Hướng dẫn ôn tập ở nhà toán 9

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi I là giao điểm của BF và CE. Gọi I là điểm chính giữa của cung CB và M là giao điểm của OB và CI.. a) Tính góc CMO[r]

Ngày giao bài: 3/2/2020 Ngày hoàn thành: 15/2/2020

ƠN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A

Kiến thức

1 Phương pháp thế a Quy tắc

- từ phương trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt lại thu gọn

b Cách giải hệ phương trình phương pháp

- dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho

2 Phương pháp cộng đại số a Quy tắc cộng đại số:

Gồm bước

- Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt

- Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) b Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia

Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là:

+ nhân cho hệ số ẩn hai phương trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối

+ cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn cịn lại

B Nội dung

Dạng I- Giải hệ phương trình phương pháp thế *) Ví dụ:

Vớ d 1:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp thÕ

a)

3

3

x y

x y

  



 

 b)

7

4

x y

x y

 

 

 

 c)

3

5 11

x y

x y

  



 

 Giải:

a)

3 3 10

3 3( 3)

x y x y x y x

x y y y y y y

      

   

  

   

        

   

Vậy hệ Pt cho có nghiệm (10;7)

b)

11

7 19

4 3(2 ) 12

19

x

x y y x x y

x y x x x x

y

  

     

   

  

   

       

    

  Vậy hệ Pt cho có nghiệm (

11

; )

c)

25

3 2 19

5 11 5( 2) 11 15 10 11 21

19

x

x y x y x y

x y y y y y

y                                     

Vậy hệ Pt cho có nghiệm

25 21 ; 19 19       

Ví dụ 2:Gi¶i hƯ phơng trình sau phơng pháp

a)

3

5 23

x y x y        b)

3

2 x y x y        Giải a)

5 23

x y x y       

5 2(3 5) 23

y x x x          ⇔

y = 3 x − 5

5 x + 6 x − = 3

⇔

¿

y = 3 x − 5

11 x = 3

⇔

¿

x =3

y = 3 3− =4

¿

¿ {¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm

x=3 y= 4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b)

3

2 x y x y        ⇔

y = 2 x + 8

3 x + ( x + )= 1

⇔

¿

y = 2 x + 8

3 x + 10 x + 40 = 1

¿ ¿{¿ ¿ ¿

⇔

y = x + 8

13 x =−39

⇔

¿

x =−3

y =−3 + = 2

¿ ¿ {¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm

x =−3 y =2

¿

{¿ ¿ ¿ ¿ Vớ d 3:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp thÕ

a) 10 x y x y          b)

2

3 x y x y          Giải: a) 10 x y x y        

 ĐKXĐ: y0

 

10

3 10 10

3 10

10 30 6( / )

x y

x y x y x

y y

x y y y t m

                                 

Vậy hệ pt có nghiệm nhất: x y      b)

2

3 x y x y          ⇔

√2(√2− y√3)−y√3=1

x=√2− y√3

¿ ¿{¿ ¿ ¿

⇔

y =√2 −1

√3

x=√2− y√3

¿ ¿{¿ ¿ ¿

⇔

x=1

y=√2−1

√3 ¿ ¿{¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm

x=1 y=√2−1

√3

¿ {¿ ¿ ¿

Ví d 4:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp a)     35 50 x y x y        

 b)

2 y x y x        c)        

14

x y x y

x y x y

         

 d)

6 4 x y x y            Gi¶i: a)     35 50 x y x y                

50 35 50 y y x y             

50 50 35 70 50 y y x y             

50 35 50 70 50 y y x y              15 120 50 y x y            50 y x y           

50

y x          350 y x 

Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (x; y) = ( 350; 8)

b) y x y x        

2

y x x x         

2

y x x x          2.2 y x        y x      Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = ( 2; 1)

c)

       

14

x y x y

x y x y

           

2 14 28 4

xy x y x y

xy x y x y

           

2 14 28 4 x y x y           

2 4 14 28 4 y y x y            

8 14 28 4 y y x y           36 4 y x y        4.6 y x        28 y x Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (x; y) = 28;6

d) 4 x y x y            

6

4 x y x x             

18 16 20

*) Bài tập vận dụng Bài 1:

a)

x− y= 3

3 x−4 y=2

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(10;7) b)

3 x +5 y=1 2 x + y =−4

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)= (-3;2) c)

x + y =6

2 x −3 y =12

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(6;0) d)

x +2 y=11

5 x−3 y=3

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(3;4) Bài 2:

a)

3 x − y=5 5 x +2 y=23

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(3;4) b)

3 x +5 y =1 2 x − y =−8

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;2) c)

7 x−3 y =5 4 x + y= 2

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 11 19 ; −6

19 ) d)

x+ y =−2

5 x−4 y =11

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 25 19; −21 19 ) Bài 3: a)

5 x − y=2 2 x +3 y= 4

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 10 17; 16 17 ) b)

4 x −2 y =6 2 x − y =1

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (vô nghiệm) c)

2 x + y =3

x +1

2 y =

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (nghiệm x)

Bài 4:

a)

3 x −2 y=11 4 x −5 y=3

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(7;5) b)

3 x + y=− 4 12 x +16 y −5 =0

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (vô nghiệm) c)

−3 x +7 y =7 2 x −4 y =−4

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(0;1) d)

2 x−3 y =−6 −4 x −6 y =12

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;0) Bài 5:

a)

3 x+ y=1 0,5 x −0,5 y =2

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 17 ; −11

7 ) b)

0,7 x + 0,5 y =5 2 x + y =2

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 140 11 ; −86 11 ) c)

x − y +8 =0

3 x +2 y +1=3

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( −14 ; 26

5 ) d)

5 y = x +2 2 x =3 y−1

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 7; ) Bài 6: a) x+ y y−2=1

3 x+2 y= 6

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-2;6) b)

x y=

2

x+ y−10= 0

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=(4;6) c) x 2− y 2=1 5 x−8 y=3

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (x;y)=( 13 ;

3 ) d)

x 4− y 6=1 x 8+ y

3=8

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(16;18)

Dạng II- Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số *) Ví dụ:

Vớ dụ 1:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp cộng đại số:

a) x y x y        b)

2

2

Giải:

a)

2 3 3

6 6

x y x x x

x y x y x y y

    

   

  

   

      

   

Vậy hệ Pt cho có nghiệm là:(x;y) = (3;-3)

b)

1

2 5

7

2 4 3.1

2

y

x y y y

x y x y x x

 

   

   

  

   

      

   



Vậy hệ Pt cho có nghiệm là:(x;y) = (1;

7 2) Vớ dụ 2:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp cộng đại số:

a)

3

2

x y x y

  



 

 b)

2

6

x y x y

  



  

Giải:

a)

3 10 2

2 7 2.2

x y x x x

x y x y y y

    

   

  

   

      

   

Vậy hệ Pt cho có nghiệm nhất:(x;y) = (2;-3)

b)

2

6

x y x y

  



  

⇔ 3 x =9

x − y =6

¿ ¿ {¿ ¿ ¿

⇔

x =3

3− y =6

¿ ¿{¿ ¿ ¿

⇔

x =3 y =−3

¿ ¿ {¿ ¿ ¿ Vậy hệ Pt cho có nghiệm nhất:(x;y) = (3;-3)

Vớ dụ 3:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp cộng đại số:

a)

3

2 3

x y

x y

 

 

 

 b)

2

3

x y

x y

  



  

Giải:

a)

3 14 5 1

2 3 9 3 3.( 1) 3

x y x y y y y

x y x y x y x x

       

    

   

    

         

    

Vậy hệ Pt cho có nghiệm nhất:(x;y) = (3;-1)

b)

2 0

3 6 3 2.0

x y x y y y x

x y x y x y x y

      

    

   

    

        

    

Vậy hệ Pt cho có nghiệm nhất:(x;y) = (-1;0)

Vớ dụ 4:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp cộng đại số:

a)

5

6

x y

x y

  

 

 

 b)

2

2 2

x y

x y

  

 

 

a)

2

5 15 12 3

6 12 14 11

3

x

x y x y x

x y x y x y

y                                   

Vậy hệ Pt cho có nghiệm là:(x;y) = (

2 11 ; 3 )

b)

2

2 2

x y x y         

2 2

2 2

1 2

4 2 4 4

6

2 2

2 2

8 x y x y y y y x y x x                                                 

Vậy hệ Pt cho có nghiệm nhất:(x;y) = (

6 2

;

8

   

)

Vớ dụ 5:Giải hệ phơng trình sau phơng pháp cộng đại số:

a)

2 11 10 11 31

x y x y      

 b)

4 16

4 24

x y x y        c)        

14

x y x y

x y x y

         

 d)

2

3

x y x y         Gi¶i: a)

2 11 10 11 31

x y x y        

2 11 10 11 31

x y x y          12 24 10 11 31

x x y       

10.2 11 31

x y       

20 11 31

x y        11 11 x y       x y     Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (2 ;1)

b)

4 16

4 24

x y x y        

4 16

4 24

x y x y         10 30 16

y x y       

4 7.3 16

y x        16 21

y x        y x       y x        Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (

5 

c)

       

14

x y x y

x y x y

           

2 14 28 4

xy x y x y

xy x y x y

           

2 14 28 4 x y x y           

2 4 14 28 4 y y x y            

8 14 28 4 y y x y           36 4 y x y        4.6 y x        28 y x     Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = 28;6

d)

2

3

x y x y         

8 12 20 12

x y x y           14 12

x x y          14

2.14

x y        14 28

x y        14 33 x y        14 11 x y      VËy hệ phơng trình có nghiệm x14;y11

*) Bài tập vận dụng Bài 1:

a)

3 x + y =3 2 x − y =7

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(2;-3) b)

2 x +5 y =8 2 x −3 y =0

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

3 ;1)

c)

x+ y =20

3 x−2 y =12

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(8;6) d)

2 x −3 y =5 5 x+3 y =9

¿

{¿ ¿ ¿

¿

(x;y)=(2;-1 )

Bài 2:

a)

4 x +3 y = 6 2 x + y =4

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(6;-2) b)

2 x + y =−2 3 x−2 y=−3

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-1;0)

c)

2 x−3 y =11 −4 x +6 y =5

¿

{¿ ¿ ¿

¿ Vô nghiệm d)

3 x−2 y=10

x −2

3 y=3

¿ {¿ ¿ ¿

¿ Vô số nghiệm

Bài 3:

a)

2 x +7 y= 9 3 x − y =2

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(1;1) b)

5 x +3 y =1 2 x + y =−1

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-4;7)

c)

2 x +7 y=1 3 x+5 y =−4

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;1) d) x+

1

5 y=−2 2 x+ y=1

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(33;-65)

Bài 4:

a)

3 x+ y =18 4 x −3 y=−1

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(2;3) b)

0,3 x+ 0,5 y =3 1,5 x −2 y =1,5

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(5;3)

c)

2 x+6 y =1 3 x + y =−1

¿

{¿ ¿ ¿

¿ Vô nghiệm d)

x− y =5

−1 x+

1 y =−

5

¿ {¿ ¿ ¿

Bài 5:

a)

−5 x +2 y= 6 x−3 y =−1

¿

{¿ ¿ ¿

¿

(x;y)=(-10 ;

-19

3 ) b)

3 x +5 y =9 2 x −4 y =−5

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

1 2;

3 )

c)

x −3 y= 4

2 x + y =7

¿

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

25 ;−

1

7 ) d)

1 x−

1 y=3 10 x−9 y=2

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=( 133 ; 88 ) Bài 6: a)

x√2−3 y=1 2 x + y√2=−2

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

−6+√2 ;

−√2−1

4 ) b)

x 5√3 + y =2√2 −x√6 − y√2=2

¿ {¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

√6 ;

−7√2 )

Dạng III- Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ *) Ví dụ:

Vớ dụ 1:giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ.

a) 1 x y x y          

 b)

15 9 35 x y x y          

 c)

1

8

1

8

x y x y

x y x y

               Gi¶i:

a) XÐt hƯ phơng trình:

1 1 x y x y          

 §iỊu kiƯn: x0; y 0 §Ỉt a =

1

x; b =

1

y hệ phơng trình trở thành

1

a b a b        

3 3

a b a b         

a a b         8

2 5 a b            16 5 a b            a b           5 a b           5 x y           x y    Vậy hệ phơng trình cã nghiƯm lµ (x; y ) =

5 ;      

b) Xét hệ phơng trình:

15 9 35 x y x y          

 Điều kiện: x0; y 0 Đặt a =

1

x; b =

1

y hệ phơng trình trở thành

15 9 35



135 63 81 28 63 245

a b a b          163 326 35

a a b       

4.2 35

a b        35

a b        27 a b       a b       x y           x y         (t/m)

Vậy hệ phơng trình có nghiệm lµ (x; y ) =

1 ;      

Vớ dụ 2:giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ.

a) 1 5 x y x y            b)

1

8

1

8

x y x y

x y x y

            Giải:

a) Xét hệ phơng tr×nh:

1 5 x y x y          

 §iỊu kiƯn: x0; y 0 §Ỉt a =

1

x; b =

1

y hệ phơng trình trở thành

5

a b a b        

5 25

2

a b a b          18 a a b        6 a b        6 a b        a b       1 x y           x y      

 ( thoả mÃn)

Vậy hệ phơng trình có nghiƯm lµ (x; y ) =

1 ;       

b) Xét hệ phơng trình:

1

8

1

8

x y x y

x y x y

             

 §iỊu kiƯn: x   y

Đặt a =

x y ; b =

 x y x y         10 x x y        5 x y        x y      (t/ m)

VËy hÖ phơng trình có nghiệm ( x; y ) = 5;3

*) Bài tập vận dụng Bài 1: a) x+ y= x− y= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b) x− y=1 x+ y=5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c) x+ y=1 x + y=−1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Bài 2: a) x+ y=1 x− y=1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b) x− y=10 x+ y=−1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c) x+ y= x+ y= 20 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Bài 3: a) 15 x − y=9 x+

y=35

¿

{¿ ¿ ¿

¿ b)

2

x +1+

3

y=−1

2

x +1+

5 y=−1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c) x+

y− 2=4

4

x−

1

y− 2=1

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Bài 4: a) 3 x+

1 3 y=

1

6 x+ y= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b) x−2+ y−1=2

x− 2−

3

y −1=1

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c) x−1− y−2=7

x− 1+

2 y−2=−1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Bài 5: a)

x +3−

9 y−2=100 x+3+ y−2=308 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b)

y+ 1+

1

x+ 2=1

4

y +1−

2

x+ 2=2

¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c) x−3+

y+ 1=2

5

x− 3+

1

y +1=

29 20 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Bài 6: a) 2 x +1−

2

y−1=0

4 2 x +1+

3 y−1=2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ b)

x+ y +

1

x − y=

2

x− y−

1

x + y=

1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ c)

x + y−

2

x− y=2

5

x + y−

4

x− y=3

¿

{¿ ¿ ¿

d)

1

x−2−

3

y +1=8

1

x− 2+

5

y +1=16

¿

{¿ ¿ ¿

¿ e)

5

x+ y=

4

x− y

40

x + y−

40

x− y=

9 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ f)

x+ y+

1

x− y=

5

x + y−

1

x− y=−

3 ¿

{¿ ¿ ¿ ¿ Dạng IV- Giải hệ phương trình chứa tham số

*) Ví dụ:

Vớ d 1: Cho hệ phơng trình:

1 mx y x my       a) Giải hệ phơng trình m =

b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m Giải:

a) Thay m = vào hệ phơng trình

1 mx y x my      

 ta có hệ phơng trình trở thành

2 2 x y x y          

2 2

y x x x            2

y x x x          y x x         2.0 y x        y x     

VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

Ta cã hpt

1 mx y x my          

y mx

x m mx

        

 

1

2

y mx

x m m x

           1 y mx

m x m

           2 y mx m x m            2 m y m m m x m                      2 2 1 m m y m m x m                2 2 2

m m m

y m m x m                 2 2 m y m m x m          Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = 2

2

; 1 m m m m          

 2

2

1 1 m m m m    

   2 m 1 2 m  1 m2

 m2m0  m m  . 1  m m        m m     

VËy víi m = hc m = -1 hpt có nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn: x - y = d) T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Xét hệ phơng trình

1 mx y x my           

Tõ ph¬ng tr×nh  1  mx 1 y 

1 y m x   thay 1 y m x

vào phơng trình 2 ta có phơng trình

1 y x y x          2 y y x x   

 x2 y y2 2x  x2 y y2 2x0

Vậy x2 y y2 2x0 đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Vớ d 2: Cho hệ phơng trình:

   

1

1

m x y m

x m y

          a) Giải hệ phơng trình m =

b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị cđa m tho¶ m·n: 2x2 – 7y = 1

d) Tìm giá trị m để biểu thức

2x 3y x y



 nhận giá trị nguyên. Giải:

a) Thay m = vào hệ phơng trình

1

1

m x y m

x m y

         

 ta cã hÖ phơng trình trở thành

3

3

x y x y             2 x y x y        

4

2 x y x y          2 x x y        4 2 x y            4 2 x y            2 x y           3 x y          VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) =

4 ; 3      

b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Xét hệ phơng trình

   

1

1

m x y m

x m y

Từ phơng trình 2 x my y  2 my 2 x y 

2 x y

m

y

  

thay

2 x y

m

y

vào phơng trình 1 ta có phơng trình:

2

1

x y x y

x y y y               2

x y y x y

x y y y               2

x x y

x y y y             2

2x x y x y

y y

   

 

2

2x x y  2 x y  x2 y2 3x y  2

Vậy x2 y2 3x y  2 đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

c)Giải hệ phơng trình

1

1

m x y m

x m y

         

 theo tham sè m ta cã hpt

   

1

1

m x y m

x m y

                   

1

1

m x m y m m

x m y

                    

1

1

m x x m m

x m y

                 

2 2 1 1 2

1

m m x m m

x m y

                      

2

1

m m x m m

x m y

               1 m x m m m y m                 1 m x m m m y m              `    1 m x m m m m y m                 1 m x m m m y m              1 m x m y m          

Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt (x; y ) =

1 ; m m m       

+) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả m·n 2x2 - 7y = 1



2

1

2 m

m m                 2

2

1 m m m m    

 2m24m 2 7m m

 m2 3m 2  m  m10  m m         m m     

d) Thay m x m   ; y m 

vµo biĨu thøc A =

2x 3y x y



 ta đợc biểu thức

A =

1 1 m m m m m m           =

2 1 m m m m     =

2

: m m m m   = 2 m m   =  

2

2 m m    =  

2

2 m m m     = 2 m  

§Ĩ biĨu thøc A =

2x 3y x y



nhận giá trị nguyên 2 m

nhận giá trị nguyên



5

m  nhận giá trị nguyên

5m 2 (m+2) ớc Mà Ư(5) =  1; 5

 2 5 m m m m                2 5 m m m m                3 m m m m          

KÕt hỵp với điều kiện m 1; m 2 Vậy với giá trị m = -1; m = -3; m = -7; m =

giá trị biểu thøc

2x 3y x y



 nhận giá trị nguyên

*) Bi dng

Bi 1:Cho hệ phơng trình:

2 mx y x my    

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Giải hệ phơng trình theo tham sè m

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y =- d) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m

Bµi 2: Cho hệ phơng trình :

x my o

mx y m

 

 

   

a) Gi¶i HPT với m = -2

b) Giải biện luËn HPT theo tham sè m

c) Tìm m để HPT có nghiệm (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = d) Tìm m để HPT có nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có nghiệm ngun

f) Tìm đẳng thức liên hệ x,y độc lập với m

Bài 3: Cho hệ phơng trình:

mx y 9x my 2m

  



  



b) Tìm m để phơng trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm c) Tìm m để 3x + 2y =

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng e) Tìm m để phơng trỡnh cú nghim nguyờn õm

Bài 4:Cho hệ phơng tr×nh :

(m−1 ) x + y =m x +( m−1 ) y =2

¿

{¿ ¿ ¿

¿ ; cã nghiÖm nhÊt (x ; y)

a) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m; b) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y = 1

c) Tìm giá trị m để biểu thức A =

2x 3y x y



nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho hệ phơng trình:

mx y =1 x + my=2

¿

{¿ ¿ ¿ ¿

a) Giải hệ phơng trình theo tham số m

b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x,y) Tìm giá trị m để x +y = c) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Ngày giao bài: 17/2/2020 Ngày hồn thành: 29/2/2020

ƠN TẬP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A.

Kiến thức bản

Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - Bước : lập hpt (bao gồm công việc sau)

+ Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)

+ Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + Lập hpt biểu thị tương quan đại lượng

- Bước : giải hpt vừa lập đc bước

- Bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu

B Nội dung

Dạng 1: Tốn tìm số

- Ta phải ý tới cấu tạo số có hai chữ số , ba chữ số …viết hệ thập

phân điều kiện chữ số

Vớ d 1:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng

n v l v nu đổi chỗ chữ số cho đợc số mi bng

4

7 số ban đầu. Gii:

- Theo chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có ph ơng trình:

x - y =

- Ta có số cho là: xy10x y ,

số sau đổi chỗ chữ số cho là: yx10y x (1) Theo đổi chỗ chữ số cho đợc số

4

7 số ban đầu ta có

ph-ơng trình:  

4 10y + x = 10

7 x y (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình:

x - y = 10y + x = 10

7 x y

  

 



     x - y =

7 10y + x = 10x y 



 



x - y = 70y = 40x + 4yx

 

 



x - y = 33x 66 = 0y

 

 



x - y = 2 =

x y

  

 



y = =

x y

 



 

y = 2 =

x

 



 

y = =

x

 

 ( thoả mãn ) Vậy chữ số hàng chục 4; chữ số hàng đơn vị 2, Số cho là: 42

Vớ dụ 2:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số

hàng chục đổi chỗ chữ số cho đợc số

17

5 số ban đầu. Gii:

- Gi ch s hàng chục x chữ số hàng đơn vị y ( Điều kiện: < x , y  9); x , y  N)

- Theo chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có ph ơng trình:

x - y =

- Ta có số cho là: xy10x y ,

số sau đổi chỗ chữ số cho là: yx10y x (1) Theo đổi chỗ chữ số cho đợc số

4

7 số ban đầu ta có

ph-ơng trình:

17 10y + x = 10

5 x y (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt:  

y - x = 17 10y + x = 10

5 x y

  

 



     y - x =

5 10y + x = 17 10x y 





y - x = 50y = 170x x 17y

 

 





y - x = 165x 33y 



 

 

- x + y = 15x 3y 



 





- 15x +15 y = 60 15x 3y 

 

 





12 y = 60

x y

 

   



y = 5 =

x

 

 

 

y = =

x

 

 ( thoả mãn ) Vậy chữ số hàng chục 1; chữ số hàng đơn vị 5, Số cho là: 15

Ví dụ 3: Tìm hai số biết lần số thứ hai cộng với lần số thứ 18040, và

3 lần số thứ lần số thứ hai 2002

LG

- Gọi số thứ x, số thứ hai y x y N,  

- Theo ra, ta có :

5 18040 2004

3 2002 2005

x y x

x y y

  

 



 

  

 

Ví dụ 4:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tổng chữ số

của Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại đc số lớn số ban đầu 36 đơn vị

LG

- Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N ,  ;0a b, 9

- Theo ra, ta có:

4( )

48

36

ab a b a

ab b

ba ab

    



  

 



  

 

Ví dụ 5:Tìm số có hai chữ số Biết viết thêm số vào bên phải số thì

được số có ba chữ số số phải tìm 577 số phải tìm số viết theo thứ tự ngược lại 18 đơn vị

LG

- Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N ,  ;0a9;0 b 9

- Theo ra, ta có:

1 577 10 64

64

2

18

ab ab a b a

ab

a b b

ab ba

       



   

  

  

   

 

Ví dụ 6:Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần

và thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm

LG

- Theo ra, ta có:

 

2

25

4

6 5

4 25

25 9 20 0 5

4

a

loai

a b

ab a b a b b

ab ba

ab ba b b a

thoa man b

    



 

     

    



   

  

  



  

 

      

    - số cần tìm : 54

*) Bài tập vận dụng B

ài : Tìm số tự nhiên biết tổng số 160 Nếu lấy số lớn chia số bé đợc thơng

d 10 ?

Bài : Tìm số tự nhiên (STN) có chữ số (CS) biết tổng chữ số nhỏ số lần ,

nếu thêm 25 vào tích chữ số ta đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ?

Bài 3: Tìm STN có chữ số biết tổng chữ số (16) Nếu đổi vị trí chữ số

đ-ợc số có CS giảm ( tăng ) 36 (18) đơn vị ?

Bài 4: Tìm STN có chữ số biết biết CS hàng chục CS hàng đơn vị Nếu xen

CS vào CS đợc số có CS tăng 630 đơn vị ?

Bµi 5:Cho số tự nhiên có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số

của nhỏ số lần thêm 25 đơn vị vào tích hai chữ số số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho?

Dạng Tốn liên quan tới yếu tố hình học

- Ta phải nắm cơng thức tính chu vi; diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng, định lý Pi-ta-go

Ví dụ 1: HCN có chu vi 80m Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m

thì diện tích mảnh đất tăng thêm 195m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất

Gọi chiều dài x, chiều rộng y

Ta có hpt

     

2 80 30

10

3 195

x y x

y

x y xy

 

  





 



    

 

Ví dụ 2: ruộng HCN, tăng chiều dài thêm 2m tăng chiều rộng thêm 3m

thì diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện

tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng đó?

Gọi chiều dài HCN x Gọi chiều rộng HCN y

Ta có hpt

       

2 100 22

14

2 68

x y xy x

y

x y xy

   

  





 



    

 

*) Bài tập vận dụng

Bµi : Mét mảnh vờn HCN có chu vi 250 m Tính diện tích mảnh vờn biết tăng

chiỊu dµi 15 m vµ bít chiỊu réng 15 m diện tích giảm 450 m2 ?

Bài :Một mảnh vờn HCN có chu vi 34 m Tính diện tích mảnh vờn biết tăng

chiều dài m chiều rộng tăng m diện tích tăng 45 m2 ?

Bài :Một mảnh vờn HCN có chu vi 56 m Tính diện tích mảnh vờn biết tăng

chiều dài gấp chiều rộng tăng gấp đơi chu vi 144 m ?

Bµi 4:Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng ,biết tăng

cạnh lên 3cm diện tích tăng lên 36cm2 giảm cạnh 2cm,cạnh

4cmthì diện tích tamgiác giảm 26cm2

(x=9;y =12)

Bµi 5:Một sân hình chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rộng thêm 5m giảm

chiều dài 5m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 25m2

Dạng Toán chuyển động

Vớ dụ 1: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm

14 km/h đến B sớm giờ, giảm vận tốc km/h đến B muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định

*GV híng dÉn cho h/s lập bảng điền vào bảng số liệu trả lêi c©u hái sau:

Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB

Dự định x (h) y (h) x.y (km)

LÇn 1 x +14 (h) y - (h) (x +14).(y - 2) (km)

Lần 2 x - (h) y + (h) (x - 4).(y + 1) (km) - Hãy chọn ẩn, gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn sau lập hệ phơng trình tập - GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình  hệ phơng trình cần lập đợc

lµ:

(x +14).(y - 2) = x.y (x - 4).(y + 1) = x.y 

  Giải:

- Gọi vận tốc dự định x (km/h); thời gian dự định từ A đến B y (h) (Điều kiện x > 4, y > 2) Thì quãng đờng AB x.y (km)

- Nếu tăng vận tốc 14 km/h vận tốc là: x + 14 (km/h) đến sớm thời gian thực là: y – (h) nên ta có phơng trình: (x +14).(y - 2) = x.y (1)

- Nếu giảm vận tốc km/h vận tốc là: x – (km/h) đến muộn thời gian thực là: y + (h) nên ta có phơng trình: (x - 4).(y + 1) = x.y (2)

Tõ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:

(x +14).(y - 2) = x.y (x - 4).(y + 1) = x.y 

 



xy - 2x + 14y - 28 = x.y xy + x - 4y - = x.y 

 



- 2x + 14y = 28 x - 4y = 

 



- 2x + 14y = 28 2x - 8y = 

 

 

6y = 36 x - 4y = 

 



y = x - 4.6 = 



 

y = x - 24 = 

 



y = x = 28 



 (thoả mãn) Vậy vận tốc dự định 28 (km/h); thời gian dự định từ A đến B (h)

Vớ dụ 2: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm

15 km/h đến B sớm giờ, xe giảm vận tốc 15 km/h đến B muộn Tính quãng đờng AB

*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng điền vào bảng số liệu trả lời câu hỏi sau:

Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB

Dự định x (h) y (h) x.y (km)

LÇn 1 x +15 (h) y - (h) (x +15).(y – 1) (km)

Lần 2 x - 15 (h) y + (h) (x - 15).(y +2) (km) - Hãy chọn ẩn, gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn sau lập hệ phơng trình tập - GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình  hệ phơng trình cần lập đợc

lµ:

(x +15).(y - 1) = x.y (x - 15).(y + 2) = x.y 

Giải:

- Gọi vận tốc dự định x (km/h); thời gian dự định từ A đến B y (h) (Điều kiện x > 15, y > 1) Thì quãng đờng AB x.y (km)

- Nếu tăng vận tốc 15 km/h vận tốc là: x + 15 (km/h) đến sớm thời gian thực là: y –1(h) nên ta có phơng trình: (x +15).(y - 1) = x.y (1)

- Nếu giảm vận tốc km/h vận tốc là: x – 15 (km/h) đến muộn thời gian thực là: y + (h) nên ta có phơng trình: (x - 15).(y + 2) = x.y (2)

Tõ (1) vµ(2) ta cã hƯ phơng trình:

(x +15).(y - 1) = x.y (x - 15).(y + 2) = x.y 

 



xy - x + 15y - 15 = x.y xy + 2x - 15y - 30 = x.y 

 



- x + 15y = 15 2x - 15y = 30 

  



x = 45 - x + 15y = 15 



 

x = 45 - 45 + 15y = 15 

 



x = 45 15y = 60 



 

x = 45 y = 



 (thoả mãn) Vậy vận tốc dự định 45 (km/h); thời gian dự định từ A đến B (h)

Quãng đờng AB dài là: S = v.t = 45 = 180 (km)

Ví dụ 3: Quãng đường AC qua B dài 270km, xe tải từ A đến B với vận tốc

60km/h từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất hết 6giờ, Tính thời gian tơ qng đường AB BC

* Lập bảng

Thời gian Vận tốc Quãng đường

AB x 60 60x

BC y 40 40y

* Ta có hệ phương trình:

3

6 2

60 40 270

2

x x y

x y

y

    

 



 

 

  

 

Ví dụ 4: Một tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau thì

gặp Nếu chiều xuất phát điểm, sau hai xe cách 28km Tính vận tốc xe đạp ô tô biết quãng đường dài 180km

* Sơ đồ:

B A

XM

XD XM

* Lập bảng:

V t (đi ngược chiều)

S (đi ngược chiều)

t (đi chiều)

S (đi chiều)

Xe đạp x 3x x

Xe máy y 3y y

* Ta có hệ phương trình:

3 180 60 16

28 28 44

x y x y x

x y x y y

    

  

 

  

      

  

Ví dụ 5: ô tô qđ AB với vận tốc 50km/h, tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h Biết

tổng chiều dài qđ AB BC 165km thời gian tơ qđ AB thời gian tơ qđ BC 30ph Tính thời gian ô tô qđ?

Gọi thời gian ô tô AB, BC x, y

Ta có hệ phương trình:

50 45 165

2

2

x y

x

x y y

 

 



 



 

 

  

 

Ví dụ 6: ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km, ngược dịng qng sơng mất

2h30ph Nếu qng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 1h20ph Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước?

- gọi v ca nơ x, v dịng nước y (km/h; x > y > 0) - v xuôi: x+y

- v ngược: x-y

- ta có hpt

12 12

2

4

3

x y x y

x y x y



 

  

 

  

  

 giải hệ ta x = 10 ; y = (tmđk)

Ví dụ 7: Một ca nơ chạy sơng xi dòng 84 km ngược dòng 44 km giờ.

Nếu ca nơ xi dịng 112 km ngược dịng 110 km giờ.Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước

- gọi x, y vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước (km, < y < x) - vận tốc xuôi ca nô: x + y

- thời gian xi dịng 84km là: 84/x+y - thời gian xi dịng 112km là: 112/x+y - vận tốc ngược ca nô: x - y

- thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y - thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y

- theo ta có hệ phương trình:

84 44

5 112 110

9

x y x y

x y x y



 

  

 

  

  

 đặt

1

;

a b

x y  x y 

*) Bài tập vận dụng

Bài 1: Một người khởi hành từ vị trí A đến vị trí B Sau 20 phút một

Bài 2: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến

A đuổi theo đuổi kịp thuyền cách bến A 20 km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12km/h?

Bài 3: Một tầu thủy chạy khúc sông dài 80 km Cả 20 phút.

Tính vận tốc tầu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h

Bài 4: Khoảng cách hai bến sông A B 30 km Một ca nô từ A đến B, nghỉ

40 phút B,rồi trở bến A.Thời gian kể từ lúc đến lúc đến A Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 3km/h

Bài 5: Một xuồng máy xi dịng sơng 30km ngược dịng 28km hết thời gian

bằng thời gian mà xuồng 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ biết vận tốc nước chảy sông l 3km/h

Bài :Một ô tô QĐ AB với vận tốc 50 Km/h tiếp Q§ BC víi vËn tèc 45

Km/h TÝnh thêi gian xe QĐ ,biết thời gian AB BC 30 phút QĐ tổng cộng 165 Km ?

Bi :Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu VT tăng 20 Km/h

thì TG giảm Nếu VT giảm 10 Km/h TG tăng Tính VT TG dự định ?

Bài :Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu VT tăng 14 Km/h

thì đến sớm 30 phút Nếu VT giảm 10 Km/h đến muộn 45 phút Tính QĐ AB ?

Bài :Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu VT tăng

14 Km/h đến sớm Nếu VT giảm Km/h đến muộn Tính VT TG dự định ?

Bài 10:Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với

vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lỳc u

Bài 11 : Một ca nô chạy khúc sông xuôi dòng 108 Km ngợc dòng 63 Km hết 7

giờ Lần khác ca nô xuôi 81 Km ngợc 84 Km hÕt giê.TÝnh VT dßng níc ?

Dạng 4.Tốn suất

* Chú ý:

- Năng suất (NS) số sản phẩm làm đơn vị thời gian (t) - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch

Ví dụ Bài tập 46: (SGK - 27)

- Gọi số thóc năm ngối đơn vị thứ thu đợc x ( ), đơn vị thứ hai thu đợc y ( ) ĐK: x , y >

- Năm ngoái hai đơn vị thu đợc 720 thóc nên ta có phơng trình: x + y = 720 (1)

- Năm đơn vị thứ vợt mức 15%, đơn vị thứ hai vợt mức 12% nên hai đơn vị thu hoạch đợc 819 ta có phơng trình :

(x + 0,15x) + (y + 0,12 y) = 819 (2) Tõ (1 ) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

720 1,15 1,15 828 0,03 1,15 1,12 819 1,15 1,12 819 720

x y x y y

x y x y x y

       

 

  

       

 

300 420

y x

  



 (tho¶ m·n)

Vậy Năm ngoái đơn vị thứ thu đợc 420 thóc đơn vị thứ hai thu đợc 300 thóc Năm đơn vị thứ thu đợc 483 thóc, đơn vị thứ hai thu đợc 336

Ví dụ Một tổ cơng nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian

Giải:

Gọi x(sản phẩm) số sản phẩm làm ngày theo dự định,(x nguyên dương)

Số sản phẩm thực ngày x + 10 (sản phẩm)

Thời gian dự định làm xong công việc

240

x (ngày)

Thời gian thực tế làm xong công việc

240

x+10 (ngày)

Vì thực tế hồn thành sớm dự định ngày nên ta có phương trình:

240

x −

240

x +10=2 Biến đổi ta phương trình x2 + 10x – 1200 = 0.

Giải phương trình x2 + 10x – 1200 = 0, ta x

1 = 30 (nhận); x2 = - 40 (loại)

Vậy thực tế, ngày tổ hoàn thành 30 + 10 = 40 (sản phẩm)

*) Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong tháng I hai tổ sản xuất 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 18% tổ hai vượt mức 21% nên sản xuất 720 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 2: Trong tháng I hai tổ sản xuất 300 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 15% tổ hai vượt mức 20% nên sản xuất 352 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 3: Trong tháng I hai tổ sản xuất 800 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 15% tổ hai vượt mức 20% nên sản xuất 945 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 4: Trong tháng I hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 15% tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 5: Trong tháng I hai tổ sản xuất 500 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 12% tổ hai vượt mức 25% nên sản xuất 599 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 6: Trong tháng I hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy.sang tháng II tổ vượt

mức 20% tổ hai vượt mức 14% nên sản xuất 1050 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm tháng I

Bài 7: Một tổ SX theo KH phải SX 720 SP theo NS dự định Thời gian làm theo NS

tăng 10 SP/ngày TG làm theo NS giảm 20 SP/ngàylà ngày.Tính NS dự định ?

Bài 8: Một công nhân dự định làm 72 TG định ,nhưng thực tế phải làm 80

SP Mặc dù người làm thêm 1SP Tg HTCV chậm dự định 12 phút Tính số SP người dự định làm ngày (Biết số SP người làm ngày không 20 SP ) ?

Bài 9: Theo KH công nhân phải làm 60SP TG dự định ,nhưng cải tiến kỉ

thuật nên mỗi công nhân làm thêm SP Vì chẵng HTKH sớm 30 phút mà cịn vượt mức SP Tính số SP công nhân dự định làm 1giờ theo kế hoạch ?

Bài 10 :Theo kế hoạch tổ phải SX 360 SP Nhưng thực tế T1 vượt 10 % , T2 vượt 15

Bài 11 :Theo kế hoạch tổ phải SX 600 SP thời gian định Do áp dụng

khoa học kỉ thuật vào SX nên T1 vượt 18 % T2 vượt 21 % so với kế hoạch

đó tổ SX vượt 120 SP Tính số SP tổ phải SX theo kế hoạch ?

Bài 12 :Trong tháng đầu tổ SX 900 (800) SP Do áp dụng khoa học kỉ thuật

vào SX nên tháng thứ T1 vượt 16 (15) % T2 vượt 20 % so với tháng đầu nên

cả tổ SX vượt 1060 (945) SP Tính số SP tổ phải SX tháng đầu ?

Dạng : Tốn làm chung, làm riêng cơng việc

- Ta coi tồn cơng việc đơn vị, gọi thời gian làm xong công việc x thỡ

trong đơn vị thời gian làm

1

x cụng việc

* Ghi nhớ :Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không cộng cột thời gian, năng

suất thờ i gian dũng số nghịch đảo

Ví dụ Bài tập 33: ( SGK - 24)

Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm ngời hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc

*GV híng dÉn cho h/s lËp b¶ng điền vào bảng số liệu trả lời câu hái sau:

Ngêi 1 Ngêi 2 C¶ Ngêi

Thời gian làm riêng

x (h) y (h) 16h

Năng suất/1 ngày

x (phần công việc)

1

y (phần công việc)

1

16 (phần công việc)

- Hóy chn ẩn, gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn sau lập hệ phơng trình tập 33 ( Sgk - 24)

- Đổi 25% công việc (=

1

4c«ng viƯc)

- GV hớng dẫn cho học sinh lập phơng trình  hệ phơng trình cần lập đợc là:

1 1

16

4

x y

x y



 

  

  

 

Gi¶i :

Gọi số ngày để ngời thứ làm xong cơng việc x ( ngày) số ngày để ngời thứ hai làm xong cơng việc y (ngày) (ĐK: x, y> 16)

- Mỗi ngày ngời thứ làm đợc:

1

x (phần công việc)

- Mt ngày ngời thứ hai làm đợc:

y (phần công việc)

- Theo bi ngời làm 16 xong nên ngời làm đợc:

1

16( phÇn công việc) ta có phơng trình:

1 1 16

x y  (1)

- Theo bµi ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thø hai lµm giê chØ hoµn

thành 25% công việc nên ta có phơng trình:

3

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

1 1

16

4 x y x y      

Đặt a = ; x b = y

ta cã hpt

1 16 a b a b            

16 16 12 24

a b a b        

48 48 24 48

a b a b          24 1 16 a a b         24 1 24 16 a b            24 48 a b           1 24 1 48 x y           24 48 x y     

 (thoả mÃn)

Vậy ngời thứ làm sau 24 ngày xong công việc ngời thứ hai làm sau 48 ngày xong c«ng viƯc

Ví dụ Bài tập 45: (SGK - 27)

Gọi đội I làm x ngày xong cơng việc, đội II làm y ngày xong cơng việc ĐK : x , y > 132

Một ngày đội I làm đợc

1

x phần công việc, đội II làm đợc

1

y phần công việc

Vỡ hai i làm chung 12 ngày xong cơng việc nên ta có phơng trình: 1

12

xy  (1)

Hai đội làm chung ngày đội II làm 3,5 ngày với xuất gấp đơi xong cơng việc nên ta có phơng trình:

1

.8 3,5

x y y

 

  

 

  ( 2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh :

1 1 12

1

.8 3,5

x y

x y y

               

 đặt a =

1

x ; b =

1

y ta cã hÖ:

1 12 8( ) 3,5.2

a b

a b b

           28 21 a b        

 Thay a , b ta tìm đợc (x; y) = (28; 21) (thoả mãn) x = 28 ( ngày ) ; y = 21 ( ngày )

Ví dụ 3: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu

vịi thứ chảy giờ, vòi thứ chảy bể Hỏi vịi chảy đầy bể?

LG

* lập bảng

V V Cả V

TGHTCV x y

Năng suất 1h

x

1

y

1

Năng suất 2h

x

2

Năng suất 3h

y

* ta có hpt:

1 1

10

2 15

5

x

x y

y

x y



 

  





 

     



Ví dụ 4: Hai tổ làm chung cơng việc 12 xong, hai tổ làm

trong tổ (I) đc điều làm việc khác , tổ (II) làm nốt 10 xong cơng việc Hỏi tổ làm riêng xong việc

* lập bảng

Tổ Tổ Cả tổ

TGHTCV x y 12

Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12

Năng suất 4h 4/12 = 1/3

Năng suất 10h 10/y

* ta có hpt:

1 1

60 12

1 10 15

1

x

x y

y y



 

  





 

 

  

 

Ví dụ 5: Hai vịi nước chảy vào bồn khơng có nước Nếu vòi chảy 3h rồi

dừng lại, sau vịi chảy tiếp 8h đầy bồn Nếu cho vịi chảy vào bồn khơng có nước 1h, cho vịi chảy tiếp 4h số nước chảy vào 8/9 bồn Hỏi chảy vịi chảy đầy bồn?

* lập bảng

Vòi Vòi Cả vòi

Thời gian chảy x y

1h 1/x 8/9

4h 4/x 4/y

3h 3/x 1

8h 8/y

* ta có hpt:

3

9

1 4 12

9

x

x y

y

x x y



 

  





 

      



Ví dụ 6: Hai vịi nước chảy vào bể cạn bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy hai vịi chảy bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể

* lập bảng

Vòi Vòi Cả vòi

TGHTCV x y

Năng suất 1h 1/x 1/y 3/10

Năng suất 2h 2/y 4/5

Năng suất 3h 3/x

* ta có hpt:

1

5 10

3 10

5

x

x y

y

x y



 

  





 

    

 

*) Bài tập vận dụng

Bµi : Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau 20 phút đầy Nếu

mở V1 10 phút ,V2 12 phút chúng chy c

15 bể Hỏi vòi chảy thì

sau đầy bể ?

Bài :: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể nớc sau 30 phút

sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại mở vòi thứ hai chảy tiếp

trong 20 phút đợc

1

5 bĨ Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể ?

Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau 24

5 đầy Biết giê

lợng nớc V1 chảy đợc

2 lợng nớc V2 Hỏi vòi chảy sau bao lâu

đầy bể ?

Bài 4: Hai ngời thợ sơn cửa cho nhà ngày xong việc Nếu

ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi nghØ vµ ngời thứ làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm sÏ xong viƯc ?

Bµi 5:Hai đội cơng nhân làm đoạn đường 24 ngày hồn thành

.Mỗi ngày phần việc đội A làm gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong bao lâu? (x=40;y=60)

Bài 6:Hai đội công nhân A B làm công việc 36’’ xong Hỏi

nếu làm đội phải xong công việc Biết thời gian làm đội A thời gian làm đội B

Bài : Hai tổ công nhân làm chung CV 12 hoàn thành Hä lµm

chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc

3 10

Bµi :: Hai ngời làm chung CV 20 ngày hoµn thµnh Hä lµm chung

với 12 ngày ngịi thứ làm việc khác , ngời thứ hai tiếp tục làm ,đi đợc 12 ngày ngời thứ quay lại làm tiếp ngày ngời thứ nghĩ cơng việc hồn thành Hỏi làm ngời HTCV sau ?

Bµi : Hai công nhân làm chung CV 1giờ 12 phút hoàn thành Họ làm

chung vi trong 30 phút ngời thứ đợc điều làm việc khác , ngời thứ hai làm thêm 45 phút đợc 75% cơng việc Hỏi làm ngời HTCV sau bao lõu ?

Bài 10: Hai công nhân làm chung CV 18giờ hoàn thành Ngời thø nhÊt

làm ngời thứ hai làm họ làm đợc

1

3CV Hỏi làm thì

mỗi ngời HTCV sau ?

Bài 11: Hai ngời thợ làm công việc 16 (15)giờ xong NÕu ngêi thø

nhất làm ngời thứ hai làm (5) họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ng-ời làm công việc xong

Bµi 12: Hai lớp 9A 9B tham gia lao động xong

3 công việc.

Nếu để lớp làm riêng lớp 9A làm xong công việc trước 9B Hỏi lớp làm xong công việc bao lâu?

Bµi 13:Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu

mở vòi thứ vòi thứ hai đầy

2

5 bể Hỏi vòi nếu

chảy riêng đầy bể?

Dạng : Tốn có nội dung hóa học, vật lý Ví dụ 1: Bµi 44 : (SGK)

- Gọi số gam đồng số gam kẽm có vật x (g) ; y( g) ( x ; y > ) Vì vật nặng 124 gam nên ta có phơng trình : x + y = 124 (1)

Thể tích x gam đồng là:

10

89x ( cm3) ThĨ tÝch cđa y gam kÏm lµ :

7 y ( cm3)

Vì thể tích vật 15 cm3 nên ta có phơng trình:

10 15

89x7 y ( 2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình:

124 10

15 89

x y

x y

  

 

 



 từ giải hệ phơng trình tìm x; y. Vớ d ụ 2: Moọt dung dũch chửựa 30% axit nitụric (tớnh theo theồ tớch ) vaứ moọt dung dũch

khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại loại để 100lít dung dịch 50% axit nitơric?

HD Giaûi:

+/ Gọi x,y theo thứ tự số lít dung dịch loại (Đơn vị: Lít, x,y>0) Lượng axit nitơric chứa dung dịch loại

30

+/ Ta có hệ phương trình :

100

30 55 50

100 100

x y

x y

  

 

 

 

+/ Giải hệ ta : x=20 ;y=80

*) Bài tập vận dụng

Bài 1: Người ta hòa lẫn kg chất lỏng I với kg chất lỏng II hỗn hợp có

khối lượng riêng 700 kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng I lớn khối

lượng riêng chất lỏng II 200 kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng. Bài 2:Cã hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khối lợng loại quặng

em trn c 25 quặng chứa 66% sắt Dạng 7: Dạng dóy bàn ghế.

Bài 1: Trong phòng học có số bàn ghế dài Nếu xếp ghế học sinh

học sinh khơng có chổ ngồi Nếu xếp ghế học sinh thừa ghế Hỏi lớp có ghế học sinh

3 4( 1)

x y

x y

  



 

 (10 ; 36 )

Bài 2: Trong phòng họp có số ghế dài Nếu xếp ghế người có

người khơng có chổ ngồi , xếp ghế người thừa ghế Hỏi phịng họp có g hế người dự họp

5 6( 1)

x y

x y

  



 

 (15 ; 84)

Bài 3: Một hội trờng có 300 ghế đợc xếp thành nhiều dãy nh Ngời ta mun sp

xếp lại cách bớt dÃy phải xếp thêm ghế vào dÃy lại Hỏi lúc đầu hội trờng có dÃy ghế dÃy có ghế

D

ng 8: Bài toán tỉ lệ , phân chia đều:

*)công th ức : + Nếu x, y, z tỉ lệ với theo tỉ lệ a, b, c (tỉ lệ thuận) ta có:

x:y:z=a:b:c hay x/a = y/b = z/c = (x+y+z)/(a+b+c)

+ Nếu x, y, z tỉ lệ nghịch với theo tỉ lệ a, b, c ta có: x/1/a = y/1/b = z/1/c hay ax=by=cz

Ví dụ 1: Nhân ngày 1/6 phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo

được chia hết va chia cho đội viên Để đảm bảo nguyên tắc chia , phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà sau:

Bạn thứ nhận kẹo 1/11 số kẹo lại Cứ tiếp tục đến bạn cuối thứ n nhận nhận n kẹo Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên ? Mỗi đội viên nhận kẹo ?

Giải: Gọi số người phân đội a

Số kẹo phân đội tặng x (a,x>0) Người thứ nhận :

1

11

x 



Người thứ hai nhận :

1

11

11

x

x     

 



(kẹo )

Vì hai số kẹo có a người nên ta có :

1

1 00

1

11 11

1

(1 )

11

x x

x x

a x

   

    

 

 

    

 

  

 Giải hệ ta x=100 ; a=10

Ví dụ 2: 12 người ăn 12 bánh Mỗi người đàn ông ăn , người đàn bà

ăn 1/2 em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có người đàn ơng , đàn bà trẻ em ?

Giải: Gọi số đàn ông , đàn bà trẻ em x,y,z.(x,y,z số nguyên dương

vaø nhỏ 12)

Số bánh họ ăn hết : 2x ; y/2 ; z/4

Theo đề ta có hệ phương trình :

   

12 2 2 2 24 1

2 12 48

2

x y z x y z

y z

x x y z

  

    

 



 

      

 

 Lấy (2) trừ (1) ta : 6x-z=24 (3) Vì x, z Z

 , 6x 24 chia hết cho ,  z chia hết cho Kết hợp với điều kiện 0<z<12  z=6

Thay z=6 vào (3) ta x=5 , từ y=1 Vậy có đàn ông , đàn bà trẻ em

Ngày giao bài: 3/2/2020 Ngày hoàn thành: 8/2/2020

ƠN TẬP VỀ GĨC NỘI TIẾP A- KIẾN THỨC

1- Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh góc

chứa hai dây cung đường trịn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn

a)

BC lµ cung bị chắn

2-Định lý:Trong mt ng trũn s đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị

chắn

Ta có: ABC

1 

s®BC

3-

Hệ quả:

Trong đường trịn:

a) Các góc nội tiếp chắn cung

b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung

c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm

cùng chắn cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng

B

- NỘI DUNG *) Ví dụ:

Ví dụ 1: Bµi tËp 19 (SGK/75)

GT : S n»m ngoµi

AB ;

2

O

 

 

 

SA cắt (O) M, SB cắt (O) t¹i N BM AN  H

KL : SH  AB

Chøng minh :

Ta cã: AMB 90  vµ ANB 90  0(góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn)

BM  SA

và AN  SB ⇒ BM AN hai đờng cao tam

gi¸c SAB cã

⇒ SH đờng cao thứ ba  SAB ⇒ AB  SH ( đcpcm)

Ví dụ 2: Bµi tËp 20 (SGK/76)

GT: ;

2

AC O

 

 

   ' ;

 

 

 

AB O

= A; D

KL: Ba điểm B; D; C thẳng hàng

Chøng minh :

- Ta có ADB góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn

' ;

 

 

 

AB O

D A

O M

C

B - Tơng tự ADC góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn

;

AC O

 

 

  ⇒ ADC 90  Mµ BDC = ADB + ADC

⇒ BDC = 900+900 = 1800

Ví dụ 3: Bµi tËp 23 (SGK/76)

a) Trờng hợp điểm M nằm đờng tròn (O):

- Xét AMC DMB Có AMC = BMD (2 góc đối

đỉnh)

ACM = MBD (2 góc nội tiếp chắn AD) H trùc t©m ⇒ AMC DMB (g g)

⇒

MA MD

MC MB ⇒ MA MB MC MD  (®cpcm)

b) Trờng hợp điểm M nằm ngồi đờng trịn (O): Xột MAD MBC:

cóAMD =BMC ( góc chung)

ADM =CBM ( hai góc nội tiếp chắn AC

⇒ MAD MBC (g.g) ⇒ MA MB = MC MD

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho ABC (AB<AC) nội tiếp (O) Lấy D cạnh BC, AD cắt cung BC E

Chứng minh rằng: a) Góc AEC lớn góc AEB b) AB.CD = AD.CE

Bài 2: Cho ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn

tại E Chứng minh rằng: a) AB.AC = AD.AE b) BE2 = AE.DE

Bài 3: Từ điểm P nằm đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến (O)

(A, B hai tiếp điểm) Trên dây AB lấy M Qua M kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt PA S PB Q Chứng minh rằng: MS = MQ

Bài 4: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O;R), kẻ cát tuyến PAB Gọi D điểm

chính cung AB Kẻ đường kính DE, PE cắt (O) I, ID cắt AB K Chứng minh rằng: PA.KB = PB.KA

S

S

Ba điểm B, D, C thẳng hàng

 

Bài 5: Cho nửa (O) đường kính AB Gọi I điểm cung AB Lấy điểm M

thuộc cung AI, tiếp tuyến M cắt đường thẳng OI D Chứng minh: MDO = MBA

Bài 6: Cho ABC nội tiếp (O) Đường kính AD, kẻ đường cao AH

a) Chứng minh BAH ∽CAD

b) Gọi I điểm cung BC ( khơng chứa điểm A) Chứng minh rằng: AI phân giác góc HAD

Bài 7: Cho đường trịn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD

và EAF ( C E thuộc (O); D F thuộc (O’) ) Chứng minh rằng:

a) BC.BF = BD.BE b) BCE ∽BDF

Bài 8: Cho ABC nội tiếp (O) Hai đường cao AD, BK cắt H AD cắt (O)

E Chứng minh rằng:

a) BC phân giác góc HBE b) E đối xứng với H qua BC

Bài 9: Cho ABC nội tiếp (O) Một điểm D nằm cung nhỏ BC Trên đoạn DA

lấy DK = DB Chứng minh rằng: a) BDK

b) AD = BD + CD

Bài 10: Cho (O) điểm P bên ngồi Vẽ đường trịn (P;PO) Hai đường tròn

(O) (P) cắt hai điểm phân biệt A B Đường thẳng OP cắt (P) điểm thứ hai C

a) Chứng minh rằng: CA tiếp tuyến (O)

b) Lấy D thuộc cung AB (P) (cung không chứa điểm O ) Chứng minh DO tia phân giác góc ADB

Bài 11: Cho ABC cân A nội tiếp (O;R) Qua A kẻ đường thẳng cắt BC D cắt

(O) E

a) Chứng minh rằng: EA tia phân giác góc BEC

b) Chứng minh AEB ∽ABD Suy Ad.AE không đổi (Không phụ thuộc vào

vị trí điểm E)

Bài 12: Cho ABC nội tiếp (O;R), đường kính Ad, đường cao AH

a) Chứng minh: ABH ∽ADC

b) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tương ứng với đỉnh A, B, C

Chứng minh rằng: SABC = 4R

a b c

Bài 13: Cho (O;R), hai dây AB CD cắt M Chứng minh rằng:

Ngày giao bài: 10/2/2020 Ngày hồn thành: 15/2/2020

ƠN TẬP góc tạo tia tiếp tuyến dây cung A- KIẾN THỨC

1- Định nghĩa:

Cho d©y AB (O; R), xy tiếp tuyến A

BAx ( BAy ) góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

+) BAx chắn cung AmB +) BAy ch¾n cung AnB

2- Định lý: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị

chắn

3- Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội

tiếp chắn cung

B

- NỘI DUNG *) Ví d ụ :

Ta cã:



TPB 

sđBP(Góc tạo tia tt dây cung) mà BOP sđBP (Góc tâm)

 BOP 2TPB 

Mặt khác BTP BOP 90   0(PTO vuông P)

 BTP 2TPB 90   0(đpcm)

Vớ dụ 2: AC, BD đờng kính (O); xy tiếp tuyến A (O) Tìm góc

b»ng

Ta cã: A 1 C D  (cùng chắn cung AB)

 

2

C B , D A 3, A 2 B1(hai góc đáy tam giác cân)

    

3

A B  C D A (cùng chắn cung nhau) Tương tự, ta có: A A B1

   

CBA BAD OAx OAy 90   

Ví d 3: Cho hình vẽ bên, (O) (O) tiếp xúc A, BAD, EAC hai cát

tuyến hai đờng tròn, xy tiếp tuyến chung A Chứng minh ABC = ADE

Chøng minh:

Ta cã ABC = xAC (=

2 s®AC)

 

EAy ADE (=

2sđ AE) Mà xAC = EAy ( đối đỉnh)

Ví dụ 4: Bµi tËp 33 (SGK/80)

GT A, B, C(O)TiÕp tuyÕn At

d // At, d cắt AB, AC lần lợt t¹i M, N

KL AB.AM = AC.AN

- Hớng dẫn HS lập sơ đồ phân tích nh sau:

AB.AM = AC.AN



AM AN

AC AB



Δ AMN ∽ Δ ACB

 

CAB chung AMN = C Chøng minh

Ta cã AMN = BAt (so le trong) C = BAt ( =

1

2 s® AB) C = BAt

=>AMN = C

xÐt Δ AMN vµ Δ ACB cã CAB chung

AMN = C

 Δ AMN ∽ Δ ACB (g.g)

Ví dụ 5: Bµi tËp 34 (SGK/80)

GT Cho điểm M nằm (O), tiếptuyến MT, c¸t tuyÕn MAB. KL MT2 = MA.MB.

- Hớng dẫn HS lập sơ đồ phân tích nh sau: MT2 = MA.MB

A

T O

M B



AM AN



MT MB

MA MT



Δ TMA ∽ Δ BMT(g.g)

 

M chung ATM= B

Chøng minh

XÐt Δ TMA vµ Δ BMT cã:

M chung ATM= B (=

1

2 s® AT)

 Δ TMA ∽ Δ BMT(g.g)



MT MB

MA MT

 MT2 = MA.MB.

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho Δ ABC nội tiếp (O) Một đường thẳng song song với tiếp tuyến A

(O) cắt cạnh AB, AC D E Chứng minh rằng: a) ABC ∽AED

b) AB.AD = AC.AE

Bài 2: Cho (O;R) Từ điểm P bên ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến PT cát tuyến

PAB với (O) Chứng minh rằng: PT2 = PA.PB = PO2 – R2

Bài 3: Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi P Dây cung AB đường

tròn kéo dài tiếp xúc với đường tròn C AP cắt (O’) P D Chứng minh rằng: BPC = CPD

Bài 4: Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ tiếp tuyến AM với

(O’) tiếp tuyến AN với (O) ( M thuộc (O); N thuộc (O’) ) Chứng minh: a) AB2 = MB.NB

b) MBA = NBA

Bài 5: Cho góc nhọn AMB nội tiếp (O) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa M, vẽ

tia Ax cho xAB = AMB Chứng minh: Ax tiếp tuyến (O)

Bài 6: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Lấy điểm B thuộc (O) Qua

B kẻ tiếp tuyến với (O) cắt (O’) C D Gọi M điểm CD Chứng minh: Δ ABM vuông A.

Bài 7: Từ điểm P (O), kẻ tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn Trên cung nhỏ

a) DCF = DCE b) DFC = CDE

Bài 8: Từ điểm P (O), kẻ tiếp tuyến PA PB đến (O) Đường thẳng song

song với PA kẻ từ B cắt (O) C, PC cắt (O) điểm thứ hai E Đường thẳng BE cắt PA M Chứng minh rằng:

a) PM2 = BM.ME

b) M trung điểm PA

Bài 9: Cho đường tròn (O;R) (O’;R’) với R > R’ cắt A B cho O

O’ hai phía AB Vẽ tiếp tuyến AD với (O) Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt (O’) E cắt (O) F Chứng minh rằng: ADEF hình bình hành

Bài 10: Cho Δ ABC nội tiếp (O;R) Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với tiếp

tuyến A (O), đường thẳng cắt AC M Chứng minh rằng: AB2 = AC.AM

Bài 11: Cho đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Tiếp tuyến chung tiếp

xúc với (O) B (O’) C Chứng minh góc BAC vng

Bài 12: Cho đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A (R>R’) dây BC (O) tiếp

xúc với (O’) M (ba điểm O, A, M không thẳng hàng) Chứng minh rằng: AM phân giác góc BAC

Bài 13: Từ điểm P (O), kẻ tiếp tuyến PA Từ trung điểm B AP kẻ cát tuyến

BCD ( C nằm B D) Các đường thẳng PC PD cắt (O) điểm thứ hai E F Chứng minh: PF.PD = PC.PE = 4.AB2

Ngày giao bài: 17/2/2020 Ngày hoàn thành: 22/2/2020

ễN TẬP góc có đỉnh bên đờng trịn A- KIẾN THỨC

1- Kh¸i niƯm:

- Góc BEC có đỉnh E nằm bên (O)  BEC góc có đỉnh bên đờng trịn

- BEC chắn hai cung BnC ; AmD

2- Định lý:

S o ca gúc cú đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

 sd BnC sdAmD  BEC

2  

B

M A

C

O

N S

B

Ví dụ 1: Bµi tËp 36 (SGK)

Ta có:

  

  

sd AM sdNC AHM

2 sdMB sd AN AEN

2  

 

(vì AHM AEN góc có đỉnh bên đờng trịn) Theo giả thiết AM MB, NC  AN

=>AHM AEN

Vậy tam giác AEH cân A

Vớ d 2: Bài tập 40 (sgk/83):

Ta có

ADS = 12 (sđ AB+ sđ CE) (đlý góc có đỉnh ë bên đường tròn) SAD = 12 sđAE ( đlý gãc tạo tia tt dây cung)

Mà BAE =EAC (AE phân giác)

⇒ AM = MB

⇒ sđ AB+ sđ CE = sđ AB + sđ BE

= sđAE

⇒ ADS = SAD ⇒ SDA cân S

Hay SA = SD

Ta có :ADS = BCA + DAC ( định lý góc tam giác) SAD = SAB + BAE

Mà BAE = EAC ( AE phân giác)

SAB = BCA ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung)

⇒ ADS = SAD

⇒ SDA cân S Hay SA = SD

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: từ điểm P nằm đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến PT cát tuyến PAB đến

(O) (A nằm P B), phân giác góc ATB cắt AB C (O) D a) Chứng minh: PT = PC

b) Chứng minh: BD2 = DC.DT

Bài 2: Cho AB AC hai dây cung đường tròn (O) Gọi M điểm

cung AB, N điểm cung AC Các đường thẳng MN AB cắt E, MN AC cắt F Chứng minh: AE = AF

Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB Một điểm C cung AB Lấy dây

AC điểm D Vẽ DE vng góc AB E cắt đường tròn (O) P, Q (D nằm E P) Tiếp tuyến C đường tròn cắt ED F Chứng minh CDF cân.

Bài 4: Cho đường tròn (O) Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn kẻ cát tuyến PAB

hai tiếp tuyến PM, PN với (O) (M thuộc cung nhỏ AB) Lấy D điểm cung lớn AB, DM cắt AB I Chứng minh:

a) PM = PI

b) IA.NB = IB.NA

Bài 5: Từ M ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC Trên tia

MAB lấy ME = MC Chứng minh CE tia phân giác góc ACB

Bài 6: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác hai góc B C cắt E cắt đường tròn F D Chứng minh tứ giác EDAF hình thoi

Bài 7: Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Lấy A điểm cung BC

D điểm di động cung AC, AD cắt BC E Xác định vị trí điểm D để 2AD + AE nhỏ

Bài 8: Cho đường tròn (O) Trên (O) lấy điểm A, C1, B, A1, C, B1 theo thứ tự

Chứng minh đường thẳng AA1, BB1, CC1 đường phân giác 

Ngày giao bài: 24/2/2020 Ngày hoàn thành: 29/2/2020

ễN TẬP VỀ góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn A- KIẾN THỨC

1- Kh¸i niƯm:

- Góc BEC có nằm ngồi (O) , EB EC có điểm chung với (O)  BEC góc có đỉnh bên ngồi (O)

- Cung bÞ chắn BnC ; AmD hai cung nằm gãc BEC

2- Định lý: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung

bị chắn

Ta có: BEC

 

sd sd

BnC AmD



B

- NỘI DUNG *) Ví d ụ :

A

C E

T

B O

D

a) AEB =

1

2 (sđ AB - sđ CD )(đlý góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

⇒ AEB =

1

2 (1800 - 600 )= 600

Tương tự

BTC =

1

2 (sđ BAC - sđ CDB )

⇒ BTC =

1

2 [(1800 + 600)- (600- 600)] = 60 0

Vậy AEB =BTC b) ta có

DCT = 12 sđCD =

1

2 600 = 300

DCB = 12 sđ BD =

1

2 600 = 300

 DCT = DCB

Vậy CD tia phân giác BCT

Ví dụ 2: Bài tập 37(SGK/T82):

Ta cã: ASC =

 

2

Sd AB Sd MC

(đlý góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

MCA =

  

2

Sd AM Sd AC Sd MC 

ASC = MCA

Ví dụ 3: Bµi tËp 39 (SGK/83)

Ta cã:

  1

SME

2 sđCBM (Góc tạo tia tt dây cung)

    

ESM (s® AC s®BM)

2 (Góc có đỉnh bên đường tròn)

màAC CB (gt)

  

 ESM (s®BC s®BM )

  s®CBM

2 hay SME ESM

EMS cân E (pcm)

Ví dụ 4: Bài tËp 41 (SGK/83)

GT: Cho A nằm (O), cát tuyến ABC AMN;

 

 

CM BN S

KL: A BSM 2.CMN   

Chøng minh:

Cã

  sdBM A

2  s® CN

(định lý góc có đỉnh nằm bên ngồi đ-ờng trịn)

L¹i cã :

 sd CN + sd BM  BSM =

2 (định lý góc có đỉnh bên đờng trịn )  A + BSM = 

 sd BM  sd CN

+

 

sd CN + sd BM

2 =

 2.sdCN

2  A + BSM = sđ CN

Mà

= sd1 

CMN CN

(t/c vÒ gãc néi tiÕp)

Ví dụ 5: Bµi tËp 42 (SGK/83)

GT: Cho  ABC néi tiÕp (O) PB = PC ; 

   

QA = QC ; RA = RB

KL: a) AP  QR

b) AP cắt CR I Chøng minh  CPI c©n

Chøng minh: a)

+) Vì P, Q, R điểm c¸c cung BC, AC, AB suy

  1

PB = PC

2BC 

;

  1

QA =QC=

2AC;

  1

RA=RB

2AB 

(1)

+) Gọi giao điểm AP QR E  AER góc có đỉnh bên đờng tròn

Ta cã :

 = sdAR + sd  + sd

QC CP

AER

(2) Tõ (1) vµ (2)





  

1

(sd + sd + sd )

=

2

AB AC BC

AER

 AER

0

360 90

4

 

VËy AER= 900

hayAP  QR t¹i E

b) Ta có: CIP góc có đỉnh bên đờng trịn 

 sdAR + sd 

CP CIP 

(4) Lại cóPCI góc nội tiếp chắn cung RBP



 = sd1  =sd +sd

2

RB BP

PCI RBP

(5) mµ AR = RB ; CP BP     (6)

Tõ (4) , (5) vµ (6) suy ra: CIP = PCI VËy CPI cân P

*) Bi dụng:

Bài 1: Lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự đường trịn (O) cho số đo

cung AB, CD 600, 1200.

a) Chứng minh: AC vuông góc BD

b) Gọi I giao điểm đường thẳng AD BC Tính góc AIB

Bài 2: Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Lấy M thuộc cung nhỏ AB

Gọi P giao điểm AM với CB Chứng minh: a) APC = ACM

Bài 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D điểm cung BC Các

đường thẳng AB CD cắt E, AC BD cắt F Chứng minh rằng: AB2 = BE.CF

Bài 4: Từ điểm A nằm đường tròn (O) Kẻ hai cát tuyến ABC (B nằm A

C) AEF (E nằm A F) Gọi I giao điểm BF CE Chứng minh: a) AA +BIE = CBF

b) AE.AF = AB.AC

Bài 5: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Lấy C thuộc đường tròn cho

COB = 600 Gọi I điểm cung CB M giao điểm OB CI.

a) Tính góc CMO

b) Kẻ đường cao CH COM Tính độ dài OM theo R

Bài 6: Cho đường trịn (O), hai đường kính AB CD vng góc với Trên cung

nhỏ AD lấy điểm M cho AOM = 600 Gọi P giao điểm CA BM.

a) Tính góc BPC

b) Gọi E giao điểm AB CM Tính góc AEM

Bài 7: Cho đường trịn (O) hai dây cung AB = AC Trên cung nhỏ AC lấy