

[ 3;3] ( ) ( ) maxg x g

− =

( )

(90)

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm số y= f′( )x đoạn

[−2;1] [ ]1; 12 Cho f ( )1 =3 Giá trị biểu thức f ( )− +2 f ( )4

A 21 B 9 C 3 D 2

Câu 16: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hàm số y= f′( )x như hình bên Biết f a( )>0

Phương trình f x( )=0 có nhiều nhất nghiệm?

A 2 nghiệm B 1 nghiệm C 4 nghiệm D 3 nghiệm

Câu 17: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm , đồ thị hàm số y= f′( )x như hình

vẽ bên

Hỏi phương trình f x( )=0 có tất cả nghiệm biết f a( )>0?

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu 18: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  và đồ thị của hàm số

( )

f′ x như hình vẽ Số lớn nhất số sau f       0 ;f ; f ;f ?

A f 0 B f  1 C f 3 D f 4

( )

f′ x như hình vẽ

Khẳng định sau đúng?

A f a  f b  f c  f a . B f a  f b  f c  f a . C f a  f b  f c  f a . D f a  f b  f c  f a . Câu 20: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  và đồ thị của hàm số

( )

O a b c x

y ( )

(91)

A f b  f c  f c  f a . B f b  f c  f c  f a . C f b  f c  f c  f a . D f b  f c  f c  f a . Câu 21: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn 0< < < <a b c d hàm số y= f x( ) Biết

hàm số y= f′( )x có đồ thịnhư hình vẽ Gọi M m lần lượt giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) [ ]0;d Khẳng định sau khẳng

định đúng?

A M + =m f ( )0 + f c( ) B M + =m f d( )+ f c( ) C M + =m f b( )+ f a( ) D M + =m f ( )0 + f a( )

Câu 22: Cho hàm số y f x  xác định liên tục đoạn 1; 2, có đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ sau

Mệnh đề nào sau đúng ?

A  

 1;2  

max f x f



  B

 1;2    

max f x f

 

O

a b c d x

(92)

C

 1;2    

max f x f

  D  1;2  

3

max

2

f x f 

      

Câu 23: Cho hàm số y f x  xác định liên tục , có đồ thị của hàm số

 

'

y f x như hình vẽ sau

Đặt g x  f x x Mệnh đềnào sau đúng ?

A g  1 g 1 g 2 B g 2 g 1  g 1 C g 2   g 1 g 1 D g 1   g 1 g 2

BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 24: Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen Được giới hạn cạnh , đường trung bình mảnh đất hình chữ nhật đường cong hình (như hình vẽ) Biết , Tính diện tích phần cịn lại

A B C D

Câu 25: Một viên gạch hoa hình vng cạnh cm thiết kếnhư hình bên Diện tích cánh hoa (phần tơ đậm)

A B C D

AB CD

MN ABCD sin

( )

AB= π m AD=2( )m

4π−1 4(π−1) 4π −2 4π −3

40 y

x

20 20

y = 20x y = 1

20x

2

800

2

cm 400

3

cm 250 cm2 800 cm2

A B

D C

(93)

Câu 26: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng , chiều cao Diện tích cổng là:

A . B . C . D

Câu 27: Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh cm

cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết cm, cm Tính diện tích bề mặt hoa văn

A B C D

Câu 28: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao , chiều rộng chân đế Người ta

căng hai sợi dây trang trí , nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn Parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (xem hình vẽ bên) Tỉ số

A B C D

Câu 29: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A đồng B đồng C đồng D đồng

Câu 30: Ba Tí muốn làm cửa sắt thiết kếnhư hình bên Vịm cổng có hình dạng parabol Giá 1m c2 ửa sắt 660.000 đồng Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:

A 6500 B 55.103

6 C 5600 D 6050

Câu 31: Trong đợt hội trại “Khi 18” tổ chức trường THPT X, Đồn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường u cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần cịn lại

được trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho 8m 12, 5m

( )2

100 m 200 m( )2 100( )2

m

3 ( )

2 200

m

10 AB=

OH =

2 160

cm

2 140

cm

2 14

cm

2 50 cm

18 m 12 m

AB CD

AB CD

1

4

5

1

3 2+

2, 25

3 1500000

33750000 3750000 12750000 6750000

2 m A

(94)

bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hồn tất hoa văn pano sẽlà (làm tròn đến hàng nghìn)?

A 900.000 đồng B 1.232.000 đồng C 902.000 đồng D 1.230.000 đồng Câu 32: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét,

chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D 3750000 đồng Câu 33: Trên cánh đồng cỏcó bị cột vào cọc khác Biết khoảng cách

cọc mét sợi dây cột bị dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị có thểăn chung (lấy giá trị gần nhất)

A 1, 034mP

P B 1, 574mP

P C 1, 989mP

P D 2,824mP

Câu 34: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng

/m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)

A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Câu 35: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé bằng10m

Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng

(như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/

1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Câu 36: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống

để dựng chồi đồdùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm

đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo

đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân)

.A 3722 B 7445 C 7446 D 3723

6m O

8m

A B

C D

(95)

Câu 37: Trong Công viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ởđó có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từđường Lemmiscate có

phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2 =x2(25−x2) hình vẽ bên

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125 ( )2

S = m B 125 ( )2

4

S = m C 250 ( )2

3

S = m D 125 ( )2

3

S = m

Câu 38: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng

/m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)

A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Câu 39: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dựđịnh lắp cửa kính

cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ)

A 28( 2)

3 m B

2 26

( )

3 m C

2 128

( )

3 m D

2 131

( ) m

Câu 40: Một khuôn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình

trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽvà kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000

đồng/mP

P

Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm

trịn đến hàng nghìn)

A 3.895.000 (đồng). B 1.948.000 (đồng). C 2.388.000 (đồng). D 1.194.000

(đồng)

Câu 41: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền

4m 4m

4m

(96)

đường hai đường elip, Elip đường viền có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m2 làm

đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Câu 42: ChọnA

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip

Phương trình Elip đường viền ngồi đường ( )

2

1 : 2

50 30

x y

E + = Phần đồ thị

của ( )E1 nằm phía trục hồnh có phương trình ( )

1 30

50 x

y= − = f x

Phương trình Elip đường viền đường ( )

2

2 : 2

48 28

x y

2 28

48 x

y= − = f x

Gọi S1 diện tích ( )E1 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh

và đồ thị hàm số y= f x1( ) Gọi S2 diện tích ( )E2 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y= f x2( )

Gọi S diện tích đường Khi

50 48

50

2

1

48

2 30 2d 28

50 48 d

x x

S S S x x

− −

−

= − = ∫ − ∫ −

Tính tích phân ( )

2

2 d , ,

a

x x

I b a

a b

+ −

= ∫ − ∈

Đặt sin , d cos d

2

x=a t − ≤ ≤π t π ⇒ x=a t t

 

Đổi cận ;

2

x= − ⇒ = −a t π x= ⇒ =a t π 60m

(97)

Khi 2 2 ( )

2 2

sin cos d co

2 t a t t s t td cos 2t d

I b ab ab t

π π π

− − −

= = +

= ∫ − ∫ ∫

2

2 sin

2

ab t t ab

π

π π

−

 + 

  =

 =



Do S =S1−S2 =50.30π−48.28π =156π

Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S =600000.156π ≈294053000 (đồng) Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( )H có cạnh nằm trục hồnh, có hai

đỉnh đường chéo A(−1;0) B a( ; a), với a>0 Biết đồ thị hàm số y= x chia hình ( )H thành hai phần có diện tích nhau, tìm a

A a=9 B a=4 C

2

a= D a=3

Câu 44: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh

O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl, S2 dùng

để trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1mP

2 P

, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1mP

2 P

Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm

trịn đến hàng chục nghìn)

(98)

HƯỚNG DẪN GIẢI

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị Biết đồ

thị qua gốc tọa độ đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Tính giá trị ?

A B C D

Chọn D

Theo hàm bậc

hai có dạng

Dựa vào đồ thị ta có:

Gọi diện tích phần hình phẳng giới hạn đường , trục ,

Ta có

Lại có:

Do đó:

đồ thị(C) qua gốc toạđộvà đồ thị hàm số y f ' x cho hình vẽ bên Tính

 3  1

f  f ?

( )

3

( ) , , , ,

y= f x =ax +bx + +cx d a b c d∈ a≠ ( )C

( )C y= f '( )x

(4) (2) H = f − f

45

H = H =64 H =51 H =58

( )

3

( ) , , , ,

y= f x =ax +bx + +cx d a b c d∈ a≠ y= f′( )x

( )

y= f′ x =a x′ +b x c′ + ′

4 c

a b c

′ = 

 ′ ′ ′− + = 

 ′ ′ ′+ + = 

3 a b c

′ =   ′

⇔ =

 ′ = 

( )

3

y f′ x x

⇒ = = +

S y= f′( )x Ox x=4, x=2

( )

4 2

3 dx 58

S =∫ x + =

( ) ( )4 ( ) ( )

2

dx

S =∫ f′ x = f x = f − f ( )4 ( )2 58

(99)

A 24 B 28 C 26 D 21

Ta có f ' x 3ax22bxc Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x ta thấy đồ thị hàm số

 

'

y f x parabol có trục đối xứng trục tung nên b0

Đồ thị hàm số y f ' x qua điểm    1;5 , 0; ta tìm được: a1;c2

Suy ra: f ' x 3x2 2 f x x32xC, đồ thị hàm số(C) qua gốc toạđộ nên

     

0 21

C  f x  x  x f  f  Chọn D

Hoặc:        

3

2

' 3 ' 21

f x  x   f  f  f x dx

đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y 9 điểm có hồnh độdương đồ thị hàm số

 

'

y f x cho hình vẽ bên Tìm phần nguyên giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành?

A 2 B 27 C 29 D 35

Ta có f ' x 3ax22bxc Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x ta thấy đồ thị hàm số

 

'

y f x qua điểm 1;0 , 3, , 1, 4      ta tìm được: 1; 1; 3

a b  c 

Suy ra: '  2   3

3

f x x  x  f x  x  x xC

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y 9 điểm có hồnh độdương nên ta có:

x y

1 5

(100)

 

' 1; 3

f x    x x  x

Như (C) qua điểm 3; 9 ta tìm   3

C  f x  x  x x

Xét phương trình trình hồnh độgiao điểm trục hồnh:

1 3

3 0;

3x x x x x



     

3

1

3 29, 25

S x x x dx





    

Chọn C

Câu 4: Cho hàm số y f x ax4bx2c a( 0) có đồ thị(C), đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Biết đồ thị hàm số y f ' x đạt cực tiểu điểm 3;

3

  

 

  Đồ thị hàm số

 

y f x tiếp xúc với trục hồnh hai điểm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành?

A

15 B

8

15 C

14

15 D

16 15 Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số y f ' x a0 ta dễdàng có đồ thị hàm số y f ' x

như sau:

Ta có

 

'

f x  ax  bx Đồ thị hàm số y f ' x qua  1;0 , 3;

3

  

 

  ta tìm

   

1; ' 4

a b   f x  x  x f x  x  x C

x y

(101)

Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên

 

' 0;

f x   x x  Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành điểm

  1;0 , 1;0

Do đó:    

0 1

f    C f x  x  x 

Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành: x42x2    1 0 x 1.

1

4

1

16

2

15

S x x dx



   

Chọn D

Câu 5: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục và có đồ thị hàm f ' x hình vẽ Biết

 0

f  , tính giá trị f 1 ?

A 0 B 3 C 8 D 11

Cách 1 : f ' x axb Theo hình vẽ ta tìm

   

' 6

f x    x f x   x  xc

Mà f  0    5 c f x  3x26x 5 f 1 8

Cách 2 :        

1

0

1 ' OAB 3

f  f  f x dxS   f   

Câu 6: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  đồ thị hàm số y= f′( )x

đoạn [−2; 6] hình vẽ Tìm khẳng định

x y

O

1

−

1

3

2

(102)

A

[ 2;6] ( )

maxy f

− = − B max[−2;6] y= f ( )2 C max[−2;6] y= f ( )6 D max[−2;6] y= f ( )−1

Chọn C

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy

[ 2;6] { ( ) ( )} maxy max f ; f

− = −

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f′( )x , trục hoành hai đường thẳng

x= − x=2

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

1

d

S f x x f x − f f

−

′

= −∫ = − = − −

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f′( )x , trục hoành hai đường thẳng

x= x=6

( ) ( ) ( ) ( )

6

2 2

2

d

S =∫ f′ x x= f x = f − f

Từ hình vẽ suy S2 >S1⇒ f ( )6 − f ( )2 > f ( )− −1 f ( )2 ⇔ f ( )6 > f ( )−1

Câu 7: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục  đồ thị f′( )x đoạn [−2;6]

như hình bên Khẳng định đúng?

A f ( )− <2 f( )− <1 f ( )2 < f( )6 B f ( )2 < f ( )− <2 f( )− <1 f( )6 C f ( )− <2 f( )2 < f( )− <1 f( )6 D f ( )6 < f( )2 < f ( )− <2 f ( )−1

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm f′( )x đoạn [−2;6] ta suy bảng biến thiên hàm số f x( )

trên đoạn [−2;6] sau:

y

x (C): y = f(x)

3

1

6

1

2 O

(103)

x −2 −1 ( )

f′ x + − +

( )

f x f( )−1 f( )6

( )2

f − f( )2

Dựa vào bảng biến thiên ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

f f

− < − 



< − 

 < 

nên A, D sai

Chỉ cần so sánh f( )−2 f ( )2 xong

Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng tơ đậm hình vẽ Ta có:

( )

1

2

d

S f x x

−

′

=∫ ( )

2

f x dx

−

′

= ∫ = f( )− −1 f( )−2

( )

2

1

d

S f x x

−

′

=∫ ( )

1

d f x x

−

′

= −∫ = f ( )− −1 f( )2

Dựa vào đồ thị ta thấy S1<S2 nên f ( )− −1 f ( )− <2 f ( )− −1 f( )2 ⇔ f( )− >2 f ( )2 Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x  đồ thị hàm số f′( )x cắt trục hoành

tại điểm a b c d, , , (hình sau)

y

x

S2 S1

(C): y = f(x)

1

6

1

(104)

Chọn khẳng định khẳng định sau:

A f a( ) ( ) ( ) ( )> f b > f c > f d B f a( ) ( ) ( ) ( )> f c > f d > f b C f c( ) ( ) ( ) ( )> f a > f d > f b D f c( ) ( ) ( ) ( )> f a > f b > f d

Chọn D

(105)

 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy f a( ) f c( ) lớn f b( ) f d( ) (1)

 + 1 2 '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a c

b b

S <S ⇒∫ f x dx<∫ f x dx⇒ f a − f b < f c − f b

( ) ( )

f a f c

⇒ < (2)

 + '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c c

b d

S <S ⇒ ∫ f x dx<∫ f x dx⇒ f c − f b < f c − f d ( ) ( )

f b f d

⇒ > (3)

 Từ (1), (2) (3) ⇒ f c( ) ( ) ( ) ( )> f a > f b > f d

Câu 9: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình Biết phương trình

 

f x  có bốn nghiệm phân biệt a, 0, b, c với a  0 b c

x −∞ a b c d +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − +

y

f a( ) f c( )

(106)

A f b  f a  f c . B f c  f b  f a  C f b  f c  f a . D f c  f a  f b 

Chọn C

+ Từ hình vẽ ta thấy: f x 0 x b c; ; f x 0 xc nên có f b  f c 

+ Ta lại có:      

0

b c

a b

f x dx f x dx f x dx

        

   

      

0

0 c

a

f x dx f x dx

   

   

   

0 c a

f x f x

 

     f  0  f a  f c f 0  f a  f c  + Vậy f b  f c  f a 

Câu 10: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục  Biết đồ thị hàm số y= f′( )x hình

Lập hàm số g x( )= f x( )−x2−x Mệnh đềnào sau đúng?

A g( )− >1 g( )1 B g( )− =1 g( )1 C g( )1 =g( )2 D g( )1 >g( )2

Chọn D

Xét hàm số h x( )= f′( ) (x − 2x+1) Khi hàm số h x( ) liên tục đoạn [ ]−1;1 , [ ]1; có g x( ) nguyên hàm hàm số y=h x( )

O x

y

1

−

1

−1

(107)

Do diện tích hình phẳng giới hạn

( ) 1

2

x x

y f x

y x

= −   =   = ′ 

 = + 

( ) ( )

1

2 d

S f x x x

−

′

= ∫ − + ( ) ( )

1

2 d

f x x x

−

′

=∫ − +  ( )1

1 g x −

= =g( ) ( )1 −g −1 Vì S1>0 nên g( )1 >g( )−1

Diện tích hình phẳng giới hạn

( )

2

x x

y f x

y x

=   =   = ′ 

 = + 

( ) ( )

2

1

2 d

S =∫ f′ x − x+ x ( ) ( )

1

2x f′ x dx

=∫ + −  ( )2

1 g x

= − =g( )1 −g( )2 Vì S2 >0 nên g( )1 >g( )2

Câu 11: Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f′( )x hình bên

Đặt h x( )=2 ( )f x −x2

Mệnh đềnào ?

A h(4)= − >h( 2) h(2). B h(4)= − <h( 2) h(2) C h(2)>h(4)> −h( 2). D h(2)> − >h( 2) h(4)

S2

S1

O y

x

5

3

2 -1

(108)

Ta có h x'( )=2 '( ) 2f x − x=2f '( )x −x Ta vẽ đường thẳng yx

     

 

   

2

2 '

2

h h h x dx

f x x dx

h h



  

 

    

  

 

Hoặc

     

 

   

4

2

4 '

2 '

4

h h h x dx

f x x dx

h h



 

 

    

 

 

           

   

4 4

2 2

1

4 ' ' ' '

2

h h h x dx f x x dx f x x dx f x x dx

S S h h

  

     

              

     

   

Như ta có:h  2 h 4 h 2 Chọn C

(109)

A g( )3 <g( )− <3 g( )1 B g( )1 <g( )3 <g( )−3 C g( )1 <g( )− <3 g( )3 D g( )− <3 g( )3 <g( )1

Ta có: g x'( )=2 'f ( )x +2x=2f '( )x +x⇒ −g x'( )=2− −x f '( )x  Ta vẽđường thẳng y x

           

3

3 ' '

g g g x dx x f x dx g g

 

 

            

           

1

1 ' '

g g   g x dx   x f x dx  g g

         

   

3

1

3

3 g' ' ' 2

3

g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

 

   

              

  

  

Chọn B

Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị hàm số y= f x,( ) hình bên Đặt

(110)

A g(1)<g(3)< −g( 3) B g(1)< − <g( 3) g(3).

C g(3)=g( 3)− < g(1) D g(3)=g( 3)− >g(1)

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' 2 ' ' '

g x = f x + x+ = f x + x+ ⇒ −g x = − + −x f x  Ta vẽđường thẳng y  x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

3 ' '

g g g x dx x f x dx g g

− −

− − = −∫ = ∫− + −  > ⇒ − >

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 ' '

g −g = −∫g x dx= ∫− + −x f x dx < ⇒g >g

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

1

3

3 ' ' ' 2

3

g g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

− −

− − = − = − + −  + − + −  = − >

⇒ − >

∫ ∫ ∫

Như ta có: g(1)<g(3)< −g( 3) Chọn A

Câu 14: Cho hàm số y= f x( ) liên tục  có đồ thị y= f′( )x cho hình Đặt

( ) ( ) ( )2

2

g x = f x − +x Mệnh đềnào A

[ 3;3] ( ) ( )

ming x g

− =

B

[ 3;3] ( ) ( )

maxg x g

− =

S1

(111)

C

[ 3;3] ( ) ( )

maxg x g

− =

D Không tồn giá trị nhỏ g x( ) đoạn [−3;3]

Chọn B

Ta có g x( )=2f x( ) (− +x 1)2

( ) ( ) (2 2) ( )

g x′ f′ x x f′ x x

⇒ = − + = ⇔ = + Quan sát đồ thị ta có hồnh độ giao

điểm f′( )x y= +x khoảng (−3;3) x=1 Vậy ta so sánh giá trị g( )−3 , g( )1 , g( )3

Xét ( ) ( ) ( )

1

3

d d

g x x f x x x

− −

′ =  ′ − +  >

∫ ∫

( ) ( )1 ( )1 ( )3

g g g g

⇔ − − > ⇔ > −

Tương tự xét ( ) ( ) ( )

3

1

d d

g x x′ = f′ x − +x  x<

∫ ∫ ⇔g( ) ( )3 −g < ⇔0 g( )3 <g( )1

Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

d d d

g x x f x x x f x x x

− −

′ =  ′ − +  +  ′ − +  >

∫ ∫ ∫

( ) ( )3 ( )3 ( )3

g g g g

⇔ − − > ⇔ > − Vậy ta có g( )1 >g( )3 >g( )−3 Vậy

[ 3;3] ( ) ( )

maxg x g

− =

(112)

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm số y= f′( )x đoạn

[−2;1] [ ]1; 12 Cho f ( )1 =3 Giá trị biểu thức f ( )− +2 f ( )4

A 21 B 9 C 3 D 2

Chọn C

Theo giả thiết ta có ( )

2

d

f x x

−

′ =

∫ ( )

4

1

d 12 f′ x x=

∫

Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2

d d

f x x f x x f x − f f

− −

′ = − ′ = − = − − + −

∫ ∫

( )1 ( )2

f f

⇒ − + − =

Tương tự ta có −f ( )4 + f ( )1 =12

Như −f ( )1 + f ( )−2   − −f ( )4 + f ( )1 = −3 ⇔ f ( )− +2 f ( )4 −2f ( )1 = −3 ( )2 ( )4

f f

⇔ − + − = − ⇔ f( )− +2 f ( )4 =3

Câu 16: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hàm số y= f′( )x như hình bên Biết f a( )>0

Phương trình f x( )=0 có nhiều nhất nghiệm?

A 2 nghiệm B 1 nghiệm C 4 nghiệm D 3 nghiệm

Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên sau:

x −∞ a b c +∞

,

y - + - +

y

f b 

 

f a f c 

O

a b c

y

(113)

    '  '  '     

c b c

a a b

f c  f a  f x dx f x dx f x dx  f c  f a Do

 

f a  nên

  :

f c  PT f x 0 vô nghiệm

  :

f c  PT f x 0 có nghiệm

  :

f c  PT f x 0 có nghiệm

Chọn A

Câu 17: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm , đồ thị hàm số y= f′( )x như hình

vẽ bên

Hỏi phương trình f x( )=0 có tất cả nghiệm biết f a( )>0?

A 3 B 2 C 1 D 0

Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên sau:

x −∞ a b c +∞

,

y - + - +

y

f b 

 

f a f c 

    '  '  '     

c b c

a a b

f c  f a  f x dx f x dx f x dx  f c  f a   PT

 

f x  vô nghiệm

Chọn D

( )

f′ x như hình vẽ Số lớn nhất số sau f       0 ;f ; f ;f ?

A f 0 B f  1 C f 3 D f  4

O a b c x

(114)

x ,

y + - +

y

f 1

f 4

 0

f f 3

             

4

1

4 ' ' '

f  f  f x dx f x dx f x dx  f  f Chọn B

( )

A f a  f b  f c  f a . B f a  f b  f c  f a . C f a  f b  f c  f a . D f a  f b  f c  f a .

    '     

a

b

f a  f b  f x dx  f a  f b

    '     

c

a

f c  f a  f x dx  f c  f a

(115)

( )

A f b  f c  f c  f a . B f b  f c  f c  f a . C f b  f c  f c  f a . D f b  f c  f c  f a .

    '     

b

c

f b  f c  f x dx  f b  f c

    '     

c

a

f c  f a  f x dx  f c  f a

Chọn A

Câu 21: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn 0< < < <a b c d hàm số y= f x( ) Biết

hàm số y= f′( )x có đồ thịnhư hình vẽ Gọi M m lần lượt giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) [ ]0;d Khẳng định sau khẳng

định đúng?

A M + =m f ( )0 + f c( ) B M + =m f d( )+ f c( ) C M + =m f b( )+ f a( ) D M + =m f ( )0 + f a( )

Ta có bảng biến thiên:

O

a b c d x

(116)

x 0 a b c d ,

y - + - +

y

 0

f f b  f d 

 

f a f c 

So sánh f a   ;f c

    '  '  '       

c b c

a a b

f c  f a  f x dx f x dx f x dx  f c  f a  m f c So sánh f     0 ; f b ; f d

             

0

0 ' ' ' 0

b a b

a

f b  f  f x dx f x dx f x dx  f b  f

    '  '  '     

d c d

b b c

f d  f b  f x dx f x dx f x dx  f d  f b

     0  0

f d f b f M f

    

Chọn A

Câu 22: Cho hàm số y f x  xác định liên tục đoạn 1; 2, có đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ sau

Mệnh đề nào sau đúng ?

A  

 1;2  

max f x f



  B

 1;2    

max f x f

 

C

 1;2    

max f x f

  D  1;2  

3

max

2

f x f 

      

(117)

x

1

 a

2

,

y - + - +

y

 1

f  f 1 f 2

 

f a

2

f     

             

1

1 ' ' ' 1

a

f f f x dx f x dx f x dx f f

 

        

      1,5        

1 1,5

2 ' ' '

f  f  f x dx f x dx f x dx  f  f

Chọn B

Câu 23: Cho hàm số y f x  xác định liên tục , có đồ thị của hàm số

 

'

y f x như hình vẽ sau

Đặt g x  f x x Mệnh đềnào sau đúng ?

A g  1 g 1 g 2 B g 2 g 1  g 1 C g 2   g 1 g 1 D g 1   g 1 g 2

Ta có g x'  f ' x 1 Ta vẽthêm đường thẳng y1.

(118)

Ta có:            

1

1 ' ' 1

g g g x dx f x dx g g

 

 

          

           

2

1

2 ' '

g g  g x dx f x  dx g g

(119)

BÀI TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 24: Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen Được giới hạn cạnh AB,CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB=2π( )m , AD=2( )m Tính diện tích phần cịn lại

A 4π−1 B 4(π −1) C 4π −2 D 4π −3

Chọn B

Chọn hệ tọa độ Oxy(như hình bên) Khi

Diện tích hình chữ nhật S1=4π Diện tích phần đất tơ màu đen 2

0

2 sin d

S x x

π

= ∫ = Tính diện tích phần cịn lại: S = −S1 S2 =4π− =4 4(π−1)

Câu 25: Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm thiết kếnhư hình bên Diện tích cánh hoa (phần tơ đậm)

A 800

2

cm B 400

3

cm C 250 cm2 D 800 cm2

Chọn B

Diện tích cánh hoa diện tích hình phẳng tính theo cơng thức sau: 20

2

1

20 d

20 S =  x− x  x

 

∫ 3 20

0

2

20

3 x 60x

 

= − 

 

400

= ( )2 cm y

x

20 20

y = 20x y = 1

20x

2

x y

A B

D C

M N

O

A B

D C

(120)

Câu 26: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, 5m Diện tích cổng là:

A 100 m( )2 . B 200 m( )2 . C 100( )2 m

3 . D ( )

2 200

m

3

Chọn D

Cách1:

Xét hệ trục tọa độnhư hình vẽ mà trục đối xứng Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất cổng

Khi Parabol có phương trình dạng y=ax +c Vì ( )P qua đỉnh I(0;12, 5) nên ta có c=12,

( )P cắt trục hoành hai điểm A(−4; 0) B( )4; nên ta có 0=16a+c 25

16 32

c

a −

⇒ = = −

Do ( ) 25

: 12,

32

P y= − x +

Diện tích cổng là:

2

25

12, 32

S x dx

−

 

= − + 

 

∫ 200( )2

3 m

=

Cách2:

Ta có parabol cho có chiều cao h=12, 5m bán kính đáy OD=OE=4m

Do diện tích parabol cho là: 200( )2

3

(121)

Câu 27: Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm

cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB=5cm,

OH = cm Tính diện tích bề mặt hoa văn

A 160 cm

3 B

2 140

cm

3 C

2 14

cm

3 D

2 50 cm

Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm phương trình ( ) 16 16 :

25

P y= − x + x Diện tích hình phẳng giới hạn ( ) 16 16

:

25

P y= − x + x, trục hoành đường thẳng

x= , x=5

2

16 16 40

d

25

S= − x + x x=

 

∫

Tổng diện tích phần bịkhoét đi: 1 160

S = S = cm2 Diện tích hình vng Shv =100 cm2

Vậy diện tích bề mặt hoa văn

2

160 140

100 cm

3

hv

S =S −S = − =

Câu 28: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m Người ta

căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn Parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (xem hình vẽ bên) Tỉ số AB

CD A

(122)

A

2 B

4

5 C

1

2 D

3 2+

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

Phương trình Parabol có dạng y=a x ( )P

( )P qua điểm có tọa độ (− −6; 18) suy ra: 18 ( )6 2

a a

− = − ⇔ = − ( ) :

2

P y x

⇒ = −

Từ hình vẽ ta có: x AB

CD = x

Diện tích hình phẳng giới bạn Parabol đường thẳng 1 :

2 AB y= − x

1

2

1

0

1

2 d

2

x

S = − x − − x  x

 

 

∫

1

3

2

1

0

1

2

2 3

x x

x x x

 

= − +  =

 

Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol đường thẳng CD 2 y= − x

2

0

1

2 d

2

x

S = − x − − x  x

 

 

∫

2

3

2

0

1

2

2 3

x x

x x x

 

= − +  =

 

Từ giả thiết suy S2 =2S1⇔x23 =2x13

1 x x

⇔ = Vậy

3

1 x AB

(123)

Câu 29: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2, 25mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A 33750000 đồng B 3750000 đồng C 12750000 đồng D 6750000 đồng

Chọn D

Gọi phương trình parabol ( )P :y=ax2+bx c+ Do tính đối xứng parabol nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxy cho ( )P có đỉnh I∈Oy (như hình vẽ)

Ta có hệphương trình:

( )

9 ,

9

0

4

9

0

4

c I P

a b c A P

a b c B P

 = ∈

 

 − + = ∈

 

 + + = ∈



9 c

a b

 =  

⇔ = −

 =  

Vậy ( ) :

4 P y= − +x

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

2

9 d

S x x

−

 

= − + 

 

∫

3

2

9

2 d

4

x x

 

= − + 

 

∫

9

3

0

3

x x

−  =  + 

 

2

m

=

Số tiền phải trả là: 9.1500000 675

2 = 000 đồng

Câu 30: Ba Tí muốn làm cửa sắt thiết kếnhư hình bên Vịm cổng có hình dạng parabol Giá 1m c2 ửa sắt 660.000 đồng Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:

A 6500 B 55.103

6 C 5600 D 6050

3 ; B 

 

3 ; A− 

 

9 0;

4 I 

 

O

1

−

2 y

(124)

Chọn D

Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành phần sau:

Khi S = +S1 S2 = +S1 5.1, 5= +S1 7,

Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng tích phân

Gắn hệ trục Oxy O trùng với trung điểm AB, OB⊂Ox OC, ⊂Oy,

Theo đềbài ta có đường cong có dạng hình Parabol Giả sử ( )P :y=ax2+bx c+

Khi đó:

( ) ( ) ( )

( )

5 25 5

; 0 2

2 4 2

25

5 25

; 0 :

2 25

1

2 0,

2

A P a b c

a

B P a b c b P y x

c c

C P

 − ∈ 

  − + =

     = −

  

  ∈ ⇔ + + = ⇔ = ⇒ = − +

    

  

    =  =

∈ 

     



Diện tích ( )

2,5

2

2 10

2 d m

25

S = − x +  x=

 

∫ 55 ( )2

m S

⇒ =

Vậy giá tiền cửa sắt là: 55 x 660.000 6.050.000

6 = (đồng)

Câu 31: Trong đợt hội trại “Khi 18” tổ chức trường THPT X, Đồn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đoàn trường yêu cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần lại

được trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho

bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hồn tất hoa văn pano sẽlà (làm trịn đến hàng nghìn)?

(125)

A 900.000 đồng B 1.232.000 đồng C 902.000 đồng D 1.230.000 đồng

Chọn C

Đặt hệ trục tọa độnhư hình vẽ, phương trình đường parabol có dạng: y=ax2+b

Parabol cắt trục tung điểm ( )0; cắt trục hoành ( )2; nên:

2

.2

b

a b

= 

 + = 

1 a b

= − 

⇔  =



Do đó, phương trình parabol y= − +x

Diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol trục hoành

( )

2

4 d

S x x

−

= ∫ − +

2

2 x

x

−

 

= − + 

 

32

=

Gọi C t( ); ⇒B t( ; 4−t2) với 0< <t Ta có CD=2t

4

BC= −t Diện tích hình chữ nhật ABCD

2

S =CD BC =2 4t( −t2) 2t 8t

= − + Diện tích phần trang trí hoa văn

1

S =S −S 32 ( )

3 t t

= − − + 32

2

3

t t

= − +

Xét hàm số ( ) 32

2

3

f t = t − +t với 0< <t

Ta có f′( )t =6t2− =8

( ) ( )

0;

2

0; t

t

 = ∈ 

 ⇔

 = − ∉ 

Từ bảng biến thiên

4

A B

C D

4 m m

2

−

x y

O

A B

C D

(126)

Suy diện tích phần trang trí nhỏ 96 32 3m2

−

, chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano 96 32 3.200000 902000

9

− ≈

đồng

Câu 32: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

Chọn C

 Gắn parabol ( )P hệ trục tọa độ cho ( )P qua O(0; 0)  Gọi phương trình parbol (P):( )P : y=ax2+ +bx c

Theo đề ra, ( )P qua ba điểm (0; 0)O , (3; 0)A , (1, 5; 2, 25)B Từđó, suy ( )P : 3y= − +x2 x

 Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

2

9

2 S = − +∫ x x dx=  Vậy số tiền bác Năm phải trả là:9.1500000 675

2 = 000 (đồng)

Câu 33: Trên cánh đồng cỏcó bò cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị có thểăn chung (lấy giá trị gần nhất)

A 1, 034mP

P B 1, 574mP

P C 1, 989mP

P D 2,824mP

Diện tích mặt cỏ ăn chung lớn sợi dây kéo căng phần giao

đường tròn

x y

A B

(127)

Xét hệ trục tọa độnhư hình vẽ, gọi O M, vị trí cọc Bài tốn đưa tìm diện tích phần

được tơ màu

Ta có phương trình đường trịn tâm ( )O :x2+y2 =32 phương trình đường trịn tâm

( ) ( )2 2 2

:

M x− +y =

Phương trình đường cong đường trịn nằm phía trục Ox là: y= 9−x2 ( )2

4

y= − x−

Phương trình hồnh độgiao điểm: ( 4)2 16 21

8

x x x x

− − = − ⇔ + − = ⇔ =

Diện tích phần tơ màu là: ( ) 21

3

2 2

21

8

2 4 1, 989

S x dx x dx

 

 

=  − − + − ≈

 

 

∫ ∫ Ta

giải tích phân phép thếlượng giác, nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy Chọn C

Vậy phương trình elip

( ) ( )

2

64

5 64 25

64

y y E

x y

y y E

 = − −



+ = ⇒ 

 = −



Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( ) ( )E1 ; E2 ; x= −4; x=4 diện tích dải vườn

4

2

4

5

2 64 d 64 d

8

S x x x x

−

= ∫ − = ∫ −

Tính tích phân phép đổi biến x=8sint, ta 80

6

S =  + 

 

π

Khi số tiền 80 100000 7652891,82 7.653.000

6

T =  +  =

  

π

(128)

Câu 34: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị)

Chọn D

Xét hệ trục tọa độoxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường tròn tâm O 2

x +y =36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình

36 (x)

y= −x = f

Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y= f(x) hai đường thẳng x= −3; x=3

3

2

2 36 x dx

S

−

⇒ = ∫ −

Đặt x=6 sint⇒dx=6 costdt Đổi cận:

6

x= − ⇒ = −t π ;

6 x= ⇒ =t π

6

2

6

2 36cos 36 (c os2t+1) dt 18 (sin t t) 18 12

S tdt

− −

−

⇒ = ∫ = ∫ = + = +

π

π π

π

Do số tiền cần dùng 70000.S≈4821322 đồng

Câu 35: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng

(như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/

1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

6m O

(129)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Chọn B

Giả sửelip có phương trình

2 2

x y

a +b = , với a> >b Từ giả thiết ta có 2a=16⇒ =a 2b=10⇒ =b

Câu 36: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống

để dựng chồi đồdùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm

đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo

đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân)

.A 3722 B 7445 C 7446 D 3723

Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ

Phương trình đường trịn miếng đất 2

25 x + y =

Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ

đậm phía

Phần tơ đậm giới hạn đường cong có

phương trình

25

y= −x , trục Ox x; = −5;x=4

(trong giá trị4 có dựa vào bán kính

và độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính

4

2

2 25 74, 45228

S x dx

−

= ∫ − ≈

Chọn B

Câu 37: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp toán học Ởđó có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từđường Lemmiscate có

phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2 =x2(25−x2) hình vẽ bên

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

(130)

A 125 ( )2

S = m B 125 ( )2

4

S = m C 250 ( )2

3

S = m D 125 ( )2

3

S = m

Chọn D

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy

Từ giả thuyết tốn, ta có

y= ± x −x

Góc phần tư thứ 25 2; [ ]0;5

y= x −x x∈

Nên

5

2

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12

I

S = ∫x −x x= ⇒ =S m

Câu 38: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng/m2Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)

Xét hệ trục tọa độoxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O 2

x +y =36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình

36 ( )

= − =

y x f x

Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y= f x( ) hai đường thẳng x= −3; x=3

3

2

2 36

−

⇒ =S ∫ −x dx

Đặt x=6 sint⇒dx=6 costdt Đổi cận:

6

= − ⇒ = −

x t π ;

6

= ⇒ =

x t π

6

2

6

2 36cos 36 (c os2t+1) dt 18 (sin t t) 18 12

− −

−

⇒ =S ∫ tdt= ∫ = + = +

π

π π

π

Do số tiền cần dùng 70000.S ≈4821322 đồng

Câu 39: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dựđịnh lắp cửa kính

(131)

A 28( 2)

3 m B

2 26

( )

3 m C

2 128

( )

3 m D

2 131

( ) m

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Các phương án nhiễu:

A HS tính tích phân sai

2

1 28

8

2

−

= −∫ + =

S x dx

(m )

B HS tính tích phân sai

2

1 26

8

2

−

= −∫ + =

S x dx

(m ))

D HS nhầm a =

− , b= 8, c = =>

2

1 131

8

2

−

= −∫ + =

S x x dx

(m )

Câu 40: Một khuôn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình

trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn (phần tô màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽvà kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000

đồng/mP

P

Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm

trịn đến hàng nghìn)

A 3.895.00074T(đồng).74T B 1.948.000 (đồng). C 2.388.000 (đồng). D 1.194.000

(đồng)

Chọn B

Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn ( )2

2 2

2 20

y= R −x = −x = −x

Phương trình parabol ( )P có đỉnh gốc O có dạng

y=ax Mặt khác ( )P qua điểm M( )2;4

đó: ( )2

4= −a ⇒ =a

4m 4m

(132)

Phần diện tích hình phẳng giới hạn ( )P nửa đường trịn.( phần tơ màu)

Ta có cơng thức ( )

2

2 2

2

11,9

20

S x x dx m

−

≅

=∫ − −

Vậy phần diện tích trồng cỏ = − 1≈19, 47592654

2

trongco hinhtron

S S S

Vậy số tiền cần có Strongxo ×100000≈1.948.000 (đồng).đồng

Câu 41: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền

đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m2 làm

đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000

Câu 42: ChọnA

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip

Phương trình Elip đường viền ngồi đường ( )

2

1 : 2

50 30

x y

1 30

50 x

y= − = f x

Phương trình Elip đường viền đường ( )

2

2 : 2

48 28

x y

2 28

48 x

y= − = f x

Gọi S1 diện tích ( )E1 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh

và đồ thị hàm số y= f x1( ) Gọi S2 diện tích ( )E2 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y= f x2( )

60m

(133)

Gọi S diện tích đường Khi

50 48

50

2

1

48

2 30 2d 28

50 48 d

x x

S S S x x

− −

−

= − = ∫ − ∫ −

Tính tích phân ( )

2

2 d , ,

a

x x

I b a

a b

+ −

= ∫ − ∈

Đặt sin , d cos d

2

x=a t − ≤ ≤π t π ⇒ x=a t t

 

Đổi cận ;

2

x= − ⇒ = −a t π x= ⇒ =a t π

Khi 2 2 ( )

2 2

sin cos d co

2 t a t t s t td cos 2t d

I b ab ab t

π π π

− − −

= = +

= ∫ − ∫ ∫

2

2 sin

2

ab t t ab

π

π π

−

 +    = =



Do S =S1−S2 =50.30π−48.28π =156π

Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S =600000.156π ≈294053000 (đồng) Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( )H có cạnh nằm trục hồnh, có hai

đỉnh đường chéo A(−1;0) B a( ; a), với a>0 Biết đồ thị hàm số y= x chia hình ( )H thành hai phần có diện tích nhau, tìm a

A a=9 B a=4 C

2

a= D a=3

Chọn D

(134)

Nhận thấy đồ thị hàm số y= x cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua ( ; )

B a a Do chia hình chữ nhật ACBD làm phần có diện tích S1,

S Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x trục Ox, x=0,x=a S1là diện tích phần cịn lại Ta tính S1,S2

Tính diện tích 2

d a

S =∫ x x

Đặt t= x⇒ = ⇒t2 x dt t=dx; Khi x= ⇒ =0 t 0;x= ⇒ =a t a

Do

2

0

2

2 d

3

a a

t a a

S = t t =  =

 

∫

Hình chữ nhật ACBD có AC= +a 1;AD= a nên

( )

1

2

1

3

ACBD

a a

S =S −S = a a+ − = a a+ a

Do đồ thị hàm số y= x chia hình ( )H thành hai phần có diện tích nên

2

3

a a

S =S ⇔ = a a+ a ⇔a a = a ⇔ =a (Do a>0)

Câu 44: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh

O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl, S2 dùng

để trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1mP

2 P

, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1mP

2 P

Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm

trịn đến hàng chục nghìn)

A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ Parabol có hàm số dạng

y=ax +bx+c có đỉnh gốc tọa độvà qua điểm B( )2; 2 nên có

phương trình 2 y= x

Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB=2 nên có phương trình 2

8

x +y = Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh

8

(135)

Vậy diện tích phần

2

1

8 d

2

S x x x

−

 

=  − − 

 

∫

Do đó, diện tích trồng hoa

2

1 2

1

2 d 15, 233

2

S S x x x

−

 

+ =  − −  ≈

 

∫

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:

( )

15, 233 150.000× + π 2 −15, 233 ×100.000≈3.274.924

đồng

Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng

O x

(136)

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

1) Thể tích vật thể:

Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm a b; S x( )

là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x, (a x b)

Giả sử S x( ) hàm số liên tục đoạn [ ; ]a b

Khi đó, thể tích vật thể B được xác định: ( ) b

a

V S x dx

2) Thể tích khối trịn xoay:

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), trục

hoành hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường xg y( ), trục

hoành hai đường thẳng yc, yd quanh trục Oy:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), ( )

y g x hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:

2

( ) ( ) b

a

V f x g x dx

THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRÒN XOAY)

PHƯƠNG PHÁP:

Tính thể tích khối trịn xoay:

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=0, x=a x=b a( <b) quay quanh trục Ox 2( )

b

a

V =π∫ f x dx

c y

O d

x

( ) : ( ) ( ) :

 =

 =



 =

  = 

C x g y Oy x 0 y c y d

[ ]2

( )

d y

c

V = π∫ g y dy

( ) : ( ) ( ) :

 =

 =



 =

  = 

C y f x Ox y 0 x a x b

[ ]2

( )

b x

a

V = π∫ f x dx

a

= ( )

y f x y

O b x

( )

b a

S x dx

V =∫

x

O a b

( )V

(137)

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), ( )y=g x , x=a x=b a( <b) quay quanh trục Ox 2( ) 2( )

b

a

V =π∫ f x −g x dx BÀI TẬP

Dạng 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền ( )D giới hạn y= f x( ); 0y= ,

x=a x=b quay quanh trục Ox

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức

A 2( )

d b

a

V =π∫ f x x B 2( )

2 d

b

a

V = π∫ f x x C 2( ) d b

a

V =π ∫ f x x D ( ) d b

a

V =π ∫ f x x

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ

thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích V xác định theo cơng thức

A ( )

3

2

d

V =π∫f x  x B ( )

3

2

1

d

V = ∫f x  x

C ( )

3

2

1

d

V =π ∫f x  x. D ( )

3

2

d V = ∫f x  x

Câu Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 3x−2, trục hoành hai đường thẳng x=1, x=2 Quay ( )H xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích

A

2

3 d

V =∫ x − x+ x. B

2

1

3 d

V =∫ x − x+ x

C ( )

2

1

3 d

V =π∫ x − x+ x D

2

3 d V =π∫ x − x+ x

Câu Cho hàm số y=πx có đồ thị ( )C Gọi D hình phẳng giởi hạn ( )C , trục hoành hai

đường thẳng x=2, x=3 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức:

A

2

d x

V =π π∫ x B

3

2 d x

V =π π∫ x C

3 2

d x

V =π π∫ x D

3

2 d x V =π π∫ x Câu Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= x, trục Ox hai đường thẳng x=1; x=4 quay quanh trục hồnh tính cơng thức nào?

O x

y

1

(138)

A

4

1 d

V =π∫x x B

1 d

V =∫ x x C

4

1 d

V =π ∫x x D

4

1 d V =π∫ x x Câu Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=x2−2x, trục hoành, trục tung, đường thẳng

1

x= Tính thể tích V hình trịn xoay sinh (H) quay (H) quanh trục Ox A

15

V = π B

3

V = π C 15

8

V = π D

8 V = π

Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip ( )E có phương trình

2 25 x + y =

Hình phẳng ( )H giới hạn nửa elip nằm trục hoành trục hoành Quay hình ( )H xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó:

A V =60π B 30π C 1188

25 π D 1416

25 π

Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=ex, trục hoành đường thẳng x=0,

x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A

2

e

2

V = − B ( )

2

e

2

V =π + C ( )

2

e

2

V =π − D

2 e π

Câu Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn

( ) ( )2

:

C x + y− = xung quanh trục hoành

A V =6π. B V =6π3. C V =3π2. D V =6π2 Câu 10 Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=tanx, trục hồnh hai đường thẳng

0, víi a (0; )

x= x a= ∈ π Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng xung quanh trục Ox

A −π(a tana− ) B π(a tana− ) C −πln(cos )a D πln(cos )a Câu 11 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình trịn ( ) (C : x+2) (2+ y−3)2≤1 quanh trục Ox

A V =2π2 (đvtt) B V =6π2 (đvtt) C V =π2 (đvtt) D V =6π (đvtt) Dạng 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y= f x( )và y=g x( ) quay quanh trục Ox

Câu 12 Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?

A 12( ) 22( ) d b

a

V =∫f x − f x  x B 12( ) 22( ) d b

a

V =π∫f x − f x  x

O x

y

b a

( )

1 f x

( )

(139)

C 2( ) 2( )

2 d

b

a

V =π∫f x − f x  x D 1( ) 2( ) 2d b

a

V =π∫f x − f x  x

Câu 13 Cho hình phẳng ( )D giới hạn đường x=0, x=1, y=0 y= 2x+1 Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức?

A

0

2 1d

V = π∫ x+ x B ( )

1

0

2 d

V = π∫ x+ x C ( )

1

0

2 d

V =∫ x+ x D

0

2 1d V =∫ x+ x Câu 14 Cho hình phẳng ( )D giới hạn đường x=0, x=π , y=0 y= −sinx Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay ( )D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức

A

0

sin d

V x x

π π

= ∫ B

0

sin d

V x x

π π

= ∫

C ( )

0

sin d

V x x

π π

= ∫ − D

0

sin d

V x x

π

=∫

Câu 15 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y=xex, y=0 , x=0, x=1 xung quanh trục Ox

A

2

e dx

V =∫x x B

1

0 e dx

V =π∫x x C

1 2

e dx

V =π∫x x D

1

e dx V =π∫x x Câu 16 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y=x.lnx, trục hoành hai đường thẳng

1

x= ; x=2 Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới ( )H quay quanh trục hồnh tích V

xác định

A 2( )2 ln d

V =π∫ x x x B 2( ) ln d V =∫ x x x C 2( )2

1 ln d

V =∫ x x x D 2( )

1 ln d V =π∫ x x x

Câu 17 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x y2; =0; x=2 Tính thể tích V khối

trịn xoay thu quay ( )H quanh trục Ox A

3

V = B 32

5

V = C

3

V = π D 32

5 π

Câu 18 Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( )H giới hạn y=x2 y= +x quanh trục Ox

A 72 10

π

(đvtt) B 72

5 π

(đvtt) C 81

10 π

(đvtt) D 81

5 π

(đvtt)

Câu 19 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex

các đường thẳng y =0, x=0 x=1được tính cơng thức sau đây? A

1

e dx

V =∫ x B

1

0 e dx

V =π∫ x C

1

0 e dx

V =∫ x D

1

e dx V =π∫ x Câu 20 Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol

( )

: =

(140)

A ( )

2

2 d

π∫ x − x x B

2

0

4 d d

π∫ x x−π∫x x C

2

0

4 d d

π∫ x x+π∫x x D ( )

2

2 d

π∫ x−x x

Câu 21 Hình phẳng giới hạn hai đồ thị y= x y=x2 quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích

A π

B

3 π

C 2

15 π

D 4

15 π

Câu 22 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y= −1 x2, y=0 quanh trục Ox có kết dạng a

b π

Khi a+b có kết là:

A 11 B 17 C 31 D 25

Câu 23 Cho D miền phẳng giới hạn đường : ( ) 2 y f x

x

= =

+ ;

2 ( )

2 x

y=g x = Tính thể tích khối trịn xoay thu tạo thành quay D quanh trục Ox ? Thểtích viết dạng

2

T =mπ +nπ ;m,n∈ R tổng giá trị m+n ? A 1

2 B

13

20 C

2

5 D

3

Câu 24 Cho hình ( )H giới hạn trục hồnh, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A( )2; , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox

A 16 15

π

B 32

5 π

C 2

3 π

D 22

5 π

Câu 25 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường xy=4, x=0, y=1 y=4 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( )H quanh trục tung

A V =8π B V =16π C V =10π D V =12π

Câu 26 Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex, y=0, x= −1, x=1 Thể tích vật thểtrịn xoay tạo cho hình ( )H quay quanh trục hoành

A

2

e e

2 −

−

B ( )

2

e e

2 π −

+

C

4 e

2 π

D ( )

2

e e

2 π −

−

O x

y

2

(141)

Câu 27 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y= −1 x2, y=0 quanh trục Ox V aπ

b

= với a, b sốnguyên Khi a b+

A 11 B 17 C 31 D 25

Câu 28 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2 ,x y=1−x,y=0

x (phần tơ

đậm màu đen hình vẽ bên)

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành

A ln

3

V =π − 

  B

5

2 ln

V =π + 

  C

2 ln

3 V =π − 

  D

2 ln

3 V =π + 

 

Câu 29 Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y=x2−4,

2

y= x− , x=0, x=2 quanh trục Ox A 32π

5 B

32π

7 C

32π

15 D

22π Câu 30 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y

x

= đường thẳng y=0, x=1,

x= Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( )H quay quanh trục Ox A 2 ln 2π B 3

4

π

C 3

4 −1 D 2 ln Câu 31 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường

1 y

x

= , y=0, x=1, x=a, (a>1) quay xung quanh trục Ox A V 1

a

 

= − 

  B

1 V

a π

 

= − 

  C

1 V

a π

 

= + 

  D

1 V

a

 

= +    Câu 32 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2, y=2x Thể tích khối tròn xoay

được tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox bằng: A 32

15 π

B 64

15 π

C 21 15

π

D 16

15 π

Câu 33 Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H giới hạn

đường

(142)

A 10

V = π B

10

V = π C

10

V = π . D

10 V = π Câu 34 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong

ex

y= − , trục tọa độ phần đường thẳng

= −

y x với x≥1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh A

2

1 e

3 2e

V = + − B ( )

2 5e

6e

V =π − C e

2 e

V = + − π D

2

1 e

2 2e V = + −

Dạng 3:Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: x=g y( ); x= f y( ) quay xung quanh trục Oy

Câu 35 Cho hình ( )H giới hạn đường y= − +x2 2x, trục hồnh Quay hình phẳng ( )H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A 496 15 π

B 32

15 π

C 4

3 π

D 16

15 π

Câu 36 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= x−1, trục hồnh đường thẳng x=4 Khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A

V = B

2 7π

6

V = C 7π

6

V = D 7π

3 V =

Câu 37 Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ln(x+1), trục hoành đường thẳng e

x= − Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( )H quanh trục Ox

A e 2− B 2π C πe D π(e 2− )

Câu 38 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị y=(2x−1) lnx, trục hoành đường thẳng x=e Khi hình phẳng D quay quanh trục hồnh vật thể trịn xoay tích V tính theo cơng thức

A ( )

e

2

2 ln d

V =∫ x− x x. B ( ) e

2

2 ln d V =π∫ x− x x

C ( )

e

2

2 ln d

V =∫ x− x x. D ( ) e

2

2 ln d V =π∫ x− x x

Câu 39 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=tanx, trục hoành đường thẳng x=0, π

4

x= Quay ( )H xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích A 1 π

4

− . B π2. C

2 π π

4

− . D

2

π π

4 +

Câu 40 Goi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex, trục Oxvà hai đường thẳng x=0,

x= Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trụcOx A ( )

1 e

π −

B ( )

1 e

π + C ( )

1 e

π +

D ( )

(143)

Câu 41 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số tan

y= x, trục hoành đường thẳng x=0, π

x= quanh trục hoành

A π

4

V = B πln

2

V = C

2

π

4

V = D π

4 V = Câu 42 Xét hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số f x( )=asinx b+ cosx (với a, b số thực dương), trục hoành, trục tung đường thăng x=π Nếu vật thểtròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục Ox tích

2

2 π

f′( )0 =2 2a+5b

A 8 B 11 C 9 D 10

Câu 43 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( )=x2−4x+3, trục hoành hai

đường thẳng x=1;x=3 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A 16

15 π

B 16

15 C

4

π

D 4

3

Câu 44 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1≤ ≤x 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x2−2

A 32+2 15 B 124

π

C 124

3 D (32 15+ )π Câu 45 Thể tích khối trịn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= xex, trục hoành đường thẳng x=1 là:

A ( ) e

π +

B 1( )

e

4 + C ( )

4 e

π −

D 1( )

e − Câu 46 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

= −

y x x trục hoành, quanh trục hoành A 81

10

π (đvtt)

B 85

10

π (đvtt)

C 41

7

π (đvtt)

D 8

7

π (đvtt). Câu 47 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= cos+ x, trục hoành đường thẳng

0 x= ,

2

x=π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = −π B V = +π C V =π π( −1) D V =π π( +1) Câu 48 Thể tích khối trịn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= xex, trục hoành đường thẳng x=1 là:

A ( )

e

4

π +

B 1( )

e

4 + C ( )

4

e

4

π −

D 1( )

e

4 − Câu 49 Thể tích vật trịn xoay có quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y=tanx, trục Ox, đường thẳng x=0, đường thẳng

3

x=π quanh trục Ox

A

3

V = −π B

3

V = +π C

2

3

V =π +π D

2

(144)

Câu 50 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x

y= , y=0, x=1, x=4 quay quanh trục Ox

A 15

16 B

15 π

C 21

16 D

21 16

π

Câu 51 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y lnx x

x= Khối tròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A

2

V =π B

3

V =π C

6

V =π D V =π

Câu 52 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị y=x2−4x+6 y= − −x2 2x+6

A π B π −1 C 3π D 2π

Câu 53 Tính thể tích phần vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị ( )P :y=2x−x2 trục Ox

A 19 15

V = π B 13

15

V = π C 17

15

V = π D 16

15 V = π Câu 54 Cho hình phẳng ( )S giới hạn đường cong có phương trình

2

y= −x trục Ox, quay

( )S xung quang trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A

3

V = π B

3

V = π C

3

V = π D

3 V = π Câu 55 Gọi ( )H hình giới hạn nhánh parabol y=2x2 (với x≥0), đường thẳng

3

y= − +x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox A 52

15

V = π B 17

5

V = π C 51

17

V = π D 53

17 V = π Câu 56 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường thẳng y=2x Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình( )H xung quanh trục hoành

A 64 15

π

B 16

15 π

C 20

3 π

D 4

3 π

Câu 57 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x+ − =y 0; y= x; y=0 quay quanh trục Ox

A 5

6 B

6

π

C 2

3 π

D 5

6 π

Câu 58 Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x= y, y= − +x x=0 quay quanh trục Ox có giá trị kết quảnào sau đây?

A

V = π B

2

V = π C 32

15

V = π D 11

(145)

Câu 59 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình

2

6

y= −x (− 6≤ ≤x 6) trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox

A V =8π 6−2π B 22

V = π + π C 22

3

V = π − π D 22

3

V = π + π

Câu 60 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y=0, y= x, y= −x

A 8

π

B 16

3 π

C 10π D 8π

Câu 61 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường trịn x2+y2 =2 (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành

A 44 15

V = π B 22

15

V = π C

3

V = π D

5 V =π Câu 62 Cho nửa đường tròn đường kính AB=4 Trên người ta

vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn, trục đối xứng

là đường kính vng góc vớiAB Parabol cắt nửa đường tròn hai

điểm cách cm khoảng cách từhai điểm đến AB cm Sau người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn đường trịn parabol (phần tơ màu hình vẽ) Đem phần cịn lại quay xung quanh trụcAB Thể tích khối tròn xoay thu bằng:

A (800 464) 15

V = π − cm3 B (800 928)

3

V =π − cm3

C (800 928)

V =π − cm3 D (800 928)

15

V = π − cm3

Câu 63 Cho hai đường tròn (O1;10) (O2;8) cắt hai điểm A B, cho AB đường kính đường tròn ( )O2 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn hai đường trịn ( phần tơ màu

như hình vẽ) Quay ( )H quanh trục O O1 2 ta khối tròn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

x y

O

O x

y

6

(146)

A 824 π

B 608

3 π C

97

3 π D

145 π Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi ( )H1 hình phẳng giới hạn đường

2 x y= ,

4 x

y= − , x= −4, x=4 hình ( )H2 hình gồm điểm ( )x y; thỏa: 2 16 x +y ≤ , ( )2

2

x + y− ≥ , x2 +(y+2)2 ≥4

Cho ( )H1 ( )H2 quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1, V2 Đẳng thức

nào sau đúng?

A V1 =V2 B 1 2

V = V C V1 =2V2 D 1 2

3 V = V

Câu 65 Cho hai đường tròn (O1;5) (O2;3) cắt hai điểm A, B cho AB đường kính đường trịn (O2;3) Gọi ( )D hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ởngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O1 2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

A V =36π B 68

V = π C 14

3

V = π D 40

3 V = π

C O2

O1

A

B

A

B

O O2 C

(147)

Câu 66 Cho hai mặt cầu ( )S1 , ( )S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( )S1 thuộc

( )S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 (S2) A V =πR3 B

3 R

V =π C

3

12 R

V = π D

3

5 R V = π THỂ TÍCH TÍNH THEO MẶT CẮT S(X)

Câu 67 Trong không gian , cho vật thểđược giới hạn hai mặt phẳng , vng góc với trục , Một mặt phẳng tùy ý vng góc với điểm có

hồnh độ , cắt vật thể theo thiết diện có diện tích với hàm số liên tục Thể tích thểtích tính theo cơng thức

A B C D

Câu 68 Cho phần vật thể ( )ℑ giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt phần vật thể ( )ℑ mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x 2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2−x Tính thể tích V phần vật thể ( )ℑ

A

V = B

3

V = C V =4 D V =

Câu 69 Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (− ≤ ≤1 x 1) thiết diện tam giác

đều Tính thể tích V vật thểđó

A V = B V =3 C

3

V = D V =π

Oxyz ( )P ( )Q

Ox x=a x=b (a<b) Ox

x (a≤ ≤x b) S x( ) y=S x( )

[ ]a b; V

O y

x z

S(x)

a x b

( )

2 d b

a

V =∫S x x π 2( )d

b

a

V = ∫S x x π ( )d

b

a

V = ∫S x x ( )d

b

a

(148)

Câu 70 Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0

x=π Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x

3 x π  ≤ ≤ 

 

  ta thiết

diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 2x cosx Thể tích vật thể B

A 3 π +

B 3

3 π−

C 3

6 π−

D

6 π

Câu 71 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x=π , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x π) tam

giác cạnh sinx

(149)

Dạng 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền ( )D giới hạn y= f x( ); 0y= ,

x=a x=b quay quanh trục Ox

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hồnh hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức

A 2( )

d b

a

V =π∫ f x x B 2( )

2 d

b

a

V = π∫ f x x C 2( ) d b

a

V =π ∫ f x x D ( ) d b

a

V =π ∫ f x x

Theo cơng thức tính thể tích vật trịn xoay quay hình ( )H quanh trục hồnh ta có

( )

2 d b

a

V =π∫ f x x

Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn

đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo công thức

A ( )

3

2

d

V =π∫f x  x B ( )

3

2

1

d

V = ∫f x  x

C ( )

3

2

1

d

V =π ∫f x  x. D ( )

3

2

d V = ∫f x  x 18T

Hướng dẫn giải 18T

Chọn A 18T

Đồ thị hàm số18Ty= f x( ) cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ x=1, x=3 nên thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox tính theo công thức ( )

3

2

d V =π∫f x  x Câu Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 3x−2, trục hoành hai đường thẳng x=1, x=2 Quay ( )H xung quanh trục hoành khối trịn xoay tích

A

2

3 d

V =∫ x − x+ x. B

2

1

3 d

V =∫ x − x+ x

C ( )

2

1

3 d

V =π∫ x − x+ x D

2

3 d V =π∫ x − x+ x

O x

y

1

(150)

Câu Cho hàm số y=πx có đồ thị ( )C Gọi D hình phẳng giởi hạn ( )C , trục hồnh hai

đường thẳng x=2, x=3 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức:

A

2

d x

V =π π∫ x B

3

2 d x

V =π π∫ x C

3 2

d x

V =π π∫ x D

3

2 d x V =π π∫ x

Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức:

( )

3

2 2

2

d d

x x

V =π π∫ x=π π∫ x

Câu Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= x, trục Ox hai đường thẳng x=1; x=4 quay quanh trục hồnh tính cơng thức nào?

A

4

1 d

V =π∫x x B

1 d

V =∫ x x C

4

1 d

V =π ∫x x D

4

1 d V =π∫ x x

Thể tích khối trịn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox, x=a x=b tính cơng thức ( ) 2d

b

a

V =π∫f x  x

Câu [2D3-2]Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=x2−2x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x=1 Tính thể tích V hình trịn xoay sinh (H) quay (H) quanh trục Ox

A 15

V = π B

3

V = π C 15

8

V = π D

8 V = π

- Phương pháp: Công thức tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

( )

y= f x , trục Ox hai đường thẳng x=a x, =b a( <b) quay xung quanh trục Ox

( )

2 b

a

V =π∫ f x dx

- Cách giải: Áp dụng cơng thức ta có

( ) ( )

1

2

2 4

0 0

2 4

5 15

x x

V =π x − x dx=π x − x + x dx=π −x +  =8π

 

∫ ∫

Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip ( )E có phương trình

2 25

x + y =

Hình phẳng ( )H giới hạn nửa elip nằm trục hoành trục hoành Quay hình ( )H xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó:

A V =60π B 30π C 1188

25 π D

1416 25 π

Ta có

2

1

9 25

y x

= −

2

25 x

y  

⇔ =  − 

(151)

Gọi V thể tích cần tìm, ta có:

5

9 d 60

25 x

V π x π

−

 

=  −  =

 

∫

Câu Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=ex, trục hoành đường thẳng x=0,

x= Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A

2

e

2

V = − B ( )

2

e

2

V =π + C ( )

2

e

2

V =π − D

2 e π

Thể tích khối trịn xoay cần tính ( ) ( )

1

2

0

e

e d

2

x x

V =π x=π  =π −

 

∫

Câu Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn

( ) 2 ( )2

:

A V =6π. B V =6π3. C V =3π2. D V =6π2

( ) 2 ( )2

:

C x + y− = ⇔(y−3)2 = −1 x2

3

y x

⇒ = ± −

( )2 2

3 1

y− = −x ≥ ⇒ − ≤ ≤x

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn

( ) 2 ( )2

:

1 2 2

2 2

1

3 d d

V π x x π x x π

− −

   

= ∫ + −  − ∫ − −  =

Câu 10 Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=tanx, trục hoành hai đường thẳng 0, víi a (0; )

2

x= x a= ∈ π Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng xung quanh trục Ox

A −π(a tana− ) B π −(a tana) C −πln(cos )a D πln(cos )a

Câu 11 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình trịn ( ) (C : x+2) (2+ y−3)2 ≤1 quanh trục Ox

A V =2π2 (đvtt) B V =6π2 (đvtt) C V =π2 (đvtt) D V =6π (đvtt)

Tịnh tiến ( )C theo v=( )2; ta hình trịn ( )C′ :x2+(y−3)2 ≤1 Xét x2+(y−3)2 = ⇒ = ±1 y 1−x2

Khi thể tích khối trịn xoay tạo thành quanh ( )C′ quanh trục Ox là:

( ) ( )

1 2 2

2

1

3 d

V π x x x

−

 

=  + − − − − 

 

∫

1

4π x dx −

(152)

Đặt x=sint ⇒dx=cos dt t Đổi cận

2

x= − ⇒ = −t π ,

2 x= ⇒ =t π

2

12 sin cos d

V t t t

π

π π

−

= ∫ − 2

2

12 cos dt t π

π π

−

= ∫

2

1

12 cos d

2 t t

π

π π

−

 

=  + 

 

∫

2

1

12 sin

2t t

π π π

−

 

=  + 

(153)

Dạng 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y= f x( )và y=g x( ) quay quanh trục Ox

Câu 12 Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?

A 2( ) 2( )

1 d

b

a

V =∫f x − f x  x B 2( ) 2( )

1 d

b

a

V =π∫f x − f x  x C 22( ) 12( ) d

b

a

V =π ∫f x − f x  x D 1( ) 2( ) 2d b

a

V =π∫f x − f x  x

Do f x1( )> f2( )x ∀ ∈x ( )a b; nên Chọn B

Câu 13 Cho hình phẳng ( )D giới hạn đường x=0, x=1, y=0 y= 2x+1 Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay ( )D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức?

A

0

2 1d

V = π∫ x+ x B ( )

1

0

2 d

V = π∫ x+ x C ( )

1

0

2 d

V =∫ x+ x D

0

2 1d V =∫ x+ x

Ta có ( )

1 2

0

2 d

V = π∫ x+ x ( )

1

0

2x dx

= π∫ +

Câu 14 Cho hình phẳng ( )D giới hạn đường x=0, x=π , y=0 y= −sinx Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )D xung quanh trục Ox tính theo công thức

A

0

sin d

V x x

π π

= ∫ B

0

sin d

V x x

π π

= ∫

C ( )

0

sin d

V x x

π π

= ∫ − D

0

sin d

V x x

π

=∫

Ta tích khối trịn xoay cần tính

sin d

V x x

π π

= ∫

Câu 15 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y=xex, y=0,

x= , x=1 xung quanh trục Ox A

1 2

e dx

V =∫x x B

1

0 e dx

V =π∫x x C

1 2

e dx

V =π∫x x D

1

e dx V =π∫x x

O x

y

b a

( )

1 f x

( )

(154)

Thể tích khối trịn xoay giới hạn y= f x( ), y=0, x=a, x=b(a<b) xác định bởi:

( )

2 d b

a

V =π∫ f x x Vậy,

1 2

e dx V =π∫x x

Câu 16 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y=x.lnx, trục hoành hai đường thẳng

x= ; x=2 Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới ( )H quay quanh trục hồnh tích V

xác định

A 2( )2 ln d

V =π∫ x x x B 2( ) ln d V =∫ x x x C 2( )2

1 ln d

V =∫ x x x D 2( )

Thể tích vật thể trịn xoay sinh bới ( )

.ln

:

1;

y x x

H y

x x

=   = 

 = =



khi quay quanh trục hồnh tích V

được xác định 2( )2

Câu 17 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x y2; =0; x=2 Tính thể tích V khối

tròn xoay thu quay ( )H quanh trục Ox A

3

V = B 32

5

V = C

3

V = π D 32

5 π

Vẽ phác họa hình thấy miền cần tính

4

0

2 32

5

V =π∫x dx=π x = π

(155)

A 72 10

π

(đvtt) B 72

5 π

(đvtt) C 81

10 π

(đvtt) D 81

5 π

(đvtt)

Phương trình hồnh độgiao điểm 2

2 x

x x

x = −  = + ⇔  =



Thể tích cần tìm ( )2

72

2 d

5

V π x x x π

−  

= ∫  − +  =

Câu 19 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex

các đường thẳng y =0, x=0 x=1được tính công thức sau đây? A

1

e dx

V =∫ x B

1

0 e dx

V =π∫ x C

1

0 e dx

V =∫ x D

1

e dx V =π∫ x

Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: ( )

2

π ex d

V = ∫ x

1 π e dx

x

= ∫

Câu 20 Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol

( )

: =

P y x đường thẳng d y: =2x quay xung quanh trục Ox

A ( )

2

2 d

π∫ x − x x B

2

0

4 d d

π∫ x x−π∫x x C

2

0

4 d d

π∫ x x+π∫x x D ( )

2

2 d

π∫ x−x x

Phương trình hồnh độgiao điểm: 2 0

2 = 

− = ⇔ 

= 

x

x x

x

Vậy thể tích khối trịn xoay tính: ( )

2

2 d

π

= ∫ −

V x x x

Câu 21 Hình phẳng giới hạn hai đồ thị y= x y=x2 quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích

A π

B

3 π

C 2

15 π

D 4

15 π

(156)

Phương trình hồnh độgiao điểm x =x2 0 1 x y x y = ⇒ =  ⇔  = ± ⇒ = 

Ta có đồ thị hai hàm số y= x y=x2 đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn hai đồ thị y= x y=x2 quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn hai đường x= y x= y quay xung quanh trục Oy

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là:

2

d

V =π∫ y−y y ( )

2

d

y y y

π = ∫ − 1

2y 3y

π  

=  − 

 

π

=

Câu 22 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y= −1 x2, y=0 quanh trục Ox có kết dạng a

b π

Khi a+b có kết là:

A 11 B 17 C 31 D 25

1 2 16 (1 ) 15

x dx π

π −

− =

∫

Nên a= 16, b= 15, a+b=31

Câu 23 Cho D miền phẳng giới hạn đường : ( ) 2 y f x

x = = + ; ( ) x

y=g x = Tính thể tích khối trịn xoay thu tạo thành quay D quanh trục Ox ? Thểtích viết dạng

2

T =mπ +nπ ;m,n∈ R tổng giá trị m+n ? A 1

2 B 13 20 C D

Xét phương trình 2

1 x x x x =  = ⇔  = − + 

Như vậy, thể tích cần tìm sẽđược tính theo cơng thức:

1

2

1

( ) ( )

V π f x g x dx

−

= ∫ −

( )

2

1 1

2

2 2

1 1

1

1 1

x x

V dx dx dx

x x π π − − −   =   − = − +   + ∫ ∫ ∫ ( ) ( )

1

2

1 1

20 10 1 x dx dx x x π π − − − − = − + + ∫ ∫ 10 V =π I− với

( ) 2 1 I dx x − = + ∫

Tính I: Đặt tan , ;

2 x= t t∈−π π 

 

2

1

(1 tan ) cos

dx dt t dt

t

= = +

(157)

( )

2

4 4

2

4 4

1 tan

cos (1 cos )

2 tan

t

I dt tdt t dt

t

π π π

− − −

+

= = = +

+

∫ ∫ ∫

2

1 1

4 10

I π V π π π π

⇒ = + = + − = +

Nhận xét: Đây toán khó, địi hỏi thí sinh phải biết cơng thức việc xử lí tích phân khéo léo

Câu 24 Cho hình ( )H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A( )2; , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox

A 16 15

π

B 32

5 π

C 2

3 π

D 22

5 π

Parabol có đỉnh gốc tọa độnhư hình vẽvà qua A( )2; nên có phương trình y=x2 Tiếp tuyến Parabol A( )2; có phương trình y=4(x− + =2) 4x−4 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm ( ) ( )

2

2 2

2

0

d 4 d

V =π∫ x x−π∫ x− x

( )

2

0

32 d

5

x

x x= =

∫ ; ( ) ( )

2

2 2 2

1 1

16

4 d 16 d 16

3

x

x− x= x − x+ x=  −x +x =

 

∫ ∫

Vậy ( ) ( )

2

0

32 16 16

d 4 d

5 15

V =π x x−π x− x=π − = π

 

∫ ∫

Câu 25 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường xy=4, x=0, y=1 y=4 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( )H quanh trục tung

A V =8π B V =16π C V =10π D V =12π

Ta tích V của khối trịn xoay tạo thành quay hình ( )H quanh trục tung

4

1

π d

V y

y  

=  

 

∫

1 16

π dy

y = ∫

4

1 16

π

y

 

= − 

  =12π

O x

y

2

(158)

Câu 26 Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex, y=0, x= −1, x=1 Thể tích vật thểtrịn xoay tạo cho hình ( )H quay quanh trục hoành

A

2

e e

2 −

−

B ( )

2

e e

2 π −

+

C

4 e

2 π

D ( )

2

e e

2 π −

−

Thể tích vật thể cần tính ( ) ( )

2

1

2 2

1

e e

e d d e e

2 2

x x x

V π x π π π

−

− −

−

= ∫ = ∫ = =

Câu 27 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y= −1 x2, y=0 quanh trục Ox V aπ

b

= với a, b sốnguyên Khi a b+

A 11 B 17 C 31 D 25

1−x =0 ⇔ = ±x

Ta có ( )

1

2

π d

V x x

−

= ∫ − 16π

15

= ⇒ =a 16, b=15 Vậy a b+ =31

Câu 28 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2 ,x y=1−x,y=0

x (phần tơ

đậm màu đen hình vẽ bên)

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành

A ln

3

V =π − 

  B

5

2 ln

V =π + 

  C

2 ln

3 V =π − 

  D

2 ln

3 V =π + 

 

Phương trình hồnh độgiao điểm y=2x y x x

− = là:

1

2x x

x

−

= 20

2x x x



⇔ ≠

+ − = 



0 x

x x

  ⇔   

≠  = 

= 

 −

1 x

(159)

Phương trình hồnh độgiao điểm y=2x y=0 là: 2x=0 20

2x x x



⇔ ≠

+ − = 

 ⇔ =x

Phương trình hồnh độgiao điểm y=0 y x x

− = là:

0 x x

− =

1 x x  ⇔ ≠ − =   x x  ≠ = 

⇔  ⇔ =x 2 2

4 d x d

V x x x

x π π  −  = +     ∫ ∫ 2 d x x x π π   = +  −   

∫

1

1 6π π x x dx



= +  − + 

 

∫

Câu 29 Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y=x2−4,

2

y= x− , x=0, x=2 quanh trục Ox A 32π

5 B

32π

7 C

32π

15 D

22π

Ta có ( )

2 2 256

π d π

15

V = ∫ x − x= , ( )

2

0

32

π d π

3

V = ∫ x− x=

Vậy thể tích cần tìm 1 2 32π V = −V V =

Câu 30 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y x

= đường thẳng y=0, x=1,

x= Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( )H quay quanh trục Ox A 2 ln 2π B 3

4

π

C 3

4 −1 D 2 ln

Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( )H quay quanh trục Ox 1 d V x x   = π  ∫  1 x   = π −    1   = π − +    π =

Câu 31 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường

y x

(160)

A V 1 a

 

= − 

  B

1 V a π   = − 

  C

1 V a π   = + 

  D

1 V a   = +   

Thể tích V vật thể trịn xoay cần tìm 1 d a V x x π   =     ∫ 1 1 a x a π π  = − = −  −    1 V a π   ⇔ = −   

Câu 32 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y=x2, y=2x Thể tích khối trịn xoay

được tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox bằng: A 32

15 π

B 64

15 π

C 21

15 π

D 16

15 π

Xét phương trình hồnh độgiao điểm:

2

x − x=

2 x x =  ⇔  = 

Khi quay ( )H xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn

2 2 y x y x x x  =  =   =   = 

Do thể tích khối trịn xoay là: ( ) ( ) 2 2 64 d 15 V =π∫ x − x x= π

Câu 33 Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H giới hạn đường

y=x ; y= x quanh trục Ox A

10

V = π B

10

V = π C

10

V = π . D

10 V = π

Phương trình hồnh độgiao điểm x2 = x

0

x x

⇔ − =

( )( )

1

x x x x

⇔ − + + = ⇔ =x x=1

Khi đó:

Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( )H ( ) ( )

1 2

2 0 d d 10 V =π∫ x x−π∫ x x= π

O x

y 2

y=x

y= x

(161)

Câu 34 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong ex

y= − , trục tọa độ phần đường thẳng

= −

y x với x≥1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh A

2

1 e

3 2e

V = + − B ( )

2 5e

6e

V =π − C e

2 e

V = + − π D

2

1 e

2 2e V = + − Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong ex

y= − đường thẳng y= −2 x:

ex− = − ⇔ =2 x x (Vì ex

y= − hàm đồng biến y= −2 x hàm nghịch biến tập xác định

 nên phương trình có tối đa nghiệm Mặt khác x=1 thỏa mãn pt nên nghiệm pt

đó)

Đường thẳng y= −2 x cắt trục hoành x=2

( ) ( )

1

2

1

0

ex d d

V =π∫ − x+π∫ −x x ( )

2

3

2

1

5e

e

3 6e

x x

x π

π − π  −

= +  − +  =

 

(162)

Dạng 3:Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: x=g y( ); x= f y( ) quay xung quanh trục Oy

Câu 35 Cho hình ( )H giới hạn đường y= − +x2 2x, trục hồnh Quay hình phẳng ( )H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A 496 15 π

B 32

15 π

C 4

3 π

D 16

15 π

Phương trình hồnh độgiao điểm ( )H trục hoành 2 0 x x x x =  − + = ⇔  =  Thể tích khối trịn xoay cần tìm

( ) ( )

2

2 4

0 0

4 16

2 d 4 d

5 15

x

V =π − +x x x=π x − x + x x=π −x + x  = π

 

∫ ∫

Câu 36 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= x−1, trục hoành đường thẳng x=4 Khối tròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A

V = B

2 7π

6

V = C 7π

6

V = D 7π

3 V =

Phương trình hồnh độgiao điểm x− =1 0⇔ =x Thể tích khối trịn xoay tạo thành ( )

4

2

1

π d

V = ∫ x− x ( )

4

1

π x x dx

= ∫ − + 4 π x

x x x

  =  − +    7π =

Câu 37 Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ln(x+1), trục hoành đường thẳng e

x= − Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( )H quanh trục Ox

A e 2− B 2π C πe D π(e 2− )

Thể tích khối trịn xoay ( )H là: ( ) e

2

ln d

V π x x

−

= ∫ + e

1

ln x xd π

= ∫

Đặt

2 ln

d d ln d d x u x u x x v x v x   = ⇒ =   =   = Ta có e e 1

ln ln d

V =πx x − x x

 ∫  Đặt

1

ln d d

d d

u x u x

x v x v x  ′= ′=  ⇒  ′ =    ′ = Suy e e e 1

ln ln d

V =πx x − x x + x

 ∫  ( )

e e e

2

1 1

ln ln

x x x x x

π

(163)

46T

Câu 38 46TCho hình phẳng D giới hạn đồ thị y=(2x−1) lnx, trục hồnh đường thẳng x=e Khi hình phẳng D quay quanh trục hồnh vật thể trịn xoay tích V tính theo cơng thức

46T

A 46T ( ) e

2

2 ln d

V =∫ x− x x46T. B 46T ( ) e

2

2 ln d V =π∫ x− x x46T

C ( )

e

2

2 ln d

V =∫ x− x x. D ( ) e

2

2 ln d V =π∫ x− x x

Hàm số y=(2x−1) lnx có tập xác định D= +∞[1; )

Phương trình hồnh độgiao điểm (2x−1) lnx=0

1

( )

1 x

x  =  ⇔

 = 

loại

Thể tích vật thể tròn xoay là: ( ) e

2

2 ln d V =π∫ x− x x

Câu 39 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=tanx, trục hoành đường thẳng x=0, π

4

x= Quay ( )H xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích A 1 π

4

− . B π2

. C

2 π π

4

− . D

2

π π

4 +

Thể tích ( )H : ( )

π π

2

4 π

2 4

2

0

1 π

π tan d π d π tan π

cos

V x x x x x

x

 

= =  −  = − = −

 

∫ ∫

Câu 40 Goi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex, trục Oxvà hai đường thẳng x=0,

x= Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trụcOx A ( )

1 e

π −

B π(e2+1) C ( )

1 e

π +

D π(e2−1)

Thể tích khối trịn xoay ( )

1

2 2

0

1

2

x x

V =π∫e dx=π e =π e −

Câu 41 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số tan

y= x, trục hoành đường thẳng x=0, π

x= quanh trục hoành

A π

4

V = B πln

2

V = C

2

π

4

V = D π

4 V =

(164)

Thể tích khối trịn xoay cần tính π

0 π tan d

V = ∫ x x π

0 sin

π d

cos x

x x

= ∫ π4

0 π ln cosx

= − π ln

2

=

Câu 42 Xét hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số f x( )=asinx b+ cosx (với a, b số thực dương), trục hoành, trục tung đường thăng x=π Nếu vật thểtròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục Ox tích

2

2 π

f′( )0 =2 2a+5b

A 8 B 11 C 9 D 10

Ta tích vật thể

( )2 ( 2 2 2 2 )

0

sin cos d sin cos sin cos d

V a x b x x a x b x ab x x x

π π

= ∫ + = ∫ + +

2 2

0

1 cos cos sin sin

sin d cos

2 2 4

x x x x x x ab

a b ab x x a b x

π π

π  − +  π      

=  + +  =   − +  + − 

       

∫

( 2)

a b π

π

= +

Theo giả thiết ta có a2+b2 =5 1( )

Ta có f′( )x =acosx b− sinx⇒ f′( )0 =a Theo giả thiết ta có a=2 b=1 Ta 2a+5b=9

Câu 43 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )

4

y= f x =x − x+ , trục hoành hai

đường thẳng x=1;x=3 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A 16

15 π

B 16

15 C

4

π

D 4

3

* Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành là:

3

2

1

16

4 19 12

15

V =π∫x − x+  dx=π∫x − x + x − x+ dx= π (đvtt)

Câu 44 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1≤ ≤x 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x2−2

A 32+2 15 B 124

π

C 124

3 D (32 15+ )π

Thể tích vật thể cần tìm 13 2d V =∫ x x − x

1t t dt =∫

5

1 t

= 124

3

=

Câu 45 Thể tích khối trịn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= xex, trục hoành đường thẳng x=1 là:

A ( ) e

π +

B 1( )

e

4 + C ( )

4

e

4

π −

D 1( )

(165)

Xét phương trình hoành độgiao điểm đồ thị hàm số y= xex trục hoành: xex = ⇔ =0 x

Khi

0 e dx

V =π∫x x Đặt 2 2

d d

1 e

d e d

2 x x u x u x v v x =  =   ⇒   = =  

Khi đó: 1

0

1

e e d

2

x x

V =π x − x

   ∫  2 1 e e x π  =  −    2

1 1

e e

2 4

π   =  − +    ( ) e π = + 1 2 ln

6π π x x x



= + − − + 

 

3

2 ln 2

1 6π π

 − 

 

 +



= ln

3

π − 

 

=

Câu 46 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

3

= −

y x x trục hoành, quanh trục hoành A 81

10

π (đvtt)

B 85

10

π (đvtt)

C 41

7

π (đvtt)

D 8

7

π (đvtt).

Ta có 0

3 =  − = ⇔  =  x x x x

Thể tích khối trịn xoay cần tìm là:

( ) ( )

3

2

0 0

3 81

3

2 10

π

π π π 

= − = − + =  − +  =

 

∫ ∫ x x

V x x dx x x x dx x (đvtt)

Câu 47 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= cos+ x, trục hoành đường thẳng

x= ,

x=π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = −π B V = +π C V =π π( −1) D V =π π( +1)

Thể tích khối trịn xoay quay D quanh trục hồnh tích là:

2

d

V y x

π π

= ∫ 2( )

0

2 cosx dx π

π

= ∫ + ( )2

0 2x sinx

π π

= + =π π( +1)

Câu 48 Thể tích khối trịn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= xex, trục hoành đường thẳng x=1 là:

A ( )

e

4

π +

B 1( )

e

4 + C ( )

4

e

4

π −

D 1( )

e

4 −

Xét phương trình hồnh độgiao điểm xex =0⇔ =x Thể tích khối tròn xoay thu là:

( )

1

2

ex d

V =π∫ x x

1

e dx

(166)

Câu 49 Thể tích vật trịn xoay có quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y=tanx, trục Ox, đường thẳng x=0, đường thẳng

3

x=π quanh trục Ox

A

3

V = −π B

3

V = +π C

2

3

V =π +π D

2

3 V =π −π

Thể tích vật trịn xoay

2

tan d

V x x

π π

= ∫ 2

0

1 d

cos x x

π

π  

=  − 

 

∫ ( )3

0 tanx x

π π

= − tan

3 π π π  =  −    3 π π = −

Câu 50 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x

y= , y=0, x=1, x=4 quay quanh trục Ox

A 15

16 B

15 π

C 21

16 D

21 16

π

4

1

21 d

16 48 16

x x

V =π∫ x=π = π

Câu 51 Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y lnx x

x= Khối tròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A

2

V =π B

3

V =π C

6

V =π D V =π

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị hàm số y lnx x

= trục hoành lnx x

x = ⇔ =

Khối tròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hồnh tích e ln d x V x x π   =   =   ∫ e ln 3 x π π  =  

Câu 52 Tính18T thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục 18TOx18T hình phẳng giới hạn hai đồ thị18T

2

4

y=x − x+ 18T 18T

2

y= − −x x+ 18T 18T

A 18Tπ B π −1 C 3π D 2π

18T

Xét phương trình hồnh độgiao điểm 18T

2

4 6

x − x+ = − −x x+ ⇔2x2−2x=0

1 x x =  ⇔  =

 18T Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị

( ) ( )

1

2

0

4 6 d

V =π∫ x − x− − − −x x+ x

1

3

0

12x 36x 24 dx x π

(167)

( )

1

3

0

12x 36x 24x dx π

= ∫ − + − ( 3 2)1

0 3x 12x 12x π

= − + − =3π

Câu 53 Tính thể tích phần vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị ( )P :y=2x−x2 trục Ox

A 19 15

V = π B 13

15

V = π C 17

15

V = π D 16

15 V = π

Xét phương trình

2

2 x x x

x =  − = ⇔ 

= 

Vì 2x−x2 ≥ ∀ ∈0 x [ ]0; nên thể tích phần vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị ( )P :y=2x−x2 trục Ox ( )

2

16

2 d

15 V =π∫ x−x x= π Vậy a b− =1

Câu 54 Cho hình phẳng ( )S giới hạn đường cong có phương trình

2

y= −x trục Ox, quay

( )S xung quang trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành A

3

V = π B

3

V = π C

3

V = π D

3 V = π

Phương trình hồnh độgiao điểm đường cong trục Ox:

2−x = ⇔0 2−x2 =0 ⇔ 2 x x  = 

= −



Thể tích khối trịn xoay tạo thành

( )

2 2

2

2 d

V π x x

−

= ∫ − ( 2)

2

2 x dx π

−

= ∫ −

2

8 2

3

x x

π π

−

 

=  −  =

 

Câu 55 Gọi ( )H hình giới hạn nhánh parabol y=2x2 (với x≥0), đường thẳng

y= − +x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( )H quay quanh trục Ox A 52

15

V = π B 17

5

V = π C 51

17

V = π D 53

17 V = π

O

x

(168)

1

2 3

2 x

x x

x

=   = − + ⇔

 = − 

Thể tích khối tròn xoay tạo ( )H : ( )

3

2 4

1

52

3 d d

15 V =π∫ − +x x+π∫ x x= π

Câu 56 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường thẳng y=2x Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình( )H xung quanh trục hồnh

A 64 15

π

B 16

15 π

C 20

3 π

D 4

3 π

Xét phương trình hồnh độ giao điểm paraboly y=x2 đường thẳng y=2x ta có

2

2 x

x x x x

x = 

= ⇔ − = ⇔ 

= 

Do x2−2x<0 với 0< <x nên 2x−x2 >0 với 0< <x

Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình( )H xung quanh trục hồnh

( ) ( )

( )

2

0

4 64

2

3 15

x

V =π x − x dx=π x −  = π

 

∫

Câu 57 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x+ − =y 0; y= x; y=0 quay quanh trục Ox

A 5

6 B

6

π

C 2

3 π

D 5

6 π

Hình phẳng cho chia làm phần sau:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn đường y= x; y=0; x=0; x=1 Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích

1

0

d

2

x

V =π∫x x=π =π Phần 2: Hình phẳng giới hạn đường y= −2 x; y=0; x=1; x=2

Khi quay trục Ox phần ta khối tròn xoay tích

( ) ( )3

2

1

2

2 d

3

x

V =π∫ −x x=π − =π

Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính 1 2 V = +V V = π

Câu 58 Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x= y, y= − +x x=0 quay quanh trục Ox có giá trị kết quảnào sau đây?

A

V = π B

2

V = π C 32

15

V = π D 11

6 V = π

(169)

Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đường:

x y

y x

x  = 

= − + 

 = 

( )

2

y x x

y x

x

 = ≥



⇔ = − +

 = 

2

x = − +x ⇔x2+ − =x ( )

( )

1

x nhaän

x loại

=  ⇔ 

= −  Thể tích vật trịn xoay sinh hình ( )H quay quanh trục Ox là:

( ) ( )

( )

1

2 2

2 d

V =π∫ − +x − x x ( )

1

2

0

4 d

x x x x

π

= ∫ − + − 32

15π

= (đvtt)

Câu 59 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x, cung trịn có phương trình

2

6

y= −x (− 6≤ ≤x 6) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox

A V =8π 6−2π B 22

V = π + π C 22

3

V = π − π D 22

3

V = π + π

Cách1. Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích

( )3

4

6

3

V = π = π

Thể tích nửa khối cầu V1 =4π

Xét phương trình:

6

x = −x 2

6 x

x x

≥  ⇔ 

+ − =

 ⇔ =x

Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x,

cung tròn có phương trình

6

y= −x , hai đường thẳng x=0, x=2 quanh Ox

( )

2 2

0

22

6 d

3 V =π∫ −x −x x= π

Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm 1 2 22 V = +V V = π + π

Cách2. Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích

( )3

1

6

3

V = π = π

Xét phương trình:

6

x = −x 2

6 x

x x

>  ⇔ 

+ − =

 ⇔ =x

O x

y

6

(170)

Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= x,

cung trịn có phương trình

6

y= −x đường thẳng y=0 quanh Ox ( )

2

0

d d

V =π∫x x+π ∫ −x x 12 28

2

3

π − π

= + 22

3 π π

= −

Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = −V1 V2 6 22 π

π  π 

= − − 

 

22

3 π π

= +

A 8

π

B 16

3 π

C 10π D 8π

Ta có:

0

0 2

2

x x

x x x

 = ⇒ =



= − ⇒ = 

 = − ⇒ =



Dựa vào hoành độgiao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y= x, y=0 x=0; x=2 Phần thứ hai giới hạn y= x, y= −x x=2; x=4

Thể tích vật thể bằng:

( ) ( )

2 2

2

0

d d

V =π∫ x x+π∫ x− − x x ( ( ) )

2

0

d d

x x x x x

π π

= ∫ + ∫ − −

( )

2

0 2

2 16

2 3

x

x x π

π π − 

= +  −  =

 

Câu 61 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y=x2 đường tròn x2+y2 =2 (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành

A 44 15

V = π B 22

15

V = π C

3

V = π D

5 V =π

Với y=x2 thay vào phương trình đường trịn ta

2

1

2

1

x x

 =  =

+ = ⇔ ⇔ = −

= − 



Hơn

2 2

2

y x

x y

y x

 = − − 

+ = ⇔

 = −



x y

(171)

Thể tích cần tìm thể tích vật thể trịn xoay ( )

2

1

2 :

1

y x

x H

x Ox

 = −

  = − 

=  

quay quanh Ox bỏđi phần

thể tích ( )

2

1 :

1 y x x H

x Ox  =  = −  

=  

quay quanh Ox

Do 1( 2)2 1( )2

1

44

2 d d

15

V π x x x x π

− −

 

=  − − =

∫ ∫ 

Câu 62 Cho nửa đường tròn đường kính AB=4 Trên người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn, trục đối xứng

đường kính vng góc vớiAB Parabol cắt nửa đường tròn hai điểm cách cm khoảng cách từhai điểm đến AB cm Sau người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn đường trịn parabol (phần tơ màu hình vẽ) Đem phần cịn lại quay xung quanh trụcAB Thể tích khối trịn xoay thu bằng:

A (800 464) 15

V = π − cm3 B (800 928)

3

V =π − cm3

C (800 928)

V =π − cm3 D (800 928)

15

V = π − cm3

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ

Theo đềbài ta có phương trình đường trịn

20

y= −x phương trình parabol y=x2

Phương trình hồnh độgiao điểm 20−x2 =x2 ⇔x4−x2−20=0⇒ = ±x

Do tính chất đối xứng hình vẽ nên ta tích vật thể trịn xoay tính theo cơng thức

( ) ( )

2

2 2 4

0

2 20 d 20 d

V = π −x x−π −x −x x

 

 ∫ ∫  ( )

1

800 928 15π

= −

Câu 63 Cho hai đường tròn (O1;10) (O2;8) cắt hai điểm A B, cho AB đường kính đường trịn ( )O2 Gọi ( )H hình phẳng giới hạn hai đường trịn ( phần tơ màu

như hình vẽ) Quay ( )H quanh trục O O1 2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành

x y

(172)

A 824 π

B 608

3 π C

97

3 π D

145 π

Ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

Ta có 2

1 2

O O = O A −O A = Ta có O2( ) (0;0 ,O1 −6;0)

Đường trịn (O2;8)có phương trình là: x2 +y2 =64

64

y x

⇒ = −

Đường trịn (O1;10)có phương trình là:(x+6)2 +y2 =100 ⇒ =y 100−(x+6)2

Thể tích cần tìm ( ) ( )

8

2

0

608

64 100

3 V =π∫ −x dx−π∫ − x+ dx= π

Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi ( )H1 hình phẳng giới hạn đường x y= ,

4 x

y= − , x= −4, x=4 hình ( )H2 hình gồm điểm ( )x y; thỏa:

2 16 x +y ≤ , ( )2

2

x + y− ≥ , x2 +(y+2)2 ≥4

C O2

O1

A

(173)

Cho ( )H1 ( )H2 quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1, V2 Đẳng thức

nào sau đúng?

A V1 =V2 B 1 2

V = V C V1 =2V2 D 1 2

3 V = V

• Thể tích khối trụ bán kính r=4, chiều cao h=8 là: V=πr h2 =π.4 82 =128π • Thể tích giới hạn Parabol

2 x

y= , trục tung, đường thẳng y=4 quay quanh Oy là:

( )

4

π d

P

V x y

⇒ = ∫

0

π dy y

= ∫ =32π

Suy thể tích ( )H1 là: V1= −V 2.V( )P =128π 2.32π− =64π • Thể tích khối cầu bán kính R=4: 4π

3 L

V = R 256π

3

=

• Thể tích khối cầu bán kính r=2: 4π23 32π

3

N

V = =

Suy thể tích ( )H2 là: V2 =VL−2.VN

256π 2.32π

3

= − =64π

Vậy r=2: V1=V2

Câu 65 Cho hai đường tròn (O1;5) (O2;3) cắt hai điểm A, B cho AB đường kính đường trịn (O2;3) Gọi ( )D hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O1 2 ta khối tròn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

A V =36π B 68

V = π C 14

3

V = π D 40

3 V = π

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 ≡O, O C2 ≡Ox, O A2 ≡Oy A

B

O O2 C

(174)

Cạnh O O1 2 = O A1 2−O A2 2

5

= − =4⇒( ) (O1 : x+4)2+y2 =25

Phương trình đường trịn ( )O2 : 2 x +y =

Kí hiệu ( )H1 hình phẳng giới hạn đường y= 25− +(x 4)2 , trục Ox, x=0, x=1 Kí hiệu ( )H2 hình phẳng giới hạn đường y= 9−x2 , trục Ox, x=0, x=3

Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình ( )H2 xung quanh trục Ox trừđi thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình ( )H1 xung quanh trục Ox

Ta có

2

V = πr 33 3π

= =18π

Lại có

1

0 d

V =π∫y x ( )

1

2

25 x dx

π  

= ∫ − +  ( )

3 1

0 25

3 x x

π + 

=  − 

 

 

14 π

=

Do V =V2−V1

14 18

3 π π

= − 40

3 π

=

Câu 66 Cho hai mặt cầu ( )S1 , ( )S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( )S1 thuộc

( )S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 (S2) A V =πR3 B

3

R

V =π C

3

12 R

V = π D

3

5 R V = π

Gắn hệ trục Oxy hình vẽ

Khối cầu S O R( , ) chứa đường tròn lớn

( ) 2

:

C x +y =R Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính

( ) 3

2 2

2

5

2 d

3 12

R R

x R

V = π R −x x= πR x−  = π

 

∫

O R

2 R 2 ( ) :C x +y =R

y

(175)

THỂ TÍCH TÍNH THEO MẶT CẮT S(X)

Câu 67 Trong không gian , cho vật thểđược giới hạn hai mặt phẳng , vng góc với trục , Một mặt phẳng tùy ý vng góc với điểm có

hoành độ , cắt vật thể theo thiết diện có diện tích với hàm số liên tục Thể tích thểtích tính theo công thức

A B C D

Câu 68 Cho phần vật thể ( )ℑ giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt phần vật thể ( )ℑ mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x 2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2−x Tính thể tích V phần vật thể ( )ℑ

A

V = B

3

V = C V =4 D V =

Diện tích thiết diện: ( )

2

4

x x

S∆ = −

( )

2

0

2

d

x x

Vℑ=∫ − x ( )

2

2 d

4 x x x

= ∫ − 2( )

0

2 d

4 x x x

= ∫ −

2

3

0

3

4 3x 4x

 

=  −  =

 

Câu 69 Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (− ≤ ≤1 x 1) thiết diện tam giác

đều Tính thể tích V vật thểđó

A V = B V =3 C

3

V = D V =π

Oxyz ( )P ( )Q

Ox x=a x=b (a<b) Ox

x (a≤ ≤x b) S x( ) y=S x( )

[ ]a b; V

O y

x z

S(x)

a x b

( )

2 d b

a

V =∫S x x π 2( )d

b

a

V = ∫S x x π ( )d

b

a

V = ∫S x x ( )d

b

a

(176)

Tại vị trí có hồnh độ x (− ≤ ≤1 x 1) tam giác thiết diện có cạnh 1−x2

Do tam giác thiết diện có diện tích ( ) ( ) 2

4

S x = −x = 1( −x2) Vậy thể tích V vật thể ( )

1

2

3 x dx −

−

∫ =4 33

Câu 70 Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0

x=π Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x

3 x π  ≤ ≤ 

 

  ta thiết

diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 2x cosx Thể tích vật thể B

A 3 π +

B 3

3 π−

C 3

6 π−

D

6 π

Thể tích vật thể B

3

3 3

0 0

0

3

cos d sin sin d sin cos

6

V x x x x x x x x x x

π π

π π π π−

=∫ = −∫ = + =

Câu 71 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x=π , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x π) tam

giác cạnh sinx

A V =3 B V =3π C V =2π D V =2

Diện tích tam giác ( ) ( )

2 sin

4 x

S x = = sinx

Vậy thể tích ( )

d

V S x x

π

=∫

0

3 sin dx x π

(177)

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

BÀI TẬP

Câu Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc cm , chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Tính thểtích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc ởđáy mực nước trùng với đường kính đáy

A

240 cm B

240 cmπ C

120 cm D

120 cmπ Câu Bổ dọc quảdưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết

1000 cm dưa hấu sẽlàm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ quảdưa hấu thu

được tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏdưa không đáng kể

A 183000 đồng B 180000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Câu Chướng ngại vật “tường cong” sân thi đấu X-Game khối bê tơng có chiều cao từ mặt đất lên 3, m Giao mặt tường cong mặt đất đoạn thẳng AB=2 m Thiết diện khối tường cong cắt mặt phẳng vng góc với AB A hình tam giác vng cong

ACE với AC=4 m, CE=3, m cạnh cong AE nằm đường parabol có trục đối xứng vng góc với mặt đất Tại vị trí M trung điểm AC tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên) Tính thể tích bê tơng cần sử dụng để tạo nên khối tường cong

A

9, 75 m B

10, m C

10 m D

10, 25 m Câu Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có trục lớn 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt thùng) 3m Đươc đặt cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao dầu có thùng (tính từđáy

thùng đến mặt dầu) 0,6m Tính thể tích V dầu có thùng (Kết làm tròn đến phần trăm)

A

1,52m

V = B

1, 31m

V = C

1, 27m

V = D

1,19m

V =

A B

C M

E

2 m 1m

3, m

(178)

Câu Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai

đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) bao nhiêu?

A 425, lit B 425162lit. C 212581lit D 212, 6lit Câu Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng đểđổđủ cầu (Đường cong hình vẽlà đường Parabol)

A 19m3 B 21m3 C 18m3 D 40m3

Câu Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y= x+1và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọcó đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là:

A

8 .π dm B 15

2 π dm C

2 14

3 π dm D

2 15

dm

Câu Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính

và cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A (dmP

3 P

) B (dmP

3 P

) C (dmP

3 P

) D (dmP

3 P )

Câu Từ khúc gõ hình trụcó đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng

qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc để lấy hình nêm (xem hình minh họa

đây)

132π 41π 100

3 π 43π

0

45

0, 5m 19m 0, 5m

(179)

Hình Hình

Kí hiệu thể tích hình nêm (Hình 2) Tính

A B C D

Câu 10 Người ta dựng lều vải ( )H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên

Đáy ( )H hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO=6 m (SO vng góc với mặt phẳng

đáy) Các cạnh bên ( )H sợi dây c1, c2, c3, c4, c5, c6 nằm đường parabol có trục

đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) ( )H với mặt phẳng ( )P vng góc với SO lục giác ( )P qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều ( )H

A 135 (

3

m ) B 96

5 (

m ) C 135

4 (

m ) D 135

8 (

3 m )

Câu 11 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽdưới Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là:

V V

( )

V =2250 cm3 V 225 ( )cm3

4

π

= V =1250( )cm3 V =1350( )cm3

O

c

2 c

3 c

4 c c

c

1m

(180)

A 256

V = B 64

3

V = C 256

3

V = D 32

3 V =

Câu 12 Gọi ( )H phần giao hai khối

4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( )H

A ( )

3

=

H a

V B ( )

3

4

=

H a

V

C ( )

=

H a

V D ( )

3

π =

H a

V

Câu 13 Một khối cầu có bán kính 5( )dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc

đường kính cách tâm khoảng 3( )dm để làm lu

đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 ( )3

3 π dm B ( )

3 43

3 π dm C ( )3

41π dm D ( )3

132π dm

Câu 14 Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chuông mặt phẳng qua trục

(181)

A 6π B 12π C 2π3 D 16π Câu 15 Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽdưới

Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm( )3 vật thểđã cho

A V =12π B V =12 C 72

5

V = π D 72

5 V =

6 cm

A B

O 4cm

(182)

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

Câu Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lòng đáy cốc cm , chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Tính thểtích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc ởđáy mực nước trùng với đường kính đáy

A

240 cm B

240 cmπ C

120 cm D

120 cmπ

ChọnA

Đặt R=6( cm ), h=10( cm ) Gán hệ trục tọa độnhư hình vẽ

Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm x (− ≤ ≤6 x 6) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S x( )

Ta thấy thiết diện tam giác vng, giả sử tam giácABC vuông B hình vẽ Ta có S x( )=SABC

1 2AB BC

=

tan

2BC α

= 1( 2)

2

h

R x

R

= − ( )

2 36

6 x

−

=

Vậy thểtích lượng nước cốc ( ) ( )

6

5 36

d d 240

6 x

V S x x x

− −

−

= ∫ = ∫ = (cm3)

Câu Bổ dọc quảdưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết

1000 cm dưa hấu sẽlàm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ quảdưa hấu thu

được tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏdưa không đáng kể

ChọnA

Đường elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm có phương trình

x

y z

x O h

A

B C

α α

(183)

2 2

2

14 25

2

x + y =

      2 2 25 14 x

y    

⇔ =   −      2 25 14 x y ⇔ = ± −

Do thể tích quảdưa

2 14 2 14 25 d 14 x

V π x

−   =  −    ∫ 2 14

2 14 25 d 14 x x π −     =    −    ∫   14 3 14 25 3.14 x x π −     =   ⋅ −      25 56 π   =   ⋅   8750 cm π =

Do tiền bán nước thu 8750 20000 183259 3.1000

π ≈ đồ

ng

Câu Chướng ngại vật “tường cong” sân thi đấu X-Game khối bê tơng có chiều cao từ mặt đất lên 3, m Giao mặt tường cong mặt đất đoạn thẳng AB=2 m Thiết diện khối tường cong cắt mặt phẳng vng góc với AB A hình tam giác vng cong

ACE với AC=4 m, CE=3, m cạnh cong AE nằm đường parabol có trục đối xứng vng góc với mặt đất Tại vị trí M trung điểm AC tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên) Tính thể tích bê tơng cần sử dụng để tạo nên khối tường cong

A

9, 75 m B

10, m C

10 m D

10, 25 m

ChọnC

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ cho A≡O

⇒ cạnh cong AE nằm parabol ( )P :y=ax2+bx qua điểm ( )2;1 4;7

 

 

  nên

( ) :

16

P y= x + x

Khi diện tích tam giác cong ACE có diện tích

2

0

3

d m

16

S =  x + x x=

  ∫ A B E m x y 3, A B C M E

2 m 1m

3, m

(184)

Vậy thể tích khối bê tơng cần sử dụng 5.2 10 m

V = =

Câu Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có trục lớn 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt thùng) 3m Đươc đặt cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao dầu có thùng (tính từđáy

thùng đến mặt dầu) 0,6m Tính thể tích V dầu có thùng (Kết quảlàm tròn đến phần trăm)

A

1,52m

V = B

1, 31m

V = C

1, 27m

V = D

1,19m

V =

18T

ChọnA

18T

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ

18T

Theo đềbài ta có phương trình Elip 18T

2

1

4 25

x y

+ = 18T Gọi M , N giao điểm dầu với elip Gọi S1 diện tích Elip ta có 1

2 5 S =πab=π =π

Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn Elip đường thẳng MN

Theo đề chiều cao dầu có thùng (tính từđáy thùng đến mặt dầu) 0,6m nên ta có

phương trình đường thẳng MN y=

Mặt khác từphương trình

2

1

4 25 x + y =

ta có

y= −x

Do đường thẳng

y= cắt Elip hai điểm M , N có hồnh độ

− nên

3

4

2

3

4

4 1

d d

5 5 10

S x x x x

− −

 

=  − −  = − −

 

∫ ∫

Tính

2

4

d

I x x

−

= ∫ − Đặt 1sin d 1cos d

2

x= t⇒ x= t t y B

A x O

A′

(185)

Đổi cận: Khi x=−

3

t = −π ; Khi x=

3 t=π

Khi 3 ( )

3

1 1

cos d cos d

2 8

I t t t t

π π

π

− −

 

= = + =  + 

 

∫ ∫

Vậy 2 3

5 10 15 20

S =  π + − = π −

 

Thể tích dầu thùng 3 1, 52 15 20

V =π π− +  =

 

Câu Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai

đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) bao nhiêu?

A 425, lit B 425162lit. C 212581lit D 212, 6lit

Chọn A

 Gọi ( )P :y=ax2+ +bx c parabol qua điểm A(0,5; 0,3) có đỉnh S(0; 0, 4) (hình vẽ)

Khi đó, thểtích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn ( )P , trục

hoành hai đường thẳng x= ±0, quay quanh trụcOx

 Dễdàng tìm ( ): 2 0,

P y= − x +

 Thểtích thùng rượu là:

x y

0,4m

0,3m 0,5m

O S

(186)

2

0,5 0,5

2

0,5

2 203

0, 0, 425, (l)

5 1500

V x dx x dx

−

   

= − +  = − +  = ≈

   

∫ ∫ π

π π

Câu Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng đểđổđủ cầu (Đường cong hình vẽlà đường Parabol)

A

19m B

21m C

18m D

40m

Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

Gọi ( )P1 :y=ax2+c Parabol qua hai điểm 19; , ( )0; 2

A  B

 

Nên ta có hệphương trình sau: ( )

2

8 19

0

:

361

2

a a

P y x

b b

   

= −

= +

   ⇔ ⇒ = − +

   

 =  =



Gọi ( )P2 :y=ax2+c Parabol qua hai điểm (10; ,) 0;5 C D 

 

y

O x

0, 5m 19m 0, 5m

(187)

Nên ta có hệphương trình sau:

( )

2

1

0 10

1

40

:

5 40

2

a a

P y x

b b



 = + = −



 ⇔ ⇒ = − +

 

 =  =

 

 

Ta tích bê tơng là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 40

40 361

V =  − x + dx− − x + dx= m

   

∫ ∫ 

Câu Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y= x+1và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọcó đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là:

A 8 .π dm2 B 15

2 π dm C

2 14

3 π dm D

2 15

dm

Chọn B

 r1= y1= ⇒1 x1=0

 r2 = y2 = ⇒2 x2 =3

Suy ra: ( )

3

2

0

15

d d

2

x

V = y x= x+ x=  +x =

 

∫ ∫

π π π π

Câu 46T

Một khối cầu46T có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính

và cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A (dmP

3 P

) B (dmP

3 P

) C (dmP

3 P

) D (dmP

3 P )

Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox,

đường ngang Oy; đường trịn lớn có phương trình Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong ,

quay quanh Ox

= (bấm máy)

132π 41π 100

3 π 43π

2 25 x +y =

2 25 y= −x

3,

x= x= −

2

(25 )

V π x dx

−

= ∫ − 132π

x y

O

5dm

(188)

Chọn A Câu 46T

Từ khúc46T gõ hình trụcó đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng

qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc để lấy hình nêm (xem hình minh họa

đây)

46T

Hình Hình

Kí hiệu thể tích hình nêm (Hình 2) Tính

A B C D

Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ.Khi hình nêm

có đáy

là nửa hình trịn có phương trình:

Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox

điểm có hồnh độ ,

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích (xem hình)

Dễ thấy

suy thể tích hình nêm là:

Chọn A

0

45

V V

( )

V =2250 cm3 V 225 ( )cm3

4

π

= V =1250( )cm3 V =1350( )cm3

y = 225−x x2, ∈ − 15;15

 

x (x ∈ − 15;15)

( )

S x

=

NP y MN =NPtan 450 = =y 15−x2 ( )= . = 1 225( − 2)

2

S x MN NP x

( )

−

= 15∫ 15

V S x dx ( x dx) ( )cm

15

2

15

1

225 2250

2−

(189)

Câu 10 Người ta dựng lều vải ( )H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên

Đáy ( )H hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO=6 m (SO vng góc với mặt phẳng

đáy) Các cạnh bên ( )H sợi dây c1, c2, c3, c4, c5, c6 nằm đường parabol có trục

đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) ( )H với mặt phẳng ( )P vng góc với SO lục giác ( )P qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều ( )H

A 135 (

3

m ) B 96

5 (

m ) C 135

4 (

m ) D 135

8 (

3 m )

Đặt hệ trục tọa độnhư hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A( )0; ,

( )1;3

B , C( )3; nên có phương trình

2

y= x − x+

Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” là BM Nếu ta đặt t=OM

2

BM = − t+ (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “−” trước dấu cho B chạy từ C đến A)

Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác”

( )

2

3 3

6

4 2

BM

S t = =  − t+ 

  với t∈[ ]0;

Vậy thể tích “túp lều” theo đề là:

( )

2

6

0

3 135

d d

2

V = S t t=  − t+  t= =

 

∫ ∫

O

c

2 c

3 c

4 c c

c

1m

(190)

Chọn D

Câu 11 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽdưới Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là:

A 256

V = B 64

3

V = C 256

3

V = D 32

3 V =

Chọn tâm đường tròn làm gốc

Diện tích thiết diện 2

3(4 )

4

S= AB = −x

2

32

( ) (4 )

3

V S x dx x dx

− −

= ∫ = ∫ − =

Chọn D

Câu 12 Gọi ( )H phần giao hai khối

4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( )H

A ( )

3

=

H a

V B ( )

3

4

=

H a

V

C ( )

=

H a

V D ( )

3

π =

H a

V

(191)

Chọn A

Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( )H vật thể

có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a, thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S x( )=a2 −x2

Thể tích khối ( )H ( ) ( )

3 2

0

2

= − =

∫aS x dx ∫a a x dx a

Câu 13 Một khối cầu có bán kính 5( )dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vuông góc

đường kính cách tâm khoảng 3( )dm để làm lu

đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 ( )3

3 π dm B ( )

3 43

3 π dm C ( )3

41π dm D ( )3

132π dm

Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn 2

( ) : (C x−5) +y =25 Ta thấy cho nửa trục Ox ( )C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng ( )H giới hạn nửa trục Ox ( )C , trục Ox, hai đường thẳng x=0, 2x= quay xung quanh trục Ox ta sẽđược khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề

Ta có 2

(x−5) +y =25⇔ = ±y 25 (− −x 5)

⇒ Nửa trục Ox ( )C có phương trình 2

25 ( 5) 10

y= − −x = x−x

(192)

( )

2

1

0 0

52

10 d

3

x V = x−x x=  x −  =

 

∫ π

π π

Thể tích khối cầu là: V2 53 500

3

= π = π

Thể tích cần tìm: 2 1 500 2.52 132 ( )3

3

V =V − V = π − π = π dm

Câu 14 Một chuông có dạng hình vẽ Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục

chuông, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng?

A 6π B 12π C 2π3 D 16π

Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba điểm

( )0; , 4; 2 , 4; 2( ) ( − ) nên có phương trình

2

= y

x Thể tích chng thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng

2 , 0,

= = =

y x x x quay quanh trục Ox Do

Ta có ( )

4

0

2 16

= ∫ = =

V π xdx πx π

(193)

Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V cm( )3 vật thểđã cho

A V =12π B V =12 C 72

5

V = π D 72

5 V =

Chọn A

Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol ( )P Vì parabol ( )P

đi qua điểm A(−2; ,) ( )B 2; I( )0; nên parabol ( )P có phương trình

2 y= x

Ta có 2

2

= ⇔ =

y x x y Khi thể tích vật thểđã cho ( )

3

2

12

3

V =π  y dy = π cm

 

∫

6 cm

A B

O 4cm

(194)

ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN

BÀI TẬP

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t( ) 160 10 (  t m s/ ) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t0 ( )s đến thời điểm mà vật dừng lại

A 1028 m B.1280 m C.1308 m D 1380 m

Câu 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc v t  ( / )m s , có gia tốc

( ) ( ) , ( / )

2

a t v t m s t

  



Vận tốc ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là

A 4, 6m s/ B 7, 2m s/ C 1, 5m s/ D 2, 2m s/

Câu 3: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc ( theo

/ cm s)

 2

20 ( )

1 a t

t  



(với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t0

 

30 /

v cm s

A 10

1 2t B

10 20

1 2t  C  

3

1 2 t  30 D

 2

20 30 1 2t

  

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v t( ) sin (m/s)  t Quãng đường mà vật chuyển động khoảng thời gian t0 (s) đến thời điểm (s)

4

t 

A

4 



B

4  

C

4  

D

4 



Câu 5: Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 /m s người lái xe phát có hàng rào

ngăn đường phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5t 20(m s ),/ trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?

A 5 m B 4 m C 6 m D 3 m

Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc 10 /m s tăng tốc với gia tốc

( )

a t  tt Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 4300

3 m B 4300 m C 430 m D

430

3 m

Câu 7: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc (m/s2) Tính quãng đường (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A (m) B (m) C (m) D (m)

Câu 8: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a

2

/

m s Biết ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng

đây

1( )

v t  t

70

a  S

95, 70

(195)

A 3;  B 4;5  C 5;6  D 6; 

Câu 9: Một ôtô chạy với vận tốc 18 /m s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ôtô

chuyển động chậm dần với vận tốc v t  36t18 (m s ) t khoảng thời / gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ôtô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét?

A 5, m B 3, m C 6, m D 4, m

Câu 10: Một vật di chuyển với gia tốc Khi vận tốc vật

Tính quảng đường vật di chuyển sau giây (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị)

A B C D

Câu 11: Một vật chuyển động với vận tốc

2

( ) 1, (m/s)

2 t v t

t   

 Quãng đường vật

trong giây bao nhiêu? (làm tròn kết đến hàng phần trăm).

A 12,60 m. B 12,59 m. C 0,83 m. D 6,59 m

Câu 12: Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 /m s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa

cách mặt đất mét, biết gia tốc

9,8 m s/ ?

A 30, 625 m B 37, m C 68,125 m D 6,875 m

Câu 13: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 24,5m s /  gia tốc trọng trường 9,8m s/ 2 Quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất (coi viên đạn bắn lên từ mặt đất)

A 61, 25 m   B 30, 625 m   C 29, m   D 59,5 m  

Câu 14: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên cm đến 10 cm Hãy tìm cơng sinh kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm?

A 1,95J B 1,59 J C 1000 J D 10000 J

Câu 15: Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 10t t 2,

t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t tính theo đơn vị mét/phút (  /

m p) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu là

A v5m p/  B v7m p/  C v9m p/  D v3m p/ 

Câu 16: Một ô tô chạy với vận tốc 10 /m s người lái đạp phân, từ thời điểm đó, tơ chuyển

động chậm dần với vận tốc v t   5t 10m s/ , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tơ cịn di chuyển mét?

A 0, 2m B 2m C 10m D 20m

  20 2 

a t    t  m s/ 2 t0

30m s/

106

(196)

Câu 17: Một vật chuyển động với vận tốc v t  1 2sin m/st  Quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t0 s  đến thời điểm  s

4  

t

A  m 

B m 

4 

 C m 



 D m 





Câu 18: Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay

 

3 (m/s)

v t  t  Tính quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10

A 246 m B 252 m C 1134 m D 966 m

Câu 19: Một ô tô chạy với tốc độ 10 m s  người lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với v t  5t10m s, t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét

A 8m B.10 m C 5m D 20 m

Câu 20: Một ô tô chuyển động với vận tốc v t   m/s, có gia tốc     m/s 2

a t v t t 

 



Biết vận tốc ô tô giây thứ m/s Tính vận tốc tô giây thứ 20  

A v3ln B v14 C v3ln 6 D v26

Câu 21: Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v t t2 10 m/st  với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 m/s rời đường băng Qng đường máy bay di chuyển   đường băng

A 2500 m

3 B 2000 m   C 500 m   D  

4000 m

3

Câu 22: Một xe đua chạy 180 km/h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia tốc a t 2t1 (m/s2) Hỏi s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc

km/h

A 200 B 243 C 288 D 300

Câu 23: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào chắn ngang đường phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t  5t20 m/s , t

là thời gian tính từ lúc người lái đạp phanh Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào bao nhiêu?

A m B m C m D m

Câu 24: Một chất điểm chuyển động có phương trình  

s t t  t  t, t tính

giây, s tính mét Gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc 24m/s là

A 21m/s2 B 12m/s2 C 39 2

m/s D 20 2

(197)

Câu 25: Một vật chuyển động có phương trình  

3

v t t  t m/s Quãng đường vật kể  từ bắt đầu chuyển động đến gia tốc 24 m/s2

A 15m

4 B 20 m C 19 m D

39 m

4

Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s bắt đầu tăng tốc với gia tốc

 

6 12

a t  t t m/s2

Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 4300

3 m B.11100 m C 4300 m D

98

3 m

Câu 27: Một vật chuyển động với vận tốc v20 m/s  thay đổi vận tốc với gia tốc tính theo thời gian t a t   4 2tm/s2 Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé

A 104m

3 B 104 m C 208 m D

104 m

6

Câu 28: Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0 15m s/ tăng tốc với gia tốc

   2

4 /

a t t  t m s Quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ bắt đầu tăng tốc

A 68, 25 m B 67, 25 m C 69, 75 m D 70, 25 m

Câu 29: Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ

nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công

thức vA t 164t (đơn vị tính m/s ), thời gian tính giây Hỏi để có tơ

A B đạt khoảng cách an toàn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách tơ B

một khoảng bao nhiêu?

A 33 B 12 C 31 D 32

Câu 30: Hai người A, B chạy xe ngược chiều xảy va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều thêm quãng đường dừng hẳn Biết sau va chạm, người di chuyển tiếp với vận tốc v t1  6 3t mét giây, người lại di chuyển với vận tốc v t2 12 4 t mét giây Tính khoảng cách hai xe dừng hẳn

A 25 mét B 22 mét C 20 mét D 24 mét

Câu 31: Một ô tô chạy với tốc độ 36 km/h người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ   chuyển động chậm dần với vận tốc v t  5t10 m/s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?

A.10 m   B 20 m   C m   D 0, m  

(198)

gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?

A 150 mét B mét C 50 mét D 100 mét

Câu 33: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian

 

3

a t t  t Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc

A 136m B 126m C 276m D 216m

Câu 34: Một ôto chuyển động với vận tốc 20 m/s hãm phanh chuyển động chậm dần   với vận tốc v t  2t20 m/s , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Tính quãng đường mà ôto 15 giây cuối đến dừng hẳn

A 100 m   B 75 m   C 200 m   D 125 m  

Câu 35: Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v t t2 10 m/st  với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 m/s rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển   đường băng

A 500 m   B 2000 m   C 4000 m

3 D  

2500 m

3

Câu 36: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v t1 7 m/ st   Đi 5s , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc  2

70 m/ s

a  Tính qng đường S tơ từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A S 96, 25 m  B S87,5 m  C S 94 m  D S 95, m 

Câu 37: Một xe đua thể thức I bắt đầu chuyển động tăng tốc với gia tốc khơng đổi, vận tốc

80 m/sthì xe chuyển động với vận tốc không đổi thời gian 56 s, sau giảm với gia tốc không đổi đến dừng lại Biết thời gian chuyển động xe 74 s Tính quảng đường xe

A 5200 m B 5500 m C 5050 m D 5350 m

Câu 38: Một tơ chạy với vận tốc v0m/s gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ thời điểm ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc  2

8 m/s

a  t t thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô cịn di chuyển 12m Tính

0?

v

A 31296 B

36 C

1269 D 16

Câu 39: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h’ t 3at2bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể

3

150m Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Hỏi thể tích nước bể sau bơm 20 giây

(199)

Câu 40: Gọi h t   cm mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết 

 

8

h t  t lúc đầu bồn nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước

được giây (chính xác đến 0, 01 cm)

A 2, 67 cm B 2, 66 cm C 2, 65 cm D 2, 68 cm

Câu 41: Khi quan sát đám vi khuẩn phòng thí nghiệm người ta thấy ngày thứ x có số lượng N x Biết     2000

1 N x

x  

 lúc đầu số lượng vi khuẩn 5000 con.Vậy ngày

thứ 12 số lượng vi khuẩn là?

A.10130 B 5130 C 5154 D 10129

Câu 42: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t Biết     4000 0, N t

t  

 lúc đầu

đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số sau nhất?

A 251000 B 264334 C 261000 D 274334

Câu 43: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ), biết ( ) 7000 N t

t  

 lúc đầu đám

vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng con?

A 302542 B 322542 C 312542 D 332542

Câu 44: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số

 

 2

1000

,

1 0,3

B t t

t

  

 , B t số lượng vi khuẩn   ml nước ngày thứ t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 mlnước.Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an tồn nữa?

A B 10 C 11 D 12

Câu 45: Hạt electron có điện tích âm 19

1, 6.10 C Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm 4 pm cơng W sinh là

A W 3,194.1028 J B W 1, 728.10-16 J

C 28

1, 728.10 J

W 

 D 16

3,194.10 J

W 



Câu 46: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA) hàm số theo thời gian t, với

( ) 0, 0,

I t   t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05 giây bao nhiêu?

A 0, 29975 mC B 0, 29 mC C 0, 01525 mC D 0, 01475 mC

Câu 47: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ

  0cos

2 i t I  t 

 



 Biết iqvới q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t0, điện

lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian 



A  2I0

 B C

0

2I

 D

0

2 I 

(200)

Câu 48: Khi lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên   0,15 m lị xo   lị xo trì lại (chống lại) với lực f x 800 x Hãy tìm cơng W sinh kéo lị xo từ độ dài từ 0,15 m đến   0,18 m

A W 36.102J B W 72.102J C W36 J D W 72 J

Câu 49: Một dòng điện xoay chiều i = I0sin t T        

 chạy qua mạch điện có điện trở

R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T

A

2

2 RI

T B

2

3 RI

T C

2

4 RI

T D

2

5 RI

T

Câu 50: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u = U0sin2 t T



Khi mạch có

dịng diện xoay chiều i = I0sin t T        

 với là độ lệch pha dịng diện hiệu

điện thế.Hãy Tính cơng dòng diện xoay chiều thực đoạn mạnh thời gian chu kì

A 0

2 U I

cos B 0

sin U I

T  C 0

( )

2 U I

Tcos   D 0

2 U I

Tcos

Câu 51: Để kéo căng lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng (A )

sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm

A A1, 56 ( )J B A1 ( )J C A2, ( )J D A2 ( )J

Câu 52: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng  o, đầu tựa không ma sát với tường thẳng đứng Khi bng thanh, trượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân)

A

3

(sin sin )

2 o o d t a          B

(sin sin )

2 o o d t g a          C

(sin sin )

o o d t g a          D

(sin sin )

2 o o d t g a         

Câu 53: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng hàng hóa tính công thức

 

0

( ) d

a

I  p x P x

Với p x( ) hàm biểu thị biểu thị công ty đưa để bán x đơn vị hàng hóa

Bài tập trắc nghiệm Ứng dụng của tích phân có đáp án và lời giải

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan