Gợi ý giải đề toán chuyên tuyển sinh vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2018 – 2019

Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều n[r]

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 ĐỂ TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH VÀO 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

NĂM 2018 – 2019

Bài (1,5 điểm) Cho phương trình 0

x   x m (1) mx2  x (2) với m tham số

a) Tìm m để phương trình (1) (2) có nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử điều kiện câu a) thỏa mãn, gọi x1, x2 nghiệm (1) x3, x4

nghiệm (2) Chứng minh x x x1 3x x x2 4x x x3 1x x x4 5

Bài (2,0 điểm) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > a) Chứng minh 3 0

a b   a b b) Chứng minh 3 2

a b a b

c) Tìm tất số x, y, z, t nguyên cho 3 2

x y z t z3 t3 x2y2 Bài (2,0 điểm) Cho An = 2018n + 2032n – 1964n – 1984n với n số tự nhiên

a) Chứng minh với số tự nhiên n An chia hết cho 51 b) Tìm tất số tự nhiên n cho An chia hêt cho 45

Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B, C cắt cạnh AB, AC E F; BF cắt CE D Lấy điểm K cho tứ giác DBKC hình bình hành

a) Chứng minh ΔKBC đồng dạng với ΔDFE, ΔAKC đồng dạng với ΔADE b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vng góc với AC Chứng minh MN vng góc với AK

c) Gọi I trung điểm AD, J trung điểm MN Chứng minh đường thẳng IJ qua trung điểm cạnh BC

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 Bài (1,5 điểm) Đội văn nghệ trường THCS có học sinh Nhà trường muốn thành lập nhóm tốp ca, nhóm gồm học sinh (mỗi học sinh tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết hai nhóm tốp ca có chung nhiều học sinh

a) Chứng minh khơng có học sinh tham gia từ nhóm tốp ca trở lên b) Có thể thành lập nhiều nhóm tốp ca vậy?

GỢI Ý GIẢI

Bài (1,5 điểm) Cho phương trình 0

x   x m (1) mx2  x (2) với m tham số

a) Tìm m để phương trình (1) (2) có nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử điều kiện câu a) thỏa mãn, gọi x1, x2 nghiệm (1) x3, x4

nghiệm (2) Chứng minh x x x1 3x x x2 4x x x3 1x x x4 5

Giải a)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương

1 1

1

1

1 0

4 m S m P m                

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

1

2

2

0

1

1

1 0 0

4 m m m P m S m                    

Vậy để phương trình (1) (2) có hai nghiệm dương phân biệt

m

 

b) Theo Viet ta có: 2 4

1

1; ; ;

x x x x m x x x x

m m

     

   

1 3 4 2 4

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10

1 1 1 5

1

m

m m m

      

Ta giải cách khác sau

Với điều kiện câu a) Giả sử a nghiệm dương (1), tức a2 a m0

2

1 1

1 m m

a a a a

     

          

      tức t

1

a nghiệm (2)

Khi gọi x x1, nghiệm dương (1)

1

1 ;

x x

x  x  nghiệm dương (2)

Khi 3 4 2

1

1

1

x

x x x x x x x x x x x x x x x

m

       

  



Bài (2,0 điểm) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > a) Chứng minh 3 0

a b   a b b) Chứng minh 3 2

a b a b

c) Tìm tất số x, y, z, t nguyên cho 3 2

x y z t z3 t3 x2y2 Giải

a) 3 0 ,

a b  a b không đồng thời

  

3 2 0

a b  a b a ab b 

mà ta có:

2

2 0

2

b b

a ab b a   

  với a b, không đồng thời

nên suy a b 0

Theo 2 0

a ab b  mà a2ab b 2ℤ (vì a b, ℤ )

2 1 2 1 0

a ab b a ab b

        

Ta có:   2 1 0   2 3

a b a ab b    a b a ab b   a b a b  a b

Vậy 3 0

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 b)Vì a b 0 a b số nguyên

Nếu a b    1 a b

Khi 3 3  3 3 2  2 2

1 3 2

a b  b b   b b   b b  b b

1 2   2  

b b b b a b b b

         Ta có :  1 0 0

b  b b b   b b1 Do b2 b với số nguyên b

Do ta có: 3 2   2 a b a b  b b a b

Nếu a b 2 ta có:

      2

3 2 2 2 2 2

a b  a b a ab b  a ab b a b  a b a b c) 3 2

x y z t z3 t3 x2y2

Ta có 3 2 0

x y z  t z3 t3 x2y2 0

Nếu 3 2 2 3

3 3

0

0

0

z t x y z t

x y z t x y z t

x y x y

      

 

          

    

 

Tương tự 3 0 0

z       t x y z t

Nếu 3 3 0 x y z t       

 theo ta có:

3 2

3 3 2 2

3 2

x y x y

x y z t x y z t

z t x y

   

        



  



Mà theo giả thiết 3 3 2 x y z  t x y z t

Do điều kiện dấu “ = “ xảy ra, tức

3 2

3 2

x y x y

z t z t

   

 

  



Vì 3 0 0

x y    x y

Nếu x    y x y

 3  2

3 2 1 1 2 0

1

y x

x y x y y y y y y y

y x                      

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10

      2

3 2 2 2 2 2

x y  xy x xyy  x xyy x y  xy x y

3 2

1

x y

x y x y

x y

  

    

 

 (loại x y )

Do ta có : 3 2  ;       1;0 , 0;1 , 1;1

x y x y  x y 

Tương tự 3 2        ; 1;0 , 0;1 , 1;1

z  t z  t z t 

Vậy x y z t; ; ;  cần tìm 0;0;0;0 , 1;0;1;0 , 1;0;0;1 , 0;1;1;0 , 0;1;0;1 , 1;1;1;1           Bài (2,0 điểm) Cho An = 2018n + 2032n – 1964n – 1984n với n số tự nhiên a) Chứng minh với số tự nhiên n An chia hết cho 51

b) Tìm tất số tự nhiên n cho An chia hêt cho 45 Giải

   

2018n 2032n 1964n 1984n 2018n 1984n 2032n 1964n n

A        

Ta có: 2018n1984n⋮2018 1984  hay 2018n1984n⋮34

2032n1964n⋮2032 1964  hay 2032n1964n⋮68

Vậy An⋮17

Mặc khác : 2018n 2032n 1964n 1984n 2018n 1964n 2032n 1984n n

A        

2018n1964n⋮2018 1964  hay 2018n1964n⋮54

2032n1984n⋮2032 1984 hay 2032n1984n⋮48

Vậy An⋮3

Vì 3;17 1 An⋮51 b)Tìm n để An⋮5

             

2018n n mod , 2032n mod ,1964n n n mod ,1984n 1n mod

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10  2 n 2n 1  n mod 5

n

A     

Nếu n4k An 0 mod 5 

 

4 n mod

n k A 

 

4

4 8.2 k mod

n

n k  A   

 

4 n mod

n k  A 

Vậy An⋮5 n 4k

Tìm n4k để An⋮9

         

2n n 2n mod 9n n mod 9n 2n mod 9n n

A           (vì n4k số chẵn)

     

4

2 k k mod k mod

    

Nếu k 3m n 12m An 0 mod 9 

Nếu k 3m1 An  3 mod 9  Nếu k 3m 2 An 3 mod 9  Vậy An⋮45 n 12m hay n⋮12

Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B, C cắt cạnh AB, AC E F; BF cắt CE D Lấy điểm K cho tứ giác DBKC hình bình hành

a) Chứng minh ΔKBC đồng dạng với ΔDFE, ΔAKC đồng dạng với ΔADE b) Hạ DM vng góc với AB, DN vng góc với AC Chứng minh MN vng góc với AK

c) Gọi I trung điểm AD, J trung điểm MN Chứng minh đường thẳng IJ qua trung điểm cạnh BC

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 Giải

a) Xét tam giác KBC tam giác DFE ta có:

BKC BDCEDF BCK CBDDEF

Do tam giác KBC đồng dạng tam giác DFE Ta có : KBC đồng dạng DFE CB CK

EF ED

  

AEF

 đồng dạng ACB CB AC

EF AE

  

Do CK AC CK ED

ED  AE  CA  EA

Ta lại có : KCAKCBBCAFECFEADEA

Do CKA đồng dạng EDA

b) Ta có từ giác AMDN nội tiếp đường trịn đường kính AD

MNA ADM

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10 Mà CAK MAD ( CKA đồng dạng EDA )

Do : 900

MNA CAK MDA EAD  MN AK

c) Gọi O trung điểm BC

I trung điểm AD nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMDN

J trung điểm dây cung MN nên IJ trung trực MN hay IJ MN

Xét tam giác DAK ta có : I trung điểm AD, O trung điểm BC nên IO đường trung bình tam giác DAK IO/ /AK , mà AK MN IOMN

Ta có: IJ MN IO, MNI J O, , thẳng hàng

d) Xét tứ giác IMTN nội tiếp đường trịn ITN IMN

Vì IJ trung trực MN MIT TIN

Ta có: 900

MIJ IMN TIN ITN INT

      vng N Ta có : IJN đồng dạng INT IN IT IN2 IJ IT

IJ IN

    

Mà IN = ID nên . ID IJ IT

Khi IDJ đồng dạng ITDIDJ ITDID tiếp tuyến đường tròn ngoại

tiếp tam giác DTJ hay AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ

Bài (1,5 điểm) Đội văn nghệ trường THCS có học sinh Nhà trường muốn thành lập nhóm tốp ca, nhóm gồm học sinh (mỗi học sinh tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết hai nhóm tốp ca có chung nhiều học sinh

a) Chứng minh khơng có học sinh tham gia từ nhóm tốp ca trở lên b) Có thể thành lập nhiều nhóm tốp ca vậy? giải

a)Giả sử có bạn a tham gia nhóm N N N N1; 2; 3; 4

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q10

       

1 ; ;1 , ; ;2 , ; ;3 , ; ;4

N a x y N a x y N a x y N a x y

Trong x x x x y y y y1, , , , , , ,2 4 bạn học sinh phân biệt Khi ta có nhiều

học sinh (mâu thuẩn giả thiết)

b)Ta chứng minh có nhiều nhóm

Giả sử có nhóm Khi số lần tham dự vào nhóm bạn 9.3 = 27

Mà có tất học sinh, nên theo đirichlet có học sinh tham giá lần (điều mâu thuẩn câu a)) Do khơng thể có nhóm

Ta cách chia bạn x x x x x x x x1, , , , , , ,2 thành nhóm sau: