Đang tải... (xem toàn văn)
- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI.. Chứng minh tương tự đối với điểm H.[r]
(1)9 CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN I KIẾN THỨC CƠ BÀN:
* Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
1/ Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối tứ giác nội tiếp đường trịn
2/: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường tròn
3/: Tứ giác có đỉnh cách điểm ( mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
4/: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc (an-pha) nội tiếp đường tròn
II Một số toán luyện tập: 1/ Dạng áp dụng dấu hiệu & 4
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC ) nội tiếp đường trịn tâm I; bán kính r Gọi P trung điểm AC; AH đường cao tam giác ABC
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K Xác định tâm K đường tròn
b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc
*Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu để chứng minh APIH nội tiếp đường tròn:
- Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI góc vng nên P thuộc đường trịn đường kính AI Chứng minh tương tự điểm H Từ xác định tâm K ( trung điểm đoạn AI )
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Hai đường tròn qua có điểm chúng tiếp xúc với nhau; TX trong, TX
(2)Bài 2:
Cho đường trịn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I
nằm A O cho AI = IO
Kẻ dây MN AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM
Gợi ý:
a/ Chứng minh tương tự câu a (Góc ACB chắn đườngkính AB; MIAB) Tâm đường nội tiép IECB nằm trung điểm EB
Câu b/ Hai TG có chung góc A, góc AME ACM chắn cung AM = cung AN * Bài 3:
Cho tam giác ABC cân A ( ) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM EN cắt F a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn
b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu để ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMNE nội tiếp - Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvng
- Góc M góc N chắn AB Trung điểmAB tâm ĐT ngoại tiếp
b/ Chứng minh tamgiác vuông AME FME EM chung, chứng minh thêm AM = MF
Bài 4:
Cho đường tròn ( O;R) đường thẳng xy cách tâm O khoảng OK= a ( < a < R ) Từ điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D E
(3)c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường tròn
Gợi ý:
* Câu a: Hiển nhiên OK < R
*Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh 5 điểm thuộc đường tròn
- Biết OB OC bán kính đường tròn giao với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC - OKAK theo cách dựng GT
* Câu c: dựa vào dấu hiệu để chứng minh: Góc AKS vng góc AMS vng ( theo cách dựng) nhìn cạnh AS tứ giác AMKS tứgiác nội tiếp
Bài 5:
Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC, lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường trịn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, M thuộc đường tròn
b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn
Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình * Câu a/
- So sánh góc MOE góc MBC - So sánh góc MOD góc MBD
- Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc nhau. tứ giác DBOM?
* Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc đường trịn ( dấu hiệu 1) bán kính OMMKvà OBBK kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn
Bài tập vận dụng dấu hiệu
(Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp được đường tròn.)
(4)Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O; đường kính AI Gọi E trung điểm AB ;K trung điểm OI; H trung điểm EB
a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Gợi ý:
* Câu a/
- B chắn đường kính AI B vuông
- OE AB HK đường trung bình hình thang EBOI, từ kết luận HK EB
*Câu b/
- Chứng minh ∆EKB cân K BEK = EBK (1) - Chứng minh EBK = KCA ∆KCB cân (2) - Từ (1) (2) BEK góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC ACK ( góc đỉnh đối đỉnh E) AEKC nội tiếp đường tròn
Bài :
Cho nửa đường trịn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q ( không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T
a/ Chứng minh NS = MN
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn Gợi ý:
a/ Điểm P nằm nửa đường trịn MPN vuông PMN = 450 PNS = 450 ∆MNS tam giác vuông cân
MN = NS (điều cần chứng minh)
b/ Vì NQT vng nên tam giác MNT NTQ tam giác vng đồng dạng ( góc - góc)
c/ Kẻ tiếp tuyến PH , PH NS ta có tam giác vng cân góc = 45o hình vẽ Chứng minh T1 = S + M2 = S + P2 + P2 ( dựa vào dấu hiệu 2) ĐPCM
(5)Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp Gợi ý:
* Cách 1: Chứng minh tương tự Phần b. * Cách 2: Để dễ theo dõi ta đánh số góc 1,2,3 bơi màu góc hình bên A1 = B1 (góc ∆ vng đồng dạng); A2 = B2 (vì chắn cung ED);
B1 = D1 ( chán cung AE) B1 =A1 = D1;
F2 B1 phụ F2 D1 phụ nhau;
mà D2 D1 phụ Do F2 = D2 F1 + D2 = 2v (ĐPCM)
3/Bài tập vận dụng dấu hiệu 3: Bài 9:
Cho đường tròn tâm O Kẻ đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung nhỏ CB EA cắt CD F; ED cắt AB M
a/ Các tam giác CEF EMB tam giác gì? b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E
Gợi ý:
Câu a: Góc CEF góc có đỉnh nằm bên đường
trịn; góc FCE góc nội tiếp chắn cung ED Lập biểu thức số đo góc đó, so sánh để thấy góc Kết luận tam giác CEF tam giác Cân - Chứng minh tương tự tam giác EMB
* Câu b: Từ câu suy EC = EB = EF = EM
Dựa vào dấu hiểu kết luận điều phải chứng minh