Đề toán không chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2010-2011

[r]

(1)

Võ Tiến Trình

Đề Tốn khơng chun tuyển sinh trường Phổ Thơng Năng

khiếu – Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Năm 2010 – 2011

Bài (2,5 điểm)

a) Tìm m đểphương trình x2 2xm 3 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x12 x22 2



x x



x x

b) Giải phương trình



x





x



x

Bài (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2

x y xy xy

xy x y

   



   

b) Rút gọn biểu thức :





1

a a a a a

A a

a

a a

    

    



 

 

với a1

Bài (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC vng A, có chu vi 30 cm diện tích

2

30cm Tính độ dài cạnh tam giác Bài (1 điểm)

Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, chữ số hàng đơn vị y(nghĩa x0 n10xy) Gọi M n

x y



 a) Tìm n để M 2

b) Tìm n để M nhỏ Bài (3 điểm)

(2)

Võ Tiến Trình a) Chứng minh tứ giác AOED nội tiếp đường tròn

b) Cho DG cắt AB F Tính diện tích tứ giác AFOE

c) Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với BD, CD I, K Gọi H giao điểm IK AC Tính góc IOJ độdài đoạn HE

Hướng dẫn giải

Bài

a)Phương trình x2 2xm 3 ' m

   Phương trình có hai nghiệm phân biệt m4 Theo định lí viet ta có: x1 x2  2; x x1 2 m3

Ta có: x12 x22 2



x x



x x



x





x x



x x

2

7 21 49 7

m

m m

m

  

    

   So với điều kiện nhận

2

m

b)



x





x



x

Điều kiện: 9

x x

   

Phươn trình  94x x3  2x5 94x





9 4x x 2x

      

9

3

x

x x

 

  

(3)





3 2

x x

x x x

                             So với điều kiện nhận 9;

4

x x 

Vậy phương trình có hai nghiệm 9;

x x 

Bài

a)

 

2

1

x y xy xy

xy x y

          

Từ (2) ta có :







1

x

xy x y x y

y              

Với x1 thay vào (1) ta có: 2 0 y y y y         

Với y  1 thay vào (1) ta có: 0 x x x x        

Vậy hệ có nghiệm



x y





 



b) :





1

a a a a a

A a a a a               

với a1

Ta có:











1 1 2 1

:

1 1 1

a a a a a a a a a

a

a a a a

a

      

    

   

(4)











2

1 1 1

a a

a

a a

 

 



 

Do 1 2





1 1

a a

a a a a a

A a

a a a a



   

    

   

Bài Gọi hai cạnh góc vng có độ dài x y,

Chu vi tam giác : x y x2  y2 30

Diện tích tam giác : 30 60 2xy  xy

Ta có: x y x2  y2 30 x y



x

y



xy

Đặt t x y ta có phương trình : t t2 120 30 t2 120 30t





2

30

17 120 30

t

t t

  



  

  

 

Ta có: xy 17,xy60 nên x y, nghiệm phương trình

2

17 60

12

X

X X

X       

 

Vậy hai canh góc vng có độ dài 12cm cm,5 , cạnh huyền có độ dài 13 cm Bài

a) M 10x y 8x y

x y



    



(5)

b) 10

1

x y

M

y

x y

x



  

 

M nhỏ y

x

 lớn

y x

   

 

Vậy M nhỏ 19

10 n19 Bài

a) Chú ý tam giác ADO b) Đáp số : 3

4

AFOE

S  a (đvdt)

c) Nhận xét BOJ  BCJ IOJ BCJ 450

Gọi Q điểm tiếp xúc BC với (J) Vì tam giác BCO nên ta có CQ = OI = CK (1)

Từ O vẽ đường thẳng song song với CD cắt IK P

Ta có OIP EKI (hai góc tia tiếp tuyến dây cung KI (J)) Mà EKI OPI (đồng vị)

(6)

Võ Tiến Trình Từ (1) (2) suy OPCK OP // CK

 OPCK hình bình hành

H

 trung điểm OC

2

OH OC

 

Chứng minh tam giác HEO vng O (vì tam giác EAC cân E có EO trung tuyến nên đường cao)

Áp dụng đinh lí pythagore tam giác vng HEO ta có