Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm x y , để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất... Thí sinh không được sử dụng tài liệu.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Equation Chapter Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HỐ Đề thức Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011
Mơn thi: Tốn Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số y x 3 (m1)x2 (4 m x2) 1 2m (m tham số thực), có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m1
2) Tìm giá trị m để đồ thị (Cm) có hai tiếp tuyến vng góc với
Câu II (6,0 điểm)
1) Giải phương trình: cos 2xcos3x sinx cos 4xsin x
2) Giải bất phương trình: 6(x2 3x1) x4 x2 1 0 (x )
3) Tìm số thực a để phương trình:9x 9 a3 cos(x x), có nghiệm
thực Câu III (2,0 điểm).Tính tích phân:
3
sin
sin cos
x
I dx
x x
Câu IV (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x, AN y Tìm x y, để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng :x y 5 hai elíp
2
( ) :
25 16
x y
E
,
2
2 2
( ) :E x y (a b 0)
a b có tiêu điểm Biết ( )E2 qua điểm M thuộc đường thẳng . Tìm toạ độ điểm M cho elíp ( )E2 có độ dài trục lớn nhỏ
3) Trong không gian Oxyz,cho điểm M(0;2;0) hai đường thẳng
1
1
: 2 ( ); : ( )
1 , ,
x t x s
y t t y s s
z t z s
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với trục O x, cho (P) cắt hai đường thẳng 1,2 A, B thoả mãn AB1
Câu V (2,0 điểm) Cho số thực a b c, , thoả mãn:
2 2 6
3
a b c
ab bc ca
(2)
HẾT . Thí sinh khơng sử dụng tài liệu
Cán coi thi khơng giải thích thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011 MƠN THI: TỐN
LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - - 2011
Câu Ý Hướng dẫn chấm Điê
m Câu I
4,0 đ 1)
2,0đ Với m1,ta hàm số
3 3 1. y x x Tập xác định:
Giới hạn vô cực: xlim y, limx y Sự biến thiên: y' 3 x2 0 x1
0,5
' ( ; 1) (1; )
y x Hàm số đồng biến khoảng
( 1) (1;).
' ( 1;1)
y x Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;1). Điểm cực đại đồ thị ( 1;3), điểm cực tiểu đồ thị (1; 1).
0,5
Bảng biến thiên:
0,5
Đồ thị qua điểm (-2; -1) (2; 3)
Điểm uốn I(0; 1) tâm đối xứng
0,5
2)
2,0đ Ta có
2
' 2( 1) ,
y x m x m tam thức bậc hai x. y' có biệt số ' 2m22m13
Nếu ' 0 y' 0, x, suy u cầu tốn khơng thoả mãn.
0,5
Nếu
1 3 3
' ;
2
m
, y' 0 có hai nghiện x x x1, ( 1x2) Dấu y':
0,5 -2 -1
-1
1 1
3
2 x y
O x
y' y
1
1
1 3
0 0
x - +
'
(3)Chọn x0( ; )x x1 y x'( ) 0.0 Ycbt thoả mãn tồn x
cho y x y x'( ) '( )0 1 pt:
2
0
1
3 2( 1)
'( )
x m x m
y x
(1) có
nghiệm Pt (1) có:
2
0
3 3 3
' 2 13 0, ;
'( ) 2
m m m
y x
0,7
Vậy giá trị cần tìm m
1 3 3 ;
2
m
. 0,25
Câu II
6,0 đ 2,0đ1)
PT ⇔(cos 2x −cos 4x)−sinx+(cos 3x −2sin 3x cos 3x)=0
⇔(2 sinxsin 3x −sinx)−(2 sin 3xcos 3x −cos 3x)=0
0,5
⇔(2 sin3x −1)(sinx −cos 3x)=0 0,5
⇔
sin 3x=1
2
¿
cos 3x=cos(π
2− x)
¿
x= π
18+k
2π
3
¿
x=5π
18 +k
2π
3
¿
x=π
8+k
π
2
¿
x=−π
4+kπ
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
(k )
0,5
0,5
2)
2,0đ Tập xác định:
..
BPT
2 2
6 2(x x 1) (x x 1) 6(x x 1)(x x 1)
0,5
2
2
1 6( 1)
12
1
x x x x
x x x x
(vì x2 x 0,x)
0,5
Đặt:
2
2
6( 1)
1
x x
t
x x
(t > 0), ta được2t2 t 0
3
2
t
0,5
BPT cho tương đương với
2
2
6( 1) 11 21 11 21
5 11 ;
1 10 10
x x
x x x
x x
0,5
3) 2,0đ
2
9x a3 cos(x x) 3x x a.cos( x) (2)
Nhận xét: Nếu x0 nghiệm (2) 2 x0 nghiệm (2),
0,5
(4)Với x0 1, từ (2) suy a6
Với a6, phương trình (2) trở thành 3x32x 6cos(x) (3)
Ta có VT(3) 6, VP(3) 6. Vậy
2
3
(3)
6cos( )
x x
x x
Vậy a6
1,0
Câu III
2,0đ Ta có:
1
sin (sin cos ) (cos sin )
4
x x x x x
1
(sin cos ) (sin cos )'
4 x x x x
0,5
Suy
2
2
0
1 (sin cos )'
4 (sin cos ) (sin cos )
x x
I dx dx
x x x x
2
2
0 0
1
16 8(sin cos )
cos
6
dx
x x
x
0,2
0,7
0
1
tan
16 x 12
3 3
12 12
0,5
Câu IV 6,0đ
1)
2,0đ Kẻ DH Mà ABCD tứ diện đều, nên suy H tâm tam giác ABC.MN , (DMN) (ABC) suy DH (ABC) 0,5 Ta có: SAMN = 12 AM.AN.sin600 = √3
4 xy ; SAMN = SAMH + SANH
= 12 AM.AH.sin300+
2 AN.AH.sin300 =
√3
3 (x+y)
Suy √43xy = 14.√3
3 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 x,y )
0,5
Diện tích tồn phần tứ diện DAMN: S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN
= 12 AD.AM.sin600+
2 AD.AN.sin600
+ 12 DH.MN + 12 AM.AN.sin600
= √3 xy + √66√3 xy(3 xy−1)
Từ
2
3
3
xy x y xy xy xy
Suy
3(4 2)
min ,
9
S
2
x y
0,5
0,5 2) Hai elíp có tiêu điểm F1( 3;0), F2(3;0) 0,5
H
A
B C
D
(5)2,0đ Điểm M( )E2 MF1MF2 2a Vậy ( )E2 có độ dài trục lớn nhỏ MF1MF2 nhỏ
0,5
Gọi N x y( ; ) điểm đối xứng với F1 qua , suy N( 5;2). Ta có: MF1MF2 NM MF NF2 (không đổi)
Dấu xảy M NF2
0,5
Toạ độ điểm
17
4 5 17 8
: ;
5 5
5
x
x y
M M
x y
y
0,5
3)
2,0đ Giả sử xác định (P) thỏa mãn ycbt.A 1 A(1 ;2 ; 1 t t t); B 2 B(3 ; ; ). s s s
Suy AB2 2( s t ); 2( s t ); ( s t )
0,5
2
1
9( ) 22( ) 14 13
s t
AB s t s t
s t
0,5
Với s t 1 AB(0; 1;0)
(P) có vtpt n1 AB i; (0;0;1)
, suy ( ) :P z 0 (loại (P) chứa trục O x)
0,5
Với
13
; ;
9 9
s t AB
, suy ( )P có vtpt
4
; (0; ; )
9
n AB i
, suy ( ) : 4P y z 0 (thỏa mãn toán)
0,5
Câu V
2,0đ Từ giả thiết suy : a b c
0,2
5 Ta có: a b c, , ba nghiệm thực phương trình (x a x b x c )( )( ) 0
3 3 0 3 1 1
x x abc x x abc
(3) 0,5
Từ đồ thị hàm số y x 3x1, suy pt (3) có ba nghiệm thực a b c, , 1 abc 1 2abc2
abc2, ba số a, b, c có hai số số -2. abc2, ba số a, b, c có hai số -1 số 2.
0,5
6 6 3( )2
P a b c P abc
(a2 b2 c a2)( b4c4 a b2 2 b c2 2 c a2 2) (a2b2 c2 3) 3(a2b2c a b2)( 2 b c2 2c a2 2) 216 18.9 54
0,5
2
3( ) 54 max 66,
P abc P có hai số -1 số 2, hai số số -2
0,2
(6)