Tác giả bài viết có tham khảo một số lời giải trong các đáp án chính thức của đề thi các nơi. Nói một cách tổng quát, việc trực giao sẽ bảo toàn tỷ số kép; không những thế[r]
(1)ĐIỂM QUA MỘT SỐ KỸ THUẬT DÙNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THI OLYMPIC 2019 - 2020
(Lê Phúc Lữ tổng hợp giới thiệu)
Bài viết bao gồm nhiều phần nhỏ, phân tích xem xét số kỹ thuật có dùng để giải quyết toán đề thi HSG tỉnh chọn đội tuyển 2019 – 2020 Tác giả viết có tham khảo số lời giải đáp án thức đề thi nơi
Phần KỸ THUẬT TRỰC GIAO CHÙM ĐIỀU HÒA
Ta biết chùm (Ax Ay Az At, , , ) 1 có Bx Ax By, Ay Bz, Az Bt, At chùm (Bx By Bz Bt, , , ) 1. Nói cách tổng quát, việc trực giao bảo tồn tỷ số kép; khơng thế, phép biến hình trường hợp đặc biệt có tính chất Bài 1.1.(Chọn đội tuyển Bình Thuận) Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có điểm D nằm tam giác cho ADB ADC Gọi M N, điểm đối xứng với D qua cạnh AB AC, Gọi AH đường cao tam giác (ADH) cắt lại BC T Chứng minh điểm M N T, , thẳng hàng
Lời giải
Ta có AD AM AN nên điểm M N D, , thuộc đường tròn tâm A Đặt ,
S ADBC ta có DS phân giác góc BDC
Mặt khác, ADT AHT 90 nên DT phân giác BDC (TS BC, ) 1 Suy A TS BC( , ) 1 Trực giao từ đỉnh D, ta có (Dx DT DM DN, , , ) 1 với Dx AT
S E
H T
N
M
D
C A
(2)Cuối cùng, giả sử Dx( )A ED tứ giác DMEN điều hịa; đó, TD tiếp tuyến ( )A nên TE tiếp tuyến ( ),A điều kéo theo MN qua T
Nhận xét Nhờ ý tưởng trực giao, mơ hình có sẵn đường vng góc, ta chủ động khai thác chùm điều hòa có sẵn để làm phát sinh chùm Trên thực tế, tồn này giải biến đổi góc rắc rối hơn
Bài 1.2 (Chọn đội tuyển Hà Nam) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có trọng tâm G, tâm ngoại tiếp O Gọi D E F, , tâm ngoại tiếp tam giác GBC GCA GAB, , Chứng minh O trọng tâm tam giác DEF
Lời giải
Rõ ràng ta cần chứng minh DO chia đôi EF đủ
Kẻ Ox EF , dễ thấy EF trung trực AG nên phải có EF AG, suy Ox AG Qua A, kẻ Ay BC chùm (Ay AT AB AC, , , ) 1, T trung điểm BC Trực giao đỉnh O, ta có (OD Ox OF OE, , , ) 1 OF OE, trung trực AB AC,
Do Ox EF nên theo tính chất chùm điều hịa, ta có OD chia đơi BC Bài toán giải nhẹ nhàng
Nhận xét Bài tốn chứng minh nhờ bổ đề: tam giác gọi L điểm Lemoine thì L trọng tâm tam giác Pedal ABC.
Bài 1.3 (Mock test VMO) Cho tam giác ABC không cân ( ; )O R đường tròn ngoại tiếp Gọi AL phân giác với LBC I tâm nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua
,
I vng góc với IL cắt trung trực BC K Chứng minh OK3 R T
y
x M
O G F
E
D
C B
(3)Gợi ý Gọi BD CE, phân giác tam giác ABC T tâm bàng tiếp góc A Ta có bổ đề quen thuộc sau: OT DE
Chứng minh Đổi mơ hình bàng tiếp trực tâm dùng phương tích đường trịn Euler
Trở lại toán,
Gọi M trung điểm cung nhỏ BC M trung điểm IT.Lấy O đối xứng với O qua M
thì tứ giác O TOI hình bình hành nên O I OT Suy O I DE
Vì AL phân giác tam giác ABC nên L AI DB( , ) 1 Trực giao đỉnh I, ta thấy
O trung điểm MK nên OM MOO K nên OK 3 R
Bài 1.4.(Chọn đội tuyển TPHCM) Cho hai đường tròn ( ),( )O O cố định, cắt hai điểm ,
B C cho O O, nằm phía đường thẳng BC (điểm O gần BC hơn) Điểm A thay đổi ( )O cho tam giác A B C nhọn giả sử đoạn thẳng AB AC, cắt ( )O D E, BE cắt CD I AI cắt BC K Gọi M N, giao điểm IB với KD, IC với KE Tia O I cắt đường tròn ( )O R
a) Chứng minh AR MN, cắt điểm T nằm đường thẳng BC
b) Chứng minh A thay đổi ( )O đường phân giác đường cao đỉnh O'
M L
E
D
I
K T O
C B
(4)Lời giải
a) Giả sử EF cắt BC T theo định lý Brocard cho tứ giác tồn phần BCEF AT với đường tròn (O) ngoại tiếp BCEF, ta có O I AT điểm Miquel R Mặt khác, R (ABC) nên R R Do AR EF BC, , đồng quy T (T D BC , ) 1 Do AD BE CF, , đồng quy I nên ta có hàng điểm điều hịa (BI ME, )(CI NF, ) 1
Giả sử MNBCT theo tính chất chùm điều hịa, ta có (T D BC , ) 1 nên TT Từ suy EF MN BC, , đồng quy T Vì nên T TT hay giao điểm
,
AR MN nằm đường thẳng BC
b) Để ý BAC,BEC,BFC chắn cung BC hai đường tròn ( ), (O O) nên số đo chúng khơng đổi Suy góc BIC khơng đổi Do đó, I di chuyển đường tròn tâm J cố định Suy phân giác góc I tam giác IMN qua trung điểm cung
BC khơng chứa I đường trịn ( ),J điểm cố định
Tiếp theo, BCEF nội tiếp nên EF đối song tam giác IBC, kéo theo IJ đường nối tâm tam giác đường cao tam giác kia, hay IJ EF Giả sử đường thẳng qua I, vuông góc với IT cắt OO L Ix tia vng góc với BC
Xét chùm điều hòa T AI FD( , ) với IO TA (theo câu a), IJ TF IL, IT Ix, T nên theo tính chất chùm trực giao ta có( ,Ix IJ IL IO, , )
x
L J N M
K F
O' O R
T
I
E
D C
B
(5)Mặt khác, Ix OO nên theo tính chất chùm điều hịa J trung điểm O L , hay nói cách khác L cố định Cuối cùng, giả sử đường cao đỉnh I tam giác IMN cắt OO K Từ chùm điều hòa T EM IB( , ) 1, trực giao qua đỉnh I, ta có (IJ IK IL Ix, , , ) 1 nên tương tự trên, ta có L trung điểm JK, dẫn đến K cố định
Vì đường cao đỉnh I tam giác IMN qua điểm K cố định
Nhận xét Trong này, ta chứng minh đường trung tuyến tam giác IMN qua điểm cố định thông qua bổ đề sau (chứng minh biểu diễn vector): Cho tam giác ABC thay đổi có góc BAC cố định đường thẳng d cố định Gọi
, , ,
H G O I trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Biết
, ,
AH d X AO d Y AI d Z điểm cố định Chứng minh AG qua điểm cố định Thật vậy,
Vì AH AO, đẳng giác BAC nên phân giác góc A, phân giác góc XAY
hay AX ZX const
AY ZY Giả sử AG d T , ta cần T cố định Đặt ,
TX TY
x y
XY XY với x y Ta có AT x AY y AX
hay
AY AX AT
x AO y AH AG
AO AH AG
Mặt khác, G chia HO theo tỷ số :1 nên 2AOAH 3AG
số Suy xAY : yAX : AT : :
AO AH AG Do
2
xAY yAX x AO AX
AO AH y AH AY , mà cos
AH
const
AO nên
x
const y
Do đó, ta có T điểm cố định
(6)Bài 1.5.(Mock test VMO) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( )O với trực tâm H Điểm R thay đổi cung lớn BC ( )O cho AR không song song với BC Lấy điểm S T, đường thẳng BC cho (ARS), (ART) tiếp xúc với
BC Đường thẳng qua H, vng góc với AS AT, cắt (HBC) X Y, a) Chứng minh đường thẳng XY qua điểm cố định
b) Chứng minh tâm đường tròn (RST) di chuyển đường thẳng cố định
Gợi ý a) Đặt K AR BC, 2
KB KC KA KR KS KT nên (BC RS, ) 1 Vì chùm
( , )
A ST BC nên trực giao đỉnh H ta có H MN BC( , ) A ST CB( , ) 1.Suy tứ giác
BMCN điều hòa MN qua giao điểm hai tiếp tuyến (HBC) B C,
b) Ta có SRT SRK TRK ASK ATK 180 SAT nên (RST), (AST) đối xứng qua BC Khi đó, ta đưa chứng minh cho tâm (AST)
Gọi D trung điểm BC E giao điểm AD với (AST) theo hệ thức Newton
2
DA DE DT DS DB DC
nên E điểm cố định Do đó, đường tròn (AST) qua điểm cố định A E, nên tâm di chuyển trung trực AE cố định Ta có đpcm
K
E
D H
O N
M T
S
R
C B