a) Tìm msao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chưng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt [r]
(1)Võ Tiến Trình 1
Đề
Tốn chun tuy
ển sinh trườ
ng Ph
ổ
Thơng Năng khiế
u –
Đạ
i H
ọ
c
Qu
ố
c Gia TP.HCM
Năm
2014 – 2015
Bài Cho phương trình
m
2
5
x
2
2
mx
6
m
0 1
với m tham sốa) Tìm msao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chưng minh tổng hai nghiệm khơng thể số nguyên
b) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện
x x
1
x
1
x
2
4
16
Bài 2
1) Giải hệ phương trình
2
2 9
x y y x
y x x y
2) Cho tam giác ABC vuông A với đường phân giác BM CN Chứng minh bất đẳng thức
3
2 2
.
MC
MA NB
NA
MA NA
Bài 3. Cho số nguyên dương
a b c
, ,
thỏa 1a b c
a) Chứng minh
a
b
số nguyên tốb) Chứng minh
c
1
acb
c
đồng thời số nguyên tốBài 4. Cho điểm C thay đổi nửa đường trịn đường kính
AB
2
R C
A C
,
B
Gọi H hình chiếu vng góc C lên AB; I J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACH BCH Các đường thẳng CI, CJ cắt AB M, Na) Chứng minh
AN
AC BM
,
BC
.
b) Chứng minh điểm M, N, I, J nằm đường tròn đường thẳng MJ, NI CH đồng quy
(2)Võ Tiến Trình 2 Bài 5. Cho số tự nhiên phân biệt cho tổng ba số chúng lớn tổng hai số lại
a) Chứng minh tất số cho khơng nhỏ
b) Tìm tất gồm số thỏa mãn đề mà tổng chúng nhỏ 40
Hướng dẫn giải Bài
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
2
2
5
0
6
30
0
'
6
5
0
m
m
m
m
m
m m
2
1
119
5
0
0
2
4
m
m
m
m
Khi ta có: 1 2 22 m x x m
Vì
1
2 0 225 m
m m m m m
m
Nên tổng hai nghiệm số ngun
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 m0, 1 2 22 m x x m
và 1 2
2 m x x m
Ta có:
4 1 2 1 2
1 2
1 2
2
16
2
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
Trường hợp 1:
x x
1 2
x
1
x
2
2
(3)Võ Tiến Trình 3 Trường hợp 2: 1 2 1 2 26 22
5
m m
x x x x
m m
Đặt 22 22 5
m m
t t
m m
Ta có phương trình
2
1 2
3 t t t t
Vì 2
2 2
0 10 5
2 m m
t t m m
m m
(thỏa điều kiện)
Vậy giá trị m cần tìm
2;
5
2
m
m
Bàia) Giải hệ phương trình
2
2 9
x y y x
y x x y
Điều kiện: x0,y0
Đặt
a
x y b
,
y x a
0,
b
0
Ta có hệ phương trình :
2
2
2
2 1
9
9
2 1
1
2 1
9
a
b
a
b
b
a
b
a
9
a
b
2
a
b
2
a
b
a
b
2
a
2
b
13
0
a
b
(vìa b
,
0
)
0
x y
y x
xy x
y
(4)Võ Tiến Trình 4
0
0
x
y
x
y
Với
x
0
thay vào phương trình ta có : 0
2 0 (vơ lí nên loại) Với y0 thay vào phương trình ta có: 0
2 0(vơ lí nên loại)Với
x
y
, đặtt
x x
ta có phương trình:
22 1 t
t t t t
t
+t 2 x y
+
1
1
2
4
t
x
y
Vậy phương trình có hai nghiệm
x y
;
34; ,
3
1
;
31
4
4
b)
Chứng minh :
3
2 2
.
MC
MA NB
NA
MA NA
(5)Võ Tiến Trình 5 ;
MC BC NB CB
MA BA NA CA
Ta có:
.
1
.
MC
MA NB
NA
MC NB
NB
MC
MA NA
MA NA
NA
MA
2 2
1
1
.
.
BC
BC
BC
AB
AC
BC
BC
AB AC
AC
AB
AB AC
AC
AB
2 2
2
1 3 2
AB AC BC AB AC
AB AC AB AC AB AC
Bài
a) 1 a b c
Giả sử
a
b
số nguyên tố
a a
,
b
a b
,
1
Ta có:
a
b c
ab
a
b
|
ab
a
b b
|
(vơ lí0
b
a
b
) b) Giả sửa
c
b
c
đồng thời số nguyên tốTa có:
a
b c
ab
ac
ab
2
ab bc
a b
c
b
2
a
c
a
b c
ab
bc
ba
2
ab
ac
b a
c
a
2
b
c
Ta có:
0
b
b
c
màb
c
số nguyên tố
b b
,
c
1
b a
|
0
a
a
c
màa
c
số nguyên tố
a a
,
c
1
a b
|
(6)Võ Tiến Trình 6 a) Ta có:
ANC
CHN
90
0
ACN
NCB
90
0Mà
CHN
NCB
(phân giác) nên
ANC
ACN
ANC
cân A
AC
AN
Tương tự ta chứng minh BM = BCb) Vì tam giác CAN cân A nên đường phân giác AI cung đường trung trực Gọi K giao điểm AI với CN, K trung điểm CN
Tương tự gọi L giao điểm BJ CM L trung điểm CM Do ta có KL đường trung ình tam giác CMN
CKL
CNM
Tứ giác KLIJ nội tiếp đương trịn đương kính IJ
CKL
CIJ
CIJ
CNM
IJNM
nội tiếp đường trịn Ta có :
1
45
02
MCN
ACB
Mà
1
45
02
IHN
CHA
MCN
IHN
(7)Võ Tiến Trình 7 Tương tự ta có MJ đường cao tam giác CMN
Vậy CH, MJ, NI ba đường cao tam giác CMN nên đồng qui c)
MN
AN
BM
AB
AC
BC
AB
Mà AC2 BC2 AB2 4R2
2 22
ACBC AC BC AC BC AB CH AB
2 2
4R R CH 4R 4R 8R
(vì
CH
CO
R
)
2 2 2
AC BC R MN R
Dấu “=” xảy
H
O
C
điểm cung AB
2 2
2
CMN
R R
S CH MN R
Dấu “=” xảy
H
O
C
điểm cung ABVậy giá trị lớn MN 2
21
RC
điểm cung AB Giá trị lớn SCMN
1
R2C
điểm cung AB Bài Gọi số choa b c d e
, , , ,
giả sửa
b
c
d
e
Ta có:
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
1
a
d
e
1
b
c
Do tính chất số tự nhiênTa có
d
c
b
d
b
2
d
b
2
Ta có
e
d
c
e
c
2
e
c
2
Do
a
d
b
e
c
1 5
(8)Võ Tiến Trình 8 b)Nếu
a
6
b
7,
c
8,
d
9,
e
10
a
b
c
d
40
(mẫu thuẫn)Do
a
5
, ta cób
c
5
d
e
1
b
c
d
e
4
Mặc khác ta có : e c 2,d b e d c b e d 4 b c Do b c e d 4 e c 2,d b
Ta có:
5
2
2
40
31
2
a
b
c
d
e
b
c
b
c
b
c
6
31
29
2
1
7
2
4
b
b
b
b
Nếu