Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2020

MỤC LỤC.. Cho lăng trụ ABC.. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trên các đoạn thẳng BH và HF lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho BM = CN.. Cho trước p là một số nguyên tố l[r]

MỤC LỤC

1 TST Đại học Vinh ngày năm học 2019-2020

2 TST Đại học Vinh ngày năm học 2019-2020

3 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày năm học 2019-2020

4 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày năm học 2019-2020

5 TST Bình Phước năm học 2019-2020

6 TST Hải Phòng ngày năm học 2019-2020 10

7 TST Hải Phòng, ngày 2, năm học 2019-2020 11

8 TST Hà Tĩnh Ngày năm học 2019-2020 12

9 TST Hà Tĩnh ngày năm học 2019-2020 13

10 TST Phú Thọ ngày năm học 2019-2020 14

11 TST Phú Thọ ngày năm học 2019-2020 15

12 TST Quảng Trị ngày năm học 2019-2020 16

13 TST Quảng Trị ngày năm học 2019-2020 17

14 TST Thành phố HCM ngày năm học 2019-2020 18

15 TST Thành phố HCM ngày năm học 2019-2020 19

16 TST PTNK năm học 2019-2020 20

17 TST PTNK - ngày năm học 2019-2020 21

18 TST Bắc Giang năm học 2019-2020 22

19 TST Gia Lai năm học 2019-2020 23

20 TST Hải Dương năm học 2019-2020 24

21 TST Bình Thuận năm học 2019-2020 25

22 TST Khánh Hòa ngày năm học 2019-2020 26

23 TST Khánh Hòa ngày năm học 2019-2020 27

24 TST Thanh Hóa ngày năm học 2019-2020 28

25 TST Thanh Hóa ngày năm học 2019-2020 29

26 TST Quảng Nam năm học 2019-2020 30

27 TST Quảng Ninh ngày năm học 2019-2020 31

28 TST Quảng Ninh ngày năm học 2019-2020 32

29 TST Thái Bình ngày năm học 2019-2020 33

30 TST An Giang ngày năm học 2019-2020 34

31 TST An Giang ngày năm học 2019-2020 35

32 TST ĐakLak ngày năm học 2019-2020 36

33 TST ĐakLak ngày năm học 2019-2020 37

34 TST Ninh Bình ngày năm học 2019-2020 38

35 TST Ninh Bình ngày năm học 2019-2020 39

36 TST THPT Chuyên Lào Cai năm học 2019-2020 40

37 TST Vĩnh Phúc năm học 2019-2020 41

38 TST Bến Tre năm học 2019-2020 42

39 TST Sóc Trăng ngày năm học 2019-2020 43

40 TST Sóc Trăng ngày năm học 2019-2020 44

41 TST Hưng Yên ngày năm học 2019-2020 45

42 TST Hưng Yên ngày năm học 2019-2020 46

43 TST Đồng Tháp năm học 2019-2020 47

44 TST Kon Tum ngày năm học 2019-2020 48

45 TST Lâm Đồng năm học 2019-2020 49

46 TST Quảng Bình ngày năm học 2019-2020 50

47 TST Quảng Bình ngày 2, năm học 2019-2020 51

48 TST Quãng Ngãi ngày năm học 2019-2020 52

49 TST Quảng Ngãi ngày năm học 2019-2020 53

50 TST Bắc Ninh ngày năm học 2019-2020 54

51 TST Bắc Ninh ngày năm học 2019-2020 55

52 TST Ninh Bình năm học 2019-2020 56

53 TST Nam Định Ngày năm học 2019-2020 57

54 TST Nam Định ngày năm học 2019-2020 58

55 Trường Đơng Tốn học Bắc Trung Bộ ngày năm học 2019-2020 59

56 Trường Đơng Tốn học Bắc Trung Bộ ngày năm học 2019-2020 60

57 Trường Đơng Tốn Học Nam Trung Bộ năm học 2019-2020 61

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TST CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ, ĐẠI HỌC 2019-2020

BÀI 1. TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Với mỗin∈ N∗,xét hàm số fn(x) =x2n+sin 2xvớix ∈R

1 Chứng minh hàm fn(x)đạt giá trị nhỏ điểmxn

2 Gọi un giá trị nhỏ hàm fn(x) Chứng minh dãy(un) có giới hạn hữu

hạn

Bài Tìm tất đa thức hệ số thựcP(x)thoả mãnP(1) =

2

xP(x)P(1−x) ≤x5,

với số thựcx

Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Đường tròn(I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Gọi Mlà trung điểmAH, đường thẳng DMcắt(I)tại điểm thứ hai làP

1 GọiTlà giao điểm củaEFvàBC Chứng minh rằng÷TPD =90◦

2 Đường thẳng qua Ivà vng góc vớiMDcắtBCtạiN Kẻ hai tiếp tuyếnNR, NSđến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(R, Slà tiếp điểm) Chứng minh điểmR, P, D,Scùng nằm đường trịn

Bài Có16học sinh tham gia làm thi trắc nghiệm Đề thi chung cho tất học sinh cóncâu hỏi, câu hỏi có4phương án trả lời Sau thi xong, thầy giáo nhận thấy với câu hỏi, học sinh chọn đúng1phương án trả lời hai học sinh có nhiều

1câu hỏi có phương án trả lời giống

1 Vớin =2, số ví dụ phương án trả lời câu hỏi của16học sinh

2 Chứng minh rằngn ≤5

BÀI 2. TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm số f: (0;+∞)→(0;+∞)thỏa mãn

f (f(xy) +2xy) = 3x f(y) +3y f(x), (1) với mọix,y∈ (0;+∞)

Bài Cho tam giác ABCnhọn không cân nội tiếp đường trịn(O)có đường cao BE,CF cắt H Gọi I trung điểm BC Tia I H cắt(O) T Trên đường thẳng EF lấy điểmDsao cho HD k BC

1 Chứng minh rằngDTtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácHEF

2 Gọi M, N giao điểm EF với đường trịn (IBT), (ICT) thỏa mãn M khác phíaEđối vớiFvàNkhác phíaFđối vớiE GọiPlà giao điểm thứ hai AHvới

(O) Chứng minh rằngBM,CN,TPđồng quy

Bài Tìm tất ba số nguyên dương(x;y;z)thoả mãn1+2x =3y+2·4z

BÀI 3. TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho dãy(xn)xác định bởi:

 



x1 =α, α ∈ R xn+1 =

1+

n+1 −

(n+1)2

xn +

(n+1)2, ∀n≥1

Tìm số hạng tổng quát dãy(xn), từ tìmαđể dãy(xn)có giới hạn hữu hạn Bài Tìm tất cặp đa thức(P, Q)với hệ số thực thỏa mãn:

P(x+Q(y)) =Q(x+P(y))

với số thựcxvày

Bài Cho tam giácABCcóAC > AB Trên cạnh AB, AClần lượt lấy hai điểmP,Qsao choPQsong song với BC GọiOlà giao điểm hai đoạn thẳngBQvàCP Gọi A0 điểm đối xứng củaAquaBC ĐoạnA0Ocắt đường tròn ngoại tiếp(C)của tam giác APQtạiS

1 GọiX giao điểm thứ hai đường thẳng qua Avà song song vớiBCvà đường tròn

(C).Chứng minh ba điểmX,O, A0thẳng hàng

2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácBCStiếp xúc với đường tròn(C)

Bài Một điểmMthực lần di chuyển mặt phẳng tọa độ điểmO(0; 0)

Mỗi lần di chuyển đến điểm có toạ độ số hữu tỉ cách điểm trước đúng1đơn vị

1 Chứng tỏ điểm Mcó thể di chuyển đến điểm có tọa độ 5; 16 13

2 ĐiểmMcó thể di chuyển đến điểm có tọa độ 2019; 2020

không? Tại sao?

BÀI 4. TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Tìm tất hàm số f: R→R, liên tục trênRvà thỏa mãn điều kiện: f(xy) + f(x+y) = f(xy+x) + f(y)

với số thựcxvày

Bài Cho đường tròn(O;R)và điểm I cố định, khácO đường trịn đó, đường thẳng quaI vng góc vớiOI cắt đường trịn tạiCvàD;Alà điểm nằm đường tròn, tia đối xứng với tia I A qua đường thẳngCD cắt đường tròn B Gọi Mlà trung điểm AB

1 Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định L A thay đổi đường tròn(O;R)

2 Gọi N, P giao điểm đường thẳng OM với đường tròn(O;R); điểm N nằm cung ˙ADB Đường thẳngCN vàDPcắt ởQ Chứng minh điểmQ,N tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp tam giácCMD

Bài Tìm ba số nguyên dương(p,n,k)thỏa mãn plà số nguyên tố Fermat pn+n= (n+1)k

(số nguyên tố Fermat số nguyên tố có dạng22x+1với xlà số tự nhiên)

BÀI 5. TST BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho số thựcx,y ∈ (1, 2) Chứng minh rằng:

x2+xy+1

√

2019

+y2+xy+1

√

2019 <

x3+y3 x+y

√

2019

+ (3xy+2)

√

2019

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH Gọi M trung điểm củaBC, AMcắtOH tạiG Chứng minh Gnằm trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tam giácBOCvà đường trònEulercủa tam giác ABC

Bài Chox,ylà số nguyên dương Nếu với số ngun dươngnta cóxϕ(n)−1

chia hết cho(ny)2+1thìx = 1(với ϕ(n)là số ước nguyên dương nhỏ nvà nguyên tố vớin)

Bài ChoSlà bội nguyên dương tất số từ2đến2019vànsố nguyên dương a1,a2,a3, ., an thuộc M:={1, 2, , 2019}có tổng bằng2S Chứng minh ta chọn

ra vài số trongnsố mà có tổng bằngS

BÀI 6. TST HẢI PHỊNG NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm số f: R→Rsao cho

f (f(x)−(x−y)f(y)) =4x−2(x−y)f(y), ∀x,y ∈R

Bài Cho số thựcakhông âm dãy(un)xác định sau

u0 =a,un+1 =

8u

2 n+

1

4un+1, ∀n ∈N

Tìmađể dãy(un)có giới hạn hữu hạn tính giới hạn

Bài Cho dãy gồm100ô vuông Trong ô vuông ta điền bốn chữ chữ số

2,0,1,9 Hỏi có cách điền cho tổng số trong100ô vuông số chia hết cho4

Bài Cho ABC tam giác nhọn (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn(I) D,E,Flần lượt tiếp điểm đường tròn(I) vớiBC,CA,AB ADcắt đường tròn(I)tạiQ(Q 6= D) Tiếp tuyến tạiQcủa đường tròn(I)cắtEFtạiS

1 Chứng minh bốn điểmS,D,B,C thẳng hàng theo thứ tự lập thành hàng điểm điều hoà

2 GọiKlà giao điểm củaEFvàDI AKcắtBCtạiM KẻCH ⊥ AB(H ∈ AB) Chứng minh MHtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácSHD

BÀI 7. TST HẢI PHÒNG, NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020 Bài Xác định đa thứcP(x),Q(x)hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

(i) Q(x)khác đa thức không vàdegQ(x) <2

(ii) P(x3−1)−x3P(x−1)[P(x+1) +4] = x6Q(x), ∀x ∈R

Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC); đường cao AD, BE, CF đồng quy H Đường thẳngEF cắt đường thẳng AH, BC L vàG Gọi M trung điểm BC; AMcắtGHtại I; LI cắtAGtạiK

1 Chứng minh bốn điểm E,K, F, Icùng thuộc đường tròn

2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác LIDcắtGHtạiJ(J 6= I) Chứng minhJnằm đường trung trực củaLD

Bài

1 Tìm tất số tự nhiênathoả mãn3a+1và4a+1đều số phương

2 Chứng minh số tự nhiênathoả mãn3a+1và4a+1đều số phương thìa(a−4) 13

Bài

ChoX bát giác tâmO Gọi Alà tập tất đỉnh củaXvà giao điểm hai đường chéo củaX GọiB tập8điểm thuộc Akhơng trùngOvà gầnOnhất (hình vẽ) GọiY tập tất cạnh X đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Akề đường chéo X Mỗi điểm thuộcAđược tơ hai màu xanh đỏ Có tất cả26điểm đỏ Biết rằngOđược tô đỏ, hai số điểm đỏ đỉnh X, ba số điểm đỏ thuộc B Các đoạn thẳng thuộcY tô màu theo quy tắc: đoạn thẳng có hai đầu mút đỏ tơ màu đỏ, hai đầu mút xanh tơ màu xanh, đầu mút đỏ đầu mút xanh tơ màu vàng Biết có20

đoạn thẳng trongY màu vàng Hỏi có đoạn thẳng trongYmàu xanh?

O

BÀI 8. TST HÀ TĨNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho dãy số (un); (vn) (n = 1, 2, ) thỏa mãn limunn = 2; limvnn = 3; với

n=1, 2, thìun 6=1vàvn 6=1 1 Chứng minhlimun =1 2 Tìmlim

2un+3vn

5

n

Bài Cho hàm số f(x) = x(x+1)(x+2), xét 2019số thực không âm x1;x2; ;x2019 thay

đổi thỏa mãn: x1+x2+· · ·+x2019 =1 Vớii,j∈ {1; 2; ; 2019}, đặt

F = ∑

1≤i≤j≤2019

maxf (xi); f xj

Tìm giá trị nhỏ củaF

Bài Cho tam giác ABC nhọn không cân Các đường cao AA1, BB1 tam giác ABC cắt

nhau H Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C

tạiN (khácC) GọiMlà trung điểm AB,Klà giao điểm củaCN vàAB Đường thẳngCM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácCA1B1tại điểm thứ haiP, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCtại điểm thứ haiQ

1 Chứng minhK,H,Pthẳng hàng

2 Chứng minh AQ=BP

Bài Cho bảng ô vng2019×2019, ta điền vào vng đơn vị bảng số0,1xen kẻ Biết bốn ô vuông bốn góc bảng điền số1 Tìm sốknhỏ hình chữL(hình vng2×2bỏ vng bất kỳ) cho phủ tất vng chứa số1bởikhình chữ Lkhơng chồng lên

BÀI 9. TST HÀ TĨNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho đa thức f(x) = x3+14x2−2x+1

1 Chứng minh với x, ynguyên dương f(x)− f(y)chia hết cho101khi x−ychia hết cho101

2 Chứng minh tồn số nguyên dương nthỏa mãn fn(x)−xchia hết cho101với x

nguyên, với fn(x) = f(f( f(x) .))cóncặp dấu ngoặc đơn

Bài Cho tam giác ABCnhọn với AB< ACvà Mlà trung điểmBC H hình chiếu củaB lên AM Lấy điểmQtrên tia đối tia AMsao cho AQ=4MH, gọiDlà giao điểm AC vàBQ

1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DBCđi qua trung điểm AQ

2 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQnằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC

Bài Cho số viên bi có khối lượng khác đơi cân thăng Biết cân không cho phép đo xác khối lượng viên bi mà lần cân cho phép so sánh khối lượng hai viên bi Mục tiêu cuối xếp viên bi theo thứ tự khối lượng tăng dần số lần cân hữu hạn

1 Chứng minh với4viên bi cần sử dụng5lần cân

2 Chứng minh với2n viên bi cần sử dụng(n−1)2n +1lần cân (n =2,

3, .)

BÀI 10. TST PHÚ THỌ NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài

1 Cho hàm số f(x)liên tục trênR Chứng minh hàm số f2(x)liên tục trênR

2 Tồn hay không hàm số f(x)gián đoạn mọix ∈Rmà hàm số f2(x)liên tục x ∈R?

Bài Cho số ngun dươngk,n(k <n) bảng vng2×nnhư hình vẽ

Tính số cách chọnkơ vng cho khơng có hai vng chung đỉnh

Bài Cho ba số thựca,b,ckhác0, đôi phân biệt thỏa mãn a3+2

a =

b3+2

b =

c3+2

c Chứng minh rằnga2+b2+c2 >6

Bài Tìm tất ba số tự nhiên(m;n;k)thỏa mãn5m+7n =k3

BÀI 11. TST PHÚ THỌ NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho tam giác ABCcó AB = AC > BC I tâm đường tròn nội tiếp GọiD giao điểm củaBIvàAC,Jlà điểm đối xứng IquaAC.Đường tròn ngoại tiếp tam giácBDJcắt đoạn thẳngAItạiE

a) Chứng minh rằngEDsong song với I J

b) Chứng minh AE AI ≥

8

Bài Có nhóm người mà đó, cặp khơng quen có hai người quen chung, cịn cặp quen khơng có người quen chung Chứng minh số người quen người

Bài Tìm tất hàm số f :R→Rthỏa mãn

f(y)cos(x−y)≤ f(x), ∀x,y ∈R

BÀI 12. TST QUẢNG TRỊ NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải hệ phương trình

 

 q

2x(x−y) +

q

2y(4y−x) = x+2y

(x+2y+3)p5−2y+ (3x−4−9)√2x−1+√x=p2y

Bài Cho dãy số(an)với a1=

2

3 vàan+1=

an

4 +

r

24an+9

256 −

48 với số nguyên dương

n ĐặtSn = n

∑

k=1

ak TínhlimSn

Bài Cho đường trịn (O) tiếp xúc với cạnh AB AC tam giác ABC B C Đường thẳng (d) cắt cạnh AB AC D E Đường thẳng (d) cắt đường thẳng tròn(O) tại(P) và(Q) Đường thẳng qua Dvà song song với ACcắt BCtại M, đường thẳng quaEvà song song vớiABcắtBC tạiN

1 Chứng minh bốn điểmM, N,QvàPnằm đường tròn

2 Chứng minh đường tròn qua bốn điểm M, N, Q, P tiếp xúc với đường thẳng DM

Bài Cho bảng kẻ ô vuông2019hàng và2019cột, ô vuông ta ghi số1hoặc số−1 Chứng minh tồn số nguyên dươngk để ta chọn đượck hàng vàkcột cho tổng củak2số giao củakhàng vàkcột chọn có giá trị tuyệt đối lớn hơn1000

BÀI 13. TST QUẢNG TRỊ NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Với số thực dươngx,y,zcho trước, xác định sốCnhỏ (phụ thuộcx, y,z), cho với mọinngun dương, ta ln có

n

r

xn+yn

2 +

n

r

yn+zn

2 +

n

r

zn+xn

2 ≤C

Bài Chon số nguyên dương Chứng minh nếu2n2 hiệu hai số lập phương chẵn liên tiếp đó, thìn−1là số phương

Bài Cho tam giácABCkhông cân Trên cạnhBC, lấy điểmDvàEsao choDAB÷ =÷EAC Đường trung trực đoạn thẳngDEcắt đường thẳngAB,AClần lượt tạiFvàG Chứng minh điểm hình chiếu F vàG đường thẳng AD,AE nằm đường tròn

Bài Cho dãy sốa1,a2, ,an, vớiai ∈ {−1, 1} ∀i = 1,n.Kí hiệu Flà thuật toán đổi dấu

số số hạng liền dãy Hỏi phải sử dụng thuật tốnFít lần, cho ta chuyển dãy ban đầu dãy gồm toàn số1, giá trị ban đầu số hạnga1,a2, ,an?

BÀI 14. TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài

1 Cho dãy số(un) xác định bởi:u1 = −

1

3;un+1 =

un +1

p u2

n+1

−1với n = 1, 2, 3, Chứng minh dãy số(un)có giới hạn hữu hạn n→+∞và tìm giới hạn

2 Cho số dươnga,b,c,dthỏa mãna2+b2+c2+d2 =1 Chứng minh

4(1−a)(1−b) ≥(c+d)2

Bài Tìm tất hàm số f :R→Rliên tục tại0thoả mãn: f(2018x) + f(2019x) =2020x,∀x ∈R

Bài Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, nội tiếp đường trịnO, có trực tâm HvàAB< AC Lấy điểmT 6= Atrên đường trònOsao cho ATsong song với BC Giả sử AHcắtBC tạiKvà TH cắtOtại điểmDthuộc nhỏBC GọiLlà trung điểm HT

1 Chứng minh điểmA,L,O,K,Dcùng nằm đường tròn

2 GọiP giao điểm thứ hai AO vớiO Đường thẳng qua Hvà song song với BC cắt đường thẳngPDtạiX Chứng minh XAlà tiếp tuyến đường trònO

Bài Cho đa thức hệ số thựcP(x)có bậc2019và hệ số bậc cao bằng1 Biết rằngP(x)có đúng2019nghiệm thực phân biệt khơng phải số nguyên Giả sử đa thứcP(2x2−4x)

vàP(4x−2x2)đều có đúng2692nghiệm thực phân biệt

1 Hỏi có nghiệm củaP(x)thuộc khoảng(−2; 2)?

2 Chứng minh tồn đa thức bậc A(x),B(x),C(x) có hệ số thực cho A(x)B(x)C(x) = P(x),∀x∈ RvàB(x)6= A(x)C(x),∀x∈ (−1; 1)

BÀI 15. TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài

a) Cho đa thức hai biếnP(x,y)với hệ số thực Chứng minh tồn đa thức biến S(x),T(x)với hệ số thực cho

P(x,y)≡S(x)y+T(x) (mod x2+y2+1)

b) Tồn hay không đa thức hai biếnP(x,y)với hệ số thực choP2(x,y) +1chia hết chox2+y2+1

Bài Vớin ≥2,hoán vị(a1,a2, ,an)của(1, 2, ,n)được gọi “chuẩn”nếuai+1 ≥ai−1

vớii=1, 2, ,n−1 Tìm số hốn vị “chuẩn”của(1, 2, ,n)

Bài Cho hai đường tròn(O), (O0) cố định, cắt hai điểm B, C choO,O0 nằm phía đường thẳngBC (điểmO0 gầnBChơn) Điểm Athay đổi trên(O)sao cho tam giácABCnhọn không cân đoạn thẳngAB, ACcắt(O0)lần lượt tạiF,E.BEcắt CFtạiI, AI cắtBCtạiD, IBcắtDFtại MvàICcắtDEtạiN

a) TiaO0I cắt đường tròn(O)tạiR Chứng minh AR, MN, BCđồng quy

b) Chứng minh A thay đổi (O) đường phân giác đường cao qua đỉnh Icủa tam giác I MN qua điểm cố định

Bài Số nguyên dươngnđược gọi số “đẹp ”nếu thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) nlà số phương khơng chia hết cho3

(ii) Với ướcm≥15củanthìm+15= pk với pnguyên tố vàk∈ N a) Chứng minh nếunlà số “đẹp ”và có ước nguyên tố lẻ pthì p=7 b) Tìm tất số “đẹp ”(chú ýn =1là số “đẹp ”)

BÀI 16. TST PTNK NĂM HỌC 2019-2020

Bài Số thựcαđược gọi điểm tụ dãy số (un) tồn dãy của(un)hội tụ

đếnα

1 Hãy dãy số có vô hạn điểm tụ

2 Chứng minh dãy số có dãy hội tụ hội tụ

3 GọiSlà tập hợp tất số phương dương Dãy số(an)xác định

an =

n nếun ∈Svàan =

1

n2 nếun6∈S

Đặtbn = n

∑

k=1

ak Xét tính hội tụ dãy số của(an)và(bn)

Bài Tìm tất hợp số dươngnsao cho n·σ(n) ≡2(modϕ(n)), kí hiệuσ(n), ϕ(n)là hàm tổng ước củanvà hàm Euler

Bài Tìm tất hàm số f: R→Rthỏa mãn

f (f(x) +y) + f(x)f (f(y)) = x f(y) +x+y với số thựcx,y

Bài Cho tam giácABCkhơng cân nội tiếp đường trịn(O)với BCcố định Athay đổi cung lớnBC Các đường tròn bàng tiếp gócA,B,Clần lượt tiếp xúc với cạnhBC, CA, ABtại D, E, F Gọi L, M, N giao điểm khác A, B, C cặp đường tròn

(ABE),(ACF);(BCF),(BAD);(CAD),(CBE)

a) Chứng minh rằngALluôn qua điểm cố định Athay đổi

b) GọiK, I, Jlần lượt trung điểm củaAD,BE,CF Chứng minh rằngKL, I M, JNđồng quy

BÀI 17. TST PTNK - NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Choa,b,clà số thực dương thỏa mãn8 a2+b2+c2

=9(ab+bc+ca) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcT = a+b

c + b+c

a + c+a

b

Bài Tìm tất hàm số f: Z+ →Z+thỏa mãn đồng thời điều kiện sau

i) m f(m) +n f(n) +2m f(n)là số phương với mọim,n; ii) f(mn) = f(m)f(n)với mọim,nnguyên dương;

iii) Với số nguyên tố p, f(p)không chia hết cho p2

Bài Một trường phổ thơng cón học sinh Các học sinh tham gia vào tổng cộngm câu lạc A1,A2, ,Am

a) Chứng minh câu lạc có4học sinh hai học sinh tham gia chung câu lạc thìm≤ n(n−1)

12

b) Giả sử tồn tạik>0sao cho hai câu lạc có chung nhaukthành viên tồn câu lạc bộAt cókthành viên Chứng minh rằngm≤n

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnhBC,CA,ABlần lượt tạiD,E,F Gọi J tâm bàng tiếp góc Acủa tam giác ABC vàH hình chiếu củaDlênEF

a) Chứng minh giao điểm củaAH,JDthì thuộc đường thẳngOI

b) Giả sửDH cắt lại(I) ởKvà IKcắt lại đường tròn ngoại tiếp(IEF)ởL Chứng minh AD,LHcắt điểm nằm trên(IEF)

BÀI 18. TST BẮC GIANG NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm hàm số liên tục f: R→Rthỏa mãn

f(x+y)· f(x−y) = f2(x)· f2(y),∀x,y∈ R (1)

Bài Cho đa thức P(x) = 1+4x+4x2+· · ·+4x2n−1+4x2n với n số lẻ,n ≥ Chứng minh rằngP(x)không thể bình phương đa thức khác

Bài Người ta dùng4màu để tô đỉnh đa giác lồi có2019đỉnh cho đỉnh tơ màu hai đỉnh kề tô hai màu khác Hai cách tô màu gọi khác tồn đỉnh đa giác có màu tơ khác hai cách Hỏi có tất cách tơ màu?

Bài Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O) vàH trực tâm tam giác ABC Gọi Mlà điểm cung˙BHCcủa đường trịn ngoại tiếp tam giácBHC.BMgiao ACtạiE,CM giao ABtạiF Kẻ phân giác ADcủa góc÷BAC GọiT tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE

a) Chứng minhTD ⊥BC

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFbằngOD

Bài Tìm tất số ngun dươngn > 1có tính chất: nếua,b ước nguyên dương củanvà(a,b) =1thìa+b−1cũng ước củan

BÀI 19. TST GIA LAI NĂM HỌC 2019-2020

Bài Xétg(x) = a2020x2020+a2019x2019+· · ·+a1x+a0là đa thức bậc2020bất kỳ nhận x =2020làm nghiệm giả sử rằngg(x) = (x−2020).f (x)với

f (x) = b2019x2019+b2018x2018+· · ·+b1x+b0

ĐặtA=max{|a0|;|a1|; ;|a2020|}vàB=max{|b0|;|b1|; ;|b2019|}.Chứng minhA ≥B Bài Cho tam giác ABC nhọn Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N cho BM = CN Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNtại hai điểm AvàK

a) Chứng minh rằngKlà điểm cungBACcủa đường tròn ngoại tiếp∆ABC b) Gọi Ivà Jlần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABNvàACM Chứng minh

rằng bốn điểm A,K, I, Jcùng nằm đường tròn

Bài Cho trước sốabcde f có sáu chữ số Chứng minh ta xếp lại chữ số số cho cho hiệu tổng ba chữ số ba chữ số cuối nằm giữa0và9(tức xếp lại chữ số số cho thành sốxyztuvsao cho0 ≤x+y+z−t−u−v ≤9)

Bài Tìm tất hàm số f :N→Nthoả mãn f(0) =1 f(n) =2f hn

5

i

+3f h n

25

i

,∀n∈ N∗

BÀI 20. TST HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số {xn}n≥1 thỏa mãn x1 = 2019, xn+1 = 1+ln

xn(x2n+3)

3x2 n+1

, ∀n ≥ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Bài

a) Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O) Xét đường tròn(O0)tiếp xúc với cạnh AB, AClần lượt tạiP,Qvà tiếp xúc với đường tròn(O)tạiS GọiDlà giao điểm củaAS vàPQ Chứng minh BP

CQ = BS

CS và∠BDP=∠CDQ

b) Cho tam giácABCngoại tiếp đường tròn(I)vàD1, E1lần lượt tiếp điểm của(I)với

cạnhBC,CA Lấy điểmD2, E2lần lượt nằm cạnhBC,CAsao choBD1 =CD2, AE1 =CE2 GọiPlà giao điểm AD2vàBE2, gọiQ, Rlà giao điểm AD2và(I)

(Qnằm giữaAvàR) Chứng minh AQ=D2P

Bài Tìm số nguyên dương(a,p,n)với pnguyên tố thỏa mãnap+1= (a+1)n

Bài Tìm tất hàm số f : R→Rthoả mãn

f(x2+2y f(x)) + f(y2) = f2(x+y),∀x,y ∈R

Bài Với tập X, ta nói X được phân hoạch thành tập X1, X2, · · ·, Xk nếu X = k

S

i=1 Xi và

Xi∩Xj = ∅, ∀(i;j),1 ≤ i 6= j ≤ k Với hai đoạn ABvàCD, ta gọi ABcắt ngangCDnếu tồn tại một điểmI khác A,B, CvàDmà Ithuộc hai đoạn ABvàCD.

Cho S tập hợp tất đoạn thẳng đường chéo đa giác lồi 2019 cạnh Phân hoạchS thành k tập khác rỗng S1, S2, · · ·, Sk cho với cặp số (i;j), ≤ i, j ≤ k,

i 6= j, tồn đoạn Si đoạn trongSjcắt ngang Tìm giá trị lớn

nhất củak

BÀI 21. TST BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải phương trìnhx3−x2−10x−2 =√3 7x2+23x+12.

Bài Cho hàm số f(x) : R → R thỏa mãn f x3+y+f(y)

= 2y+x2f(x), ∀x,y ∈ R Chứng minh f(x)cộng tính

Bài Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH Lấy điểmP tam giác ABCsao cho ’

APB = ÷APC Gọi R,Qlần lượt điểm đối xứng củaP qua AB,AC Giả sử đường tròn qua ba điểmA,P,HcắtBCtại điểm T (Tkhông trùng H) Chứng minh rằngT,R,Qthẳng hàng

Bài Cho bảng vng kích thước2019×2019 Tơ đenSơ vng bảng cho khơng có đen tạo thành góc hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh bảng vng Chứng minh rằngS ≤95266

BÀI 22. TST KHÁNH HÒA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Giải hệ phương trình               

x3+4x+2=

y−4 +4

p

6−2y y3+4y+2=

z−4 +4

√

6−2z z3+4z+2=

x−4+4

√

6−2x

Bài Chứng minh với số nguyên dương n, tồn cặp số nguyên dương(a;b)sao chon =

2(a+b−1)(a+b−2) +a

Bài Cho dãy số xác định bởiu1 =5,un+1=un+

un

,∀n≥1 Tìm phần nguyên củau209 Bài Một nhóm phượt cónthành viên Năm2018, họ thực sáu chuyến du lịch mà chuyến có đúng5thành viên tham gia Biết hai chuyến du lịch chung khơng q2thành viên Tìm giá trị nhỏ củan

Bài Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có đường trung tuyến AM đường phân giác trongAD Qua điểmNthuộc đoạnAD(Nkhông trùng vớiAvàD), kẻNPvng góc vớiAB (Pthuộc cạnh AB) Đường thẳng qua Pvng góc với ADcắt đoạn thẳngAMtại Q Chứng minh rằngQNvng góc vớiBC

Bài Chox,y,zlà số thực dương thỏa mãnxy+yz+zx=xyz(x+y+z) Chứng minh

1 2x+1+

1 2y+1+

1

2z+1 ≥1

BÀI 23. TST KHÁNH HÒA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm số f: R→Rthỏa mãn điều kiện

f (x− f(y)) =3f(x)−2x− f(y),∀x,y∈ R (1)

Bài Cho dãy đa thứcPn(x)xác định

P1(x) = x2−1,P2(x) =2x3−2x,Pn+1(x)Pn−1(x) = [Pn(x)]2−(x2−1)2, ∀n≥2 1 Gọian tổng giá trị tuyệt đối hệ số Pn(x) Chứng minhan+1=2an+an−1 2 Tìm lũy thừa lớn của2sao cho lũy thừa chia hết choan

Bài

1 Cho số thực đôi khác a1 < a2 < a3 < a4 Xét hoán vị số ai1,ai2,ai3,ai4

, tìm hốn vị mà S = ∑3 k=1

aik−aik+1

2

+ ai4−ai1

2

đạt giá trị nhỏ

2 Cho n(n ≥ 4) số thực đôi khác nhaua1,a2, ,an Xét hoán vị củan số

ai1,ai2, ,ain

, tìm hốn vị màS = n∑−1 k=1

aik−aik+1

2

+ ain−ai1

2

đạt giá trị nhỏ

Bài Cho tam giácABCnhọn không cân nội tiếp đường trịn(O), có đường cao AD,BE, CF GọiMlà trung điểm cạnhBCvàIlà giao điểm củaEFvới BC

1 Đường cao ADcắt đường tròn (O) L Chứng minh bốn điểm A, I, L, M thuộc đường tròn

2 QuaDkẻ đường thẳng song song vớiEF, cắt đường thẳng AB, AClần lượt tạiR,S Chứng minh DM·DI =DR·DS

BÀI 24. TST THANH HÓA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Với số thựca, xét dãy số(un)xác định bởi:

(

u1 =a

un+1 =3u3n−7u2n+5un,∀n∈ N∗

Tìm tất giá trị ađể dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khin → +∞ tìm giới hạn

của dãy(un)trong trường hợp

Bài Tìm tất đa thức P(x) với hệ số nguyên cho tồn vô hạn số nguyên n để P(P(n) +n)là số nguyên tố

Bài Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng hình vng BCFG hai tam giác ABD, ACE tam giác vuông cân A Dựng tam giác XABvuông cân X (X khác phía vớiDđối với đường thẳng AB), tam giác YACvng cân tạiY(Ykhác phía với Eđối với đường thẳngAC) Các đường thẳngDY,EX cắt P Chứng minh đường thẳng APluôn qua điểm cố định A thay đổi

Bài Một thi đấu cặp đôi tổ chức sau: Mỗi đấu thủ thi đấu cho hai cặp Hai cặp thi đấu với nhiều là1trận, hai cặp có cầu thủ chung khơng đấu với Cho tập hợpS ={6, 12, 18, 24}, tìm số lượng bé đẩu thủ để thi đấu người ta xếp đấu thủ theo cặp tham gia thi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) Số trận đấu mà đấ thủ tham gia phải sốathuộc tậpS;

(ii) Với sốbthuộc tậpScho trước, tìm đấu thủ tham gia btrận đấu

BÀI 25. TST THANH HÓA NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho p > 0, q > 0, p+q = dãy an không âm, thỏa mãn an+2 ≤ pan+1+qan,

n∈ N∗ Chứng minh dãy{an}có giới hạn tìm giới hạn Bài Tìm tất hàm f: R+ −→R+thỏa mãn

x f x2 f(f(y)) + f(y f(x)) = f(xy)ff x2+ f f y2 (1)

với mọix,ylà số thực dương

Bài Cho đa thứcP(x) = 4x2+5x+1−a, vớix ∈Rvàalà số nguyên cho trước Đặt P2(x) = P(P(x)) =4(P(x))2+5P(x) +1−a, Pk+1(x) = P(Pk(x)),∀k∈ N,k >1

Chứng minh tồn số nguyênnsao chon = P101(n) thìalà số phương

lẻ

Bài Choolà số nguyên tố chop ≡1 (mod 4) Hãy tính

p−1

∑

k=1

2k2 p −2 k2 p ,

trong đóbaclà kí hiệu số ngun lớn khơng vượt q số thựca

Bài Chom,n(m>n>4) số nguyên dương vàAlà tập hợp có đúngnphần tử tập hợpS ={1; 2; 3; ;m} Chứng minh

m>(n−1)

n + n + n

thì ta ln chọn n phần tử đôi phân biệt x1,x2, ,xn ∈ S cho tập hợp

Ai ={x+y+xi | x ∈ A,y ∈ A},i=1,nthỏa mãn Aj∩Ak =∅với mọij6=k, j,k =1,n

BÀI 26. TST QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải phương trìnhx3−2x−3 =p3

3(x+1)

Bài Chứng minh với số nguyên dươngnthì phương trình xn+xn−1+· · ·+x =2

ln có nghiệm dương Ký hiệu nghiệm dương làxn, chứng minh dãy

số(xn)có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn

Bài Cho tam giác ABCnhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâmO Điểm Mdi động cạnhBC (M 6= B, M 6= C) Gọi(X), (Y)lần lượt đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB vàMAC Lấy điểmSthuộc(X)sao cho MS song song vớiAB; lấy điểmT thuộc(Y)sao cho MTsong song vớiAC

1 Chứng minh điểmA,O,T,Snằm đường tròn

2 GọiE giao điểm khác A của(X) AC, F giao điểm khác A của(Y) AB Các đường thẳngBEvàCFcắt tạiN Chứng minh đường thẳng MNđi quaOkhi khiAMđi qua tâm đường tròn Euler tam giác ABC

Bài Cho p số nguyên tố, p > số nguyên a1;a2; ;ap theo thứ tự lập

thành cấp số cộng có cơng sai khơng chia hết cho p Chứng minh tồn số kthuộc tập{1; 2; ;p}sao choa1a2· · ·ap+akchia hết chop2

Bài Tìm tất đa thứcP(x)hệ số thực thỏa mãn điều kiện

[P(x)]3−3[P(x)]2 =P(x3)−3P(−x)

với mọix∈ R

Bài Tìm tất số tự nhiênnvớin≥2sao cho mặt phẳng tồn tạinđiểm phân biệt, điểm gán số thực dương mà khoảng cách hai điểm chúng tổng hai số gán hai điểm

Bài Cho số thực dươngx,y, zthỏa mãnxy+yz+zx=3 Chứng minh x3+y3+z3+7xyz≥10

BÀI 27. TST QUẢNG NINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số(un)xác định bởiu1 =1,un+1 =

1

u1+u2+· · ·+un,

∀n≥1 Chứng minh tồn tạin ∈N∗sao chou1+u2+· · ·+un >2020

Bài Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AD, trực tâm H Dựng đường tròn tâm M đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AE,AF tới đường tròn (M) (E,F tiếp điểm) Các đường thẳngEFvàBCcắt N GọiIlà trung điểm AH Đường thẳng qua D vng góc với I Mcắt đường thẳng AB,AC PvàQ Chứng minh điểm M,N,P,Qcùng nằm đường tròn

Bài Cho đa thứcPm(x) = x4−(2m+4)x2+ (m−2)2 với mlà tham số Tìm tất giá

trị nguyên dương củam đểPm(x) viết thành tích hai đa thức hệ số nguyên có bậc

lớn bằng1

Bài Cho phương trình x+1 y +

y+1

x =3với x,ylà số nguyên dương a) Tìm nghiệm(x,y)của phương trình chox,ynguyên tố b) Chứng minh phương trình cho có vơ số nghiệm

BÀI 28. TST QUẢNG NINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Choa,b,clà số thực thỏa mãna+b2>0,b+c2 >0,c+a2>0 Chứng minh rằng:

3a2+1

b+c2 +

3b2+1

c+a2 +

3c2+1

a+b2 ≥6

Bài Tìm tất hàm f: R→Rthỏa mãn:

x f (x+xy) = x f(x) + f x2 f(y) ∀x,y∈ R (1)

Bài Cho tam giácABCnhọn nội tiếp đường tròn(O), tiếp tuyến tạiBvàCcủa(O)cắt M, tiếp tuyến tạiAvàCcủa(O)cắt N Các đường thẳng AMvàBC cắt tạiD Các đường thẳng BNvàCA cắt tạiE Các điểm I, J trung điểm củaAD, BE

1 Chứng minh ’ABI =BAJ’

2 Tính tỉ số cạnh tam giácABCđể góc ’ABIcó số đo lớn

Bài Cho số nguyên dương n ≥ Tìm số tập tập Sn = {1; 2; 3; ;n} chứa

đúng hai số nguyên dương liên tiếp

BÀI 29. TST THÁI BÌNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Hãy xác định tất hàm số f: R−→Rthỏa mãn điều kiện

f (f(x−y)) = f(x)f(y)− f(x) + f(y)−xy, ∀x,y ∈R

Bài Với số nguyên dươngnta đặtxn =5n+2n

1 Chứng minh n số nguyên dương thỏa mãn xn số nguyên tố, n lũy

thừa của2

2 Tìm tất số nguyên dươngnđểxn chia hết chox3

Bài Cho tam giác nhọn ABC Một đường trịn(J)bất kì quaB,Ccắt AC, ABlần lượt tạiE vàF Gọi K, T hình chiếu vng góc A trênEF, BC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm củaCF, BE

1 Chứng minh K, Tđối xứng quaMN

2 GọiLlà trực tâm tam giácKMN, Ilà trung điểm củaBC Chứng minhLI song song với AK

Bài Trong mặt phẳng tọa độOxyxét bát giác lồi thỏa mãn: có tất góc nhau, đỉnh có tọa độ nguyên, tồn cạnh song song với trụcOx, biên bát giác có

16điểm ngun kể đỉnh Tìm diện tích lớn bát giác lồi thỏa mãn điều kiện

BÀI 30. TST AN GIANG NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trìnhx6+4x4+x2−6=0

Bài Cho tậpX =1; 2; ;ncó n số nguyên dương

1 Tìm số tập AcủaX(n≥4) có chứa ba phần tử cho có hai phần tử hai số nguyên liên tiếp

2 Tìm số tập A 6= ∅củaX mà tập Akhông chứa hai phần tử hai số

nguyên liên tiếp

Bài Cho hàm sốy= f(x)thỏa mãn biểu thức sau vớix 6=1

f(x) +2f((x+2018)

(x−1) ) =4040−x

Tính giá trị f(2020)

Bài Cho lăng trụABC.A0B0C0có chiều cao bằngavà đáy tam giác cạnha GọiM,N, P,Q, Rlần lượt tâm mặt ABB0A0; ACC0A0;BCC0B0; ABCvàA0B0C0 Tính theo a thể tích khối đa diện lồi có đỉnh làM, N,P,Q, R

BÀI 31. TST AN GIANG NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải hệ phương trình

(

(x+y)3+8xy= (16+2xy)(x+y)

p

x+y=x2−y

Bài Cho đa thức f(x)bậcncónnghiệm thực phân biệt

a) Chứng minh hàm sốg(x)giảm khoảng xác định vớig(x) = f

0(x)

f(x)

b) Tính tổng độ dài khoảng (độ dài khoảng(a;b) hiểu làb−a)là tập hợp nghiệm bất phương trình f

0(x)

f(x) >mVớimlà số thực dương cho trước Bài Cho dãy sốx1;x2; ;x1010thỏax1+x2+x3+· · ·+x1010 =5052và

x1 x1+1

= x2

x2+3

= x3

x3+5

=· · · = x1010

x1010+2019

Tìmx1010

Bài Chonsố thực phân biệta1;a2;a3; ;an(n≥4)thỏa điều kiện

a1+a2+· · ·+an =0 a21+a22+· · ·+a2n =1

Chứng minh tồn bốn sốx;y;z;tthuộcnsố cho cho x+y+z+nxyz≤

n

∑

i=1

a3i ≤x+y+z+nxy

BÀI 32. TST ĐAKLAK NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải hệ phương trình

 



3y9y2+3x2=x4x2+3

2020xp3y−2x+5−x+1=4040

Bài Tìm hàm số f liên tục trênRthỏa mãn f(x+1) +3x2+5x = f(2x+1);∀x∈ R

Bài Cho tam giácABCcóA“=60◦,AB> AC,Hlà giao điểm hai đường caoBEvàCF GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Trên đoạn thẳngBHvàHFlần lượt lấy hai điểmM,Nsao choBM =CN Tính MH+NH

OH

Bài ChoMlà tập hợp gồmnđiểm mặt phẳng thỏa mãn (1) Tồn tại7điểm thuộcMlà7đỉnh thất giác lồi;

(2) Với5điểm thuộc Mlà5đỉnh ngũ giác lồi, tồn điểm thuộc Mmà nằm miền ngũ giác

Tìm giá trị nhỏ củan

BÀI 33. TST ĐAKLAK NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số(xn)xác định

xn =

1+

n2 1+

2

n2

· · ·1+ n

n2

Tínhlim(lnxn)

Bài Cho đa thứcP(x)có tất hệ số số nguyên dương đa thức

Q(x) = 1+x+x2+x3+x4

Chứng minh rằng: đa thức P x3

chia hết cho đa thức Q(x) đa thức P x2019 chia hết cho đa thứcQ(x)

Bài Cho trước plà số nguyên tố lớn hơn2 Tìm tất số nguyên dươngk cho p

k2−2pkcũng số nguyên dương.

Bài Cho tam giácABCnhọn, khơng cân, có đường caoBM, CNvà phân giác AD Các điểmE, Flần lượt hình chiếu củaDtrênAB, AC Chứng minh đường thẳng MN, EFvàBC đồng quy

BÀI 34. TST NINH BÌNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìmx,y,znguyên thỏa mãn hệ phương trình:

  

 

x3−4x2−16x+60=y y3−4y2−16y+60=z z3−4z2−16z+60= x

Bài Xét phương trìnhxn =x2+x+1,n ∈N,n>2

a) Chứng minh với số tự nhiênn lớn phương trình có nghiệm dương lớn

b) Gọixn nghiệm dương phương trình Tínhlimxn

Bài Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD(DthuộcBC) hai điểm M,Nlần lượt nằm cạnh AB,AC cho MN song song với BC Điểm Pchuyển động đoạn thẳng MN Lấy điể,E,Fsao choEP⊥ AC,EC ⊥BC, FP⊥ AB, FB⊥BC

a) GọiIlà giao điểm củaEFvàAD Chứng minh rằngIcố định khiPchuyển động đoạn MN

b) Đường thẳng qua Avng góc với EFcắt BC Q Chứng minh đường trung trực đoạn thẳngBCđi qua trung điểm đoạn thẳngPQ

Bài Cho số nguyên dươngntập hợpS= {1; 2; ;n} Tìm số tập tậpSkhơng chứa hai số nguyên dương liên tiếp

BÀI 35. TST NINH BÌNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Choa,b,clà3số thực cho(a−b)(b−c)(c−a) 6=0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

P = (a2+b2+c2+ab+bc+ca)

1

(a−b)2 +

1

(b−c)2 +

1

(c−a)2

Bài Tìm tất hàm số liên tục f: R→Rthỏa mãn điều kiện: f(xy) = f

x2+y2

2

+ (x−y)2, ∀x,y ∈R

Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC,CA, AB D, E, F Đường phân giác góc ÷BAC cắt đường thẳngDE,DFlần lượt tạiX,Y GọiS, Tlà điểm nằm đường thẳng BCsao cho

’

XSY =÷XTY =90◦ Chứng minh rằng: a) ÷AXB =90◦

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, AST tiếp xúc với

Bài Cho dãy số(un)thỏa mãn

(

u1 =2,u2 =20,u3=56

un+3 =7un+2−11un+1+5un−3·2n, ∀n∈ N∗

Tìm số dư chiau2019cho2019

BÀI 36. TST THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho hai dãy số(an),(bn)thỏa mãn

        

ao =1;a1 =

1

bn =

3 +2an+1,∀n ∈N 2bn+1=2bn−an,∀n∈ N

Với mỗin ∈N,đặtcn =

2n+1 n

∑

i=0 bi

ai

Tìmlimcn Bài Tìm tất hàm số f :R→Rthỏa mãn

f f(x)−y2 = f x2+y2f(y)−2f(xy), ∀x,y∈ R

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với đường cao AD,BE,CF đồng quy tạiH; AA0là đường kính đường trịn(O) Các đường thẳngA0B,A0Ccắt đường thẳng AC,ABtương ứng M,N Các điềmP,Qthuộc đường thẳngEFsao choPB,QCvng góc với BC Đường thẳng qua A vng góc với QN PM cắt đường tròn (O) điểmX,Y Các tiếp tuyến với đường tròn(0)tạiX,Ycắt J

a) GọiSlà trung điểm đoạnAH Chứng minh rằngSBk AY b) Chứng minh rằngJ A0 ⊥BC

Bài Cho dãy số (an) xác định a1 = 34, an+1 = 4a8n −104a2n −107an với số n

nguyên dương Tìm tất số nguyên tố pthỏa mãn điều kiệnp ≡3 (mod 4) vàa2020+1

chia hết chop

Bài Một thi giải Tốn gồm2vịng, vịng1và vịng2với tổng cộng28bài tốn Mỗi thí sinh giải đúng7bài số thí sinh giải Với hai toán bất kì, có đúng2thí sinh giải hai

a) Hỏi có tất thí sinh tham dự thi?

b) Chứng minh vịng1có thí sinh khơng giải giải nhất4bài tốn

BÀI 37. TST VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho hàm số f: R−→ R Giả sử f hàm số đơn điệu f + f ◦ f ◦ f hàm liên tục Chứng minh f hàm số liên tục

Bài Cho100số thực không âm x1,x2, ,x100 cho

x1+x2+x3≤1,x2+x3+x4≤1, ,x99+x100+x1≤1,x100+x1+x2 ≤1

Tìm giá trị lớn biểu thứcS=x1x3+x2x4+· · ·+x99x1+x100x2

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D, E hai điểm thuộc cung BC không chứaAsao choDEk BCvàDnằm cungBE.Xlà giao điểm củaBDvàCE

1 Đường thẳng quaC song song với AD cắt đường thẳng quaBsong song với AEtạiY Chứng minh AXvàAYđẳng giác trong∠BAC

2 GọiK,Llần lượt điểm trênAC, ABsao choOK k AD,OLk AE Chứng minh Xnằm trục đẳng phương đường tròn đường kínhBK vàCL

Bài Người ta viết vào bảng vng 4×4 số ngun dương cho tổng hai số nằm hai ô vng có chung cạnh ln số giai thừa Chứng minh có số xuất lần bảng (Một số giai thừa số dạng n·(n−1)· · ·2·1vớinlà số nguyên dương đó)

BÀI 38. TST BẾN TRE NĂM HỌC 2019-2020 Bài

1 Giải phương trìnhx3+x2−3x−2=2√x+2trên[−2; 2]

2 Giải hệ phương trình tập số thực  



x2−2y2 =1 2y2−3z2 =1

xy+yz+zx =1

Bài Sắp xếp1650học sinh thành22hàng ngang và75hàng dọc Biết với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy hai học sinh hàng ngang có giới tính khơng vượt quá11 Chứng minh số học sinh nam không vượt quá998em

Bài Tìm số nguyên nhỏ n cho với n số thực phân biệt a1,a2 ,an lấy từ đoạn [1; 1000]luôn tồn tạiai,ajthỏa0<ai−aj <1+3√3 aiajvớii,j∈ {1; 2; ;n}

Bài Gọi I, H tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm tam giác nhọn ABC; B1,C1

lần lượt trung điểm củaAC, AB; tiaB1Icắt cạnh ABtạiB2, tiaC1Icắt phần kéo dài AC C2, B2C2 cắt BC K, A1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Chứng minh

rằng: ba điểmI, A, A1thẳng hàng khiS4BKB2 =S4CKC2

Bài Tìm tất hàm f : R→Rsao cho

f(f(x) +y) = fx2−y+4f(x)y (∀x,y ∈R)

BÀI 39. TST SÓC TRĂNG NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải hệ phương trình sau tập số thực:

     q

y2+1−2xy=0 (1) q

y2+1−2xy+x2+√y =p

x−y+x2 (2)

Bài Cho dãy số(un)thỏa mãn:

(

u1=2020

2020un+1=2019un +u2n,∀n ∈N∗

Tính lim

n→+∞

n

∑

k=1 uk

uk+1−1

Bài Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn(O) Gọi Elà điểm nằm cạnh AB(E khơng trùng vớiAhoặcB), tiaCBcắt tiaDEtạiF, Glà giao điểm củaCEvàAF Chứng minh giao điểmHcủaBGvàDEnằm đường tròn (O)

Bài Cho đa thứcP(x) = x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0thỏa mãn điều kiện:

i P(1−x) = P(x); ii P x =

x6P(x);

iii P(−1) = −1

1 Hãy tìm đa thức P(x)

2 Giả sử P(x)có nghiệm làα Hãy tìm tất nghiệm cịn lại P(x)

BÀI 40. TST SÓC TRĂNG NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài

1 Một lớp học gồm35học sinh xếp thành hàng ngang Giáo viên phụ trách lớp cần chọn5đội để tham gia trị chơi Hỏi có cách chọn biết đội gồm3học sinh đứng liền kề hàng ngang ban đầu?

2 Có12học sinh xếp thành hàng ngang Giáo viên phụ trách cần chia học sinh thành nhóm cho nhóm là1học sinh là2học sinh đứng liền kề hàng đầu Hỏi có cách chia nhóm trên?

Bài Cho tam giác nhọn ABC(AB< AC) nội tiếp đường trịn(O) Tia phân giác củBAC cắt đường trịn(O)tại điểmDkhác A GọiElà hình chiếu Dtrên đường thẳng AC, Flà điểm đối xứng vớiCquaE Đường thẳngBFcắt đường tròn (O) tạiG khácB Gọi I điểm đối xứng vớiDquaO

1 Chứng minh rằngE, F,Gthẳng hàng

2 Đường thẳng qua C song song với AG cắt DG M FM∩BC = N, IF∩(O) = P Chứng minhB, F, N,Pcùng nằm đường tròn

Bài

1 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình:x2 =y2+2020

2 Cho dãy số(an)xác định sau:

(

a1=5; a2=13 an+2=5an+1−6an

Chứng minh vớiknguyên dương bất kỳ, nếuplà ước nguyên tố củaa2k+2·6k

thìpcũng ước nguyên tố củaa2k+1+5·6k

BÀI 41. TST HƯNG YÊN NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số(an) xác định a1 =

1

2 vàan+1 =

(an−1)2

2−an ,

∀n ≥1 Với số nguyên dươngn, chứng minh a1+a2+· · ·+an

n ≥1−

√

2

Bài Chom,nlà số nguyên dương,n <mvàa1,a2, ,am số thực phân biệt Tìm

tất đa thứcP(x)với hệ số thực có bậc nhỏ bằngnthỏa mãn điều kiện: Với mọi1≤i< j≤m, ta có|P(ai)−P(aj)|=|ai−aj|

Bài Cho đường tròn(O) cố định ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi Dlà trung điểm cạnhBC Trên AB, AClần lượt lấy điểmE,Fsao choDE ⊥ ACvàDF ⊥ AB

1 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF thuộc đường tròn cố định điểm Adi động vàB, Ccố định đường tròn (O)

2 Đường tròn ngoại tiếp tam giácDEFcắt cạnhBCtạiG; đường thẳngAGcắt đường tròn

(O) M; đường cao đỉnh A tam giác ABC cắt đường tròn (O) N (N khác A) Các tiếp tuyến M, N đường tròn (O) cắt P Các tiếp tuyến B đường tròn ngoại tiếp tam giácBGMvà tiếp tuyến tạiCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác CGMcắt tạiQ Chứng minh giao điểm PQvà ADnằm đường tròn

(O)

Bài Tập hợpXkhác rỗng chia thành tập đôi không giao nhauA1, A2, ., An đồng thời chia thành tập đôi không giao B1, B2, , Bn

Biết hợp hai tập khơng giao Ai, Bj (1 ≤ i,j ≤n)chứa khơng

nphần tử Chứng minh số phần tử tập Xkhông nhỏ n

2

2 Khi số phần tử tập

Xbằng n

2

2 , cách chia tậpXthỏa mãn toán

BÀI 42. TST HƯNG YÊN NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm số f: R→Rthỏa mãn

f (x+y f(x)) = f (x f(y))−x+ f(y+ f (x)), ∀x,y ∈R

Bài Cho tam giácABCnội tiếp đường tròn(O) Đường thẳnglđối xứng với đường thẳng AC qua đường thẳngBC, l cắtBO tạiX Điểm Etùy ý đoạn BO, đường tròn ngoại tiếp tam giácXAEcắt đường thẳngltạiQkhácX Đường thẳngQEcắt đường thẳngOCtạiY

1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AYEđi qua điểm cố định khiE thay đổi trênBO

2 Gọi Mlà điểm cung AEkhơng chứaY đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE điểm K khác M Chứng minh khiEdi chuyển đường thẳngKEluôn qua điểm cố định

Bài Tìm số nguyên(a,b,c) vớic ≥ 0sao chob2n+c chia hết choan +2n với mọin nguyên dương

BÀI 43. TST ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số thực dương(xn)xác định công thức

xn =2

1−

2n2+√4n4+1

, ∀n≥1

ĐặtSn =

√ x1+

√

x2+· · ·+

√

xn (n ≥1) 1 TínhS20

2 Chứng minh tồn vô số số nguyên dươngnsao choSn nhận giá trị nguyên Bài Giải hệ phương trình

        

x = 2+

p

2y2+4y+4 y

y = 2+

√

2x2+4x+4

x

Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (a,b) cho M = a4+10a2+2b số phương

Bài Choa,b, clà số thực thỏa mãna+b+c =3 Chứng minh

(ab+bc+ca)2+9≥18abc

Bài Cho đương tròn(O)và dây cungBCcố định ĐiểmAkhác vớiB,Cdi động đường tròn cho AB 6= AC Gọi D, E, F chân đường cao hạ từ A, B, C tam giác ABC Đường thẳngEFcắt(O)tạiPvàQ Chứng minh

1 Đường tròn ngoại tiếp tam giácPQDđi qua điểm cố định;

2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácPQDchạy đường tròn cố định

Bài Xét bảng vng kích thước5×n,n ∈ N∗ (bảng gồm5hàng vàncột) Hỏi vớinnào lát bảng viên gạch có dạng hình bên (hình xoay theo hướng bất kì)

BÀI 44. TST KON TUM NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho dãy số(an)được xác định bởia1 =2019vàan+1 =

a2n a2

n −an+1

, n∈ N∗

1 Chứng minh dãy số(an)là dãy số giảm bị chặn Tìmliman 2 Tính giới hạn dãy số(Sn)vớiSn =

n

∑

k=1 ak

Bài Choa,b,clà số dương choa+b+c =abc, chứng minh r

1+

a2 + r

1+

b2 + r

1+

c2 ≥2

√

3

Bài Cho đường tròn (O;R) cố định, tam giác ABC tam giác nhọn thay đổi nội tiếp đường tròn(O)

1 Tìm giá trị lớn biểu thức m2a +m2b +m2c với ma, mb, mc độ dài

đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A,B,Ccủa tam giác ABC

2 Cho điểm H trực tâm tam giác ABC Mlà trung điểm BC Điểm Pthuộc đường thẳng HMsao cho APlà đường phân giác góc ÷BAC Đường thẳngd quaHvà vng góc với APcắt đường thẳngAB, AClần lượt tạiE,F GọiNlà giao điểm hai đường thẳng AOvàEF Chứng minh rằngPH =PNvà tứ giác AEPFnội tiếp

Bài

1 Viết số20192020thành tổng củansố nguyên dương tùy ý sau

20192020 = n

∑

k=1 ak

Tìm số dư chia

n

∑

k=1

a7k cho7

2 Đặtan =2019n+1vớinlà số nguyên dương Tìm số nguyên tốpthỏa mãnap p

BÀI 45. TST LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho số thựcavà dãy số thực(un)xác định

(

u1 =a

un+1 =ln(8+cosun+sinun) +2019,∀n=1, 2, 3,

Chứng minh dãy số(un)có giới hạn hữu hạn Bài Tìm tất hàm số f: R⇒Rthỏa mãn:

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy),∀x,y∈ R

Bài Tìm tất đa thứcP(x)với hệ số thực thỏa mãn

Px2+x+3P(3x+1) = P6x3+7x2+16x+3,∀x∈ R

Bài Cho tam giácABCkhông cân Gọi E,Flần lượt điểm thuộc cạnhAC, ABsao choEFsong song vớiBC Các tiếp tuyến tạiE, Fcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt đường thẳng BC Mvà N Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng FN K đường thẳngCFcắt đường thẳngEMtại L

a) Chứng minh rằng∠KAB=∠LAC

b) Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳngCF X đường thẳng EN cắt đường thẳng FMtạiY Chứng minh đường thẳngXY qua điểm cố định khiE, Fthay đổi

Bài Tìm tất cặp số nguyên(m,n)vớim,n ≥3để tồn vô hạn số nguyên dương xsao cho x

m+x−1

xn+x2−1 số ngun dương

Bài Tìm số hốn vị(a1,a1, ,a2020) 2020số nguyên dương thỏa mãn đồng

thời hai điều kiện sau:

i) ai+1−ai ≤1với mọii =1, 2, 3, , 2019

ii) Tồn hai sốivàjvới1 ≤i <j ≤2020sao choai =ivàaj = j

BÀI 46. TST QUẢNG BÌNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho hai dãy số thực(an), (bn)thỏa mãn

(

a1 =2

an =2(n+an−1), ∀n≥2

;

 

 b1 =2 bn = n

+1

n−1(b1+b2+· · ·+bn−1), ∀n ≥2

1 Chứng minh rằngan <2n+2với mọin∈ N∗ 2 Tính giới hạn:lim2(bn+n+2) +an

6n

Bài Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) Đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA vàAB D, E vàF Gọi Plà giao điểm thứ hai (khác A) đường trịn(O)với đường trịn đường kính AI

1 Chứng minh rằngPDđi qua điểm cung BCkhơng chứa A

2 GọiX giao điểm AD vàBE; Qlà điểm đối xứng với X quaEF; H hình chiếu vng góc củaDlênEF.Chứng minh ba điểmA,H,Qthẳng hàng

Bài Cho n số nguyên dương có dạng n = 22p−1 (trong p > số nguyên tố) Chứng minh rằngn|2n−8vàncó ba ước ngun tố phân biệt

Bài Tìm tất cặp số nguyên dương(m,n) cho với đa thức P(x) bậcmcó hệ số thực ln tồn đa thứcQ(x)bậcncó hệ số thực màQ(P(x))chia hết choQ(x)

BÀI 47. TST QUẢNG BÌNH NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm số f : N∗ →N∗thỏa mãn điều kiện

(n−1)2 < f(n)· f(f(n)) <n2+n,∀n ∈N∗

Bài Cho tam giácABCnhọn, nội tiếp đường trịn(O)và có trực tâm H GọiM,N trung điểm củaBC,OH vàE, Flần lượt hình chiếu vng góc củaN lên AC, AB Gọi L điểm đối xứng vớiBquaACvàKlà điểm đối xứng vớiCquaAB

a) Chứng minh đường thẳngKF,ELvàAMđồng qui

b) Gọi Jlà tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácOBC Chứng minh AJvng góc vớiKL

Bài Cho số nguyên dươngn ≥2, xét2nđiểm phân biệt mặt phẳng cho khơng có

3điểm thẳng hàng Nốin2+1cặp điểm số Chứng minh rằng: a) Có nhất1tam giác tạo thành

b) Có nhấtntam giác tạo thành

BÀI 48. TST QUÃNG NGÃI NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Giải hệ phương trình                  xy = x+z

z

1

yz = y+x

x

1

zx = z+y

y

Bài Tìm tất hàm số f: R→Rthoả mãn

f (f(x+y)f(x−y)) = x2−y f(y), ∀x,y∈ R

Bài Cho ABC tam giác nhọn, có AB < AC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCvàMlà trung điểmBC Đường thẳng qua Avng góc với AIcắt tiếp tuyến vẽ từ M đường tròn nội tiếp tam giác ABC (khác đường BC) điểm P Gọi D điểm tiếp xúc củaBCvới đường tròn(I)

1 Gọi(Q)là đường trịn bàng tiếp gócAcủa tam giácABC,Elà điểm tiếp xúc củaBCvới

(Q),D0là điểm đối xứng vớiDqua I Chứng minh ba điểm A,E, D0 thẳng hàng

2 Chứng minh rằngAI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MIP

Bài 1

Có thể đánh số vng bảng ô vuông4×4bởi số tự nhiên từ1đến16(mỗi ô viết số, số viết lần) cho tổng4 số phần bảng vng có dạng hình chữ T hình vẽ bên (có thể xoay phía) chia hết cho4hay khơng?

2 Cho tập hợp gồm 2019 phần tử sau: {1; 2; 3; ; 2019} Cần loại bỏ phần tử khỏi tập hợp trên, để tập hợp gồm phần tử lại có tính chất: với ba phần tử bất kỳ, khơng có phần tử tích hai phần tử cịn lại?

BÀI 49. TST QUẢNG NGÃI NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số(un)biết:

 

 u1=

1 2;u2 =

2023 ;

(n+3)un+2−2(n+2)2un+1+ (n+2)(n+1)2un =0, n ∈N,n≥1

Bài

a Cho n số ngun dương có ước nguyên dương Giả sử ước nguyên dương củanđược theo thứ tự sau1=d1 <d2 <· · · <dk =nvớik ≥6 Tìm tất

số nguyên dươngnsao chon =d25+d26

b Choplà số nguyên tố Chứng minh tồn số nguyênx,y,z,n, với0<n< pthỏa mãnx2+y2+z2−np =0

Bài Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O) Một đường tròn(I) quaB,C cắt cạnhCA, ABtại D, E BDcắtCEtại FvàGlà hình chiếu vng góc I lên đường thẳngAF

1 Chứng minh bốn điểmD,E,G,I nằm đường trịn vàGAlà tia phân giác góc ÷DGE

2 BD cắt GE H, CE cắt GD K Đường thẳng DE cắt đường tròn (O)tại hai điểm M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácGHK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácGMN

BÀI 50. TST BẮC NINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho hai dãy số(un), (vn), xác định sau: u0 = a, v0 = b với số thực a, bcho

trước thỏa mãn0<a <bvàun+1 =

un+vn

2 ,vn+1 =

√

un+1vn với số tự nhiênn

Chứng tỏ hai dãy hội tụ có giới hạn nhau. Tìm giới hạn theoa,b.

Bài Cho số nguyên tốp Chứng minh tồn vô số tự nhiênnthỏa mãn điều kiện

2020n+2019 ≡n+2018(mod p)

Bài Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D, E chân đường cao hạ từ đỉnh A, B tam giác ABC Các đường thẳngODvàBEcắt tạiK, đường thẳngOEvà ADcắt L Gọi Mlà trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểmK, L, M thẳng hàng bốn điểmC, D,O, Hcùng nằm đường trịn

Bài Tìm tất đa thức f(x)hệ số thực, có bậc số tự nhiên lẻ cho f(x2−1) = f2(x)−1,∀x∈ R

BÀI 51. TST BẮC NINH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Tìm tất hàm f: R→Rthảo mãn điều kiện

f(xy−1) +f(x)f(y) =2xy−1 (1)

với mọix, y ∈R

Bài Cho tam giác nhọnABC,Dlà điểm cạnhBC.Trên cạnhAC,ABlần lượt lấy điểmE, Fsao cho ED =EC, FD = FB Gọi I, J,K tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC, BDF,CDE

1 Gọi Hlà trực tâm tam giác JDK Chứng minh I JHKnội tiếp

2 Chứng minh khiDchuyển động trênBC,đường trịn ngoại tiếp tam giácI JK ln qua điểm cố định khác I

Bài Cho đa giác A1A2· · ·A20 có10đỉnh đa giác tơ màu xanh,10đỉnh

cịn lại tơ màu đỏ Ta nối đỉnh với

1 Gọialà số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp,b số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp Chứng minh a=b

2 Xét tập hợp Sgồm đường chéo A1A4 tất đường chéo khác đa giác mà có

cùng độ dài với Chứng minh tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu màu đỏ với số đường chéo có hai đầu màu xanh Gọi k số đường chéo có hai đầu màu xanh trongS, tìm tất giá trị có củak

BÀI 52. TST NINH BÌNH NĂM HỌC 2019-2020 Bài Xét số thực dương a,b,c thỏa mãn a2+1

b2+1

c2+1

= Tìm giá trị lớn củaP=ab+bc+ca

Bài Cho số nguyên dươngnvà hàm số f liên tục trênRsao cho nhận giá trị âm giá trị dương Chứng minh tồn cấp số cộnga1,a2, ,an thỏa mãn:

f (a1) + f(a2) +· · ·+ f (an) =0

Bài Cho tam giácABCcóAB< AC, đường trịn(I)nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC,CA,ABlần lượt tạiD,E,F ĐiểmMthay đổi đoạn thẳngFD, đường thẳng quaMvà song song BC cắtEF Kvà cắt DEtại P Kẻ tiếp tuyếnKH với đường tròn ngoại tiếp tam giácMEFvới Hlà tiếp điểm Đường trung trực củaMFcắtAI tạiN vàHD cắt ME tạiG a) Chứng minhF,G,Pthẳng hàng

b) Chứng minh M thay đổi trênDF đường thẳngGN qua điểm cố định

Bài Tìm tất số(x,n,p)với x,nlà nguyên dương pnguyên tố cho: x3+3x+14=2pn

Bài Cho lưới vng 2021×2021, có bóng đèn Một vng gọi “xấu” có số chẵn kề chứa bóng đèn tắt (2 vng kề vng có chung cạnh) Hỏi bật, tắt bóng đèn cho khơng cịn vng “xấu” bảng hay không?

BÀI 53. TST NAM ĐỊNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Giải hệ phương trình

  

 

(y+1)2+y q

y2+1=x+3

2

(x−2y−1) +px2−2x+5=2qy2+1.

Bài Cho dãy số(un)xác định

 

 u1 =

1

un+1 =1+un−u2n,∀n∈ N∗ 1 Chứng minh

2 ≤un ≤

4,∀n ∈ N

∗.

2 Chứng minh dãy(un)có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài Cho hàm số f : R→Rthỏa mãn đồng thời điều kiện sau

i) f(3x) =3f(x),∀x ∈ R ii) |f(x)−x| ≤1,∀x ∈R

Chứng minh f(x) = x,∀x ∈R

Bài Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường trịnO, đường phân giác góc ÷BAC cắt đường tròn(O)tại điểmDkhác A GọiElà điểm đối xứng vớiBquaAD;Plà điểm di chuyển đoạnAE(Pkhông trùng với điểmA,E) Các đường thẳngBE,BPcắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai F,Q Đường thẳng quaC, song song với AQcắt FD điểmG

1 GọiHlà giao điểm củaEGvàBC Chứng minh điểmB,P,E,Hcùng thuộc đường tròn, gọi đường trịn là(K)

2 Đường trịn (K) cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai L Gọi T trung điểm PE Chứng minh LPluôn qua điểm cố địnhSkhi Pdi chuyển đường thẳng quaTsong song với LSđi qua trung điểm đoạnAF

Bài

1 Cho tậpX={1; 2; 3; ; 2019} Có cách chọn10số phân biệt từ tậpXsao cho trong10số có hai số liên tiếp?

2 Mỗi cạnh đồ thịK5được tô bởi1trong2màu, giả sử không tồn tam giác đơn sắc

(tam giác có cạnh màu) Chứng minh tồn tại2chu trình đơn sắc có độ dài5

BÀI 54. TST NAM ĐỊNH NGÀY NĂM HỌC 2019-2020 Bài Cho số thực dươngx,ythoả mãn điều kiệnx+y+1=3xy Chứng minh

3x y(x+1) +

3y x(y+1) +

1

x+y ≤

1

x2 +

1

y2 +

3

Bài Đa thứcP(x)với hệ số nguyên gọi “đẹp” có biểu diễn dạng

P(x) = xn+pαn−1

n−1x n−1+

pαn−2

n−2x

n−2+· · ·+ pα1

1 x+p

α0

0 ,

trong đón số nguyên dương lớn 1; pn−1,pn−2, ,p0 số nguyên tố đôi phân

biệt;αn−1,αn−2, ,α0là nsố nguyên dương đồng thời P(x) cónnghiệm nguyên (không

nhất thiết phân biệt)

1 Chứng minh đa thức “đẹp” chia hết chox+1

2 Tìm tất giá trị có bậc đa thức “đẹp”

Bài Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCvàAIcắtBCtạiD Một đường thẳng thay đổi quaAcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IBCtạiP,Qsao cho(P)nằm AvàQ

1 Chứng minh tíchDP·DQln khơng đổi khiP,Qdi chuyển

2 Giả sử đoạnPQcắt đoạn thẳngBD Trên đoạn DBlấy điểmMsao choDP = DM Gọi Rlà điểm đối xứng vớiMqua trung điểm củaBC Đường tròn ngoại tiếp tam giácADR cắt đường tròn ngọai tiếp tam giácIBCtạiS,T Các đường thẳngSTvàBCcắt N Chứng minh tam giácDNQcân

Bài Tồn hay không sáu số hữu tỉx,y,z,a,b,cthỏa mãn đồng thời điều kiện a2+b2+c2 =1, x2+y2+z2 =7, ax+by+cz =0

Bài Cónthành phố mà đường nối thành phố với đường chiều thành phố nối với đường Chứng minh tồn thành phố cho thành phố khác có đường đến trực tiếp thành phố thông qua thành phố khác

BÀI 55. TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC BẮC TRUNG BỘ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài Cho số nguyên dươngk.Giả sửP(x) ∈ R[x]là đa thức bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt, đồng thời với số thực avàb thỏa mãn|a|, |b| ≥ kthì P(a2+b2) ≥ P(2ab) Chứng minh rằngP(x)có nghiệm âm

Bài Cho số thựcavà dãy số(un)xác định

u1 =

4, u2=

2, un+2 =

u3n+1+2u3n+a

4 , n=1, 2,

Tìm giá trị lớn củaađể dãy(un)có giới hạn hữu hạn Khi tìmlimun

Bài Trong kỳ thi vấn đáp, có64thí sinh và6vị giám khảo Mỗi thí sinh phải trả lời với giám khảo nhận hai kết quả: “đạt – trượt” Biết với hai thí sinh bất kỳ, ln có vị giám khảo đánh giá thí sinh đạt, cịn thí sinh trượt Sau kỳ thi, hai thí sinh có kết khác giám khảo kết bạn với (giả sử trước kỳ thi, chưa có bạn bè cả)

1 Hỏi có tất cặp bạn bè nhau?

2 Chứng minh xếp tất thí sinh ngồi lên bàn trịn mà hai thí sinh ngồi

cạnh bạn bè

Bài Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp(O)và ngoại tiếp (I) GọiD, E, F tiếp điểm đường tròn bàng tiếp gócA, B, Ctương ứng vớiBC, ACvàAB Các đường trịn(BDF)và(CDE)cắt điểmJkhác D

1 Chứng minh rằngOlà trung điểm I J

2 GọiX, Y, Zlà tâm đường tròn(AEF), (BDF), (CDE)vàKlà tâm đường tròn

(XYZ).Chứng minh rằngKlà trung điểm củaOJ

BÀI 56. TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC BẮC TRUNG BỘ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài Xét hàm số f : R+ →R+thỏa mãn đồng thời điều kiện

i) f(x+f(x+y)) = f(2x) + f(y);

ii) Không tồn số dươngx, ysao chox <y<2xmà f(x) = f(y) a) Chứng minh f hàm số đơn ánh

b) Tìm tất hàm số thỏa mãn đề

Bài Cho tam giác ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường trịn(O) có trực tâm H; chân đường cao đỉnhA, B,Clần lượt D, E, F; trung điểm cạnhBC,CA, ABlần lượt M, N, P Các đường thẳngAM, BN,CPcắt đường tròn(DEF)tại I, J,K(khác M,N, P) Các đường tròn(AID),(BJE),(CKF)cắt(O)theo thứ tự tạiX,Y,Z(khác A, B,C)

a) Chứng minh rằngAX, BY,CZđồng quy đường thẳngOH

b) GọiA0,B0,C0là điểm đối xứng củaX,Y,ZquaM,N,Ptương ứng Chứng minh rằngAA0, BB0,CC0đồng quy

Bài Tồn hay không số nguyên phân biệtx,y,zvà số nguyên dươngm,n(m <n)

thỏa mãn đẳng thức

(2x−1)n = (2y−1)m(2z−1)n−m

BÀI 57. TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC NAM TRUNG BỘ NĂM HỌC 2019-2020

Bài Tìm tất số thựccsao cho tồn hàm số f : R→Rthỏa f(f(x) + f(y)) +cxy= f(x−y)

với số thựcxvày

Bài Xác định tất cặp số nguyên dương(a;b)thỏaan−na|bn−nb với số nguyên dươngnmàan 6=na

Bài Cho2019đống sỏi, đống thứ icóiviên sỏi (i = 1,2, , 2019) Mỗi bước, ta chọn số đống chọn số lượng sỏi khác0và (số sỏi lấy đống bước khác khơng thiết nhau) Hỏi cần bước để lấy hết sỏi trong2019đống?

Bài Cho tam giác ABC nhọn Một đường trịn (K) thay đổi ln qua B, C cắt lại đoạn thẳngCA, ABtheo thứ tự tạiE, F, BEcắtCFtại H

1 Chứng minh tiếp tuyến quaE,Fcủa(K)cắt điểmPnằm trênAH

2 Trên BE, CFlần lượt lấy điểmM,N choPM k AB,PN k AC Chứng minh sáu điểmP,E,F,M,N,Kcùng nằm đường trịn Kí hiệu đường tròn là(L)

3 Gọi(O)là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ALcắtOKtại J Chứng minh BK phân giác gócOBJ’