- Ông chủ có các quả bóng với 7 loại màu (bóng cùng màu thì giống nhau) và ông tặng cho các con lạc đà sao cho 2 con đứng cạnh nhau thì phải khác màu bóng và tất cả quả bóng đều phải đ[r]
(1)15
CHUỖI BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP (có tập gợi ý)
Bài
Cho n số nguyên dương p q r, , số nguyên tố phân biệt Tìm số hàm số f n( )
thỏa mãn: f : 1, 2,3, , 2 np q r, , f(1) (2) (3) (2 )f f f n số phương Gợi ý. Tích cho số phương số mũ p q r, , chẵn
Hơn nữa, tích đóng góp tất giá trị hàm f từ 1, 2,3, , 2n nên bị
ảnh hưởng số hạng cuối
Ta gọi a b c dn, n, n, n số hàm f : 1, 2, 3, , np q r, , cho tích f(1) (2) ( )f f n , số mũ p q r, , là:
chẵn
chẵn, lẻ
chẵn, lẻ
lẻ
Tìm quan hệ a b c dn, n, n, n, ta suy công thức truy hồi an là: an4 10an29an
Bài
1) Tìm số hoán vị ( ,a a1 2, ,a2015) 1, 2,3, , 2015 cho ai1ai 1 với i1, 2, , 2014
2) Bổ sung điều kiện: tồn số i mà ai i Gợi ý
1) Xây dựng công thức truy hồi đếm số hốn vị sn Xét vị trí i mà ai n dễ dàng chứng
minh ai1 n 1,ai2 n 2, dẫn đến công thức truy hồi sn 1 s1s2 sn1 Giải ta s2015 22014
2) Trước hết, chứng minh số i thỏa mãn ai i i1008 Từ suy số hốn vị 22012
Nhận xét Rút kinh nghiệm đếm truy hồi
(2)16
Cho bảng ô vuông 4 4 , ô vuông tô 2015 màu Tính số cách tơ màu thỏa mãn: khơng có bảng 3 3 có tất vng màu
Gợi ý Sử dụng nguyên lý bù trừ, gọi A B C D, , , tập hợp cách tơ mà bảng góc trên-trái, trên-phải, dưới-trái, dưới-phải tô màu
Ta cần đếm 201516 ABCD
Bài
Có 25 lạc đà xếp thành hàng ngang đứng đầu tên Alice Ông bà chủ muốn tặng quà cho chúng theo cách sau:
- Ơng chủ có bóng với loại màu (bóng màu giống nhau) ơng tặng cho các lạc đà cho đứng cạnh phải khác màu bóng tất bóng phải sử dụng Gọi A số cách tặng ông chủ
- Bà chủ có vịng đeo cổ với loại màu (vịng màu giống nhau) bà tặng riêng chiếc vòng cổ màu đỏ DUY NHẤT cho Alice, vòng lại tặng cho lạc đà cho tất màu phải sử dụng Gọi B số cách tặng bà chủ
Giả sử số bóng số vịng đeo cổ loại màu có đầy đủ để tặng Tính tỉ số A
B
Gợi ý Vẫn sử dụng bù trừ, ta có A7 B
Nhận xét Rút kinh nghiệm đếm nguyên lý bù trừ
Bài 5.Trong mặt phẳng, cho n điểm người ta vẽ m đường thẳng phân biệt qua điểm này cho:
(1) Mỗi đường thẳng qua điểm
(2) Hai điểm tùy ý tồn đường thẳng qua Tính giá trị có m n,
Gợi ý
Ta đếm số ( , , )A B C mà điểm A B, thuộc đường thẳng C
Sử dụng đếm cách, có ( 1)
12
(3)17
Cố gắng tìm thêm quan hệ nữa: 4( 4)
3
n m
Từ dễ dàng tìm cặp ( , ).m n
Bài 6.Trong trường học, có n (với n2) học sinh tham gia vào k CLB Biết rằng: - Mỗi CLB có học sinh
- Nếu CLB có chung thành viên có số lượng thành viên khác Chứng minh k(n1)2
Gợi ý
Ta đếm số lượng Si gồm ( , , )A B C mà học sinh A B, tham gia vào CLB C có số lượng
thành viên i Gọi ki số lượng CLB có số thành viên i Đếm theo học sinh, có Si Cn21
Đếm theo CLB, có Si k Ci i2 Suy
2 2
2 n i i n i
i
C k C C k
C
Từ dễ dàng chứng minh kk2k3 kn (n1)2
Nhận xét Rút kinh nghiệm đếm hai cách
Bài 7.Trong kỳ thi có 200 thí sinh, phải giải thi Mỗi tốn có 120 thí sinh giải Chứng minh có thí sinh mà toán giải trong thí sinh
Gợi ý
Cách Dùng đếm cách Cách Tham lam
Bài
1) Trong kỳ thi có 100 thí sinh 24 giám khảo, thí sinh thích 10 giám khảo số các giám khảo Chứng minh chọn giám khảo mà thí sinh thí sinh thích giám khảo
(4)18 Gợi ý
1) Có thể đếm cách 2) Chỉ dùng tham lam
Nhận xét Rút kinh nghiệm thuật toán tham lam
Bài
Một tập hợp có n1 phần tử gọi “đẹp” bỏ phần tử tùy ý chia các phần tử lại thành phần có tổng
a) Chứng minh n lẻ b) Tìm GTNN n.
Gợi ý
Trước hết chứng minh phần tử tập hợp có tính chẵn lẻ Nếu chúng chẵn chia nhiều lần cho để tập hợp có phần tử lẻ Từ dễ dàng suy
n lẻ
Để tìm GTNN, ta n3,n5 khơng thỏa Với n7, ta có S 1,3, 5, 7, 9,11,13
Bài 10
Tìm tất số nguyên dương k cho tồn số nguyên dương đôi khác mà tổng chúng chia hết cho tổng k số tùy ý số
Gợi ý Dễ thấy k 1,k6 thỏa mãn Ta chứng minh k2 không thỏa cách chứng
minh đại diện cho trường hợp k2
Xét số thỏa mãn a1a2a3a4 a5 a6 phải có a5a6|a1a2a3a4 Kết
của phép chia Tương tự với tổng a4a6, dễ dàng mâu thuẫn