Khi đó ta tìm được số hạng tổng quát.[r]
(1)TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA (Un) KHI BIẾT HỆ THỨC TRUY HỒI Dãy truy hồi tuyến tính hệ số số:
I) Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1:
Un + = aUn + b
(a, b hai số) 1) a = 1.
Khi (Un) cấp số cộng Lúc ta tìm số hạng tổng qt (Un) sau:
Un = U1 + (n-1)b
Đề cho biết U1 b, thay vào ta (Un)
2) a ≠ Lúc (Un):
Un = Aan + B
Việc xác lập (Un) việc tìm A, B Ta tìm U2 từ U1 cho trước, thay
vào biểu thức trên, ta hpt bậc ẩn, giải suy A, B II) Dãy truy hồi tuyền tính cấp 2:
Un+2 = aUn+1 + bUn
(a, b hai số)
Trước xác định số hạng tổng quát dãy số ta giải phương trình sau: K2 – aK – b = 0
(phương trình đặc trưng dãy_PTĐT) 1) Nếu pt có nghiệm phân biệt K 1, K2:
(Un) có dạng:
Un = A.an + B.bn
Sau thay U1, U2 cho đầu đề, ta hpt bậc ẩn, giải
rồi suy A, B Khi ta tìm số hạng tổng qt 2) Nếu pt có nghiệm kép K = K2 = K0:
(Un) có dạng:
Un = A.an + B.n.bn-1
Tương tự trường hợp 1, giải suy A, B, ta dược dãy số 3) Nếu pt có nghiệm ảo:
K1, = r( cosa ± i.sina )
Và trường hợp (Un):
Un = rn( A.cos na + B.sin na )
Giống trường hợp trên, ta tìm A, B Lưu ý: Hai dạng đưa dãy truy hồi tuyến tính cấp 2:
1) D ạng 1:
(Un)a = (Un-1)b.(Un-2)c
(a, b, c số) Cách giải:
Đổi dãy số (Un) thành (Vn):
Vn = lnUn
Ta dãy truy hồi tuyến tính có dạng: Vn = b/a.Vn-1 + c/a.Vn-2
Sau dùng phương pháp để giải tìm (Vn) ta suy
ngược (Un) theo công thức sau:
(2)1) D ạng 2:
Un = a.Un-1.Un-2 / ( b.Un-1 + c Un-2 )
Trong đó: a, b, c ba số Cách giải:
Đổi dãy số (Un) thành (Vn):
Vn = 1/Un
ta dãy truy hồi tuyến tính có dạng: Vn = c/a.Vn-1 + b/a.Vn-2
Sau dùng phương pháp để giải tìm (Vn) ta suy
ngược (Un) theo công thức sau: