Phân loại câu hỏi trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán của Bộ GD&ĐT - TOANMATH.com

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm[r]

0

915-333-629

PHÂN LOẠI CÂU HỎI

TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

x y

O a b

y= f(x)

PHÂN LOẠI CÂU HỎI

TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

x y

O a b

y= f(x)

Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 7

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

§2 Cực Trị Của Hàm Số 14

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số 19

§4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số 27

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 30

Chuyên đề Khối Đa Diện 51

§1 Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Khối Đa Diện 51

§2 Thể Tích Khối Chóp 52

§3 Thể Tích Khối Lăng Trụ 55

§4 Tỉ Số Thể Tích 58

Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit 65

§1 Lũy Thừa 65

§2 Lơgarit 65

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit 70

§4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ 73

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit 77

§6 Bài Toán Thực Tế 87

Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu 91

§1 Mặt Nón 91

§2 Mặt Trụ 94

§3 Mặt Cầu 98

Chuyên đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng 103

§1 Nguyên Hàm 103

§2 Tích Phân 108

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân 118

Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian 127

§1 Tọa Độ Trong Khơng Gian 127

§2 Phương Trình Mặt Phẳng 130

§3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Khơng Gian 134

§4 Bài Tốn Tổng Hợp 140

Chuyên đề Số Phức 149

§1 Số Phức, Phép Tốn Số Phức 149

§2 Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức 154

§3 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức 157

MỤC LỤC Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề Tổ Hợp, Xác Suất 161

§1 Tổ Hợp 161

§2 Xác Suất 162

Chuyên đề Dãy Số, Giới Hạn, Đạo Hàm 167

§1 Dãy Số, Cấp Số 167

§2 Giới Hạn, Đạo Hàm 168

Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 171

§1 Góc 171

Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

1 Tính đơn điệu hàm số cho cơng thức

1.1 (Đề minh họa 2016). Hỏi hàm sốy=2x4+1đồng biến khoảng nào?

A. (−∞; 0) B. (0;+∞) C.

Å

−∞;−1

2

ã

D.

Å

−1

2;+∞

ã

1.2 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy= x3+3x+2 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;+∞)

B Hàm số đồng biến khoảng(−∞; 0)và nghịch biến khoảng(0;+∞) C Hàm số nghịch biến khoảng(−∞; 0)và đồng biến khoảng(0;+∞) D Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞)

1.3 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= x−2

x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số đồng biến khoảng(−∞;−1) B Hàm số nghịch biến khoảng(−1;+∞) C Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;−1) 1.4 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= x3−2x2+ x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng

Å

1 3;

ã

B Hàm số nghịch biến khoảng(1;+∞) C Hàm số đồng biến khoảng

Å1

3;

ã

D Hàm số nghịch biến khoảng

Å

−∞;1

ã

1.5 (Đề thức 2017). Hàm sốy=

x2+1 nghịch biến khoảng đây?

A. (−∞;+∞) B. (−∞; 0) C. (−1; 1) D. (0;+∞)

1.6 (Đề tham khảo 2017). Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞)? A. y= 2x3−5x+1 B. y= x−2

x+1 C. y= 3x

3+3x−2. D. y= x4+3x2.

2 Tính đơn điệu hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.7 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy= f(x)có

bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A. (−1; 1) B. (−1; 0)

C. (0; 1) D. (1;+∞)

x y0

y

−∞ −1 +∞

+ − + −

−∞ −∞

2

1

2

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.8 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A. (0;+∞) B. (2;+∞) C. (0; 2) D. (−2; 0)

x f0(x)

f(x)

−∞ −2 +∞

− + − +

+∞

+∞

1

3

1

+∞

+∞

1.9 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm sốy= f(x)nghịch biến khoảng đây?

A. (−∞;−2) B. (−2; 0) C. (0;+∞) D. (0; 2)

x y0

y

−∞ −2 +∞

+ − 0 + 0 −

−∞ −∞

3

−1

−1

3

−∞ −∞

1.10 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A. (−1; 0) B. (−1; 1)

C. (0; 1) D. (−∞;−1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− + − +

+∞

+∞

−1

−1

4

−1

−1

+∞

+∞

1.11 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy= f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A. (−1; 0) B. (−∞; 0)

C. (0; 1) D. (1;+∞)

x y0

y

−∞ −1 +∞

− + − +

+∞

+∞

−2

−2

3

−2

−2

+∞

+∞

1.12 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A. (−∞; 0) B. (0; 1)

C. (−1; 0) D. (−∞;−1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 + 0 −

−∞ −∞

2

−1

−1

2

−∞ −∞

1.13 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy = f(x)có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A. (−1; 1) B. (−1; 0) C. (−∞;−1) D. (0; 1)

x y

O

−1

−1

−2 1.14 (Đề thức 2020). Cho hàm sốy= f(x)có đồ thị đường cong

trong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A. (−1; 0) B. (0; 1) C. (−∞; 0) D. (1;+∞)

x y

O

3 Tính đơn điệu hàm số hợp

1.15 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số y = f(x) Hàm số y= f0(x)có đồ thị hình bên Hàm sốy= f(2−x)đồng biến khoảng

A. (−2; 1) B. (1; 3) C. (2;+∞) D. (−∞;−2)

x y

O

1

−1

1.16 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu f0(x) như hình

bên Hàm số y = f(3 − 2x) nghịch biến khoảng dây?

A. (1; 2) B. (4;+∞)

C. (2; 4) D. (−2; 1)

x f0(x)

−∞ −3 −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

1.17 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu đạo hàm sau

x f0(x)

−∞ 1 2 3 4 +∞

− + + − +

Hàm sốy=3f(x+2)−x3+3xđồng biến khoảng đây?

A. (0; 2) B. (1;+∞) C. (−1; 0) D. (−∞;−1)

1.18 (Đề thức 2018). Cho hai hàm sốy= f(x),y=g(x) Hai hàm sốy= f0(x)vày=g0(x)

có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm hơn đồ thị hàm sốy = g0(x) Hàm sốh(x)= f(x+4)−g

Å

2x−

2

ã

đồng biến khoảng đây?

A.

Å

6;25

ã

B.

Å

9 4;

ã

C.

Å

31 ;+∞

ã

D.

Å

5;31

ã

x y

O

3 10 11 10

8

y=f0(x)

y=g0(x)

4 Điều kiện đơn điệu hàm sốy =ax3 +bx2 +cx+d

1.19 (Đề tham khảo 2020). Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f(x) =

3x

3+mx2+4x+3đồng biến trên

R?

A. B. C. D.

1.20 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy = −x3−mx2 +(4m+9)x+5với mlà tham số Có bao

nhiêu giá trị nguyên củamđể hàm số nghịch biến khoảng(−∞;+∞)?

A. B. C. D.

1.21 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có số nguyênmđể hàm sốy= m2−1

x3+(m−1)x2−

x+4nghịch biến khoảng(−∞;+∞)?

§2 Cực Trị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

5 Điều kiện đơn điệu hàm sốy= ax+b

cx+d

1.22 (Đề thức 2020). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy= x+4 x+m đồng biến khoảng(−∞;−7)là

A. (4;+∞) B. [4; 7) C. (4; 7) D. (4; 7]

1.23 (Đề thức 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể hàm sốy= x+2 x+5m đồng biến khoảng(−∞;−10)?

A. B. C Vô số. D.

1.24 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) = mx−4

x−m (m tham số thực) Có giá trị nguyên củamđể hàm số cho đồng biến khoảng(0;+∞)?

A. B. C. D.

1.25 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham sốmsao cho hàm số y = tanx−2

tanx−m đồng biến khoảng0;π

4

A. m6 0hoặc16 m<2 B. 16m<

C. m6 D. m>2

§2 Cực Trị Của Hàm Số

1 Cực trị hàm số cho cơng thức

1.26 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x+2)2,∀x∈

R Số điểm cực trị hàm số cho

A. B. C. D.

1.27 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x−1)(x+2)3,∀x∈R Số điểm cực trị hàm số cho

A. B. C. D.

1.28 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x−1)(x+4)3, ∀x∈R Số điểm cực đại hàm số cho

A. B. C. D.

1.29 (Đề minh họa 2016). Tìm giá trị cực đạiyCĐcủa hàm sốy= x3−3x+2

A. yCĐ= −1 B. yCĐ= C. yCĐ= D. yCĐ= 1.30 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= x

2+3

x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Cực tiểu hàm số bằng2 B Cực tiểu hàm số bằng−6 C Cực tiểu hàm số bằng−3 D Cực tiểu hàm số bằng1

1.31 (Đề thức 2017). Đồ thị hàm sốy= x3−3x2−9x+1có hai điểm cực trịAvàB Điểm

nào thuộc đường thẳngAB?

A. N(1;−10) B. M(0;−1) C. Q(−1; 10) D. P(1; 0)

2 Cực trị hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.32 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)

có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho A. B. C. D.

x y

1.33 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= f(x)xác định, liên tục đoạn

[−2; 2]và có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f(x)đạt cực đại điểm đây?

A. x= B. x= −1 C. x=2 D. x=1

x y

O

−2

−4

−1

1

−2

2

1.34 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Điểm cực đại hàm số cho

A. x=−1 B. x=3 C. x=−3 D. x=2

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− + −

+∞

+∞

−3

−3

2

−∞ −∞

1.35 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho

A. B. C. −4 D.

x y0

y

−∞ +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

2

−4

−4

+∞

+∞

1.36 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số đạt cực đại điểm

A. x= B. x=5 C. x=2 D. x=

x y0

y

−∞ 0 2 +∞

− + −

+∞

+∞

1

5

−∞ −∞

1.37 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực tiểu

A. x= −1 B. x=−3 C. x=1 D. x=

x y0

y

−∞ −1 +∞

− + −

+∞

+∞

−3

−3

1

−∞ −∞

1.38 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Giá trị cực đại hàm số cho

A. B. C. D.

x y0

y

−∞ 0 2 +∞

− + −

+∞

+∞

1

5

−∞ −∞

1.39 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy= f(x) có bảng biến thiên hình bên Mệnh đề đâysai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng0 B Hàm số có ba điểm cực trị. C Hàm số có hai điểm cực tiểu. D Hàm số có giá trị cực đại bằng3

x y0

y

−∞ −1 +∞

− + − +

+∞

+∞

0

3

0

+∞

§2 Cực Trị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.40 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho

A. B. C. D. −5

x f0(x)

f(x)

−∞ 0 3 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

2

−5

−5

+∞

+∞

1.41 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số y = f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực đại

A. x= −1 B. x= C. x= D. x= −2

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − +

−∞ −∞

1

−2

−2

+∞

+∞

1.42 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x), bảng xét dấu f0(x)như sau:

x f0(x)

−∞ −1 +∞

+ − − +

Số điểm cực trị hàm số cho

A. B. C. D.

1.43 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu f0(x)như sau:

x f0(x)

−∞ −2 +∞

+ − + +

Số điểm cực trị hàm số cho

A. B. C. D.

1.44 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà có bảng xét dấu f0(x)như sau: x

f0(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 + − 0 −

Số điểm cực đại hàm số cho

A. B. C. D.

3 Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0

1.45 (Đề thức 2018). Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 +(m−

2)x5−(m2−4)x4+1đạt cực tiểu tại x=0?

A. B. C. D Vô số.

4 Cực trị hàm sốy =ax3 +bx2 +cx+d

1.46 (Đề thử nghiệm 2017). BiếtM(0; 2),N(2;−2)là điểm cực trị đồ thị hàm sốy = ax3+ bx2+cx+d Tính giá trị hàm số tại x= −2.

A. y(−2)= B. y(−2)= −18 C. y(−2)= D. y(−2)= 22

1.47 (Đề tham khảo 2017). GọiS tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể đồ thị hàm sốy=

3x

3−mx2+ m2−1

xcó hai điểm cực trị làAvà Bsao choA,Bnằm khác phía cách đường thẳngy=5x−9 Tính tổng tất phần tử củaS

5 Cực trị hàm số y= ax4 +bx2 +c

1.48 (Đề tham khảo 2017). Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = (m−1)x4 −

2(m−3)x2+1khơng có cực đại.

A. m6 B. 1< m63 C. 16 m63 D. m>

1.49 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= x4+2mx2+1có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

A. m= √31

9

B. m= C. m= −√31

9

D. m= −1

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

1 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho cơng thức

1.50 (Đề thức 2020). Giá tri nhỏ hàm số f(x)= x4−10x2−4trên đoạn[0; 9]bằng A. −13 B. −29 C. −4 D. −28

1.51 (Đề tham khảo 2020). Giá trị lớn hàm số f(x) = −x4 + 12x2 + đoạn [−1; 2]

bằng

A. B. 12 C. 37 D. 33

1.52 (Đề thức 2018). Giá trị lớn hàm sốy= x4−4x2+9trên đoạn[−2; 3]bằng

A. 54 B. C. D. 201

1.53 (Đề thức 2020). Giá trị nhỏ của hàm số f(x) = x3 − 24x đoạn [2; 19]

bằng

A. −45 B. 32√2 C. −32√2 D. −40

1.54 (Đề tham khảo 2018). Giá trị lớn hàm số f(x)= x4−4x2+5trên đoạn[−2; 3]bằng

A. 122 B. 50 C. D.

1.55 (Đề tham khảo 2020). Giá trị nhỏ hàm sốy= x4−10x2+2trên đoạn[−1; 2]bằng A. −23 B. −7 C. D. −22

1.56 (Đề minh họa 2016). Tìm giá trị nhỏ hàm sốy= x

2+3

x−1 đoạn[2; 4]

A.

[2;4]y= B. min[2;4]y= −3 C. min[2;4]y=

19

3 D. min[2;4]y= −2

1.57 (Đề thức 2019). Giá trị lớn hàm số f(x)= x3−3x+2trên đoạn[−3; 3]bằng

A. B. −16 C. 20 D.

1.58 (Đề thức 2017). Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x3− 7x2 +11x−2 đoạn

[0; 2]

A. m= B. m= −2 C. m= D. m= 11 1.59 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy = x+m

x−1 (mlà tham số thực) thỏa mãnmin[2;4]y = Mệnh

đề đâyđúng?

A. 3< m64 B. 16 m<3 C. m< −1 D. m> 1.60 (Đề tham khảo 2017). Tính giá trị nhỏ hàm sốy= 3x+

x2 khoảng(0;+∞)

A.

(0;+∞)y=7 B. (0;min+∞)y=2

3

√

9 C.

(0;+∞)y=3

3

√

9 D.

(0;+∞)y=

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

1.61 (Đề minh họa 2016). Cho hàm sốy = f(x)

xác định, liên tục trênRvà có bảng biến thiên hình bên Khẳng định khẳng định đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng1 B Hàm số có cực trị.

C Hàm số có giá trị lớn bằng giá trị nhỏ bằng−1

D Hàm số đạt cực đại tại x = đạt cực tiểu tạix=1

x y0

y

−∞ +∞

+ − +

−∞

0

−1

+∞

1.62 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề đúng?

A. max

R

y=5 B.

R

y=4 C. yCĐ =5 D. yCT =0

x y0

y

−∞ 0 1 +∞

− 0 + 0 −

+∞

+∞

4

5

−∞ −∞

1.63 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy= f(x)liên tục đoạn[−1; 3]và có đồ thị hình vẽ bên Gọi Mvàmlần lượt giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn[−1; 3] Giá trị M−mbằng

A. B. C. D.

x y

O

−1

2

−2

3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.64 (Đề tham khảo 2018). GọiS tập hợp tất giá trị tham số thựcmsao cho giá trị lớn hàm sốy= x3−3x+m

trên đoạn[0; 2]bằng Số phần tử củaS

A. B. C. D.

1.65 (Đề tham khảo 2020). Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f(x) = x3−3x+m

đoạn[0; 3] 16 Tổng tất phần tử S

bằng

A. −16 B. 16 C. −12 D. −2 1.66 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) = x+m

x+1 (mlà tham số thực) GọiS tập hợp tất

các giá trị củamsao chomax

[0;1]

|f(x)|+min

[0;1]|f(x)|= Số phần tử củaS

A. B. C. D.

4 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ toán thực tế 1.67 (Đề thử nghiệm 2017). Một vật chuyển động theo quy luậts= −1

2t

3+9t2, vớit(giây) khoảng

thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động vàs(mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu?

A. 54(m/s) B. 30(m/s) C. 216(m/s) D. 400(m/s)

A. x= B. x= C. x= D. x=

5 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ tốn giải phương trình, bất phương trình

1.69 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x), hàm sốy= f0(x)liên tục trên

Rvà có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f(x)< x+m(mlà tham số thực) nghiệm với x∈(0; 2)khi

A. m> f(2)−2 B. m> f(0)

C. m> f(2)−2 D. m> f(0) x y

O

2 y=

f

0(x

)

1.70 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể phương trình

»

m+3

√

m+3 sinx=sinx có nghiệm thực?

A. B. C. D.

6 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ tốn tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cho trước

1.71 (Đề thức 2020). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy = x3−3x2+

(4−m)xđồng biến khoảng(2;+∞)là

A. (−∞; 4] B. (−∞; 1) C. (−∞; 1] D. (−∞; 4)

1.72 (Đề tham khảo 2019). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy=−x3−6x2+

(4m−9)x+4nghịch biến khoảng(−∞;−1)là A. [0;+∞) B.

Å

−∞;−3

4

ò

C. (−∞; 0] D.

ï

−3

4;+∞

ã

1.73 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên âm tham sốmđể hàm sốy= x3+mx−

1

5x5 đồng biến khoảng(0;+∞)?

A. B. C. D.

§4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

1 Đường tiệm cận hàm số cho công thức 1.74 (Đề minh họa 2016). Cho hàm số y = f(x)có lim

x→+∞ f(x) = 1và x→−∞lim f(x) = −1 Khẳng định

nào sau khẳng địnhđúng?

§4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳngy=1vày=−1 D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x=1và x=−1

1.75 (Đề thử nghiệm 2017). Đường thẳng tiệm cận đứng đồ thị hàm số y =

2x+1

x+1 ?

A. y=−1 B. x=1 C. x=−1 D. y=2 1.76 (Đề thức 2020). Tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 4x+1

x−1

A. y=

4 B. y=−1 C. y=4 D. y=1

1.77 (Đề thức 2020). Tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= 2x+2 x−1

A. x=1 B. x=2 C. x=−1 D. x=−2 1.78 (Đề tham khảo 2020). Tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= x−2

x+1

A. y=1 B. y=−2 C. x=−1 D. x=2 1.79 (Đề tham khảo 2018). Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng?

A. y= x

2

x2+1 B. y=

x2−3x+2

x−1 C. y=

√

x2−1. D. y= x

x+1

1.80 (Đề tham khảo 2020). Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 5x

2−4x−1

x2−1

là

A. B. C. D.

1.81 (Đề thức 2017). Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= x

2−3x−4

x2−16

A. B. C. D.

1.82 (Đề thức 2018). Số tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy=

√

x+9−3

x2+ x

A. B. C. D.

1.83 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= 2x−1−

√

x2+ x+3

x2−5x+6

A. x=−3và x=−2 B. x=3và x=2 C. x=−3 D. x=3

2 Đường tiệm cận hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.84 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y = f(x) có

bảng biến thiên hình bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho

A. B. C. D.

x

y

−∞ +∞

2

+∞

3

5

1.85 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số y = f(x)có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận?

A. B. C. D.

−2

x −∞ +∞

y0

y

+ −

−∞

+∞

0 1.86 (Đề thức 2019). Cho hàm sốy =

f(x)có bảng biến thiên hình bên Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho

A. B. C. D.

x y0

y

−∞ +∞

− − +

2

−4

+∞

−2

−2

+∞

3 Đường tiệm cận hàm số chứa tham số

1.87 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= √x+1

mx2+1 có hai tiệm cận ngang

A. m> B. m=

C Không có giá trị thực củamthỏa mãn yêu cầu đề D. m<

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

1 Nhận dạng hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị 1.88 (Đề thức 2017). Đường cong hình bên đồ thị hàm số y= ax+b

cx+d vớia,b,c,dlà số thực Mệnh đề đâyđúng? A. y0 >0,∀x∈R B. y0 >0,∀x,

C. y0 <0,∀x,1 D. y0 <0,∀x∈R

x y

O

1.89 (Đề thức 2017). Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào?

A. y=−x4+x2−1 B. y= x3−x2−1 C. y= x4−x2−1 D. y=−x3+x2−1

x y

O

1.90 (Đề thức 2019). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A. y=−x3+3x2+3 B. y= x3−3x2+3 C. y= x4−2x2+3. D. y=−x4+2x2+3.

x y

O

1.91 (Đề tham khảo 2019). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây?

A. y= x3−3x−1 B. y= 2x−1 x−1

C. y= x4+x2+1. D. y= x+1

x−1 x

y

O 1

1.92 (Đề tham khảo 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A. y= x4−2x2. B. y= x3−3x.

C. y=−x3+3x. D. y=−x4+2x2.

x y

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.93 (Đề thức 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A. y= x3−3x2+1 B. y=−x4+2x2+1 C. y= −x3+3x2+1. D. y= x4−2x2+1.

x y

O

1.94 (Đề thức 2018). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây?

A. y= x4−3x2−1 B. y=−x3+3x2−1

C. y= −x4+3x2−1. D. y= x3−3x2−1. x

y O

1.95 (Đề tham khảo 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A. y= x4−2x2 B. y=−x3+3x2

C. y= x3−3x2 D. y=−x4+2x2 x y

O

1.96 (Đề tham khảo 2017). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào?

A. y= 2x+1

x−1 B. y=

2x+3

x+1 C. y=

2x−2

x−1 D. y=

2x−1

x+1

x y

O

−1

1.97 (Đề minh họa 2016). Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?

A. y= x3−3x+1 B. y=−x2+x−1 C. y= x4−x2+1 D. y=−x3+3x+1

x y

O 1.98 (Đề thức 2020). Đồ thị hàm số có dạng

đường cong hình bên?

A. y= x4−2x2−2. B. y=−x3+3x2−2.

C. y= −x4+2x2−2 D. y= x3−3x2−2

x y

O

1.99 (Đề tham khảo 2018). Đường cong hình bên đồ thị hàm số đây?

A. y= −x4+2x2+2 B. y= x4−2x2+2 C. y= −x3+3x2+2 D. y= x3−3x2+2

x y

O 1.100 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy = ax3 +3x+d (a,d ∈

R) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng?

A. a>0;d< B. a>0;d>0 C. a<0;d >0 D. a< 0;d <0

x y

1.101 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+dcó đồ thị như

hình vẽ bên Mệnh đề đâyđúng?

A. a<0,b< 0,c< 0,d> B. a< 0,b>0,c<0,d<0 C. a<0,b< 0,c> 0,d< D. a< 0,b>0,c>0,d<0

x x

O

1.102 (Đề thức 2020). Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈

R) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b,c,d?

A. B. C. D.

x y

O 1.103 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) =

ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈

R)có bảng biến thiên hình bên Có số dương sốa, b,c,d?

A. B. C. D.

x f0(x)

f(x)

−∞ 0 4 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

3

−5

−5

+∞

+∞

1.104 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) =

ax+1

bx+c (a,b,c ∈ R) có bảng biến thiên hình bên Trong sốa,bvàccó số dương?

A. B. C. D.

x f0(x)

f(x)

−∞ 2 +∞

+ +

1

+∞

−∞

1

2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.105 (Đề tham khảo 2017). Hàm số y = (x−2) x2−1

có đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm sốy=|x−2| x2−1?

x y

O

A.

x y

O

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

1.106 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể hàm số

y=3x4−4x3−12x2+m

có điểm cực trị?

A. B. C. D.

3 Điểm thuộc đồ thị, tính chất đồ thị 1.107 (Đề thức 2018). Cho hàm số y = x−1

x+2 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

4 Xác định số nghiệm phương trình dựa vào bảng biến thiên đồ thị 1.108 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bốny = f(x)có đồ thị

đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f(x)= −1

2

là

A. B. C. D.

x y

O

−1

−1

−2 1.109 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị

đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f(x) = −1

là

A. B. C. D.

x y

O

−1

−2 1.110 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị

trong hình bên Số nghiệm phương trình f(x)=−1là A. B. C. D.

x y

O

−2

−3

2

1.111 (Đề thức 2018). Cho hàm số f(x)= ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈

R) Đồ thị hàm sốy = f(x)như hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình3f(x)+4=0là

A. B. C. D.

x y

O

−2

−2

1.112 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y= f(x)có bảng biến thiên hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình2f(x)+3= 0là

A. B. C. D.

x y0

y

−∞ −2 +∞

− + − +

+∞

+∞

−2

−2

1

−2

−2

+∞

+∞

1.113 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x)có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm phương trình

f(x)−2= 0là

A. B. C. D.

x y0

y

−∞ −1 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

4

−2

−2

+∞

+∞

1.114 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm phương trình3f(x)−2=0là

A. B. C. D.

x f0(x)

f(x)

−∞ 2 3 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

1

0

+∞

1.115 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy = f(x)

xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình bên Tìm tập hợp tất giá trị tham số thựcmsao cho phương trình f(x)= mcó ba nghiệm thực phân biệt

A. (−1; 2) B. [−1; 2]

C. (−1; 2] D. (−∞; 2]

x f0(x)

f(x)

−∞ 0 1 +∞

− + 0 −

+∞

+∞

−1 −∞

2

−∞ −∞

1.116 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình2f(x)−3 =

là

A. B. C. D.

x y0

y

−∞ −2 +∞

+ − + −

−∞ −∞

3

−1

−1

3

−∞ −∞

5 Sự tương giao hai đồ thị

1.117 (Đề tham khảo 2020). Số giao điểm đồ thị hàm sốy= x3−3x+1và trục hoành

A. B. C. D.

1.118 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= x3−3xcó đồ thị(C) Tìm số giao điểm của(C)và trục

hồnh

A. B. C. D.

1.119 (Đề thức 2020). Số giao điểm đồ thị hàm sốy=−x3+6xvới trục hoành là

A. B. C. D.

1.120 (Đề thử nghiệm 2017). Đồ thị hàm sốy = x4−2x2+2và đồ thị hàm sốy =−x2+4

có tất điểm chung?

A. B. C. D.

1.121 (Đề thức 2020). Số giao điểm đồ thị hàm số y = x3+ 3x2 và đồ thị hàm số y =

3x2+3xlà

A. B. C. D.

1.122 (Đề minh họa 2016). Biết đường thẳngy = −2x+2cắt đồ thị hàm sốy= x3+ x+2tại điểm nhất; kí hiệu(x0;y0)là tọa độ điểm Tìmy0

A. y0 = B. y0 = C. y0= D. y0= −1

1.123 (Đề thức 2017). Tìm tất giá trị thực tham sốmđể đường thẳngy=mx−m+1

cắt đồ thị hàm sốy= x3−3x2+x+2tại ba điểmA,B,C phân biệt choAB= BC.

A. m∈

Å

−5

4;+∞

ã

B. m∈(−∞; 0]∪[4;+∞) C. m∈R D. m∈(−2;+∞)

1.124 (Đề thức 2019). Cho hai hàm sốy= x−3 x−2+

x−2

x−1+

x−1

x + x

x+1 vày= |x+2| −x+m

(mlà tham số thực) có đồ thị là(C1)và (C2) Tập hợp tất giá trị củamđể(C1)và (C2)

cắt tại4điểm phân biệt

A. [2;+∞) B. (−∞; 2) C. (2;+∞) D. (−∞; 2]

6 Tương giao hàm số hợp

1.125 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy= f(x)liên tục trênRvà có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể phương trình

f(sinx)= mcó nghiệm thuộc khoảng(0;π)là

A. [−1; 1) B. (−1; 1) C. (−1; 3) D. [−1; 3)

x y

O

−1

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.126 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm thuộc đoạn

ï

0;5π

ị

của phương trình f(sinx)= 1là

A. B. C. D.

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 + 0 −

−∞ −∞ 2 0 2 −∞ −∞

1.127 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm thuộc đoạn[−π; 2π]của phương trình2f(sinx)+ 3=0là

A. B. C. D.

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞ −2 −2 −1 −1 −2 −2 +∞ +∞

1.128 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Có giá trị nguyên m để phương trình

5f x2−4x= mcó nhất3nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng(0;+∞)?

A. 24 B. 20 C. 25 D. 21

x f0(x)

f(x)

−∞ −4 −2 +∞

− + − +

+∞ +∞ −2 −2 2 −3 −3 +∞ +∞

1.129 (Đề thức 2019). Cho hàm số y= f(x), bảng biến thiên hàm số f0(x)

như hình bên Số điểm cực trị hàm số y= f x2−2xlà

A. B. C. D.

x

f0(x)

−∞ −1 +∞

+∞ +∞ −3 −3 2 −1 −1 +∞ +∞

1.130 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có f(0) = Biết y = f0(x) hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)=f x3

− xlà

A. B. C. D.

x y

O

y= f0(x)

1.131 (Đề thức 2019). Cho hàm số bậc bay= f(x)có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trìnhf x3−3x

=

4

A. B. C. D.

x y O −1 2 −2 1.132 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số bậc bốn

y = f(x) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)= f x3+3x2là

A. 11 B. C. D.

x y

O 4

1.133 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số y = f(x) xác định R, đồ thị hàm số y = f0(x) hình bên Hàm số g(x) =

f (1−2x)+x2− xnghịch biến khoảng đây?

A. (2; 3) B. (−2;−1) C.

1.134 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bốn f(x)có bảng biến thiên hình bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)= x4f(x+1)2

A. B. 11 C. D.

x y0

y

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞

+∞

−2

−2

3

−2

−2

+∞

+∞

1.135 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bay = f(x)có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình

f(x3f(x))+1=0là

A. B. C. D.

x y

O

−1 7 Tiếp tuyến đồ thị hàm số

1.136 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy =

4x

4−

2x

2 có đồ thị(C) Có điểmAthuộc

(C)sao cho tiếp tuyến (C)tạiAcắt(C)tại hai điểm phân biệt M(x1;y1),N(x2;y2)(M,N khácA)

thỏa mãny1−y2 =6(x1−x2)?

Khối Đa Diện

§1 Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Khối Đa Diện

1 Xác định số đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện

2.1 (Đề tham khảo 2017). Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

A. 12 B. 11 C. 10 D.

2 Tính chất đối xứng

2.2 (Đề thử nghiệm 2017). Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?

A Tứ diện đều. B Bát diện đều.

C Hình lập phương. D Lăng trụ lục giác đều.

2.3 (Đề thức 2017). Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng?

A. 9mặt phẳng B. 4mặt phẳng C. 3mặt phẳng D. 6mặt phẳng

§2 Thể Tích Khối Chóp

1 Công thức, lý thuyết

2.4 (Đề tham khảo 2018). Thể tích khối chóp có chiều cao bằnghvà diện tích đáy bằngBlà A. V =

6Bh B. V = Bh C. V =

1

3Bh D. V =

1 2Bh

2.5 (Đề tham khảo 2020). Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3và chiều cao h = Thể tích khối chóp cho

A. B. 12 C. D. 36

2.6 (Đề thức 2020). Cho khối chóp có diện tích đáyB= 2a2và chiều caoh=6a Thể tích khối chóp cho

§2 Thể Tích Khối Chóp Nguyễn Minh Hiếu

2.7 (Đề thức 2020). Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều caoh = Thể tích khối chóp cho

A. 12 B. C. D.

2.8 (Đề thức 2018). Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh avà chiều cao bằng2a Thể tích khối chóp cho

A. 4a3 B.

3a

3. C. 2a3. D.

3a

3.

2.9 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh2a thể tích a3 Tính chiều caohcủa hình chóp cho.

A. h=

√

3a

3 B. h=

√

3a C. h=

√

3a

2 D. h=

√

3a

6

2 Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

2.10 (Đề minh họa 2016). Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnh a, cạnh bênS Avng góc với mặt phẳng đáy vàS A= √2a Tính thể tíchV khối chópS.ABCD

A. V =

√

2a3 B. V =

√

2a3

4 C. V =

√

2a3

3 D. V =

√

2a3

6

2.11 (Đề tham khảo 2017). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,S Avng góc với mặt đáy,S Dtạo với mặt phẳng(S AB)một góc bằng30◦ Tính thể tíchVcủa khối chópS.ABCD.

A. V =

√

6a3

18 B. V =

√

3a3. C. V =

√

3a3

3 D. V =

√

6a3

3

2.12 (Đề thức 2017). Cho khối chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,S Avng góc với đáy vàS Ctạo với mặt phẳng(S AB)một góc30◦ Tính thể tíchV khối chóp cho

A. V =

√

6a3

3 B. V =

√

2a3

3 C. V =

2a3

3 D. V =

√

2a3

3 Khối chóp đều

2.13 (Đề tham khảo 2019). Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh bằng2a Thể tích khối chóp cho

A.

√

2a3

3 B.

2√2a3

3 C.

8a3

3 D.

8√2a3

3

2.14 (Đề thức 2017). Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy bằnga, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tíchV khối chóp cho

A. V =

√

2a3

2 B. V =

√

2a3

6 C. V =

√

14a3

2 D. V =

√

14a3

6

4 Khối chóp khác

2.15 (Đề minh họa 2016). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh √2a Tam giác S ADcân S mặt bên (S AD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCDbằng

3a

3 Tính khoảng cáchhtừBđến mặt phẳng(S CD).

A. h=

3a B. h=

3

4a C. h=

4

3a D. h=

8 3a

2.16 (Đề tham khảo 2020). Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiA,AB=a,

‘

S BA = S CA‘ = 90◦, góc hai mặt phẳng(S AB)và (S AC)bằng60◦ Thể tích khối chóp cho

bằng A. a

3

6 B.

a3

3 C.

a3

2 D. a

§3 Thể Tích Khối Lăng Trụ

1 Cơng thức, lý thuyết

2.17 (Đề thức 2019). Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáyBvà chiều caohlà

A. Bh B.

3Bh C.

1

3Bh D. 3Bh

2.18 (Đề tham khảo 2020). Thể tích khối lập phương cạnh2bằng

A. B. C. D.

2.19 (Đề tham khảo 2019). Thể tích khối lập phương cạnh2abằng

A. 8a3 B. 6a3 C. 2a3 D. a3

2.20 (Đề tham khảo 2020). Cho khối lập phương có cạnh bằng6 Thể tích khối lập phương cho

A. 18 B. 72 C. 216 D. 36

2.21 (Đề thức 2020). Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3; 4;5 Thể tích khối hộp cho

A. 10 B. 60 C. 12 D. 20

2.22 (Đề thức 2020). Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = chiều caoh = Thể tích khối lăng trụ cho

A. 18 B. C. D.

2 Khối lăng trụ đứng

2.23 (Đề minh họa 2016). Tính thể tíchV khối lập phươngABCD.A0B0C0D0, biết AC0 = a

√

3

A. V =

3a

3. B. V =

√

6a3

4 C. V =3

√

3a3. D. V =a3.

2.24 (Đề thức 2019). Cho khối lăng trụ đứngABC.A0B0C0có đáy tam giác cạnh a AA0 =

√

3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho

A. a

3

2 B.

a3

4 C.

3a3

2 D.

3a3

4

B0

B A0

A

C0

C

2.25 (Đề tham khảo 2020). Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0có đáy hình thoi cạnha,BD=a√3vàAA0 =4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho

A.

√

3a3

3 B.

2√3a3

3 C.

√

3a3 D. 4√3a3

A

B C

D A0

B0 C0

D0

2.26 (Đề tham khảo 2017). Tính thể tíchV khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a

A. V = a

3√3

2 B. V =

a3√3

6 C. V =

a3√3

4 D. V =

a3√3 12

3 Khối lăng trụ xiên

§4 Tỉ Số Thể Tích Nguyễn Minh Hiếu

góc củaAlên mặt phẳng(A0B0C0)là trung điểm McủaB0C0 A0M =

√

3

3 Thể tích khối lăng

trụ cho A.

√

3

3 B.

√

3 C. D.

4 Bài toán thực tế khối lăng trụ

2.28 (Đề thức 2018). Ơng Adự định sử dụng hết6,5m2 kính để làm bể cá kính có

dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 1,33m3. B. 1,50m3. C. 1,61m3. D. 2,26m3.

§4 Tỉ Số Thể Tích

1 Khối chóp

2.29 (Đề thử nghiệm 2017). Cho tứ diệnABCDcó thể tích 12 vàGlà trọng tâm tam giácBCD Tính thể tíchV khối chópA.GBC

A. V = B. V = C. V = D. V =

2.30 (Đề thử nghiệm 2017). Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có đáy ABClà tam giác vng cân tạiA, cạnh AC =

√

2 Biết AC0 tạo với mặt phẳng(ABC)một góc 60◦ AC0 = Tính thể tíchV khối đa diệnABCB0C0.

A. V =

√

3

3 B. V =

16

3 C. V =

8

3 D. V =

16√3

3

2.31 (Đề minh họa 2016). Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC AD đơi vng góc với nhau;AB = 6a, AC = 7avà AD = 4a Gọi M,N,Ptương ứng trung điểm cạnh BC,CD,DB Tính thể tíchV tứ diệnAMNP

A. V =

2a

3. B. V = 7a3. C. V = 14a3. D. V = 28

3 a

3.

2.32 (Đề tham khảo 2017). Cho khối tứ diện tíchV GọiV0là thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V

0

V A. V

0

V =

2

3 B.

V0

V =

1

4 C.

V0

V =

1

2 D.

V0

V =

5

2.33 (Đề thức 2020). Cho hình chóp S.ABCDcó cạnh đáy bằnga, cạnh bên 2avà Olà tâm đáy Gọi M, N, P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giácS AB,S BC,S CD,S DAvàS0 điểm đối xứng vớiS quaO Thể tích khối chópS0.MNPQ

A. 20

√

14a3

81 B.

40√14a3

81 C.

2√14a3

9 D.

10√14a3

81

2.34 (Đề thức 2017). Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga GọiM,N trung điểm cạnhAB,BC vàElà điểm đối xứng vớiBquaD Mặt phẳng(MNE)chia khối tứ diệnABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnhAcó thể tíchV TínhV

A. V = 11

√

2a3

216 B. V =

√

2a3

18 C. V =

7√2a3

216 D. V =

13√2a3

216

2.35 (Đề thức 2020). Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng3a, cạnh bên bằng3

√

3a

2

và Olà tâm đáy Gọi M, N, Pvà Qlần lượt hình chiếu vng góc Otrên mặt phẳng

(S AB),(S BC),(S CD)và(S DA) Thể tích khối chópO.MNPQbằng A. 2a

3

3 B.

9a3

32 C.

9a3

16 D.

a3

2 Khối lăng trụ

2.36 (Đề tham khảo 2019). Cho khối lăng trụABC.A0B0C0có thể tích Gọi M, N trung điểm đoạn thẳngAA0vàBB0 Đường thẳngC Mcắt đường thẳngC0A0tạiP, đường thẳng

CN cắt đường thẳngC0B0tạiQ Thể tích khối đa diện lồiA0MPB0NQbằng A.

3 B. C.

2

3 D.

1

2.37 (Đề tham khảo 2020). Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy

bằng9 GọiM,N,PvàQlần lượt tâm mặt bênABB0A0,BCC0B0,CDD0C0vàDAA0D0 Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểmA, B,C,D,M, N,Pvà Qbằng

A. 36 B. 18 C. 27 D. 30

2.38 (Đề thức 2019). Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có chiều cao bằng 8 và đáy tam giác đều

cạnh bằng6 Gọi M, N P tâm mặt bênABB0A0, ACC0A0 BCC0B0 Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểmA, B,C,M, N,Pbằng

A. 30√3 B. 21√3 C. 36√3 D. 27√3

2.39 (Đề tham khảo 2018). Cho hai hình vng ABCDvàABEF có cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vng góc với GọiS điểm đối xứng với Bqua đường thẳngDE Thể tích khối đa diệnABCDS EFbằng

A.

3 B.

5

6 C.

11

12 D.

Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lơgarit

§1 Lũy Thừa

3.1 (Đề thử nghiệm 2017). Cho biểu thức P =

q

x·

»

x2· √x3, với x > 0 Mệnh đề đây

đúng?

A. P= x14 B. P= x 13

24 C. P= x

3 D. P= x

3.2 (Đề tham khảo 2017). Tính giá trị biểu thứcP= Ä7+4

√

3ä2017Ä4

√

3−7ä2016 A. P= 7+4√3 B. P=7−4√3

C. P= D. P=Ä7+4√3ä2016

§2 Lơgarit

1 Cơng thức, lý thuyết

3.3 (Đề tham khảo 2018). Vớialà số thực dương bất kỳ, mệnh đề đâyđúng? A. log(3a)=

3loga B. log(3a)= loga C. loga

3 = 3 loga. D. loga3 =

3loga

3.4 (Đề thử nghiệm 2017). Với số thực dươnga,bbất kì Mệnh đề đâyđúng? A. lna

b = lnb−lna B. ln(ab)= lna.lnb C. lna

b =

lna

lnb D. ln(ab)= lna+lnb

3.5 (Đề minh họa 2016). Cho hai số thựcavàb, với1<a<b Khẳng định đâyđúng? A. logba<logab<1 B. logba<1< logab C. logab< 1< logba D. 1<logab< logba 2 Tính toán, rút gọn

3.6 (Đề tham khảo 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log2(a2)bằng A.

2log2a B. 2+log2a C. log2a D.

1

2 +log2a

3.7 (Đề thức 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log4(4a)bằng

A. 1+log4a B. 4+log4a C. 4−log4a D. 1−log4a

3.8 (Đề tham khảo 2017). Cho alà số thực dương, a , P = log√3aa3 Mệnh đề đúng?

A. P=

§2 Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

3.9 (Đề thức 2019). Vớialà số thực dương tùy ý,log5a2 A.

2 +log5a B. log5a C.

1

2log5a D. 2+log5a

3.10 (Đề thức 2017). Choalà số thực dương khác1 TínhI =log√ aa

A. I =

2 B. I = C. I = −2 D. I =

3.11 (Đề tham khảo 2019). Vớiavàblà hai số thực dương tùy ý,log ab2bằng A. loga+logb B. loga+2 logb C. loga+

2logb D. loga+logb

3.12 (Đề thức 2020). Vớia,blà số thực dương tùy ý vàa,1,loga5bbằng

A. logab B.

5logab C.

1

5 +logab D. 5+logab

3.13 (Đề tham khảo 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log2 a3

bằng A.

2log2a B. log2a C.

1

3log2a D. 3+log2a

3.14 (Đề thức 2018). Vớialà số thực dương tùy ý,ln(5a)−ln(3a)bằng A. ln5

3 B.

ln

ln C.

ln(5a)

ln(3a) D. ln(2a)

3.15 (Đề thức 2019). Choavàblà hai số thực dương thỏa mãna4b= 16 Giá trị của4 log2a+

log2bbằng

A. 16 B. C. D.

3.16 (Đề thử nghiệm 2017). Với số thực dươnga,bbất kì Mệnh đề đâyđúng? A. log2

Å

2a3 b

ã

=1+

3log2a−log2b B. log2

Å

2a3 b

ã

=1+3 log2a+log2b C. log2

Å

2a3 b

ã

=1+

3log2a+log2b D. log2

Å

2a3 b

ã

=1+3 log2a−log2b

3.17 (Đề tham khảo 2020). Xét tất số thực dươngavà bthỏa mãn log2a = log8(ab) Mệnh đề đâyđúng?

A. a3 =b B. a=b C. a=b2 D. a2 =b

3.18 (Đề thức 2017). Vớia,blà số thực dương tùy ý vàakhác1, đặtP= logab3+loga2b6 Mệnh đề đâyđúng?

A. P= logab B. P= 27 logab C. P= 15 logab D. P= logab

3.19 (Đề minh họa 2016). Cho số thực dươnga,b,vớia,1 Khẳng định đâyđúng? A. loga2(ab)=

1

2logab B. loga2(ab)=

1 4logab

C. loga2(ab)=2+2 logab D. loga2(ab)=

1 +

1 2logab

3.20 (Đề tham khảo 2020). Xét số thực a b thỏa mãn log3 3a·9b = log93 Mệnh đề đúng?

A. 4a+2b= B. 4ab=1 C. 2a+4b= D. a+2b=

3.21 (Đề thức 2020). Vớia,blà số thực dương tùy ý thỏa mãnlog2a−2 log4b=3, mệnh đề đúng?

A. a=6b B. a=8b2 C. a=8b D. a=8b4

3.22 (Đề thức 2020). Choa, blà hai số thực dương thỏa mãn4log2(a2b) = 3a3 Giá trị củaab2

A. B. 12 C. D.

3.23 (Đề tham khảo 2017). Choa,blà số thực dương thỏa mãna, 1,a,

√

bvàlogab=

√

3 TínhP= log√

b a

…

b a

3.24 (Đề tham khảo 2018). Cho dãy số(un)thỏa mãnlogu1+

p

2+logu1−2 logu10 =2 logu10và

un+1 =2unvới mọin> Giá trị nhỏ củanđểun> 5100bằng

A. 248 B. 290 C. 247 D. 229

3 Biểu diễn lôgarit

3.25 (Đề tham khảo 2019). Đặtlog32= a, đólog1627bằng A. 3a

4 B.

4

3a C.

4a

3 D.

3 4a 3.26 (Đề minh họa 2016). Đặta=log23,b=log53 Hãy biểu diễnlog645theoavàb

A. log645= 2a

2−2ab

ab B. log645=

a+2ab ab+b C. log645= 2a

2−2ab

ab+b D. log645=

a+2ab ab

3.27 (Đề thức 2017). Cho logax = 3, logbx = với a, b số thực lớn Tính P=logabx

A. P= 12

7 B. P=

7

12 C. P=

1

12 D. P=12

4 Cực trị lôgarit

3.28 (Đề thử nghiệm 2017). Xét số thựca,bthỏa mãna > b> Tìm giá trị nhỏ nhấtPmincủa

biểu thức P=log2a

b a

2

+3 logb

a

b

A. Pmin= 13 B. Pmin= 19 C. Pmin= 14 D. Pmin= 15

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lơgarit

1 Tìm tập xác định

3.29 (Đề thức 2020). Tập xác định hàm sốy=4x là

A. R B. (0;+∞) C. R\ {0} D. [0;+∞) 3.30 (Đề thức 2020). Tập xác định hàm sốy=log5xlà

A. (−∞; 0) B. (0;+∞) C. (−∞;+∞) D. [0;+∞) 3.31 (Đề tham khảo 2020). Tập xác định hàm sốy=log2xlà

A. (0;+∞) B. (−∞;+∞) C. [0;+∞) D. [2;+∞) 3.32 (Đề thức 2017). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=(x−1)13.

A. D =R\ {1} B. D =R C. D =(1;+∞) D. D =(−∞; 1) 3.33 (Đề minh họa 2016). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=log2 x2−2x−3

A. D = (−∞;−1)∪(3;+∞) B. D =(−1; 3)

C. D = [−1; 3] D. D =(−∞;−1]∪[3;+∞)

3.34 (Đề thức 2017). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=log5 x−3

x+2

A. D = (−∞;−2)∪[3;+∞) B. D =R\ {−2}

C. D = (−∞;−2)∪(3;+∞) D. D =(−2; 3)

2 Tính đạo hàm

3.35 (Đề tham khảo 2017). Tìm đạo hàm hàm sốy= logx A. y0 =

10 lnx B. y

0 =

x C. y

0=

xln 10 D. y

0= ln 10

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Nguyễn Minh Hiếu

3.36 (Đề minh họa 2016). Tính đạo hàm hàm sốy=13x A. y0 = 13

x

ln 13 B. y

0 =

13x·ln 13 C. y0 =13x D. y0 = x·13x−1 3.37 (Đề tham khảo 2019). Hàm số f(x)=log2 x2−2xcó đạo hàm

A. f0(x)= ln

x2−2x B. f

0

(x)= (2x−2) ln

x2−2x

C. f0(x)=

x2−2x

ln D. f

0

(x)= 2x−2

x2−2x

ln

3.38 (Đề thử nghiệm 2017). Tính đạo hàm hàm sốy=lnÄ1+ √x+1ä A. y0 =

√

x+1Ä1+ √x+1ä

B. y0 =

2√x+1Ä1+ √x+1ä

C. y0 =

1+ √x+1 D. y

0 =

√

x+1Ä1+ √x+1ä

3.39 (Đề thức 2019). Hàm sốy=2x2−3x

có đạo hàm A. (x2−3x)·2x2−3x−1

B. (2x−3)·2x2−3x

·ln C. 2x2−3x·ln 2. D. (2x−3)·2x2−3x.

3.40 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= lnx

x , mệnh đề đâyđúng? A. 2y0+xy00 =

x2 B. y

0+

xy00 =

x2 C. y

0+

xy00 = −1

x2 D. 2y

0+

xy00 = −1

x2

3.41 (Đề minh họa 2016). Tính đạo hàm hàm sốy= x+1

4x

A. y0 = 1+2(x+1) ln

2x2 B. y

0 = 1+2(x+1) ln

22x

C. y0 = 1−2(x+1) ln

22x D. y

0 = 1−2(x+1) ln

2x2

3 Sự biến thiên đồ thị

3.42 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số f(x) = xlnx Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đồ thị hàm sốy= f0(x) Tìm đồ thị

A.

x y

O

1

B.

x y

O

C.

x y

O

D.

x y

O

3.43 (Đề thử nghiệm 2017). Cho ba số thực dương a,b,c khác1 Đồ thị hàm sốy = ax,y = bx,y = cx được cho hình vẽ bên Mệnh

đề đâyđúng?

A. c<a< b B. a< b<c C. b<c<a D. a<c< b

x y

O

y=ax y=bx y=cx

3.44 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y =

ln x2+1

−mx+1đồng biến khoảng(−∞;+∞)

§4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ

1 Phương trình bản

3.45 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trình3x−1 =9là

A. x= B. x= C. x= −3 D. x= −2 3.46 (Đề thức 2018). Phương trình22x+1= 32có nghiệm là

A. x= B. x=

2 C. x= D. x=

5

3.47 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm nghiệm phương trình3x−1= 27.

A. x= B. x= 10 C. x= D. x= 3.48 (Đề tham khảo 2020). Nghiệm phương trình3x−1= 27là

A. x= B. x= C. x= D. x= 3.49 (Đề thức 2019). Nghiệm phương trình32x−1 =27là

A. x= B. x= C. x= D. x= 3.50 (Đề tham khảo 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trình5x+1−

5 >

A. S = (−2;+∞) B. S = (−1;+∞) C. S = (1;+∞) D. S = (−∞;−2) 3.51 (Đề minh họa 2016). Cho hàm số f(x)=2x·7x2 Khẳng định đâysai?

A. f(x)<1⇔1+ xlog27< B. f(x)<1⇔ xlog72+x2 <0 C. f(x)<1⇔ xln 2+ x2ln 7< 0. D. f(x)<1⇔ x+x2log

27<0

3.52 (Đề thức 2020). Tập nghiệm bất phương trình3x2−13 <27là

A. (−4; 4) B. (−4; 4) C. (4;+∞) D. (−∞; 4)

3.53 (Đề tham khảo 2019). Tập nghiệm bất phương trình3x2−2x

<27là A. (−∞;−1)∪(3;+∞) B. (−∞;−1)

C. (−1; 3) D. (3;+∞)

2 Phương pháp đưa số

3.54 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trình22x−3 =2xlà

A. x= B. x= −8 C. x= −3 D. x= 3.55 (Đề tham khảo 2018). Tập nghiệm bất phương trình22x < 2x+6là

A. (0; 64) B. (6;+∞) C. (−∞; 6) D. (0; 6)

3.56 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trình5x−1 >5x2−x−9 A. (−∞;−2]∪[4;+∞) B. (−∞;−4]∪[2;+∞)

C. [−2; 4] D. [−4; 2]

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

3.57 (Đề thức 2017). Cho phương trình4x+2x+1−3= Khi đặtt =2x, ta phương trình đây?

A. 2t2−3=0 B. t2+2t−3=0 C. 4t−3= D. t2+t−3=0 3.58 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trình9x+2·3x−3>0là

A. (0;+∞) B. (1;+∞) C. [0;+∞) D. [1;+∞)

3.59 (Đề thức 2018). GọiS tập hợp tất giá trị ngun tham sốmsao cho phương trình16x−

m·4x+1+5m2−45=0có hai nghiệm phân biệt HỏiS có phần tử?

A. B. C. D. 13

3.60 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên dương tham sốmđể phương trình16x−

2·12x+(m−2)·9x =0có nghiệm dương.

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

4 Phương pháp hàm số

3.61 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y = f(x) Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên hình vẽ

bên Bất phương trình f(x) < ex +m đúng với mọi

x∈(−1; 1)khi

A. m> f(1)−e B. m> f(1)−e C. m> f(−1)−

e D. m> f(−1)− e

x

f0(x)

−∞ −3 +∞

+∞

+∞

−3

−3

0

−∞ −∞

3.62 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập hợp giá trị tham số thựcmđể phương trình6x +(3−

m)2x−m=0có nghiệm thuộc khoảng(0; 1)

A. (2; 4) B. [3; 4] C. (3; 4) D. [2; 4]

5 Phương trình, bất phương trình nhiều ẩn

3.63 (Đề tham khảo 2020). Xét số thực dươnga,b,x,ythỏa mãna>1,b>1vàax =by = √ab.

Giá trị nhỏ biểu thứcP= x+2ythuộc tập hợp đây? A.

ï

2;5

ã

B. [3; 4) C. (1; 2) D.

ï

5 2;

ã

3.64 (Đề thức 2020). Xét số thực khơng âmxvàythỏa mãn2x+y·4x+y−1> Giá trị nhỏ biểu thứcP= x2+y2+4x+6ybằng

A. 33

4 B.

49

8 C.

65

8 D.

57

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit

1 Phương trình, bất phương trình bản

3.65 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trìnhlogx>1là

A. (−∞; 10) B. (0;+∞) C. (10;+∞) D. [10;+∞)

3.66 (Đề tham khảo 2020). Nghiệm phương trìnhlog3(2x−1)= 2là A. x=

2 B. x=

9

2 C. x=5 D. x=3

3.67 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trìnhlog2(x+8)=5là

A. x=40 B. x=2 C. x=24 D. x=17 3.68 (Đề tham khảo 2019). Tập nghiệm phương trìnhlog2 x2−x+2=1là

A. {−1; 0} B. {0} C. {1} D. {0; 1} 3.69 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trìnhlog3(x−1)=2là

A. x=8 B. x=10 C. x=7 D. x=9 3.70 (Đề minh họa 2016). Giải bất phương trìnhlog2(3x−1)>3

A. x<3 B.

3 < x<3 C. x> 10

3 D. x>3

3.71 (Đề minh họa 2016). Giải phương trìnhlog4(x−1)=

A. x=63 B. x=82 C. x=65 D. x=80 3.72 (Đề thức 2020). Tập nghiệm bất phương trìnhlog3 18− x2 >2là

A. (−∞; 3] B. (0; 3]

C. [−3; 3] D. (−∞;−3]∪[3;+∞)

3.73 (Đề tham khảo 2019). Tổng tất nghiệm phương trìnhlog3(7−3x)= 2−xbằng

3.74 (Đề tham khảo 2018). Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log3x·log9x·log27x·

log81x=

3

A. B. 80

9 C.

82

9 D.

2 Phương pháp đưa số

3.75 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trìnhlog1

(x+1)<log1

(2x−1)

A. S =

Å

1 2;

ã

B. S = (−∞; 2) C. S = (−1; 2) D. S = (2;+∞)

3.76 (Đề thức 2019). Nghiệm phương trìnhlog3(x+1)+1=log3(4x+1)là A. x= B. x= C. x= −3 D. x=

3.77 (Đề tham khảo 2017). Tìm tập nghiệmS phương trìnhlog2(x−1)+log2(x+1)=3 A. S = {−3; 3} B. S = {3} C. S = {4} D. S = {−√10; √10}

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

3.78 (Đề thức 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trìnhlog22x−5 log2x+4>0

A. S =(0; 2]∪[16;+∞) B. S = (−∞; 2)∪[16;+∞)

C. S =(−∞; 1]∪[4;+∞) D. S = [2; 16]

3.79 (Đề thức 2017). Tìm giá trị thực tham sốmđể phương trìnhlog23x−mlog3x+2m−7=0

có hai nghiệm thực x1,x2 thỏa mãnx1x2= 81

A. m= B. m= 81 C. m= 44 D. m= −4

3.80 (Đề tham khảo 2020). Cho phương trìnhlog22(2x)−(m+2) log2x+m−2 = (mlà tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

[1; 2]là

A. [1; 2] B. (1; 2) C. [2;+∞) D. [1; 2)

3.81 (Đề thức 2019). Cho phương trình log22x+log2x−5 √7x−m = 0 (m là tham số

thực) Có tất giá trị ngun dương mđể phương trình cho có hai nghiệm phân biệt?

A. 48 B. 49 C. 47 D Vô số.

4 Phương pháp hàm số

3.82 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có giá trịmngun đoạn[−2017; 2017]để phương trìnhlog(mx)=2 log(x+1)có nghiệm nhất?

A. 4014 B. 4015 C. 2017 D. 2018

3.83 (Đề tham khảo 2017). Hỏi phương trình3x2−6x+ln(x+1)3+1= 0có nghiệm phân

biệt?

A. B. C. D.

3.84 (Đề thức 2019). Cho phương trìnhlog9x2−log

3(3x−1)=−log3m(mlà tham số thực)

Có tất giá trị nguyên củamđể phương trình cho có nghiệm?

A. B. C. D Vơ số.

3.85 (Đề thức 2018). Cho phương trình5x+m =log

5(x−m)vớimlà tham số Có

giá trị nguyên củam∈(−20; 20)để phương trình cho có nghiệm?

A. 19 B. C. 21 D. 20

3.86 (Đề thức 2020). Có cặp số nguyên dương(m;n)sao chom+n6 14và ứng với cặp(m;n)tồn đúng3số thựca∈(−1; 1)thỏa mãn2am= nlnÄa+ √a2+1ä?

§6 Bài Tốn Thực Tế Nguyễn Minh Hiếu

5 Phương trình, bất phương trình nhiều ẩn

3.87 (Đề tham khảo 2020). Cho x, ylà số thực dương thỏa mãnlog9x = log6y = log4(2x+y) Giá trị x

y

A. B.

2 C. log2

Å

3

ã

D. log3 2

3.88 (Đề tham khảo 2020). Có số nguyênxsao cho tồn số thựcythỏa mãnlog3(x+y)= log4 x2+y2?

A. B Vô số. C. D.

3.89 (Đề tham khảo 2020). Có cặp số nguyên(x;y)thỏa mãn0 6 x6 2020và log3(3x+

3)+x=2y+9y?

A. B. 2019 C. D. 2020

3.90 (Đề thức 2017). Xét số thực dương x,ythỏa mãnlog3 1−xy

x+2y =3xy+x+2y−4 Tìm giá trị nhỏ nhấtPmincủaP= x+y

A. Pmin=

18√11−29

21 B. Pmin =

2√11−3

3

C. Pmin=

9√11−19

9 D. Pmin =

9√11+19

9

3.91 (Đề thức 2018). Choa>0,b> 0thỏa mãnlog3a+2b+1(9a2+b2+1)+log

6ab+1(3a+2b+1)=

2 Giá trị củaa+2bbằng

A. B.

2 C. D.

7

3.92 (Đề thức 2020). Có số ngun x cho ứng với xcó khơng q728 số nguyênythỏa mãnlog4 x2+y >log3(x+y)?

A. 116 B. 115 C. 58 D. 59

3.93 (Đề thức 2020). Xét số thực x, y thỏa mãn 2x2+y2+1 6 x2+y2−2x+24x Giá trị nhỏ biểu thứcP= 4y

2x+y+1 gần với số đây?

A. −3 B. −4 C. −2 D. −5

§6 Bài Tốn Thực Tế

1 Bài toán lãi suất

3.94 (Đề tham khảo 2018). Một người gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất0,4%/tháng Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau mối tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu lãi) gần với số đây, thời gian người không rút tiền lãi suất không thay đổi?

A. 102.017.000đồng B. 102.424.000đồng C. 102.016.000đồng D. 102.423.000đồng 3.95 (Đề minh họa 2016). Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiềnmmà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hồn nợ

A. m= 100×1,03

3 (triệu đồng) B. m=

100×(1,01)3

3 (triệu đồng)

C. m= 120×(1,12)

3

(1,12)3−1 (triệu đồng) D. m=

(1,01)3

3.96 (Đề thức 2017). Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều

100triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi người khơng rút tiền

A. 12năm B. 11năm C. 13năm D. 14năm

3.97 (Đề thức 2018). Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất7,5%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra?

A. 9năm B. 12năm C. 10năm D. 11năm

3.98 (Đề tham khảo 2019). Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất %/tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hồn nợ tháng ơng A trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền đây?

A. 2,25triệu đồng B. 2,22triệu đồng C. 3,03triệu đồng D. 2,20triệu đồng 2 Bài toán khác

3.99 (Đề tham khảo 2020). Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thứcS = Aenr; đóAlà dân số năm lấy làm mốc tính,S dân số saunnăm,rlà tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm2017, dân số Việt Nam là93.671.600người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê2017, Nhà xuất Thống kê, Tr.79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm2035là người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

A. 108.311.100 B. 109.256.100 C. 108.374.700 D. 107.500.500 3.100 (Đề tham khảo 2020). Để quảng bá cho sản phẩm A, công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo truyền hình Nghiên cứu công ty cho thấy: sau n lần quảng cáo phát tỷ lệ người xem quảng cáo mua sản phẩm A tn theo cơng thức P(n) =

1

1+49e−0,015n Hỏi cần phát lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt

30%?

A. 206 B. 202 C. 203 D. 207

3.101 (Đề thức 2020). Năm2020, hãng xe tơ niêm yết giá bán loại xeXlà900.000.000

đồng dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm2%giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm2025hãng xe tơ niêm yết giá bán loại xeXlà (kết làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 830.131.000đồng B. 797.258.000đồng C. 810.000.000đồng D. 813.529.000đồng 3.102 (Đề thử nghiệm 2017). Số lượng loại vi khuẩn A phịng thí nghiệm tính theo cơng thức s(t) = s(0)·2t, đó

s(0)là số lượng vi khuẩn Alúc ban đầu, s(t)là số lượng vi khuẩnAcó saut phút Biết sau phút số lượng vi khuẩnAlà 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩnAlà 10 triệu con?

A phút. B 19 phút. C 48 phút. D 12 phút.

3.103 (Đề thức 2020). Trong năm2019, diện tích rừng trồng tỉnh Alà600ha Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh Amỗi năm tăng 6%so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm2019, năm năm tỉnhAcó diện tích rừng trồng năm đạt trên1000ha?

Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

§1 Mặt Nón

1 Diện tích thể tích

4.1 (Đề tham khảo 2020). Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh ` bán kính đáyrbằng

A. 4πr` B. 2πr` C. πr` D.

3πr`

4.2 (Đề thức 2019). Thể tích khối nón có chiều caohvà bán kính đáyrlà A.

3πr

2h. B. πr2h. C.

3πr

2h. D. 2πr2h.

4.3 (Đề minh họa 2016). Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tạiA,AB= avà AC =

√

3a Tính độ dài đường sinhlcủa hình nón, nhận quay tam giácABCxung quanh trụcAB

A. l= a B. l= √2a C. l= √3a D. l=2a

4.4 (Đề thức 2020). Cho khối nón có bán kính đáyr =5và chiều caoh=2 Thể tích khối nón cho

A. 10π B. 50π

3 C. 10π D.

10π

4.5 (Đề tham khảo 2020). Cho khối nón có chiều caoh=3và bán kính đáyr =4 Thể tích khối nón cho

A. 16π B. 4π C. 48π D. 36π

4.6 (Đề thức 2020). Cho hình nón có bán kính đáyr =2và độ dài đường sinh` =5 Diện tích xung quanh hình nón cho

A. 10π B. 20π C. 10π

3 D.

20π

4.7 (Đề tham khảo 2019). Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng2avà bán kính đáy bằnga Thể tích khối nón cho

A. 2πa

3

3 B.

√

3πa3

3 C.

√

3πa3

2 D.

πa3

3

4.8 (Đề tham khảo 2017). Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng3πa2và bán kính đáy bằnga Tính độ dài đường sinhlcủa hình nón cho

A. l=

√

5a

2 B. l=3a C. l=

3a

2 D. l=2

√

2a

4.9 (Đề tham khảo 2018). Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng3πa2và bán kính đáy bằnga Độ dài đường sinh hình nón cho

A. 3a

2 B. 2a C. 3a D.

√

2a

4.10 (Đề thức 2020). Cho hình nón có bán kính đáy bằng2và góc đỉnh bằng60◦ Diện tích

§2 Mặt Trụ Nguyễn Minh Hiếu

A. 8π B.

√

3π

3 C. 16π D.

16√3π

3

4.11 (Đề tham khảo 2020). Trong không gian, cho tam giácABCvuông A,AB= avà AC = 2a Khi quay tam giácABC quanh cạnh góc vngABthì đường gấp khúcACBtạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón

A. 10πa2. B. 5πa2. C. √5πa2. D. 2√5πa2.

4.12 (Đề thử nghiệm 2017). Cho khối(N)có bán kính đáy bằng3và diện tích xung quanh bằng15π Tính thể tíchV khối nón(N)

A. V = 36π B. V = 20π C. V = 60π D. V = 12π 2 Thiết diện hình nón

4.13 (Đề tham khảo 2020). Cho hình nón có chiều cao bằng2√5 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích bằng9

√

3 Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho

A. 32π B. 32

√

5π

3 C. 96π D. 32

√

5π

4.14 (Đề thức 2017). Cho hình nón đỉnh S có chiều caoh = avà bán kính đáy r = 2a Mặt phẳng(P)đi quaS cắt đường tròn đáy tạiAvàBsao choAB=2

√

3a Tính khoảng cáchdtừ tâm đường tròn đáy đến(P)

A. d=

√

5a

5 B. d= a C. d=

√

2a

2 D. d=

√

3a

2

3 Hình nón nội, ngoại tiếp đa diện

4.15 (Đề thức 2017). Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh bằnga

√

2 Tính thể tíchV khối nón có đỉnhS đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tứ giácABCD

A. V =

√

2πa3

6 B. V =

πa3

2 C. V =

√

2πa3

2 D. V =

πa3

6

§2 Mặt Trụ

1 Diện tích thể tích

4.16 (Đề tham khảo 2020). Diện tích xung quanh hình trụ có độ dài đường sinh` bán kính đáyrbằng

A. 2πr` B. 4πr` C. πr` D.

3πr`

4.17 (Đề thức 2020). Cho khối trụ có bán kính đáyr =4và chiều caoh=3 Thể tích khối trụ cho

A. 48π B. 16π C. 24π D. 4π

4.18 (Đề thức 2020). Cho hình trụ có bán kính đáy r = độ dài đường sinh` = Diện tích xung quanh hình trụ cho

A. 192π B. 64π C. 48π D. 24π

4.19 (Đề thức 2017). Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h =

4√2

A. V = 32√2π B. V = 128π C. V = 64√2π D. V = 32π

4.20 (Đề minh họa 2016). Trong khơng gian, cho hình chữ nhậtABCDcó AB= 1và AD = Gọi M,N trung điểm củaADvà BC Quay hình chữ nhật xung quanh trụcMN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phầnStp hình trụ

2 Thiết diện hình trụ

4.21 (Đề thức 2020). Cắt hình trụ(T)bởi mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh bằng7 Diện tích xung quanh của(T)bằng

A. 49π

2 B.

49π

4 C. 98π D. 49π

4.22 (Đề tham khảo 2020). Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho

A. 54π B. 18π C. 27π D. 36π

4.23 (Đề thức 2019). Cho hình trụ có chiều cao bằng5√3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng bằng1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho

A. 20√3π B. 10√39π C. 5√39π D. 10√3π

4.24 (Đề tham khảo 2020). Cho hình trụ có chiều cao bằng6a Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng bằng3a, thiết diện thu hình vng Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho

A. 150πa3 B. 108πa3 C. 216πa3 D. 54πa3 3 Hình trụ nội, ngoại tiếp đa diện

4.25 (Đề tham khảo 2017). Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a

A. V =πa3 B. V = πa

3

4 C. V =

πa3

2 D. V =

πa3

6

4.26 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0 có độ dài cạnh đáy bằnga chiều cao bằngh Tính thể tíchVcủa khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho

A. V = πa

2h

3 B. V =

πa2h

9 C. V =

πa2h

9 D. V =3πa

2h.

4.27 (Đề tham khảo 2018). Cho tứ diện ABCDcó cạnh Tính diện tích xung quanhSxq

của hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác BCDvà chiều cao chiều cao tứ diệnABCD

A. Sxq =8

√

2π B. Sxq =

16√2π

3 C. Sxq =8

√

3π D. Sxq =

16√3π

3

4 Bài tốn thực tế hình trụ

4.28 (Đề thức 2019). Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy bằng1m và1,2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làmgần nhấtvới kết đây?

A. 2,2m B. 1,6m C. 1,8m D. 1,4m 4.29 (Đề tham khảo 2019). Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ(H1),(H2)xếp chồng

lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn

r2 =

1

2r1, h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi

bằng30cm3, thể tích khối trụ(H

1)bằng

§3 Mặt Cầu Nguyễn Minh Hiếu

4.30 (Đề minh họa 2016). Từ tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm× 240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa)

• Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

• Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng

Kí hiệuV1là thể tích thùng gị theo cách vàV2là tổng thể tích hai thùng gị theo

cách Tính tỉ số V1 V2

A. V1 V2

= B. V1

V2

= C. V1

V2

=

2 D.

V1

V2

=

4.31 (Đề thức 2018). Một bút chì khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy3mm chiều cao bằng200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn bán kính1mm Giả định1m3

gỗ có giá trịa(triệu đồng),1m3 than chì có giá trị8a(triệu đồng) Khi giá ngun vật liệu làm bút chì gần với kết đây?

A. 9,7ađồng B. 97,03ađồng C. 90,7ađồng D. 9,07ađồng

§3 Mặt Cầu

1 Diện tích thể tích

4.32 (Đề thức 2018). Diện tích mặt cầu bán kínhRbằng A. 2πR2 B.

3πR

2. C. πR2. D. 4πR2.

4.33 (Đề tham khảo 2019). Thể tích khối cầu bán kínhabằng A. 4πa

3

3 B. 2πa

3. C. πa

3 D. 4πa

3.

4.34 (Đề thức 2020). Cho mặt cầu có bán kínhR=4 Diện tích mặt cầu cho A. 64π B. 256π

3 C.

64π

3 D. 16π

4.35 (Đề tham khảo 2020). Cho mặt cầu có bán kínhR= Diện tích mặt cầu cho A. 32π

3 B. 16π C. 8π D. 4π

4.36 (Đề thức 2020). Cho khối cầu có bán kínhr =4 Thể tích khối cầu cho A. 64π

3 B. 64π C.

256π

3 D. 256π

2 Mặt cầu nội, ngoại tiếp đa diện

4.37 (Đề thức 2017). Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng2a

A. R=

√

3a

3 B. R=2

√

3a C. R=

√

3a D. R=a

4.38 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0 cóAB= a,AD= 2avàAA0 =

2a Tính bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABB0C0 A. R=2a B. R=3a C. R= 3a

4 D. R=

3a

4.39 (Đề tham khảo 2017). Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng3

√

2a, cạnh bên bằng5a Tính bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD

A. R=

√

3a B. R= 25a

8 C. R= 2a D. R=

√

2a

4.40 (Đề thức 2020). Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh4a, S A vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng(S BC)và mặt đáy bằng60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC

A. 84πa2 B. 172πa

2

9 C.

76πa2

3 D.

172πa2

3

4.41 (Đề minh họa 2016). Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác cạnh 1, mặt bên S ABlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tíchV khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A. V = 5π

3 B. V =

4√3π

27 C. V =

5√15π

54 D. V =

5√15π

18

3 Bài toán tổng hợp khối trịn xoay

4.42 (Đề thức 2020). Cho hình nón(N)có đỉnhS, bán kính √2avà độ dài đường sinh bằng4a Gọi(T)là mặt cầu qua đỉnhS đường trịn đáy của(N) Bán kính của(T)bằng

A.

√

2a

3 B.

4

√

14a

7 C.

√

14a D.

√

14a

7

4.43 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnhXcủa hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trụcXY

A. V =

125Ä5+4√2äπ

24 B. V =

125Ä5+2√2äπ

12

C. V =

125Ä2+ √2äπ

4 D. V =

125Ä1+ √2äπ

6

X

Ngun Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng

§1 Ngun Hàm

1 Định nghĩa, tính chất

5.1 (Đề tham khảo 2020). Hàm sốF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)trên khoảngKnếu A. F0(x)=−f(x),∀x∈K. B. f0(x)= −F(x),∀x∈ K.

C. F0(x)= f(x),∀x∈K D. f0(x)= F(x),∀x∈K 2 Nguyên hàm bản

5.2 (Đề thức 2020). Z

x2dxbằng

A. 3x3+C B.

3x

3+C. C. x3+C. D. 2x+C.

5.3 (Đề thức 2020). Z

5x4dxbằng

A. 20x3+C B. x5+C C.

5x

5+C. D. 5x5+C.

5.4 (Đề thức 2019). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=2x+5là A. x2+5x+C. B. 2x2+5x+C. C. x2+C. D. 2x2+C.

5.5 (Đề tham khảo 2018). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+1là A. x3+x+C B. x

3

3 +x+C C. 6x+C D. x

3+C.

5.6 (Đề thức 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)= x3+xlà A. x3+x+C. B. x4+x2+C. C.

4x

4+

2x

2+C. D. 3x2+1+C.

5.7 (Đề tham khảo 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+xlà

A. ex+ 2x

2+C. B.

x+1e

x+

2x

2+C. C. ex+

1+C D. ex+x2+C

5.8 (Đề tham khảo 2020). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)= cosx+6xlà

A. −sinx+C B. −sinx+3x2+C C. sinx+6x2+C D. sinx+3x2+C 5.9 (Đề tham khảo 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= x2+

x2

A. Z

f(x) dx= x

3

3 −

1

x +C B.

Z

f(x) dx= x

3

3 +

1

x+C C.

Z

f(x) dx= x

3

3 +

2

x +C D.

Z

f(x) dx= x

3

3 −

2

x+C 3 Phương pháp đổi biến

§1 Nguyên Hàm Nguyễn Minh Hiếu

A. Z

cos 3xdx= sin 3x+C B.

Z

cos 3xdx= sin 3x

3 +C

C. Z

cos 3xdx= −sin 3x

3 +C D.

Z

cos 3xdx=3 sin 3x+C 5.11 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x

A. Z

f(x) dx=−2 sin 2x+C B.

Z

f(x) dx= sin 2x+C C.

Z

f(x) dx=

2sin 2x+C D.

Z

f(x) dx= −1

2sin 2x+C

5.12 (Đề minh họa 2016). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=

√

2x−1 A.

Z

f(x) dx=

3(2x−1)

√

2x−1+C B.

Z

f(x) dx=

3(2x−1)

√

2x−1+C C.

Z

f(x) dx=−1

3(2x−1)

√

2x−1+C D.

Z

f(x) dx=

2(2x−1)

√

2x−1+C 5.13 (Đề tham khảo 2020). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)= x+2

x−1 khoảng(1;+∞)

là

A. x−

(x−1)2 +C B. x−3 ln(x−1)+C C. x+3 ln(x−1)+C D. x+

3

(x−1)2 +C

5.14 (Đề thức 2019). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x) = 2x−1

(x+1)2 khoảng

(−1;+∞)là

A. ln(x+1)−

x+1 +C B. ln(x+1)+

2

x+1 +C

C. ln(x+1)−

x+1 +C D. ln(x+1)+

3

x+1 +C

4 Nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

5.15 (Đề thử nghiệm 2017). Biết F(x) nguyên hàm f(x) =

x−1 F(2) = Tính

F(3)

A. F(3)= ln 2+1 B. F(3)=

4 C. F(3)=

1

2 D. F(3)= ln 2−1

5.16 (Đề thức 2017). Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x) = 3−5 sinxvà f(0) = 10 Mệnh đề đâyđúng?

A. f(x)= 3x+5 cosx+2 B. f(x)=3x+5 cosx+5 C. f(x)= 3x−5 cosx+15 D. f(x)=3x−5 cosx+2 5.17 (Đề thức 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = −2

9 f

0

(x) = 2xf(x)2 với x∈R Giá trị f(1)bằng

A. −

15 B. −

35

36 C. −

19

36 D. −

2

5.18 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số f(x) xác định R \

ß

1

™

thỏa mãn f0(x) = 2x−1,

f(0)=1và f(1)=2 Giá trị biểu thức f(−1)+ f(3)bằng

A. 2+ln 15 B. 4+ln 15 C. ln 15 D. 3+ln 15

5 Phương pháp nguyên hàm phần

5.19 (Đề tham khảo 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 4x(1+lnx)là

A. 2x2lnx+3x2. B. 2x2lnx+3x2+C. C. 2x2lnx+ x2+C. D. 2x2lnx+ x2.

5.20 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) = √ x

x2+2 Họ tất nguyên hàm hàm số

A. x+2

2

√

x2+2 +C B.

x2+2x−2

2

√

x2+2 +C C.

2x2+x+2

√

x2+2 +C D.

x−2

√

x2+2 +C

5.21 (Đề thức 2017). ChoF(x)= x2là nguyên hàm hàm số f(x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f0(x)e2x.

A. Z

f0(x)e2xdx=−x2+2x+C B. Z

f0(x)e2xdx= −2x2+2x+C C.

Z

f0(x)e2xdx=2x2−2x+C D. Z

f0(x)e2xdx= −x2+x+C

5.22 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)liên tục trênR Biếtcos 2xlà nguyên hàm hàm số f(x)ex, họ tất nguyên hàm hàm số f0(x)exlà

A. −sin 2x+cos 2x+C B. −2 sin 2x−cos 2x+C

C. −2 sin 2x+cos 2x+C D. sin 2x−cos 2x+C

6 Ứng dụng nguyên hàm

5.23 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)= mx4+nx3+px2+qx+r

(m,n,p,q,r ∈ R) Hàm số y = f0(x) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f(x)= rcó số phần tử

A. B. C. D.

x y

O

−1

§2 Tích Phân

1 Định nghĩa, tính chất

5.24 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm số f(x) có đạo hàm đoạn[1; 2], f (1) = 1và f (2) = TínhI =

2

Z

1

f0(x) dx

A. I =1 B. I =−1 C. I =3 D. I =

2

5.25 (Đề tham khảo 2020). Nếu

1

Z

0

f(x) dx=4thì

1

Z

0

2f(x) dxbằng

A. B. C. D. 16

5.26 (Đề thức 2020). Biết

3

Z

1

f (x) dx=3 Giá trị

3

Z

1

2f(x) dxbằng

A.

2 B. C. D.

5.27 (Đề tham khảo 2020). Nếu

2

Z

1

f(x) dx=−2và

3

Z

2

f(x) dx=1thì

3

Z

1

f(x) dxbằng

A. B. −1 C. D. −3

5.28 (Đề thức 2020). Biết

3

Z

2

f(x) dx =

3

Z

2

g(x) dx = Khi

3

Z

2

f(x)−g(x) dx

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

A. −3 B. C. D.

5.29 (Đề thức 2019). Biết

1

Z

0

f(x) dx = −2

1

Z

0

g(x) dx = 3,

1

Z

0

f(x)−g(x) dx

bằng

A. B. −5 C. −1 D.

5.30 (Đề tham khảo 2019). Cho

1

Z

0

f(x) dx =

1

Z

0

g(x) dx = 5,

1

Z

0

f(x)−2g(x) dx

bằng

A. B. −3 C. −8 D. 12

5.31 (Đề thức 2020). Biết

1

Z

0

f(x)+2x dx= Khi

1

Z

0

f(x) dxbằng

A. B. C. D.

5.32 (Đề thức 2020). Cho hàm sốF(x) = x2 nguyên hàm hàm số f(x)trênR Giá trị

2

Z

1

2+ f(x) dxbẳng A. 13

3 B. C. D.

7

2 Tích phân bản 5.33 (Đề thức 2018).

2

Z

1

e3x−1dxbằng

A.

3(e

5−e2). B.

3(e

5+e2). C. e5−e2. D.

3e

5−e2.

5.34 (Đề tham khảo 2018). Tích phân

2

Z

0

dx x+3

A. 16

225 B. ln

5

3 C.

2

15 D. log

5

5.35 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) có f(0) = 0và f0(x) = cosxcos22x,∀x ∈ R Khi

π

Z

0

f(x) dxbằng

A. 149

225 B.

1042

225 C.

242

225 D.

208 225

5.36 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) Biết f(0) = 4và f0(x)= 2 cos2x+1, ∀x ∈

R, π

4 Z

0

f(x)dxbằng

A. π

2+16π+4

16 B.

π2+16π+16

16 C.

π2+14π

16 D.

π2+4

16

5.37 (Đề tham khảo 2018). Biết

2

Z

1

dx

(x+1)√x+x√x+1 =

√

a− √

b−cvớia,b,clà số nguyên dương TínhP= a+b+c

3 Phương pháp đổi biến 5.38 (Đề thử nghiệm 2017). Cho

4

Z

0

f(x) dx=16 TínhI =

2

Z

0

f(2x) dx

A. I =32 B. I =8 C. I =16 D. I =4

5.39 (Đề thức 2017). Cho

6

Z

0

f(x) dx=12 TínhI =

2

Z

0

f(3x) dx

A. I =4 B. I =36 C. I =6 D. I =2

5.40 (Đề tham khảo 2020). Xét

2

Z

0

xex2dx, đặtu= x2 thì

Z

0

xex2dxbằng

A.

4

Z

0

eudu B.

2

2

Z

0

eudu C.

2

Z

0

eudu D.

2

4

Z

0

eudu

5.41 (Đề tham khảo 2017). Tính tích phân I =

2

Z

1

2x

√

x2−1 dxbằng cách đặtu= x2−1, mệnh đề

nào đâyđúng? A. I =

2

Z

1

√

udu B. I =

3

Z

0

√

udu C. I =

2

2

Z

1

√

udu D. I =2

3

Z

0

√

udu

5.42 (Đề thức 2020). BiếtF(x)= ex+ x2là nguyên hàm hàm số f(x)trên

R Khi Z

f(2x) dxbằng

A. 2ex+4x2+C. B.

2e

2x+x2+C. C. 2ex+2x2+C. D.

2e

2x+2x2+C.

5.43 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)có f(3) = 3và f0(x) = x

x+1− √x+1,

∀x > Khi

8

Z

3

f(x) dxbằng

A. 197

6 B.

29

2 C. D.

181

5.44 (Đề minh họa 2016). Tính tích phânI =

π

Z

0

cos3xsinxdx

A. I =−π4. B. I =0. C. I =−1

4π

4. D. I =−1

4

5.45 (Đề tham khảo 2017). Cho

1

Z

0

dx

ex+1 = a + bln

1+e

2 , với a,b số hữu tỉ Tính S =

a3+b3.

A. S = B. S = −2 C. S = D. S =

4 Phương pháp tích phân phần 5.46 (Đề minh họa 2016). Tính tích phânI =

e

Z

1

xlnxdx

A. I = e

2−2

2 B. I =

1

2 C. I =

e2−1

4 D. I =

e2+1

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

5.47 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số f(x)thỏa mãn

1

Z

0

(x+1)f0(x) dx= 10và2f(1)− f(0)=2 TínhI =

1

Z

0

f(x) dx

A. I = −8 B. I = −12 C. I = 12 D. I =

5.48 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trênR Biết f(4)=1và

1

Z

0

x f(4x) dx=

1,

4

Z

0

x2f0(x) dxbằng

A. 14 B. C. −16 D. 31

2

5 Phương pháp đồng hệ số 5.49 (Đề tham khảo 2019). Cho

1

Z

0

xdx

(x+2)2 = a+bln 2+cln 3vớia, b,clà số hữu tỷ Giá trị

của3a+b+cbằng

A. B. −2 C. D. −1

5.50 (Đề thử nghiệm 2017). Biết

4

Z

3

dx

x2+ x = aln 2+bln 3+cln 5, vớia,b,clà số nguyên Tính

S =a+b+c

A. S =0 B. S =2 C. S =6 D. S =−2

5.51 (Đề thức 2018). Cho

55

Z

16

dx

x√x+9 = aln 2+bln 5+ cln 11với a,b,clà số hữu tỉ

Mệnh đề đâyđúng?

A. a+b= 3c B. a+b= c C. a−b= −3c D. a−b= −c

6 Tích phân hàm ẩn

5.52 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốf(x)liên tục trênRvà thỏa mãn f(x)+f(−x)= √2+2 cos 2x,∀x∈

R TínhI =

3π

Z

−3π

2

f(x) dx

A. I = −6 B. I = C. I = −2 D. I =

5.53 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn x f x3+ f 1−x2 =

−x10+x6−2x, ∀x∈

R Khi

0

Z

−1

f(x)dxbằng

A. −17

20 B.

17

4 C. −

13

4 D. −1

5.54 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãn f(1)=0,

1

Z

0

f0(x)2 dx=7và

1

Z

0

x2f(x) dx=

3 Tích phân

1

Z

0

A. B.

4 C. D.

7

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân

1 Diện tích hình phẳng

5.55 (Đề thức 2018). Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ex, y = 0, x= 0,x= Mệnh đề đâyđúng?

A. S = π

2

Z

0

e2xdx B. S = π

2

Z

0

exdx C. S =

2

Z

0

e2xdx D. S =

2

Z

0

exdx

5.56 (Đề tham khảo 2017). GọiS diện tích hình phẳng(H) giới hạn đườngy= f(x), trục hồnh hai đường thẳngx=−1,x= 2(như hình vẽ bên) Đặt a =

0

Z

−1

f(x) dx, b =

2

Z

0

f(x) dx, mệnh đề

đúng?

A. S = b+a B. S =b−a C. S =−b+a D. S = −b−a x y

O

−1

2

y= f(x)

5.57 (Đề thức 2020). Diện tích hình phẳng giới hạn hai đườngy = x2 −4và y = 2x−4

bằng A.

3 B. 36 C. 36π D.

4π

5.58 (Đề tham khảo 2019). Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A.

2

Z

−1

(−2x+2) dx B.

2

Z

−1

−2x2+2x+4 dx

C.

2

Z

−1

(2x−2) dx D.

2

Z

−1

2x2−2x−4 dx

x y

O

y=−x2+3 y=

x −

2x

−1

5.59 (Đề tham khảo 2020). Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = 2x2, y = −1, x= 0và x=1được tính cơng thức đây?

A. S =

1

Z

0

2x2−1 dx B. S = π

1

Z

0

2x2+1 dx

C. S =

1

Z

0

2x2+1 dx D. S =

1

Z

0

2x2+12 dx 5.60 (Đề tham khảo 2020). Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình bên

A.

2

Z

−1

−2x2−2x+4dx B.

2

Z

−1

−2x2+2x+4dx

C.

2

Z

−1

2x2−2x−4dx D.

2

Z

−1

2x2+2x−4dx

x y

O

−1

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

5.61 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)liên tục trênR GọiS diện tích hình phẳng giới hạn cácy = f(x),y = 0, x = 0, x = −1và x =

(như hình vẽ bên) Mệnh đề đâyđúng? A. S =−

1

Z

−1

f(x) dx−

4

Z

1

f(x) dx B. S =

1

Z

−1

f(x) dx+

4

Z

1

f(x) dx

C. S =

1

Z

−1

f(x) dx−

4

Z

1

f(x) dx D. S =−

1

Z

−1

f(x) dx+

4

Z

1

f(x) dx

x y

O

−1

1

5.62 (Đề minh họa 2016). Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy = x3−xvà đồ thị hàm sốy= x−x2.

A. 37

12 B.

81

12 C. 13 D.

9

5.63 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình thang cong(H)giới hạn đường y = ex,y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4)chia(H)thành hai phần có diện tích làS1 vàS2 hình vẽ bên TìmkđểS1 =2S2

A. k=

3ln B. k=ln C. k =ln

8

3 D. k= ln

x x

O k ln S1

S2

5.64 (Đề tham khảo 2018). Cho(H)là hình phẳng giới hạn parabol y= √3x2, cung trịn có phương trìnhy=

√

4− x2(với06 x6 2) trục

hồnh (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích của(H)bằng A. 4π−

√

3

12 B.

5√3−2π

3

C. 4π+

√

3

12 D.

4π+2√3−3

6 x

y

O

2

5.65 (Đề thức 2018). Cho hai hàm số f(x)=ax3+bx2+cx−1

2

vàg(x)= dx2+ex+1 (a,b,c,d,e∈

R) Biết đồ thị hàm số y= f(x)vày= g(x)cắt ba điểm có hồnh độ là−3;

−1;1(tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích

A. B.

2 C. D. x

y

O

−3 −1

1

5.66 (Đề thức 2019). Cho đường thẳng y = x parabol y =

2x

2 +a (a là tham số thực dương) Gọi S

1 S2

diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 = S2thìathuộc khoảng đây?

A. Å 3; ã B. Å 5; ã C. Å 7; ã D. Å 0;1 ã x y O S1 S2

y=x

y= 2x

5.67 (Đề thức 2017). Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f0(x) hình bên Đặt h(x) = 2f(x)− x2 Mệnh đề đúng?

A. h(2)>h(−2)> h(4) B. h(4)=h(−2)<h(2) C. h(4)=h(−2)> h(2) D. h(2)>h(4)> h(−2)

x y

O

−2

−2 2

4

2 Thể tích vật thể

5.68 (Đề tham khảo 2017). Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trụcOxtại điểm có hồnh độ x

(16 x6 3)thì thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là3xvà

√

3x2−2.

A. V = 124

3 B. V =

Ä

32+2√15äπ C. V =32+2√15 D. V = 124π

3

3 Thể tích khối trịn xoay

5.69 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy= f(x)liên tục đoạn[a;b] GọiDlà hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy= f(x), trục hoành hai đường thẳng x=a, x= b(a< b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quayDquanh trục hồnh tính theo cơng thức

A. V =π2

b

Z

a

f2(x) dx B. V =2π

b

Z

a

f2(x) dx

C. V =π2

b

Z

a

f(x) dx D. V =π

b

Z

a

f2(x) dx

5.70 (Đề minh họa 2016). Viết công thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm sốy= f(x), trụcOxvà hai đường thẳngx= a,x=b(a< b), xung quanh trụcOx

A. V =π

b

Z

a

|f(x)|dx B. V =π

b

Z

a

f2(x) dx C. V =π

b

Z

a

f(x) dx D. V =

b

Z

a

f2(x) dx

5.71 (Đề thức 2020). GọiDlà hình phẳng giới hạn đường congy = e3x,y = 0, x =

và x= Thể tích khối tròn xoay tạo thành quayDquanh trụcOxbằng A.

1

Z

0

e6xdx B.

1

Z

0

e3xdx C. π

1

Z

0

e6xdx D. π

1

Z

0

e3xdx

5.72 (Đề thức 2017). Cho hình phẳngDgiới hạn đường congy = √2+cosx, trục hoành đường thẳng x= 0, x= π

2 Khối tròn xoay tạo thành quay Dquanh trục hồnh tích

V bao nhiêu?

A. V =π−1 B. V =π+1 C. V =(π+1)π D. V =(π−1)π 5.73 (Đề minh họa 2016). Kí hiệu(H)là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy= 2(x−1)ex, trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H)xung quanh trục Ox

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

4 Vận tốc, quãng đường

5.74 (Đề minh họa 2016). Một ô tơ chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốcv(t)= −5t+10(m/s), đótlà khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?

A. 20m B. 0,2m C. 2m D. 10m

5.75 (Đề thức 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luậtv(t) =

180t

2+ 11

18t m/s, đót (giây) khoảng thời gian tính

từ lúcAbắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểmBcũng xuất phát từO, chuyển động thẳng hướng vớiAnhưng chậm hơn5giây so vớiAvà có gia tốc bằngam/s2(alà số) Sau khiBxuất phát được10giây đuổi kịpA Vận tốc củaBtại thời điểm đuổi kịpAbằng

A. 7m/s B. 10m/s C. 15m/s D. 22m/s 5.76 (Đề thức 2017). Một vật chuyển động trong3giờ với vận tốcv(km/h)

phụ thuộc thời giant (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian1giờ kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnhI(2; 9)và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đườngsmà vật di chuyển trong3giờ (kết làm trịn đến hàng phần trăm)

A. s=15,50(km) B. s=23,25(km) C. s=13,83(km) D. s=21,58(km)

t v

O

9 I

5 Bài toán thực tế

5.77 (Đề thử nghiệm 2017). Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là100.000đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)

8m

A. 7.653.000đồng B. 7.862.000đồng C. 7.128.000đồng D. 7.826.000đồng 5.78 (Đề tham khảo 2019). Một biển quảng cáo có dạng hình

elip với bốn đỉnhA1, A2, B1, B2 hình vẽ bên Biết chi phí để

sơn phần tơ đậm là200.000 đồng/m2 và phần lại là100.000

đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền nào

dưới đây, biếtA1A2 = 8m, B1B2 = 6m tứ giác MNPQlà hình

chữ nhật cóMQ=3m?

A. 5.526.000đồng B. 7.322.000đồng C. 5.782.000đồng D. 7.213.000đồng

A1 A2

B1 B2

M N

Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

§1 Tọa Độ Trong Khơng Gian

1 Tọa độ điểm, vectơ

6.1 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(1; 1;−1)và B(2; 3; 2) Vectơ AB# » có tọa độ

A. (3; 4; 1) B. (3; 5; 1) C. (−1;−2; 3) D. (1; 2; 3)

6.2 (Đề thức 2018). Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−4; 3) B(2; 2; 7) Trung điểm đoạnABcó tọa độ

A. (4;−2; 10) B. (2;−1; 5) C. (1; 3; 2) D. (2; 6; 4)

6.3 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;−2; 3) B(−1; 2; 5) Tìm tọa độ trung điểm Icủa đoạn thẳngAB

A. I(2;−2;−1) B. I(1; 0; 4) C. I(−2; 2; 1) D. I(2; 0; 8)

6.4 (Đề thức 2020). Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(3; 2; 1) trụcOxcó tọa độ

A. (0; 0; 1) B. (3; 0; 0) C. (0; 2; 0) D. (0; 2; 1)

6.5 (Đề thức 2019). Trong khơng gianOxyz, hình chiếu vng góc điểm M(2; 1;−1)trên trụcOzcó tọa độ

A. (2; 1; 0) B. (0; 1; 0) C. (0; 0;−1) D. (2; 0; 0)

6.6 (Đề tham khảo 2020). Trong khơng gianOxyz, hình chiếu vng góc điểmM(2;−2; 1)trên mặt phẳng(Oxy)có tọa độ

A. (2;−2; 0) B. (2; 0; 1) C. (0;−2; 1) D. (0; 0; 1)

6.7 (Đề tham khảo 2018). Trong không gianOxyz, cho điểmA(3;−1; 1) Hình chiếu vng góc Atrên mặt phẳng(Oyz)là điểm

A. M(3; 0; 0) B. Q(0; 0; 1) C. N(0;−1; 1) D. P(0;−1; 0)

6.8 (Đề thức 2020). Trong khơng gianOxyz, điểm hình chiếu vng góc điểmA(1; 4; 2)trên mặt phẳng(Oxy)?

A. Q(1; 0; 2) B. N(0; 4; 2) C. P(1; 4; 0) D. M(0; 0; 2)

6.9 (Đề tham khảo 2020). Trong khơng gianOxyz, hình chiếu vng góc điểmM(2; 1;−1)trên mặt phẳng(Ozx)có tọa độ

A. (0; 1; 0) B. (2; 0;−1) C. (2; 1; 0) D. (0; 1;−1)

2 Tích vơ hướng ứng dụng

6.10 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho vectơ #»a = (1; 0; 3)và #»b = (−2; 2; 5) Tích vơ hướng #»a ·Ä#»a + #»bäbằng

§1 Tọa Độ Trong Khơng Gian Nguyễn Minh Hiếu

6.11 (Đề tham khảo 2017). Trong không gianOxyz, cho điểmA(3;−4; 0),B(−1; 1; 3)vàC(3; 1; 0) Tìm tọa độ điểmDtrên trục hoành choAD = BC

A. D(6; 0; 0)hoặcD(12; 0; 0) B. D(0; 0; 0)hoặcD(−6; 0; 0) C. D(0; 0; 0)hoặcD(6; 0; 0) D. D(−2; 0; 0)hoặcD(−4; 0; 0)

3 Tâm, bán kính mặt cầu

6.12 (Đề tham khảo 2017). Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu

(x−1)2+(y+2)2+(z−4)2 = 20 A. I(−1; 2;−4),R=2

√

5 B. I(−1; 2;−4),R=

√

2

C. I(1;−2; 4),R= 20 D. I(1;−2; 4),R=2√5

6.13 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : (x+1)2+(y−2)2+(z−1)2 =9.

Tìm tọa độ tâmI tính bán kínhRcủa(S)

A. I(1;−2;−1)vàR=3 B. I(1;−2;−1)vàR=

C. I(−1; 2; 1)vàR= D. I(−1; 2; 1)vàR=3

6.14 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : (x−2)2+(y+4)2+(z−1)2 =9.

Tâm của(S)có tọa độ

A. (−2; 4;−1) B. (2; 4; 1) C. (−2;−4;−1) D. (2;−4; 1)

6.15 (Đề thức 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2 =4.

Tâm của(S)có tọa độ

A. (−1; 2;−3) B. (1;−2; 3) C. (−2; 4;−6) D. (2;−4; 6)

6.16 (Đề thức 2020). Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+y2 +(z+2)2 = Bán kính của(S)bằng

A. B. C. D. 18

6.17 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt cầu(S) : (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =16 Tâm của(S)có tọa độ

A. (1;−2; 3) B. (−1;−2;−3) C. (1; 2; 3) D. (−1; 2;−3)

6.18 (Đề thức 2019). Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+z2+2x−2z−7=0.

Bán kính mặt cầu cho

A. B. C. √15 D. √7

4 Phương trình mặt cầu

6.19 (Đề tham khảo 2019). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; 1; 1) A(1; 2; 3) Phương trình mặt cầu có tâmIvà quaAlà

A. (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2 =5. B. (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2 =25.

C. (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2 =5. D. (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2 =29.

6.20 (Đề tham khảo 2020). Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S)có tâm điểm I(0; 0;−3)và qua điểm M(4; 0; 0) Phương trình của(S)là

A. x2+y2+(z+3)2= 25. B. x2+y2+(z+3)2 =5.

C. x2+y2+(z−3)2= 25. D. x2+y2+(z−3)2 =5.

6.21 (Đề thức 2017). Trong khơng gianOxyz, cho điểmM(1;−2; 3) GọiIlà hình chiếu vng góc củaMtrên trụcOx Phương trình phương trình mặt cầu tâmIbán kínhI M?

A. (x−1)2+y2+z2= √13. B. (x+1)2+y2+z2 =17.

§2 Phương Trình Mặt Phẳng

1 Các yếu tố mặt phẳng

6.22 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(α) : 3x+2y−4z+1=0 Vectơ vectơ pháp tuyến của(α)?

A. #»n1 = (3;−4; 1) B. #»n4 = (3; 2;−4) C. #»n2 = (3; 2; 4) D. #»n3= (2;−4; 1)

6.23 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (P) : 3x− z+2 = Vectơ vectơ pháp tuyến của(P)?

A. #»n1 = (3;−1; 2) B. #»n2 = (3; 0;−1) C. #»n4 = (−1; 0;−1) D. #»n3= (3;−1; 0)

6.24 (Đề thức 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(α) : 2x+4y−z+3= Vectơ vectơ pháp tuyến của(α)?

A. #»n4 = (−2; 4; 1) B. #»n3 = (2; 4; 1) C. #»n2 = (2;−4; 1) D. #»n1= (2; 4;−1)

6.25 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : 2x+3y+z+2= Vectơ vectơ pháp tuyến của(P)?

A. #»n4 = (2; 0; 3) B. #»n2 = (2; 3; 1) C. #»n1 = (2; 3; 0) D. #»n3= (2; 3; 2)

6.26 (Đề thức 2019). Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : x+2y+3z−1= Vectơ vectơ pháp tuyến của(P)?

A. #»n3 = (1; 2;−1) B. #»n4 = (1; 2; 3) C. #»n1 = (1; 3;−1) D. #»n2= (2; 3;−1)

6.27 (Đề thức 2018). Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng(P) : x+2y+ 3z− = có vectơ pháp tuyến

A. #»n2 = (1; 2; 3) B. #»n3 = (−1; 2; 3) C. #»n4 = (1; 2;−3) D. #»n1= (3; 2; 1)

6.28 (Đề thức 2017). Trong không gianOxyz, vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng(Oxy)?

A. #»j = (0; 1; 0) B. m#»= (1; 1; 1) C. #»i = (1; 0; 0) D. #»k = (0; 0; 1) 6.29 (Đề thức 2017). Trong khơng gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : x−2y+z−5 = Điểm thuộc(P)?

A. Q(2;−1; 5) B. N(−5; 0; 0) C. M(1; 1; 6) D. P(0; 0;−5)

2 Phương trình mặt phẳng

6.30 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, mặt phẳng(Oxz)có phương trình A. y= B. z= C. x= D. x+y+z= 6.31 (Đề tham khảo 2018). Trong không gianOxyz, cho ba điểmM(2; 0; 0),N(0;−1; 0)vàP(0; 0; 2) Mặt phẳng(MNP)có phương trình

A. x

2 +

y

1 +

z

2 =1 B.

x

2 +

y

−1+

z

2 = −1 C.

x

2 +

y

−1+

z

2 = D.

x

2 +

y

−1+

z

2 =

6.32 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gianOxyz, cho điểmA(1; 0; 0),B(0;−2; 0)vàC(0; 0; 3) Phương trình phương trình mặt phẳng(ABC)?

A. x

−2+

y

1+

z

3 = B.

x

1 +

y

−2+

z

3 = C.

x

3 +

y

−2+

z

1 = D.

x

3 +

y

1 +

z

−2 =

6.33 (Đề thức 2020). Trong khơng gianOxyz, cho ba điểmA(3; 0; 0),B(0; 1; 0)vàC(0; 0;−2) Mặt phẳng(ABC)có phương trình

A. x

3 +

y

1 +

z

2 =1 B.

x

−3+

y

1+

z

2 = C.

x

3 +

y

−1+

z

2 = D.

x

3 +

y

1 +

z

−2 =

6.34 (Đề thức 2019). Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 0) B(5; 1;−2) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ABcó phương trình

A. x+y+2z−3=0 B. 2x−y−z+5= C. 3x+2y−z−14=0 D. 2x−y−z−5=

§3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Khơng Gian Nguyễn Minh Hiếu

A. 2x−y+3z+11=0 B. 2x−y−3z+11=0 C. 2x−y+3z−9=0 D. 2x−y+3z−11=0

6.36 (Đề thức 2020). Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;−1; 4) mặt phẳng P: 3x−

2y+z+1= Phương trình mặt phẳng quaMvà song song với(P)là A. 3x−2y+z−12=0 B. 3x−2y+z+12=0 C. 2x−y+4z+21=0 D. 2x−y+4z−21=0

6.37 (Đề tham khảo 2018). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 1) B(2; 1; 0) Mặt phẳng quaAvà vng góc với ABcó phương trình

A. 3x−y−z+6=0 B. x+3y+z−5=0 C. x+3y+z−6=0 D. 3x−y−z−6=0 6.38 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(0; 1; 1)vàB(1; 2; 3) Viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaAvà vng góc với đường thẳngAB

A. x+3y+4z−7=0 B. x+y+2z−6=0 C. x+y+2z−3= D. x+3y+4z−26=0

6.39 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho bốn điểmA(1;−2; 0),B(0;−1; 1),C(2; 1;−1)

vàD(3; 1; 4) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A Có vơ số mặt phẳng. B mặt phẳng. C mặt phẳng. D mặt phẳng.

6.40 (Đề tham khảo 2018). Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) Hỏi có mặt phẳng (P) qua M cắt trục x0Ox,y0Oy,z0Oz điểm A,B,C cho OA = OB=OC ,0?

A. B. C. D.

3 Góc khoảng cách

6.41 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, khoảng cách hai mặt phẳng(P) : x+2y+

2z−10=0và(Q) : x+2y+2z−3=0bằng A.

3 B. C.

7

3 D.

8

6.42 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : 3x+4y+2z+4=0và điểm A(1;−2; 3) Tính khoảng cáchdtừAđến (P)

A. d= √5

29

B. d=

√

5

3 C. d=

5

29 D. d=

5

§3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Khơng Gian

1 Các yếu tố đường thẳng

6.43 (Đề thức 2019). Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x−2

−1 =

y−1

2 =

z+3

1

Vectơ vectơ phương củad?

A. #»u3 =(−1; 2; 1) B. #»u1 =(2; 1;−3) C. #»u4 =(1; 2;−3) D. #»u2 =(2; 1; 1)

6.44 (Đề thức 2020). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x−3

2 =

y−4

−5 =

z+1

3

Vectơ vectơ phương củad?

A. #»u4 =(3; 4; 1) B. #»u2 =(3; 4;−1) C. #»u1 =(2;−5; 3) D. #»u3 =(2; 5; 3)

6.45 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

  

 

x=

y= 2+3t z= 5−t

(t ∈ R)

Vectơ vectơ phương củad?

6.46 (Đề thức 2018). Trong khơng gianOxyz, đường thẳngd:     

x=2−t y=1+2t z=3+t

có vectơ

phương

A. #»u4 = (−1; 2; 1) B. #»u1 = (−1; 2; 3) C. #»u3 = (2; 1; 3) D. #»u2= (2; 1; 1)

6.47 (Đề tham khảo 2018). Trong không gianOxyz, cho đường thẳngd: x−2

−1 =

y−1

2 =

z

1 Đường

thẳngdcó vectơ phương

A. #»u2 = (2; 1; 0) B. #»u1 = (−1; 2; 1) C. #»u4 = (−1; 2; 0) D. #»u3= (2; 1; 1)

6.48 (Đề tham khảo 2020). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x−1

2 =

y−2

3 =

z+1

−1

Điểm thuộcd?

A. N(2; 3;−1) B. Q(−2;−3; 1) C. P(1; 2;−1) D. M(−1;−2; 1) 6.49 (Đề thức 2020). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x−2

4 =

y−1

−2 =

z+3

1

Điểm thuộcd?

A. P(2; 1;−3) B. M(2; 1; 3) C. N(4; 2; 1) D. Q(4;−2; 1)

6.50 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, điểm thuộc đường thẳngd: x+1

−1 =

y−2

3 =

z−1

3 ?

A. P(−1; 2; 1) B. N(−1; 3; 2) C. Q(1;−2;−1) D. M(1; 2; 1) 6.51 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, đường thẳngd: x−1

2 =

y−2

−1 =

z−3

2 qua

điểm đây?

A. N(−2; 1;−2) B. Q(2;−1; 2) C. M(−1;−2;−3) D. P(1; 2; 3)

6.52 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểmM(2; 3;−1)vàN(4; 5; 3)?

A. #»u1 = (3; 4; 1) B. #»u3 = (1; 1; 2) C. #»u4 = (1; 1; 1) D. #»u2= (3; 4; 2)

2 Phương trình đường thẳng

6.53 (Đề tham khảo 2017). Trong khơng gianOxyz, phương trình phương trình

tắc đường thẳngd:

  

 

x= 1+2t y= 3t z= −2+t

?

A. x−1

1 =

y

3 =

z+2

−2 B.

x+1

1 =

y

3 =

z−2

−2 C.

x+1

2 =

y

3 =

z−1

1 D.

x−1

2 =

y

3 =

z+2

1

6.54 (Đề thức 2020). Trong khơng gianOxyz, cho điểm M(1;−2; 3)và mặt phẳng(P) : 2x−

y+3z+1=0 Phương trình đường thẳng qua Mvà vng góc với(P)là A.     

x= −1+2t y= 2−t z= −3+3t

B.     

x= 2+t y= −1−2t z= 3+3t

C.     

x= 1−2t y= −2−t z= 3−3t

D.     

x= 1+2t y= −2−t z= 3+3t

6.55 (Đề thức 2017). Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 3; 0)và vng góc với mặt phẳng(P) : x+3y−z+5=0?

A.     

x= 1+3t y= 3t z= 1+t

B.     

x= 1+t y= 3t z= 1−t

C.     

x= 1+t y= 1+3t z= 1−t

D.     

x= 1+3t y= 3t z= 1−t

6.56 (Đề thức 2020). Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(1; 0; 1),B(1; 1; 0)vàC(3; 4;−1) Đường thẳng quaAvà song song vớiBCcó phương trình

A. x−1

4 =

y

5 =

z−1

−1 B.

x+1

4 =

y

5 =

z+1

−1 C.

x+1

2 =

y

3 =

z+1

−1 D.

x−1

2 =

y

3 =

z−1

§3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Nguyễn Minh Hiếu

6.57 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho hai điểm M(1; 0; 1)và N(3; 2;−1) Đường thẳngMN có phương trình tham số

A.     

x=1−t y=t z=1+t

B.     

x=1+t y=t z=1−t

C.     

x=1+2t y=2t z=1+t

D.     

x=1+t y=t z=1+t

6.58 (Đề thức 2019). Trong khơng gianOxyz, cho điểm A(1; 2; 0), B(2; 0; 2), C(2;−1; 3)

vàD(1; 1; 3) Đường thẳng quaCvà vng góc với mặt phẳng(ABD)có phương trình

A.     

x=−2+4t y=−4+3t z=2+t

B.     

x=2+4t y=−1+3t z=3−t

C.     

x=4+2t y=3−t z=1+3t

D.     

x=−2−4t y=−2−3t z=2−t

6.59 (Đề thức 2018). Trong khơng gianOxyz, cho điểmA(1; 2; 3)và đường thẳngd: x−3

2 =

y−1

1 =

z+7

−2 Đường thẳng quaA, vng góc vớidvà cắt trụcOxcó phương trình

A.     

x=−1+2t y=−2t z=t

B.     

x=−1+2t y=2t z=3t

C.     

x=1+t y=2+2t z=3+2t

D.     

x=1+t y=2+2t z=3+3t

6.60 (Đề thức 2017). Trong không gianOxyz, cho điểmM(−1; 1; 3)và hai đường thẳng∆: x−1

3 =

y+3

2 =

z−1

1 ,∆

0: x+1

1 =

y

3 =

z

−2 Phương trình phương trình đường thẳng qua

M, vng góc với∆và∆0.

A.     

x=−1−t y=1−t z=3+t

B.     

x=−t y=1+t z=3+t

C.     

x=−1−t y=1+t z=1+3t

D.     

x=−1−t y=1+t z=3+t

6.61 (Đề minh họa 2016). Trong không gianOxyz, cho điểmA(1; 0; 2)và đường thẳngdcó phương trình x−1

1 =

y

1 =

z+1

2 Viết phương trình đường thẳng∆đi quaA, vng góc cắtd

A. ∆: x−1

1 =

y

1 =

z+2

1 B. ∆:

x−1

2 =

y

2 =

z−2

C. ∆: x−1

1 =

y

−3 =

z−2

1 D. ∆:

x−1

1 =

y

1 =

z+2

−1

6.62 (Đề thức 2018). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

  

 

x=1+3t y=1+4t z=1

Gọi ∆ đường thẳng qua điểmA(1; 1; 1)và có vectơ phương #»u = (1;−2; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo bởidvà∆có phương trình

A.     

x=1+7t y=1+t z=1+5t

B.     

x=−1+2t y=−10+11t z=−6−5t

C.     

x=−1+2t y=−10+11t z=6−5t

D.     

x=1+3t y=1+4t z=1−5t

6.63 (Đề tham khảo 2018). Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(2; 2; 1), B

Å −8 3; 3; ã Đường thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giácOABvà vng góc với mặt phẳng(OAB)có phương trình

A. x+

1

1 =

y− 53 −2 =

z− 116

2 B.

x+1

1 =

y−8

−2 =

z−4

2

C. x+

2

1 =

y− 29 −2 =

z+ 59

2 D.

x+1

1 =

y−3

−2 =

z+1

3 Vị trí tương đối

6.64 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gianOxyz, cho đường thẳngd: x+1

1 =

y

−3 =

z−5

−1

mặt phẳng(P) : 3x−3y+2z+6= Mệnh đề đâyđúng?

A. dsong song với(P) B. dcắt khơng vng góc với(P) C. dvng góc với(P) D. dnằm trong(P)

6.65 (Đề minh họa 2016). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆có phương trình x−10

5 =

y−2

1 =

z+2

1 Xét mặt phẳng(P) : 10x+2y+mz+11=0,mlà tham số thực Tìm tất giá trị

củamđể mặt phẳng(P)vng góc với đường thẳng∆

A. m= −52 B. m= −2 C. m= D. m= 52

6.66 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gianOxyz, cho hai điểmA(−2; 3; 1)vàB(5;−6;−2) Đường thẳngABcắt mặt phẳng(Oxz)tại điểm M Tính tỉ số AM

BM A. AM

BM =2 B.

AM

BM =3 C.

AM BM =

1

2 D.

AM BM =

1

6.67 (Đề tham khảo 2017). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 6x− 2y+ z−35 = điểmA(−1; 3; 6) GọiA0là điểm đối xứng vớiAqua(P), tínhOA0

A. OA0 =5

√

3 B. OA0 =

√

186 C. OA0 =3

√

26 D. OA0 =

√

46

4 Góc khoảng cách

6.68 (Đề tham khảo 2017). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : 2x−2y−z+1=0và đường thẳng∆: x−1

2 =

y+2

1 =

z−1

2 Tính khoảng cáchdgiữa∆và(P)

A. d=

3 B. d=2 C. d=

5

3 D. d=

1

6.69 (Đề thức 2019). Trong không gianOxyz, cho điểm A(0; 4;−3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trụcOzvà cách trụcOzmột khoảng bằng3 Khi khoảng cách từAđếndnhỏ nhất, dđi qua điểm đây?

A. N(0; 3;−5) B. Q(0; 5;−3) C. P(−3; 0;−3) D. M(0;−3;−5)

§4 Bài Tốn Tổng Hợp

1 Phương trình mặt cầu

6.70 (Đề thử nghiệm 2017). Trong khơng gianOxyz, phương trình dây phương trình mặt cầu có tâmI(1; 2;−1)và tiếp xúc với mặt phẳng(P) : x−2y−2z−8=0?

A. (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2= B. (x+1)2+(y+2)2+(z−1)2 =9 C. (x+1)2+(y+2)2+(z−1)2= D. (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2 =3

6.71 (Đề minh họa 2016). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu(S)có tâm I(2; 1; 1)và mặt phẳng

(P) : 2x+y+2z+2 = Biết mặt phẳng(P) cắt mặt cầu(S)theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu(S)

A. (S) : (x+2)2+(y+1)2+(z+1)2 =8. B. (S) : (x+2)2+(y+1)2+(z+1)2 =10.

C. (S) : (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2 =10. D. (S) : (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2 =8.

6.72 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gianOxyz, xét điểm A(0; 0; 1), B(m; 0; 0),C(0;n; 0), D(1; 1; 1)vớim> 0;n>0vàm+n= 1.Biết khim,nthay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng(ABC)và quaD Tính bán kínhRcủa mặt cầu đó?

A. R=

2 B. R=

√

3

2 C. R= D. R=

√

§4 Bài Tốn Tổng Hợp Nguyễn Minh Hiếu

6.73 (Đề thức 2019). Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+Äz+

√

2ä2 = Có tất điểmA(a;b;c) (a,b,c số nguyên) thuộc mặt phẳng(Oxy)sao cho có hai tiếp tuyến của(S)đi quaAvà hai tiếp tuyến vng góc với nhau?

A. B. C. 12 D. 16

2 Phương trình mặt phẳng

6.74 (Đề thức 2020). Trong không gianOxyz, cho điểmM(2;−2; 3)và đường thẳngd: x−1

3 =

y+2

2 =

z−3

−1 Mặt phẳng quaMvà vng góc vớidcó phương trình

A. 3x+2y−z−1=0 B. 3x+2y−z+1=0 C. 2x−2y+3z−17=0 D. 2x−2y+3z+17=0

6.75 (Đề thức 2017). Trong khơng gianOxyz, phương trình phương trình mặt phẳng qua điểmM(3;−1; 1)và vng góc đường thẳng∆: x−1

3 =

y+2

−2 =

z−3

1 ?

A. 3x+2y+z−8=0 B. x−2y+3z+3=0 C. 3x−2y+z+12=0 D. 3x−2y+z−12=0

6.76 (Đề tham khảo 2020). Trong không gianOxyz, cho điểmM(2; 1; 0)và đường thẳng∆: x−3

1 =

y−1

4 =

z+1

−2 Mặt phẳng quaMvà vng góc với∆có phương trình

A. x+4y−2z+6=0 B. 3x+y−z+7=0 C. x+4y−2z−6=0 D. 3x+y−z−7=0

6.77 (Đề tham khảo 2020). Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm M(1; 1;−1) vng góc với đường thẳng∆: x+1

2 =

y−2

2 =

z−1

1 có phương trình

A. x−2y−z−2= B. 2x+2y+z−3=0 C. 2x+2y+ x+3=0 D. x−2y−z=

6.78 (Đề tham khảo 2017). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3; 2;−1) qua điểmA(2; 1; 2) Mặt phẳng tiếp xúc với(S)tạiA?

A. x+y−3z−8=0 B. x−y−3z+3=0 C. x+y+3z−9=0 D. x+y−3z+3=0

6.79 (Đề thức 2017). Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳngd1:

  

 

x= 1+3t y=−2+t z=2

,d2:

x−1

2 =

y+2

−1 =

z

2 mặt phẳng(P) : 2x+2y−3z=0 Phương trình phương trình mặt phẳng

đi qua giao điểm củad1 và(P), đồng thời vng góc vớid2?

A. 2x−y+2z+22=0 B. 2x−y+2z−13=0 C. 2x+y+2z−22=0 D. 2x−y+2z+13=0

6.80 (Đề thử nghiệm 2017). Trong không gianOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)song song cách hai đường thẳngd1:

x−2

−1 =

y

1 =

z

1 vàd2:

x

2 =

y−1

−1 =

z−2

−1

A. (P) : 2x−2z+1=0 B. (P) : 2x−2y+1=0

C. (P) : 2y−2z−1=0 D. (P) : 2y−2z+1=0

6.81 (Đề thức 2018). Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu(S) : (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2= 9

và điểm A(2; 3;−1) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với(S), M ln thuộc mặt phẳng có phương trình

A. 6x+8y+11= B. 3x+4y−2=0 C. 6x+8y−11= D. 3x+4y+2=0 6.82 (Đề tham khảo 2018). Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(1; 2; 1),B(3;−1; 1)vàC(−1;−1; 1) Gọi(S1)là mặt cầu có tâmA, bán kính 2;(S2)và(S3)là hai mặt cầu có tâm làB,Cvà

bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu(S1),(S2),(S3)?

3 Phương trình đường thẳng

6.83 (Đề tham khảo 2018). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

x−3

−1 =

y−3

−2 =

z+2 ; d2:

x−5

−3 =

y+1

2 =

z−2

1 mặt phẳng (P) : x+ 2y + 3z− = Đường thẳng vng

góc với(P), cắtd1vàd2có phương trình

A. x−3

1 =

y−3

2 =

z+2

3 B.

x−1

3 =

y+1

2 =

z

1

C. x−1

1 =

y+1

2 =

z

3 D.

x−2

1 =

y−3

2 =

z−1

3

6.84 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : x+y+z−3=0và đường thẳngd: x

1 =

y+1

2 =

z−2

−1 Hình chiếu vng góc củadtrên(P)có phương trình

A. x−1

1 =

y−1

4 =

z−1

−5 B.

x+1

−1 =

y+1

−4 =

z+1

5

C. x−1

1 =

y−4

1 =

z+5

1 D.

x−1

3 =

y−1

−2 =

z−1

−1

6.85 (Đề tham khảo 2017). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x−1

2 =

y+5

−1 =

z−3

4

Phương trình phương trình hình chiếu vng góc củadtrên mặt phẳngx+3=0? A.     

x= −3

y= −5−t z= −3+4t

B.     

x= −3

y= −5+2t z= 3−t

C.     

x= −3

y= −5+t z= 3+4t

D.     

x= −3

y= −6−t z= 7+4t

4 Bài toán cực trị

6.86 (Đề tham khảo 2019). Trong không gian Oxyz, cho hai điểmA(2;−2; 4), B(−3; 3;−1)và mặt phẳng(P) : 2x−y+2z−8=0 Xét Mlà điểm thay đổi thuộc(P), giá trị nhỏ của2MA2+3MB2

A. 135 B. 105 C. 145 D. 108

6.87 (Đề thức 2017). Trong khơng gianOxyz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+z2= 9, điểmM(1; 1; 2)

và mặt phẳng(P) : x+y+z−4= Gọi∆là đường thẳng quaM, nằm trong(P)và cắt(S)tại hai điểmA,Bsao choABnhỏ Biết rằng∆có vectơ phương là#»u(1;a;b) TínhT =a−b

A. T =−1 B. T =1 C. T =−2 D. T =0

6.88 (Đề tham khảo 2017). Cho mặt cầu tâmO, bán kínhR Xét mặt phẳng(P)thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn(C) Hình nón(N)có đỉnhS nằm mặt cầu, có đáy đường trịn(C)

và có chiều cao làh(h> R) Tínhhđể thể tích khối nón tạo nên bởi(N)có giá trị lớn A. h= 4R

3 B. h=

√

3R C. h= 3R

2 D. h=

√

2R

6.89 (Đề thức 2018). Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) qua điểmA(1;−2;−1) Xét điểmB,C,Dthuộc(S)sao choAB,AC,ADđơi vng góc với Thể tích khối tứ diệnABCDcó giá trị lớn

A. 72 B. 36 C. 216 D. 108

6.90 (Đề tham khảo 2017). Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng(P) : x−2y+2z−3=0và mặt cầu(S) : x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0 Giả sử điểm M∈(P)và N ∈(S)sao cho vectơ MN# »cùng phương với vectơ #»u(1; 0; 1)và khoảng cách Mvà Nlớn Tính MN

A. MN =14 B. MN =3 C. MN =3√2 D. MN =1+2√2 6.91 (Đề tham khảo 2019). Trong không gianOxyz, cho điểmE(2; 1; 3), mặt phẳng (P) : 2x+2y−

z−3 = 0và mặt cầu(S) : (x−3)2+(y−2)2 +(z−5)2 = 36 Gọi∆là đường thẳng qua E, nằm

§4 Bài Tốn Tổng Hợp Nguyễn Minh Hiếu

A.

  

 

x=2−5t y=1+3t z=3

B.

  

 

x=2+9t y=1+9t z=3+8t

C.

  

 

x=2+4t y=1+3t z=3−3t

D.

  

 

x=2+t y=1−t z=3

Số Phức

§1 Số Phức, Phép Tốn Số Phức

1 Các yếu tố số phức

7.1 (Đề thức 2020). Phần thực số phứcz= −3−4ibằng

A. B. C. −4 D. −3

7.2 (Đề thức 2018). Số phức−3+7icó phần ảo

A. −7 B. −3 C. D.

7.3 (Đề tham khảo 2017). Ký hiệua,blần lượt phần thực phần ảo số phức3−2√2i Tìm a,b

A. a= 3,b= −2

√

2 B. a= 3,b=

√

2 C. a= 3,b=

√

2 D. a=3,b= 7.4 (Đề thức 2017). Số phức số ảo?

A. z= 3i B. z= √3+i C. z=−2+3i D. z=−2 7.5 (Đề thức 2019). Số phức liên hợp số phức3−4ilà

A. −3+4i B. 3+4i C. −4+3i D. −3−4i 7.6 (Đề thức 2020). Số phức liên hợp số phứcz=−3+5ilà

A. z= 3−5i B. z= −3+5i C. z=−3−5i D. z=3+5i 7.7 (Đề tham khảo 2020). Số phức liên hợp số phứcz= 2+ilà

A. z= 2+i B. z= −2+i C. z=−2−i D. z=2−i 7.8 (Đề minh họa 2016). Cho số phứcz=3−2i Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực bằng3và Phần ảo bằng2 B Phần thực bằng3và Phần ảo bằng2i C Phần thực bằng−3và Phần ảo bằng−2i D Phần thực bằng−3và Phần ảo bằng−2 7.9 (Đề tham khảo 2020). Môđun số phức1+2ibằng

A. B. √5 C. D. √3

2 Tính tốn số phức

7.10 (Đề thức 2020). Cho hai số phứcz1= 3+2ivàz2 = 1−i Số phứcz1−z2bằng

A. −2−3i B. −2+3i C. 2+3i D. 2−3i 7.11 (Đề thức 2020). Cho hai số phứcz1= 3−2ivàz2 = 2+i Số phứcz1+z2bằng

A. −5+i B. −5−i C. 5−i D. 5+i

7.12 (Đề minh họa 2016). Cho hai số phức z1 = 1+ i z2 = 2− 3i Tính mơđun số phức

z1+z2

A. |z1+z2|=

√

5 B. |z1+z2|= C. |z1+z2|= D. |z1+z2|=

√

13 7.13 (Đề thức 2017). Cho hai số phứcz1 =5−7ivàz2= 2+3i Tìm số phứcz=z1+z2

§1 Số Phức, Phép Tốn Số Phức Nguyễn Minh Hiếu

7.14 (Đề tham khảo 2020). Cho hai số phứcz1= 2+ivàz2 =1+3i Phần thực số phứcz1+z2

bằng

A. B. C. −2 D.

7.15 (Đề tham khảo 2020). Cho hai số phứcz1 = −3+ivà z2 = 1−i Phần ảo số phứcz1+z2

bằng

A. −2 B. 2i C. D. −2i

7.16 (Đề minh họa 2016). Cho số phứcz= 2+5i Tìm số phứcw=iz+z

A. w=3+7i B. w=−3−3i C. w=7−3i D. w=−7−7i 7.17 (Đề tham khảo 2020). Cho hai số phứcz1 = 3−i,z2 =−1+i Phần ảo số phứcz1z2bằng

A. −i B. 4i C. D. −1

7.18 (Đề tham khảo 2017). Tính mơđun số phứczbiếtz= (4−3i)(1+i)

A. |z|= 7√2 B. |z|= √2 C. |z|= 5√2 D. |z|= 25√2 7.19 (Đề thức 2020). Cho hai số phứcz= 1+2ivàw= 3+i Môđun số phứcz·wbằng

A. 26 B. 50 C. 5√2 D. √26 7.20 (Đề thức 2020). Cho số phứcz=1−2i, số phức(2+3i)zbằng

A. −8+i B. −4+7i C. −4−7i D. 8+i 7.21 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm số phức liên hợp số phứcz=i(3i+1)

A. z=3+i B. z=−3−i C. z=−3+i D. z=3−i 7.22 (Đề thử nghiệm 2017). Tính mơđun số phứczthỏa mãnz(2−i)+13i=1

A. |z|= 34 B. |z|= √

34

3 C. |z|=

√

34

3 D. |z|=

√

34

3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

7.23 (Đề thức 2018). Tìm hai số thựcxvàythỏa mãn(2x−3yi)+(1−3i)= x+6ivớiilà đơn vị ảo

A. x=1;y=−1 B. x=−1;y=−3 C. x=1;y=−3 D. x=−1;y=−1 7.24 (Đề tham khảo 2019). Tìm số thực avà bthỏa mãn2a+(b+1)i = 1+2ivới ilà đơn vị ảo

A. a=

2,b= B. a=0,b=1 C. a=0,b=2 D. a=1,b=2

7.25 (Đề thử nghiệm 2017). Cho số phứcz=a+bi (a,b∈R)thỏa mãn(1+i)z+2z=3+2i Tính P= a+b

A. P=

2 B. P= −1 C. P= D. P= −

1

7.26 (Đề thức 2019). Cho số phứczthỏa mãn3(z+i)−(2−i)z=3+10i Môđun củazbằng

A. B. √5 C. √3 D.

7.27 (Đề thức 2017). Cho số phứcz = a+bi(a,b ∈ R) thỏa mãnz+1+3i− |z|i = Tính S =a+3b

A. S =−7

3 B. S =

7

3 C. S =5 D. S =−5

7.28 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có số phứczthỏa mãn đồng thời điều kiện|z−i|=

vàz2là số ảo?

A. B. C. D.

7.29 (Đề thử nghiệm 2017). Xét số phứczthỏa mãn(1+2i)|z|= √

10

z −2+i Mệnh đề đúng?

A.

2 <|z|<2 B. |z|<

2 C.

1

2 <|z|<

2 D. |z|>

7.30 (Đề tham khảo 2019). Có số phức z thỏa mãn |z|2 = 2|z +z| +4 và |z − 1− i| =

|z−3+3i|?

7.31 (Đề thức 2017). Có số phứczthỏa mãn|z−3i|= 5và z

z−4 số ảo?

A. B. C. D Vô số.

7.32 (Đề tham khảo 2018). Cho số phứcz= a+bi (a,b∈R)thỏa mãnz+2+i− |z|(1+i) = 0và

|z|> TínhP= a+b

A. P=−5 B. P=3 C. P=−1 D. P=7 7.33 (Đề thức 2018). Có số phứczthoả mãn|z|(z−4−i)+2i= (5−i)z?

A. B. C. D.

§2 Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức

1 Biểu diễn hình học số phức

7.34 (Đề tham khảo 2020). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phứcz= −1+2ilà điểm đây?

A. N(1;−2) B. M(−1;−2) C. Q(1; 2) D. P(−1; 2)

7.35 (Đề thức 2020). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức z= −3+4i?

A. P(−3; 4) B. N(3; 4) C. M(4; 3) D. Q(4;−3)

7.36 (Đề thức 2020). Trên mặt phẳng tọa độ, biết M(−3; 1)là điểm biểu diễn số phức z Phần thực củazbằng

A. B. −1 C. D. −3

7.37 (Đề thử nghiệm 2017). Điểm Mtrong hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz Tìm phần thực phần ảo số phứcz

A Phần thực là3và phần ảo là−4i B Phần thực là3và phần ảo là−4 C Phần thực là−4và phần ảo là3i D Phần thực là−4và phần ảo là3

x y

O

−4

M

7.38 (Đề tham khảo 2019). Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phứcz= −1+2i?

A. Q B. N C. P D. M

x y

O

−2 −1

−1

M N P

Q

7.39 (Đề tham khảo 2018). ĐiểmMtrong hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A. z= 2+i B. z= 1−2i C. z= −2+i D. z=1+2i

x y

−2 M

1

7.40 (Đề minh họa 2016). Cho số phứczthỏa mãn(1+i)z = 3−i Hỏi điểm biểu diễn củazlà điểm điểm M,N,P,Qở hình bên?

A ĐiểmQ B Điểm N C ĐiểmP D Điểm M

x y

O M N

P Q

7.41 (Đề tham khảo 2017). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm Mlà điểm biểu diễn số phứcz(như hình vẽ bên) Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức2z?

A ĐiểmN B Điểm P C ĐiểmE D Điểm Q x y

O N

Q E

§3 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức Nguyễn Minh Hiếu

7.42 (Đề thức 2020). Gọiz0là nghiệm phức có phần ảo dương phương trìnhz2+6z+13=

0 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức1−z0là

A. P(4;−2) B. Q(2;−2) C. M(4; 2) D. N(−2; 2)

7.43 (Đề tham khảo 2020). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biễu diễn số phứcz= (1+2i)2là điểm đây?

A. N(4;−3) B. Q(5; 4) C. M(4; 5) D. P(−3; 4)

7.44 (Đề thức 2019). Cho hai số phứcz1 = 1−ivà z2 = 1+2i Trên mặt phẳng tọa độOxy,

điểm biểu diễn số phức3z1+z2có tọa độ

A. (4; 1) B. (−1; 4) C. (1; 4) D. (4;−1)

7.45 (Đề thức 2017). Cho số phức z = 1− 2i Điểm điểm biểu diễn số phứcw= iztrên mặt phẳng tọa độ?

A. P(−2; 1) B. N(2; 1) C. Q(1; 2) D. M(1;−2)

2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

7.46 (Đề minh họa 2016). Cho số phứczthỏa mãn|z|=4 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phứcw=(3+4i)z+ilà đường trịn Tính bán kínhrcủa đường trịn

A. r= B. r= 20 C. r= D. r= 22

7.47 (Đề thức 2018). Xét điểm số phứczthỏa mãn(z+i)(z+2)là số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phứczlà đường trịn có bán kính

A.

4 B.

√

5

2 C. D.

√

3

7.48 (Đề tham khảo 2019). Xét số phứczthỏa mãn(z+2i) (z+2)là số ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn củazlà đường trịn, tâm đường trịn có tọa độ

A. (−1; 1) B. (1;−1) C. (−1;−1) D. (1; 1)

7.49 (Đề thức 2019). Xét số phức zthỏa mãn |z| = √2 Trên mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcw= 4+iz

1+z đường trịn có bán kính

A. 34 B. 26 C. √34 D. √26

§3 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức

1 Phương trình bậc hai

7.50 (Đề thức 2020). Gọiz1vàz2là hai nghiệm phức phương trìnhz2+z+2=0 Khi

|z1|+|z2|bằng

A. √2 B. C. D. 2√2

7.51 (Đề tham khảo 2017). Ký hiệuz1vàz2là hai nghiệm phức phương trìnhz2+z+1= Tính

P= z2 1+z

2

2+z1z2

A. P= −1 B. P= C. P= D. P=

7.52 (Đề tham khảo 2019). Kí hiệuz1,z2là hai nghiệm phức phương trìnhz2−3z+5 = Giá

trị của|z1|+|z2|bằng

A. B.

√

5 C. 10 D. √5

7.53 (Đề thức 2019). Gọiz1, z2là hai nghiệm phương trình z2−6z+10 = Giá trị

z21+z22bằng

A. 26 B. 16 C. 20 D. 56

7.54 (Đề tham khảo 2020). Gọiz0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trìnhz2−2z+5=0

Mơđun số phứcz0+ibằng

7.55 (Đề tham khảo 2018). Gọiz1và z2là hai nghiệm phức phương trình4z2−4z+3= Giá

trị biểu thức|z1|+|z2|bằng

A. B. 2√3 C. 3√2 D. √3

7.56 (Đề thử nghiệm 2017). Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4z2 −

16z+17= Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phứcw= iz0?

A. M4 Å

1 4;

ã

B. M1 Å

1 2;

ã

C. M3 Å

−1

4;

ã

D. M2 Å

−1

2;

ã

7.57 (Đề thức 2017). Phương trình nhận hai số phức 1+ √2i − √2i nghiệm?

A. z2+2z+3=0 B. z2−2z−3=0 C. z2−2z+3=0 D. z2+2z−3=0

2 Phương trình đưa phương trình bậc hai

7.58 (Đề minh họa 2016). Kí hiệuz1,z2,z3vàz4là bốn nghiệm phức phương trìnhz4−z2−12=

Tính tổngT =|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

A. T =4+2√3 B. T =2+2√3 C. T =2√3 D. T =4

§4 Cực Trị Số Phức

1 Phương pháp hình học

7.59 (Đề tham khảo 2017). Xét số phứczthỏa mãn|z+2−i|+|z−4−7i|=6√2 Gọim,Mlần lượt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của|z−1+i| TínhP= m+M

A. P=

√

2+2

√

73

2 B. P=

5

√

2+

√

73

2 C. P=5

√

2+ √73 D. P= √13+ √73

2 Phương pháp đại số

7.60 (Đề tham khảo 2018). Xét số phứcz = a+bi (a,b∈R)thỏa mãn|z−4−3i|= √5 Tính P=a+bkhi|z+1−3i|+|z−1+i|đạt giá trị lớn

Tổ Hợp, Xác Suất

§1 Tổ Hợp

1 Quy tắc đếm

8.1 (Đề tham khảo 2020). Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, có cách chọn học sinh?

A. B. 48 C. 14 D.

8.2 (Đề thức 2020). Có cách chọn học sinh từ nhóm học sinh gồm5học sinh nam và6học sinh nữ?

A. B. 11 C. D. 30

2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

8.3 (Đề tham khảo 2019). Với k nlà hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k 6 n, mệnh đề đâyđúng?

A. Ckn =

k!(n−k)!

n! B. C

k n =

n!

k!(n−k)! C. C

k n=

n!

(n−k)! D. C

k n=

n!

k!

8.4 (Đề tham khảo 2018). Cho tập hợpM có 10 phần tử Số tập gồm phần tử củaMlà A. C2

10 B. A

2

10 C. A

8

10 D. 10 2.

8.5 (Đề thức 2019). Số cách chọn học sinh từ học sinh A. A2

7 B.

7. C. C2

7 D.

2.

8.6 (Đề tham khảo 2020). Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh? A. C2

10 B. 10

2. C. A2

10 D.

10.

8.7 (Đề thức 2018). Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm34học sinh? A. 234. B. C2

34 C. A

2

34 D. 34 2.

8.8 (Đề thức 2020). Có cách xếp6học sinh thành hàng dọc?

A. B. C. 36 D. 720

3 Nhị thức Newton

8.9 (Đề tham khảo 2018). Với nlà số nghuyên dương thỏa mãnC1

n+C2n = 55, số hạng không chứa

xtrong khai triển biểu thức

Å

x3+

x2 ãn

bằng

A. 322560 B. 80640 C. 13440 D. 3360

8.10 (Đề thức 2018). Hệ số củax5trong khai triển nhị thứcx(2x−1)6+(3x−1)8bằng

§2 Xác Suất Nguyễn Minh Hiếu

§2 Xác Suất

1 Bài toán đếm tổ hợp

8.11 (Đề thức 2018). Từ hộp chứa11quả cầu đỏ và4quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời3quả cầu Xác suất để lấy được3quả cầu màu xanh

A.

455 B.

33

91 C.

24

455 D.

4 165

8.12 (Đề tham khảo 2018). Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu màu xanh cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp Xác suất để cầu chọn màu

A.

11 B.

6

11 C.

8

11 D.

5 22

2 Bài toán xếp chỗ ngồi

8.13 (Đề tham khảo 2019). Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ

A.

10 B.

3

5 C.

1

20 D.

2

8.14 (Đề tham khảo 2020). Có ghế kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B

A.

15 B.

1

5 C.

3

20 D.

1

8.15 (Đề tham khảo 2018). Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh

A.

42 B.

11

630 C.

1

105 D.

1 126

3 Bài toán đếm số

8.16 (Đề thức 2020). GọiS tập hợp tất số tự nhiên có6 chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộcS, xác suất để số có hai chữ số tận khác tính chẵn, lẻ

A.

2 B.

50

81 C.

5

9 D.

5 18

8.17 (Đề thức 2019). Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ25số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn

A.

2 B.

13

25 C.

313

625 D.

12 25

8.18 (Đề tham khảo 2020). Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đôi khác Xác suất để số chọn có tổng chữ số chẵn

A.

2 B.

16

81 C.

4

9 D.

41 81

8.19 (Đề thức 2020). GọiS tập hợp tất số tự nhiên có4chữ số đơi khác chữ số thuộc tập hợp{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơngcó hai chữ số liên tiếp chẵn

A.

21 B.

65

126 C.

55

126 D.

25 42

8.20 (Đề thức 2018). Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn[1; 17] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho3bằng

A. 1079

4913 B.

1728

4913 C.

1637

4913 D.

Dãy Số, Giới Hạn, Đạo Hàm

§1 Dãy Số, Cấp Số

1 Cấp số cộng

9.1 (Đề thức 2020). Cho cấp số cộng (un) với u1 = 11 công sai d = Giá trị u2

bằng

A. B. 14 C. 33 D. 11

3

9.2 (Đề tham khảo 2019). Cho cấp số cộng(un)có số hạng đầuu1 =2và cơng said =5 Giá trị

u4bằng

A. 22 B. 250 C. 12 D. 17

9.3 (Đề tham khảo 2020). Cho cấp số cộng (un)với u1 = 3và u2 = Công sai cấp số cộng

cho

A. −6 B. 12 C. D.

9.4 (Đề thức 2019). Cho cấp số cộng(un)vớiu1 = 3và u2 = Công sai cấp số cộng

cho

A. B. −6 C. 12 D.

2 Cấp số nhân

9.5 (Đề thức 2020). Cho cấp số nhân(un)vớiu1= 3và cơng bộiq=2 Giá trị củau2bằng

A. B. C. D.

2

9.6 (Đề tham khảo 2020). Cho cấp số nhân(un)vớiu1 = 2vàu2 = Công bội cấp số nhân

cho

A. B. −4 C.

3 D.

§2 Giới Hạn, Đạo Hàm

1 Giới hạn

9.7 (Đề thức 2018). lim

5n+3

A. B. +∞ C.

5 D.

1

9.8 (Đề tham khảo 2018). lim

x→+∞

x−2

x+3

A. −2

§2 Giới Hạn, Đạo Hàm Nguyễn Minh Hiếu

2 Liên tục

9.9 (Đề tham khảo 2019). Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình m2 x4−1

+m x2−1

−(x−1)> 0đúng với x∈R Tổng giá trị tất phần tử thuộc S

A.

2 B. C. −

1

2 D. −

3

3 Phương trình tiếp tuyến

9.10 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy= −x+2

x−1 có đồ thị(C)và điểmA(a; 1) GọiS tập hợp

tất giá trị thực củaađể có tiếp tuyến của(C)đi quaA Tổng giá trị tất phần tử củaS

A. B.

2 C.

3

2 D.

Góc Và Khoảng Cách

§1 Góc

1 Góc hai đường thẳng

10.1 (Đề tham khảo 2018). Cho tứ diệnOABC có OA, OB, OC đơi vng góc với vàOA=OB=OC Gọi Mlà trung điểm củaBC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳngOMvàABbằng

A. 60◦. B. 90◦. C. 45◦. D. 30◦.

O A

B M C

2 Góc đường thẳng mặt phẳng

10.2 (Đề thức 2020). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = BC = a, AA0 =

√

6a(tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A0Cvà mặt phẳng(ABCD)bằng

A. 90◦ B. 45◦ C. 30◦ D. 60◦

A

B C

D A0

B0 C0

D0

10.3 (Đề thức 2018). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,S Avng góc với mặt phẳng đáy vàS B=2a Góc đường thẳngS Bvà mặt phẳng đáy

A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦

10.4 (Đề tham khảo 2020). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnh √3a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = √2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng S C mặt phẳng

(ABCD)bằng

A. 45◦ B. 30◦ C. 90◦ D. 60◦

S

A

B C

§1 Góc Nguyễn Minh Hiếu

10.5 (Đề thức 2019). Cho hình chópS.ABCcóS Avng góc với mặt phẳng(ABC), S A = 2a, tam giác ABC vuông B, AB = √3avà BC = a(minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳngS C mặt phẳng(ABC)bằng

A. 30◦ B. 60◦ C. 90◦ D. 45◦

B A

S

C

10.6 (Đề tham khảo 2020). Cho hình chópS.ABCcóS Avng góc với mặt phẳng(ABC),S A =a

√

2, tam giácABCvng cân tạiBvà AC = 2a(minh họa hình bên) Góc đường thẳngS Bvà mặt phẳng(ABC)bằng

A. 45◦ B. 90◦ C. 60◦ D. 30◦

A

B

C S

10.7 (Đề thức 2020). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a; S A vng góc với mặt phẳng đáy, S A=a

√

15 Góc đường thẳngS Cvà mặt phẳng đáy A. 90◦ B. 60◦ C. 30◦ D. 45◦

A C

B S

10.8 (Đề tham khảo 2018). Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có tất cạnh bằnga Gọi Mlà trung điểm củaS D(tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng

(ABCD)bằng A.

√

2

2 B.

1

3 C.

2

3 D.

√

3

S

M

B C

A D

3 Góc hai mặt phẳng

10.9 (Đề tham khảo 2019). Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Góc hai mặt phẳng(A0B0CD)

và(ABC0D0)bằng

A. 90◦ B. 30◦ C. 45◦ D. 60◦

10.10 (Đề thức 2018). Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có tâm O Gọi I tâm hình vng A0B0C0D0 M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng(MC0D0) và

(MAB)bằng A. 17

√

13

65 B.

6√13

65 C.

6√85

85 D.

7√85 85

A

B C

D

A0

B0 C0

D0

M O

10.11 (Đề tham khảo 2018). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2√3 AA0 = Gọi M,N,P trung điểm cạnhA0B0,A0C0vàBC(tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng(AB0C0)và(MNP)bằng

A. 17

√

13

65 B.

18

√

13

65 C.

√

13

65 D.

6

√

13 65

B B0

P

A A0 C C0

N M

P

§2 Khoảng Cách

1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

10.12 (Đề thức 2018). Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác vng đỉnh B, AB = a, S A vng góc với mặt phẳng đáy vàS A=2a Khoảng cách từ Ađến mặt phẳng(S BC)bằng

A.

√

5a

5 B.

2

√

2a

3 C.

2

√

5a

5 D.

√

5a

3

10.13 (Đề thức 2020). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cạnh bằnga Gọi M trung điểm củaCC0 (tham khảo hình bên) Khoảng cách từMđến mặt phẳngA0BC bằng

A.

√

2a

2 B.

√

21a

14 C.

√

2a

4 D.

√

21a

7

A

B

C A0

B0

C0

M

10.14 (Đề thức 2019). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha, mặt bên(S AB)là tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từAđến mặt phẳng(S BD)bằng

A. a

√

21

14 B.

a

√

2

2 C.

a

√

21

7 D.

a

√

21

28 A

B C

D S

10.15 (Đề tham khảo 2019). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thoi cạnha,BAD‘ =60◦,S A=a

vàS Avng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từBđến mặt phẳng(S CD)bằng A.

√

21a

7 B.

√

21a

3 C.

√

15a

3 D.

√

15a

§2 Khoảng Cách Nguyễn Minh Hiếu

2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

10.16 (Đề tham khảo 2018). Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có

cạnh bằnga (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BDvàA0C0bằng

A.

√

3a

2 B.

√

2a C. √3a D. a

A D

B C

A0

B0 C0 D0

10.17 (Đề thức 2018). Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật,AB= a,BC =

2a, S A vng góc với mặt phẳng đáy S A = a Khoảng cách hai đường thẳng AC S B

A. 2a

3 B.

a

3 C.

a

2 D.

√

6a

2

10.18 (Đề tham khảo 2020). Cho hình chópS.ABCcó đáy tam giác vng tạiA, AB= 2a, AC = 4a, S Avng góc với mặt phẳng đáy S A=a(minh họa hình vẽ) GọiMlà trung điểm củaAB Khoảng cách hai đường thẳngS MvàBC

A. a

2 B.

a√3

3 C.

a√6

3 D.

2a

3 A B

C

M S

10.19 (Đề thức 2020). Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vng cân A, AB = a; S Avng góc với mặt phẳng đáy vàS A = √3a Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường thẳngAC vàS Mbằng

A.

√

2a

2 B.

√

21a

7 C.

√

39a

13 D.

a

2 A

B

C M S

10.20 (Đề tham khảo 2020). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, S A vng góc với mặt phẳng đáy vàS A = 3a(minh họa hình bên) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳngS Bvà DMbằng

A.

√

13a

13 B.

3a

4 C.

3a

2 D.

6√13a

13 A B

C D

S

0

915-333-629

PHÂN LOẠI CÂU HỎI

TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

x y

O a b

y= f(x)

PHÂN LOẠI CÂU HỎI

TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

x y

O a b

y= f(x)

Chuyên đề Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 7

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số §2 Cực Trị Của Hàm Số 14 §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số 19 §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số 27 §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số 30

Chuyên đề Khối Đa Diện 51

§1 Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Khối Đa Diện 51 §2 Thể Tích Khối Chóp 52 §3 Thể Tích Khối Lăng Trụ 55 §4 Tỉ Số Thể Tích 58

Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit 65

§1 Lũy Thừa 65 §2 Lơgarit 65 §3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit 70 §4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ 73 §5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit 77 §6 Bài Tốn Thực Tế 87

Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu 91

§1 Mặt Nón 91 §2 Mặt Trụ 94 §3 Mặt Cầu 98

Chuyên đề Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng 103

§1 Nguyên Hàm 103 §2 Tích Phân 108 §3 Ứng Dụng Của Tích Phân 118

Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Khơng Gian 127

§1 Tọa Độ Trong Khơng Gian 127 §2 Phương Trình Mặt Phẳng 130 §3 Phương Trình Đường Thẳng Trong Khơng Gian 134 §4 Bài Toán Tổng Hợp 140

Chuyên đề Số Phức 149

MỤC LỤC Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề Tổ Hợp, Xác Suất 161

§1 Tổ Hợp 161 §2 Xác Suất 162

Chuyên đề Dãy Số, Giới Hạn, Đạo Hàm 167

§1 Dãy Số, Cấp Số 167 §2 Giới Hạn, Đạo Hàm 168

Chuyên đề 10 Góc Và Khoảng Cách 171

Ứng Dụng Của Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

1 Tính đơn điệu hàm số cho công thức

1.1 (Đề minh họa 2016). Hỏi hàm sốy=2x4+1đồng biến khoảng nào?

A (−∞; 0) B (0;+∞) C

Å

−∞;−1

2 ã

D

Å

−1

2;+∞

ã

Lời giải.

Ta cóy0 =8x3;y0 =

0⇔ x= Bảng biến thiên x

y0 y

−∞ +∞

− +

+∞ +∞

1

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên(0;+∞)

Chọn phương ánB.

1.2 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy= x3+3x+2 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;+∞)

B Hàm số đồng biến khoảng(−∞; 0)và nghịch biến khoảng(0;+∞)

C Hàm số nghịch biến khoảng(−∞; 0)và đồng biến khoảng(0;+∞)

D Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞)

Lời giải.

Ta cóy0 =3x2+3>0,∀x∈(−∞;+∞)nên hàm số đồng biến trên(−∞;+∞)

Chọn phương ánD.

1.3 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= x−2

x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số đồng biến khoảng(−∞;−1) B Hàm số nghịch biến khoảng(−1;+∞)

C Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng(−∞;−1)

Lời giải.

Ta cóy0 =

(x+1)2 > 0,∀x∈R\{−1}nên hàm số đồng biến khoảng(−∞;−1)

Chọn phương ánA.

1.4 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= x3−2x2+ x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng

Å

1 3;

ã

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

C Hàm số đồng biến khoảng

Å1 3;

ã

D Hàm số nghịch biến khoảng

Å

−∞;1

ã

Lời giải.

Ta cóy0 =3x2−4x+1;y0 =0⇔





x=

x=

3

Bảng biến thiên

x y0 y

−∞ 13 1 +∞

+ − −∞

−∞

31 27 31 27

1

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng

Å 3;

ã

Chọn phương ánA.

1.5 (Đề thức 2017). Hàm sốy=

x2+1 nghịch biến khoảng đây?

A (−∞;+∞) B (−∞; 0) C (−1; 1) D (0;+∞)

Lời giải.

C1: Ta cóy0 =− 4x

x2+12;y =

0⇔ x=0 Bảng biến thiên

x y0 y

−∞ +∞

+ −

0

2

0

Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến trên(0;+∞)

C2: Sử dụng máy tính, chọn MODE Nhập vào hàm

x2+1 Chọn Start−2, End2, Step 0,5

Dò cột f(x)ta thấy hàm số đồng biến trên(−2; 0)và nghịch biến trên(0; 2) Từ suy hàm số nghịch biến trên(0;+∞)

Chọn phương ánD.

1.6 (Đề tham khảo 2017). Hàm số đồng biến khoảng(−∞;+∞)?

A y=2x3−5x+1. B. y= x−2

x+1 C y=3x

3+3x−2. D. y= x4+3x2.

Lời giải.

Loại phương ány= x−2

x+1 hàm sốy=

x−2

x+1 không xác định tạix=−1

Loại phương ány= x4+3x2vì hàm số trùng phương khơng thể đồng biến khoảng(−∞;+∞) Chọn phương ány=3x3+3x−2vì ta cóy0 = 9x2+3> 0,∀x∈(−∞;+∞).

Chọn phương ánC.

2 Tính đơn điệu hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.7 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy= f(x)có

bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−1; 1) B (−1; 0)

C (0; 1) D (1;+∞)

x y0 y

−∞ −1 +∞

+ − + − −∞

−∞

2

1

2

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng(−∞;−1)và(0; 1)

Chọn phương ánC.

1.8 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (0;+∞) B (2;+∞)

C (0; 2) D (−2; 0)

x f0(x)

f(x)

−∞ −2 +∞

− + − +

+∞ +∞

1

3

1

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số nghịch biến khoảng(−∞;−2)và(0; 2)

Chọn phương ánC.

1.9 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm sốy= f(x)nghịch biến khoảng đây?

A (−∞;−2) B (−2; 0)

C (0;+∞) D (0; 2)

x y0 y

−∞ −2 +∞

+ − 0 + 0 − −∞

−∞

3

−1

−1

3

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến hai khoảng(−2; 0)và(2;+∞)

Chọn phương ánB.

1.10 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−1; 0) B (−1; 1)

C (0; 1) D (−∞;−1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− + − +

+∞ +∞

−1

−1

4

−1

−1

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy hàm số đồng biến khoảng(−1; 0)và(1;+∞)

Chọn phương ánA.

1.11 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy= f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (−1; 0) B (−∞; 0)

C (0; 1) D (1;+∞)

x y0 y

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

−2

−2

3

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho nghịch biến khoảng(0; 1)

Chọn phương ánC.

1.12 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (−∞; 0) B (0; 1)

C (−1; 0) D (−∞;−1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − + − −∞

−∞

2

−1

−1

2

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy hàm số nghịch biến khoảng(1−; 0)và(1;+∞)

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.13 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy = f(x)có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−1; 1) B (−1; 0) C (−∞;−1) D (0; 1)

x y

O

−1

−1

−2

Lời giải.

Từ hình vẽ, dễ thấy hàm số đồng biến khoảng(−1; 0)và(1;+∞)

Chọn phương ánB.

1.14 (Đề thức 2020). Cho hàm sốy= f(x)có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−1; 0) B (0; 1) C (−∞; 0) D (1;+∞)

x y

O

−1

1

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy hàm số cho đồng biến khoảng(−∞;−1)và(0; 1)

Chọn phương ánB.

3 Tính đơn điệu hàm số hợp

1.15 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số y = f(x) Hàm số y= f0(x)có đồ thị hình bên Hàm sốy= f(2−x)đồng biến

trên khoảng

A (−2; 1) B (1; 3) C (2;+∞) D (−∞;−2)

x y

O

1

−1

Lời giải.

Xét hàm sốy= f(2−x)ta cóy0= −f0(2− x)

Hàm số đồng biến trên(a;b)khi khiy0 >0,∀x∈(a;b)⇔ f(2−x)<0,∀x∈(a;b) Nhìn vào đồ thị ta thấy f(2− x)<0khi

ñ

2− x<−1 1< 2−x<4 ⇔

ñ

x>

−2< x<1

Hay hàm sốy= f(2−x)đồng biến hai khoảng(−2; 1)và(3;+∞)

Chọn phương ánA.

1.16 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu f0(x) như hình

bên Hàm số y = f(3− 2x) nghịch biến

trên khoảng dây?

A (1; 2) B (4;+∞)

C (2; 4) D (−2; 1)

x f0(x)

−∞ −3 −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

Lời giải.

Hàm số f0(x) xác định trên

R nên hàm số y = f(3 −2x) có tập xác định D = R Ta có y0 =

−2f0(3−2x) Từ bảng xét dấu f0(x), suy

y0 = 0⇔ f0(3−2x)=0⇔



 

3−2x=−3

3−2x=−1

3−2x=1

⇔



 

x=

x=

Bảng biến thiên

x y0

y

−∞ 1 2 3 +∞

− 0 + 0 − 0 +

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số y = f(3−2x)nghịch biến khoảng(−∞; 1)và (2; 3) Do hàm sốy= f(3−2x)nghịch biến khoảng(−2; 1)

Chọn phương ánD.

1.17 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu đạo hàm sau x

f0(x)

−∞ +∞

− 0 + 0 + 0 − 0 +

Hàm sốy=3f(x+2)−x3+3xđồng biến khoảng đây?

A (0; 2) B (1;+∞) C (−1; 0) D (−∞;−1)

Lời giải.

C1: Ta cóy0 = 3f0(x+2)−3x2+3.

Ta cóy0

Å

ã

=3f

Å

ã

− 15

4 <0nên loại phương án(1;+∞)và(0; 2)

Lại cóy0(−2)=3f(0)−9<0nên loại phương án(−∞;−1) C2: Ta cóy0 = 3f0(x+2)−3x2+3= 3f0(x+2)+1−x2

Với x∈(−1; 0)⇒ x+2∈(1; 2), từ bảng xét dấu suy f0(x+2)>0.

Hơn khix∈(−1; 0)thì1−x2 >0nên suy ray0 >0,∀x∈(−1; 0)

Chọn phương ánC.

1.18 (Đề thức 2018). Cho hai hàm sốy= f(x),y=g(x) Hai hàm sốy= f0(x)vày=g0(x)

có đồ thị hình vẽ bên, đường cong

đậm hơn đồ thị hàm sốy = g0(x) Hàm sốh(x)= f(x+4)−g

Å

2x−

2 ã

đồng biến khoảng đây?

A

Å

6;25

4 ã

B

Å

9 4;

ã

C

Å 31

5 ;+∞

ã

D

Å

5;31

5 ã

x y

O

3 10 11 10

8

y=f0(x)

y=g0(x)

Lời giải.

Ta cóh0(x)= f0(x+4)−2g0

Å

2x−

2 ã

Xét x= 6,1, ta cóh0(6,1)= f0(10,1)−2g0(10,7); từ đồ thị ta có f0(10,1)< f0(10)= 8và2g0(10,7)>

2g0(11)=8⇒ h0(6,1)<0nên loại phương án A D

Xét x = 6,25, ta có h0(6,25) = f0(10,25) − 2g0(11); từ đồ thị ta có f0(10,25) < f0(10) =

2g0(1)=8⇒ h0(6,25)<0nên loại phương án C.

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

4 Điều kiện đơn điệu hàm sốy= ax3 +bx2 +cx+d

1.19 (Đề tham khảo 2020). Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số f(x) =

3x

3+mx2+4x+3đồng biến trên R?

A B C D

Lời giải.

Ta cóy0 = x2+2mx+4;∆0=

m2−4

Hàm số cho đồng biến trênRkhi ®

a>0

∆0

6 ⇔

® 1>

m2−46 ⇔ −26m6

Vìm∈Znênm∈ {−2,−1,0,1,2}

Vậy có5giá trị ngun củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánB.

1.20 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy = −x3 −mx2+(4m+9)x+5 với mlà tham số Có bao

nhiêu giá trị nguyên củamđể hàm số nghịch biến khoảng(−∞;+∞)?

A B C D

Lời giải.

Ta cóy0 =−3x2−2mx+4m+9;∆0 =

m2+3(4m+9)=m2+12m+27 Hàm số nghịch biến trên(−∞;+∞)khi khi∆0

6 0⇔m2+12m+276 0⇔ −96 m6−3.

Suy có giá trị nguyên củamđể hàm số nghịch biến trên(−∞;+∞)

Chọn phương ánA.

1.21 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có số nguyênmđể hàm sốy= m2−1x3+(m−1)x2− x+4nghịch biến khoảng(−∞;+∞)?

A B C D

Lời giải.

TH1: m= 1ta cóy=−x+4nên nghịch biến trên(−∞;+∞)(thỏa mãn ycbt)

TH2: m = −1ta cóy= −2x2−x+4có đồ thị parabol nên nghịch biến trên(−∞;+∞)

(khơng thỏa mãn ycbt)

TH3: m ,±1ta cóy0 = 3(m2−1)x2+2(m−1)x−1 Do hàm số nghịch biến trên(−∞;+∞)

thìm2−1< 0 Vìm∈

Znênm=0 Vớim= 0ta cóy0 =−3x2−2x−1có∆0 =1−3=−2<

nên hàm số nghịch biến trên(−∞;+∞)(thỏa mãn ycbt) Vậy có giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánB.

5 Điều kiện đơn điệu hàm sốy= ax+b cx+d

1.22 (Đề thức 2020). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy= x+4 x+m đồng biến khoảng(−∞;−7)là

A (4;+∞) B [4; 7) C (4; 7) D (4; 7]

Lời giải.

Tập xác địnhD =R\ {−m} Ta cóy0 = m−4

(x+m)2

Hàm số đồng biến khoảng(−∞;−7)khi y0 >0,∀x∈(−∞;−7)⇔

®

m−4>0

−m<(−∞;−7) ⇔ ®

m>4

−m> −7 ⇔ ®

m>4

m67 ⇔4<m6

Vậym∈(4; 7]

1.23 (Đề thức 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể hàm sốy= x+2 x+5m đồng biến khoảng(−∞;−10)?

A B C Vô số D

Lời giải.

Tập xác địnhD = R\ {−5m};y0 = 5m−2

(x+5m)2

Hàm số đồng biến trên(−∞;−10)khi

®

y0 >0,∀x∈(−∞;−10)

−5m<(−∞;−10)

⇔

®

5m−2>0

−5m>−10 ⇔

 



m>

5

m6

⇔

5 <m62

Vìm∈Znênm∈ {1; 2} Vậy, có giá trị ngun củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánD.

1.24 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) = mx−4

x−m (mlà tham số thực) Có giá trị

nguyên củamđể hàm số cho đồng biến khoảng(0;+∞)?

A B C D

Lời giải.

Tập xác địnhD = R\ {m}

Ta có f0(x)= −m

2+4

(x−m)2

Hàm số cho đồng biến trên(0;+∞)khi

f0(x)>0, ∀x∈(0;+∞)⇔

®

−m2+4>

m<(0;+∞) ⇔ ®

−2<m<2

m6 ⇔ −2<m60

Vìm∈Znênm∈ {−1; 0} Vậy có hai giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánD.

1.25 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham sốm cho hàm sốy = tanx−2

tanx−m

đồng biến khoảng0;π

4

A m60hoặc16m< B 16 m<2

C m60 D m>

Lời giải.

Ta cóy0 =

1

cos2x(tanx−m)−(tanx−2)

1 cos2x

(tanx−m)2 =

2−m

cos2x(tanx−m)2

Hàm số đồng biến trên0;π

4

khi

y0 >0,∀x∈0;π

⇔

 



tanx,m,∀x∈

0;π

4

2−m>

⇔

®

m<(0; 1)

m<

⇔

ñ

m60 16m<

§2 Cực Trị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

§2 Cực Trị Của Hàm Số

1 Cực trị hàm số cho cơng thức

1.26 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x+2)2,∀x∈R Số điểm cực trị hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Ta có f0(x)= 0⇔

đ

x=0

x=−2 Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−∞ −2 +∞

− − +

+∞

+∞ ++∞∞

Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số cho có điểm cực trị

Chọn phương ánC.

1.27 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x−1)(x+2)3,∀x∈R Số điểm cực trị hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Ta có f0(x)= 0⇔



 

x=0

x=1

x=−2

Bảng biến thiên

x y0 y

−∞ −2 +∞

− + − +

Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số cho có3điểm cực trị

Chọn phương ánB.

1.28 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)có đạo hàm f0(x)= x(x−1)(x+4)3, ∀x∈R Số điểm cực đại hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Ta có f0(x)= 0⇔ 

 

x=0

x=1

x=−4

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−∞ −4 +∞

− 0 + 0 − 0 +

CT CT

CĐ CĐ

CT CT Từ bảng biến thiên, suy hàm số cho có1điểm cực đại

1.29 (Đề minh họa 2016). Tìm giá trị cực đạiyCĐcủa hàm sốy= x3−3x+2

A yCĐ =−1 B yCĐ =0 C yCĐ=1 D yCĐ=4 Lời giải.

Ta cóy0 =3x2−3;y0 = 0⇔ x=±1 Bảng biến thiên x

y0

y

−∞ −1 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

4

0

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy giá trị cực đại hàm số làyCĐ=

Chọn phương ánD.

1.30 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= x

2+3

x+1 Mệnh đề đâyđúng?

A Cực tiểu hàm số bằng2 B Cực tiểu hàm số bằng−6

C Cực tiểu hàm số bằng−3 D Cực tiểu hàm số bằng1

Lời giải.

Ta cóy0 = x

2+2x−3

(x+1)2 ;y

0 =

0⇔ x2+2x−3=0⇔

ñ

x= −3

x= Bảng biến thiên

x y0 y

−∞ −3 −1 +∞

+ − − +

−∞ −∞

−6

−6

−∞ +∞

2

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực tiểu x=1và giá trị cực tiểu bằng2

Chọn phương ánA.

1.31 (Đề thức 2017). Đồ thị hàm sốy= x3−3x2−9x+1có hai điểm cực trịAvàB Điểm

nào thuộc đường thẳngAB?

A N(1;−10) B M(0;−1) C Q(−1; 10) D P(1; 0)

Lời giải.

Ta cóy0 =3x2−6x−9;y0= 0⇔ đ

x=−1

x=3 , suy A(−1; 6), B(3;−26)

Do ABcó phương trình x+1

3+1 =

y−6

−26−6 ⇔8(x+1)+1(y−6)=0⇔8x+y+2=0

Kiểm tra ta thấy N(1;−10)thuộcAB

Chọn phương ánA.

2 Cực trị hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.32 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy= ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d ∈R)

có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho

A B C D

x y

O Lời giải.

Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số cho có2điểm cực trị

§2 Cực Trị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.33 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= f(x)xác định, liên tục đoạn

[−2; 2]và có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f(x)đạt cực đại

tại điểm đây?

A x=2 B x=−1 C x=2 D x=

x y

O −2

−4

−1

1

−2

2

Lời giải.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại(−1; 2)nên hàm số f(x)đạt cực đại tạix= −1

Chọn phương ánB.

1.34 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Điểm cực đại hàm số cho

A x= −1 B x=

C x= −3 D x=

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 −

+∞ +∞

−3

−3

2

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy điểm cực đại hàm số cho làx=

Chọn phương ánB.

1.35 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho

A B C −4 D

x y0 y

−∞ 0 3 +∞

+ − + −∞

−∞

2

−4

−4

+∞ +∞

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy giá trị cực tiểu hàm số cho bằng−4

Chọn phương ánC.

1.36 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số đạt cực đại điểm

A x=0 B x= C x=2 D x=1

x y0 y

−∞ 0 2 +∞

− 0 + 0 −

+∞ +∞

1

5

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng bảng thiên dễ thấy hàm số đạt cực đại tạix=

Chọn phương ánC.

1.37 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực tiểu

A x=−1 B x= −3 C x=1 D x=2

x y0 y

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 −

+∞ +∞

−3

−3

1

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, dễ thấy hàm số cho đạt cực tiểu điểmx=−1

1.38 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Giá trị cực đại hàm số cho

A B C D

x y0 y

−∞ 0 2 +∞

− + −

+∞ +∞

1

5

−∞ −∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, dễ thấy giá trị cực đại hàm số làyCĐ=y(2)=

Chọn phương ánD.

1.39 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy= f(x) có bảng biến thiên hình bên Mệnh đề đâysai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng0

B Hàm số có ba điểm cực trị

C Hàm số có hai điểm cực tiểu

D Hàm số có giá trị cực đại bằng3

x y0 y

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

0

3

0

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực đại là3và giá trị cực tiểu là0

Chọn phương ánA.

1.40 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Giá trị cực tiểu hàm số cho

A B C D −5

x f0(x)

f(x)

−∞ 0 3 +∞

+ − + −∞

−∞

2

−5

−5

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy hàm số có giá trị cực tiểu bằng−5

Chọn phương ánD.

1.41 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy = f(x)

có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực đại

A x=−1 B x=1

C x=2 D x=−2

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 + −∞

−∞

1

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy hàm số đạt cực đại x= −1

Chọn phương ánA.

1.42 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x), bảng xét dấu f0(x)như sau:

x f0(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 − 0 +

Số điểm cực trị hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Từ bảng xét dấu, suy hàm số đạt cực đại điểm x=−1và đạt cực tiểu điểmx= Vậy số điểm cực trị hàm số cho là2

Chọn phương ánB.

§2 Cực Trị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

x f0(x)

−∞ −2 +∞

+ − + +

Số điểm cực trị hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Nếu hàm số có đạo hàm tạix0và đổi dấu quax0 đạt cực trị tạix0

Dựa vào hình vẽ, suy hàm số có hai điểm cực trịx=−2và x=0

Chọn phương ánC.

1.44 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà có bảng xét dấu f0(x)như sau:

x f0(x)

−∞ −1 +∞

+ − + − −

Số điểm cực đại hàm số cho

A B C D

Lời giải.

Từ bảng xét dâu, suy hàm số có hai điểm cực đại làx=−1và x=1

Chọn phương ánD.

3 Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0

1.45 (Đề thức 2018). Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 +(m− 2)x5−(m2−4)x4+1đạt cực tiểu x=0?

A B C D Vơ số

Lời giải.

Ta cóy0 =8x7+5(m−2)x4−4(m2−4)x3 = x3 8x4+5(m−2)x−4(m2−4) Đặt f(x)= 8x4+5(m−2)x−4(m2−4), ta xét hai trường hợp:

TH1: f(0)=0⇔m2−4= 0⇔m=±2

Vớim= 2⇒ y0 =8x7 ⇒ x=0là điểm cực tiểu Vớim= −2⇒y0 = x4 8x3−20

⇒ x= 0không phải điểm cực tiểu TH2: f(0),0⇔m2−4, 0⇔m,±2

Hàm số đạt cực tiểu x=0khi khiy0= x3· f(x)đổi dấu từ−qua+khi quax=

Điều tương đương vớilim

x→0 f(x)> 0⇔m

2−4<0⇔ −2<m< 2.

Kết hợp ta có bốn giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánA.

4 Cực trị hàm sốy =ax3 +bx2 +cx+d

1.46 (Đề thử nghiệm 2017). BiếtM(0; 2),N(2;−2)là điểm cực trị đồ thị hàm sốy = ax3+

bx2+cx+d Tính giá trị hàm số tại x=−2.

A y(−2)= B y(−2)= −18 C y(−2)= D y(−2)= 22

Lời giải.

Ta cóy0 =3ax2+2bx+c VìM(0; 2),N(2;−2)là điểm cực trị đồ thị hàm số nên ta có

    

   

y0(0)=0

y(0)=

y0(2)=0

y(2)= −2

⇔

    

   

c=0

d=

12a+4b+c=

8a+4b+2c+d= −2

⇔

    

   

c=0

d=

a=1

b=−3

Suy ray= x3−3x2+2 Vậyy(−2)= −18.

1.47 (Đề tham khảo 2017). GọiS tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể đồ thị hàm sốy=

3x

3−mx2+ m2−1

xcó hai điểm cực trị làAvà Bsao choA, Bnằm khác phía cách đường thẳngy= 5x−9 Tính tổng tất phần tử củaS

A B −6 C D

Lời giải.

Ta cóy0 = x2−2mx+m2−1;∆0 =

m2−(m2−1)= 1>0 Do đồ thị hàm số cho ln có hai điểm cực trị Avà B

Lại cóy00 =2x−2m;y00 =0⇔ x=m, suy đồ thị hàm số có tâm đối xứngI Å

m;1

3m

3−m

ã

Theo tính chất đồ thị hàm số bậc ba ta cóIlà trung điểm củaAB

VìA,Bnằm khác phía cách đường thẳngy=5x−9nênIthuộc đường thẳngy= 5x−9 Do ta có

3m

3 = 5m−9⇔m3+18m−27= 0⇔





m=3

m= −3±3 √

5

2

Khi tổng phần tử củaS là3+ −3+3

√

5

2 +

−3−3√5

2 =

Chọn phương ánD.

5 Cực trị hàm số y= ax4 +bx2 +c

1.48 (Đề tham khảo 2017). Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = (m−1)x4 − 2(m−3)x2+1khơng có cực đại

A m6 B 1< m63 C 16 m63 D m>

Lời giải.

TH1: m=1, ta cóy=4x2+1có đồ thị parabol quay bề lõm lên nên khơng có cực đại

TH2: m,1, hàm số trở thành hàm số trùng phương

Do hàm số khơng có cực đại

®

a>0

b>0 ⇔ ®

m>1

m63 ⇔1<m6

Kết hợp ta có16m63

Chọn phương ánC.

1.49 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= x4+2mx2+1có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

A m= √31

9 B m= C m=

−

3

√

9 D m=

−1

Lời giải.

Ta cóy0 =4x3+4mx=4x(x2+m);y0 = 0⇔

đ

x=0

x2= −m

Hàm số có ba điểm cực trị khi−m>0⇔m< 0, suy loại phương ánm= √31

9 vàm=

Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trịA(0; 1),B −√−m; 1−m2,C √−m; 1−m2 Suy AB# »= −√−m;−m2,AC# »= √−m;−m2⇒ 4ABCcân A

Do đó4ABCvng cân⇔ AB# »·AC# »=0⇔ m+m4 =0⇔ ñ

m= 0(loại) m= −1

Chọn phương ánD.

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

1 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho cơng thức

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

A −13 B −29 C −4 D −28

Lời giải.

Hàm số f(x)xác định liên tục trên[0; 9]

Ta có f0(x)= 4x3−20x= 4x x2−5; f0(x)=0⇔



 

x=0

x= √

5

x=− √

5<[0; 9]

Lại có f(0)=−4, f(9)=5747, fÄ√5ä =−29

Vậymin

[0;9] f(x)= f

Ä√

5ä= −29

Chọn phương ánB.

1.51 (Đề tham khảo 2020). Giá trị lớn hàm số f(x) = −x4 + 12x2 + 1 trên đoạn [−1; 2]

bằng

A B 12 C 37 D 33

Lời giải.

Hàm số cho xác định liên tục trên[−1; 2]

Ta có f0(x)= −4x3+24x; f0(x)= 0⇔ −4x3+24x= 0⇔

ñ

x=0

x=± √

6<[−1; 2]

Khi f(−1)= 12, f(0)=1, f(2)= 33

Vậymax

[−1;2] f(x)= f(2)=33

Chọn phương ánD.

1.52 (Đề thức 2018). Giá trị lớn hàm sốy= x4−4x2+9trên đoạn[−2; 3]bằng

A 54 B C D 201

Lời giải.

Hàm số cho xác định liên tục đoạn[−2; 3] Ta cóy0 =4x3−8x;y0 =0⇔4x3−8x=0⇔

ñ

x=0

x=± √

2

Khi đóy(−2)=9,y(3)=54,y(0)= 9,yÄ−√2ä= 5,yÄ √

2ä=5

Vậymax

[−2;3]y=y(3)=54

Chọn phương ánA.

1.53 (Đề thức 2020). Giá trị nhỏ của hàm số f(x) = x3 − 24x trên đoạn [2; 19]

bằng

A −45 B 32√2 C −32√2 D −40

Lời giải.

Hàm số cho xác định liên tục trên[2; 19] Ta có f0(x)= 3x2−24; f0(x)=0⇔

"

x=2

√

2

x=−2

√

2<[2; 19]

Lại có f(2)=−40; f(19)=6043; fÄ2√2ä =−32√2

Vậymin

[2;19] f(x)= −32

√

2

Chọn phương ánC.

1.54 (Đề tham khảo 2018). Giá trị lớn hàm số f(x)= x4−4x2+5trên đoạn[−2; 3]bằng

A 122 B 50 C D

Lời giải.

Ta có f0(x)= 4x3−8x; f0(x)=0⇔

ñ

x=

x= ± √

2

Khi f(−2)= 5; f(3)= 50; f(0)= 5; fı√2ä= Do đómax

[−2;3] f(x)= f(3)=50

Chọn phương ánB.

1.55 (Đề tham khảo 2020). Giá trị nhỏ hàm sốy= x4−10x2+2trên đoạn[−1; 2]bằng

Lời giải.

Hầm số cho hàm đa thức nên liên tục trên[−1; 2] Ta cóy0 =4x3−20x=4x x2−5

;y0 =0⇔

đ

x=

x= ± √

5<[−1; 2]

Khi đóy(−1)= −7,y(2)=−22,y(0)=

Vậy

[−1;2]y= y(2)=−22

Chọn phương ánD.

1.56 (Đề minh họa 2016). Tìm giá trị nhỏ hàm sốy= x

2+3

x−1 đoạn[2; 4]

A

[2;4]y= B min[2;4]y= −3 C min[2;4]y= 19

3 D min[2;4]y= −2

Lời giải.

Ta cóy0 = 2x(x−1)−(x

2+3)

(x−1)2 =

x2−2x−3

(x−1)2 ;y

0=

0⇔

ñ

x=−1<[2; 4]

x=3

Khi đóy(2)=7,y(3)= 6,y(4)= 19

3 Vậymin[2;4]y=

Chọn phương ánA.

1.57 (Đề thức 2019). Giá trị lớn hàm số f(x)= x3−3x+2trên đoạn[−3; 3]bằng

A B −16 C 20 D

Lời giải.

C1: Ta có f0(x) = 3x2 − 3, f0(x) = ⇔

đ

x=1

x=−1 Khi f(−3) = −16, f(−1) = 4, f(1) = 0,

f(3)= 20 Vậymax

[−3;3] f(x)= f(3)= 20

C2: Dùng chức MODE máy tính, với STAR−3, END3, STEP0,5

Chọn phương ánC.

1.58 (Đề thức 2017). Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x3− 7x2 +11x−2 đoạn

[0; 2]

A m= B m= −2 C m= D m= 11

Lời giải.

C1: Ta cóy0 = 3x2−14x+11;y0 =0⇔





x=1

x= 11

3 <[0; 2]

Lại cóy(0)=−2,y(1)= 3,y(2)= 0, suy ram= −2

C2: Sử dụng máy tính, chọn MODE Nhập vào máy tính biểu thứcx3−7x2+11x−2 Chọn Start 0, End 2, Step0,2 Dò ta đượcm=−2

Chọn phương ánB.

1.59 (Đề thức 2017). Cho hàm sốy = x+m

x−1 (mlà tham số thực) thỏa mãnmin[2;4]y = Mệnh

đề đâyđúng?

A 3< m64 B 16 m<3 C m< −1 D m>

Lời giải.

Vớim=−1, ta cóy=1khơng thỏa mãnmin [2;4]y=

Vớim,−1, ta cóy0= −1−m

(x−1)2,y(2)= m+2,y(4)=

m+4

3

Khi đómin

[2;4] y=3⇔



   

®

y0 >0

y(2)=3 ®

y0 <0

y(4)=3

⇔



     

®

−1−m>

m+2=3

 



−1−m<0

m+4

3 =3

⇔



   

®

m< −1

m= 1(loại)

®

m> −1

m=

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Chọn phương ánD.

1.60 (Đề tham khảo 2017). Tính giá trị nhỏ hàm sốy=3x+

x2 khoảng(0;+∞)

A

(0;+∞)y=7 B (0;min+∞)y=2

3

√

9 C

(0;+∞)y=3 √

9 D (0;+∞)y=

33

Lời giải.

Ta cóy0 =3− x3;y

0 =

0⇔ x= √32

3;y Å

2

√

3 ã

=3√39 Bảng biến thiên x

y0 y

0 √32

3 +∞

− +

+∞ +∞

3√39 3√39

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy (0;+∞)y=3

3

√

9

Chọn phương ánC.

2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

1.61 (Đề minh họa 2016). Cho hàm sốy = f(x)

xác định, liên tục trênRvà có bảng biến thiên hình bên Khẳng định khẳng định

đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng1

B Hàm số có cực trị

C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ bằng−1

D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu tạix=1

x y0

y

−∞ 0 1 +∞

+ − 0 +

−∞

0

−1

+∞

Lời giải.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tạix=0và đạt cực tiểu tạix=

Chọn phương ánD.

1.62 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề

đúng?

A max

R

y=5 B

R

y=4

C yCĐ =5 D yCT =0

x y0 y

−∞ +∞

− + −

+∞ +∞

4

5

−∞ −∞

Lời giải.

Nhìn vào bảng biến thiên dễ thấy hàm số có giá trị cực đại

Chọn phương ánC.

1.63 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy= f(x)liên tục đoạn[−1; 3]và có đồ thị hình vẽ bên Gọi Mvàmlần lượt giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn[−1; 3] Giá trị M−mbằng

A B C D

x y

O −1

2

Lời giải.

Từ đồ thị ta có M= f(3)=3,m= f(2)=−2 VậyM−m=3−(−2)=5

Chọn phương ánC.

3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.64 (Đề tham khảo 2018). GọiS tập hợp tất giá trị tham số thựcmsao cho giá trị lớn hàm sốy=x3−3x+m

trên đoạn[0; 2]bằng Số phần tử củaS

A B C D

Lời giải.

Xét hàm số f(x)= x3−3x+mtrên[0; 2]có f0(x)= 3x2−3; f0(x)= 0⇔ x=1 Ta có f(0)=m; f(2)= m+2; f(1)= m−2

Suy ramax

[0;2] f(x)= f(2)=m+2; min[0;2] f(x)= f(1)=m−2

Do đómax

[0;2] y=max{|m+2|;|m−2|}

Vớim>0, ta cómax [0;2] y=

|m+2|=m+2⇔ 3=m+2⇔ m=1 Vớim<0, ta cómax

[0;2] y=|m

−2|=2−m⇔ 3=2−m⇔ m=−1 VậyS = {1;−1}nênS có phần tử

Chọn phương ánC.

1.65 (Đề tham khảo 2020). Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f(x) = x3−3x+m

đoạn[0; 3] bằng16 Tổng tất phần tử S

bằng

A −16 B 16 C −12 D −2

Lời giải.

Xétg(x)= x3−3x+mtrên[0; 3]

Hàm sốg(x)là hàm đa thức nên liên tục trên[0; 3] Ta cóg0(x)= 3x2−3;g0(x)=0⇔

đ

x=

x= −1<[0; 3]

Khi đóg(0)=m,g(1)=m−2,g(3)=m+18, đómax

[0;3] g(x)=m+18,min[0;3]g(x)=m−2

Từ suy ramax

[0;3] f(x)= max[0;3]

|g(x)|=max{|m+18|;|m−2|}

Theo giả thiếtmax

[0;3] f(x)= 16⇔



   

®

|m+18|=16

|m−2|616 ®

|m−2|=16

|m+18|616

⇔

ñ

m=−2

m=−14

Vậy tổng tất phần tử củaS là(−2)+(−14)= −16

Chọn phương ánA.

1.66 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) = x+m

x+1 (mlà tham số thực) GọiS tập hợp tất

các giá trị củamsao chomax

[0;1] |f(x)|+min[0;1] |f(x)|=2 Số phần tử củaS

A B C D

Lời giải.

Vớim=1, ta có f(x)= 1,∀x,−1

Do đómax

[0;1] |f(x)|= min[0;1] |f(x)|=1⇒max[0;1] |f(x)|+min[0;1] |f(x)|= 2(thỏa mãn)

Vớim,1, ta có f0(x)=

−m

(x+1)2 không đổi dấu trên[0; 1], suy f(x)đơn điệu trên[0; 1]

Ta có f(0)=m, f(1)= 1+m

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

TH1: m· 1+m

2 60⇔ −16m60, ta có

  

 

min

[0;1]|f(x)|= max

[0;1] |f(x)|= max ß

|m|;

1+m

2

™

6

Từ suy ramax

[0;1]

|f(x)|+min

[0;1]|f(x)|6 1(không thỏa mãn)

TH2: m· 1+m

2 >0⇔

ñ

m>

m< −1, ta có max

[0;1] |f(x)|+min[0;1]|f(x)|=|m|+

1+m

2

=

3m+1

2

Do đómax

[0;1] |f(x)|+min[0;1] |f(x)|=2⇔ |3m+1|=4⇔ 



m= (loại)

m= −5

3

VậyS =

ß

1;−5

3 ™

Chọn phương ánD.

4 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ toán thực tế 1.67 (Đề thử nghiệm 2017). Một vật chuyển động theo quy luậts= −1

2t

3+9t2, vớit(giây) khoảng

thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động vàs(mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu?

A 54(m/s) B 30(m/s) C 216(m/s) D 400(m/s)

Lời giải.

Vận tốc vật thời điểmtlàv(t)= s0(t)= −3

2t

2+18t.

Cần tìm giá trị lớn củav(t)trên[0; 10]

Ta cóv0(t)= −3t+18;v0(t)= 0⇔t= 6;v(0)=0,v(10)= 30,v(6)=54 Vậy vận tốc lớn vật đạt là54(m/s)

Chọn phương ánA.

1.68 (Đề minh họa 2016). Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc

tấm nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh bằngx(cm), gập nhơm lại

như hình vẽ để hộp khơng nắp Tìmxđể hộp nhận tích lớn

A x=6 B x=2 C x=3 D x=4

Lời giải.

Hộp nhận có đáy hình vng cạnh12−2x(cm) chiều cao x(cm) Do thể tích hộp nhận làV = x(12−2x)2 =4x3−48x2+144x Xét hàm số f(x)=4x3−48x2+144xtrên(0; 6)

x f0(x)

f(x)

0

+ −

0

128 128

0

Từ bảng biến thiên ta cómax

(0,6) f(x)= f(2)=128

Vậy hộp tích lớn x=2(cm)

Chọn phương ánB.

5 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ toán giải phương trình, bất phương trình

1.69 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x), hàm sốy= f0(x)liên tục

Rvà có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f(x)< x+m(mlà tham số

thực) nghiệm với x∈(0; 2)khi

A m> f(2)−2 B m> f(0)

C m> f(2)−2 D m> f(0) x

y

O

1

2

y= f

0(x

)

Lời giải.

Ta có

f(x)< x+m⇔m> f(x)−x (1) Xét hàm số g(x) = f(x)− x (0; 2) có g0(x) = f0(x) − Từ hình vẽ, ta thấy f0(x) < 1,∀x ∈ (0; 2), suy g0(x) < 0,∀x ∈ (0; 2) Do g(x)

nghịch biến (0; 2) Vậy, (1)nghiệm với x ∈ (0; 2)khi khim>g(0)⇔m> f(0)

x y

O

1

2

y= f0(x)

y=1

Chọn phương ánB.

1.70 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể phương trình

3 »

m+3

√

m+3 sinx=sinx

có nghiệm thực?

A B C D

Lời giải.

Đặtsinx= uvà √3m+3 sinx= v, với|u|61, ta có hệ

®

m+3v=u3 (1)

m+3u=v3 (2)

Trừ theo vế (1) (2) ta có3v−3u= u3−v3⇔ (u−v)(u2+uv+v2+3)= 0⇔u=v.

Vớiu=vthay vào (1) đượcm+3u=u3 ⇔m=u3−3u (3)

Xét hàm sốg(u)=u3−3utrên[−1; 1]cóg0(u)=3u2−36 0,∀u∈[−1; 1] Bảng biến thiên

u g0(u)

g(u)

−1

−

2

−2

−2

Từ bảng biến thiên suy (3) có nghiệm khi−26 m62 Vậy có giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

6 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ tốn tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cho trước

1.71 (Đề thức 2020). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy = x3−3x2+

(4−m)xđồng biến khoảng(2;+∞)là

A (−∞; 4] B (−∞; 1) C (−∞; 1] D (−∞; 4)

Lời giải.

Ta cóy0 =3x2−6x+4−m.

Hàm số cho đồng biến trên(2;+∞)khi

y0 >0, ∀x∈(2;+∞)⇔3x2−6x+4−m> 0, ∀x∈(2;+∞)⇔m63x2−6x+4, ∀x∈(2;+∞) (1) Xét f(x)=3x2−6x+4trên(2;+∞)có f0(x)=6x−6; f0(x)=0⇔ x= 1<(2;+∞)

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

2 +∞

+

4

+∞ +∞

Từ bảng biên thiên, suy ra(1)⇔m6

Chọn phương ánA.

1.72 (Đề tham khảo 2019). Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể hàm sốy=−x3−6x2+

(4m−9)x+4nghịch biến khoảng(−∞;−1)là

A [0;+∞) B

Å

−∞;−3

4

ò

C (−∞; 0] D

ï

−3

4;+∞

ã

Lời giải.

Ta cóy0 =−3x2−12x+4m−9

Hàm số nghịch biến trên(−∞;−1)khi khi−3x2−12x+4m−960,∀x∈(−∞;−1)

Hay4m6 3x2+12x+9,∀x∈(−∞;−1). (1)

Xétg(x)= 3x2+12x+9trên(−∞;−1)cóg0(x)= 6x+12;g0(x)= 0⇔ x=−2 Bảng biến thiên x

g0(x)

g(x)

−∞ −2 −1

− +

+∞ +∞

−3

−3

−2

−2

Từ bảng biến thiên ta có(1)⇔4m6−3⇔ m6−3

4

Chọn phương ánB.

1.73 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên âm tham sốmđể hàm sốy= x3+mx−

1

5x5 đồng biến khoảng(0;+∞)?

A B C D

Lời giải.

Ta cóy0 =3x2+m+

x6 Hàm số đồng biến khoảng(0;+∞)khi

3x2+m+

x6 >0,∀x∈(0;+∞)⇔m> −3x

2−

x6,∀x∈(0;+∞) (1)

Xét hàm sốg(x)= −3x2−

x6 trên(0;+∞)cóg

0(x)= −6x+

x7;g

0(x)=0⇔ x= 1.

Lập bảng biến thiên ta cómax

Do đó(1)⇔m> −4 Vìmngun âm nênm∈ {−4;−3;−2;−1} Vậy có giá trị nguyên âm củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánD.

§4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

1 Đường tiệm cận hàm số cho công thức 1.74 (Đề minh họa 2016). Cho hàm số y = f(x)có lim

x→+∞ f(x) = 1và x→−∞lim f(x) = −1 Khẳng định

nào sau khẳng địnhđúng?

A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳngy=1vày= −1

D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x=1và x= −1

Lời giải.

Ta có

• lim

x→+∞ f(x)=1, suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngangy= 1;

• lim

x→−∞ f(x)=−1, suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngangy=−1

Chọn phương ánC.

1.75 (Đề thử nghiệm 2017). Đường thẳng tiệm cận đứng đồ thị hàm số y =

2x+1

x+1 ?

A y= −1 B x= C x= −1 D y=2

Lời giải.

Dễ thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x=−1

Chọn phương ánC.

1.76 (Đề thức 2020). Tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 4x+1 x−1

A y=

4 B y= −1 C y= D y=1

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y=4, tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho lày=4

Chọn phương ánC.

1.77 (Đề thức 2020). Tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= 2x+2 x−1

A x= B x= C x= −1 D x= −2

Lời giải.

Đồ thị hàm sốy= 2x+2

x−1 có tiệm cận đứngx=

Chọn phương ánA.

1.78 (Đề tham khảo 2020). Tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= x−2 x+1

A y= B y= −2 C x= −1 D x=

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y=1, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng lày=1

Chọn phương ánA.

1.79 (Đề tham khảo 2018). Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng?

A y= x

2

x2+1 B y=

x2−3x+2

x−1 C y=

√

x2−1. D. y= x

x+1

Lời giải.

Dễ thấy đồ thị hàm sốy= x

x+1 có tiệm cận đứngx= −1

§4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.80 (Đề tham khảo 2020). Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 5x

2−4x−1

x2−1

là

A B C D

Lời giải.

Tập xác địnhD =R\ {1;−1} Ta có

• lim

x→±∞y=5, suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngangy=5

• lim

x→1+y=3,x→lim1−y=3, suy x=1khơng phải tiệm cận đứng

• lim

x→−1+y=−∞, x→−lim1−y= +∞, suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứngx=−1

Vậy tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho là2

Chọn phương ánB.

1.81 (Đề thức 2017). Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= x

2−3x−4

x2−16

A B C D

Lời giải.

Ta cóx2−16= 0⇔ x=±4 Khi

• lim

x→4+y=

8, x→lim4−y=

8 nênx=4không phải đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho;

• lim

x→−4+y=−∞, x→−lim4−y= +∞nênx= −4là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Chọn phương ánC.

1.82 (Đề thức 2018). Số tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= √

x+9−3

x2+ x

A B C D

Lời giải.

Tập xác địnhD =[−9;+∞)\ {−1; 0}

Ta có lim

x→−1+

√

x+9−3

x2+x = +∞;x→−lim1−

√

x+9−3

x2+x = −∞, suy x=−1là tiệm cận đứng

Lại cólim

x→0

√

x+9−3

x2+x =

6 nênx=0không phải tiệm cận đứng

Vậy, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Chọn phương ánB.

1.83 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm sốy= 2x−1− √

x2+ x+3

x2−5x+6

A x=−3và x=−2 B x=3và x=2 C x=−3 D x=3

Lời giải.

Ta cóx2−5x+6= 0⇔

đ

x=2

x=3 Do loại phương án không chứax=3

Cần kiểm tra xem x=2có phải tiệm cận đứng đồ thị hàm số hay khơng

Dùng máy tính tìm lim

x→2±y=−

6 nên loại phương án chứax=2

2 Đường tiệm cận hàm số cho bảng biến thiên đồ thị 1.84 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y = f(x) có

bảng biến thiên hình bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho

A B C D

x y

−∞ 1 +∞

2

+∞

3

5

Lời giải.

Ta có lim

x→−∞y=2⇒ y= 2là tiệm cận ngang;x→lim+∞y=5⇒y= 5là tiệm cận ngang

Lại có lim

x→1+y= +∞ ⇒x= 1là tiệm cận đứng

Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số là3

Chọn phương ánA.

1.85 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận?

A B C D

−2

x −∞ +∞

y0

y

+ −

−∞

+∞

0

Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta có lim

x→+∞y= 0;x→lim0−y= +∞;x→−lim2+y=−∞

Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngangy=0và hai tiệm cận đứngx= −2, x=0

Chọn phương ánB.

1.86 (Đề thức 2019). Cho hàm số y = f(x)có bảng biến thiên hình bên Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho

A B C D

x y0 y

−∞ 0 1 +∞

− − +

2

−4

+∞

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, ta có lim

x→−∞y= 2,x→lim+∞y= +∞,x→lim0−y= −4,x→lim0+y= +∞ Do đồ thị hàm số

cho có đường tiệm cận ngangy=2và đường tiệm cận đứng x=0

Chọn phương ánD.

3 Đường tiệm cận hàm số chứa tham số

1.87 (Đề minh họa 2016). Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= √x+1

mx2+1 có hai tiệm cận ngang

A m>

B m=

C Khơng có giá trị thực củamthỏa mãn u cầu đề

D m<

Lời giải.

TH1: m=0, ta cóy= x+1khơng có tiệm cận ngang

TH2: m<0, ta cóy= x+1 |x|

…

m+ x2

nên không tồn lim

x→±∞y

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

TH3: m> 0, ta cóy= x+1 |x|

…

m+ x2

nên lim

x→±∞y=±

1

√ m Do đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Chọn phương ánA.

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

1 Nhận dạng hàm số dựa vào bảng biến thiên đồ thị 1.88 (Đề thức 2017). Đường cong hình bên đồ thị hàm số y= ax+b

cx+d vớia,b,c,dlà số thực Mệnh đề đâyđúng?

A y0 >0,∀x∈R B y0> 0,∀x,1

C y0 <0,∀x

, D y0< 0,∀x∈R

x y

O

Lời giải.

Từ đồ thị suy hàm số không xác định x = nên loại phương án y0 > 0,∀x ∈ R

y0 <0,∀x∈R

Đồ thị xuống suy ray0 <0nên loại phương ány0 > 0,∀x,1

Chọn phương ánC.

1.89 (Đề thức 2017). Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào?

A y= −x4+x2−1. B. y= x3− x2−1.

C y= x4−x2−1 D y= −x3+x2−1

x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số trùng phương, loại phương án y =

−x3+x2−1vày= x3− x2−1;

• Đường cong quay bề lõm lên nên có hệ sốa> 0, loại phương ány=−x4+x2−1.

Chọn phương ánC.

1.90 (Đề thức 2019). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= −x3+3x2+3. B. y= x3−3x2+3.

C y= x4−2x2+3. D. y=−x4+2x2+3.

x y

O Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số bậc ba, loại phương ány= x4−2x2+3

vày=−x4+2x2+3

• Từ trái qua phải đường cong lên nên hệ sốa> 0, loại phương ány=−x3+3x2+3.

1.91 (Đề tham khảo 2019). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây?

A y= x3−3x−1. B. y= 2x−1

x−1

C y= x4+x2+1. D. y= x+1

x−1 x

y

O 1

Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất, loại phương án

y= x4+x2+1vày= x3−3x−1

• Đường cong cắt trục tung điểm có tung độ âm, loại phương ány= 2x−1 x−1

Chọn phương ánD.

1.92 (Đề tham khảo 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= x4−2x2. B. y= x3−3x.

C y=−x3+3x D y=−x4+2x2

x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số bậc ba nên loại phương án y = x4−2x2

y= −x4+2x2;

• Từ trái qua phải đường cong lên nên hệ sốa>0, loại phương ány= −x3+3x.

Vậy chọn phương ány= x3−3x.

Chọn phương ánB.

1.93 (Đề thức 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= x3−3x2+1. B. y=−x4+2x2+1.

C y=−x3+3x2+1 D y= x4−2x2+1

x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số trùng phương nên loại phương ány= x3−3x2+1

vày= −x3+3x2+1

• lim

x→+∞y= −∞nên hệ sốa< 0, loại phương ány= x

4−2x2+1.

Chọn phương ánB.

1.94 (Đề thức 2018). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây?

A y= x4−3x2−1 B y=−x3+3x2−1

C y=−x4+3x2−1 D y= x3−3x2−1 x

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đồ thị có hình dạng đồ thị hàm số trùng phương, nên loại phương ány= x3−3x2−1

vày=−x3+3x2−1;

• Đồ thị quay bề lõm xuống nên có hệ sốa< 0, loại phương ány= x4−3x2−1

Chọn phương ánC.

1.95 (Đề tham khảo 2020). Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= x4−2x2 B y=−x3+3x2

C y= x3−3x2 D y=−x4+2x2 x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số trùng phương, loại phương ány= x3−3x2 vày=−x3+3x2;

• lim

x→+∞y=−∞nên có hệ sốa<0, loại phương ány= x

4−2x2.

Chọn phương ánD.

1.96 (Đề tham khảo 2017). Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào?

A y= 2x+1

x−1 B y=

2x+3

x+1 C y=

2x−2

x−1 D y=

2x−1

x+1

x y

O −1

2

Lời giải.

Từ hình vẽ ta thấy

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứngx=−1, loại phương ány= 2x−2

x−1 vày=

2x+1

x−1

• Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm nên loại phương ány= 2x+3 x+1

Chọn phương ánD.

1.97 (Đề minh họa 2016). Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?

A y= x3−3x+1 B y=−x2+x−1

C y= x4−x2+1. D. y=−x3+3x+1.

x y

O Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đường cong có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba, loại phương ány =−x2+x−1

vày= x4−x2+1;

• lim

x→+∞= +∞nên hệ sốa>0, loại phương ány=−x

Chọn phương ánA. 1.98 (Đề thức 2020). Đồ thị hàm số có dạng

đường cong hình bên?

A y= x4−2x2−2 B y=−x3+3x2−2

C y=−x4+2x2−2. D. y= x3−3x2−2.

x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• Đường cong có hình dáng đồ thị hàm số bậc ba nên loại phương ány= x4−2x2−2và y= −x4+2x2−2;

• lim

x→+∞y= −∞nên hệ sốa< 0, loại phương ány= x

3−3x2−2.

Chọn phương ánB.

1.99 (Đề tham khảo 2018). Đường cong hình bên đồ thị hàm số đây?

A y=−x4+2x2+2. B. y= x4−2x2+2.

C y=−x3+3x2+2 D y= x3−3x2+2

x y

O Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy

• Đường cong có hình dạng đồ thị hàm số trùng phương, loại phương án y =

x3−3x2+2vày=−x3+3x2+2;

• Đường cong quay bề lõm xuống nên có hệ sốa<0, loại phương ány= x4−2x2+2

Chọn phương ánA.

1.100 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm sốy = ax3+3x+d(a,d ∈ R) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng?

A a> 0;d <0 B a> 0;d >0 C a< 0;d> D a<0;d<

x y

O

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• lim

x→+∞y= −∞nêna<

• đồ thị cắtOytại điểm có tung độ âm nênd<0

Chọn phương ánD.

1.101 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+dcó đồ thị

hình vẽ bên Mệnh đề đâyđúng?

A a<0,b< 0,c< 0,d> B a< 0,b>0,c<0,d<0

C a<0,b< 0,c> 0,d< D a< 0,b>0,c>0,d<0

x x

O

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Dựa vào hình dáng đồ thị suy raa<0

Đồ thị có hoành độ hai điểm cực trị trái dấu nênac<0suy rac> 0, loại phương ána< 0,b<

0,c< 0,d> 0vàa< 0,b>0,c<0,d<0

Dựa vào vị trí hai điểm cực trị suy tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nênab <0suy rab> 0, loại phương ána<0,b<0,c> 0,d <0

Chọn phương ánD.

1.102 (Đề thức 2020). Cho hàm sốy= ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)

có đồ thị đường cong hình bên Có số dương sốa, b,c,d?

A B C D

x y

O Lời giải.

Từ hình vẽ, suy

• lim

x→+∞y=−∞nên hệ sốa<0

• Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nênd>

• Hàm số có hai điểm cực trị dương nênac>0, màa< 0nênc<0

• Đồ thị có tâm đối xứng nằm bên phảiOynênab<0, màa<0nênb>0 Vậy sốa,b,c,dcó hai số dương làbvàd

Chọn phương ánA.

1.103 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) =

ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d ∈R)có bảng biến thiên hình bên Có số dương sốa, b,c,d?

A B C D

x f0(x)

f(x)

−∞ 0 4 +∞

+ − +

−∞ −∞

3

−5

−5

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên, suy

• lim

x→+∞ f(x)= +∞nên hệ sốa>0;

• f(0)=3> 0nên hệ sốd >0;

• f0(x)có nghiệm bằng0nênc= 0;

• tâm đối xứng nằm bên phảiOynênab<0, màa> 0nênb<0 Vậy sốa,b,c,dcó2số dương

Chọn phương ánB.

1.104 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) =

ax+1

bx+c (a,b,c ∈ R) có bảng biến thiên hình bên Trong sốa,bvàccó số dương?

A B C D

x f0(x)

f(x)

−∞ 2 +∞

+ +

1

+∞ −∞

1

Lời giải.

Ta có f0(x)= ac−b (bx+c)2

Đồ thị hàm số f(x)có đường tiệm cận ngangy= a

b đường tiệm cận đứng x=−

Từ bảng biến thiên suy

    

   

a b =1

− c b = ac−b>0

⇔

  

 

a=b (1)

c=−2b (2)

ac−b> (3)

Thay(1)và(2)vào(3), ta

−2b2−b>0⇔ −1

2 <b<

Từb< 0⇒

®

a<

c>

Vậy, sốa,bvàcchỉ có số dương làc

Chọn phương ánB.

2 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.105 (Đề tham khảo 2017). Hàm số y = (x−2) x2−1

có đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm sốy=|x−2| x2−1?

x y

O

A

x y

O

B

x y

O

C

x y

O

D

x y

O

Lời giải.

Ta cóy(0)=−2nên loại phương án C D Ta có|x−2| x2−1

=0⇔

đ

x=2

x=±1

Từ suy hai đồ thị phương án A B khác khoảng(1; 2) Lại cóy

Å

ã

=

8 > 0nên loại phương án B

Chọn phương ánB.

1.106 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên tham sốmđể hàm số y=3x4−4x3−12x2+m

có điểm cực trị?

A B C D

Lời giải.

Xét hàm số f(x)=3x4−4x3−12x2trên

Rcó f0(x)=12x3−12x2−24x; f0(x)= 0⇔ 

 

x=−1

x=0

x=2

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

−5

−5

0

32 32

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Suy hàm số|f(x)+m|có cực trị đường thẳngy= −mcắt đồ thị hàm sốy = f(x)tại điểm phân biệt

Từ bảng biến thiên ta có−5<−m<0⇔0< m<5 Vậy có giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánC.

3 Điểm thuộc đồ thị, tính chất đồ thị 1.107 (Đề thức 2018). Cho hàm số y = x−1

x+2 có đồ thị (C) GọiI giao điểm hai tiệm

cận của(C) Xét tam giác đềuABIcó hai đỉnhA, Bthuộc(C), đoạn thẳng ABcó độ dài

A √6 B 2√3 C 2√2 D

Lời giải.

Dễ thấyI(−2; 1) Ta cóA∈(C)⇒ A

Å

a;a−1

a+2 ã

⇒ IA# »=

Å

a+2;− a+2

ã

⇒IA =

 

(a+2)2+

(a+2)2

Tương tựB∈(C)⇒ B

Å

b;b−1

b+2 ã

⇒IB# »=

Å

b+2;− b+2

ã

⇒ IB=

 

(b+2)2+

(b+2)2

Khi đóIA# »·IB# »= IA·IB·cos 60◦ ⇔(a+2)(b+2)+

(a+2)(b+2) =

1

2AB

2. (1)

Từ (1),

2AB

2 >0⇒ (a+2)(b+2)> 0. (2)

Lại có

IA= IB ⇔ (a+2)2+

(a+2)2 = (b+2)

2+

(b+2)2

⇔ (a+2)2−(b+2)2 ï

1−

(a+2)2(b+2)2 ò

=0

⇔



   

a= b (loại vìA. B)

a+2=−(b+2) (loại (2)) (a+2)(b+2)=−3 (loại (2)) (a+2)(b+2)=3

Với(a+2)(b+2)=3thay vào (1) ta cóAB2= 12⇔AB=2

√

3

Chọn phương ánB.

4 Xác định số nghiệm phương trình dựa vào bảng biến thiên đồ thị 1.108 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bốny = f(x)có đồ thị

đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f(x)= −1

2

là

A B C D

x y

O

−1

−1

−2

Lời giải.

Số nghiệm phương trình f(x) = −1

2 số giao điểm đồ thị hàm

số y = f(x) đường thẳng y = −1

2 Từ đồ thị suy phương trình

f(x)=−1

2 có3nghiệm thực phân biệt

x y

O

−1

−1

−2

Chọn phương ánC.

1.109 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f(x) = −1

là

A B C D

x y

O −1

1

−2

Lời giải.

Số nghiệm thực phương trình f(x) = −1 số giao điểm đường thẳngy=−1và đồ thị hàm sốy= f(x)

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳngy =−1cắt đồ thị hàm sốy= f(x)tại

3điểm phân biệt

Vậy phương trình f(x)=−1có3nghiệm thực phân biệt x

y

O −1

1

−2

y=−1

Chọn phương ánC.

1.110 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số bậc bốny = f(x)có đồ thị hình bên Số nghiệm phương trình f(x)= −1là

A B C D

x y

O −2

−3

2

Lời giải.

Số nghiệm phương trình f(x) = −1bằng số giao điểm đồ thị hàm sốy= f(x)với đường thẳngy=−1

Dựa vào hình vẽ, suy số nghiệm phương trình cho bằng4

x y

O

y=−1

−2

−3

2

−1

Chọn phương ánC.

1.111 (Đề thức 2018). Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d ∈ R) Đồ thị hàm sốy = f(x)như hình vẽ bên Số nghiệm thực phương

trình3f(x)+4= 0là

A B C D

x y

O −2

2

−2

Lời giải.

Ta có3f(x)+4= 0⇔ f(x)=−4

3

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường thẳngy= −4

3 cắt đồ thị hàm sốy= f(x)tại ba điểm phân biệt

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

1.112 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y= f(x)có bảng biến thiên hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình2f(x)+3= 0là

A B C D

x y0 y

−∞ −2 +∞

− + − +

+∞ +∞

−2

−2

1

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Ta có2f(x)+3=0⇔ f(x)= −3

2

Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm sốy= f(x)và đường thẳngy= −3

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số nghiệm thực phương trình2f(x)+3=0là4

Chọn phương ánB.

1.113 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm sốy = f(x)có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm phương trình

f(x)−2= 0là

A B C D

x y0 y

−∞ −1 +∞

+ − 0 + −∞

−∞

4

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm sốy = f(x)cắt đường thẳng y = 2tại điểm phân biệt nên phương trình f(x)−2= 0có nghiệm

Chọn phương ánA.

1.114 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm phương trình3f(x)−2=0là

A B C D

x f0(x)

f(x)

−∞ 2 +∞

+ − + −∞

−∞

1

0

+∞ +∞

Lời giải.

Ta có3f(x)−2=0⇔ f(x)=

Từ bảng biến thiên, suy phương trình f(x)=

3 có3nghiệm phân biệt

Chọn phương ánD.

1.115 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm sốy= f(x)

xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác

định có bảng biến thiên hình bên Tìm tập hợp tất giá trị tham số thựcmsao cho phương trình f(x)=mcó ba nghiệm thực phân biệt

A (−1; 2) B [−1; 2]

C (−1; 2] D (−∞; 2]

x f0(x)

f(x)

−∞ +∞

− + 0 −

+∞ +∞

−1 −∞

2

−∞ −∞

Lời giải.

Số nghiệm phương trình f(x)= mbằng số giao điểm đồ thị hàm sốy= f(x)và đường thẳng y= m Do từ bảng biến thiên suy phương trình f(x) =mcó ba nghiệm phân biệt −1< m<

1.116 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình2f(x)−3 =

là

A B C D

x y0 y

−∞ −2 +∞

+ − 0 + 0 − −∞

−∞

3

−1

−1

3

−∞ −∞

Lời giải.

Ta có2f(x)−3 = 0⇔ f(x) =

2 Từ bảng biến thiên, dễ thấy đường thẳngy =

2 cắt đồ thị hàm số

y= f(x)tại4điểm phân biệt Vậy phương trình cho có4nghiệm phân biệt

Chọn phương ánA.

5 Sự tương giao hai đồ thị

1.117 (Đề tham khảo 2020). Số giao điểm đồ thị hàm sốy= x3−3x+1và trục hoành là

A B C D

Lời giải.

C1: Phương trình hồnh độ giao điểm x3−3x+1=0

Dùng máy tính giải phương trình được3nghiệm phân biệt

Vậy số giao điểm đồ thị hàm sốy= x3−3x+1và trục hoành là3 C2: Ta cóy0 = 3x3−3;y0 =0⇔ x= ±1 Bảng biến thiên

x y0

y

−∞ −1 +∞

+ − +

−∞ −∞

3

−1

−1

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên, suy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3điểm phân biệt

Chọn phương ánD.

1.118 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= x3−3xcó đồ thị(C) Tìm số giao điểm của(C)và trục hồnh

A B C D

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm x3−3x=0⇔

ñ

x=

x= ± √

3

Do số giao điểm của(C)vàOxlà

Chọn phương ánA.

1.119 (Đề thức 2020). Số giao điểm đồ thị hàm sốy=−x3+6xvới trục hoành

A B C D

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm−x3+6x= 0⇔ −x x2−6 =0⇔

ñ

x=0

x=± √

6

Vậy đồ thị hàm sốy=−x3+6xcắt trục hoành tại3điểm phân biệt.

Chọn phương ánD.

1.120 (Đề thử nghiệm 2017). Đồ thị hàm sốy = x4−2x2+2và đồ thị hàm sốy =−x2+4

có tất điểm chung?

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm

x4−2x2+2=−x2+4⇔ x4− x2−2=0⇔ x2 =2⇔ x= ±2

Do hai đồ thị cho có điểm chung

Chọn phương ánA.

1.121 (Đề thức 2020). Số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 đồ thị hàm số y =

3x2+3xlà

A B C D

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm

x3+3x2 =3x2+3x⇔ x x2−3= 0⇔

ñ

x=0

x=± √

3

Phương trình có3nghiệm phân biệt, hai đồ thị cho có3giao điểm

Chọn phương ánA.

1.122 (Đề minh họa 2016). Biết đường thẳngy= −2x+2cắt đồ thị hàm sốy = x3+ x+2tại điểm nhất; kí hiệu(x0;y0)là tọa độ điểm Tìmy0

A y0 =4 B y0 =2 C y0 =0 D y0 =−1

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmx3+x+2=−2x+2⇔ x=0 Khi đóy

0 =y(0)=2

Chọn phương ánB.

1.123 (Đề thức 2017). Tìm tất giá trị thực tham sốmđể đường thẳngy=mx−m+1

cắt đồ thị hàm sốy= x3−3x2+x+2tại ba điểmA,B,Cphân biệt choAB= BC

A m∈

Å

−5

4;+∞

ã

B m∈(−∞; 0]∪[4;+∞)

C m∈R D m∈(−2;+∞)

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmx3−3x2+x+2=mx−m+1⇔(x−1)(x2−2x−m−1)=0 Đặt(C) : y= x2−3x2+ x+2,d: y= mx−m+1và f(x)= x2−2x−m−1có∆0 =

m+2 Đồ thị(C)cắt đường thẳngdtại ba điểm phân biệt

®

∆0 >

0

f(1),0 ⇔m>−2

Khi đồ thị(C)cắt đường thẳngdtại ba điểmA(x1;mx1−m+1),B(1; 1),C(x2;mx2−m+1)

Trong x1, x2là hai nghiệm f(x)nên xA+xC = x1+x2 =2= 2xB

Suy raBlà trung điểmAC hayAB= BC

Chọn phương ánD.

1.124 (Đề thức 2019). Cho hai hàm sốy= x−3 x−2+

x−2

x−1+

x−1

x + x

x+1vày=|x+2| −x+m

(mlà tham số thực) có đồ thị là(C1)và(C2) Tập hợp tất giá trị củamđể(C1)và(C2)

cắt tại4điểm phân biệt

A [2;+∞) B (−∞; 2) C (2;+∞) D (−∞; 2]

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của(C1)và(C2)là

x−3

x−2+

x−2

x−1+

x−1

x + x

x+1 =|x+2| −x+m

⇔x−3

x−2+

x−2

x−1+

x−1

x + x x+1 −

»

Xét hàm số f(x)= x−3

x−2+

x−2

x−1 +

x−1

x + x x+1 −

p

(x+2)2+xtrênD =R\ {−1,0,1,2}, ta có

f0(x) = (x−2)2 +

1 (x−1)2 +

1

x2 + (x+1)2 −

x+2

|x+2|+1

=

(x−2)2 + (x−1)2 +

1

x2 + (x+1)2 +

|x+2| −(x+2)

|x+2|

Vì|x+2|> x+2với số thựcx, f0(x)>0,∀x∈D\ {−2} Ta có bảng biến thiên x

f0(x)

f(x)

−∞ −2 −1 +∞

+ + + + + +

−∞ −∞

+∞ −∞

+∞ −∞

+∞ −∞

+∞ −∞

2

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình (1) có 4nghiệm phân biệt m > Vậy, với m> 2thì hai đồ thị(C1)và(C2)cắt tại4điểm phân biệt

Chọn phương ánA.

6 Tương giao hàm số hợp

1.125 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm sốy= f(x)liên tục trênRvà có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham sốmđể phương trình

f(sinx)= mcó nghiệm thuộc khoảng(0;π)là

A [−1; 1) B (−1; 1) C (−1; 3) D [−1; 3)

x y

O −1

1

−1

Lời giải.

Đặtsinx= t, phương trình trở thành f(t)=m Với x∈(0;π), ta cót ∈(0; 1] Do u cầu tốn trở thành f (t)= mcó nghiệm thuộc nửa khoảng(0; 1] Từ đồ thị ta suy điều kiện tham sốmlàm∈[−1; 1)

Chọn phương ánA.

1.126 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm thuộc đoạn

ï 0;5π

2 ị

của phương trình f(sinx)= 1là

A B C D

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − 0 + 0 − −∞

−∞

2

0

2

−∞ −∞

Lời giải.

Đặtsinx= t∈[−1; 1], phương trình trở thành f(t)= (1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

+ − + −

−∞ −∞

2

0

2

−∞ −∞

y=1

Dựa vào bảng biến thiên, xét trên[−1; 1], ta có(1)⇔

đ

t=t1 ∈(−1; 0)

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

x y

O 2π

0

π

2 5π

2

π

1

3π

−1

t2

t1

Từ đường tròn lượng giác, suy

• Nghiệmt1 ∈(−1; 0)tương ứng với giá trịx∈(π; 2π)

• Nghiệmt2 ∈(0; 1)tương ứng với giá trịx∈(0;π)và giá trị x∈ Å

2π;5π

ã

Vậy, phương trình cho có5nghiệm phân biệt

Chọn phương ánD.

1.127 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)

có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm thuộc đoạn[−π; 2π]của phương trình2f(sinx)+

3=0là

A B C D

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

−2

−2

−1

−1

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

Đặtsinx=t ∈[−1; 1], phương trình trở thành f(t)=−3

2 (1)

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

−2

−2

−1

−1

−2

−2

+∞ +∞

y=−32

Dựa vào bảng biến thiên, xét trên[−1; 1], ta có(1)⇔

đ

t =t1 ∈(−1; 0)

t =t2 ∈(0; 1)

x y

O 2π

0

π −π

1

−1

t2

t1

Từ đường tròn lượng giác, suy

• Nghiệmt2 ∈(0; 1)tương ứng với giá trị x∈(0;π)

Vậy, phương trình cho có6nghiệm phân biệt

Chọn phương ánB.

1.128 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên hình bên Có bao

nhiêu giá trị ngun m để phương trình

5f x2−4x

=mcó nhất3nghiệm thực phân

biệt thuộc khoảng(0;+∞)?

A 24 B 20 C 25 D 21

x f0(x)

f(x)

−∞ −4 −2 +∞

− + − +

+∞ +∞ −2 −2 2 −3 −3 +∞ +∞ Lời giải.

Xétg(x)=5f x2−4x

trên(0;+∞)cóg0(x)=5(2x−4)f0 x2−4x

Suy rag0(x)=0⇔

ñ

2x−4=0

f0 x2−4x=0 ⇔

     

x=2

x2−4x=−4

x2−4x=−2

x2−4x=0

⇔      

x=2

x=2± √

2

x=0

x=4

Bảng biến thiên x f0(x)

f(x)

0 2− √2 2+ √2 +∞

0 + − 0 + 0 − 0 +

−15 −15 10 10 −10 −10 10 10 −15 −15 +∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nhất3nghiệm phân biệt⇔ −15< m6 10 Vậy có25giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu tốn

Chọn phương ánC.

1.129 (Đề thức 2019). Cho hàm số y= f(x), bảng biến thiên hàm số f0(x)

như hình bên Số điểm cực trị hàm số y= f x2−2xlà

A B C D

x f0(x)

−∞ −1 +∞

+∞ +∞ −3 −3 2 −1 −1 +∞ +∞ Lời giải.

Ta cóy0 =(2x−2)f0 x2−2x

;y0 =0⇔

đ

x=

f0 x2−2x=0 Từ bảng biến thiên, ta thấy

f0 x2−2x=0⇔

     

x2−2x= a∈(−∞;−1) (1)

x2−2x= b∈(−1; 0) (2)

x2−2x= c∈(0; 1) (3)

x2−2x= d∈(1;+∞) (4)

Xét hàm sốg(x)= x2−2xtrên

Rcóg0(x)= 2x−2;g0(x)= 0⇔ x=1 Bảng biến thiên

x g0(x)

g(x)

−∞ +∞

− +

+∞ +∞ −1 −1 +∞ +∞

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

• Phương trình(1)vơ nghiệm;

• Các phương trình(2),(3)và(4)có hai nghiệm phân biệt khác đơi khác1 Như vậy,y0có7nghiệm đơn phân biệt nên hàm sốy= f x2−2xcó điểm cực trị

Chọn phương ánB.

1.130 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) có f(0) = Biết y = f0(x) là hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình

bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)=f x3

− xlà

A B C D

x y

O

y= f0(x)

Lời giải.

Xéth(x)= f x3−xtrênRcóh0(x)=3x2f0 x3−1;h0(x)=0⇔ f0 x3=

3x2 (1)

Đặtx3 =t, phương trình(1)trở thành f0(t)=

3√3t2 (2)

Xétk(t)= 3

√

t2 trênR

\ {0};k0(t)=−

9

√ t5

Bảng biến thiên

t k0(t)

k(t)

−∞ 0 +∞

+ −

0

+∞ +∞

0

Từ bảng biến thiên củak(t)và đồ thị f0(t), suy ra(2)có hai nghiệm trái dấu.

Từ suy ra(1)có hai nghiệm trái dấu, giả sử x1và x2(x1< 0< x2)

Lại cóh(0)= f(0)−0= 0, suy bảng biến thiên củah(x)như sau x

h0(x)

h(x)

−∞ x1 x2 +∞

+ − 0 +

−∞ −∞

h(x1)

h(x1)

h(x2)

h(x2)

+∞ +∞

0

0

Từ bảng biến thiên, suy rag(x)=|h(x)|có5điểm cực trị

Chọn phương ánC.

1.131 (Đề thức 2019). Cho hàm số bậc bay= f(x)có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trìnhf x3−3x

=

4

3

A B C D

x y

O −1

2

2

−2

Ta cóf x3−3x

=

4

3 ⇔ f x

3−3x

=±4

3 Từ đồ thị, suy

• f x3−3x=

3 ⇔



 

x3−3x=a∈(−2; 0)

x3−3x=b∈(0; 2)

x3−3x=c∈(2;+∞);

• f x3−3x

=−4

3 ⇔ x

3−3x= d∈(−∞;−2).

x y

O −1

2

2

−2

Xét hàm sốg(x)= x3−3xtrên

Rcóg0(x)= 3x2−3;g0(x)=0⇔ x= ±1 Bảng biến thiên

x g0(x)

g(x)

−∞ −1 +∞

− + −

−∞ −∞

2

−2

−2

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên, ta thấy

• Phương trìnhx3−3x= a∈(−2; 0)có3nghiệm phân biệt; • Phương trìnhx3−3x= b∈(0; 2)có3nghiệm phân biệt;

• Phương trìnhx3−3x= c∈(2;+∞)có1nghiệm; • Phương trìnhx3−3x= d∈(−∞;−2)có1nghiệm Vậy, phương trìnhf x3−3x

=

4

3 có8nghiệm phân biệt

Chọn phương ánC.

1.132 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)= f x3+3x2là

A 11 B C D

x y

O 4

Lời giải.

Ta cóg0(x)= 3x2+6x f0 x3+3x2;g0(x)=0⇔



 

x=0

x=−2

f0 x3+3x2=

x y

O 4

a

b

c

Từ hình vẽ, suy f0 x3+3x2=0⇔



 

x3+3x2 =a∈(−∞; 0) (1)

x3+3x2 =b∈(0; 4) (2)

x3+3x2 =c∈(4;+∞) (3)

Xét hàm sốh(x)= x3+3x2trên

Rcóh0(x)= 3x2+6x;h0(x)=0⇔ đ

x=0

x=−2

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

x h0(x)

h(x)

−∞ −2 +∞

+ − +

−∞ −∞

4

0

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên, suy

• Phương trình(1)có đúng1nghiệmx1< −2;

• Phương trình(2)có đúng3nghiệmx2, x3, x4thỏax1 < x2 <−2< x3 <0< x4;

• Phương trình(3)có đúng1nghiệmx5> x4

Vậyg0(x)có7nghiệm đơn phân biệt nên hàm sốg(x)có7điểm cực trị

Chọn phương ánD.

1.133 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số y = f(x) xác định R, đồ thị hàm số y = f0(x) hình bên Hàm số g(x) =

f (1−2x)+x2− xnghịch biến khoảng đây?

A (2; 3) B (−2;−1) C

Å

0;1

2 ã

D

Å

1;3

ã

x y

O

4

−2

−2

Lời giải.

Ta cóg0(x)=−2f0(1−2x)+2x−1

Đặtt= 1−2x, ta cóg0(x)=−2f0(t)−t= −2

f0(t)− −t

2

Đồ thị hàm sốy= f0(t)vày=−t

2 hình sau:

t y

O

4

−2

−2

Từ hình vẽ ta cóg0(x)< 0⇔ f0(t)> −t

2 ⇔

ñ

−2< t<0

t> ⇒ ñ

−2<1−2x<

1−2x>4 ⇔



 

1 < x<

3

x<−3

2

Từ suy hàm sốg(x)nghịch

Å

1;3

2 ã

⊂

Å 2;

3

ã

Chọn phương ánD.

1.134 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bốn f(x)có bảng biến thiên hình bên Số điểm cực trị hàm sốg(x)= x4f(x+1)2là

A B 11 C D

x y0

y

−∞ −1 +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

−2

−2

3

−2

−2

+∞ +∞

Lời giải.

C1: Ta cóg(x)=x2f(x+1)]2

Lại cóg0(x)=2x3f(x+1)2f(x+1)+ x f0(x+1), mà f(x+1)2f(x+1)+x f0(x+1)là hàm số bậc tám có nhiều nhất8nghiệm nêng0(x)có nhiều nhất9nghiệm Ta suy đồ thị củag(x)

có dạng sau:

x y

O

Từ đồ thị, suy hàm sốg(x)có9điểm cực trị

C2: Ta cóg(x)= x2f(x+1)

]2 =[h(x)]2;g0(x)= 2h(x)·h0(x);g0(x)=0⇔ ñ

h(x)=0

h0(x)=0

Từ bảng biến thiên, suy rah(x)= 0⇔



      

x=0 (nghiệm kép)

x=a<−2

x=b∈(−2;−1)

x=c∈(−1; 0)

x=d>

Ta cóh0(x)=2x f(x+1)+x2f0(x+1)là hàm số bậc năm nên có nhiều nhất5nghiệm Từ suy đồ thị củah(x)như sau:

x y

O −2 −1

Từ hình vẽ, suy h0(x) có nghiệm đơn bằng0 và 4nghiệm phân biệt cịn lại khơng thuộc tập

{0,a,b,c,d}

Do đóg0(x)có8nghiệm đơn phân biệt khác0và có nghiệm bội ba bằng0 Vậyg(x)có9điểm cực trị

Chọn phương ánC.

1.135 (Đề thức 2020). Cho hàm số bậc bay = f(x)có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình

f(x3f(x))+1=0là

A B C D

x y

O −1

§5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Nguyễn Minh Hiếu

Từ đồ thị(C)của hàm số f(x), ta suy

• Phương trình f(x)=−1⇔



 

x=0

x=a>

x=b> a • Phương trình f(x)=0⇔ x=c>b

x y

O −1

a b

c

Do đó, ta có

f(x3f(x))+1= 0⇔



 

x3f(x)=0 (1)

x3f(x)=a (2)

x3f(x)=b (3)

Khi

• Phương trình(1)⇔

đ

x=0

f(x)= ⇔ ñ

x=

x= c

• Phương trình(2) ⇔ f(x) = a

x3 Số nghiệm phương trình(2)bằng số giao điểm đồ thị (C)với đồ thị(C1) : g(x)=

a x3

Vớia> 0ta cóg0(x)=−3a

x4 <0, ∀x,

Từ suy bảng biến thiên hàm sốg(x)= a

x3

x g0(x)

g(x)

−∞ 0 +∞

− −

0

−∞ +∞

0

Từ bảng biến thiên hàm sốg(x)và đồ thị(C), ta suy ∗ Trên khoảng(−∞; 0), ta thấy

x g(x)

f(x)

−∞

0

−∞

−∞ −∞

−1

−1

Suy phương trình(2)có đúng1nghiệmx= x1 ∈(−∞; 0)

∗ Trên khoảng(0;c), ta thấy

®

f(x)<0

g(x)> nên phương trình(2)vơ nghiệm

x g(x)

f(x)

c +∞

a c3

a c3

0

0

+∞ +∞

Suy phương trình(2)có đúng1nghiệm x= x2 ∈(c;+∞)

Do đó, phương trình(2)có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình(1) • Phương trình(3)⇔ f(x)= b

x3

Tương tự trên, ta có phương trình(3)có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình(1)và(2)

Vậy phương trình f(x3f(x))+1=0có6nghiệm phân biệt

Chọn phương ánA.

7 Tiếp tuyến đồ thị hàm số

1.136 (Đề thức 2018). Cho hàm sốy =

4x

4−

2x

2 có đồ thị(C) Có điểmAthuộc (C)sao cho tiếp tuyến (C)tạiAcắt(C)tại hai điểm phân biệt M(x1;y1),N(x2;y2)(M,N khácA)

thỏa mãny1−y2 =6(x1−x2)?

A B C D

Lời giải.

Tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu tốn có hệ số góck= y1−y2 x1−x2

=6 Ta cóy0 = x3−7x;y0 = 0⇔

đ

x=0

x=± √

7 Bảng biến thiên

x y0 y

−∞ −√7 √7 +∞

− + − +

+∞ +∞

−494 −494

0

−494 −494

+∞ +∞

Lại cóy0(x0)= k⇔ x30−7x0 =6⇔ 

 

x0 =−2

x0 =−1

x0 =3

Từ bảng biến thiên yêu cầu tốn suy x0 =3khơng thỏa mãn

Vậy có hai điểmAthỏa mãn yêu cầu toán

Khối Đa Diện

§1 Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Khối Đa Diện

1 Xác định số đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện

2.1 (Đề tham khảo 2017). Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

A 12 B 11 C 10 D

Lời giải.

Đếm số mặt ta thấy hình đa diện hình vẽ có 11 mặt

Chọn phương ánB.

2 Tính chất đối xứng

2.2 (Đề thử nghiệm 2017). Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?

A Tứ diện B Bát diện

C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác

Lời giải.

Hình tứ diện khơng có tâm đối xứng

Chọn phương ánA.

2.3 (Đề thức 2017). Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng?

A 9mặt phẳng B 4mặt phẳng C 3mặt phẳng D 6mặt phẳng

Lời giải.

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước khác có mặt phẳng đối xứng

§2 Thể Tích Khối Chóp Nguyễn Minh Hiếu

§2 Thể Tích Khối Chóp

1 Cơng thức, lý thuyết

2.4 (Đề tham khảo 2018). Thể tích khối chóp có chiều cao bằnghvà diện tích đáy bằngBlà

A V =

6Bh B V = Bh C V =

1

3Bh D V =

1

2Bh

Lời giải.

Cơng thức tính thể tích khối chóp làV =

3Bh

Chọn phương ánC.

2.5 (Đề tham khảo 2020). Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3và chiều caoh = Thể tích khối chóp cho

A B 12 C D 36

Lời giải.

Từ cơng thức tính thể tích khối chópV =

3Bh, ta cóV =

3 ·3·4=4

Chọn phương ánA.

2.6 (Đề thức 2020). Cho khối chóp có diện tích đáyB=2a2và chiều caoh=6a Thể tích khối chóp cho

A 6a3. B. 12a3. C. 2a3. D. 4a3.

Lời giải.

Thể tích khối chóp cho làV =

3Bh=

1 ·2a

2·6a=4a3.

Chọn phương ánD.

2.7 (Đề thức 2020). Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều caoh = Thể tích khối chóp cho

A 12 B C D

Lời giải.

Thể tích khối chóp cho làV =

3Bh=

1

3 ·6·2=

Chọn phương ánD.

2.8 (Đề thức 2018). Cho khối chóp có đáy hình vng cạnh avà chiều cao bằng2a Thể tích khối chóp cho

A 4a3 B

3a

3. C. 2a3. D.

3a

3.

Lời giải.

Diện tích đáy khối chóp làS =a2 Vậy, thể tích khối chóp làV =

3S h=

1

3a

2·2a=

3a

3.

Chọn phương ánB.

2.9 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh2a thể tích a3 Tính chiều caohcủa hình chóp cho

A h= √

3a

3 B h=

√

3a C h= √

3a

2 D h=

√

3a

6

Lời giải.

Diện tích đáy làS4ABC =

1

2AB·AC·sin 60

◦ =

2 ·2a·2a·

√

3

2 =a

2√3.

Do chiều cao hình chóp làh= 3VS.ABC S4ABC

= 3a3 a2√3 =a

√

3

Chọn phương ánB.

2 Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

A V = √2a3. B. V =

√

2a3

4 C V =

√

2a3

3 D V =

√

2a3

6

Lời giải.

Diện tích đáySABCD= a2 Thể tích khối chóp làV =

1

3SABCD·S A=

a3√2

3

Chọn phương ánC.

2.11 (Đề tham khảo 2017). Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,S Avng góc với mặt đáy,S Dtạo với mặt phẳng(S AB)một góc bằng30◦ Tính thể tíchVcủa khối chópS.ABCD

A V = √

6a3

18 B V =

√

3a3 C V =

√

3a3

3 D V =

√

6a3

3

Lời giải.

Diện tích dây làSABCD =a2

Ta có

®

DA⊥S A

DA⊥BA ⇒ DA⊥(S AB)

Do góc giữaS Dvà(S AB)làDS A, suy ra‘ DS A‘ =30◦

Trong tam giácS ADvng tạiAcóS A= AD

tan 30◦ = a

√

3 Vậy thể tích khối chóp làV =

3 ·SABCD·S A=

a3√3

3

A

D C

B S

Chọn phương ánC.

2.12 (Đề thức 2017). Cho khối chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,S Avng góc với đáy vàS C tạo với mặt phẳng(S AB)một góc30◦ Tính thể tíchV khối chóp cho

A V = √

6a3

3 B V =

√

2a3

3 C V =

2a3

3 D V =

√

2a3

Lời giải.

Diện tích hình vngABCDlàSABCD =a2

Ta có

®

BC ⊥AB

BC ⊥S A ⇒ BC ⊥(S AB)

Suy raS Blà hình chiếu củaS C trên(S AB)

Do đóCS B‘ góc giữaS C và(S AB)hayCS B‘ =30◦

Trong tam giácS BCvng BcóS B= BC

tan 30◦ = a

√

3 Trong tam giácS ABvng tạiAcóS A= √S B2−AB2 =a√2.

Vậy thể tích khối chópS.ABCDlàV =

3SABCD·S A=

a3 √

2

3

A

B C

D S

Chọn phương ánB.

3 Khối chóp đều

2.13 (Đề tham khảo 2019). Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh bằng2a Thể tích khối chóp cho

A √

2a3

3 B

2√2a3

3 C

8a3

3 D

8√2a3

3

Lời giải.

Gọi khối chóp làS.ABCD, ta có diện tích đáySABCD = (2a)2= 4a2

GọiOlà tâm đáy, ta cóAC =2√2a⇒ AO=a√2

Do chiều caoS O=

√

S A2−AO2 = √4a2−2a2= a√2.

Vậy thể tích khối chóp làV =

3SABCD·S O=

1 ·4a

2·a√2=

√

2a3

3

Chọn phương ánA.

§2 Thể Tích Khối Chóp Nguyễn Minh Hiếu

A V = √

2a3

2 B V =

√

2a3

6 C V =

√

14a3

2 D V =

√

14a3

6

Lời giải.

Giả sử khối chóp tứ giác làS.ABCDvà gọiOlà tâm củaABCD Theo giả thiết ta cóAB=a, suy raSABCD= a2

Lại cóAO=

2AC =

a √

2

2 ,S A= 2AB= 2a

Suy raS O= √

S A2−AO2 =  

4a2− 2a

4 =

a√14

2

Vậy thể tích khối chóp làV =

3SABCD.S O=

a3√14

6 A B

C D

O S

Chọn phương ánD.

4 Khối chóp khác

2.15 (Đề minh họa 2016). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh √2a

Tam giác S ADcân S mặt bên (S AD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp

S.ABCDbằng

3a

3 Tính khoảng cáchhtừBđến mặt phẳng(S CD).

A h=

3a B h=

3

4a C h=

4

3a D h=

8 3a

Lời giải.

Diện tích đáySABCD =2a2

GọiHtrung điểmADta cóS H ⊥(ABCD) Do đóS H = 3VS.ABCD SABCD

= 2a C1: Ta cód(B,(S CD))= d(A,(S CD))=2d(H,(S CD))

GọiK hình chiếu củaH trênS D, ta có

®

HK ⊥S D

HK ⊥CD ⇒HK ⊥(S CD)hayHK = d(H,(S CD))

Lại có HK = HS ·HD

S D =

2a· a √

2  

4a2+ 2a

= 2a

3

Vậyd(B,(S CD))=2HK = 4a

3 A B C D S H K x y z

C2: Đặta=1và gắn hệ tọa độ hình vẽ Ta cóH(0; 0; 0),D

Ç√

2

2 ; 0;

å ,C Ç √ 2 ; √ 2; å

,S(0; 0; 2),B

Ç

−√2

2 ;

√

2; å

Suy raS C# »=

Ç√

2

2 ;

√

2;−2 å

,S D# »=

Ç√

2

2 ; 0;−2

å

⇒ỵS C# »,S D# »ó=Ä−2√2; 0;−1ä Do mặt phẳng(S CD)có phương trình−2√2x−z+2=

Vậyd(B,(S CD))= √|2+2|

8+1 =

4

Chọn phương ánC.

2.16 (Đề tham khảo 2020). Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vng cân tạiA,AB=a,

‘

S BA = S CA‘ = 90◦, góc hai mặt phẳng(S AB)và (S AC)bằng60◦ Thể tích khối chóp cho

A a

6 B

a3

3 C

a3

2 D a

3.

Lời giải.

A B

C O

S

K H

Diện tích đáyABClàS4ABC =

1

2AB·AC =

a2

GọiHlà hình chiếu củaS trên(ABC), ta có

®

AB⊥S B AC ⊥S H ⇒

®

AB⊥HB AC ⊥HC

Từ suy raABCHlà hình vng cạnha

GọiK hình chiếu củaBtrênS A, ta có

®

S A⊥BK

S A⊥BC ⇒S A ⊥(BKC) Do góc giữa(S AB)và(S AC)bằng góc giữaBK vàCK bằng60◦.

GọiOlà giao điểm củaBC vàAH, ta có KO⊥BC vàKO⊥S A

TH1: BKC‘ =60◦ ⇒ KO=

1

2BC = OA(vô lý)

TH2: BKC‘ =120◦ ⇒ KO=OBtan 30◦ =

a √

6

6

Lại có4S HAv 4OKA⇒S H = OK ·HA

KA = a√6

6 ·a

√

2  

a2

2 −

a2

6

=a

VậyVS.ABC =

1

3 ·S4ABC·S H =

a3

6

Chọn phương ánA.

§3 Thể Tích Khối Lăng Trụ

1 Công thức, lý thuyết

2.17 (Đề thức 2019). Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáyBvà chiều caohlà

A Bh B

3Bh C

1

3Bh D 3Bh

Lời giải.

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáyBvà chiều caohlàV = Bh

Chọn phương ánA.

2.18 (Đề tham khảo 2020). Thể tích khối lập phương cạnh2bằng

A B C D

Lời giải.

Từ công thức tính thể tích khối lập phươngV =a3, ta cóV =23 =8.

Chọn phương ánB.

2.19 (Đề tham khảo 2019). Thể tích khối lập phương cạnh2abằng

A 8a3. B. 6a3. C. 2a3. D. a3.

§3 Thể Tích Khối Lăng Trụ Nguyễn Minh Hiếu

Thể tích khối lập phương làV =(2a)3 =8a3

Chọn phương ánA.

2.20 (Đề tham khảo 2020). Cho khối lập phương có cạnh bằng6 Thể tích khối lập phương cho

A 18 B 72 C 216 D 36

Lời giải.

Thể tích khối lập phương cho bằng63 =216

Chọn phương ánC.

2.21 (Đề thức 2020). Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3;4;5 Thể tích khối hộp cho

A 10 B 60 C 12 D 20

Lời giải.

Thể tích khối hộp cho bằng3·4·5=60

Chọn phương ánB.

2.22 (Đề thức 2020). Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 3và chiều caoh = Thể tích khối lăng trụ cho

A 18 B C D

Lời giải.

Thể tích khối lăng trụ cho làV = Bh= 3·6=18

Chọn phương ánA.

2 Khối lăng trụ đứng

2.23 (Đề minh họa 2016). Tính thể tíchV khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, biếtAC0 = a√3

A V =

3a

3. B. V =

√

6a3

4 C V =

√

3a3. D. V = a3.

Lời giải.

ĐặtAB= x, ta có AC = √

AB2+BC2 = x√2 Suy raAC0= √

AA02+AC2 = x√3.

Lại cóAC0 = a√3, suy ra x=a Vậy thể tích khối lập phươngV = a3.

Chọn phương ánD.

2.24 (Đề thức 2019). Cho khối lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy là

tam giác cạnh avà AA0 = √3a(minh họa hình vẽ bên) Thể tích

của khối lăng trụ cho

A a

3

2 B

a3

4 C

3a3

2 D

3a3

4

B0

B A0

A

C0

C

Lời giải.

Ta cóS4ABC =

AB2√3

4 =

a2√3

4 Do thể tích khối lăng trụ

VABC.A0B0C0 = S4ABC·AA0 =

a2√3

4 ·

√

3a= 3a

3

4

2.25 (Đề tham khảo 2020). Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0có đáy hình thoi cạnha,BD=a√3vàAA0 =4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ cho

A √

3a3

3 B

2√3a3

3 C

√

3a3 D 4√3a3

A

B C

D A0

B0 C0

D0

Lời giải.

GọiOlà giao điểm củaAC vàBD, ta cóOB=

2BD =

a√3

2

Do đóOA=

√

AB2−OB2= a

2 ⇒ AC = 2OA=a

Khi diện tích đáy làSABCD =

1

2AC·BD =

a2√3

2

Vậy, thể tích khối lăng trụ làV =SABCD·AA0 =2a3

√

3 A

B C

D O

A0

B0 C0

D0

Chọn phương ánC.

2.26 (Đề tham khảo 2017). Tính thể tíchV khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a

A V = a

3√3

2 B V =

a3√3

6 C V =

a3√3

4 D V =

a3√3

12

Lời giải.

Diện tích đáyS =

2·a·a·

√

3

2 =

a2 √

3

4 ; chiều caoh=a

Do thể tích khối lăng trụ làV = Bh= a

3√3

4

Chọn phương ánC.

3 Khối lăng trụ xiên

2.27 (Đề thức 2018). Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0, khoảng cách từCđến đường thẳng BB0 bằng2, khoảng cách từ Ađến đường thẳng BB0 vàCC0lần lượt bằng1và √3, hình chiếu vng góc củaAlên mặt phẳng(A0B0C0)là trung điểm M củaB0C0 vàA0M =

√

3

3 Thể tích khối lăng

trụ cho

A √

3

3 B

√

3 C D

Lời giải.

GọiE,F hình chiếu củaAtrênBB0 vàCC0 Ta có

®

AE ⊥AA0

AF ⊥AA0 ⇒ AA

0 ⊥

(AEF)⇒ BB0 ⊥EF

Từ suy raEF =d(F,BB0)=d(C,BB0)= 2⇒ 4AEFvng tạiA

GọiNtrung điểmBCvàH= MN∩EF, ta cóAH =

2EF =

Dễ thấy4AMN vng tạiAvà có đường caoAH

Do

AM2 =

AH2 −

AN2 =

4 ⇒ AM=

A

N C B

B0 M

C0

H E A0

F

Lại có MN = √AM2+AN2 = √4

3

⇒ SBCC0B0 = MN·EF =

√

§4 Tỉ Số Thể Tích Nguyễn Minh Hiếu

VậyVABC.A0B0C0 = 3VABCC0 =

2VA.BCC0B0 =

2SBCC0B0·d(A,EF)= 2·

8

√

3

· √

3

2 =

Chọn phương ánD.

4 Bài toán thực tế khối lăng trụ

2.28 (Đề thức 2018). Ơng Adự định sử dụng hết6,5m2 kính để làm bể cá kính có

dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm trịn đến hàng phần trăm)?

A 1,33m3. B. 1,50m3. C. 1,61m3. D. 2,26m3.

Lời giải.

Gọix,hlần lượt chiều rộng chiều cao bể cá(x,h> 0)

Tổng diện tích khơng tính nắp bể cá là2x2+2·xh+2·2xh=2x2+6xh Theo giả thiết ta có2x2+6xh=6,5⇔ h= 6,5−2x

2

6x

Từ điều kiệnh> 0, ta có6,5−2x2 >0⇔ 0< x< √

13

2

Khi dung tích bể cá làV = x·2x·h= 13

6 x−

2 3x

3.

Xét hàm số f(x)= 13

6 x−

2 3x

3trên Ç

0;

√

13

å

Ta có f0(x)= 13

6 −2x

2, f0(x)= 0⇔ x=

√

39

6 Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

√ 39

√ 13

+ −

0

13 √

39 54 13

√ 39 54

0

Vậy bể cá có dung tích lớn 13 √

39

54 ≈1,50m

3.

Chọn phương ánB.

§4 Tỉ Số Thể Tích

1 Khối chóp

2.29 (Đề thử nghiệm 2017). Cho tứ diệnABCDcó thể tích 12 vàGlà trọng tâm tam giácBCD Tính thể tíchV khối chópA.GBC

A V = B V = C V = D V =

Lời giải.

Ta cód(G,BC)=

3d(D,BC)nênS4GBC =

1

3S4DBC Từ suy raVA.GBC =

3VADBC =4

Chọn phương ánC.

2.30 (Đề thử nghiệm 2017). Cho lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có đáy ABClà tam giác vng cân

tạiA, cạnh AC = 2√2 Biết AC0 tạo với mặt phẳng(ABC)một góc 60◦ AC0 = Tính thể tíchV khối đa diệnABCB0C0

A V = √

3

3 B V =

16

3 C V =

8

3 D V =

16√3

Ta cóVABCB0C0 = VABC.A0B0C0−VA.A0B0C0

Ta cóS4ABC =

1

2AB.AC =

GọiHlà hình chiếu củaC0trên(ABC) Ta có góc giữaC0Avà(ABC)là

’

C0AH = 60◦.

Trong tam giácC0HAcóC0H =C0A.sin 60◦ =2√3 Suy raVABC.A0B0C0 =S4ABC.C0H=

√

3 Lại cóVA.A0B0C0 =

1

3S4ABC.C

0

H = √

3

3

VậyVABCB0C0 =

√

3−

√

3

3 =

16√3

3

A B

C H C0

A0 B0

Chọn phương ánD.

2.31 (Đề minh họa 2016). Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a, AC = 7avà AD = 4a Gọi M,N,Ptương ứng trung điểm cạnh BC,CD,DB

Tính thể tíchV tứ diệnAMNP

A V =

2a

3. B. V =7a3. C. V =14a3. D. V = 28

3 a

3.

Lời giải.

C1: Ta có S4MNP

S4BCD

=

1

2d(N,MP)·NP

1

2d(B,CD)·CD

=

4

Suy VAMNP VABCD

=

1

3d(A,(MNP))·S4MNP

3d(A,(BCD))·S4BCD

=

4

VậyVAMNP =

1

4VABCD =

1 ·

1

6AB·AC·AD= 7a

3.

C2: Đặta= 1và gắn hệ tọa độ hình vẽ

Ta cóA(0; 0; 0),B(6; 0; 0),C(0; 7; 0),D(0; 0; 4)

Suy M

Å 3;7 ã ,N Å 0;7

2; ã

,P(3; 0; 2) Khi đóAM# »=

Å

3;7

2 ã

,AN# »=

Å 0;7

2; ã

, AP# »=(3; 0; 2) Suy rAM# »,AN# »ó=

Å

7;−6;21

2 ã

VậyVAMNP =

1 ỵ# »

AM,AN# »ó·AP# »

=7

A B C D M N P x y z

Chọn phương ánB.

2.32 (Đề tham khảo 2017). Cho khối tứ diện tíchV GọiV0là thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V

0

V

A V

0

V =

2

3 B

V0 V =

1

4 C

V0 V =

1

2 D

V0 V =

5

§4 Tỉ Số Thể Tích Nguyễn Minh Hiếu

Gọi tứ diện làABCDvà M, N,P, Q,R,S trung điểm

củaAC,AB,BC,CD, AD,BD

Ta cóV0= V− V

A.MNR+VB.NPS +VC.MPQ+VD.QRS

Trong VA.MNR

V = AM

AC · AN AB ·

AR AD =

1

8 hayVA.MNR=

1 8V

Tương tựVB.NPS =VC.MPQ =VD.QRS =

1 8V

VậyV0 = V−4.1

8V =

1 2V

C

P Q

S A

B N

D R

M

Chọn phương ánC.

2.33 (Đề thức 2020). Cho hình chóp S.ABCDcó cạnh đáy bằnga, cạnh bên 2avà

Olà tâm đáy Gọi M, N, P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam

giácS AB,S BC,S CD,S DAvàS0 điểm đối xứng vớiS quaO Thể tích khối chópS0.MNPQ

A 20 √

14a3

81 B

40√14a3

81 C

2√14a3

9 D

10√14a3

81

Lời giải.

B C

D

S0

I0

H0

S

M P

Q

I N

G0

A G

K

K0 H

O

GọiG0,H0,I0 vàK0 trung điểm cạnhAB,BC,CDvà DA Ta cóSG0H0I0K0 =

1

2SABCD =

1

2a

2.

GọiG, H, IvàK trọng tâm tam giácS AB,S BC,S CDvàS DA Hai hình vuôngGHIK vàG0H0I0K0đồng dạng tỉ số

3 nênSGHIK =

4

9 ·SG0H0I0K0 =

9a

2.

Hai hình vngMNPQvàGHIK đồng dạng tỉ số bằng2nênSMNPQ= 4·SGHIK =

8 9a

Tam giácS AOvuông tạiOnênS O= √

S A2−AO2 =  

4a2− 2a

4 =

√

14

2 a

Ta cód(O,(MNPQ))=2·d(O,(GHIK))=

3S O⇒ d(S

0,

(MNPQ))=

3S O=

5

√

14

6 a

Vậy thể tích khối chópS0.MNPQlà

VS.MNPQ =

1

3 ·SMNPQ·d(S

0,

(MNPQ))=

3· 9a

2·

√

14

6 a=

20√14a3

81

Chọn phương ánA.

2.34 (Đề thức 2017). Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga GọiM,Nlần lượt trung điểm

của cạnhAB, BCvàElà điểm đối xứng vớiBquaD Mặt phẳng(MNE)chia khối tứ diệnABCD

thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh Acó thể tíchV TínhV

A V = 11

√

2a3

216 B V =

√

2a3

18 C V =

7

√

2a3

216 D V =

13

√

2a3

216

Lời giải.

GọiOtrọng tâm tam giácBCDcóBO= a

√

3

3 ⇒ AO=

√

AB2−BO2 = a

√

6

3

Ta cóS∆BCD =

1

2BC·BD·sin 60

◦ = a

2√3

4 , suy raVABCD =

3S∆BCD·AO=

a3√2

12 A B C D O M N P Q E

GọiP= E M∩ADvà Q=EN ∩CD, ta cóAP =2PDvàCQ= 2QD

GọiV0là thể tích khối đa diện khơng chứa đỉnhA, ta cóV0 = VM.BNE−VP.DQE

Khi đóV = VABCD−V0= VABCD−VM.BNE+VP.DQE

Trong đóS4BNE =

1

2d(N,BE).BE = 2·

a √

3

4 ·2a=

a2 √

3

4

Suy raVM.BNE =

1

3 ·d(M,(BCE))·S4BCE =

1 · a √ 6 · a2 √ = a3 √ 24

Lại cóS4DQE =

1

2d(Q,DE)·DE =

1 ·

a √

3

6 ·a=

a2 √

3

12

Suy raVP.DQE =

1

3 ·d(P,(DQE))·S4DQE = ·

a√6

9 ·

a2√3

12 =

a3√2

108

VậyV = a

3√2

12 −

a3√2

24 +

a3√2

108 =

11a3√2

216

Chọn phương ánA.

2.35 (Đề thức 2020). Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng3a, cạnh bên √

3a

2

và Olà tâm đáy Gọi M, N, Pvà Q hình chiếu vng góc củaO mặt phẳng

(S AB),(S BC),(S CD)và(S DA) Thể tích khối chópO.MNPQbằng

A 2a

3

3 B

9a3

32 C

9a3

16 D

a3

3

§4 Tỉ Số Thể Tích Nguyễn Minh Hiếu A B C D O E F G H M P S N Q

Diện tích hình vngABCDlàSABCD = (3a)2 = 9a2

Ta cóAO=

2AC =

1 ·3a

√

2= 3a

√

2

2

Tam giácS AOvng tạiOcóS O=

√

S A2−AO2= 3a

Thể tích khối chópS.ABCDlàVS.ABCD =

1 ·9a

2· 3a

2 =

9a3

2

GọiE, F,G,Hlần lượt trung điểmAB,BC,CD, DA

Khi đóM, N,P,Qlần lượt hình chiếu củaOtrênS E,S F,S G,S H

Ta cóEO=

2AD=

3a

2 =S O, suy ra4S OE vuông cân tạiO

Do đóM trung điểmS Ehay S M

S E =

1

2, tương tự

S N S F =

S P S G =

S Q S H =

1

Khi VS.MNPQ VS.EFGH

= 2· 2· 2·

4 (2+2+2+2)=

1

Suy raVS.MNPQ =

1

8VS.EFGH =

16VS.ABCD = 9a3

32

Mặt khácd(O,(MNPQ))=d(S,(MNPQ)), đóVO.MNPQ =VS.MNPQ=

9a3

32

Chọn phương ánB.

2 Khối lăng trụ

2.36 (Đề tham khảo 2019). Cho khối lăng trụABC.A0B0C0 có thể tích Gọi M, N lần lượt là

trung điểm đoạn thẳngAA0vàBB0 Đường thẳngC Mcắt đường thẳngC0A0tạiP, đường thẳng CN cắt đường thẳngC0B0tạiQ Thể tích khối đa diện lồiA0MPB0NQbằng

A

3 B C

2

3 D

1

Lời giải.

Ta cóVC.A0B0C0 =

3VABC.A0B0C0 =

Suy raVC.ABB0A0 =VABC.A0B0C0 −VC.A0B0C0 =1−

3 =

2

Lại cóVC.ABN M =

1

2VC.ABB0A0 = 2· =

Từ suy raVCC0MN B0A0 =VABC.A0B0C0 −VC.ABN M =1−

3 =

2

Mặt khácS4C0AP =4S4C0A0B0 ⇒VC.C0PQ = 4VC.C0A0B0 =

VậyVA0MPB0NQ= VC.C0PQ−VCC0MN B0A0 = − = A B C A0 B0 C0 M N P Q

2.37 (Đề tham khảo 2020). Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có chiều cao diện tích đáy bằng9 GọiM,N,PvàQlần lượt tâm mặt bênABB0A0,BCC0B0,CDD0C0vàDAA0D0 Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểmA, B,C,D,M, N,Pvà Qbằng

A 36 B 18 C 27 D 30

Lời giải.

Giả sử mặt phẳng(MNPQ)cắt cạnh bênAA0,BB0,CC0,DD0 A1, B1,C1, D1 gọiV thể tích khối đa diện cần

tìm, ta có

V = VABCD.A1B1C1D1 − VA.A1MQ+VB.B1N M+VC.C1PN+VD.D1QP

= VABCD.A1B1C1D1 −4·

24VABCD.A1B1C1D1

=

6VABCD.A1B1C1D1 =

12VABCD.A0B0C0D0

=

12·9·8= 30

A

B C

D A0

B0 C0

D0

M N

P Q A1

B1

C1

D1

Chọn phương ánD.

2.38 (Đề thức 2019). Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có chiều cao đáy tam giác cạnh bằng6 Gọi M, N P tâm mặt bênABB0A0, ACC0A0 và BCC0B0 Thể tích

của khối đa diện lồi có đỉnh điểmA, B,C,M, N,Pbằng

A 30√3 B 21√3 C 36√3 D 27√3

Lời giải.

Diện tích tam giác ABC S4ABC =

62√3

4 =

√

3 Do

đó thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 là V = 9√3· 8 =

72√3 Gọi A1, B1, C1 trung điểm AA0,

BB0, CC0, ta có V

ABC.A1B1C1 =

V

2 VA.A0B0C0 =

V

3 Khi

đó VA.A1MN =

8VA.A0B0C0 =

V

24 Tương tự, ta tính

VB.B1MP =VC.C1NP =

V

24 Như vậy,

VABC MNP =VABC.A1B1C1 − VA.A1MN+VB.B1MP+VC.C1NP

= V

2 −

Å

V

24 +

V

24 +

V

24 ã

= 3V

8 = 27

√

3

B0

P M

N

B A0

A

C0

C

A1 C1

B1

Chọn phương ánD.

2.39 (Đề tham khảo 2018). Cho hai hình vng ABCDvàABEF có cạnh 1, nằm

hai mặt phẳng vng góc với GọiS điểm đối xứng với Bqua đường thẳngDE Thể tích

khối đa diệnABCDS EFbằng

A

3 B

5

6 C

11

12 D

7

§4 Tỉ Số Thể Tích Nguyễn Minh Hiếu

Ta cóVABCDS EF =VBCE.ADF +VS.CDFE

Tam giácADFvuông cân tạiAnênS4ADF =

1

2 ·AD·AF =

1

Do đóVBCE.ADF = S4ADF·AB=

1

Lại có4BCEvng cân tạiBnênCE = √2

Tứ giácCDFElà hình chữ nhật nênSCDFE =CD·CE =

√

2

Ta cóS đối xứng với BquaDE

Do đód(S,(CDFE))= d(B,CDFE))=

2CE =

√

2

2

Suy raVS.CDFE =

1

3 ·SCDFE ·d(S,(CDFE))=

1

VậyVABCDS EF = VBCE.ADF+VS.CDFE =

1

2 +

1

3 =

5

B

S

E F

C D

A

Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lơgarit

§1 Lũy Thừa

3.1 (Đề thử nghiệm 2017). Cho biểu thức P =

4

q

x·

»

x2· √x3, với x > 0 Mệnh đề đây

đúng?

A P= x14. B. P= x 13

24. C. P= x

2

3. D. P= x

1 2.

Lời giải.

C1: Nhập vào máy tính biểu thứclogX

q

X·

»

X2· √X3.

Nhấn CACL = kết 13

24 nên chọn phương ánP= x

13 24.

C2: Ta cóP=

q

x·

»

x2· √x3 =

q

x·

3 »

x2·x32 =

q

x·

3 »

x72 = »

x· x76 = »

x136 = x 13 24.

Chọn phương ánB.

3.2 (Đề tham khảo 2017). Tính giá trị biểu thứcP= Ä7+4√3ä2017Ä4√3−7ä2016

A P= 7+4

√

3 B P=7−4

√

3

C P= D P=Ä7+4√3ä2016

Lời giải.

Ta cóP= Ä7+4

√

3ä ỵÄ7+4

√

3ä Ä4

√

3−7äó2016= Ä7+4

√

3ä(−1)2016 =7+4

√

3

Chọn phương ánA.

§2 Lơgarit

1 Cơng thức, lý thuyết

3.3 (Đề tham khảo 2018). Vớialà số thực dương bất kỳ, mệnh đề đâyđúng?

A log(3a)=

3loga B log(3a)= loga C loga

3 = 3 loga. D. loga3 =

3loga

Lời giải.

Theo tính chất lơgarit thìloga3 =3 loga

Chọn phương ánC.

3.4 (Đề thử nghiệm 2017). Với số thực dươnga,bbất kì Mệnh đề đâyđúng?

A lna

b = lnb−lna B ln(ab)= lna.lnb

C lna

b =

lna

§2 Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Theo tính chất lơgarit tích tổng lơgarit ta chọn phương ánln(ab)=lna+lnb

Chọn phương ánD.

3.5 (Đề minh họa 2016). Cho hai số thựcavàb, với1<a< b Khẳng định đâyđúng?

A logba<logab<1 B logba<1<logab C logab<1<logba D 1<logab<logba

Lời giải.

Lấy lôgarit sốacả hai vế, ta có1< a < b⇔ <1 < logabnên loại phương ánlogab < 1<

logbavàlogba< logab<

Lấy lơgarit sốbcả hai vế, ta có1<a<b⇔ 0< logba< 1nên loại phương án1< logab< logba

Chọn phương ánB.

2 Tính tốn, rút gọn

3.6 (Đề tham khảo 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log2(a2)bằng

A

2log2a B 2+log2a C log2a D

2 +log2a

Lời giải.

Vớialà số thực dương tùy ý, ta cólog2 a2=2 log2a

Chọn phương ánC.

3.7 (Đề thức 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log4(4a)bằng

A 1+log4a B 4+log4a C 4−log4a D 1−log4a

Lời giải.

Ta cólog4(4a)=log44+log4a=1+log4a

Chọn phương ánA.

3.8 (Đề tham khảo 2017). Choa số thực dương, a , 1và P = log√3aa3 Mệnh đề

đúng?

A P=

3 B P= C P= D P=

Lời giải.

C1: Ta cóP= log√3aa3 =3 log

a13 a=9 logaa=9

C2: Nhập vào máy tính biểu thứclog√3

XX

3 Nhấn CACL 2=được kết 9.

Chọn phương ánC.

3.9 (Đề thức 2019). Vớialà số thực dương tùy ý,log5a2

A

2 +log5a B log5a C

2log5a D 2+log5a

Lời giải.

Áp dụng công thứclogbaα =αlogba, ta cólog5a2 =2 log 5a

Chọn phương ánB.

3.10 (Đề thức 2017). Choalà số thực dương khác1 TínhI =log√ aa

A I =

2 B I = C I = −2 D I =

Lời giải.

Ta cóI =log

a12 a= logaa=

Chọn phương ánB.

3.11 (Đề tham khảo 2019). Vớiavàblà hai số thực dương tùy ý,log ab2bằng

A loga+logb B loga+2 logb C loga+

2logb D loga+logb

Lời giải.

Ta cólog ab2= loga+log b2=loga+2 logb

Chọn phương ánB.

3.12 (Đề thức 2020). Vớia,blà số thực dương tùy ý vàa,1,loga5bbằng

A logab B

1

5logab C

1

Lời giải.

Ta cóloga5b= 5logab

Chọn phương ánB.

3.13 (Đề tham khảo 2020). Vớialà số thực dương tùy ý,log2 a3bằng

A

2log2a B log2a C

3log2a D 3+log2a

Lời giải.

Từ công thứclogabα =αlogab (a,b>0;a,1), ta cólog2 a3

=3 log2a

Chọn phương ánB.

3.14 (Đề thức 2018). Vớialà số thực dương tùy ý,ln(5a)−ln(3a)bằng

A ln5

3 B

ln

ln C

ln(5a)

ln(3a) D ln(2a)

Lời giải.

Ta cóln(5a)−ln(3a)=ln5a

3a =ln

5

Chọn phương ánA.

3.15 (Đề thức 2019). Choavàblà hai số thực dương thỏa mãna4b=16 Giá trị của4 log2a+

log2bbằng

A 16 B C D

Lời giải.

Vìa,bdương nên ta cóa4b= 16⇔ log a4b

= log216⇔ log2a+log2b=

Chọn phương ánD.

3.16 (Đề thử nghiệm 2017). Với số thực dươnga,bbất kì Mệnh đề đâyđúng?

A log2 Å

2a3 b

ã

=1+

3log2a−log2b B log2

Å 2a3

b

ã

= 1+3 log2a+log2b

C log2 Å

2a3 b

ã

=1+

3log2a+log2b D log2

Å

2a3 b

ã

= 1+3 log2a−log2b

Lời giải.

Ta cólog2 Å

2a3

b

ã

= log2 2a3−log2b=log22+log2a3−log2b= 1+3 log2a−log2b

Chọn phương ánD.

3.17 (Đề tham khảo 2020). Xét tất số thực dươnga bthỏa mãn log2a = log8(ab) Mệnh

đề đâyđúng?

A a3 = b B a= b C a= b2 D a2= b

Lời giải.

Ta có

log2a=log8(ab) ⇔ log2a=

3log2(ab)

⇔ log2a= log2a+log2b

⇔ log2a= log2b

⇔ a2= b

Chọn phương ánD.

3.18 (Đề thức 2017). Vớia,blà số thực dương tùy ý vàakhác1, đặtP=logab3+log a2b6

Mệnh đề đâyđúng?

A P=6 logab B P=27 logab C P=15 logab D P=9 logab

Lời giải.

Ta cóP= logab+

6

2logab=6 logab

Chọn phương ánA.

3.19 (Đề minh họa 2016). Cho số thực dươnga,b,vớia, Khẳng định đâyđúng?

A loga2(ab)=

2logab B loga2(ab)=

1

§2 Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

C loga2(ab)=2+2 logab D loga2(ab)=

1 +

1 2logab

Lời giải.

Ta cóloga2(ab)=

2loga(ab)=

2(1+logab)=

2 +

1

2logab

Chọn phương ánD.

3.20 (Đề tham khảo 2020). Xét số thực a b thỏa mãn log3 3a·9b = log93 Mệnh đề đúng?

A 4a+2b= B 4ab=1 C 2a+4b= D a+2b=

Lời giải.

Ta cólog3 3a·9b

=log93⇔log3(3a)+log

3 32

b

=

2 ⇔a+2b=

1

2 ⇔2a+4b=1

Chọn phương ánC.

3.21 (Đề thức 2020). Vớia,blà số thực dương tùy ý thỏa mãnlog2a−2 log4b=3, mệnh đề đúng?

A a=6b B a=8b2 C a=8b D a=8b4

Lời giải.

Ta cólog2a−2 log4b=3⇔log2a−log2b=3⇔log2 a

b =3⇔ a b =2

3 ⇔a=8b.

Chọn phương ánC.

3.22 (Đề thức 2020). Choa, blà hai số thực dương thỏa mãn4log2(a2b) = 3a3 Giá trị củaab2

bằng

A B 12 C D

Lời giải.

Ta có4log2(a2b) =3a3 ⇔ Ä

2log2(a2b) ä2

=3a3 ⇔ a2b2 =3a3 ⇔a4b2 =3a3 ⇔ab2 =3

Chọn phương ánC.

3.23 (Đề tham khảo 2017). Choa,blà số thực dương thỏa mãna, 1,a, √bvàlogab= √3 TínhP= log√

b a

…

b a

A P= −1− √3 B P= −1+

√

3 C P= −5+3

√

3 D P= −5−3

√

3

Lời giải.

C1: Ta cóP= log√ b a … b a = loga … b a loga √ b a =

2(logab−1)

2logab−1

= √

3−1

√

3−2 =

−1− √3

C2: Ta cólogab= √3⇔ b=a

√

3 Nhập máylog√

X √ X   X √ X

Nhấn CALC2=được kết quảP=−1− √3

Chọn phương ánA.

3.24 (Đề tham khảo 2018). Cho dãy số(un)thỏa mãnlogu1+ p

2+logu1−2 logu10 = logu10và

un+1 =2un với mọin>1 Giá trị nhỏ củanđểun >5100bằng

A 248 B 290 C 247 D 229

Lời giải.

Biến đổi giả thiết ta có

 

2−logu

2 10

u1

=logu 10 u1 ⇔        logu 10 u1 >0

2−logu

2 10

u1

= log2u 10

u1

⇔ logu

2 10

u1

=1⇔ u

2 10

u1

=10 (1)

Từ điều kiệnun+1 =2unvới mọin> 1, ta có(un)là cấp số nhân với công bộiq=2

Suy rau10 =u1.29thay vào (1) đượcu1·218 =10⇔ u1= 5·2−17

Khi đóun =5·2−17·2n−1 =5·2n−18

Suy raun >5500 ⇔2n−18> 599⇔ n>18+99 log25≈247,87

Vậy giá trị nhỏ củanđểun> 5500là248

Chọn phương ánA.

3 Biểu diễn lôgarit

3.25 (Đề tham khảo 2019). Đặtlog32= a, đólog1627bằng

A 3a

4 B

4

3a C

4a

3 D

3 4a

Lời giải.

Ta cólog1627= log2433 =

4log23=

3

4 log32 =

3 4a

Chọn phương ánD.

3.26 (Đề minh họa 2016). Đặta=log23,b=log53 Hãy biểu diễnlog645theoavàb

A log645= 2a

2−2ab

ab B log645=

a+2ab ab+b

C log645= 2a

2−2ab

ab+b D log645=

a+2ab ab

Lời giải.

C1: Ta cólog645= log345

log36 =

log3(9·5) log3(2·3) =

2+log35

log32+1 =

2+ 1b a +1

= 2ab+a ab+b C2: Nhậplog23lưu vào biến nhớ A;log53lưu vào biến nhớ B

Nhậplog645−các phương án, kết chọn

Chọn phương ánB.

3.27 (Đề thức 2017). Cho logax = 3, logbx = với a, b số thực lớn Tính P=logabx

A P= 12

7 B P=

7

12 C P=

1

12 D P=12

Lời giải.

Ta cóP= logabx=

logx(ab)

=

logxa+logxb

=

1 logax

+

logbx

=

1

3 +

1

= 12

7

Chọn phương ánA.

4 Cực trị lôgarit

3.28 (Đề thử nghiệm 2017). Xét số thựca,bthỏa mãna > b> Tìm giá trị nhỏ nhấtPmincủa

biểu thức P=log2a b a

2

+3 logb

a

b

A Pmin= 13 B Pmin= 19 C Pmin= 14 D Pmin= 15

Lời giải.

C1: Ta cóP=4 log2a b

a+3(logba−1)=

4

(1−logab)2 + logab −3 Đặtt =logab, với1< b<ata có0< t<1 Khi đóP=

(1−t)2 +

t −3

Xét hàm số f(t)=

(1−t)2 +

t −3trên(0; 1) Ta có f0(t)=

(1−t)3 −

t2; f

(t)=0⇔ 8t2 =3(1−t)3⇔ t=

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Nguyễn Minh Hiếu

t f0(t)

f(t)

0 13

− +

+∞ +∞

15 15

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy ramin

(0;1) f(t)= f Å1

3 ã

=15 Vậy giá trị nhỏ củaPlà 15

C2: Chọnb=2 Chọn MODE Nhập vào máy tính biểu thức

Å

logX

2

X2

ã2

+3 log2

Å

X

2 ã

Chọn START = 3, END = 20 STEP =1, ta phương ánPmin =15

Chọn phương ánD.

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

1 Tìm tập xác định

3.29 (Đề thức 2020). Tập xác định hàm sốy=4x là

A R B (0;+∞) C R\ {0} D [0;+∞)

Lời giải.

Tập xác định hàm sốy= 4x làD = R

Chọn phương ánA.

3.30 (Đề thức 2020). Tập xác định hàm sốy=log5xlà

A (−∞; 0) B (0;+∞) C (−∞;+∞) D [0;+∞)

Lời giải.

Tập xác định hàm sốy= log5xlàD =(0;+∞)

Chọn phương ánB.

3.31 (Đề tham khảo 2020). Tập xác định hàm sốy= log2xlà

A (0;+∞) B (−∞;+∞) C [0;+∞) D [2;+∞)

Lời giải.

Tập xác định hàm số cho làD =(0;+∞)

Chọn phương ánA.

3.32 (Đề thức 2017). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=(x−1)13.

A D =R\ {1} B D =R C D =(1;+∞) D D =(−∞; 1)

Lời giải.

Số mũ

3 <Znên điều kiện x−1>0⇔ x> VậyD =(1;+∞)

Chọn phương ánC.

3.33 (Đề minh họa 2016). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=log2 x2−2x−3

A D =(−∞;−1)∪(3;+∞) B D = (−1; 3)

C D =[−1; 3] D D = (−∞;−1]∪[3;+∞)

Lời giải.

Điều kiệnx2−2x−3>0⇔ ñ

x>

x< −1 Do tập xác địnhD =(−∞;−1)∪(3;+∞)

Chọn phương ánA.

3.34 (Đề thức 2017). Tìm tập xác địnhD hàm sốy=log5 x−3

x+2

A D =(−∞;−2)∪[3;+∞) B D = R\ {−2}

C D =(−∞;−2)∪(3;+∞) D D = (−2; 3)

C1: Điều kiện x−3

x+2 >0⇔(x−3)(x+2)> 0⇔ ñ

x>3

x<−2, suy raD =(−∞;−2)∪(3;+∞)

C2: Nhập vào máy tính biểu thứclog5 X−3

X+2

Nhấn CALC = máy báo lỗi nên loại phương ánD = R\ {−2}vàD =(−2; 3) Nhấn CALC

3 = máy báo lỗi nên loại phương ánD =(−∞;−2)∪[3;+∞)

Chọn phương ánC.

2 Tính đạo hàm

3.35 (Đề tham khảo 2017). Tìm đạo hàm hàm sốy= logx

A y0 =

10 lnx B y

0 =

x C y

0=

xln 10 D y

0= ln 10

x

Lời giải.

Từ cơng thức(logax)0 =

xlna, ta cóy

0 =

xln 10

Chọn phương ánC.

3.36 (Đề minh họa 2016). Tính đạo hàm hàm sốy= 13x

A y0 = 13

x

ln 13 B y

0 =

13x·ln 13 C y0= 13x D y0= x·13x−1

Lời giải.

Sử dụng cơng thức(ax)0 =axln 3ta cóy0 =13xln 13

Chọn phương ánB.

3.37 (Đề tham khảo 2019). Hàm số f(x)= log2 x2−2xcó đạo hàm

A f0(x)= ln

x2−2x B f

(x)= (2x−2) ln

x2−2x

C f0(x)=

x2−2x

ln D f

0

(x)= 2x−2

x2−2x

ln

Lời giải.

Áp dụng công thức(logau)

0= u

0

ulna, ta có f

0

(x)= x

2−2x0

x2−2x

ln =

2x−2

x2−2x

ln

Chọn phương ánD.

3.38 (Đề thử nghiệm 2017). Tính đạo hàm hàm sốy=lnÄ1+ √x+1ä

A y0 =

√

x+1Ä1+

√ x+1ä

B y0 =

2

√

x+1Ä1+

√

x+1ä

C y0 =

1+ √x+1 D y

0 =

√

x+1Ä1+ √x+1ä

Lời giải.

Ta cóy0 =

Ä

1+ √x+1ä0

1+ √x+1 =

1

2√x+1Ä1+ √x+1ä

Chọn phương ánB.

3.39 (Đề thức 2019). Hàm sốy=2x2−3x có đạo hàm là

A (x2−3x)·2x2−3x−1 B (2x−3)·2x2−3x·ln

C 2x2−3x·ln D (2x−3)·2x2−3x

Lời giải.

Áp dụng cơng thức(au)0= u0·au·lna, ta cóy0 = x2−3x0·2x2−3x·ln 2=(2x−3)·2x2−3x·ln

Chọn phương ánB.

3.40 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm sốy= lnx

x , mệnh đề đâyđúng?

A 2y0+ xy00 =

x2 B y 0+

xy00 =

x2 C y 0+

xy00 =−

x2 D 2y

0+

xy00 =−

§3 Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Ta cóy0 = 1−lnx x2 ;y

00 = −x−2x(1−lnx)

x4 =

−3+2 lnx x3

Khi đó2y0+ xy00 = 2(1−lnx) x2 +

−3+2 lnx x2 = −

1

x2 nên chọn phương án2y 0+

xy00 = −1 x2

Chọn phương ánD.

3.41 (Đề minh họa 2016). Tính đạo hàm hàm sốy= x+1

4x

A y0 = 1+2(x+1) ln

2x2 B y

0 = 1+2(x+1) ln

22x

C y0 = 1−2(x+1) ln

22x D y

0 = 1−2(x+1) ln

2x2

Lời giải.

Ta cóy0 =

x−

(x+1)4xln

(4x)2 =

4x(1−(x+1) ln 4)

(4x)2 =

1−2(x+1) ln

4x

Chọn phương ánC.

3 Sự biến thiên đồ thị

3.42 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số f(x) = xlnx Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đồ thị hàm sốy= f0(x) Tìm đồ thị

A

x y

O

1

B

x y

O

1

C

x y

O

D

x y

O

Lời giải.

Ta có f0(x)= lnx+1xác định trên(0;+∞)nên loại phương án A D Lại có f0(1)=1nên loại phương án B.

Chọn phương ánD.

3.43 (Đề thử nghiệm 2017). Cho ba số thực dương a,b,c khác1 Đồ thị hàm sốy = ax,y = bx,y = cx cho hình vẽ bên Mệnh

đề đâyđúng?

A c<a< b B a< b<c C b<c<a D a<c< b

x y

O

1

y=ax y=bx y=cx

Lời giải.

Trên đồ thị kẻ đường thẳng x= 1cắt đồ thịy =ax,y =bx,y =cxlần lượt điểm có tung độa,b,c Dựa vào hình vẽ ta thấya< c<b

x y

O

1

a c b

1

y=ax y=bx y=cx

Chọn phương ánD.

3.44 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số y =

ln x2+1

−mx+1đồng biến khoảng(−∞;+∞)

Lời giải.

Ta cóy0 = 2x

x2+1 −m

C1: Xétm= 1, ta cóy0= 2x

x2+1−1=

−(x−1)2

x2+1 60,∀x∈R(không thỏa mãn ycbt) nên loại phương

án[−1; 1]và[1;+∞) Xétm = −1, ta có y0 = 2x

x2+1 +1 =

(x+1)2

x2+1 > 0,∀x ∈R(thỏa mãn ycbt) nên loại phương án (−∞;−1)

C2: Hàm số cho đồng biến trên(−∞;+∞)khiy0

> 0,∀x∈R

Hay 2x

x2+1−m>0,∀x∈R⇔ m6 2x

x2+1,∀x∈R (1)

Xét hàm số f(x)= 2x

x2+1 trênRcó f

(x)= −2x

2+2

(x2+1)2; f

(x)= 0⇔ x=±1 Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−∞ −1 +∞

− + −

0

−1

−1

1

0

Từ bảng biến thiên suy ra(1)⇔m6min

R

f(x)⇔ m6−1

Chọn phương ánA.

§4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ

1 Phương trình bản

3.45 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trình3x−1 =9là

A x= B x= C x= −3 D x= −2

Lời giải.

Ta có3x−1 =9⇔ 3x−1 =32 ⇔ x−1= 2⇔ x=3

Chọn phương ánB.

3.46 (Đề thức 2018). Phương trình22x+1= 32có nghiệm là

A x= B x=

2 C x= D x=

5

Lời giải.

Ta có22x+1 =32⇔2x+1=5⇔ x=

Chọn phương ánC.

3.47 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm nghiệm phương trình3x−1= 27.

A x= B x= 10 C x= D x=

Lời giải.

Ta có3x−1 =27⇔ 3x−1 =33 ⇔ x−1= 3⇔ x=4.

Chọn phương ánD.

3.48 (Đề tham khảo 2020). Nghiệm phương trình3x−1= 27là

A x= B x= C x= D x=

Lời giải.

Ta có3x−1 =27⇔ 3x−1 =33 ⇔ x−1= 3⇔ x=4.

§4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ Nguyễn Minh Hiếu

3.49 (Đề thức 2019). Nghiệm phương trình32x−1= 27là

A x=5 B x=2 C x=1 D x=4

Lời giải.

C1: Ta có32x−1 =27⇔ 32x−1 =33 ⇔2x−1= 3⇔ x=2.

C2: Nhập vào máy tính biểu thức32X−1−27 Dùng chức CALC, dò nghiệmx=2.

Chọn phương ánB.

3.50 (Đề tham khảo 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trình5x+1−

5 >0

A S =(−2;+∞) B S =(−1;+∞) C S =(1;+∞) D S =(−∞;−2)

Lời giải.

Ta có bất phương trình tương đương5x+1 > 5−1 ⇔ x+1> −1⇔ x> −2.

Chọn phương ánA.

3.51 (Đề minh họa 2016). Cho hàm số f(x)= 2x·7x2

Khẳng định đâysai?

A f(x)< 1⇔1+xlog27<0 B f(x)<1⇔ xlog72+x2 < 0.

C f(x)< 1⇔ xln 2+x2ln 7<0 D f(x)<1⇔ x+x2log27<

Lời giải.

Ta có2x·7x2 < 1⇔log

Ä

2x ·7x2ä< 0⇔ x+x2log

27<

Chọn phương ánA.

3.52 (Đề thức 2020). Tập nghiệm bất phương trình3x2−13 <27là

A (−4; 4) B (−4; 4) C (4;+∞) D (−∞; 4)

Lời giải.

Ta có3x2−13 <27⇔3x2−13 <33 ⇔ x2−13<3⇔ x2−16< 0⇔ −4< x<4.

Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm là(−4; 4)

Chọn phương ánA.

3.53 (Đề tham khảo 2019). Tập nghiệm bất phương trình3x2−2x < 27là

A (−∞;−1)∪(3;+∞) B (−∞;−1)

C (−1; 3) D (3;+∞)

Lời giải.

C1: Ta có3x2−2x < 27⇔3x2−2x < 33⇔ x2−2x< 3⇔ −1< x<3

C2: Nhập vào máy tính biểu thức3X2−2X −27 Dùng chức CACL để dò nghiệm

Chọn phương ánC.

2 Phương pháp đưa số

3.54 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trình22x−3= 2x

A x=8 B x=−8 C x=−3 D x=3

Lời giải.

Ta có22x−3= 2x ⇔ 2x−3= x⇔ x= 3.

Chọn phương ánD.

3.55 (Đề tham khảo 2018). Tập nghiệm bất phương trình22x <2x+6là

A (0; 64) B (6;+∞) C (−∞; 6) D (0; 6)

Lời giải.

Ta có22x <2x+6⇔ 2x< x+6⇔ x< 6.

Chọn phương ánC.

3.56 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trình5x−1> 5x2−x−9là

A (−∞;−2]∪[4;+∞) B (−∞;−4]∪[2;+∞)

C [−2; 4] D [−4; 2]

Lời giải.

Ta có5x−1> 5x2−x−9

⇔ x−1> x2− x−9⇔ x2−2x−86 0⇔ −26 x64

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

3.57 (Đề thức 2017). Cho phương trình4x+2x+1−3= Khi đặtt =2x, ta phương trình đây?

A 2t2−3=0. B. t2+2t−3=0. C. 4t−3= 0. D. t2+t−3=0.

Lời giải.

Phương trình tương đương với22x+2·2x−3=0.

Do đặtt=2x, ta phương trìnht2+2t−3=0

Chọn phương ánB.

3.58 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trình9x+2·3x−3>0là

A (0;+∞) B (1;+∞) C [0;+∞) D [1;+∞)

Lời giải.

Ta có9x+2·3x−3> 0⇔ 32x+2·3x−3> 0⇔ đ

3x >

3x < −3 (vô nghiệm) ⇔ x> Vậy tập nghiệm bất phương trình làS = (0;+∞)

Chọn phương ánA.

3.59 (Đề thức 2018). GọiS tập hợp tất giá trị nguyên tham sốmsao cho phương trình16x−m·4x+1+5m2−45=0có hai nghiệm phân biệt HỏiS có phần tử?

A B C D 13

Lời giải.

Đặt4x = t>0, phương trình cho trở thànht2−4mt+5m2−45=0. (1)

Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

Từ suy

  

 

∆>0

S >

P>0

⇔

  

 

45−m2 >0 4m> 5m2−45>

⇔



    

    

−3

√

5<m<3

√

5

m>0 ñ

m>3

m<−3

⇔3<m< 3√5

Do đóS ={4; 5; 6} VậyS có ba phần tử

Chọn phương ánB.

3.60 (Đề tham khảo 2018). Có giá trị nguyên dương tham sốmđể phương trình16x−

2·12x+(m−2)·9x =0có nghiệm dương

A B C D

Lời giải.

Ta có phương trình tương đương

Å4

ã2x

−2·

Å4

ãx

+m−2=0 Đặt

Å

ãx

=t, phương trình trở thànht2−2t+m−2=0⇔m= −t2+2t+2 (1) Phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có nghiệm lớn

Xét hàm sốg(t)= −t2+2t+2trên(1;+∞)cóg0(t)= −2t+2<0,∀t∈(1;+∞).

Bảng biến thiên

t g0(t)

g(t)

1 +∞

−

3

−∞ −∞

Từ bảng biến thiên suy (1) có nghiệm trên(1;+∞)khi khim< Do có giá trị nguyên dương củamthỏa mãn yêu cầu tốn

§4 Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ Nguyễn Minh Hiếu

4 Phương pháp hàm số

3.61 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số y = f(x) Hàm số y = f0(x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Bất phương trình f(x) < ex +m với

x∈(−1; 1)khi

A m> f(1)−e B m> f(1)−e

C m> f(−1)−

e D m> f(−1)−

1 e

x f0(x)

−∞ −3 +∞

+∞ +∞

−3

−3

0

−∞ −∞

Lời giải.

Ta có f(x)< ex+m⇔ f(x)−ex <m. (1)

Xétg(x)= f(x)−extrên(−1; 1)cóg0(x)= f0(x)−ex

Từ bảng biến thiên ta có f0(x)60,∀x∈(−1; 1)nêng0(x)< 0,∀x∈(−1; 1) Suy rag(x)nghịch biến trên(−1; 1), hayg(x)< g(−1),∀x∈(−1; 1)

Do (1) với mọix∈(−1; 1)khi khim>g(−1)⇔m> f(−1)−

e

Chọn phương ánD.

3.62 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập hợp giá trị tham số thựcmđể phương trình6x +(3−

m)2x−m=0có nghiệm thuộc khoảng(0; 1).

A (2; 4) B [3; 4] C (3; 4) D [2; 4]

Lời giải.

C1: Xét trường hợpm= 4, phương trình trở thành6x−2x−4= 0.

Nhận thấy phương trình có nghiệm nằm ngồi khoảng (0; 1), loại phương

án[3; 4]và[2; 4]

Xét trường hợp m = 3, phương trình trở thành 6x − 3 = 0 ⇔

x = log63 ∈ (0; 1), loại

phương án(3; 4)

C2: Ta có phương trình tương đương6x+3·2x = m(2x+1)⇔m= x+

3·2x

2x+1

Xét hàm số f(x) =

x+3·2x

2x+1 [0; 1] có f

0(x) = 12

xln 3+6xln 6+3·2xln 2

(2x+1)2 > 0,∀x ∈

[0; 1]

Do với x∈(0; 1)ta có f(0)< f(x)< f(1)⇔ 2< f(x)<4

Chọn phương ánA.

5 Phương trình, bất phương trình nhiều ẩn

3.63 (Đề tham khảo 2020). Xét số thực dươnga,b,x,ythỏa mãna>1,b>1vàax =by = √ab.

Giá trị nhỏ biểu thứcP= x+2ythuộc tập hợp đây?

A

ï

2;5

2 ã

B [3; 4) C (1; 2) D

ï

5 2;

ã

Lời giải.

Từ giả thiết ta có

ax = √

ab⇔logaax = loga

√

ab⇔ x=

2 +

1

2logab;

by = √

ab⇔logbby =logb

√

ab⇔ y=

2 +

1 2logba

Từ suy

P=

2 +

1

2logab+1+logba=

3

2 +

1

2logab+logba

C1: Đặtlogab= t>0 (vìa>1,b>1), ta cóP=

2 +

1 2t+

1

t;P

0 =

2 −

1

t2;P

0 =0⇔t= √2.

t P0

P

0 √2 +∞

− +

+∞ +∞

3

2+

√

2

2+

√

2

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên ta cóPmin =P

Ä√

2ä =

2 +

√

2∈

ï 2;

ã

C2: Vìa>1,b>1nênlogab>0,logba>0, theo bất đẳng thứcAM−GM, ta có

P>

2+2

…

2logab·logba=

2 +

√

2

Dấu xảy

2logab= logba⇔logab=

√

2 VậyPmin=

3

2 +

√

2khilogab= √2

Chọn phương ánD.

3.64 (Đề thức 2020). Xét số thực không âmxvàythỏa mãn2x+y·4x+y−1 >3 Giá trị nhỏ

nhất biểu thứcP= x2+y2+4x+6ybằng

A 33

4 B

49

8 C

65

8 D

57

Lời giải.

Ta có2x+y·4x+y−1 >3⇔2(x+y−1)−1+y 22(x+y−1)−2

> (1)

TH1: 2(x+y−1)< 1⇒22(x+y−1) <2⇒ 2(x+y−1)−1+y 22(x+y−1)−2<0⇒(1)luôn sai TH2: 2(x+y−1)> 1⇒22(x+y−1) >2⇒ 2(x+y−1)−1+y 22(x+y−1)−2

>0⇒(1)ln Do ta có(1)⇔2(x+y−1)>1⇔ x+y>

2

Suy raP= x2+y2+4x+6y=(x+2)2+(y+3)2−13>

2(x+2+y+3

2−13=

2 Å

3

2 +5

ã2

−13= 65

8

Dấu “=” xảy

 



x+y=

2

x+2=y+3

⇔

  

 

x=

4

y=

4

VậyminP= 65

8

Chọn phương ánC.

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit

1 Phương trình, bất phương trình bản

3.65 (Đề tham khảo 2020). Tập nghiệm bất phương trìnhlogx> 1là

A (−∞; 10) B (0;+∞) C (10;+∞) D [10;+∞)

Lời giải.

Ta cólogx>1⇔ x>10

Vậy bất phương trình có tập nghiệm làS = [10;+∞)

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lôgarit Nguyễn Minh Hiếu

3.66 (Đề tham khảo 2020). Nghiệm phương trìnhlog3(2x−1)= 2là

A x=

2 B x=

9

2 C x=5 D x=3

Lời giải.

Ta cólog3(2x−1)=2⇔ 2x−1=32 ⇔2x=10⇔ x= 5.

Chọn phương ánC.

3.67 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trìnhlog2(x+8)=5là

A x=40 B x=2 C x=24 D x=17

Lời giải.

Ta cólog2(x+8)=5⇔ x+8=25 ⇔ x+8= 32⇔ x=24

Chọn phương ánC.

3.68 (Đề tham khảo 2019). Tập nghiệm phương trìnhlog2 x2−x+2=1là

A {−1; 0} B {0} C {1} D {0; 1}

Lời giải.

C1: Ta cólog2 x2− x+2

= 1⇔ x2− x+2=2⇔ x2− x=0⇔ ñ

x=0

x=1

C2: Nhập vào máy tính biểu thứclog2 X2−X+2−1 Dùng chức CALC, dị nghiệm

x= 0và x=1

Chọn phương ánD.

3.69 (Đề thức 2020). Nghiệm phương trìnhlog3(x−1)=2là

A x=8 B x=10 C x=7 D x=9

Lời giải.

Ta cólog3(x−1)=2⇔ x−1=9⇔ x= 10

Chọn phương ánB.

3.70 (Đề minh họa 2016). Giải bất phương trìnhlog2(3x−1)>3

A x<3 B

3 < x<3 C x>

10

3 D x>3

Lời giải.

Ta cólog2(3x−1)>3⇔ 3x−1>23 ⇔3x>9⇔ x> 3.

Chọn phương ánD.

3.71 (Đề minh họa 2016). Giải phương trìnhlog4(x−1)=

A x=63 B x=82 C x=65 D x=80

Lời giải.

Ta cólog4(x−1)=3⇔ x−1=43 ⇔ x=65

Chọn phương ánC.

3.72 (Đề thức 2020). Tập nghiệm bất phương trìnhlog3 18− x2 >2là

A (−∞; 3] B (0; 3]

C [−3; 3] D (−∞;−3]∪[3;+∞)

Lời giải.

Ta cólog3 18−x2> 2⇔18−x2 >32 ⇔ x2 69⇔ −36 x63 Vậy bất phương trình có tập nghiệmS = [−3; 3]

Chọn phương ánC.

3.73 (Đề tham khảo 2019). Tổng tất nghiệm phương trìnhlog3(7−3x)= 2−xbằng

A B C D

Lời giải.

Ta cólog3(7−3x)=2−x⇔ 7−3x =32−x ⇔ 7·3x −32x =9⇔32x−7·3x+9=0 Khi phương trình có nghiệmx1,x2thỏa3x1 ·3x2 =9⇔3x1+x2 =32 ⇔ x1+x2 =2

Chọn phương ánB.

3.74 (Đề tham khảo 2018). Tổng giá trị tất nghiệm phương trìnhlog3x·log9x·log27x·

log81x=

A B 80

9 C

82

9 D

Lời giải.

Ta cólog3x·log9x·log27x·log81x=

3 ⇔log3x·

1

2log3x·

3log3x·

4log3x=

2

Rút gọn được(log3x)4= 16⇔ ñ

log3x=

log3x= −2 ⇔





x=9

x=

9

Vậy tổng nghiệm phương trình là9+

9 =

82

Chọn phương ánC.

2 Phương pháp đưa số

3.75 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trìnhlog1

(x+1)<log1

(2x−1)

A S =

Å

1 2;

ã

B S = (−∞; 2) C S = (−1; 2) D S = (2;+∞)

Lời giải.

Với điều kiện x>

2 ta có bất phương trình tương đương x+1>2x−1⇔ x<2

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệmS =

Å 2;

ã

Chọn phương ánA.

3.76 (Đề thức 2019). Nghiệm phương trìnhlog3(x+1)+1=log3(4x+1)là

A x= B x= C x= −3 D x=

Lời giải.

C1: Điều kiện x>−1

4 Phương trình cho tương đương với

log33(x+1)=log3(4x+1)⇔3(x+1)= 4x+1⇔ x= (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệmx=2

C2: Nhập vào máy tính biểu thứclog3(X+1)+1−log3(4X+1) Dùng chức CALC, dò nghiệmx=

Chọn phương ánD.

3.77 (Đề tham khảo 2017). Tìm tập nghiệmS phương trìnhlog2(x−1)+log2(x+1)=3

A S = {−3; 3} B S = {3} C S = {4} D S = {−√10; √10}

Lời giải.

Từ điều kiện x>1ta loại phương ánS = {−3; 3}vàS ={−√10; √10} Thay vào phương trình khơng thỏa mãn nên loại phương ánS = {4}

Chọn phương ánB.

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

3.78 (Đề thức 2017). Tìm tập nghiệmS bất phương trìnhlog22x−5 log2x+4>0

A S =(0; 2]∪[16;+∞) B S = (−∞; 2)∪[16;+∞)

C S =(−∞; 1]∪[4;+∞) D S = [2; 16]

Lời giải.

C1: Bất phương trình tương đương với

ñ

log2x>4

log2x61 ⇔

ñ

x> 16

0< x62, suy raS = (0; 2]∪[16;+∞)

C2: Điều kiện x > 0, suy loại phương ánS = (−∞; 2)∪[16;+∞)vàS = (−∞; 1]∪[4;+∞) Nhập vào máy tính biểu thứclog2x2−5 log2x+4

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

Chọn phương ánA.

3.79 (Đề thức 2017). Tìm giá trị thực tham sốmđể phương trìnhlog23x−mlog3x+2m−7=0

có hai nghiệm thựcx1, x2thỏa mãn x1x2 =81

A m=4 B m=81 C m=44 D m=−4

Lời giải.

Ta cóx1x2= 81⇒log3(x1x2)=log381haylog3x1+log3x2 =4

Theo định lý Vi-ét ta cólog3x1+log3x2 =m, từ suy ram=

Chọn phương ánA.

3.80 (Đề tham khảo 2020). Cho phương trìnhlog22(2x)−(m+2) log2x+m−2 = 0(mlà tham số thực) Tập hợp tất giá trị mđể phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

[1; 2]là

A [1; 2] B (1; 2) C [2;+∞) D [1; 2)

Lời giải.

Ký hiệu phương trình cho là(1), ta có

(1) ⇔ (1+log2x)2−mlog2x−2 log2x+m−2=0

⇔ log22x−1−mlog2x+m=0

⇔ (log2x−1)(log2x+1)−m(log2x−1)=

⇔ (log2x−1)(log2x+1−m)=0

⇔

ñ

log2x=1

log2x=m−1

⇔

ñ

x= 2∈[1; 2]

x= 2m−1

Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc[1; 2]khi

162m−1 <2⇔06 m−1<1⇔ 16m<2

Chọn phương ánD.

3.81 (Đề thức 2019). Cho phương trình log22x+log2x−5 √7x−m = 0 (m là tham số

thực) Có tất giá trị nguyên dương củam để phương trình cho có hai nghiệm

phân biệt?

A 48 B 49 C 47 D Vô số

Lời giải.

Xét phương trình log22x+log2x−5 √7x−m=0, vớim>0. (1)

Điều kiện xác định phương trình

®

x>0

7x−m> ⇔

®

x>0

x>log7m Ta có

(1)⇔

®

4 log22x+log2x−5=

√

7x−m=0 ⇔



  

log2x=

log2x= −5

4

7x = m

⇔



   

x=

x= √41

32

x= log7m Phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt





log7m60

1

√

32 6log7m<2

⇔





0< m6

1

√

32 6 m<72

Domlà số nguyên dương nên suy ram= 1hoặcm∈ {3,4,5, ,48} Vậy, có tất cả47giá trị ngun

dương củamđể phương trình cho có hai nghiệm phân biệt

4 Phương pháp hàm số

3.82 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có giá trịmnguyên đoạn[−2017; 2017]để phương trìnhlog(mx)=2 log(x+1)có nghiệm nhất?

A 4014 B 4015 C 2017 D 2018

Lời giải.

Ta có phương trình tương đương

®

x+1>0

mx= (x+1)2 ⇔

 



x>−1

m= x+2+

x Xét hàm số f(x)= x+2+

x trên(−1;+∞)\ {0} Ta có f0(x)=1−

x2; f

(x)= 0⇔ x=1 Bảng biến thiên x

f0(x)

f(x)

−1 +∞

− − 0 +

0

−∞ +∞

4

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm

ñ

m=4

m<0

Lại cóm∈[−2017; 2017]nên

đ

m=

−20176m<0

Do có 2018 giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánD.

3.83 (Đề tham khảo 2017). Hỏi phương trình3x2−6x+ln(x+1)3+1= 0có nghiệm phân biệt?

A B C D

Lời giải.

Ta có phương trình tương đương3x2−6x+3 ln(x+1)+1=0.

Xét hàm sốy=3x2−6x+3 ln(x+1)+1trên(−1;+∞) Ta cóy0 =6x−6+

x+1;y

0 =0⇔2(x−1)+

x+1 =0⇔2x

2−1= 0⇔ x=±

√

2

2

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−1 −

√ 2

√

2 +∞

+ − +

−∞ −∞

y1

y1

y2

y2

+∞ +∞

Ta cóy1> 0vày2 <0nên từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt

Chọn phương ánB.

3.84 (Đề thức 2019). Cho phương trìnhlog9x2−log

3(3x−1)=−log3m(mlà tham số thực)

Có tất giá trị ngun củamđể phương trình cho có nghiệm?

A B C D Vô số

Lời giải.

Điều kiện x>

3 Phương trình cho tương đương với

log3x+log3m=log3(3x−1)⇔ mx= 3x−1⇔m= 3x−1

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lôgarit Nguyễn Minh Hiếu

Xét hàm số f(x)= 3x−1

x khoảng

Å

3;+∞

ã

có f0(x)=

x2 >0,∀x∈ Å

1

3;+∞

ã

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

3 +∞

+

0

3

Từ bảng biến thiên, suy phương trình(1) có nghiệm m ∈ (0; 3) Vậy, có giá trị

ngun củamđể phương trình cho có nghiệm

Chọn phương ánB.

3.85 (Đề thức 2018). Cho phương trình5x+

m= log5(x−m)vớimlà tham số Có giá trị nguyên củam∈(−20; 20)để phương trình cho có nghiệm?

A 19 B C 21 D 20

Lời giải.

Đặtlog5(x−m)=u⇔ x−m=5u, phương trình trở thành ®

5x+m= u (1)

5u+m= x (2)

Trừ theo vế (1) (2) ta có5x−5u= u−x⇔5x+x=5u+u. (3)

Xét hàm số f(t)=5t +ttrênRcó f0(t)= 5tln 5+1> 0,∀x∈R

Do đó(3)⇔ x=u⇔m= x−5x Xét hàm sốg(x)= x−5x trên

Rcóg0(x)=1−5xln 5;g0(x)= 0⇔ x=log5

ln = x0

Bảng biến thiên

x g0(x)

g(x)

−∞ −log5ln +∞

+ −

−∞ −∞

g(x0)

g(x0)

−∞ −∞

Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm khim6g(x0)≈ −0,917

Vìmngun thuộc(−20; 20)nên ta cóm∈ {−19,−18, ,−1} Vậy có 19 giá trị củamthỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánA.

3.86 (Đề thức 2020). Có cặp số nguyên dương(m;n)sao chom+n614và ứng với cặp(m;n)tồn đúng3số thựca∈(−1; 1)thỏa mãn2am =nlnÄa+ √a2+1ä?

A 14 B 11 C 13 D 12

Lời giải.

Ta có phương trình tương đương

2am

n =ln

Ä

a+ √

a2+1ä⇔ 2a m

n −ln

Ä

a+ √

a2+1ä =0 (1)

Xét f(x)= 2x

m

n −ln

Ä

x+ √

x2+1ätrên(−1; 1)có f0

(x)= 2m

n x

m−1− »

x21

Phương trình(1)có đúng3nghiệm trên(−1; 1)nên f0(x)có nhất2nghiệm trên(−1; 1).

Xétg(x)= »1

x21

trên(−1; 1)cóg0(x)=− x

x2+1 √

x2+1;g

(x)= 0⇔ x=0

x g0(x)

g(x)

−1

+ −

√ 2 √ 2

1

√ 2 √ 2

Từ bảng biến thiên f0(x)có nhất2nghiêm trên(−1; 1), suy ram−1chẵn, haymlẻ Xéth(x)= 2m

n x

m−1vớim∈ {1,3, ,13}.

TH1: m=1, ta cóh(x)=

n, từ bảng biến thiên thứ suy f

0(

x)có đúng2nghiệm phân biệt

(−1; 1)khi

√

2 <

2

n <1⇔n= (2) TH2: m∈ {3,5,7,9,11,13}, ta cóh0(x)= 2m(m−1)

n x

m−2;h0

(x)=0⇔ x=

Bảng biến thiên

x h0(x)

h(x)

−1

− +

2m n 2m

n

0

2m n 2m

n

Từ hai bảng biến thiên suy f0(x) có đúng 2 nghiệm phân biệt trên(−1; 1) khi khi

2m

n > √

2

2 ⇔2m>n (3)

Khi f0(x)có hai nghiệm trái dấu, giả sửx

1,x2 thỏa mãn−1< x1 <0< x2 <1

Bảng biến thiên

x f0(x)

f(x)

−1 x1 x2

+ − 0 +

0

0

Do f(x)có đúng3nghiệm phân biệt

®

f(1)>

f(−1)<0 ⇔

  

 

2

n −ln

Ä

1+

√

2ä >0

−

n +ln

Ä

−1+

√

2ä <0

⇔n62 (4)

Kết hợp(2)và(4), khơng có cặp(m;n)nào thỏa mãn u cầu tốn Kết hợp(3)và(4)ta có

• Vớin=1⇒ m∈ {3,5,7,9,11,13} ⇒có6cặp(m;n)thỏa mãn u cầu tốn

• Vớin=2⇒ m∈ {3,5,7,9,11} ⇒có5cặp(m;n)thỏa mãn u cầu tốn

Vậy có tất cả11cặp(m;n)thỏa mãn u cầu tốn

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

5 Phương trình, bất phương trình nhiều ẩn

3.87 (Đề tham khảo 2020). Cho x, ylà số thực dương thỏa mãnlog9x = log6y = log4(2x+y) Giá trị x

y

A B

2 C log2

Å

ã

D log3

2

Lời giải.

Đặtlog9x=log6y=log4(2x+y)=t, ta có

  

 

x= 9t (1)

y= 6t (2)

2x+y= 4t (3)

Thế(1),(2)vào(3)ta

2·9t+6t = 4t ⇔2 Å

3

ã2t

+Å3

2 ãt

−1= 0⇔



  

Å

ãt

=

2 Å

3

ãt

=−1 (vô nghiệm)

Vậy x

y =

9t

6t = Å

3

ãt

=

2

Chọn phương ánB.

3.88 (Đề tham khảo 2020). Có số nguyênxsao cho tồn số thựcythỏa mãnlog3(x+y)= log4 x2+y2

?

A B Vô số C D

Lời giải.

Điều kiệnx+y>0, x2+y2 ,0

Đặtlog3(x+y)=log4 x2+y2=t, ta có

®

x+y= 3t

x2+y2 =4t (1)

Ta có(x+y)2 62 x2+y2

⇒9t

62·4t ⇔t

6log9

4 Khi đóx2+y2= 4t 64

log

≈3,27

Vìxnguyên nênx2 ∈ {0; 1}, suy x∈ {0;−1; 1} • Vớix= 0thay vào(1), ta có

®

y= 3t

y2 =4t ⇔ ®

t=

y=1

• Vớit =1thay vào(1), ta có

®

y=3t−1

y2= 4t−1 đ

t=

y=0

ã Vix= −1thay vào(1), ta có

®

y=3t+1

y2= 4t−1

Từ suy

3t +12 =4t−1⇔9t+2·3t−4t+2= (2)

Đặt f(t)=9t+2·3t−4t+2, ta có

∗ Vớit> 0, suy ra9t

>4t ⇒

f(t)> ∗ Vớit< 0, suy ra4t <2⇒ f(t)>0

Do đó(2)vơ nghiệm

Vậy có giá trị nguyên củaxthỏa mãn yêu cầu toán làx∈ {0; 1}

3.89 (Đề tham khảo 2020). Có cặp số nguyên(x;y)thỏa mãn06 x6 2020vàlog3(3x+

3)+ x=2y+9y?

A B 2019 C D 2020

Lời giải.

Ta cólog3(3x+3)+x=2y+9y ⇔log

3(x+1)+x+1= log332

y+32y. (1)

Xét hàm số f(t)= log3t+ttrên(0;+∞)có f0(t)=

tln 3+1>0, ∀t∈(0;+∞)

Do đó(1)⇔ f(x+1)= f 32y⇔ x+1= 32y ⇔ x=−1+32y Mặt khác06 x6 2020nên06 −1+32y

6 2020⇔169y

6 2021⇔ 06y6log92021

Vìynguyên nêny∈ {0; 1; 2; 3} ⇒ x∈ {0; 8; 80; 728} Vậy có4cặp số(x;y)thỏa mãn yêu cầu toán

Chọn phương ánA.

3.90 (Đề thức 2017). Xét số thực dươngx,ythỏa mãnlog31− xy

x+2y = 3xy+x+2y−4 Tìm giá trị nhỏ PmincủaP= x+y

A Pmin=

18√11−29

21 B Pmin=

2√11−3

C Pmin=

9√11−19

9 D Pmin=

9√11+19

9

Lời giải.

Biến đổi điều kiện ta cólog3(1−xy)−log3(x+2y)=3xy−3−1+ x+2y

Haylog3(3−3xy)+3−3xy= log3(x+2y)+x+2y (1)

Xét hàm số f(t)= log3t+ttrên(0;+∞)có f0(t)=

tln 3+1>0,∀t∈(0;+∞)

Do đó(1)⇔ f(3−3xy)= f(x+2y)⇔ 3−3xy= x+2y⇔ x= −2y+3

3y+1 ⇒ P=

−2y+3

3y+1 +y

Xét hàm sốg(y)= −2y+3

3y+1 +ytrên(0;+∞)

Ta cóg0(y)= − 11

(3y+1)2 +1;g

(y)= 0⇔y= −1+

√

11

3 = y0 Bảng biến thiên

y g0(y)

g(y)

0 y0 +∞

− +

3

g(y0)

g(y0)

+∞ +∞

Từ bảng biến thiên ta có Pmin= g(y0)= g Ç

−1+ √11

å

= √

11−3

3

Chọn phương ánB.

3.91 (Đề thức 2018). Choa> 0,b>0thỏa mãnlog3a+2b+1(9a2+b2+1)+log

6ab+1(3a+2b+1)= Giá trị củaa+2bbằng

A B

2 C D

7

Lời giải.

Ta cóa>0,b>0nên

  

 

3a+2b+1>1 9a2+b2+1> 6ab+1>

⇒

®

log3a+2b+1(9a

2+

b2+1)>0 log6ab+1(3a+2b+1)>0

Do đó, áp dụng bất đẳng thứcAM−GM, ta có

log3a+2b+1(9a2+b2+1)+log6ab+1(3a+2b+1) > 2»log3a+2b+1(9a2+b2+1)·log

§5 Phương Trình, Bất Phương Trình Lơgarit Nguyễn Minh Hiếu

Hay2>2plog6ab+1(9a2+b2+1)⇔log6ab+1(9a2+b2+1)6

Từ suy ra9a2+b2+166ab+1⇔(3a−b)2 60⇔3a= b.

Với3a= b, dấu bất đẳng thức xảy nên ta có

log3a+2b+1(9a2+b2+1)=log6ab+1(3a+2b+1)=1

⇔ log3b+1(2b2+1)= log2b2+1(3b+1)=

Hay2b2+1=3b+1⇔2b2−3b= 0⇔b=

2 (vìb>0)

Vậya+2b=

2 +3=

7

Chọn phương ánD.

3.92 (Đề thức 2020). Có số nguyên x cho ứng với xcó khơng q728 số ngunythỏa mãnlog4 x2+y >log3(x+y)?

A 116 B 115 C 58 D 59

Lời giải.

Điều kiện

®

x2+y>0

x+y>

Ta cóx2 > x,∀x∈

Z, suy hàm số f(y)= log4 x2+y

−log3(x+y)xác định trênD =(−x;+∞)

Khi đólog4 x2+y >log3(x+y)⇔ f(y)> (1)

Ta có f0(y)=

x2+y

ln −

1

(x+y) ln = ln

Ç

1

x2+y

log34−

1

x+y

å

6 0, ∀x∈D

Suy f(y)nghịch biến trênD Đặtk= x+y, suy rak∈Z+

Xétg(k)= f(k−x)=log4 x2+k− x−log3kxác định trên(0;+∞) Do f nghịch biến trênD nêngcũng nghịch biến trên(0;+∞)

Ta cóg(1)=log4(x2−x+1)> 0,∀x∈ Z

Do với mỗix∈Z, xét tập số thực phương trìnhg(k)=0ln có nghiệm nhấtk0 ∈[1;+∞),

vì

• lim

k→0+g(k)= +∞vì  



lim

k→0+log4(x

2−

x+k)=log4(x2− x)>0 (hằng số theoxnguyên)

lim

k→0+log3k =

−∞

• lim

k→+∞g(k)=k→lim+∞

log4(x2−x+k)−log4k+ log4k−log3k=−∞vì

   

  

lim

k→+∞log4(x

2−

x+k)−log4k = lim

k→+∞log4 Å

x2−x k +1

ã

= log41= lim

k→+∞ log4k−log3k

= lim

k→+∞ Å

1−

log43 ã

log4k= −∞

Khi với k ∈ Z mà1 6 k 6 k0 g(k) > g(k0) > 0, nên bất phương trình (1) có k0

nghiệm

Suy yêu cầu toán tương đương với

g(728)6 ⇔ log4 x2− x+7286log3728

⇔ x2− x+72864log3728

⇔ −576 x6 58 (vìxngun)

Vậyx∈ {−57;−56; .; 58}

Khi có116giá trịxthỏa mãn tốn

3.93 (Đề thức 2020). Xét số thực x, y thỏa mãn2x2+y2+1 6 x2+y2−2x+24x Giá trị

nhỏ biểu thứcP= 4y

2x+y+1 gần với số đây?

A −3 B −4 C −2 D −5

Lời giải.

Ta có2x2+y2+1

6 x2+y2−2x+2

4x ⇔2x2+y2−2x+1

6 x2+y2−2x+1+1.

Đặtt= x2+y2−2x+1=(x−1)2+y2> 0, bất phương trình trở thành2t

6 t+1⇔2t−t−1

6 0.(1)

Xét f(t)=2t−t−1trên[0;+∞)có f0(t)= 2tln 2−1; f0(t)=0⇔t =log2 ln = t0

Lại có f(1)= 0, ta có bảng biến thiên t f0(t)

f(t)

0 t0 +∞

− +

0

f(t0)

f(t0)

+∞ +∞

1

0

Từ bảng biến thiên, suy ra(1)⇔t61⇒ (x−1)2+y2 61 (2)

Do tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho hình trịn tâm I(1; 0), bán kínhR=1 Xét đường thẳngd: 2x+y+1=0cód(I,d)= √3

5 > 1= Rnên2x+y+1,0,

∀(x;y)thỏa mãn(2) Khi đó, ta có

P= 4y

2x+y+1 ⇔ P(2x+y+1)=4y⇔ 2Px+(P−4)y+P=0 (3)

Tập hợp điểm thỏa mãn(3)là đường thẳng∆: 2Px+(P−4)y+P= Do tồn tại(x;y)khi

d(I,∆)6 1⇔ |3P|

p

4P2+(P−4)2

⇔9P2 5P2−8P+16⇔ −1− √

56 P6−1+

√

5

VậyminP=−1− √5gần với số−3

Chọn phương ánA.

§6 Bài Tốn Thực Tế

1 Bài tốn lãi suất

3.94 (Đề tham khảo 2018). Một người gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất0,4%/tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau mối tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu lãi) gần với số đây, thời gian người khơng rút tiền lãi suất không thay đổi?

A 102.017.000đồng B 102.424.000đồng C 102.016.000đồng D 102.423.000đồng

Lời giải.

Áp dụng công thức lãi kép ta cóT6 =T(1+r)6 =100(1,004)6 ≈102,424triệu đồng

Chọn phương ánB.

§6 Bài Tốn Thực Tế Nguyễn Minh Hiếu

A m= 100×1,03

3 (triệu đồng) B m=

100×(1,01)3

3 (triệu đồng)

C m= 120×(1,12)

3

(1,12)3−1 (triệu đồng) D m=

(1,01)3

(1,01)3−1 (triệu đồng)

Lời giải.

Theo giả thiếtT =100(triệu đồng) vàr=0,01 Áp dụng cơng thức trả gópm= T r(1+r)

n

(1+r)n−1, ta cóm=

(1,01)3

(1,01)3−1 (triệu đồng)

Chọn phương ánD.

3.96 (Đề thức 2017). Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều

100triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi người khơng rút tiền

A 12năm B 11năm C 13năm D 14năm

Lời giải.

Áp dụng cơng thức lãi képTn= T(1+r)n ta có100= 50(1,06)n ⇔n=log1,062≈11,9

Vậy sau 12 năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng

Chọn phương ánA.

3.97 (Đề thức 2018). Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất7,5%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người không rút tiền ra?

A 9năm B 12năm C 10năm D 11năm

Lời giải.

Theo công thức lãi kép ta cóTn =T(1+r)n ⇔(1+r)n=

Tn

T ⇔n=log(1+r) Tn

T Thay số vào ta đượcn=log1,0752≈9,58

Vậy sau nhất10năm người thu số tiền nhiều gấp đôi số tiền vốn ban đầu

Chọn phương ánC.

3.98 (Đề tham khảo 2019). Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất %/tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hồn nợ tháng ơng A trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền đây?

A 2,25triệu đồng B 2,22triệu đồng C 3,03triệu đồng D 2,20triệu đồng

Lời giải.

Gọi số tiền ông A vay làT, lãi suất tháng làr, số tiền tháng ông A trả làm, số tháng ông A trả hết nợ

Theo cơng thức trả góp ta cóm= T r(1+r)

n

(1+r)n−1

ThayT =100,r= 0,01,n=60vào ta cóm= 100×0,01×(1,01)

60

(1,01)60−1 ≈ 2,22triệu đồng

Chọn phương ánB.

2 Bài toán khác

3.99 (Đề tham khảo 2020). Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng cơng thứcS = Aenr;

trong đóAlà dân số năm lấy làm mốc tính,S dân số saunnăm,rlà tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm2017, dân số Việt Nam là93.671.600người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê2017, Nhà xuất Thống kê, Tr.79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là0,81%, dự báo dân số Việt

A 108.311.100 B 109.256.100 C 108.374.700 D 107.500.500

Lời giải.

Ta cón=2035−2017= 18

Do đóS = Aenr= 93.671.600·e18·0,81%≈ 108.374.700.

Vậy năm2035, nước Việt Nam có khoảng108.374.700người

Chọn phương ánC.

3.100 (Đề tham khảo 2020). Để quảng bá cho sản phẩm A, công ty dự định tổ chức quảng

cáo theo hình thức quảng cáo truyền hình Nghiên cứu cơng ty cho thấy: sau n lần

quảng cáo phát tỷ lệ người xem quảng cáo mua sản phẩm A tuân theo công thức P(n) =

1+49e−0,015n Hỏi cần phát lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt

30%?

A 206 B 202 C 203 D 207

Lời giải.

C1: Nhập vào máy tính biểu thức

1+49e−0,015X

Dùng chức CALC dò phương án từ bé đến lớn kết lớn 30%thì

chọn C2: Ta có

P(n)>30% ⇔

1+49e−0,015n >

3

10 ⇔1+49e

−0,015n < 10

3

⇔ e−0,015n<

21 ⇔ −0,015n< ln 21

⇔ n>−

0,015ln

21 ≈ 203

Chọn phương ánC.

3.101 (Đề thức 2020). Năm2020, hãng xe tơ niêm yết giá bán loại xeXlà900.000.000

đồng dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm2%giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm2025hãng xe tơ niêm yết giá bán loại xeXlà (kết làm trịn đến hàng nghìn)?

A 830.131.000đồng B 797.258.000đồng C 810.000.000đồng D 813.529.000đồng

Lời giải.

Áp dụng công thức lãi képTn =T(1+r)nvớiT = 900.000.000,r= −2%,n=2025−2020=5, ta có

T5= 900.000.000·(1−2%)5 ≈813.529.000(đồng)

Chọn phương ánD.

3.102 (Đề thử nghiệm 2017). Số lượng loại vi khuẩn A phòng thí nghiệm tính theo cơng thức s(t) = s(0)·2t, đó

s(0)là số lượng vi khuẩn Alúc ban đầu, s(t)là số lượng vi khuẩnAcó saut phút Biết sau phút số lượng vi khuẩnAlà 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩnAlà 10 triệu con?

A phút B 19 phút C 48 phút D 12 phút

Lời giải.

Từ cơng thức s(t)= s(0)·2t ta có

s(0)= s(t)

2t =

s(3)

23 =

625000

8 =78125

Lại từ công thứcs(t)= s(0)·2t ta có2t = s(t)

s(0) ⇔2

t =

log2 s(t)

s(0) = log2

10000000

78125 =7

Chọn phương ánA.

§6 Bài Tốn Thực Tế Nguyễn Minh Hiếu

A Năm2028 B Năm2047 C Năm2046 D Năm2027

Lời giải.

Áp dụng công thức lãi kép ta có diện tích rừng trồng saunnăm Tn= T0(1+r)n =600(1+6%)n

Do diện tích rừng trồng đạt trên1000ha

600(1+6%)n> 1000⇔ n>log1+6%1000

600 ≈8,77

Vậy năm tỉnhAcó diện tích rừng trồng năm đạt trên1000ha là2019+9=2028

Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu §1 Mặt Nón

1 Diện tích thể tích

4.1 (Đề tham khảo 2020). Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh ` bán kính đáyrbằng

A 4πr` B 2πr` C πr` D

3πr`

Lời giải.

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón làSxq= πr`

Chọn phương ánC.

4.2 (Đề thức 2019). Thể tích khối nón có chiều caohvà bán kính đáyrlà

A

3πr

2h. B. πr2h. C.

3πr

2h. D. 2πr2h.

Lời giải.

Thể tích khối nón có chiều caohvà bán kính đáyrlàV =

3πr 2h.

Chọn phương ánA.

4.3 (Đề minh họa 2016). Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tạiA,AB= avà AC = √3a

Tính độ dài đường sinhlcủa hình nón, nhận quay tam giácABCxung quanh trụcAB

A l= a B l= √

2a C l=

√

3a D l=2a

Lời giải.

Ta có độ dài đường sinhl= BC =

√

AB2+BC2 =2a.

Chọn phương ánD.

4.4 (Đề thức 2020). Cho khối nón có bán kính đáyr =5và chiều caoh=2 Thể tích khối nón cho

A 10π B 50π

3 C 10π D

10π

3

Lời giải.

Thể tích khối nón cho làV =

3 ·πr

2·h= 50π

3

Chọn phương ánB.

4.5 (Đề tham khảo 2020). Cho khối nón có chiều caoh=3và bán kính đáyr =4 Thể tích khối nón cho

A 16π B 4π C 48π D 36π

Lời giải.

Từ cơng thức tính thể tích khối nónV =

3πr

2h, ta cóV = 3π·4

2·3=16π.

Chọn phương ánA.

4.6 (Đề thức 2020). Cho hình nón có bán kính đáyr =2và độ dài đường sinh` =5 Diện tích xung quanh hình nón cho

A 10π B 20π C 10π

3 D

20π

§1 Mặt Nón Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Diện tích xung quanh hình nón cho làSxq =πr` =π·2·5= 10π

Chọn phương ánA.

4.7 (Đề tham khảo 2019). Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng2avà bán kính đáy bằnga Thể tích khối nón cho

A 2πa

3

3 B

√

3πa3

3 C

√

3πa3

2 D

πa3

3

Lời giải.

Ta có chiều cao khối nón làh= p(2a)2−a2 =a√3.

Vậy thể tích khối nón làV =

3πr

2h=

3πa

2a√3=

√

3πa3

3

Chọn phương ánB.

4.8 (Đề tham khảo 2017). Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng3πa2và bán kính đáy bằnga Tính độ dài đường sinhlcủa hình nón cho

A l= √

5a

2 B l=3a C l=

3a

2 D l=2

√

2a

Lời giải.

Từ cơng thứcSxq =πrlta cól=

Sxq

πr =

3πa2

πa =3a

Chọn phương ánB.

4.9 (Đề tham khảo 2018). Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng3πa2và bán kính đáy bằnga Độ dài đường sinh hình nón cho

A 3a

2 B 2a C 3a D

√

2a

Lời giải.

Ta cóSxq =πrl, suy ral=

Sxq

πr =

3πa2

πa =3a

Chọn phương ánC.

4.10 (Đề thức 2020). Cho hình nón có bán kính đáy bằng2và góc đỉnh bằng60◦ Diện tích

xung quanh hình nón cho

A 8π B √

3π

3 C 16π D

16√3π

3

Lời giải.

Góc đỉnh hình nón bằng60◦ nên thiết diện qua trục tam giác Do đó`= 2r=4

Vậy diện tích xung quanh hình nón

Sxq=πr` =π·2·4=8π

r `

Chọn phương ánA.

4.11 (Đề tham khảo 2020). Trong không gian, cho tam giácABCvuông A,AB= avà AC = 2a

Khi quay tam giácABC quanh cạnh góc vngABthì đường gấp khúcACBtạo thành hình nón

Diện tích xung quanh hình nón

A 10πa2. B. 5πa2. C. √5πa2. D. 2√5πa2.

Lời giải.

Hình nón cóh= AB=a,r = AC =2a, suy ra` = √

h2+r2 =a√5.

Vậy diện tích xung quanh hình nón Sxq= πr`= π·2a·a

√

5=

√

5πa2

A B

C

4.12 (Đề thử nghiệm 2017). Cho khối(N)có bán kính đáy bằng3và diện tích xung quanh bằng15π Tính thể tíchV khối nón(N)

A V =36π B V =20π C V =60π D V =12π

Lời giải.

Gọih,l,rlần lượt chiều cao, đường sinh bán kính đáy của(N) Ta cór=3,Sxq =πrl⇒l=

Sxq

πr = 5,h= √

l2−r2 =4.

Vậy thể tích khối nón(N)làV =

3πr

2h=12π.

Chọn phương ánD.

2 Thiết diện hình nón

4.13 (Đề tham khảo 2020). Cho hình nón có chiều cao bằng2√5 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích bằng9√3 Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho

A 32π B 32 √

5π

3 C 96π D 32

√

5π

Lời giải.

Gọi`là độ dài đường sinh hình nón

Ta có thiết diện tam giác cạnh` nên có diện tích `

2√3

4

Từ giả thiết, suy `

2√3

4 =9

√

3⇔`2 =36⇔` =6.

Khi bán kính đáy hình nón làr= √

`2−h2 = √36−20=4.

Vậy thể tích khối nón cho làV =

3π·r

2·h=

3π·16·2

√

5= 32

√

5π

3

h `

Chọn phương ánB.

4.14 (Đề thức 2017). Cho hình nón đỉnhS có chiều cao h = avà bán kính đáyr = 2a Mặt phẳng(P)đi quaS cắt đường trịn đáy tạiAvà Bsao choAB= 2√3a Tính khoảng cáchdtừ tâm đường tròn đáy đến(P)

A d= √

5a

5 B d=a C d=

√

2a

2 D d=

√

3a

2

Lời giải.

GọiOlà tâm đường trịn đáy, Ilà trung điểm ABvàK hình chiếu củaOtrên S I, ta có

®

AB⊥OI

AB⊥S O ⇒ AB⊥(S OI) Khi

®

OK ⊥S I

OK ⊥AB ⇒ OK ⊥(S AB), suy raOK = d(O,(P))

Ta cóOI =

√

OA2−IA2 =a, suy raOK =

2S I =

1

√

S O2+OI2 = a

√

2

2

S

O A

B I K

Chọn phương ánC.

3 Hình nón nội, ngoại tiếp đa diện

4.15 (Đề thức 2017). Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh bằnga√2 Tính thể tíchV khối nón có đỉnhS đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

A V = √

2πa3

6 B V =

πa3

2 C V =

√

2πa3

2 D V =

πa3

6

Lời giải.

Khối nón có đường trịn đáy nội tiếp tứ giácABCDnên có bán kính đáyr =

2AB=

a √

2

§2 Mặt Trụ Nguyễn Minh Hiếu

GọiOlà tâm đáy ta cóAO=

2AC =a, suy chiều caoh=S O=

√

S A2−AO2 =a.

Thể tích khối nón làV =

3πr

2h=

3π· 2a2

4 ·a=

πa3

6

Chọn phương ánD.

§2 Mặt Trụ

1 Diện tích thể tích

4.16 (Đề tham khảo 2020). Diện tích xung quanh hình trụ có độ dài đường sinh` bán kính đáyrbằng

A 2πr` B 4πr` C πr` D

3πr`

Lời giải.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ làSxq=2πr`

Chọn phương ánA.

4.17 (Đề thức 2020). Cho khối trụ có bán kính đáyr =4và chiều caoh=3 Thể tích khối trụ cho

A 48π B 16π C 24π D 4π

Lời giải.

Thể tích khối trụ cho làV =πr2h=π·42·3= 48π

Chọn phương ánA.

4.18 (Đề thức 2020). Cho hình trụ có bán kính đáy r = độ dài đường sinh` = Diện tích xung quanh hình trụ cho

A 192π B 64π C 48π D 24π

Lời giải.

Diện tích xung quanh hình trụ cho làSxq = 2πr`= 2π·8·3=48π

Chọn phương ánC.

4.19 (Đề thức 2017). Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = chiều cao h =

4√2

A V = 32√2π B V = 128π C V = 64√2π D V = 32π

Lời giải.

Thể tích khối trụ làV = πr2h= π·42·4√2= 64√2

Chọn phương ánC.

4.20 (Đề minh họa 2016). Trong khơng gian, cho hình chữ nhậtABCDcó AB= 1và AD = Gọi

M,N trung điểm củaADvà BC Quay hình chữ nhật xung quanh trụcMN, ta

hình trụ Tính diện tích tồn phầnStp hình trụ

A Stp =10π B Stp =4π C Stp =2π D Stp =6π

Lời giải.

Hình trụ có bán kính đáyr= AM =1và đường sinhl= AB= Diện tích xung quang hình trụ làSxq =2πrl=2π

Diện tích đáy hình trụ làSđ= πr2 = π

Vậy diện tích tồn phần hình trụ làStp =Sxq+2Sđ= 4π

Chọn phương ánB.

2 Thiết diện hình trụ

4.21 (Đề thức 2020). Cắt hình trụ(T)bởi mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh bằng7 Diện tích xung quanh của(T)bằng

A 49π

2 B

49π

4 C 98π D 49π

Giả sử hình trụ(T)có trụcOO0và thiết diện qua trục làABCD(xem hình bên)

Ta cóABCDlà hình vng cạnh7nên` = AD=7,r =OA=

2

Vậy diện tích xung quanh của(T)làSxq =2πr` =2π·

2·7=49π

A O

B C O0 D

Chọn phương ánD.

4.22 (Đề tham khảo 2020). Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho

A 54π B 18π C 27π D 36π

Lời giải.

Thiết diện qua trục hình vng nên độ dài đường sinh` =2r =6 Diện tích xung quanh hình trụ cho làSxq =2πr` =2π·3·6= 36π

r `

Chọn phương ánD.

4.23 (Đề thức 2019). Cho hình trụ có chiều cao bằng5√3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng bằng1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho

A 20√3π B 10√39π C 5√39π D 10√3π

Lời giải.

GọiMNPQlà thiết diện thu (như hình vẽ bên) Khi đóMNPQlà hình chữ

nhật MQ = 5√3 Diện tích MNPQ= 30, suy MN = 30

5√3 =

√

3 Gọi

Ilà trung điểm MN, ta cóOI ⊥ MN VìMQsong song với trục hình

trụ nên MQvng góc với hai mặt đáy hình trụ, suy MQ⊥ OI Do

OI ⊥(MNPQ), nênOI = 1, suy raOM = √

OI2+I M2 = …

12+Ä√3ä2= 2.

Vậy, diện tích xung quanh hình trụ cho làSxq= 2π·2·5

√

3=20π√3

O0

M

N P

Q

I O

Chọn phương ánA.

4.24 (Đề tham khảo 2020). Cho hình trụ có chiều cao bằng6a Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng bằng3a, thiết diện thu hình vng Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho

A 150πa3 B 108πa3 C 216πa3 D 54πa3

Lời giải.

Giả sử hình trụ có chiều cao OO0 thiết diện thu cắt hình trụ mặt phẳng song song trục hình vng MNN0M0(như hình vẽ)

Gọi I trung điểm MN, ta có OI ⊥ MN OI ⊥ M M0, suy OI ⊥

(MNN0M0), hayOI = d(I,(MNN0M0))=3a

Khi bán kính đáy hình trụ làr =OM=

√

OM2+I M2 =3a√2.

Vậy thể tích khối trụ làV =πr2h=π·18a2·6a=108πa3.

O O0

M M0

N N0

I

§2 Mặt Trụ Nguyễn Minh Hiếu

3 Hình trụ nội, ngoại tiếp đa diện

4.25 (Đề tham khảo 2017). Tính thể tíchV khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a

A V = πa3. B. V = πa

4 C V =

πa3

2 D V =

πa3

6

Lời giải.

Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có chiều caoh=a; bán kính đáyr= a √

2

2

Do thể tích khối trụ làV =πr2h= πa

3

2

Chọn phương ánC.

4.26 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A0B0C0có độ dài cạnh đáy bằnga chiều cao bằngh Tính thể tíchV khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho

A V = πa

2h

3 B V =

πa2h

9 C V =

πa2h

9 D V = 3πa

2h.

Lời giải.

Chiều cao khối trụ chiều cao lăng trụ bằngh

Bán kính đáyrlà bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC

GọiOlà trọng tâm tam giácABC, ta cór =OA = a

√

3

3

Vậy thể tích khối trụ làV = πr2h= πa

2h

3

Chọn phương ánA.

4.27 (Đề tham khảo 2018). Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh Tính diện tích xung quanhSxq

của hình trụ có đường trịn đáy đường tròn nội tiếp tam giácBCDvà chiều cao chiều cao

của tứ diệnABCD

A Sxq=

√

2π B Sxq=

16√2π

3 C Sxq=

√

3π D Sxq=

16√3π

3

Lời giải.

GọiOlà trọng tâm4BCDvà Mtrung điểmCD

Bán kính đáy hình trụ làr =OM= 4· √

3

6 =

2√3

3

Chiều caoh= AO= √AB2−BO2 =

√

6

3 , suy đường sinhl= h=

4√6

3

Vậy diện tích xung quanh hình trụ làSxq = 2πrl=

16√2π

3

Chọn phương ánB.

4 Bài tốn thực tế hình trụ

4.28 (Đề thức 2019). Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy bằng1m và1,2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làmgần nhấtvới kết đây?

A 2,2m B 1,6m C 1,8m D 1,4m

Lời giải.

Gọih,Rlần lượt chiều cao bán kính đáy bể nước dự định Theo giả thiết ta có

πR2h=π·12·h+π·(1,2)2·h⇔R2 =1+1,44⇒R≈ 1,6

4.29 (Đề tham khảo 2019). Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ(H1),(H2)xếp chồng

lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn

r2 =

2r1, h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi

bằng30cm3, thể tích khối trụ(H

1)bằng

A 24cm3. B. 15cm3. C. 20cm3. D. 10cm3.

Lời giải.

Ta cóV2= h2πr22 =2h1π 4r

2

1 =

1 2h1πr

2

1 =

1 2V1

Từ suy raV =V1+V2 =V1+

2V1 =

3

2V1 Do đóV1 =

3V =

2

3 ·30= 20 cm

3

Chọn phương ánC.

4.30 (Đề minh họa 2016). Từ tơn hình chữ nhật

kích thước 50 cm × 240 cm, người ta làm thùng đựng

nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa)

• Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh

của thùng

• Cách 2: Cắt tơn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng

Kí hiệuV1là thể tích thùng gị theo cách vàV2là tổng thể tích hai thùng gị theo

cách Tính tỉ số V1 V2

A V1 V2

=1 B V1 V2

=4 C V1 V2

=

2 D

V1

V2

=2

Lời giải.

Thùng gị theo cách có chu vi đáy2,4m nên có bán kính đáyr = 2,4

2π =

1,2

π

Do thể tích thùng gò theo cách làV1 =π· Å

1,2

π

ã2

·0,5= 0,72

π m3

Mỗi thùng gò theo cách có chu vi đáy1,2m nên có bán kính đáyr= 1,2

2π =

0,6

π

Do tổng thể tích hai thùng gị theo cách làV2= 2π· Å

0,6

π

ã2

·0,5= 0,36

π m3

Vậy V1

V2

=2

Chọn phương ánD.

4.31 (Đề thức 2018). Một bút chì khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy3mm chiều

cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có

dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn bán kính1mm Giả định1m3

gỗ có giá trịa(triệu đồng),1 m3 than chì có giá trị8a (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm

một bút chì gần với kết đây?

A 9,7ađồng B 97,03ađồng C 90,7ađồng D 9,07ađồng

Lời giải.

Thể tích phần lõi làm than chì làVl =πR2h= π·10−6·0,2=0,2·10−6πm3

Thể tích tồn bút chì làV = Bh= √

3

2 · 3·10

−32

·(0,2)= 27

√

3

10 ·10

−6m3.

Thể tích phần thân bút chì làm gỗVt =V −Vl =

27√3

10 ·10

§3 Mặt Cầu Nguyễn Minh Hiếu

Vậy giá nguyên vật liệu cần làm

0,2·10−6π·8a+

Ç

27√3

10 ·10

−6−0,2·10−6π å

a≈9,07·10−6a (triệu đồng)

Chọn phương ánD.

§3 Mặt Cầu

1 Diện tích thể tích

4.32 (Đề thức 2018). Diện tích mặt cầu bán kínhRbằng

A 2πR2 B

3πR

2. C. πR2. D. 4πR2.

Lời giải.

Diện tích mặt cầu bán kínhRbằng4πR2

Chọn phương ánD.

4.33 (Đề tham khảo 2019). Thể tích khối cầu bán kínhabằng

A 4πa

3 B 2πa

3. C. πa

3

3 D 4πa

3.

Lời giải.

Từ công thức tính thể tích khối cầuV =

3πR

3, ta cóV = 4πa

3

Chọn phương ánA.

4.34 (Đề thức 2020). Cho mặt cầu có bán kínhR=4 Diện tích mặt cầu cho

A 64π B 256π

3 C

64π

3 D 16π

Lời giải.

Diện tích mặt cầu cho làS =4πR2 =4π·42= 64π.

Chọn phương ánA.

4.35 (Đề tham khảo 2020). Cho mặt cầu có bán kínhR= Diện tích mặt cầu cho

A 32π

3 B 16π C 8π D 4π

Lời giải.

Từ công thức tính diện tích mặt cầuS =4πR2, ta cóS =4π·22 =16π.

Chọn phương ánB.

4.36 (Đề thức 2020). Cho khối cầu có bán kínhr =4 Thể tích khối cầu cho

A 64π

3 B 64π C

256π

3 D 256π

Lời giải.

Thể tích khối cầu cho làV =

3πr

3 = 256π

3

Chọn phương ánC.

2 Mặt cầu nội, ngoại tiếp đa diện

4.37 (Đề thức 2017). Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng2a

A R= √

3a

3 B R=2

√

3a C R= √3a D R=a

Lời giải.

Hình lập phương cạnh2acó đường chéo2a√3 Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếpR=

2 ·2a

√

3=a

√

3

4.38 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0cóAB=a,AD =2avàAA0 =

2a Tính bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB0C0

A R= 2a B R= 3a C R= 3a

4 D R=

3a

2

Lời giải.

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABB0C0 cũng mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABB0C0làr= √

AB2+AD2+AA02= 3a

Chọn phương ánD.

4.39 (Đề tham khảo 2017). Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng3√2a, cạnh bên bằng5a Tính bán kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD

A R= √3a B R= 25a

8 C R= 2a D R=

√

2a

Lời giải.

GọiOlà tâm đáy ta cóS O= √

S A2−AO2 = √25a2−9a2= 4a.

Gọi Mlà trung điểmS A, kẻMI ⊥S A,I ∈S O Ta cóI tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Khi đó4S MI ∼ 4S OA, suy S I

S A = S M

S O Từ ta cóR= S I = S M·S A

S O =

25a

8

S

M I A

O

B C

D

Chọn phương ánB.

4.40 (Đề thức 2020). Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh4a, S A vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng(S BC)và mặt đáy bằng60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

hình chópS.ABC

A 84πa2. B. 172πa

9 C

76πa2

3 D

172πa2

3

Lời giải.

Gọi Mlà trung điểmBC, ta có

®

AM⊥ BC

S A ⊥BC ⇒BC ⊥(S AM) Do góc giữa(S BC)và mặt phẳng đáy bằngS MA’ = 60◦

Tam giácS AMvng tạiAcóS A= AM·tan 60◦ =2a√3· √3= 6a.

Gọi Olà trọng tâm 4ABC, qua Odựng d song song S A, ta cód ⊥

(ABC)

Gọi N trung điểmS A, dựng NI ⊥ S A,I ∈ d, ta có I tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chópS.ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABClà

R= IA= √

NA2+NI2 = Ã

(3a)2+ Ç

4a√3

å2

= a √

129

3

A

B

C M

O S

I d

N

Vậy diện tích mặt cầu ngồi tiếp hình chópS.ABClàS =4πR2= 172πa

3

Chọn phương ánD.

4.41 (Đề minh họa 2016). Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác cạnh 1, mặt bên S ABlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tíchV khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A V = 5π

3 B V =

4√3π

27 C V =

5√15π

54 D V =

5√15π

18

Lời giải.

§3 Mặt Cầu Nguyễn Minh Hiếu

Tam giácS HCvuông cân tạiHcóS C =

√

S H2+CH2=

√

6

2

GọiK trung điểmS CcóHK ⊥S C vàHK =

2S C =

√

6

4

GọiGtrọng tâm4ABC, kẻIG⊥CH,I ∈HK, ta cóI tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi Mtrung điểmCH ta cóK M kIG, suy KI

KH = MG MH =

1

3, suy raKI =

3KH =

√

6 12

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp làR= S I = √

S K2+IK2 =

√

15

6

Vậy thể tích mặt cầu làV =

3π Ç√ 15 å3 = √ 15π 54 A B C S H K M G I z x z C2: Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ

Ta cóA

Å 2; 0;

ã

,B

Å

−1

2; 0; ã ,C Ç 0; √

2 ;

å ,S Ç 0; 0; √ å Gọi(S) :x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d =0 (a2+b2+c2 >d)

Ta có hệ

                          

4 −a+d=0

1

4 +a+d=0

3

4 −

√

3b+d =0

3

4 −

√

3c+d =0

⇔                     

a=0

b=

2

√

3

c=

2√3

d= −1

4

(thỏa mãn)

Suy bán kính mặt cầu làR=

…

0+

12+ 12 + = √ 15

Vậy thể tích mặt cầu làV =

3π Ç√ 15 å3 = √ 15π 54

Chọn phương ánC.

3 Bài tốn tổng hợp khối trịn xoay

4.42 (Đề thức 2020). Cho hình nón (N)có đỉnhS, bán kính √2a độ dài đường sinh bằng4a Gọi(T)là mặt cầu qua đỉnhS đường trịn đáy của(N) Bán kính của(T)bằng

A √

2a

3 B

4

√

14a

7 C

√

14a D

√

14a

7

C1: Chiều cao hình nón làh= √

`2−r2 = a√14.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón làR= `

2

2h =

16a2

2a√14 =

4a √

14

7

C2: GọiOlà tâm đáy hình trụ,ABlà đường kính đáy

O I S

M

A B

GọiMlà trung điểmAB, kẻMI ⊥S A,I ∈S O, ta cóIlà tâm mặt cầu(T) Ta có4S MIv 4S OA⇒ S I = S M·S A

S O =

2a·4a √

16a2−2a2 = 4a

√

14

7

Chọn phương ánB.

4.43 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hai hình vng có cạnh

xếp chồng lên cho đỉnhXcủa hình vng tâm hình vng

cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình

trên xung quanh trụcXY

A V =

125Ä5+4√2äπ

24 B V =

125Ä5+2√2äπ

12

C V =

125Ä2+ √2äπ

4 D V =

125Ä1+ √2äπ

6

X

Y

Lời giải.

Ký hiệu đỉnh hình vẽ vàVH thể tích khối trịn xoay quay

hình(H)xung quanh trụcXY Ta có VABCD =πr2h=π

CD2

4 AD=

125π

4

VXZT =VYZT =

1 3πr

2h=

3π

ZT2

4 ·

XY

2 =

125π√2

6

VXCD =

1 3πr

2

h=

3π

CD2

4  

XC2− CD

4 =

125π

24

VậyV =VABCD+2VXZT −VXCD =

125Ä5+4

√

2äπ

24

D

A B

C X

T

Y

Z

Ngun Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng §1 Ngun Hàm

1 Định nghĩa, tính chất

5.1 (Đề tham khảo 2020). Hàm sốF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)trên khoảngKnếu

A F0(x)=−f(x),∀x∈K B f0(x)= −F(x),∀x∈ K

C F0(x)= f(x),∀x∈K D f0(x)= F(x),∀x∈K

Lời giải.

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta cóF0(x)= f(x),∀x∈K

Chọn phương ánC.

2 Nguyên hàm bản 5.2 (Đề thức 2020).

Z

x2dxbằng

A 3x3+C B

3x

3+C. C. x3+C. D. 2x+C.

Lời giải.

Ta có Z

x2dx=

3x

3+C.

Chọn phương ánB.

5.3 (Đề thức 2020).

Z

5x4dxbằng

A 20x3+C. B. x5+C. C.

5x

5+C. D. 5x5+C.

Lời giải.

Ta có Z

5x4dx=5· x

5

5 +C= x

5+C.

Chọn phương ánB.

5.4 (Đề thức 2019). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=2x+5là

A x2+5x+C B 2x2+5x+C C x2+C D 2x2+C

Lời giải.

Ta có Z

(2x+5) dx= 2· x

2

2 +5x+C = x

2+5

x+C

Chọn phương ánA.

5.5 (Đề tham khảo 2018). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+1là

A x3+x+C B x

3

3 +x+C C 6x+C D x

3+C.

Lời giải.

Ta có Z

3x2+1dx= x3+ x+C

§1 Nguyên Hàm Nguyễn Minh Hiếu

5.6 (Đề thức 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)= x3+xlà

A x3+x+C B x4+x2+C C

4x

4+

2x

2+C. D. 3x2+1+C.

Lời giải.

Ta có Z

(x3+ x)dx=

4x

4+

2x

2+C.

Chọn phương ánC.

5.7 (Đề tham khảo 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex +xlà

A ex+ 2x

2+C. B.

x+1e

x+

2x

2+C. C. ex+

1+C D ex+x2+C

Lời giải.

Ta có Z

(ex+ x) dx= ex+ x

2 +C

Chọn phương ánA.

5.8 (Đề tham khảo 2020). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=cosx+6xlà

A −sinx+C B −sinx+3x2+C C sinx+6x2+C D sinx+3x2+C

Lời giải.

Ta có Z

f(x) dx= Z

(cosx+6x) dx= sinx+3x2+C

Chọn phương ánD.

5.9 (Đề tham khảo 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= x2+ x2

A Z

f(x) dx= x

3

3 −

1

x +C B Z

f(x) dx= x

3

3 +

1

x +C

C Z

f(x) dx= x

3

3 +

2

x +C D Z

f(x) dx= x

3

3 −

x +C

Lời giải.

Ta có Z Å

x2+ x2

ã

dx= x

3

3 −

2

x +C

Chọn phương ánD.

3 Phương pháp đổi biến

5.10 (Đề thức 2017). Tìm ngun hàm hàm số f(x)=cos 3x

A Z

cos 3xdx= sin 3x+C B

Z

cos 3xdx= sin 3x

3 +C

C Z

cos 3xdx= −sin 3x

3 +C D

Z

cos 3xdx=3 sin 3x+C

Lời giải.

C1: Sử dụng công thức Z

cosaxdx=

asinax+C, ta chọn phương án Z

cos 3xdx= sin 3x

3 +C

C2: Bấm máycos 3x− d

dx

Å sin 3x

3 ã

x=X

Nhập CALC = kết quả≈0nên chọn phương án

Z

cos 3xdx= sin 3x

3 +C

Chọn phương ánB.

5.11 (Đề thử nghiệm 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x

A Z

f(x) dx=−2 sin 2x+C B

Z

f(x) dx= sin 2x+C

C

Z

f(x) dx=

2sin 2x+C D

Z

f(x) dx= −1

2sin 2x+C

Lời giải.

Áp dụng công thức Z

cos(Ax+B) dx=

AF(x)+C, ta có Z

cos 2xdx=

Chọn phương ánC. 5.12 (Đề minh họa 2016). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=

√

2x−1

A

Z

f(x) dx=

3(2x−1)

√

2x−1+C B Z

f(x) dx=

3(2x−1)

√

2x−1+C

C Z

f(x) dx= −1

3(2x−1)

√

2x−1+C D

Z

f(x) dx=

2(2x−1)

√

2x−1+C

Lời giải.

Ta có Z

f(x) dx= Z √

2x−1 dx= Z

(2x−1)12 dx= 2·

(2x−1)32

+C =

3(2x−1)

√

2x−1+C

Chọn phương ánA.

5.13 (Đề tham khảo 2020). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)= x+2

x−1 khoảng(1;+∞)

là

A x−

(x−1)2 +C B x−3 ln(x−1)+C C x+3 ln(x−1)+C D x+

3

(x−1)2 +C

Lời giải.

Xét trên(1;+∞)ta có Z

f(x) dx= Z

x+2

x−1dx=

Z Å

1+

x−1 ã

dx= x+3 ln(x−1)+C

Chọn phương ánC.

5.14 (Đề thức 2019). Họ tất nguyên hàm hàm số f(x) = 2x−1

(x+1)2 khoảng (−1;+∞)là

A ln(x+1)−

x+1 +C B ln(x+1)+

2

x+1 +C

C ln(x+1)−

x+1 +C D ln(x+1)+

3

x+1 +C

Lời giải.

Ta có

f(x)= 2(x+1)−3

(x+1)2 =

2

x+1− (x+1)2

Do đó, trên(−1;+∞), ta có Z

f(x) dx= Z

2

x+1dx−

Z

3

(x+1)2dx=2 ln(x+1)+

x+1 +C

Chọn phương ánD.

4 Nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

5.15 (Đề thử nghiệm 2017). Biết F(x) nguyên hàm f(x) =

x−1 F(2) = Tính

F(3)

A F(3)=ln 2+1 B F(3)=

4 C F(3)=

1

2 D F(3)=ln 2−1

Lời giải.

C1: Ta cóF(x)=

Z

f(x) dx= Z

1

x−1dx= ln|x−1|+C

Lại cóF(2)= 1⇔ ln 1+C= 1⇔C= Suy raF(x)=ln|x−1|+1 VậyF(3)= ln 2+1

C2: Ta có

3

Z

2

f(x) dx= F(x)

2= F(3)

−F(2)

Từ suy raF(3)=F(2)+

Z

2

f(x) dx= 1+

Z

2

x−1dx=1+ln

§1 Nguyên Hàm Nguyễn Minh Hiếu

5.16 (Đề thức 2017). Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x) = 3−5 sinxvà f(0) = 10 Mệnh đề đâyđúng?

A f(x)= 3x+5 cosx+2 B f(x)=3x+5 cosx+5

C f(x)= 3x−5 cosx+15 D f(x)=3x−5 cosx+2

Lời giải.

Vì(cosx)0 =−sinxnên lấy đạo hàm phương án ta loại phương án f(x)=3x−5 cosx+2

và f(x)=3x−5 cosx+15

Xét phương án f(x)=3x+5 cosx+5, ta có f(0)= 0+5 cos 0+5= 10, thỏa mãn nên chọn phương án f(x)= 3x+5 cosx+5

Chọn phương ánB.

5.17 (Đề thức 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = −2

9 f

0(

x) = 2xf(x)2 với x∈R Giá trị f(1)bằng

A −

15 B −

35

36 C −

19

36 D −

2

Lời giải.

Từ giả thiết ta có f

0

(x)

f(x)2 =

2x⇔

Å

f(x) ã0

=−2x⇒

f(x) = −x

2+Chay f(x)=

C−x2

Lại có f(2)=−2

9 ⇔C =−

1

2 ⇒ f(x)= −

2

1+2x2 Vậy f(1)=−

Chọn phương ánD.

5.18 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số f(x) xác định R \

ß

™

thỏa mãn f0(x) =

2x−1,

f(0)=1và f(1)=2 Giá trị biểu thức f(−1)+ f(3)bằng

A 2+ln 15 B 4+ln 15 C ln 15 D 3+ln 15

Lời giải.

Ta có f(x)=

Z

2

2x−1dx=ln|2x−1|+C

Vớix>

2, ta có f(x)= ln(2x−1)+C, f(1)=2⇔C =2

Vớix<

2, ta có f(x)= ln(1−2x)+C, f(0)=1⇔C =1

Do f(x)=

  

 

ln(2x−1)+2 x>

2

ln(1−2x)+1 x<

2

Từ suy f(−1)+ f(3)= ln 3+1+ln 5+2= 3+ln 15

Chọn phương ánD.

5 Phương pháp nguyên hàm phần

5.19 (Đề tham khảo 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 4x(1+lnx)là

A 2x2lnx+3x2. B. 2x2lnx+3x2+C. C. 2x2lnx+ x2+C. D. 2x2lnx+ x2.

Lời giải.

Loại phương án2x2lnx+3x2và2x2lnx+x2vì khơng cóC

GọiI=

Z

4x(1+lnx) dx Đặt

®

u=1+lnx

dv=4xdx ⇒

 



du=

xdx v=2x2 Ta cóI =2x2(1+lnx)−

Z

2xdx= 2x2+2x2lnx−x2+C =2x2lnx+x2+C

Chọn phương ánC.

5.20 (Đề thức 2020). Cho hàm số f(x) = √ x

x2+2 Họ tất nguyên hàm hàm số

A x+2

2

√

x2+2 +C B

x2+2x−2

√

x2+2 +C C

2x2+x+2

√

x2+2 +C D

x−2

√

x2+2 +C

Lời giải.

Đặt

®

u= x+1 dv= f0(x)dx ⇒

®

du=dx

v= f(x), ta có

Z

g(x) dx=(x+1)f(x)− Z

f(x) dx= x

2+x

√ x2+2

− Z

x √

x2+2dx=

x2+x

√ x2+2

−I1

Đặtu=

√

x2+2⇔u2 = x2+2⇒udu= xdx, ta có

I1 =

Z

1

u ·udu=u+C = √

x2+2+C

Vậy Z

g(x) dx= x

2+ x

√ x2+2

− √

x2+2+C = √x−2

x2+2+C

Chọn phương ánD.

5.21 (Đề thức 2017). ChoF(x)= x2là nguyên hàm hàm số f(x)e2x Tìm nguyên hàm

của hàm số f0(x)e2x.

A Z

f0(x)e2xdx=−x2+2x+C B

Z

f0(x)e2xdx= −2x2+2x+C

C Z

f0(x)e2xdx=2x2−2x+C D Z

f0(x)e2xdx= −x2+x+C

Lời giải.

Theo giả thiếtF(x)= x2là nguyên hàm của f(x)e2x nênF0(x)= f(x)e2x hay2x= f(x)e2x.

Đặt

®

u= e2x

dv= f0(x)dx ⇒

®

du=2e2xdx v= f(x) , ta có

Z

f0(x)e2xdx= f(x)e2x− Z

f(x)·2e2xdx= 2x−2

Z

f(x)e2xdx=2x−2x2+C

Chọn phương ánB.

5.22 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)liên tục trênR Biếtcos 2xlà nguyên hàm hàm số f(x)ex, họ tất nguyên hàm hàm số f0(x)exlà

A −sin 2x+cos 2x+C B −2 sin 2x−cos 2x+C

C −2 sin 2x+cos 2x+C D sin 2x−cos 2x+C

Lời giải.

Vìcos 2xlà nguyên hàm hàm số f(x)ex nên f(x)ex =(cos 2x)0 =

−2 sin 2x Ta cần tính I= f0(x)exdx

Đặt

®

u= ex

dv= f0(x)dx ⇒

®

du=exdx v= f(x) , ta có

I = f(x)ex− Z

f(x)exdx= −2 sin 2x−cos 2x+C

Chọn phương ánB.

6 Ứng dụng nguyên hàm

5.23 (Đề tham khảo 2019). Cho hàm số f(x)= mx4+nx3+px2+qx+r

(m,n,p,q,r ∈ R) Hàm số y = f0(x) có đồ thị hình vẽ bên Tập

nghiệm phương trình f(x)= rcó số phần tử

A B C D

x y

O

−1

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

Lời giải.

Từ hình vẽ ta thấy f0(x)có nghiệmx=−1, x=

4, x=3

Do f0(x)=m(x+1)(4x−5)(x−3)= m 4x3−13x2−2x+15 Từ suy f(x)=m

Å

x4− 13

3 x

3−x2+15x

ã

+r Khi f(x)=r⇔ m

Å

x4− 13

3 x

3−x2+15x

ã

=0⇔ x

Å

x3− 13

3 −x+15

ã

= 0⇔



  

x=0

x=−5

3

x=3

Vậy tập nghiệm phương trình f(x)= rcó phần tử

Chọn phương ánA.

§2 Tích Phân

1 Định nghĩa, tính chất

5.24 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm số f(x)có đạo hàm đoạn[1; 2], f(1) = 1và f (2) = TínhI =

2

Z

1

f0(x) dx

A I = B I = −1 C I = D I =

2

Lời giải.

Theo định nghĩa tích phân ta cóI=

2

Z

1

f0(x) dx= f(x)

1= f(2)

− f(1)=2−1=

Chọn phương ánA.

5.25 (Đề tham khảo 2020). Nếu

1

Z

0

f(x) dx= 4thì

1

Z

0

2f(x) dxbằng

A B C D 16

Lời giải.

Ta có

1

Z

0

2f(x) dx=2

Z

0

f(x) dx= 2·4=

Chọn phương ánA.

5.26 (Đề thức 2020). Biết

3

Z

1

f(x) dx= Giá trị

3

Z

1

2f (x) dxbằng

A

2 B C D

Lời giải.

Ta có

3

Z

1

2f (x) dx=2

Z

1

f (x) dx= 2·3=

Chọn phương ánC.

5.27 (Đề tham khảo 2020). Nếu

2

Z

1

f(x) dx= −2và

3

Z

2

f(x) dx=1thì

3

Z

1

f(x) dxbằng

A B −1 C D −3

Ta có

3

Z

1

f(x) dx=

2

Z

1

f(x) dx+

3

Z

2

f(x) dx=−2+1=−1

Chọn phương ánB.

5.28 (Đề thức 2020). Biết

3

Z

2

f(x) dx =

3

Z

2

g(x) dx = Khi

3

Z

2

f(x)−g(x) dx

A −3 B C D

Lời giải. Ta có Z

f(x)−g(x) dx=

3

Z

2

f(x) dx−

3

Z

2

g(x) dx=4−1=

Chọn phương ánC.

5.29 (Đề thức 2019). Biết

1

Z

0

f(x) dx = −2

1

Z

0

g(x) dx = 3,

1

Z

0

f(x)−g(x) dx

A B −5 C −1 D

Lời giải. Ta có Z

f(x)−g(x) dx=

1

Z

0

f(x) dx−

1

Z

0

g(x) dx=−2−3=−5

Chọn phương ánB.

5.30 (Đề tham khảo 2019). Cho

1

Z

0

f(x) dx =

1

Z

0

g(x) dx = 5,

1

Z

0

f(x)−2g(x) dx

A B −3 C −8 D 12

Lời giải. Ta có Z

f(x)−2g(x) dx=

1

Z

0

f(x) dx−2

Z

0

g(x) dx=2−2·5=−8

Chọn phương ánC.

5.31 (Đề thức 2020). Biết

1

Z

0

f(x)+2x dx=2 Khi

1

Z

0

f(x) dxbằng

A B C D

Lời giải. Ta có Z

f(x)+2x dx= 2⇔

1

Z

0

f(x) dx+

1

Z

0

2xdx=2⇔

1

Z

0

f(x) dx+1=2⇔

1

Z

0

f(x) dx=1

Chọn phương ánA.

5.32 (Đề thức 2020). Cho hàm sốF(x)= x2 nguyên hàm hàm số f(x)trênR Giá trị

2

Z

1

2+ f(x) dxbẳng

A 13

3 B C D

7 Lời giải. Ta có Z

2+ f(x) dx=

2

Z

1

2 dx+

2

Z

1

f(x) dx=2x

1+x

2

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

Chọn phương ánB.

2 Tích phân bản 5.33 (Đề thức 2018).

2

Z

1

e3x−1dxbằng

A

3(e

5−e2). B.

3(e

5+e2). C. e5−e2. D.

3e 5−e2.

Lời giải.

Ta có

2

Z

1

e3x−1dx=

3e 3x−1

= 3(e 5−

e2)

Chọn phương ánA.

5.34 (Đề tham khảo 2018). Tích phân

2

Z

0 dx x+3

A 16

225 B ln

5

3 C

2

15 D log

5 Lời giải. Ta có Z dx

x+3 =ln|x+3|

0 =ln

5

Chọn phương ánD.

5.35 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) có f(0) = 0và f0(x) = cosxcos22x,∀x ∈ R Khi

π

Z

0

f(x) dxbằng

A 149

225 B

1042

225 C

242

225 D

208

225

Lời giải.

Ta có

f0(x) = cosx1+cos 4x

2 =

1

2cosx+

1

2cosxcos 4x

=

2cosx+

1

4(cos 3x+cos 5x)=

1

2cosx+

1

4cos 3x+

1

4cos 5x

Suy f(x)=

2sinx+

1

12sin 3x+

1

20sin 5x+C

Mặt khác f(0)=0nênC = 0⇒ f(x)=

2sinx+

1

12sin 3x+

1

20sin 5x,∀x∈R

Vậy

π

Z

0

f(x) dx =

π

Z

0 Å

1

2sinx+

1

12sin 3x+

1

20sin 5x

ã dx

= Å−1

2cosx−

1

36cos 3x−

1

100cos 5x

ã π = 242 225

Chọn phương ánC.

5.36 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x) Biết f(0) = 4và f0(x)= cos2x+1, ∀x ∈R,

π

4

Z

0

A π

2+16π+4

16 B

π2+16π+16

16 C

π2+14π

16 D

π2+4

16

Lời giải.

Ta có f0(x)=2 cos2x+1=cos 2x+2,∀x∈R Suy f(x)=

Z

f0(x) dx= Z

(cos 2x+2)dx=

2sin 2x+2x+C

Từ f(0)= 4, suy raC =4 Vậy

π

4

Z

0

f(x) dx=

π Z Å

2sin 2x+2x+4

ã

dx=

Å

−1

4cos 2x+x

2+4x

ã π

= π2

16 +π+

1

Chọn phương ánA.

5.37 (Đề tham khảo 2018). Biết

2

Z

1

dx

(x+1)√x+x√x+1 =

√ a−

√

b−cvớia,b,clà số nguyên dương TínhP=a+b+c

A P=18 B P=12 C P=24 D P=46

Lời giải.

Ta có

(x+1)√x+ x

√

x+1 =

1

√

x.√x+1Ä√x+1+ √xä = √

x+1− √x √

x √

x+1 =

√ x+1

− √1 x Do Z dx

(x+1)√x+x√x+1 =

2 Z Å √ x − √ x+1

ã

dx=

2

Z

1 Ä

x−12 +(x+1)− ä

dx

= Ä

2√x−2

√ x+1ä

1=

√

2−2

√

3−2=

√

32−

√

12−2

Từ suy raa= 32,b= 12,c=2 VậyP=32+12+2=46

Chọn phương ánD.

3 Phương pháp đổi biến 5.38 (Đề thử nghiệm 2017). Cho

4

Z

0

f(x) dx=16 TínhI =

2

Z

0

f(2x) dx

A I =32 B I =8 C I =16 D I =4

Lời giải.

Đặtu=2x⇒du=2dx Đổi cận x=0⇒ u= 0;x=2⇒u=

Ta cóI =

2

Z

0

f(u) du=

2

Z

0

f(x) dx=8

Chọn phương ánB.

5.39 (Đề thức 2017). Cho

6

Z

0

f(x) dx=12 TínhI =

2

Z

0

f(3x) dx

A I =4 B I =36 C I =6 D I =2

Lời giải.

Đặtu=3x⇒du=3dx Đổi cận x=0⇒ u= 0, x=2⇒u= Ta cóI =

6

Z

0

f(u)1

3du=

1

6

Z

0

f(x) dx=4

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

5.40 (Đề tham khảo 2020). Xét

2

Z

0

xex2dx, đặtu= x2thì

2

Z

0

xex2dxbằng

A

Z

0

eudu B

2

Z

0

eudu C

2

Z

0

eudu D

2

4

Z

0

eudu

Lời giải.

Đặtu= x2 ⇒du= 2xdx.

Đổi cậnx= 0⇒u=0, x= 2⇒u=4, ta có

2

Z

0

xex2dx=

4

Z

0

eu·

2du=

1

4

Z

0

eudu

Chọn phương ánD.

5.41 (Đề tham khảo 2017). Tính tích phânI =

2

Z

1 2x

√

x2−1 dxbằng cách đặtu = x2−1, mệnh đề

nào đâyđúng?

A I =

2

Z

1

√

udu B I =

3

Z

0 √

udu C I =

2

Z

1

√

udu D I =

Z

0

√ udu

Lời giải.

Đặtu= x2−1⇒ du=2 dx Đổi cậnx= 1⇒u=0;x= 2⇒u=3 Ta cóI =

Z

0

√ udu

Chọn phương ánB.

5.42 (Đề thức 2020). BiếtF(x) = ex +x2 nguyên hàm hàm số f(x)trênR Khi Z

f(2x) dxbằng

A 2ex+4x2+C B

2e 2x+

x2+C C 2ex+2x2+C D

2e

2x+

2x2+C

Lời giải.

Đặtu=2x⇒ du=2dx, ta có Z

f(2x) dx=

2

Z

f(u) du=

2 e

u+

u2+C =

2e 2x+

2x2+C

Chọn phương ánD.

5.43 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x)có f(3) = 3và f0(x) = x

x+1− √x+1,

∀x > Khi

đó

8

Z

3

f(x) dxbằng

A 197

6 B

29

2 C D

181

6

Lời giải.

Ta có f(x)=

Z

f0(x) dx= Z

x

x+1− √x+1dx

Đặtu= √x+1⇔ u2= x+1⇒2udu=dx, ta có

f(x)=

Z

u2−1

u2−u2udu=2

Z

(u+1) du=u2+2u+C = x+1+2

√

x+1+C Lại có f(3)=3⇔8+C =3⇔C =−5⇒ f(x)= x+2√x+1−4

Vậy

8

Z

3

f(x) dx=

8

Z

3 Ä

x+2

√

x+1−4ä dx=

ï

x2

2 +

4

3(x+1)

√

x+1−4x

Chọn phương ánA. 5.44 (Đề minh họa 2016). Tính tích phânI =

π

Z

0

cos3xsinxdx

A I =−π4 B I =0 C I =−1

4π

4. D. I =−1

4

Lời giải.

Sử dụng máy tính tính đượcI =0

Chọn phương ánB.

5.45 (Đề tham khảo 2017). Cho

1

Z

0 dx

ex+1 = a + bln

1+e

2 , với a,b số hữu tỉ Tính S =

a3+b3.

A S = B S = −2 C S = D S =

Lời giải.

GọiI =

1

Z

0 dx

ex+1, ta có I =

Z

0

exdx

ex(ex+1)

Đặtu=ex ⇒ du=exdx Đổi cậnx= 0⇒u=1;x=1⇒ u=e.

Ta cóI =

e

Z

1

u(u+1)du= e

Z

1

u+1−u u(u+1) du=

e Z Å u −

u+1 ã

du= ln u

u+1

e

1 =

1−lne+1

2

Từ suy raa= 1;b=−1 VậyS = 13+(−1)3 =0

Chọn phương ánC.

4 Phương pháp tích phân phần 5.46 (Đề minh họa 2016). Tính tích phânI =

e

Z

1

xlnxdx

A I = e

2−2

2 B I =

1

2 C I =

e2−1

4 D I =

e2+1

4

Lời giải.

Sử dụng máy tính tínhI lưu vào biến A Nhập A trừ đáp án kết chọn

Chọn phương ánD.

5.47 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số f(x)thỏa mãn

1

Z

0

(x+1)f0(x) dx=10và2f(1)− f(0)=

TínhI =

1

Z

0

f(x) dx

A I =−8 B I =−12 C I =12 D I =8

Lời giải.

Đặt

®

u= x+1 dv= f0(x)dx ⇒

®

du=dx

v= f(x)

Ta có

1

Z

0

(x+1)f0(x) dx= (x+1)f(x)

− Z

f(x) dx⇔10=2f(1)− f(0)−I ⇔I = −8

Chọn phương ánA.

5.48 (Đề thức 2019). Cho hàm sốf(x)có đạo hàm liên tục trênR Biết f(4)=1và

Z

0

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

1,

4

Z

0

x2f0(x) dxbằng

A 14 B C −16 D 31

2

Lời giải.

Đặtt= 4x⇒dt= 4dx Đổi cận x=0⇒ t=0, x= 1⇒t=4 Ta có

1

Z

0

x f(4x) dx=

4

Z

0

t

4 · f(t)·

4dt=

1 16

4

Z

0

x f(x) dx

Từ suy

4

Z

0

x f(x) dx= 16

Xét tích phânI=

4

Z

0

x2f0(x) dx Đặt

®

u= x2

du= f0(x) dx ⇒

®

du= 2xdx v= f(x) , ta có

I = x2f(x)

− Z

2x f(x) dx=42· f(4)−2·16= −16

Chọn phương ánC.

5 Phương pháp đồng hệ số 5.49 (Đề tham khảo 2019). Cho

1

Z

0

xdx

(x+2)2 = a+bln 2+cln 3vớia, b,clà số hữu tỷ Giá trị

của3a+b+cbằng

A B −2 C D −1

Lời giải.

Ta có x

(x+2)2 =

A x+2 +

B

(x+2)2 =

Ax+2A+B

(x+2)2

Đồng hệ số ta

®

A=

2A+B=0 ⇔

®

A=

B= −2

Khi

1

Z

0

xdx

(x+2)2 =

Z

0

ï 1

x+2 − (x+2)2

ò

dx=ln|x+2|

0+

2

x+2

0= ln

−ln 2−

3

Từ suy raa=−1

3,b=−1,c=1 Vậy3a+b+c=−1

Chọn phương ánD.

5.50 (Đề thử nghiệm 2017). Biết

4

Z

3 dx

x2+ x = aln 2+bln 3+cln 5, vớia,b,clà số nguyên Tính

S =a+b+c

A S =0 B S =2 C S =6 D S =−2

Lời giải.

C1: Ta có

4

Z

3 dx x2+x =

4

Z

3

x(x+1)dx=

Z

3

x+1−x x(x+1) dx=

4 Z Å1 x−

x+1 ã dx Suy Z dx

x2+x = (ln|x| −ln|x+1|)

3 =(ln

Do đóa=4,b=−1,c=−1 VậyS = a+b+c=

C2: ĐặtI =

4

Z

3 dx

x2+x, ta cóI = aln 2+bln 3+cln 5⇔e

I =2a·3b·5c.

Sử dụng máy tính tính đượceI = 16

15 =2

4·3−1·5−1 Từ suy raa= 4,b=−1,c= −1.

VậyS =a+b+c=2

C3: ĐặtI =

4

Z

3 dx

x2+x Ta cóS = a+b+c⇔ c= S −a−b

Khi đóI =aln 2+bln 3+(S−a−b) ln 5⇔I = aln2

5+bln

3

5+Sln 5⇔ b=

I−S ln 5−aln2

ln3

5

Sử dụng máy tính chọn MODE

Nhập vào máy biểu thức f(X)=

I−2 ln 5−Xln2

5

ln3

5

(kiểm tra phương ánS =6) Chọn STAR =−9, END = 9, STEP =1, dò kết nguyên f(4)= −1 Từ suy raa= 4,b=−1,c=−1 VậyS =a+b+c=2

Chọn phương ánB.

5.51 (Đề thức 2018). Cho

55

Z

16

dx

x√x+9 = aln 2+ bln 5+cln 11 với a,b,c số hữu tỉ

Mệnh đề đâyđúng?

A a+b=3c B a+b=c C a−b=−3c D a−b=−c

Lời giải.

Đặtu=

√

x+9⇔u2 = x+9⇒ 2udu=dx Đổi cận x=16⇒ u= 5;x=55⇒u= 8, ta có

55

Z

16

dx x√x+9 =

8

Z

5

2udu

(u2−9)u =2

Z

5 du u2−9 =

1

Ñ 8

Z

5 du u−3 −

8

Z

5 du u+3

é

=

3(ln|u−3| −ln|u+3|)

5

=

3ln 2+

1

3ln 5−

1 3ln 11

Từ suy raa=

3,b=

1

3,c= −

1

3 Vậya−b=−c

Chọn phương ánD.

6 Tích phân hàm ẩn

5.52 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà thỏa mãn f(x)+f(−x)=

√

2+2 cos 2x,∀x∈

R TínhI = 3π

2

Z

−3π

f(x) dx

A I =−6 B I =6 C I =−2 D I =0

§2 Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

Ta cóI =

0

Z

−3π

f(x) dx+

3π

Z

0

f(x) dx

Đặtu=−x⇒du=−dx Đổi cậnx= −3π

2 ⇒u=

3π

2 ;x= 0⇒u=0

Ta có

0

Z

−3π

f(x) dx=−

0

Z

3π

f(−u) du=

3π

Z

0

f(−u) du=

3π

Z

0

f(−x) dx

Khi đóI =

3π

Z

0

f(−x) dx+

3π

Z

0

f(x) dx=

3π

Z

0

[f(−x)+ f(x)] dx=

3π

Z

0

√

2+2 cos 2xdx Sử dụng máy tính tính đượcI =

Chọn phương ánB.

5.53 (Đề tham khảo 2020). Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn x f x3+ f 1−x2 =

−x10+x6−2x, ∀x∈

R Khi

Z

−1

f(x)dxbằng

A −17

20 B

17

4 C −

13

4 D −1

Lời giải.

C1: Với x∈R, ta có

x f x3+ f 1−x2=−x10+ x6−2x⇒ x2f x3+x f 1− x2=−x11+x7−2x2 (1)

Lấy tích phân cận từ0đến1cả hai vế của(1), ta có

1

Z

0

x2f x3 dx+

1

Z

0

x f 1−x2 dx=

1

Z

0

−x11+x7−2x2 dx

⇔

3

Z

0

f x3 d x3−

2

Z

0

f 1− x2 d 1−x2=−5

8

⇔

3

Z

0

f(x) dx+

2

Z

0

f(x) dx=−5

8

⇔

1

Z

0

f(x) dx=−3

Lấy tích phân cận từ−1đến0cả hai vế của(1), ta có

0

Z

−1

x2f x3 dx+

0

Z

−1

x f 1− x2 dx=

0

Z

−1

−x11+ x7−2x2 dx

⇔

3

Z

−1

f x3 d x3−

2

Z

−1

f 1−x2 d 1− x2 =−17

24 ⇔ Z −1

f(x) dx−

2

Z

0

f(x) dx= −17

24

⇔

0

Z

−1

f(x) dx= ï −17 24+ 2· Å −3 ãò

=−13

4

Vậy

0

Z

−1

f(x) dx=−13

4

C2: Từ giả thiết suy f(x)là hàm số bậc ba có dạng f(x)=−x3+bx2+cx+d.

Chox= 0, ta có f(1)=0⇒b+c+d=

Chox= 1, ta có f(1)+ f(0)= −2⇔ f(0)= −2⇒d =−2⇒b+c=3 (2)

Chox= −1, ta có−f(−1)+ f(0)= 2⇔ f(−1)=−4⇒ 1+b−c+d=−4⇒b−c= −3 (3)

Từ(2)và(3)ta cób=0,c=3, suy f(x)=−x3+3x−2 Vậy

0

Z

−1

f(x) dx=

0

Z

−1

−x3+3x−2 dx= −13

4

Chọn phương ánC.

5.54 (Đề tham khảo 2018). Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãn f(1)= 0,

1

Z

0

f0(x)2 dx= 7và

1

Z

0

x2f(x) dx=

3 Tích phân

Z

0

f(x) dxbằng

A B

4 C D

7

Lời giải.

Đặt

®

u= f(x)

dv= x2dx ⇒

 



du= f0(x)dx v= x

3 Ta có Z

x2f(x)dx= x

3f(x) − Z

x3f0(x)dx=−1

3

Z

0

x3f0(x)dx

Theo giả thiết có−1

3

Z

0

x3f0(x)dx=

3 ⇔

1

Z

0

x3f0(x)dx=−1

Do ta cần tìmksao choI =

1

Z

0

f0(x)+kx32dx=0

Ta cóI =

1

Z

0

f0(x)2dx+2k

1

Z

0

x3f0(x)dx+k2

1

Z

0

x6dx= 7−2k+ k

2x7

=7−2k+ k

2

7 ⇔ k=7

Khi f0(x)= −7x3⇒ f(x)=−7x

4

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

Vậy

1

Z

0

f(x) dx= −7

4

Z

0

x4−1 dx=

5

Chọn phương ánD.

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân

1 Diện tích hình phẳng

5.55 (Đề thức 2018). Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ex,

y = 0, x=0, x=2 Mệnh đề đâyđúng?

A S =π

2

Z

0

e2xdx B S =π

2

Z

0

exdx C S =

2

Z

0

e2xdx D S =

2

Z

0

exdx

Lời giải.

Diện tích hình phẳng cho tính theo cơng thứcS =

2

Z

0

|ex|dx=

2

Z

0 exdx

Chọn phương ánD.

5.56 (Đề tham khảo 2017). GọiS diện tích hình phẳng(H)giới hạn đườngy= f(x), trục hồnh hai đường thẳngx= −1, x=2(như hình vẽ bên) Đặta =

0

Z

−1

f(x) dx, b =

2

Z

0

f(x) dx, mệnh đề

đúng?

A S =b+a B S = b−a C S =−b+a D S =−b−a x y

O −1

2

y= f(x)

Lời giải.

Theo hình vẽ ta có f(x)< 0,∀x∈(−1; 0)và f(x)>0,∀x∈(0; 2)

Do đóS =

0

Z

−1

|f(x)|dx+

2

Z

0

|f(x)|dx=

0

Z

−1

[−f(x)] dx+

2

Z

0

f(x) dx=−a+b

Chọn phương ánB.

5.57 (Đề thức 2020). Diện tích hình phẳng giới hạn hai đườngy = x2−4 y = 2x−4

bằng

A

3 B 36 C 36π D

4π

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm

x2−4=2x−4⇔

đ

x=0

x=2

Diện tích hình phẳng giới hạn hai đườngy= x2−4vày=2x−4là

S =

2

Z

0

x2−4−(2x−4) dx=

2

Z

0

x2−2x dx=

2

Z

0

2x−x2 dx=

3

5.58 (Đề tham khảo 2019). Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo công thức đây?

A

2

Z

−1

(−2x+2) dx B

2

Z

−1

−2x2+2x+4 dx

C

2

Z

−1

(2x−2) dx D

2

Z

−1

2x2−2x−4 dx

x y

O

y=−x2+3

y= x

2 − 2x

−1

Lời giải.

Từ hình vẽ, ta cóS =

2

Z

−1

−x2+3− x2−2x−1dx=

2

Z

−1

−2x2+2x+4 dx

Chọn phương ánB.

5.59 (Đề tham khảo 2020). Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = 2x2, y = −1, x= 0và x=1được tính cơng thức đây?

A S =

1

Z

0

2x2−1 dx B S = π

1

Z

0

2x2+1 dx

C S =

1

Z

0

2x2+1 dx D S =

1

Z

0

2x2+12 dx

Lời giải.

Diện tích hình phẳng cần tìm

S =

2

Z

0

2x2−(−1) dx=

1

Z

0

2x2+1 dx

Chọn phương ánC.

5.60 (Đề tham khảo 2020). Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình bên

A

2

Z

−1

−2x2−2x+4dx B

2

Z

−1

−2x2+2x+4dx

C

2

Z

−1

2x2−2x−4dx D

2

Z

−1

2x2+2x−4dx

x y

O

2

−1

y=−x2+2

y=x2−2x−2

Lời giải.

Từ hình vẽ, suy diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ

S =

2

Z

−1

−x2+2− x2−2x−2dx=

2

Z

−1

−2x2+2x+4 dx

§3 Ứng Dụng Của Tích Phân Nguyễn Minh Hiếu

5.61 (Đề thức 2019). Cho hàm số f(x)liên tục trênR GọiS diện

tích hình phẳng giới hạn cácy = f(x),y = 0, x = 0, x = −1và x =

(như hình vẽ bên) Mệnh đề đâyđúng?

A S =−

1

Z

−1

f(x) dx−

4

Z

1

f(x) dx B S =

1

Z

−1

f(x) dx+

4

Z

1

f(x) dx

C S =

1

Z

−1

f(x) dx−

Z

1

f(x) dx D S =−

1

Z

−1

f(x) dx+

4

Z

1

f(x) dx

x y O −1 Lời giải.

Từ hình vẽ, ta thấy f(x)>0,∀x∈(−1; 1)và f(x)<0,∀x∈(1; 4),

S =

1

Z

−1

f(x) dx−

4

Z

1

f(x) dx

Chọn phương ánC.

5.62 (Đề minh họa 2016). Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy = x3−xvà đồ thị

hàm sốy= x−x2.

A 37

12 B

81

12 C 13 D

9

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểmx3−x= x−x2 ⇔



 

x=0

x=1

x=−2

Diện tích hình phẳng cần tìm làS =

1

Z

−2

x3−x− x−x2 dx= 37

12

Chọn phương ánA.

5.63 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hình thang cong(H)giới hạn đường y = ex,y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4)chia(H)thành hai phần có diện tích làS1 vàS2 hình vẽ bên TìmkđểS1 =2S2

A k=

3ln B k=ln C k =ln

8

3 D k= ln

x x

O k ln

S1

S2

Lời giải.

Từ hình vẽ ta cóS1 = k

Z

0

exdx= ex k

0 = e

k−

1;S2 = ln

Z

k

exdx= ex

ln

k =

−ek Khi đóS1 =2S2 ⇔ek−1= 4−ek

⇔3ek = 9⇔k=ln 3.

Chọn phương ánD.

5.64 (Đề tham khảo 2018). Cho(H)là hình phẳng giới hạn parabol y=

√

3x2, cung trịn có phương trìnhy= √

4− x2(với06 x6 2) trục

hồnh (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích của(H)bằng

A 4π− √

3

12 B

5

√

3−2π

3

C 4π+ √

3

12 D

4π+2√3−3

6 x

y

O