Chứng minh. Bất biến X = sai khác giữa số tắc kè xanh và số tắc kề đỏ theo modulo 3. Vì vậy, trường hợp tất cả các con tắc kè có cùng màu không thể xảy ra. Cho phép đổi dấu của các số tr[r]
(1)Bất biến nửa bất biến
Lê Anh Vinh
ĐH Giáo dục, ĐHQGHN
1 Khởi động
Chúng ta bắt đầu ví dụ đơn giản Giáo viên yêu cầu học sinh làm thí nghiệm nhỏ – viết lên bảng a+b số gồm a số b số Sau thực a+b−1 lần phép biến đổi sau: xố hai số bảng Nếu chúng viết số lên bảng khác viết số lên bảng Sau học sinh làm thử vở, giáo viên nói số lại bảng số hay số
Học sinh thắc mắc cách tự nhiên: làm giáo viên biết số lại bảng? Rõ ràng phép biến đổi thực theo nhiều cách khác nhau, sau phép biến đổi, tổng số bảng khơng đổi theo modulo Do đó, số cịn lại bảng b lẻ trường hợp ngược lại
Chúng ta tiếp tục với ví dụ sau
Bài tốn 1.1 Khối A0 có ngơn ngữ riêng gồm hai chữ A 0, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
(2)• Nếu thêm tổ hợp 0A AA00 vào vị trí từ, ta không làm thay đổi nghĩa từ
Liệu hai từ A00 0AA có nghĩa không?
Dễ thấy sau phép biến đổi, số lượng A thêm vào hay bớt Vì vậy, xuất phát từ A00 với nhiều chữ hơn, ta thu 0AA với nhiều chữ A Đại lượng bất biến chọn sai khác số chữ A chữ từ
Lời giải ý tưởng bất biến Cho trước số cấu hình, thực số phép biến đổi chúng Câu hỏi đặt thu cấu hình từ cấu hình khác khơng? Tính bất biến thường dùng để từ cấu hình khơng thể đạt tới cấu hình khác Để làm điều đó, xây dựng đại lượng khơng đổi (hoặc thay đổi đơn điệu - ta có khái niệm nửa bất biến) phép bién đổi cho giá trị đại lượng khác hai cấu hình câu hỏi Tuy nhiên, tốn bất biến, phần khó thường đại lượng bất biến Trong giảng này, hệ thống số dạng bất biến thường gặp qua loạt ví dụ từ đơn giản đến nâng cao
Bài toán 1.2 Một hình trịn chia làm dẻ quạt đặt quân tốt vào ô Trong bước, cho phép chuyển hai quân tốt vào kề với Hỏi chuyển tất quân cờ vào không? Chứng minh Đánh số ô từ đến theo chiều kim đồng hồ Với cách xếp, xét S tổng có chứa qn cờ (tính bội) Khi đó, tính chẵn lẽ S khơng thay đổi
(3)dụng để tìm hiểu cấu hình thu từ cấu hình cho trước Ta có ví dụ sau
Bài toán 1.3 Các số 1,2,3, ,20 viết lên bảng Mỗi phép biến đổi, ta xóa hai số a, b thêm vào số a+b−1 Số lại bảng sau 19 bước?
Chứng minh Với n số bảng ta xét đại lượng X tổng số bảng trừ n Khi X khơng thay đổi phép biến đổi Lúc đầu X = (1 + + .+ 20)−20 = 190 Sau 19 bước, X = 190 hay số lại 191
Sẽ không ngạc nhiên số học sinh đưa lập luận sau: bước, tổng số giảm Lúc đầu tổng 210 sau 19 bước, số lại 210 - 19 = 191 Cách giải hiển nhiên không làm rõ ý tưởng “bất biến” Chúng ta đưa cho học sinh toán tương tự, mà đây, lập luận “rút gọn” khó thực
Bài toán 1.4 Các số 1,2,3, ,20 viết lên bảng Mỗi phép biến đổi, ta xóa hai số a, b thêm vào số ab+a+b Số lại bảng sau 19 bước?
Sau số toán thú vị sử dụng ý tưởng bất biến Bài toán 1.5 Trong bàn cờ 8×8, bị tơ màu đen cịn lại tơ màu trắng Liệu làm cho bảng màu trắng cách tô lại hàng cột không? Ở đây, tô lại hàng hay cột hiểu phép đổi màu tất ô hàng cột
(4)Bài tốn 1.7 Giải Bài cho bảng 8×8với bốn góc tô màu đen ô khác tô màu trắng
Lưu ý Bài 5, khác với Bài Bài 7, giải sử dụng tính chẵn lẻ số đen bảng Để giải Bài 6, ta xét tính chẵn lẻ số đen bốn góc Để giải Bài 7, ta phải xét tính chẵn lẻ số đen bốn cụ thể, ví dụ bốn góc phải
Bài tốn 1.8 Các số 1,2, ,2013 viết lên bảng Cho phép xóa hai số thay hiệu chúng Liệu thu bảng gồm tồn số khơng?
Có nhiều cách để giải tốn trên, bất biến sử dụng tính chẵn lẻ tổng số viết bảng Lưu ý tổng hiệu hai số tính chẵn lẻ
Bài tốn 1.9 Có 13 tắc kè xanh, 15 tắc kề đỏ 17 tắc kè vàng đảo Khi hai tắc kè khác màu gặp nhau, chúng đổi sang màu lại Liệu đến lúc tất tắc kè có màu hay khơng?
(5)a) k = 3; b) k = 4; c) k = 6?
Chứng minh Câu trả lời phủ định ba trường hợp Chứng minh cho ba trường hợp thực sau: chọn đỉnh cách k−1 đỉnh (ví dụ k = ta chọn đỉnh, k= ta chọn điểm k = ta chọn điểm) Bất biến tích số đỉnh chọn Chúng ta xếp số −1 vào điểm chọn Dễ kiểm tra số −1 chuyển sang đỉnh kề tích số điểm chọn lúc
(6)2 Cơ bản
Chúng ta gặp số bất biến phần Khởi động Tiếp theo xem xét số dạng bất biến khác, ví dụ tính chẵn lẻ, tơ màu, cơng thức đại số, cặp nghịch đối hoán vị, Đối với tốn, giáo viên bắt đầu việc thảo luận với học sinh dạng bất biến sử dụng
Bài tốn 2.1 Trên bảng viết số1,2, ,1000 Ở bước cho phép thay số tổng chữ số Q trình dừng lại có tồn số có chữ số Hỏi số số cịn lại bảng nhiều hay số số lại bảng nhiều hơn?
Chứng minh Nếu viết tất số bảng theo modulo số bất biến phép biến đổi Do số số đồng dư mod nhiều số số đồng dư mod tập {1, ,1000}, số số lại bảng nhiều số số lại bảng
Bài toán 2.2 Vào năm 3000, Việt Nam, nhân dân tệ (RMB) đổi 10 đồng Việt Nam (VNĐ) Trong đó, Trung Quốc, VNĐ đổi 10 RMB Một du khách người Nhật lúc đầu có 01 VNĐ Ơng lại tùy ý hai nước VN TQ Hỏi ơng ta làm cho số VNĐ RMB ơng ta có hay không?
Chứng minh Xét X = số VNĐ − số RMB du khách Khi X mod 11 bất biến bước đổi tiền Nếu số VNĐ RMB X ≡ mod 11 Lúc đầu X ≡ mod 11, khơng thể thu X ≡ mod 11 Ta có câu trả lời phủ định
(7)Chứng minh Chúng ta tô màu hình vng đen trắng bàn cờ vua Hai ổ góc đối ln mau nên sau bỏ chúng đi, số ô đen khác số ô trắng Mỗi quân đômino phủ ô đen, trắng nên phần cịn lại hình vng khơng thể phủ kín qn đơmino Bất biến hiệu số số trắng số đen bảng
Bài tốn 2.4 Cho đa thức P(x) =ax2+bx+c, thực hai phép biến đổi:
a) Đổi chỗ a c
b) Đổi biến x x+t với t∈R
Hỏi từ x2−31x−3 có thu x2−20x−12 khơng? Tìm mối liên hệ hai đa thức bậc hai P(x) Q(x) cho từ đa thức thu đa thức hai phép biến đổi nói
Chứng minh Bất biến định thức ∆ = b2−4ac đa thức P(x) = ax2+bx+c Dễ kiểm tra hai phép biến đổi a) b) không làm thay đổi định thức đa thức Định thức ∆1 x2−31x−3 định thức
∆2 x2−20x−12 khác Ta có câu trả lời phủ định! Chúng để
lại câu hỏi tìm mối liên hệ hai đa thức bậc hai nhận từ qua hai phép biến đổi đề cho bạn đọc
Bài toán 2.5 Tơ đen 09 hình vng10×10 Mỗi lần tơ màu đen chưa tơ kề với hai đen (kề hiểu chung cạnh) Có thể tơ màu hết bàn cờ hay khơng? Nếu 10 sao? Nếu hình vng n×n lúc đầu cần tơ đen để tơ đen bàn cờ?
(8)Nếu tơ câu trả lời phủ đinh Xét X tổng chu vi phần tơ đen hình lúc đầu X ≤36 Dễ kiểm tra X nửa bất biến, cụ thể, X không tăng Nếu bàn cờ tơ màu lúc X = 40 - mâu thuẫn Vậy, tô đen bàn cờ xuất phát với ô màu đen
Bài toán 2.6 Cho hoán vị số 1,2, ,2012 Mỗi lần cho đổi chỗ hai số Sau 2011 bước quay hốn vị ban đầu khơng?
Chứng minh Bài toán liên quan đến số cặp nghịch đối hoán vị Cặp nghịch đối hoán vị π {1, , n} số cặp ≤ i < j ≤ n cho π(i) > π(j) Bạn đọc tự kiểm tra tính chẵn lẻ số cặp nghịch đối thay đổi hoán vị cặp dãy Sau 2011 bước, số cặp nghịch đối bị thay đổi tính chẵn lẻ khơng thể quay trở hoán vị ban đầu
Bài toán 2.7 Trên bảng viết số 1,2,3,4,5 Mỗi bước cho phép chọn hai số a, b thay a+b, ab Hỏi có thu 21,27,64,180,540 hay khơng? Chứng minh Bài tốn nhìn đơn giản để tìm bất biến điều dễ dàng Trước hết ta kiểm tra số số chia hết cho không giảm số lượng tăng từ hai số chia dư chia dư thu số chia hết cho số chia hết cho Vì vậy, lần chuyển sang trạng thái có số chia hết cho số cịn lại chia dư 2, 64 chia dư nên câu trả lời phủ định
(9)Chứng minh Đây khơng phải tốn “dễ” cách phát biểu lời giải Bất biến bảng ln có số chia dư
Bài toán 2.9 Một túi gồm 1001 viên đá Mỗi bước chọn túi có nhiều 01 viên Bỏ viên chia viên cịn lại thành 02 túi Hỏi làm để thu tất túi có 03 viên?
Chứng minh Xét X tổng số đá số túi bước Dễ thấy X mod không đổi Lúc đầu X = 1002 không chia hết cho Nếu tất túi có viên thìX lúc chia hết cho 4, mẫu thuẫn Vậy câu trả lời phủ định Bài toán 2.10 Chúng ta xét quân cờ đặc biệt, gọi quân “lạc đà”, di chuyển bàn cờ 10×10 qn mã (1,3) Có nghĩa di chuyển sang kề sau di chuyển ba theo hướng vng góc với hướng vừa di chuyển Quân mã thông thường di chuyển theo hướng(1,2) Liệu qn lạc đà di chuyển từ sang kề khơng?
Chứng minh Câu trả lời không Xét tô màu đen trắng bàn cờ thông thường Dễ dàng kiểm tra quân lạc đà di chuyển ô màu hai ô kề lại khác màu
Bài tốn 2.11 Một bảng hình chữ nhật phủ kín khơng đè lên hình 1×4 2×2 Khi bỏ hình ngồi, làm hình 2×2 thay vào hình 1×4 Liệu có dùng hình lúc phủ kín hình chữ nhật khơng?
(10)Bài tốn 2.12 Có thể hay không quân mã qua tất ô bàn cờ 4×N, lần quay lại ô xuất phát ban đầu?
Chứng minh Tô màu hàng thứ nhất1,2,1,2, Tô màu hàng thứ hai3,4,3,4, Tô màu hàng thứ ba 4,3,4,3, , tô màu hàng thứ tư 2,1,2,1, Giả sử tồn chu trình quân mã bàn cờ Dễ kiểm tra với cách tô chúng ta, quân mã đứng ô màu bước ô màu 4, tương ứng Do số ô màu nhau, cập màu thay đổi luân phiên chu trình Bạn đọc tự lúc ta phải luân phiên ô màu màu luân phiên ô màu màu Hay nói cách khác, khơng thể hết bàn cờ
Bài tốn 2.13 Có ba máy in thẻ thẻ cặp số tự nhiên (không thứ tự) Máy thứ nhận thẻ với hai số a, b cho thẻ với hai số a+ 1, b+ Máy thứ hai nhận thẻ với hai số chẵn a, bvà cho thẻ với hai số a/2, b/2 Máy thứ ba nhận thẻ gồm hai a, b thẻ gồm hai b, c cho thẻ gồm hai số a, c Các máy trả lại thẻ đưa vào Có thể nhận thẻ gồm hai số 2012 từ thẻ gồm hai số 19 không? Tổng quát, từ thẻ gồm hai số 19 nhận thẻ nào?
(11)nhưng 2012−1 khơng Câu trả lời phủ định Phần cịn lại tốn dành cho độc giả với gợi ý tất thẻ gồm hai số a, b thỏa mãn a−b chia hết cho nhận
Bài toán 2.14 Một quân cờ di chuyển bàn cờ n×n theo ba cách: lên ô, sang bên phải ô, xuống bên trái ô Hỏi quân cờ qua tất ô, ô lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát không?
Chứng minh Sau bước, tổng thứ tự hàng cột chứa quân cờ giảm tăng lên Như vậy, xét theo modulo tổng tăng bước Do có n2−1 bước, kết thúc ô kề bên phải ô xuất phát tổng tăng đơn vị Do đón2−2 chia hết cho 3, mẫu thuẫn Vậy câu trả lời lại phủ định
Bài tốn 2.15 Có bảy số số điền vào đỉnh khối lập phương Mỗi bước cho phép cộng thêm vào số cạnh Có thể thu khối lập phương với tất số khơng? Có thể thu khối lập phương với tất số chia hết cho không?
Chứng minh Chúng ta đánh dấu đỉnh khối lập phương cho đỉnh không kề Xét hiệu tổng số đánh dấu số không đánh dấu tổng khơng đổi Sử dụng bất biến này, dễ dàng chứng minh câu trả lời hai trường hợp phủ định
(12)Chứng minh Tương tự Bài 25, đánh số dẻ quạt 1,2, ,6 tô màu đỏ dẻ quạt 1,3,5 Xét hiệu tổng số dẻ quạt tô màu tổng số dẻ quạt lại tổng khơng đổi
Bài tốn 2.17 Chúng ta thực phép biến đổi ba số sau: thay hai số chúng, ví dụ a b, (a+b)/√2 (a−b)/√2 Hỏi nhận 1,√2,1 +√2 từ 2,√2,1/√2 không?
Chứng minh Tổng bình phương số cấu hình khơng đổi Sử dụng bất biến này, dễ dàng đưa câu trả lời phủ định cho toán Bài toán 2.18 Các số thực viết lên vòng tròn Nếu bốn số liên tiếp a, b, c, d thỏa mãn(a−d)(b−c)>0 đổi chỗ b c Chứng minh trình phải kết thúc
Chứng minh Giả sử số vòng tròn theo thứ tự a1, a2, , an Xét
X = Pn
i=1aiai+1 với an+1= a1 Khi phép biến đổi X tăng thực
sự Nếu q trình kéo dài vơ hạn tổng có vơ hạn giá trị, tổng có tối đa n! giá trị Suy trình buộc phải kết thúc
Bài tốn 2.19 Cho đồ thịn đỉnh, bậc đỉnh không Chứng minh đỉnh tơ ba màu cho khơng q n/2 cạnh có đỉnh mút màu
Lời giải Bài 29 dành cho bạn đọc!
3 Nâng cao
(13)bất biến phù hợp Các toán phần này, ngồi ý tưởng bất biến, yêu cầu thêm số bước biến đổi khác làm tăng độ khó thú vị chúng
Bài tốn 3.1 Các vng xếp kề tạo thành dải hình chữ nhật vơ hạn hai phía Ta xếp vào vng số hữu hạn viên đá Mỗi bước, chọn hai viên đá ô chuyển chúng sang hai ô bên cạnh khác hướng
a) Có thể sau số hữu hạn bước quay lại ví trí ban đầu khơng? b) Có thể thực vơ hạn bước khơng?
c) Nếu q trình dừng lại trạng thái xếp cuối có phụ thuộc vào q trình thực bước khơng?
Chứng minh Gán cho viên đá ô thứ n số n2 Xét tổng tất số thu Rõ ràng phép biến đổi ta thay hai sốn2 số (n−1)2 (n+ 1)2 Do tổng tăng đơn vị phép biến đổi Suy sau số hữu hạn bước quay lại vị trí ban đầu
Tiếp theo, chứng minh tổng tăng vô hạn phương pháp quy nạp Lưu ý tổng tăng vơ hạn, có nghĩa số viên đá phải tiến xa vô hạn Viên đá cuối bên phải tăng số viên đá cuối bên trái giảm số Do khoảng cách hai viên đá tăng vơ hạn Và đến lúc đó, có viên khơng chịu tác động viên cịn lại! Lập luận hoàn chỉnh phần b lời giải phần c dành cho bạn đọc
(14)Chứng minh Trước hết, có 03 nhận xét quan trọng:
a) Do số kẹo lớn nửa số ơ, q trình thực vơ hạn lần;
b) Bài tốn giải xong ta chứng minh lúc hai kề có kẹo Thật vậy, lúc số có chứa kẹo ≥2011/2 số nguyên nên số ô có chứa kẹo 1006
c) Đến lúc đó, hai kề có viên kẹo kể từ đó, hai ô luôn có kẹo Điều hiển nhiên từ phép chuyển
Theo Nhận xét c) thời điểm tồn hai ô liền khơng có kẹo tồn hai liền khơng có kẹo tất phép biến đổi Ta đánh số dẻ quạt 1,2, ,2011 cho hai ô 2011 Gán cho kẹo số tương ứng với số chứa xét X tổng bình phương số
Tương tự trên, X tăng phép biến đổi Theo Nhận xét a), X tăng vô hạn Nhưng lại có X ≤1006×20102, dẫn đến mâu thuẫn Vậy, đến lúc hai kề ln có kẹo Bài tốn suy từ Nhận xét b)
Bài toán 3.3 Giả thiết câu hỏi Bài 30, khác cách chuyển viên đá thực sau:
a) Bỏ viên ô thứ n−1 viên ô thứ n, thêm vào viên ô thứ n+
b) Bỏ hai viên ô thứ n thêm viên vào ô thứ n−2, viên vào ô thứ n+
(15)viên Khi đó, bỏ hai viên lặp lại lập luận để suy mâu thuẫn Do đó, khơng thể quay lại trạng thái ban đầu sau hữu hạn bước Chọn α >1 nghiệm α2−α−1 = Gán cho viên đá ô thứ n số αn xét X tổng số Khi tổng X khơng đổi Giả sử chuyển viên đá vơ hạn lần theo nhận xét trên, viên đá tiến vơ tổng X (do α > 1) Điều mâu thuẫn với tính bất biến X
Để chứng minh trạng thái xếp cuối khơng phụ thuộc vào q trình bước chuyển, ta cần chứng minh từ trạng thái thu hai trạng thái khác tổng X khác Chi tiết lập luận (thật toán bất đẳng thức đơn giản) dành cho bạn đọc Bài toán 3.4 Có 119 người 120 hộ Một hộ gọi tải có nhiều 14 thành viên Mỗi ngày, thành viên hộ tải xảy mẫu thuẫn chuyển sang hộ khác Hỏi trình có buộc phải kết thúc khơng?
Chứng minh Trước chuyển nhà cho thành viên hộ tải bắt tay Có thể chứng minh tổng số bắt tay giảm thực Và q trình buộc phải kết thúc sau hữu hạn bước
Bài tốn 3.5 Trên vịng trịn có 20 số Cho phép chọn số liên tiếp X, Y, Z thay X+Y,−Y, Z+Y Có thể từ
[1,2, ,10,−1,−2, ,−10] thu [10,9, ,1,−10, ,−1] hay không?
Chứng minh Chọn x1, , x20 cho x1−x2, , x20−x1 20 số ban đầu
(16)x2, , x20−x1sẽ tương ứng với việc đổi chỗ hai số cạnh bộx1, , x20
Từ x1, , x20 tương ứng với [1,2, ,10,−1,−2, ,−10], đổi chỗ liên tiếp
số cạnh ta thu đượcx20, , x1 ương ứng với [10,9, ,1,−10, ,−1]
Do đó, câu trả lời khẳng định
Bài toán 3.6 Giả sử tổng 20 số dương Cho phép biến đổi trên, liệu thu gồm 20 số khơng âm hay không?
Chứng minh Ý tưởng chứng minh tương tự Chỉ có điều khơng điền số vòng tròn mà điền đường thẳng vô hạn , x−n, , xn, cho chọn 21 số liên tiếp đường thẳng hiệu
các cặp chúng 20 số tương ứng Ta cần với đổi chỗ giả thuyết đề bài, ta xếp lại dãy theo thứ tự tăng Khi đó, ta có câu trả lời khẳng định cho tốn
Bài tốn 3.7 Trên vịng trịn có số điểm Xanh, Đỏ Cho phép thêm vào điểm Đ đổi màu hai điểm kề nó, bớt điểm Đ đổi màu hai điểm kề Lúc đầu có hai điểm Đ q trình ko phép làm cho có hai điểm Hỏi thu được:
a) điểm X, Đ b) điểm Đ
c) điểm Đ, điểm X d) điểm X
Chứng minh a) Khơng thể thu điểm X, Đ tính chẵn lẻ số điểm X không thay đổi
b) c) Xây dựng cụ thể
(17)d1, , d2n số điểm đỏ điểm X Bất biến tính chia hết cho
S =|d1−d2+ .+d2n−1−d2n|