Tiếp theo là một chùm bài toán mà sử dụng bổ đề cát tuyến đã giúp làm sáng tỏ cũng như mở rộng vấn đề.. Ta bắt đầu bằng bài toán hay sau:.[r]
(1)http://www
.molympiad.blogspot.com Bổ đề cát tuyến ứng dụng giải
một số toán
Lời nói đầu: Trong q trình giảng dạy đội tuyển thi VMO, thầyTrần Minh Ngọc-THPT chuyên Lê Hồng Phong đề xuất bổ đề sau: "Cho tứ giácABCD nội tiếp(O)có đường chéoAC, BDcắt tạiI Khi IA
IC = BA BC
DA
DC" với tên gọi
"bổ đề cát tuyến" Bổ đề xuất "An elementary treatise on modern pure geometry" tác giả Lachlan năm 1893 Sau sử dụng bổ đề để giải số toán:
Trước vào ứng dụng ta chứng minh lại bổ đề này:
Chứng minh: Ta có: IA
IC = SIAD SICD =
1
2.AD.ID.sin∠ADB
2.CD.ID.sin∠CDB
= AD.sin∠ADB CD.sin∠CDB = AD.AB
CD.BC hay đpcm
(2)http://www
.molympiad.blogspot.com
Ngoài cách chứng minh đơn giản bạn cịn sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh bổ đề Bây xem ứng dụng bổ đề qua số toán
Bài toán 1(Thi thử KHTN đợt 3/2017): Cho tam giác ABC nội tiếp(O) P điểm cungBC khơng chứa Acủa(O) LấyE, F AC, AB:
P B = CE, P C = BF Gọi (AEF)∩(O) = A, G Chứng minh rằng: GP chia đôi
BC
Lời giải 1: Lấy S đối xứng B qua G Ta thấy rằng: 4GF B ∼ 4GEC(g.g)
GB GC =
F B EC =
P C P B =
GS
GC, ý rằng: ∠SGC = 180
◦−
∠AGC =∠BP C 4BCP ∼ 4CSG(c.g.c) ∠BGP = ∠BCP = ∠CSG nên GPkSC
GP chia đơi BC(theo tính chất đường trung bình)
Nhận xét: Cách làm cách tiếp cận tam giác đồng dạng thật độc đáo
Lời giải 2: Ta thấy rằng: 4GF B ∼ 4GEC(g.g) GB
GC = F B EC =
P C P B Gọi GP ∩BC = I Theo bổ đề cát tuyến thì: IB
IC = GB GC
P B
P C = thu
đpcm
(3)http://www
.molympiad.blogspot.com
Tiếp theo chùm toán mà sử dụng bổ đề cát tuyếnđã giúp làm sáng tỏ mở rộng vấn đề Ta bắt đầu toán hay sau:
Bài toán 2(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giácABCnội tiếp(O)có tiếp tuyến tạiB, C cắt ởT AT ∩BC =D HạT G⊥OA,H chân đường cao hạ từ A
của tam giácABC Chứng minh rằng: GD cắtT H (OBC)
Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Gọi T H ∩(OBC) = J Ta thấy rằng:
G∈(OBC) Kẻ đường cao BE, CF tam giác ABC EF ∩BC =S Ta để ý rằng: (SH, BC) = −1 HS.HM = HB.HC = HJ.HT SJ M T nội tiếp suy ra∠SJ T = 90◦do đóS, J, Othẳng hàng Ta chứng minhJ, D, Gthẳng hàng.
GọiAT∩(O) =K Ta có: AH ⊥BC màHJ ⊥SOdo đó∠J HA=∠J SH Lại có:
J T phân giác góc∠BJ Cdo đóT H.T J =T B2=T C2 =T O.T M =T K.T A
do đóJ HKA nội tiếp suy ra∠J HA=∠J KD=∠J SDdo J SKD nội tiếp Gọi
OD∩(OBC) =L, D Ta có: OJ.OS =OM.OT =OD.OLdo S, J, D, K, L đồng viên hay là: ∠J KA=∠J LD=∠J GA đóJ AGK nội tiếp GọiGD∩(OBC) = G, J0, ta có: DJ0.DG = DB.DC = DK.DA thì: J0AGK nội tiếp
J ≡J0 hay làJ, D, G thẳng hàng VậySO, DG, T H đồng quy trên(OBC)(đpcm)
Nhận xét: Bài toán đẹp cách giải tơi phát triển từ tốn tiếng từ kì thi vơ địch Tốn Iran năm 2011 Tiếp tục mở rộng thay AH, AO
(4)http://www
.molympiad.blogspot.com Bài toán 3(Mở rộng tốn 2): Cho tam giác ABC Một đường trịn(Q) qua
B, C Trung trực BC cắt(Q) tạiI, K(theo thứ tựI, Q, K từ xuống)(I
nằm tam giác ABC) AI ∩(Q) = G lấyH thuộc BC cho: AH đẳng giác AI AD đường đối trung tam giác ABC(D ∈ BC) Chứng minh rằng:
KH cắt GD trên(Q)
Lời giải: Gọi AI∩BC = L, KH∩(Q) = J J Q∩BC = D0 Ta thấy rằng: J K
là phân giác góc ∠BJ C J B
J C = HB
HC Mà IB = IC nên GI phân giác góc ∠BGC đó: LB
LC = GB
GC Để ý rằng: D0B D0C =
J B J C
GB GC =
HB HC
LB LC =
AB2 AC2
AD0 đường đối trung tam giácABCnênD≡D0do đóGDcắtKH
(Q)(đpcm)
Nhận xét: Lời giải hay tận dụng giả thiết tới mức tuyệt đối(cách vẽ phụ đơn giản) Tiếp tục mở rộng hai đường đẳng giác ta tốn sau:
Bài tốn 4(Nguyễn Duy Khương)(Mở rộng toán 2,3): Cho tam giácABC Một đường tròn (K) qua B, C Lấy I, J BC cho AI, AJ đẳng giác
∠BAC(B, I, J, C nằm theo thứ tự BC) Trung trực BC cắt (K) M, N Gọi M J ∩(K) = Q, M AD đường đối trung tam giác ABC(D ∈ BC) Chứng minh rằng: QD cắtIN (K)
(5)http://www
.molympiad.blogspot.com Lời giải: Gọi N I∩(K) =N, P,P Q∩BC =D0 Ta thấy rằng: P N phân giác góc
∠BP C đó: IB
IC = P B
P C Cũng có: QM phân giác góc∠BQC QB QC =
J B J C
Thế thì: D
0B
D0C =
P B P C
QB QC =
J B J C
IB IC =
AB2
AC2 đóAD
0 cũng đường đối trung của 4ABC D≡D0 Ta thu QDcắt IN P thuộc (K)(đpcm)
Nhận xét: Lời giải tương tự toán bổ đề cát tuyến định thành công lời giải
Cuối để luyện tập thử sức với hai tốn sau:
Bài tốn 5(Nguyễn Hồng Nam)(Tổng quát toán 2,3,4): Cho tam giác
ABC (K)là đường trịn quaB, C LấyE, F trênBC choAF, AEđẳng giác gócBAC Một đường thẳng quaF cắt(K)tạiH, J LấyGtrênBC
bất kì LấyD ∈ BC: AD, AG đẳng giác góc BAC HG∩(K) = I, H Chứng minh rằng: IE, J D cắt trên(K)
Bài toán 6(Iran MO 2013): Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O) Dlà điểm nằm cungBC không chứa A (O) Lấy điểm E, F AB, AC
sao cho: BE=BD, CF =CD GọiDF ∩(O) =K, D Chứng minh rằng: BK chia đôiEF
(6)http://www
.molympiad.blogspot.com (O) AC∩BD=P Một đường thẳngdquaP cho P hình chiếu vng
gócO lên d d∩AB =X, d∩CD=Z Chứng minh rằng: P trung điểm ZX
Bổ đề cát tuyến ứng dụng giảimột số toán