Cái khó của bài toán này có lẽ là việc khai thác giả thiết song song và vuông góc để biến đổi góc, từ đó dẫn đến hai tam giác đồng dạng, bởi vì việc biến đổi góc rất dễ bị bỏ qua trong q[r]
(1)HỌC SINH GIỎI TOÁN 12, TP HÀ NỘI, 2017 Võ Quốc Bá Cẩn – Cao Văn Dũng – Nguyễn Lê Phước – Nguyễn Tiến Lâm
1 Đề thi
Bài (4.0 điểm) Chox; y vàz số hữu tỉ cho sốxCy2Cz2; yCz2Cx2và
zCx2Cy2đều số nguyên Chứng minh rằng2xlà số nguyên
Bài (4.0 điểm) Cho hàm sốf WR!Rthỏa mãn điều kiện f tanx/D
2sin2x cos2x; 8x
2;
2
:
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A N C hai điểm phân biệt AvàP :Gọi E giao điểm đường thẳng qua B vng góc vớiM P đường thẳng AP ; F giao điểm đường thẳng qua B song song vớiM P đường thẳngP N : Chứng minh đường thẳngC P qua trung điểm EF :
Bài (4.0 điểm) Tìm tất đa thứcP x / với hệ số thực cho
P x /2
D P x2 / C ; 8x R:
Bài (4.0 điểm) Với n f1 ; ; 3g; ta gọi số tự nhiênk làsố kiểun nếu:
k D 0I
hoặck số hạng dãy ; nC ; nC /2; n C 2 /3; : : :I
hoặck tổng số số hạng dãy
Chứng minh số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số kiểu1 với số kiểu2 số kiểu3 :
2 Lời giải bình luận tốn
Bài 1(4.0điểm) Chox ; y vàz số hữu tỉ cho sốxCy2Cz2; yCz2Cx2
và z C x2 C y2 số nguyên Chứng minh x số nguyên
1
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcf sin2x/f cos2x/ x R/:
(2)ATEX
Lời giải Đặt x D da; y D b
d vàz D c
d với a ; b ; c ; d Z; d > 0và a ; b c ; d / D :
Ta cóx C y2 C z2 D d aCdb22Cc2 nên từ giả thiết, suy rad a C b
2
Cc2 chia hết chod2:
Chứng minh tương tự, ta cód b Cc2Ca2và d c Ca2Cb2 chia hết chod2:Nói riêng, ta có b2 C c2; c2 C a2và a2 C b2 chia hết chod : Do
2a2 D.a2Cb2/C.a2Cc2/ b2Cc2/
chia hết chod:Chứng minh tương tự, ta có2b2; 2c2chia hết chod:
Nếud có ước ngun tố lẻ làpthì do2a2; 2b2; 2c2chia hết chod nêna; b; cchia hết chop;
suy ra.a; b; c; d /p > 1(vô lý) Suy rad phải lũy thừa của2: (1) Nếud chia hết cho4thì do2a2; 2b2; 2c2chia hết chod nên2a2; 2b2; 2c2chia hết cho4:Suy raa; b; c chẵn, đó.a; b; c; d /2 > 1(vô lý) (2) Từ (1) (2), ta suy rad D1hoặcd D2:
Nếud D1thìxDa2 Znên2x 2Z: Nếud D2thìxD a2 nên2x Da2Z:
Tóm lại, trường hợp, ta có2x 2Z:(đpcm) Bình luận Một số toán tương tự liên quan đến số hữu tỉ:
1 (VMO, 2007)Cho cỏc s nguyờnx; y Ô 1tha xy4C11 C yx4C11 2 Z:Chứng minh rằngx4y44 1chia hết choxC1:
2 Chứng minh không tồn số hữu tỉx; y; zthỏa mãn
x2Cy2Cz2C3.xCyCz/C5D0:
3 (HOMC, 2016)Cho số hữu tỉa; b; c thỏa mãnaCbCc Da2Cb2Cc2 2
Z:Chứng
minh tồn hai số nguyênm; nnguyên tố choabc D mn32: Bài (4.0 điểm) Cho hàm sốf WR!Rthỏa mãn điều kiện
f tanx/ D
2sin2x cos2x; 8x
2; :
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcf sin2x/f cos2x/ x R/:
Lời giải Đặtt Dtanx ta có
f t / D
2sin2x cos2xD t 1Ct2
1 t2 1Ct2 D
t2Ct t2C1 :
Do tanxcó thể nhận giá trị tậpRkhix2 2;
nên từ trên, ta suy
f x/D x
2
Cx
(3)GọiP biểu thức cho ĐặtaDsin2x; b Dcos2x ta cóa; b 0; aCb D1và
P Df a/f b/ D a
2Ca 1/.b2Cb 1/
.a2C1/.b2C1/
D a
2b2
Cab.aCb/C3ab aCb/2 aCb/C1 a2b2C.aCb/2 2abC1
D u
2C4u 1
u2 2uC2;
trong đóuDabvà0u aC2b
2
D 14:Khảo sát hàm số
g.u/D u
2
C4u u2 2uC2
trên đoạn0; 14;ta
g.u/g.0/D
và
g.u/g
1
D
25:
Từ đây, ta đến kết luận:
minP D 12;đạt khiu D0,sin2x D0,x D k
2 k Z/:
maxP D 251;đạt khiaDb ,cos2xD0,x D 4 C k2 k 2Z/:
Bình luận Có lẽ, tốn “sự tương tự hóa” từ hai thi học sinh giỏi Quốc gia sau:
1 (VMO, 2003-B)Cho hàm sốf WR!Rthỏa mãn điều kiện f cotx/Dsin2xCcos2x
với mọix thuộc khoảng.0; /:Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số
g.x/Df sin2x/f cos2x/trênR:
2 (VMO, 2003-A)Cho hàm sốf WR!Rthỏa mãn điều kiện f cotx/Dsin2xCcos2x
với mọix thuộc khoảng.0; /:Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số
g.x/Df x/f x/trên đoạnŒ 1; 1:
Bài (4.0 điểm) Cho tam giác A B C vuông A với A B < A C : Gọi M trung điểm cạnhA B ; N điểm cạnhB C cho BA D B N : Đường trịn đường kính A B cắt đường trịn ngoại tiếp tam giácA N C hai điểm phân biệt Avà P :Gọi
(4)Lời giải GọiK trung điểm A N : DoBA D B N nên∠BK A D 0ı;từ suy tứ giácA BP K nội tiếp DoBE ? M P nên
∠P BE D 0ı ∠BP M D 0ı ∠P B M D ∠P A B :
Suy
P B2 D P A P E :
B C
A
M
N P E
F K
I
DoBF kMP nên
∠PBF D∠BPM D∠ABP D90ı ∠BAP D∠PAC D∠PNB;
từ suy
PB2DPN PF:
Kết hợp hai kết trên, ta đượcPEPADPN PF nên4PAN v4PFE (c-g-c) (1) Mặt khác, ta có
∠NP C D∠NAC D90ı ∠KAB D∠KBAD∠KPA: 2/
Từ (1) (2) với ýK trung điểmAN;ta suy raP C qua trung điểmEF:(đpcm)
Bình luận Các tốn chia đơi đoạn thẳng thường đẹp, ý tưởng để giải toán dựa vào đồng dạng trung điểm tương ứng hai tam giác Cái khó tốn có lẽ việc khai thác giả thiết song song vng góc để biến đổi góc, từ dẫn đến hai tam giác đồng dạng, việc biến đổi góc dễ bị bỏ qua trình suy nghĩ
Bài (4.0 điểm) Tìm tất đa thứcP x/với hệ số thực cho
P x/2
(5)L
ATEX Lời giải ĐặtaD 1C
p
13
2 ta cóaDa 3:
Thayx Davào phương trình cho, ta
P a/2
D2P a2 3/C1D2P a/C1;
suy raP a/Db vớib nghiệm phương trìnhb2 2b 1D0:
NếuP x/ 6b thìP x/cú dngP x/ D.x a/nQ.x/Cb vin ZCvQ.a/Ô 0:Thay
vào phương trình cho khai triển, ta
.x a/2n Q.x/2C2b.x a/nQ.x/Cb2 D2.x2 a/nQ.x2 3/C2bC1:
Dob2 D2bC1và3CaDa2nên phương trình viết dạng
.x a/2n Q.x/2C2b.x a/nQ.x/D2.x2 a2/nQ.x2 3/;
suy
.x a/n Q.x/2C2bQ.x/D2.xCa/nQ.x2 3/; 8x 2R:
ThayxDavào phng trỡnh trờn, ta c
2bQ.a/D2.2a/nQ.a2 3/D2.2a/nQ.a/:
DoQ.a/Ô0; b D1˙p2nên ta có
1˙p2D1Cp13
n
:
Điều xảy với mọinnguyên dương Mâu thuẫn nhận chứng tỏP x/b:
Do đó, có hai đa thức thỏa mãn yêu cầu đề làP x/ 1Cp2vàP x/1 p2:
Bình luận Có lẽ, tốn “sự tương tự hóa” từ tốn kinh điển sau:Tìm tất đa thứcP x/với hệ số thực cho
P x2 2/D P x/2
2; 8x2R:
Bài (4.0 điểm) Vớin2 f1; 2; 3g;ta gọi số tự nhiênklàsố kiểunnếu:
kD0I
hoặcklà số hạng dãy1; nC2; nC2/2; nC2/3; : : :I hoặcklà tổng số số hạng dãy
Chứng minh số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số kiểu1với số kiểu2và số kiểu3:
Lời giải Xét a0 D 1; a1 D 1; a2 D 3; a3 D 4; a4 D 5; a5 D 32; a6 D 42; a7 D 52;
: : : ; a3kC2 D3kC1; a3kC3 D4kC1; a3kC4 D5kC1; : : :Đặt:
Sk Da0Ca1C Cak; k 2ZC:
Ta chứng minh quy nạp theok;mọi số nguyên dươngnSk viết thành tổng số
(6)VớikD1thìS1D1:Suy ranD1Da1:
VớikD2thìS2D5:Suy ran5:Kiểm tra trực tiếp
1Da1; 2Da0Ca1; 3Da2; 4Da3; 5Da4:
Giả sử khẳng định đếnk;tức với mọinSk thìnđều viết thành tổng
một số số hạng có số khác dãyak:XétnSkC1;có hai khả năng:
ı Nếun Sk theo giả thiết quy nạp,nviết thành tổng số số hạng có số
khác dãyak:
ı NếuSk < nSkC1 WXétn0 Dn akC1 SkC1 akC1 DSk:Dễ thấyn0> 0nên
n0là số nguyên dương không vượt quáSk:Suy ran0viết thành tổng số số hạng
có số khác dãyak:Suy ranDn0CakC1cũng viết thành tổng
số số hạng có số khác dãyak:
Theo nguyên lý quy nạp, khẳng định với mọin:
Từ khẳng định trên, ta có điều phải chứng minh
Bình luận Bài tốn hệ trực tiếp kết sau:Nếu dãy nguyên dươnga0 D1; a1; a2; : : :thỏa mãnana0Ca1C Can 1với mọin2ZCthì số nguyên dương đều