óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuần- Uyên Vi A Lý thuyết I TU GIAC Bài tập ôn hè lớp 8 TỨ GIÁC 1- Hình thang A B / D Cc 1, Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song 2 Tinh chat :
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì
hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau 2- Hình thang vuông A B D Định nghĩa : Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông 3- Hình thang cân Ad B D 1 Định nghĩa : Hình thang cân là hình thang có hai góc kê một đáy bằng nhau 2 Tính chất :
- _ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau - _ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau 3 Dấu hiệu nhận biết :
Trang 2óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuần- Uyên Vi Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của môi đường
3 Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
~se Ti giác có các.cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai cạnh đối:song song và bằng nhau là
hình bình hành
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành 5- Hình chữ nhật A B ae L Áp dụng vào tam giác A 1 Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông 2 Tính chất: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình
hành, của hình thang cân
Hai đường chéo của hình chữ nHật.bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3 Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật - Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một
Trang 3ws 6m Toan THCS Lé Trung- Quach Nhuan- Uyén Vi 6 — Hinh thoi 1 Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau p 2 Tính chất:
-_ Hinh thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
— Hai đường chẻo vuông góc với nhau
— Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
5 3 Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
~ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
— Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi 7 Hình vuông 1 Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và 4 B có bốn cạnh bằng nhau 2 Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác
D C của một góc là hình vuông
— Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Nhận biết: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình
thoi thì tứ giác đó là hình vuông
* ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
1 Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thắng
nối trung điểm hai cạnh của tam giác, {IX
Định lí 1: Đường thắng đi qua trung điểm một cạnh của D E tam giác song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung f NN
diém cua canh tht? ba B
Dinh li 2: Dwong trung binh cua tam giac thi song song
Nhom Toan THCS:
Trang 4óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
với cạnh thứ ba và băng nửa cạnh ấy
2 Đường trung bình của hình thang
A B
Dịnh neh1: Đường trung bình của hình thang là đoạn
thăng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang ở
Định lí 3: Đường thằng đi qua trung điểm một cạnh bên Ỷ \
của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung D Cc
điểm cuả cạnh bên thứ hai
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng
hai đáy
II ĐA GIÁC ĐỀU DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
1 ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU
+ Khái niệm uề đa giác
Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phắng có bờ là đường
thắng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó + Da giác đều Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác €ó tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau / | CÀ
Tam giae đều lit cite đểu Ngũ giác dé Lue gtac đêu
+ Tông các góc của một ña giác
Định lí: Tổng các góc trong một đa giác ø cạnh bằng (n—2).180/
Nhóm Toán THCS:
Trang 5óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
2 DIỆN TÍCH
* Diện tích tam giác
Định lí: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó A a ee a = Oe ˆ y aa , F 1 * Đặc biệt : Diện tích tam giác vuông băng nửa tích hai cạnh góc vuông S= a b L a * Diện tích tứ giác Tư giác Công thức Hình vẽ 1 Hình chữ nhật: Diện | S=a.b 4 Ps tích hình chữ nhật băng a : là độ dài chiều rộng
tích hai kích thước của ñ : là độ dài chiêu dài :
nó
D _
~ : ˆ“>
2 Hình vuông: Diện tích | s _ z? A B hình vuông băng bình a: độ dài 1 cạnh hình
phương cạnh của nó: vng
p>” _ C
Nhóm Tốn THCS:
Trang 6óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuần- Uyên Vi
3 Hình thang : Diện tích hình thang bằng
nửa tích của tổng hai đáy với chiêu cao
1›
S=— 2 VD +h A )
a: Do dai day lon b : Do dai day nho h : Do dai đường cao & 4 Hinh binh hanh : Diện tích hình bình hành bằng tích'€ủa một cạnh với chiều cao tương ứng của nó S=ah
h: D6 dai chiéu cao
4: Do dai canh tương ung 5 Hinh thoi: Dien tich | a D B > c > ` S=—c.d
của hình thoi bằng nửa 2 ` A .* ` ` | !
tích hai đường chéo c;d là độ dài hai đường n ———
chéo của hình thoi 7 6 Tứ giác có hai đường oz 1 aa
chéo vuéng géc: Dien 2°?
tích của hình tứ giác có | đ.,: là độ dài hai đường
hai đường chéo vuông góc bằng nủa tích hai đường chéo : chéo
II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1 ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC 1.1 Tỉ số của hai đoạn thắng
Trang 7óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi 1.3 Định lí Ta-lét trong tam giác: Nếu một đường thăng
song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ 8 o
GT| A4BC,B'C!//BC(B'e AB,C'e AC) / \
=| AB'_ AC' AB'_ AC' BB.@G n° \
AB AC’ BB «<p
2 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUÁ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT
2.1 Định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra
trên hai cạnh này những đoạn thắng tương ứng tỉ lệthì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác
GTÍ A4BC, B'e AB,C'e AC 45 _ AC: BB' C'C KL| B'C’/BC / ` P C 2.2 Hệ quả định lí Ta-lét
Nếu một đươngg thăng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh ) của một tam
giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh
Trang 8óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
3 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
3.1 Định lí: Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối điện thành hai đoạn thang tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ay AD 1a 4
hân giác cua øóc BAcx= ee
phân gì 5 AC DC
3.2 Chú ý: Định lí vẫn đúng với tia phân giác của góc ngoài của tam giác 4 là tia
phân giác của góc 8Ax (4B z AC) AB _ EB SUY Ia ——— AG EB 4 KHAI NIEM HAI TAM GIAC DONG DANG 4 1 Tam giác đồng dạng a) Định nghia : Tam giac BC” gọi là đồng dạng với tam giác 418C nếu: 2-2? mm 4.6." AB BC CA
Tam giac A’B’'C’ dong dang voi tam giac ABC duoc ki hiéu la Ad’B'C’ © AABC
Trang 9óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Tính chất 1 Mỗi tam giác đồng đạng với chính nó Tinh chat 2 Néu AA'B'C' ® AABC thi AABC AA'B'C"
Tính chất 3 Neu AA'B'C' ® AA"B"C" va AA"B"C" ® AABC thi AA'B'C' 2 AABC 4, 2 Dinh li: Néu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho Chi ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thăng z cắt phần kéo đài hai cạnh
của tam giác và song song với cạnh còn lại
4.3 Các trường hợp đồng dạng của tam giác
Trường hợp đồng dạng thứ nhất : Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của
tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng Định lý : A4%C và A4'#'Œ' A 4’ co it = AC = at => A1BCc2ATE.C” AB ACB B C RB Œ (C.C.C)
Trường hợp đồng dạng thứ hai: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của
tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng Định lý : AABC và AA'B:C' 4 s= Lư, A’ ca 5 _ A'B' AC => AABC = AA'B'C’ : ng a
Trường hợp đồng dạng thứ ba: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của
tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau
Nhóm Toán THCS:
Trang 10óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi Dinh li: AABC va AA'B'C' A A’ Cé6é A=A', B=B' > AABC ~ AA'B'C! 8) [iN 4.4 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DANG CUA TAM GIAC VUONG
+ Ap dung các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia
+ Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với
cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó
đồng dạng
+ Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Trang 11óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi * Thể tích của hình hộp chữ nhật + Nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là a,b,c (cling don vi đo) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là : V =za.b.c Thể tích của hình lập phương cạnh a là: V = a 5.2 Mặt phẳng va đường thang
+ Nếu đường thẳng đ có hai điểm A;B D C
thuộc mặt phẳng (ABCD) thi moi
điểm của đường thắng đ đều thuộc
mat phang (ABCD) A + Hai đường thăng phân biét a,b trong
không gian có các vị trí :
e _ Cắt nhau nếu có một điểm chung e _ Song song nếu cùng nằm trong một
mat phang và không có điểm chung e Không cùng nằm trong một mặt
phăng pe
+ Hai đường thang phân biệt cùng song
song với một đường thăng thứ ba thì
song song với nhau
+ Khi đường thắng AB không nằm trong mặt phẳng (AC ‘D') ma AB song song với
một đường thẳng thuộc mặt phẳng đó, thì AB song song với mặt phẳng
(ABC!) và kí hiệu : AB/fmp(A'BCT!)
+ Khi đường thắng A'A vuông góc với hai đường thăng cắt nhau AD và AB của mặt
phẳng (ABCD) ta nói A'A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A và kí hiệu :
A'A | mp( ABCD);
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với
mọi đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đó
+ Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thắng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì ta nói hai mặt phắng đó vuông góc với nhau, chẳng hạn
mp(A'ADP)) okt mp( ABCD)
Nhom Toan THCS:
Trang 12óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi 5.3 Hình lăng trụ đứng = Trong hình hình lăng trụ đứng | © -A,B,C,D,A',B',C',D’ 1a céc dinh oy e Các mặt 48P'4',BCC'B', là những hình chữ Bi nhật, gọi là các mặt bên NV |
e - Các đoạnAA',P5',CC' DD' song song với , ` C
nhau và bằng nhad, gọi là các cạnh bên
° Hai mặt ABCD, A'B'C'D" Ia hai day
Hình lăng trụ có hai day la ti giác nên gọi là lăng trụ đứng tứ giác Kí hiệu:
ABCDĐ.A BC
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đúng
*- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao
S„=2p.-h (pla nua chu vi day, h la chiéu cao)
Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích
hai đáy
* Thể tích của hình lăng trụ đứng
Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng: ƒ = Š.J ( S là diện tích đáy, h là chiều cao ) 5.4 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều + Hình chóp Mặt bên
Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác, các mặt bên là những
Trang 13óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Hình bên là hình chóp S.ABCD co dinh la 5, day là tứ giac ABCD, ta goi la hinh chop tte giác
+ Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam
giác cân bằng nhau có chung đỉnh (S là đỉnh của hình chóp)
+ Hình chóp cụt đều
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng søng song với đáy (xem h.31) Phần hình chóp
nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân
+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều Công thức tính điện tích xung quanh
e _ Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung
đoạn
S., =p.d (planta chu vi day, d là trung đoạn của hình chóp đều)
Trang 14
6m Toan THCS Lé Trung- Quach Nhuan- Uyén Vi
B Bai tap tham khao
Bài 1: Cho hình vuông 4BCŒC7D và môt điểm # bất kì trên 8C Kẻ ta 4x vuông góc với
AE và cắt đường thẳng CD tại Ƒ Kẻ trung tuyến 4/7 của tam giác 4FE và kéo dài cắt cạnh CD tại K.Qua # kẻ đường thắng song song với 4B cắt 47 tại Œ a) Chứng minh : 4E = AF
b) Chứng minh: tứ giác EGFK là hình thoi:
c) Chtrng minh: AF/K @ AFCE
d) Ching minh rang EK = BE + DK và khi điểm E chuyén d6ngtrén BC thi chu vi AECK khong doi Hướng dẫn giải A B E I F —_ C a) Chứng mỉnh: AE = AF -
Có ABCD là hình vuông => AB=AD
Vì ABCD là hình vuông > DAB=90° > BAE+ EAD =90°
Theo giả thiết 4# L 4E => FAE =90° > FAD+ DAE =90° => BAE = FAD ( cung phu voi DAE)
Xét AA4BE và AADF
Nhóm Toán THCS:
Trang 15óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi ABE = ADF =90° Có ‹ 41B = AD BAE = FAD
=> AABE=A ADF (g.c.g) > 4E = 4F ( cặp cạnh tương ứng băng nhau)
b) Chứng minh: tứ giác EGK là hình thoi
Xét AEAF yudéng tai A CO AE = AF (chứng minh trên)
= AEAF vu6éng can tai A (dhnb)
Ma 4A/ la trung tuyen(gt) => AI là đường cao => 4T Ì EF Xét AMJG và AFIK_ có:
E1G = FIK (2 góc đối đỉnh )
EI=IF (do 7 là trung điểm EƑ) GEF = KFE (so le trong vi 4G//CD) = AEIG =AFIK ( g.c.¢)
= IG=IK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau) = 1! là trung điểm của GK
Xét tứ giác PGKƑ' có GK và ÈF” là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm Í của mỗi
đường > EGKF 1a hinh binh hanh
Lại cé 4/ 1 EF ( chieng minh trén) >»GA 1 Ek’ => BGKF ja hinh thoi
Trang 16óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
d)Chứng minh rằng EK = BE + DK và khi điểm E chuyển động trên ÖC thi chu vi
AECK không đối
Ta có: tứ giác EGKF la hinh thoi (cmt)
= EK =KF matkhac KF = KD+DF (1)
+ Taco: AABE = AA DF (cmt)
=> BE= BF (cặp cạnh tương ứng bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) > EK=KD+DF=KD+ BE
+ „ =EK+EC+CK, thay EK =BE+DK vào ta được
uy =(BE+ DK )+ EC+CK = BC+CD=2BC.Mà BC không đổi > chu viAFCK
không đổi
Bài 2 Cho A4ZC có các đường cao 8K va C7 cắt nhau tại 77 Các đường thăng kẻ từ B vuông góc với 4ð và kẻ từ € vuông góc với 4C cắt nhau tại D
a) Chứng minh: Tứ giác 8HCD là hình bình hành
b) Chieng minh: 4/.48 = AK.AC
c) Chteng minh; AA/A © AACE
Trang 17óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi a) Chứng minh: Tứ giác BHC7) là hình bình hành Có CH L AB(gr) DB L AB(gr) Có BH L AC(gt) DC L AC(gr) Xét tứ giác BHCD có: CH //DB(gt) BH //DC(gt)
|= CH//DB (quan hệ từ vuông góc đến song song)
=> BH //DC' (quan hệ từ vuông góc đến song song)
: =nBHICD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Chứng minh: AI.AB = AK.AC Xét AAKB va AAIC có: BAC chung AKB = AIC = 90° => AAKB ® AAIC' (g.g) AK AB == (Tinh chat tam giac dong dang) => AK.AC = AI.AB c) Chứng minh; Â4K % AAC? Xét A4IK và AACB có: AK “Al ——=^ AB AC => AAIK œ2 AIC B(c.g.c) | BACchung d) A⁄45C cần có điều kiện gì để đường thang DH di qua A? Khi do tir giac BHCD 1a hinh gi? Goi BCAHD={E}
Giả sử HD đi qua A ® H,A,D thang hang A,E,H,D thang hàng
Trang 18óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
<© ADBC can tai D
<> BHCD 1a hinh thoi (dau hiéu nhan biét)
Vay dé DH diqua A thi AABC can tai 4 Khi đó tte giac BHCD la hinh thoi
Bài 3 Cho tam giác ABC vung tai 4, AB< AC, duong cao AH chia canh huyén BC
thanh hai doan c6 dé dai Ian luot la 4dm,9dm Goi D,E Tần lượt là hình chiếu của
H lên 4B, AC
a) Tinh DE ,
b) Các đường thắng vuông góc với ĐÈ tại DĐ, cắt BC theo thứ tintai M,N Ching
minh # là trưng điểm 24 , N là trung điểm C7 c) Tính diện tích tứ giác ĐA Hướng dẫn giải B A 7 C a) Tinh DE ,
Co AH ladwong cao cua AABC > AHB = AHC =90° Xet AABH và ACAH có:
AHB = AHC =90°
BAH = ACH (Cung phu voi B) = AABH dong dang ACAH (g.8) AH BH => — = — CH AH < AH’ = BH.CH => AH =6(cm)
Xét tứ giác AEHD có DAE = ADH = HEA =90° = AEHD là hình chữ nhật (đấu hiệu nhận biết )
=> DE=AH =6cm
b) Các đường thẳng vuông góc với DE_ tại D,E cắt BC theo thứ tự tại M,MN Chứng minh #4 là trung điểm 5H, N' là trung điểm CH
Nhóm Toán THCS:
Trang 19óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Có AEHD: là hình chữ nhật Gọi 2 là giao điểm của 4H và DE Ta có Ó là trung điểm DE va AH (tinh chat)
Ma AH = DE (cmt) Nén OH = OD =OA=OE
Xét hình chữ nhật ADHE có O là giao điểm của AH và DE (theo cách vẽ) = OH = OD = OA=OE (tinh chat hen)
Do đó các tam giác ODH,OHE can tai O om = DHO S45 OHE = OEH _—_ MDH + HDO=90° MHD +.DHO =90° » 3 MDH = MHD ODH = DHO(CMT) = AMDH cân tại M = MD =MH BDM + MHD =90° ` B+ BHD =90° L— BDM = B MHD = MDH(CMT) => ABMD can taiM => =1 Ma MD = MH (CMT) => MH = MB
Vay M latrung diém cua BH
Chimng minh tuong tu ta cling co N la trung diém cua CH
a) Xét ABDH vuông tại D có M là trung điểm Ø/⁄/ (chứng minh trên) => BM_ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Ø8⁄ (tính chất) ¬ Chứng minh tương tự ta co EN = = ; = 4,5 (cm) Tứ giác EDM/N là hinh thang vuông vì DA/ //EN (Cùng vuông góc với D/ ) og (DM+EN).DE (2+4,5).6 NEN Spy yy = 2 = Bài 4 Cho hình thang 48CD có 4B//CD, Ä = Ồ=90°, AB = 2cm và 4D =CD =§em =19,5(cm” ) a) Tinh BC ?
b) Goi O 18 trung điểm của 4 Chứng minh: BÓC =90° Tính diện tích ABOC ? c) Chứng minh A4OB œ ADCO;AABO œ AOBC
Nhóm Toán THCS:
Trang 20óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi Hướng dẫn giải Á B FT O a 7 D + ề a) Tinh BC=? Ter B ké BH LCD | DAB =90° Xét từ giác ABHD có 4 4DH = 90” DHB =90° Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật (dhnb) => AD//BH, AD = HB = §cm và HD=2cm => HC = 6cm Xét A BHC vuông tại H, theo Pitago ta có: BCÝ =BH“+HC” = BC = VJBH”+HC” = BC =ý8ˆ +6” =l0em
b) Chimg minh BOC=90°
Kẻ OK(/DC (e6 BC} Xét hình thang ABCD có:O' là trung điểm của AD va OK //DC
= DK là đường trung bình của hình thang ABCD
Ta có OQK//DC (K € BC) (theo cach ve) = DCO=COK (2 gdc so le trong) (1)
DOH = OHB =OBH = AOB (2)
Từ (1) 0à (2) suy ra DCO = AOB
Nhom Toan THCS:
Trang 21óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi - [DCO+DOC=90 —~ — | a: => DOC + AOB =90 AOB + ABO = 90° Suy ra: BOC = 180° - (DOC + AOB) = 90" => dpcm Tinh ` IC
Ap dung dl Pytago trong AODG Wuidng tai D CO OC =VOD" + DC’ =V4° +8 = 4,/5 (cm) Ap dung dl Pytago trong AOAB vudng tai A CO OB =VOA" + AB’ = 4" +2° = 21/5 (cm)
Vay Syroe = OB.OC = 225: 4x/5 =20 em
c Ching minh A4OB & ADCO; AABO @ AOBC Xét AAOBvx ADOC có DGO = AOB (cmt) => AAOB ® ADOC (g —-g) D=A=90° | (OCB = A0B Xét A4BO, AOBC có $ _— „ = AABO ~ AOBC(g-g) O=A=90°
Bai5: Cho ABC déu, O latrung diém cua BC Tai O dung xOy =60°.Tia Ox cat cạnh
AB tai diém M ,.tia.Oy cat AC tại N
Trang 22óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi a) Tacó MOC 1a soc ngoai cua ABOM tai dinh O nen : MOC = OMB + BMO =60° + BMO(1) Lai co MOC = MON + CNO =60° + CON(2) Từ (1) và (2) ta có BMO =CON Xét ABOM và AC NÓ ta có BMO =CON (cmt) MBO=OCN (=60°)
Suy ra ABOM © ACNO (g-g) b) Tacé ABOM ~ ACNO (cmt) suy ra ee = au © BOCO=BM.CN (3) CN CO 5C Mà O là trung điểm của BC nên 8Ó= CO = sẽ (4) Từ (3) và (4) suy ra — =BM.CN <> BC =4.BM.CN c) Tacé ABOM ~ ACNO (cmt)
suy ra CC 5™ & OM.CO = BM.ON, lai do (4) nén ta c6 ON CO OMBO= BMONS 27 =o ON OM Xét ABOM và AONM ta có MBO = MON (=60°) ) = = cai (cmt) ON OM
Suy ra ABOM © AONM (c-g-c)
= BMO =OMN (cặp góc tương ứng bằng nhau) = MO) là tia phần giác của BMN
Trang 23<< Đ „”
óm Tốn THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Bài 6: Cho A45C có 4C > 4B, 4Dlà tia phan giac trong Qua C ké tia Cx sao cho CB
nằm giữa các tia C4 và Cx, đồng thời BCx = BAD Goi E là giao điểm của 4Ð và Cx
a) Chứng minh: ADC* œ ADAB b) Chứng minh: AZ5C cân
Trang 24
- (chứng minh trên)
DC DA
= EBD =CAD (Hai góc tương ứng)
= EBD = ECB(= CAD)
= AECB can
c) Taco AABD @ AAEC(g =g)
Vi: ABD = AEC(theo(1))
= ABD = CED'BAD = EAC(gt)
AB AD => —=-z
AE AC
= AB.AC = AD.AE
=> AB.AC = AD.(AD + DE)
=> AB.AC = AD’ + AD.DE(*) Tir (2) tacé DB.DC = AD.DE
Thay vào (*) ta dwoc AB.AC = AD° + DB.DC(dpem)
6m Toan THCS Lé Trung- Quach Nhuan- Uyén Vi
Bài 7 Cho A1?C' vuông tai A, ké dwong cao A//.Goi E,F lần lượt là hình chiếu của
H trên cạnh AB,AC
a Chứng minh: tứ giác 4H là hình chữ nhật
b Chứng minh: 4E.41B = AF.AC
c Đường thăng đi qua A vuông góc với EF cắt BC tại I Chứng minh: I là trung điểm
của BC
d Chứng minh: Nếu diện tích A415C' gấp đôi diện tích hình chữ nhật thì tam giác ABC) là tam giác vuông cân
Hướng dẫn giải
Nhóm Toán THCS:
Trang 25óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
A AG
a) Xét tte gide ABHF 6: AEH = AFH = BAF =90° > tee gidc AEHF 1a hình chữ nhật
b) C/m: A4EH đồng dạng A4HB (g.g)> AE.AB = AH” C/m: A4FH đồng dạng A4HC (g.g)> AF.AC = AH”
=> AE.AB=AF.AC
c) C/m: A4EF đồng dạng AACB (cgc) > AEF =Ê
C/m: AEF = IAC (cung phu voi EAI )
> HC =C= A/ÁC can tailS /4- FC
Chứng minh tương tự: A/48Ø cân tại | J8 = JA => 7 là trung điểm ZC đ) lớp = ĐỒ dc Nếu diện tích A4ðC gấp đôi diện tích hình chữ nhật 4ZH⁄Ƒ thì 2 2 ;: le) -() vi AAEF dong dang, AACB 4 \ BC BC AH 1 Al > AH= AI > H trùng J A1BC vuông cân tại 4 >——=— mà t BC 2 BC 2
Bài 8: Cho hình chóp tứ giac S.ABCD co d6 dai canh bén la 30cm , day la mot hinh vuông cạnh 40cm Hãy tinh:
a) _ Diện tích xung quanh hình chóp
Nhóm Toán THCS:
Trang 26óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi b) _ Diện tích toàn phần hình chóp c) Thể tích hình chóp Hướng dẫn giải ao ~ "7 -_
Goi O là tâm của hình chữ nhật ABCD => SO 1 (ABCD)
Áp dụng định lý PyatØo trong tam giác vuông ABC, ta được: AC =V AB? + BC? = 40? +402 = V3200 = 402 (cm) => AO aoe = 202 (cm) Ap dụng định lý Pyatgo trong tam giác vuông OAS, ta được: So = \ S02 = 30" =(20,/2 y = J/100 =10(cm) Từ O kẻ OM vuông góc BC tại M
=>OM = = BC = 5-40 = 20(cm) (T/c duong trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Xét tam giac vu6ng SMO cé: SM =VSO* +OM? = 10° + 20° = /500 =10,/5 (cm) Diện tích tam giác SBC là: = SM.BC = = 10V5.40 = 2005 (cm’)
a) Diện tích xung quanh hinh chép S.ABCD la:
Nhóm Toán THCS:
Trang 27óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuần- Uyên Vi S„ =4.Sw =4.200/5 = 800V5 (cm’) b) Diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD là: S„ =4.Sw+ 9z; = 800/5 +40” =1600+800A/5(emˆ) b) Thể tích hình chóp S.ABCD là; lone 16000 9 SOS jas = = 10.1600= — (em ) Bài 9 Cho hình hộp chữ nhật 15CD.1.5.C-D' có 4B =l2em., 4D =16cm.AA' = 25cm a) Chung minh rang ACC'A', BDB'D' 1a cac hinh chữ nhật b) Chứng minh 4C” = 4B” + 4Dˆ+ AA' c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng 4CC'4',BDB' D' là các hình chữ nhật
ABCD.A'B'C'D'= AAT ICC" AA’ =CC' => ACC'A'la hinh binh hanh
ABCD.A'B'C'D'= AA'1( ABCD) = AA' AC (do AC c (4BCD)) => ACC'A' la hinh chit nhat
* C/m tương tự: tứ giác BDB'D'la hinh chit nhat
b) Chứng minh 4C = AB°+ ADˆ+.441'
Ta có:
AC” = AA“+ A'C” = AA°+ AC”
AC’ = AB’ + BC’ = AB’? + AD’
Trang 28'Đhóm Tốn THCS
Lê Trung- Quách Nhuần- Uyên Vi
* Tính diện tích toàn phan:
+ Chu vi hình chữ nhật ABCD Ia: (12 +16).2 =56cm + Diện tích xung quanh của hình hộp: 56.25 = 1400.cm*
+ Diện tích hình chữ nhật ABCD là 12.16=192eø? + Diện tích toàn phần:.1400 +2.192 =1784cm* * Thể tích hình hộp chữ nhật: V aecp.4\B'C wD = = Sapp = 192.25 =1600cm’ C Bai tap tw luyén
Bai 1 Cho tam giác 45C , điểm M latrung diém BC Tia phan giac cua goc
AMB cat AB tai K , tia phân gidc cla géc AMC cat AC tai D a) Chứng minh: a" - a
MB DC
b) Chứng hee va DK//BC
BK DG
c) Goi E la giaodiémecua AM va KD.Chtng minh: £ latrung diém.cua KD
Trang 29óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
AM _ AM
MB uc)
Ta có: M là trung điểm của BC (giả thiết) > MB = MC >
Xét AA1MíC có: MD là đường phân giác (gt)
=> ae (tính chất đường phân giác trong một tam giác) (2) MC DC Từ (1) và (2)s (1) và (2) suy r a —=— AM — 1D[ 1M MB DC aE a) pcm) b) © Ching minh; “S- 42 BK DC XetaAMB co: MK la dwong phan giac (gt) AK _ AM
Be 8 (tính chất đường phân giác trong một tam giác)
Mà BME chen ứng minh trên) MB DC AK -2(- AM BK DC a tuong ‹e = Chứng minh DK//BC Xét A45C có CÁ cu
BK no ứng minh trên ) > DK // BC (dinh li Ta — lét đảo)
c) Chứng minh: E là trung điểm của KD
Trang 30óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi Ta có KE= DE,E DK suy ra E là trung điểm của KD (đpcm) d) Tính BC , KA 5 KA Taco ——=—suy ra ——= KB 3 AB ® | th Xét aABC cé DK // BC (cmt) = = = ao (Hệ quả định lí 1a - lét) 2 BCE ie (on) 8 BC 5
Bai 2 Cho hinh chir nhat ABCD cé AB> BC Qua B ke Gudng thang vudne goc với 4C, đường thăng này cắt 4C tại H, cat DC tai M
a) Chứng minh ACMH đồng dạng với AC4)D
b) Chứng minh 8C” =CM.CD
c) Tính độ dài đoạn MC, biết AB =8cm; BC =6cm
đ) Kẻ A⁄K vuông góc với 4ð tại K, MK cắt 4C tại 7 Chứng minh BIM = AMC Hướng dẫn giải A K B I H 5 D M Cc
a) Chirng minh ACMH dong dang voi ACAD
Trang 31óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
=> = = — (t/c 2 tam giac dong dang) => CM.CD=CA.CH (1) Xét ACHB va ACBA cé: CHB = CBA=90°; BCH chung => ACHB © ACBA (g.g) => — = = (t/c 2 tam giác đồng dạng) => C4.CH = BC” (2) Từ (1) và (2) => BC? =CM.CD c) Tính độ dài đoạn MC, biét AB = 8cem;BC =6cem 2 2 Ta cé: BC* = CM CD, (cmt) => MC = ” =< =4,5cm, d) Chứng minh BIM = AMC Xét AM4AB có: AH L MB;MK L AB; AH =MK ={T]
=> Ila truc tam cua AMAB (t/c 3 đường cao trong tam giác) > BÍ L 4M = \F}
- Xét AF4I và A//B có: [F4 =1HB=90°; FIA= HIB (2 góc đối đỉnh) => AFAI 02 AIIBI (8g) => I⁄ÁL= HBL (2 góc tương ứng bằng nhau)
- Xét AAMC và ABIM có: FAI = HBI (cmt)
ACM = BMI (cùng phụ với HMC)
=> AAMC © ABIM (g.g)
=> BIM = AMC (2 góc tương ứng bằng nhau)
Bài 3 Cho tam giác 4BC eó:4=90°, AC=30em, AB=40em, đường cao 411, BD
là đường phân giác của góc ABC /J là giao điểm của 4H và BD
Trang 33óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi AD 1 Ta có: ——=—— 41D= : AB 2 .4B 2.9013 CD 1 Ta co: —-=—>CD= BC 2 I BC 2.90=23cm 2 Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác.48D vuông tại 4 có: BD* = AB’ + AD? => BD* =30° +159=1125 = BD =15xJ5ˆ em Vay: BD=15V5 cm; CD =25 cm c) Chứng minh BD.JH=BI.AD va AI=AD Xét AHBI và A4BD có: BHI = BAD =90° HBI = ABD (Vi BD la duong phan giac cua AABC) Do đó AHBI œ A4BD (g.8) HB_ BỊ _ HI AB BD AD = BI.AD=BD.HI
Suy ra: (t.c 2 tam giác đồng dạng)
Trang 34óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi Ta có: 2 =C” (cmÐ) _ AP _AB (1) AB CB DC BC Tacó: 4l AB Xét AABC va AHBA có: ABC chung BAC = AHB = 90° = AABC ®AHBA (gog) ABs BC => ——=— (t/c2 tam giác đồng dạn 7 (t/ gi g dang) AB BC HI AD Ttr (1) , (2) va (3) suy ra — = —— (1), @) và @) suy ra = ===
Bai 4 Cho A4BC vuông cân tại 4 Lấy điểm thude canh AG, (M # A; M #C)
.Kẻ CH vuông øóc với đường thắng BM ( H thuộc tia BM )
a) - Chứng minh: AA1BM AHCM, từ đó suy ra M⁄4.MC = MH.MB
b) Chứng minh: 4M =45”
Trang 35Xét A41BM và AHCM có: A=H =90°(gt) AMB = HMC (2 góc đối đỉnh) = AABM 2AHCM (g.g) MA MB TT (t/c 2 tam giac dong dang) => MA.MC = MH.MB.(@pem) b) Chứng minh: AHM = 45" Xét AAA/H và ABMC có: MA MB —— =2—— (emf) MH MC AMH = BMC (2 góc đối đỉnh) => AAMH %›ABMC (c.g.c)
= AHM =BCM (2 góc tương ứng bằng nhau)
Trang 36óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Gia siv M là trung điểm của 4C thì: MA= MC= =
=> Siam =Snem VA Supu = Seam
Khi do:
Suse =Suam + Suew = 25 nem Sapc = SApw t+ Seem = 25 45m
Lại có: A4BA/ © AHCM (cmt)
Suc _{ MC
7 | MB
| (t/c 2tam giác đồng dạng)
Ty
Ta c6: AABC vudng can tai A nén: AB= AC
Ap dung dinh ly Pytago trong A4BM vuông tại M ta được:
Ä/8Ð= (XE? SdME s.lae1uy 2 s ACNS 4 2 MC _AC ACNJ5_ 1 MB |] J5 ý 2 ? Do đó: 4C = Same -lm Ss S MB Soh ae 5 ABC ABM Bai 5 Cho tam gidc nhon ABC(AB< AC), cdc dwong cao BD va CE catnhau oH
a) Chung minh AE.AB=AD.AC
b) Chteng minh tam giac ADE dong dang voi tam giac ABC
c) Giasw A=45°; so sanh dién tích tam giác 4DE_ và diện tich tte giac BEDC
Nhom Toan THCS:
Trang 37
óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Trang 38óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi
Do do AADE@ AABC (c.g.c)
Vay AADE AABC
e) Khi 4= 45°: so sánh S pp VAS pene Vì 4=45" = AADB vuông cân ởD
Áp dụng định lý Pitagø trong tam giác ADB vuông ở D, ta có: AD”+BD' = AB} “Thói sửa =24p' xấP? S| | q Ma AADE@AABC (cmt) 2 Nén: Sane = (=) = u — Sine = 2 sac S sac AB 2 s : : l Ma S ADE + Spepc = S4Rc => SADE = Seve = 5 Sac Vay Save = SBE
d) Chứng minh MD NE=ME ND
Goi F la giao diém cua AH va BC
=> AF la duong cao cua AABC Tương tự câu b ta chứng minh được
ABEF © ABCA ; ACDF ~ ACBA
Suy ra BFE = BAC = CFD Ma BFE +EFM =90° CFD + DFM =90° => EFM = DFM => FM la dwong phan giac trong cua AFED Ma FM 1 FN
=> FN la duong phan gidc ngoai cua AFED
Áp dụng tính chất đường phân giác trong AFED có phân giác trong EM và phân giác ngoài FN nên ta có:
Nhóm Toán THCS:
Trang 39óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi FD_MD_ ND = = => MD.NE=ME.ND FE ME NE Vay: MD NE=ME ND
Bai 6 Cho tam giác nhọn ABC, AD latrung tuyén, M latrung diém AD Tia
BM_ cắt cạnh 4C tại P , đường thắng songsong voi AC ké tir D cat BP tai / a) Chứng minh PA =ÐI Tính tỉ số - b) Tia CM cắt⁄4# tại O Chứng mỉnh PQ//BC c) Chứng minh PO.MB=bC.MP d) - Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP và ABC Hướng dẫn giải A O P I N BC D = : : on 1a say AE a) Chứng minh PA = DI Tính tỉ số Ne
Xet AAPM va ADIM, ta co:
PAM = IDM (2 góc sðle trong do DI// AC)
MA =MD (do M là trung điểm AD.)
AMP = DMI (2 góc đối đình)
=> AAPM = ADIM (g.c.g)
=> PA = DI( 2 cạnh tương ứng bằng nhau)
+ Xét ABPC, ta có: DI//PC (do DI// AC)= 2= 22 = “ˆ (hệ quả của định lí Ta-lét) BP BC CP
Nhom Toan THCS:
Trang 40óm Toán THCS Lê Trung- Quách Nhuân- Uyên Vi Mà BÐ _1 5 (do AD la trung tuyén) > BEL BD LPN! — (9 5C BP BC CP 2 Ma DI = AP (cmt) Suy ra "58 CP =2AP = AC-AP=2AP & AC =3AP AP 1 Vay 5"
b) Tia CM cat 4B tai O Chieng minh PQ // BC
Tir D ké dwong thang song song Voi AB cat CM tai M Xét AAQM và ADNM, ta có:
OAM = NDM (2 góc so le trong do DN / AB)
MA = MD (M là trung điểm AD)
AMO = DMN (2 géc đối đỉnh)
=> AAQM = ADNM (g.c.g)
=> QA = DN (2 cạnh tương ứng bằng nhau)
Xet ACQB, ta c6: DN //BQ( do DN // AB)