skkn Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

MỤC LỤC Nội dung Trang 2 2 3 Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Dãy số PHẦN II: GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.Tính giới hạn dãy cách xác định CTTQ dãy 2.2.Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn 2.3.Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Giới hạn tổng 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10 Đánh giá lợi ích thu (kết thực hiện) 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu 3 4 6 13 18 19 27 27 27 27 28 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bài tốn tìm giới hạn dãy số tốn có cấu trúc đề thi kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 Tỉnh qua năm cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia qua năm kể từ Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắc nghiệm Trong xác định giới hạn dãy cách xác định CTTQ, lượng giác hóa, sử dụng tính đơn điệu dãy giới hạn dãy tổng khai thác chủ yếu Trong năm học tơi giao nhiệm vụ dạy Tốn lớp đầu cao, dạy bồi dưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu tốn tìm giới hạn dãy số bắt buộc Khi dạy phần giới hạn dãy số thấy số vấn đề sau cần giải Một là: Theo quan điểm ngành Giáo dục thời lượng chương trình dạy học nên nội dung chương dãy số giảm tải đáng kể Tuy nhiên việc giảm tải tập trung vào tập cịn lí thuyết giảm tải khơng đáng kể u cầu tối thiểu Nên giáo viên dạy lí thuyết chương vất vả, học sinh học lí thuyết vất vả làm tập Sách giáo khoa học sinh thấy đơn giản tập khó giảm tải, tập lại tương tự ví dụ có phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm theo cách máy móc hiểu rõ vấn đề đề thay đổi chút học sinh cảm thấy khó khăn, chán ngán Hai là: Các vấn đề dãy số xuất đề thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu dễ đọc Từ thực trạng vấn đề trên, chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú giải dễ dàng toán liên quan đến giới hạn dãy số Tên sáng kiến: “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Đào Xuân Tiến - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986968630 Email:daoxuantien101186@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” áp dụng bồi dưỡng HSG khối 11 ôn thi THPT Quốc Gia Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện giới hạn dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống phân tích tập giới hạn dãy số cách logic từ khó đến khó Hai là: Qua việc luyện tập toán giới hạn dãy số ta thấy phép tuyệt đệp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán giới hạn dãy số chánh gượng ép máy móc Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 28/02/2020 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Phương pháp quy nạp toán học n  N * ta ln có đẳng thức sau : n(n  1) n(n  1)( 2n  1) 12  22   n     n  13  23   n3  n (n  1) 4 12    (2n  1)  22  42   (2n)  10 11 12 n(4n  1) 2n(n  1)(2n  1)     (2n  1)  n n(n  1) n(n  1)(n  2)    10    , n �1 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  1 1   2 n n Cho số thực x   Chứng minh : (1  x) n 1  nx , n  N * Với số tự nhiên n 3 , ta có : 2n  2n  Với số tự nhiên n  , ta có : 1     n n 1 n b     N 1 a  1.3.5 (2n  1) � c 2.4.6 2n 3n  13 Cho số thực x  k 2 , k  Z , n  N * , ta có : nx (n  1) x sin sin 2 a sin x  sin x   sin nx  x sin (n  1) x nx sin cos 2 b  cos x  cos x   cos.nx  x sin 1.2 Dãy số 1.2.1.Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N * gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N* � � n � u (n) Trong un  u (n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số 1.2.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số  un  gọi dãy số tăng un  un1 , n ��* * Dãy số  un  gọi dãy số giảm un  un1 , n ��* Vậy: Nếu un1  un  0, n ��* suy  un  dãy số tăng * Nếu un1  un  0, n �� suy  un  dãy số giảm * Nếu tồn số M cho un �M , n ��*  un  bị chặn * Nếu tồn số m cho un �m , n ��*  un  bị chặn * Nếu dãy số  un  bị chặn bị chặn gọi dãy só bị chặn 1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt * Cấp số cộng * Dãy số  un  cấp số cộng � un1  un  d , n  N * , (d �0) , d số không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số  un  cấp số cộng un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  un  cấp số cộng tổng Sn  u1  u2   un  n  2u1  (n  1)d  n  u1  un   2 *Cấp số nhân * Dãy số  un  cấp số nhân � un1  un q , n  N * , q số khơng đổi gọi cơng bội cấp số nhân n1 * Nếu dãy số  un  cấp số nhân un  u1.q * Nếu dãy số  un  cấp số nhân vơi q �1, q �0 tổng  qn S n  u1  u2   un  u1 1 q PHẦN II GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.Tính giới hạn dãy cách xác định CTTQ dãy * Kiến thức sử dụng: - Các công thức dãy số quen thuộc - Tính chất dãy số cấp số cộng, cấp số nhân * Bài tập vận dụng 1    Bài 2.1.1 Cho dãy số un  Tìm giới hạn dãy số? 1.2 2.3 n(n  1) Lời giải: Ta có 1 1 1 un         1 2 n n 1 n 1 Suy lim un  12  32  52   (2n  1) u  Tìm giới hạn dãy số? Bài 2.1.2 Cho dãy số n 2  42    (2n) Lời giải: Ta có 2n(2n  1)(4n  1) 2 2     (2n) (4n  1) un     2 n(n  1)(2n  1) 2(n  1)     (2n) Suy lim un  Pn Pn số hốn vị n Ann k phần tử, An số chỉnh hợp chập k n phần tử Đặt S n  u1  u   un Tìm limSn Lời giải: Ta có Bài 2.1.3 Cho dãy số  un  xác định un  Pn  n !, Ann   n  2 ! � u 2! n  n!.2!   n   !  n  1  n   �1 � 1 � Sn  �     � 2.3 3.4 4.5  n  1  n   � � �  n     n  1 � 3 43 5 � Sn  �     � 3.4 4.5  n  1  n   � �2.3 1 1 1 1 � � � S n  �         3 4 n 1 n  2� � � 1 � � � Sn  �  � lim S n  n  2� � � u1  un � Hãy tìm lim un1  un  n; n �1 un1 � Bài 2.1.4 Cho dãy số  un  thỏa mãn � Lời giải: Theo đề ta có u1  u2  u1  u3  u  … … un  un 1   n  1 Cộng theo n đẳng thức ta  n  1 n  n  n  un        n  1     2 � un1  un  n   n  n  2 2 1  2 u n n2 n n 1 � lim n  lim  lim un1 n n2 1  n n un 1 Vậy lim un1 4n  Bài 2.1.5 Cho dãy số  un  xác định un  n Đặt S n  u1  u   un Tìm limSn Lời giải: n Ta có un  n  n 2 1 1� � n� � � Sn  �    n � �    n � 2 � � 2 � � 1 +) Xét an     n tổng n số hạng đầu cấp số nhân có số hạng thứ 2 1 công bội q  2 n �1 � 1 � � n 2� �1 � � � an    � �� lim an  1 �2 � a1  n 1 n    n 1  n 2 2 n 1 n � 2bn      n 2  n 1 2 2 1 n � 2bn  bn      n1  n 2 2 n � �1 �� n � bn  �  � �� n1 � �2 �� Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  n , n �5 +) bn  n � n �5, ta có  n n  � lim  � lim bn  2n n 2n Vậy limSn  Bài 2.1.6 Cho dãy số  un  xác định sau: u1  1, u2  3, un 2  2un 1  un  1, ( n  1, 2, ) Tính lim un n2 Lời giải: Ta có un   un 1  un 1  un  1, n  1, 2, suy  un   un 1 lập thành cấp số cộng có cơng sai nên un   un1  u2  u1  n.1  n  (1) Từ (1) ta un  u1  un  un 1  un 1  un    u2  u1  n  n    n  n  1 un n  n  1 u lim  Vậy lim n2  lim  n2 n 2n 2 � un     n  Bài 2.1.7 Cho dãy số u1  n un Tìm giới hạn dãy số xn  un ? un 1  2(2n  1)un  i 1 Lời giải: Đặt Vn u   n ( 2n  1)(2n  1) 1  un   2n  2n  Suy lim xn 1 Bài 2.1.8 Đặt f (n)  (n  n  1)  Xét dãy số (un ) cho un  Tính lim n un Lời giải: Ta biến đổi f ( n)  (n  1)[( n  1)  1] (1) f (1) f (3) f (5) f (2n  1) f (2) f (4) f (6) f (2n) Sử dụng (1) ta có: f (2k  1) (4 k  4k  2)(4k  1) (2k  1)    f (2k ) (4k  1)(4k  4k  2) (2k  1)  12  32  (2n  1)  1 � un     (2n  1)  2n  2n  1 � lim n un  lim  2 2  n n Bài 2.1.9 u1  � , n �1, n ��* Cho dãy (un ) xác định � n(n  1)un  u1  2u2   ( n  1)un1 � Tìm lim (n3  n).un Lời giải: Ta có: u2  u1  2u2   nun  n3un (1) Với n �3, ta có u1  2u2   (n  1)un1  ( n  1) un 1 (2) Từ (1) (2) suy nun  n3un  (n  1)3 un 1 ( n  1)3 n 1 n � un  un1  ( ) un1 n n n n 1 n 1 n  2 2 n n 1 � un  ( ) ( ) ( ) u2 n n 1 n 1 n 4 � un  n (n  1) Do đó: lim (n  n)un  lim18(1  )  18 n Bài 2.1.10 Cho dãy (un ) biết un  [ 1 1    ] , n �2 n 1  n n  n 1 2 n Tìm lim un Lời giải:  n 1  n Ta có: n 1  n n  1 (        n   n )  n n 1 lim un  lim(   )  n n Do un  Bài 2.1.11 2.12  3.22   (n  1).n Cho dãy (un ) biết un  Tìm lim un n4 Lời giải: (12  22   n )  (13  23   n3 ) Ta có: un  n4 n(n  1)(2n  n ( n  1) � un  [  ] n n(n  1)(2n  1) n (n  1)  ]= Suy lim un  lim[ 6n 4n 4 *Bài tập tự giải: 1    Tìm giới hạn dãy số? Bài Cho dãy số un  1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) HD: k ��* ta có � 1 (k  2)  k 1� 1   �  k (k  1)( k  2) k (k  1)(k  2) � k (k  1) (k  1)(k  2) � � 1 �1 �  �  1.2.3 � 1.2 2.3 � � 1 �1 �  �  Khi k  � 2.3.4 � 2.3 3.4 � � 1 �1 �  �  Khi k  � 3.4.5 � 3.4 4.5 � � … � 1� 1  �  Khi k  n � n(n  1)(n  2) � n(n  1) (n  1)(n  2) � � Cộng n đẳng thức theo vế giản ước ta � 1� 1 n  3n un  �   2� (n  1)(n  2) � � 4(n  1)(n  2) Suy lim un  Khi k  � 10  u1 2010 Bài 2.2.4 Cho dãy số (un ) xác định   u n  2u n u n 1  2011 0, n 1 Chứng minh dãy (un ) có giới hạn tính giới hạn Lời giải: Trước hết ta nhận xét u n  , với n Thật vậy, ta có u n = 2010 > Giả sử u k  0, k 1 , ta chứng minh u k 1  u k2  2011 2 u u  u  2011   u  Từ hệ thức truy hồi suy k k 1 k k 1 2u k u n2  2011  2011     u n  Do ta có: u n 1  2u n 2 u n  Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: u  2011 2011 un1  n � un  2011, n �1 2un un un1 un  2011 2011 1    �   Mặt khác ta có: un 2un 2 2un 2 2011 2011 2011, � n (vì un  � ) 2un 2.2011 Nên (un ) dãy số giảm bị chặn 2011 dãy (un ) có giới hạn hữu hạn giả sử lim un  a ,  a �2010 un  2011 a  2011 un  2011 �a Và ta có un1  Suy lim un1  lim 2.un 2.un 2a Do a  2011 Vậy lim un  2011  u 1 � � n Bài 2.2.5 Cho dãy số (un ) xác định � , n �1 u (1  u )  n 1 n � � a) CMR dãy (un ) dãy số tăng b) Tính lim un Lời giải: a) Nhận xét (un ) dãy bị chặn Hơn  un  � un  un1  Theo bất đẳng thức Cosi, ta có un1  (1  un ) �2 un 1 (1  un )   1, n �1  un1 un Do (un ) dãy số tăng b) Từ câu a) nhận xét suy dãy (un ) có giới hạn Giả sử lim un  a a �0 Do lim[un1 (1  un )]  lim un1.lim(1  un )  a(1  a) 15 1 Mặt khác từ giả thiết suy lim[un1 (1  un )] � � a (1  a ) � 4 1 � a  a  �0 � (a  ) �0 � a   2 Vậy lim un  u1  � � a , n �1 Tính lim un Bài 2.2.6 Cho dãy số (un ) xác định � u  ( u  ) n  n � u n � Lời giải: Nhận xét (un ) bị chặn a a Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có u2  (u1  ) � a u1 Giả sử uk � a , k �2 , ta chứng minh uk 1 � a Theo bất đẳng thức Cosi giả thiết quy nạp ta có: a a uk 1  (uk  ) � uk  a Do un � a , n �2 , nên (un ) bị chặn uk uk a un1 a a   u  � a� , n mà n un 2un 2un 2a un1 a a � �  un1 un , n , nên (un ) dãy giảm Do đó: un 2un 2a Mặt khác, ta có Vậy dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un   ,   a a Từ hệ thức truy hồi suy ra: lim un1  lim (un  ) �   (  ) �   a un  Vậy lim un  a * Bài tập tương tự: Bài Cho dãy số u1 1 un 1  un2  un   un2  un  un  Tìm giới hạn dãy số? HD: Ta có: un 1  2un un2  un   un2  un  0 Mặt khác: 1  1  u  u n  + u  un    un      un    2  2  n n 16 ≥ 1  3   2   u n    un     2  2   Do dãy số giảm bị chặn nên tồn giới hạn Suy limun = 2020 ) Tìm giới hạn dãy số ? Bài Cho dãy số u1= 2020 un1  (un  un un2  Bài Cho dãy số u1= 2020 un 1  Tìm giới hạn dãy số ? 2u n  2n Cho dãy số (un ) với un  Tìm giới hạn dãy số ? n! un  3un u  Bài Cho dãy số n1 Tìm giới hạn dãy số? 3un  (un  1)3 0 HD: Ta có: un 1   3un   2un3  2un  Do dãy số giảm bị chặn nên tồn Xét hiệu un 1  un  3un2  giới hạn Suy lim un  n  1 Bài Cho dãy số un 1    Tìm giới hạn dãy số ?  n 2 Bài Cho dãy số u1  b un 1 u n  (1  2a )u n  a Xác định a, b để dãy số có giới hạn tìm giới hạn dãy số ? n   21 2 2n  Bài Cho dãy u n 1  n 1      Tìm giới hạn dãy số ? 1 n  u1   Bài Cho dãy (un ) thỏa mãn điều kiện:  u (  u )  , n 1 n  n  (ĐS: lim un  ) u1  � � 2020 , Bài Cho dãy (un ) xác định � u  (2 u  ) n  n � u n � Tính lim un (ĐS: lim un  2020 ) Tính lim un 17 2.3.Phương pháp lượng giác hóa * Kiến thức sử dụng: - Biểu diễn số hạng tổng quát dãy số cơng thức lượng giác để tính giới hạn: công thức nhân đôi, nhân ba, đẳng thức lượng giác - Ý tưởng chính: Nhận dạng dùng công thức lượng giác phù hợp để biểu diễn số hạng dãy số Chú ý số hạng đầu giác trị lượng giác đặc biệt ? * Bài tập vận dụng un Bài 2.3.1 Cho dãy số u1  u n 1 2u n  Tìm giới hạn lim ? n Lời giải:  2 Ta có: u1   cos , u2    cos , 3 Bằng phương pháp qui nạp suy un 1 cos Vậy lim 2n  un 0 n u1  � � Bài 2.3.2 Cho dãy số �  un  Tìm giới hạn dãy số ? un1  � un � Lời giải:   Ta có: u1   tan , u2    tan ,  Bằng phương pháp qui nạp suy un  tan n1 Vậy lim un  un4 u Bài 2.3.3.Cho dãy số u1 = un 1  Tìm giới hạn dãy số n n un  8un  Lời giải: 8 1    an 1 1  8an2  8an4 2(2an2  1)  Ta có: un 1 un un  4n  a   cos Mặt khác: Ta có un 1 cos 3 Suy lim un 0 n Bài 2.3.4 Cho dãy số un  2   2    18 Tìm giới hạn dãy số un ? Lời giải: Chứng minh: un  tan *Bài tập tương tự:  Vậy lim un  2n1 Bài Cho dãy số u1  un 1    un Tìm giới hạn dãy số 2nun ? 2  un u Tìm giới hạn dãy số n ? n  3un Bài Cho dãy số u1  un 1  Bài Cho dãy số u1  1 un1  (un  un  n ) Tìm giới hạn dãy số ? 2 2.4 Giới hạn dãy tổng số hạng dãy cho trước * Kiến thức sử dụng: Các tốn tìm giới hạn tổng ta thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm limxn * Bài tập vận dụng Bài 2.4.1  xn  n1 xác định sau: x  3, x  x  3x  4, n  1, 2, � Chứng minh  xn  n 1 dãy đơn điệu tăng khơng bị chặn Tìm giới hạn � dãy số  yn  n 1 yn xác định cơng thức: Cho dãy số � yn  n 1 n n 1  L  , n  1, 2,K x1  x2  xn  Lời giải: Ta có xn 1  xn   xn   �0 suy dãy số  xn  n 1 dãy đơn điệu tăng � Chứng minh quy nạp xn �n  2,  n  1, 2,K (*) Thật (*) với n  Giả sử (*) với n  k �1 Thế xk 1  xk  xk  3  � k    k  1  �k  Vậy (*) với n  k  19 Theo nguyên lý quy nạp suy xn �n  với n dãy khơng bị chặn Theo định nghĩa dãy ta có: 1 1 1    �   xk 1   xk  1  xk   xk  xk  xk  xk  xk 1  Bằng cách cộng đẳng thức với k  1, 2, , n ta 1 yn   x1  xn 1  1 � �  Vì  theo nguyên lý giới hạn kẹp � nlim � � suy �� x xn 1  n � n 1  � lim yn  n �� Bài 2.4.2: Cho dãy ( xn ) (n = 1, 2, …) xác định sau: x1  xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  với n = 1, 2, … Đặt yn  � i 1 xi  n yn (n = 1, 2, ….) Tìm lim n �� Lời giải: Ta có x2  xn  với n = 1, 2, … xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)   x n  3xn   xn2  3xn     xn2  3xn  (1) Từ suy xn 1  = xn2  xn  = ( xn  1)( xn  2) xn 1    x n 1  xn    1  x n 1 xn  � 1   xn  xn  xn 1  n � 1 � 1 1     Do yn  � = �� � xi  xi 1  � x1  xn 1  xn 1  i 1 xi  i 1 � n k 1 k Từ (1) xk 1 = xk  xk   3xk �3.3  Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn  3n1 yn  Nên lim n �� (2) (vì (2) xn 1 > 3n) Ta chứng minh limxn = � với cách khác: Dễ thấy (xn) dãy tăng, giả sử limxn = a (a �1) Nên ta có a  a(a  1)(a  2)(a  3)  Suy a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = 20 Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a �1 Vậy limxn = � u1  � � Bài 2.4.3 Cho dãy số  un  xác định � un2 un1  un  , n �1 � 2019 � �u u u � Hãy tìm lim �    n � un1 � �u2 u3 Lời giải: 2019  un1  un  �1 un un2 �    2019 �  Ta có � un1 un1 un un1 un �un un1 � � �1 � u1  2019 �  � u2 �u1 u2 � �1 � u2  2019 �  � u3 �u2 u3 � … … �1 un �  2019 �  � un1 �un un1 � �1 � � u u1 u1 �    n  2019 �   2019 1 � � � u u2 un1 u u n 1 � �1 � un1 � �u u � u � � � lim �    n � 2019 �  lim � un1 � un1 � �u2 u2 � � u2  u1 �1 Theo đề � u1  1, u2   2019 Giả sử uk 1  uk �1, k �1 (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh uk   uk 1 (*) uk21 uk2 uk21  uk2  uk  � uk 1  uk   Theo đề bài, (*) � uk 1  2019 2019 2019 (theo giả thiết quy nạp) Vậy dãy số  un  tăng � Ta lại chứng minh  un  không bị chặn Giả sử  un  bị chặn �  lim un Đặt limun  x Mà un1 x lim un1  x un lim un x2  un  � lim un1  lim un  �x x 2019 2019 2019 2 � x  loại) suy giả sử  un  bị chặn sai Do lim un  � 21 �u �u2 Vậy lim �  u1 u �   n � 2019 u2 un 1 � Bài 2.4.4 Cho dãy ( xn ) (n = 1, 2, …) xác định bởi: � �x1  � � �x  xn 1  xn 1  xn 1 n � � (n  2,3, ) n y  Chứng minh dãy (yn) (n = 1, 2, …) với n � có giới hạn hữu i 1 xi hạn, tìm giới hạn Lời giải: Từ giả thiết ta có xn  n �1 Ta có xn  xn1 = xn21  xn 1  xn 1 > n �2 xn21  xn 1  xn 1  x n 1 = Do dãy ( xn ) tăng Giả sử lim xn = a a > a  4a  a � a = (vô lý) a Vậy lim xn = � Từ xn = xn21  xn 1  xn 1 xn2  ( xn  1) xn 1 � n �2 suy 1   xn xn 1 xn n �2 Do n �1 1 �1 � �1 � 1� 1 1 yn  �   �  � �  �  �  �     x1 �x1 x2 � �x2 x3 � xn i 1 xi �xn 1 xn � x1 x1 xn n �2 Suy yn < n �1 dãy (yn) tăng yn = yn-1 + x > yn-1 n Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn limyn = u1  � � Bài 2.4.5 Cho dãy số (un) xác định sau: �un1 2019   u , n  � , n n �u �n 22 �u12019 u22019 un2019 �    Tính lim � � u u u n 1 � � Lời giải: Ta có: un1 1 u 2019   un2019 � un1  un  un2020 � un1  un  un2020 �   n un un un 1 un 1 u12019 u22019 un2019 1      1 Suy ra: u2 u3 un1 u1 un1 un1 0 Chứng minh lim un   lim un 1 �u12019 u22019 un2019 �    Vậy lim � � u u u n 1 � � u1  � n � 2020 lim ? Bài 2.4.6 Cho dãy số: � un  3un  16 Tính � 2019 u  u  i 1 i �n1 u 2019  u  11 n n � Lời giải: Ta có: un2019    un    1 un1   2019 �   2019 un   (un  4) un1  un  un n 1 1   1 Suy ra: � 2019  u1  un1  un1  i 1 ui 0 Chứng minh lim un   lim un 1  n lim  Vậy � 2019 u  i 1 i n u1  1, u2  � , n �2 Tìm lim � Bài 2.4.7 Cho dãy số (un ) xác định � un1  4un  3un1 i 1 ui � Lời giải: Ta có: un1  un  3(un  un 1 ) Đặt  un  un1 , n �2 v1  � �  2.3n1 Do Suy � vn1  3vn � 23 u2  u1  2.3 u3  u2  2.32 un  un1  2.3n1 � un  u1  2.(3  32   3n1 ) � un  2.(3  32   3n1 )   3n1 n Do lim �  i 1 ui Bài 2.4.8 Cho dãy số (un ) xác định u1  un 1  un  4n  3, n �1 Tìm lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n ? Lời giải: Ta có u2  u1  4.1  u3  u2  4.2  un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế rút gọn ta un  u1      n  1   n  1  n  n  1   n  1  2n  n  , với n �1 Suy u n   n   2n  u 22 n   2 n   2 n  u22018 n   22018 n   22018 n  Và u n   n   4n  u 42 n   n   n  u42018 n   42018 n   42018 n  Do lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n 24 42018   2.42      2018    n n n n n n  lim 2018 3    2.22      2018    n n n n n n 2       2018    22   22018    42019 2019 2019  1    2019 1 22019  1 *Bài tập tương tự: Bài Cho dãy số (un ) với un1  un2  un  1, n ��* u1  1 Tính lim(    )? u1 u2 un * Bài Cho dãy số (un ) với un1  (un  un  9), n �� u1  n Tính lim � i 1 ui   u1 3  Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi:   un 1  un  un  2(n 1) n Tính lim  n   i 1 ? ui u1  � � * Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un  2019un , n �� un1  � 2020 � n ui ? Tính nlim    i 1 ui 1  u1  a  � , n �1 Bài Cho dãy (un ) xác định � u  u n  n � n uk Tính nlim � �� k 1 uk 1   u1 a   u n2  u n  Bài Cho dãy (un ) xác định  , n 1  u n 1  un  25 n lim Tính n��� k 1 uk   u1 2009 Bài Cho dãy (un ) xác định   u n 1 u n ( u n  1) , n 1 n lim Tính n��� uk  k 1 Bài Cho dãy số (un ) với u1  a �1, un1  un (1  un 2018 ), n ��* x12018 x2 2018 xn 2018 lim(    ) x2 x3 xn1 Tính x2  x3  xn1  x1 x2 xn  u1 2  Bài Cho dãy (un ) xác định   u n 1  (u n  1), n 1 n Tính nlim � �� k 1 uk  n Bài 10 Cho dãy số (un ) với u1  1, un1  u1.u2 un  1, n �� Tính lim � ? i 1 ui * Bài 11 Cho dãy số (un ) với u1  3, un1  un  2, n �� 1 1    )? Tính lim(  u1 u1.u2 u1.u2 u3 u1.u2 un u1  2020 � , n �1 Bài 12 Cho dãy số (un ) xác định � un1  un  4037un  2019 � a) Chứng minh: un ≥ n + 2019 1    b) Đặt xn  Tìm lim xn u1  2018 u2  2018 un  2018 * 26 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng bồi dưỡng cho học sinh ôn thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc khối 11 Ngồi sáng kiến cịn áp dụng để giảng dạy cho khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho học sinh có lực học giỏi 10 Đánh giá lợi ích thu ( kết thực hiện) Trên số tập tính dãy số nâng cao nhằm củng cố, hướng dẫn học sinh khá, giỏi đặc biệt em học sinh ôn HSG khối 11 Trong q trình giảng dạy tơi hướng dẫn học sinh lớp em đội tuyển dạng tập Qua kiểm tra đánh giá lớp 11A1 đạt kết tỉ lệ: Giỏi 25%, Khá: 44%, Trung bình: 31% Qua em học sinh đội tuyển dự thi HSG khối 11 Tỉnh có 70% em làm tốt câu Một số kiến nghị: + Trên số tập dạng tập nâng cao tìm giới hạn dãy số Các dạng tập chưa dùng ứng dụng đạo hàm tính giới hạn dãy số + Mặc dù tơi có cố gắng song cịn hạn chế trình độ chun mơn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu cịn nhiều thiếu sót Rất mong thầy, giáo đóng góp ý kiến cho tơi để tơi hồn thiện tài liệu tốt 27 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/cá Địa nhân Đào Xuân Tiến Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Yên Lạc Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT Lớp 11A1 Trường THPT Yên Lạc Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT Đội tuyển thi HSGTrường THPT Yên Lạc Toán 11 ,ngày tháng năm Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT ,ngày tháng năm ,ngày tháng năm Tác giả sáng kiến Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Đào Xuân Tiến 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa đại số giải tích 11 (Chương trình nâng cao) -Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Đề thi HSG tỉnh, thi HSG Quốc Gia -Nguồn internet 29 ... kiến ? ?Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số? ?? nhằm giúp học sinh có hứng thú giải dễ dàng toán liên quan đến giới hạn dãy số Tên sáng kiến: “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số? ?? Tác...  giới hạn Suy lim un  n  1 Bài Cho dãy số un 1    Tìm giới hạn dãy số ?  n 2 Bài Cho dãy số u1  b un 1 u n  (1  2a )u n  a Xác định a, b để dãy số có giới hạn tìm giới hạn dãy. .. hàm số u xác định tập số nguyên dương N * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N* � � n � u (n) Trong un  u (n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số 1.2.2 Dãy