Bài tập trắc nghiệm TÍCH PHÂN hay và khó, có LỜI GIẢI chi tiết

GIẢI CHI TIẾT TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Vấn đề 1.. Tính tích phân theo định nghĩa.[r]

GIẢI CHI TIẾT TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa

Câu 1. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa 2f x 3 1f    x 1 x2. Giá trị của tích phân

 

1

0 ' d f x x

 bằng

A 0 B 1

2 C 1 D

3 Lờigiải

Tacó        

1 1

0

d

f x x  f x  f f 

Từ        

   

   

2

2

2 1 5

2 1

3

2 0 1

5 f

f f

f x f x x

f f f

   

   

 

       

 

  

Vậy      

1

0

3

' d 1

5 I f x xf f    ĐápánC

Câu 2. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 0  f 1 1 Biết rằng

   

1

0

d

x

e f x f x  x ae b

 Tính 2018 2018.

Qa b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171. Lờigiải

Tacó                

1 1 0 1 1

/

0

0

d d f f

x x x

e f x f x  x e f x  xe f x  ef f   e

 

Suyra 2018 2018 12018  12018 2.

1 a

Q a b

b  

       

  

ĐápánB

Câu 3. Cho các hàm số y f x , yg x  có đạo hàm liên tục trên  0;2 và thỏa mãn    

2

0

' d 2,

f x g x x 

   

2

0

' d f x g x x

 Tínhtíchphân    /

0

d I f x g x  x

A I 1 B I1 C I5 D I6

Lờigiải

Tacó    /        

0

d ' ' d

If x g x  xf x g x f x g x  x

       

2

0

' d ' d

f x g x x f x g x x

    

ĐápánC

Câu4.Chohàmsố y f x  liêntụctrên 0; vàthỏa    

2

0

d sin x

f t tx x

 .Tính

4 f    

 . A

4

f    

  B f     14 12 C

1 f    

  D f 14           Lờigiải

Từ    

2

0

d sin x

f t tx x

 ,đạohàmhaivếtađược 2xf x 2 sin x xcos x .

Cho

2

x tađược .1 sin cos 1

2 f 2 f

  

   

      

   

 

   

Câu5.Chohàmsố f x  liêntụctrên a; với a0 vàthỏa  2 d x

a f t

t x

t  

 vớimọi xa Tính f 4 A f 4 2 B f 4 4 C f  4 8 D f 4 16

Lờigiải

Từ  2 d x

a f t

t x

t  

 ,đạohàmhaivếtađược  2

1 f x

x  x

Suyra f x x x f 4 4 48 ĐápánC

Vấn đề Kỹ thuật đổi biến

Câu6.Cho  

2017

0

d

f x x

 .Tínhtíchphân  

2017 1

2

0

ln d

e x

I f x x

x 

 

   

 

A I1 B I2 C I4 D I5 Lờigiải

Đặt tlnx21 , suyra

2

2 d d d

d

2

1

x x x x t

t

x x

    

Đổicận: 2017

1 2017

x t

x e t

    

    



Khiđó    

2017 2017

0

1 1

d d

2 2

I  f t t  f x x  ĐápánA

Câu7.Chohàmsố f x  liêntụctrên  và    

9

1

d 4, sin cos d f x

x f x x x

x



 

  Tínhtíchphân  

0

d I f x x A I2 B I6 C I4 D I10

Lờigiải

Xét  

9

1

d f x

x

x 

 Đặt t x t2 x, suyra 2 dt td x

Đổicận 1

9

x t

x t

    

   

 Suyra

     

9 3

1 1

4 f x dx f t 2dt f t td x

    

Xét  

0

sin cos d

f x x x





 Đặt usin ,x suyra ducos d x x

Đổicận 0

1

x u

x  u     

   

 Suyra    

1

0

2 f sinx cos dx x f t td 

 

Vậy      

0

d d d

I f x x f x x f x x ĐápánC

Câu8.Chohàmsố f x  liêntụctrên  và    

1

2

0

tan d 4, d

1 x f x

f x x x

x 

  

  Tínhtíchphân  

1

0

d I f x x A I6 B I2 C I3 D I1

Lờigiải

Xét  

0

tan d

f x x



 

Đặt ttan ,x suyra  

2

1 d

d d tan d d

cos

t

t x x x x

x t

    

Đổicận: 0

x t

x  t     

   

 Khiđó  

   

1

4

2

0 0

4 tan d d d

1

f t f x

f x x t x

t x



  

 

  

Từđósuyra      

1 1

2

0 0

d d d

1

f x x f x

I f x x x x

x x

     

 

  

ĐápánA

Câu 9. Cho hàm số f x  liên tụctrên  và thỏa mãn  

tan cosx f x xd 1, 



  

2 ln2

d ln

e

e

f x

x

x x 

 Tính tích phân

 

2

1

2 d f x

I x

x 

A I1 B I2 C I3 D I4

Lờigiải

●Xét  

0

tan cos d

A x f x x



  .Đặt tcos 2x

Suyra d 2 sin cos d 2 cos2 tan d 2 tan d tan d d .

2 t

t x x x x x x t x x x x

t

        

Đổicận: 11

4

x t

x  t

    

    

Khiđó        

1

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1

1 d d d d

2 2

f t f t f x f x

A t t x x

t t x x

         

●Xét  

2 ln2

d ln

e

e

f x

B x

x x

  Đặt uln 2x

Suyra d ln d ln2 d d d du

ln ln ln

x x u x

u x x x

x x x x x x x u

    

Đổicận: 2

4

x e u

x e u

    

    

Khiđó      

4 4

1 1

1

1 d d d

2

f u f x f x

B u x x

u x x

      

●Xéttíchphâncầntính  

2

1

2 d f x

I x

x 

Đặt v2 ,x suyra

1

d d

2 .

x v

v x      

Đổicận:

1

4

2

x v

x v

    

    

Khiđó        

4 4

1 1

2 2

d d d d 2

f v f x f x f x

I v x x x

v x x x

      

ĐápánD

Câu10.Chohàmsố y f x  xácđịnhvàliêntụctrên 1;2 ,      

  thỏa  

2

1

2

f x f x

x x

  

      Tínhtíchphân

 

2

2

d f x

I x

x   A

2

I B I2 C

2

Lờigiải

Đặt x 1, t

 suyra dx 12d t t

  Đổicận:

1

2

2 .

1

2

x t

x t

    

    

Khiđó

1

2

2

2 2

1

2

2 2 2

1 1

1

d d d

1 1 1

f f f

t t x

I t t x

t t x

t

     

     

     

    

       

       

  

Suyra    

2

2 2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2

2 d d d d

1 1

f f x f x

f x x x x

I x x x x

x x x x

   

      

   

 

   

   

   

   

2 2

1

2

2

1

2

1 1

d d

2 x

x x x I

x

x x

   

    

          ĐápánA

Câu11.Chohàmsố f x  liêntụctrên  vàthỏa f x   f x 2 cos 2 x vớimọi x .

Tính  

3

3

d I f x x



 

 .

A I 6 B I0 C I 2 D I6.

Lờigiải

Đặt t  x  dx d t Đổicận:

3

2 2

3

2

x t

x t

 

 

    

     

Khiđó      

3 3

2 2

3 3

2 2

d d d

I f t t f t t f x x

  

  



 

        

Suyra    

3 3

2 2 CASIO

3 3

2 2

2I f t f t dt 2 cos dt t cos dt t 12 I

  

  

  

 

             

ĐápánD

Câu12.Chohàmsố yf x  xácđịnhvàliêntụctrên , thỏa f x 54x 3 2x1 vớimọi x . Tíchphân

 

8

2 d f x x 

 bằng

A 2 B 10 C 32

3 D 72

Lờigiải

Đặt x  t5 4t 3, suyra dx5t44 d  t Đổicận 1.

8

x t

x t

      

    

Khiđó        

8 1

5 4

2 1

d d d 10

f x x f t t t t t t t

  

       

  

ĐápánB

Câu13.Chocáchàmsố f x , g x  liêntụctrên  0;1 , thỏa m f x  n f 1  x g x  với m n, làsốthựckhác

và    

1

0

d d

f x x g x x

  Tính m n

A m n 0 B

Lờigiải

Từgiảthiết m f x  n f 1  x  g x ,lấytíchphânhaivếtađược

   

1

0

d ( )d

m f x n f x x g x x

    

 

 

Suyra  

1

0

1 d

m n  f x x (do    

1

0

d d

f x x g x x

  )  1

Xéttíchphân  

1

0

1 d f x x

 Đặt t 1 x,suyra dt d x Đổicận:

1

x t

x t

    

    

Khiđó        

1 1

0 0

1 d d d d

f x x  f t t f t t f x x

     2

Từ  1 và  2 , suyra m n 1.

ĐápánC

Câu14. Chohàm số f x  xácđịnhvàliêntụctrên  0;1 , thỏa mãn f x'  f' 1 x vớimọi x 0;1 Biếtrằng

 0 1, 1  41

f  f  Tínhtíchphân  

1

0

d I f x x

A I 41 B I21 C I41 D I42

Lờigiải

Tacó f x'  f' 1  x f x  f1 x C

Suyra      0 1, 1  41

0 f f 42

f  f  C    C

Suyra f x  f1  x 42 f x f1 x 42

   

1

0

1 d 42d 42

f x f x x x

 

       1

Vì        

0

' ' d d

f x f  x  f x x f x x  2

Từ  1 và  2 , suyra    

1

0

d d 21

f x x f x x

 

ĐápánB

Câu15.Chohàmsố y f x  liêntụctrên  vàthỏamãn f3 x f x x vớimọi x . Tính  

0

d I f x x A

5

I  B

5

I C

4

I  D

4 I Lờigiải

Đặt u f x ,tathuđược u3 u x. Suyra 3u21 d ud x

Từ u3 u x,tađổicận 0.

2

x u

x u

    

   

 Khiđó  

1

0

5

3 d

4 Iu u  u ĐápánD

Cáchkhác.Nếubàitốncho f x  cóđạohàmliêntụcthìtalàmnhưsau:

Từgiảthiết        

      

3

3

0 0 0

2 2

f f f

f x f x x

f

f f

 

    

 



    

 

 

  

*

Cũngtừgiảthiết f3 x f x x,tacó f x f'   . x f x f x'   . x f x ' .

Lấytíchphânhaivế    3      

0

' ' d ' d

f x f x f x f x x x f x x

   

 

 

 

           

4 2 2

2

*

0 0 0

5

d d

4

f x f x

xf x f x x f x x

         

 

      

   

Câu16.Chohàmsố f x  thỏamãn    

f xd x f x e x

 và f 3 ln 3.Tính  

d f x Ie x

A I1 B I11 C I 8 ln D I 8 ln

Lờigiải

Đặt

     

d d

d f xd f x

u x u x

v f x e x v e

   

 

 

 

    

 

 Khiđó  

     

3 3

0

0

f xd f x f xd x f x e xx e  e x

 

Suyra  3    

0

8 f f xd f xd

e e x e x

     

ĐápánA

Câu17.Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên 0; ,       

  thỏamãn  

2

0

' cos d 10 f x x x 



 và f 0 3 Tíchphân

 

2

0

sin d f x x x 

 bằng

A I 13 B I 7 C I7 D I13

Lờigiải

Xét  

' cos d 10 f x x x 



 ,đặt

   

2

2

d sin d cos

d ' cos d

u x x

u x

v f x v f x x x

 

    

 

 

   

 



Khiđó   2  2  

0

0

10 f x' cos dx x cos xf x f x sin dx x

 



  

       

0

10 f f x sin dx x f x sin dx x 10 f 13

 

       

ĐápánD

Câu 18. Cho hàmsố yf x  cóđạo hàmliêntụctrên  0;1 , thỏamãn  

1

1 d f x x

 và f 1 4 Tích phân

 

1

3

0

' d x f x x

 bằng

A 1 B

 C 1

2 D 1

Lờigiải

Tacó    

2

1

1

1 d t x d

f x x   f t t

  hay  

1

0

d f x x 

Xét 3  2    

0 0

1

' d ' d ' d

2

t x

x f x x  tf t t xf x x

   Đặt

   

d d

d ' d

u x u x

v f x x v f x

   

 

 

 

   

 

 

Khiđó 3  2    1    

0

0 0

1 1

' d ' d d

2 2

t x

x f x x  tf t t xf x  f x x  

 

 

 

  

ĐápánC

Câu 19. Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;2 Biết f  0 1 và

    2 4

2 x x

f x f  x e  vớimọi x 0;2 Tínhtíchphân    

 

3

2

0

3 '

d x x f x

I x

f x   A 14

3

I  B 32

5

I  C 16

3

I  D 16

5 I 

Lờigiải

Từgiảthiết     2 4 2  

2 x x x

Tacó    

 

3

2

0

3 '

d x x f x

I x

f x 

 Đặt  

 

 

 

3

2

d d

'

d d ln

u x x u x x x

f x

v x v f x

f x

   

   

 

 

 

   

 



Khiđó  2   2     2 2   

0 0

3 ln ln d ln d

f

I x  x f x  x  x f x x    x  x f x x  J

Tacó            

2 2

2

0

2 ln d x t 2 ln d

J x  x f x x     t t  f t t

           

0

2

2

2 x 2 x ln f x d x x lnx f x d x

 

         

Suyra              

2 2

2 2

0 0

2J x 2 lnx f x dx x 2 lnx f 2x dx x 2 lnx f x f 2x dx

    

2

2 2

0

32 16

2 ln d 2 d

15 15

x x

x x e  x x x x x x J

       

Vậy 16

5 I   J

ĐápánD

Câu 20. Cho biểu thức  

2

2

2 cot

4

ln sin xd , n

m

S x e x





 

 

 

 



    



 

 

  

với số thực m0 Chọn khẳng định đúng trong các khẳngđịnhsau.

A S5 B S9

C S cot 4 m2 ln sin4 m2

   

 

       D S tan 4 m2 ln 4 m2

   

 

       Lờigiải

Tacó  

2 2

2 2

2 cot cot cot

4 4

2 sin xd xd sin xd

m m m

x e x e x xe x

  

  

  

  

    1

Xét  

2

2 2

2 2

2 cot cot 2 cot 2 cot

2

4 4

2

sin d d sin sin sin d

sin

x x x x

m

m m m

xe x e x x e x e x

x

  

 

   

  

 



    

  

2

2 2 cot 2 cot

4

sin x xd

m m

x e e x

 

  



    2

Từ  1 và  2 , suyra

2

2 cot

2 cot 2

2

sin sin

4

x m

m

I x e e

m  

  



   



2

2 cot

2

2 2

ln sin cot ln sin

4 4

m

S e

m m m



   

     

     



           ĐápánC

Vấn đề Tính a, b, c tích phân

Câu21.Biết  

2

2

1

ln 9x dxaln 5bln 2c

 với a b c, ,   Tính P  a b c

A P13 B P18 C P26 D P34

Lờigiải

Đặt  2

2 ln

3 x

u x du dx

x

dv dx v x

 



    

 

  

 

  

 

Khiđó      

2

2

2

1 1 1

3

3 ln d 5ln ln d

3

x x

I x x x x

x x

  

            

 12

5ln 12 ln 2 3ln ln ln 2 13

a

x x b P

c   

            

    ĐápánA

Nhậnxét.Ởđâychọn v x thaybởi x đểrútgọncho 9 x 2,giảmthiểubiếnđổi.

Câu 22. Biết 3

0

2 1

d ln

ln

x x

x

x ex e

x p

m e n e

e 

 

 

      

 

   

 với m n p, , là các số nguyên dương. Tính tổng

P  m n p

A P5 B P6 C P7 D P8

Lờigiải

Tacó

1 3 1

3

0

0

2 2 1

d d

4

.2

x x x

x x

x ex

I x x x x A A

e e



 

 

   

          

 

 

Tính

1

0

d x

x

A x

e  



 Đặt d ln 2.2 d d d

ln

x x x

t e t e x x t

e 

     

Đổicận:

1

x t e

x t e

       

     

Khiđó d ln ln ln

.ln ln ln ln

e e

e e

t e e

A t

e t e e e e e

 

 



 

 

 

 

  

         

Vậy

4

1

ln

4 ln

1 m e

I n P m n p

e e

p 

  

  



             

 ĐápánC

Câu23.Biết 2  

0

2 cos cos sin

d ln

cos

x x x x x c

x a b

x x







      



 với a b c, , làcácsốhữutỉ.Tính Pac3b. A

4

P B

2

P C P2 D P3

Lờigiải

Tacó    

2

2

0

2 cos cos sin d cos

x x x x x

I x

x x



   

 

 2    

2 2

0 0

cos sin d cos

d d cos d

cos cos cos

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

   

  

       

2

2 2

0

1 1

sin ln cos ln ln

2x x x x 8





 



 



          

3

8

1

2 a

b P ac b

c    

        

 ĐápánC

Câu24.Biết

ln

2 ln

1

d ln

x x

b

x a a b

a

e  e    

 với a b,   Tính P a b

Tacó  

ln ln ln ln

2

2

ln ln ln ln

1

d d 1d d

1

x x x x

x x

I x e e x e x e x

e e

      

 

   



ln ln

ln ln

d 2

x x

e xe  





ln

ln

1d x e  x

 Đặt t e2x  1 t2 e2x1,suyra

2

d d

2 d d d

1

x

x

t t t t t t e x x

e t

   



Đổicận: ln

ln

x t

x t

   



   



Khiđó

ln 3

2

2

2

2

ln

d 1 1

1d d ln ln

2 2

1

x t t t

e x dt t t

t

t t

 

    

 

             

  

Vậy 1ln3 2

3 2

a

I P a b

b   

          

ĐápánD

Câu25.Biết

 

2

1

d

1

x

a b c x xx x   

 với a b c, ,   Tính P  a b c.

A P12 B P18 C P24 D P46.

Lờigiải

Tacó

     

2

2

1

d

d

1 1 1

x x x

I x

x x x x x x x x

 

 

     

 

Đặt u x 1 x,suyra

 

1 1

d d 2d d

2

x x

u x u x

x x x x

   

 

     



Đổicận

1

x u

x u

     

    

 Khiđó

3

2

2

d 1

2

3 2

u I

u u

 

 

 

 

       

 

 32

3 2

2 32 12 12 46

3 2

2 a

b P

c   

    

  



              

 ĐápánD

Câu26.Biết 2 2

0

sin d

6

cos sin

x a b c

x

x x



 



  

 với a b c, ,   Tính P  a b c

A P10 B P12 C P14 D P36

Lờigiải

Tacó 2 2

0

sin sin cos

d d

3 cos cos

cos sin

x x x

I x x

x x

x x

 

 

  

  

 

Đặt tcos 2x  dt 2sin d x x Đổicận:

x t

x  t     

    

Khiđó 1 

1 0

1

2 d d 3 d

3 3

t t

I t t t t t

t t t t

      

     

  

 3  3

0

16

1 2 16 12

3 12 36

3

2

8 a

t t b P

c   

    

 

           

   

 ĐápánD

Câu27.Biết

4

2

1

d

x

b c x

x e

x a e e

x xe



   

 với a b c, ,   Tính P  a b c

Lờigiải

Tacó  

 

2

4 4

2

2

1 1

2

1 4

d d d

4 2

x

x x x

x

x x

e x

x e e x e x

x x x

x xe xe e x



  

  

  

4 4

1 4

1

1

2 1 1

d d 1

2

x

x x

x

e x

x x x e e

e

e e e

e x x

 

   

    

            

1

4 a

b P a b c

c   

            

 ĐápánB

Câu28.Biết

2

0

d

2 x

x a b c

x 

   



 với a b c, ,   Tính P  a b c

A P 1 B P2 C P3 D P4

Lờigiải

Đặt x 2 cosu với 0; u   

 .Suyra

2

4 cos d sin d x u x u u

Đổicận

2

4

x u

x u

      

    

Khiđó 2

4

cos

2 cos 2

4 sin d sin cos d

2 cos sin

2 u u

I u u u u u

u u

 

 



 



 

   

2 2

2

4 4

16 cos cos d cos cos d cos d cos d

u

u u u u u u u u u

   

   

         

 

2

4

1

8sin 2.sin

6 a

u x u b P

c

 

  

  

           

   ĐápánC

Câu29.Biết

   

2

3

1

ln ln

d

ln

e

x x b

I x

a

x x e



  

  

 với a b,   Tính P b a

A P 8 B P 6 C P6 D P10

Lờigiải

Tacó

   

2

3

1

ln ln ln ln

d d

ln

ln ln

e e

x x x x

x x

x x

x x x x

  

 

   

 

Đặt

 

/

2

ln ln ln

d d d

ln ln ln 1

x x x

t t x x

x x x x x x

 

   

         

 

Đổicận:

1

2 .

2

x t

x e t e     

   

 



Khiđó

 

2

2

2

2

1

2

1

d

2

e e

I t t t

e

 

     

 

ĐápánB

Câu30.Biết 2

6

cos

d

x x

x a

b c x x





 



    

 với a b c, , làcácsốnguyên.Tính P  a b c

A P 37 B P 35 C P35 D P41

Lờigiải

Tacó 6    

2

6 6

cos

d cos d cos d

1 x x

I x x x x x x x x x x x

x x

  

  

  

      

 

Lạicó    

   

6 6

2 2

6 6

cos

cos cos

d d d

1 1

x t t t

x x t t

I x t t

x x t t t t

  

  

 

 

 

   

      

  

   

6

2

6

1 cos d cos d

t t t t t x x x x x

 

 

 

       

Suyra    

6 6

2I x x x cos dx x x x x cos dx x x cos dx x

  

  

  

        

6

6

cos d

I x x x



 

   Tíchphântừngphầnhailầntađược 2 36 I    

 

2

36 35

3 a

b P a b c

c   

           

 ĐápánC

Vấn đề Tính tích phân hàm phân nhánh

Câu31.Chohàmsố   2 khi x

x x

f x

e x

  



   Tínhtíchphân  

1

d I f x x

  A 2

3

e I

e 

 B 2

7

e I

e 

 C 2

9

e I

e 

 D 2

11 11 e I

e   Lờigiải

Tacó     2 

2

1

9

d d d d

2

x e

I f x x f x x e x x x

e

 



     

ĐápánC

Câu 32. Cho hàmsố f x  xác địnhtrên \ ,              

 thỏa   , 0 

f x f

x

  

 và f 1 2 Giá trị củabiểu thức

 1  3

f  f bằng

A ln15 B 2 ln15. C 3 ln15. D 4 ln15.

Lờigiải

Tacó  

2 f x

x  



   

 

1

2

1

ln ;

2 d ln 2 1

1

l

n ;

2

x C x

f x x x C

x

x C x

  

     

 

  

  

 

 f 0  1 ln 2.0     C1 C1

 f 1  2 ln 2.1 1      C2 C2

Dođó    

 

   

1

ln 1 ln 1

1 ln ln 2

2

x x f

f x

f

x x

    

    

 



   

    



 1  3 ln ln 3 ln15

f f

       

ĐápánC

Câu 33. Cho hàm số f x  xác định trên \2;1, thỏa mãn   2

2 f x

x x  

  , f     3 f 0 và  

3 f 

Giátrịbiểuthức f     4 f   1 f bằng

A 1ln 20

3 3 B

1

ln

3 3 C ln 80 1. D

Lờigiải

Tacó  

1 1

3

2 f x

x x

x x

 



         

 

   

   

   

1

2

3

ln ln ;

3

1

d ln ln ;

3

1

ln ln ;

3

x x C x

f x x x x C x

x x

x x C x

      

 

 

          

 

  

   

  

 

 

  

 

       2

1 1 1

0 ln ln ln

3 3 3

f          C  C 

    

1

3 ln

3 10 f  f    C C

Tacó      

1 1 1

4 ln ln ln ln

3 3 3

f    f f       C C C 

ĐápánB

Câu34.Chohàmsố f x  xácđịnhtrên 0;  \ e , thỏamãn  

ln1 1,

f x

x x  



1 ln f

e      

  và f e 2 3 Giá

trịbiểuthức f f e 3 e

     

  bằng

A 3 ln    B 2 ln C 3 ln 1. D ln 3.

Lờigiải

Tacó  

ln1 1

f x

x x  



          

2

ln ln 0; d ln

1

d ln ln

ln ln ln ln ;

x C x e

x

f x x x C

x x x x C x e

   

 

         

   



 

 2 1

1

ln ln ln ln ln

f C C

e e

   

        

   

 

   

  2  

2

3 ln ln 3

f e   e    C C 

Dođó      

     3

1

ln ln ln ln ln 0;

ln ln ;

ln f

x x e

e f x

x x e

f e       

  

      

   

     

 

   

 3  

1

3 ln

f f e

e   

      ĐápánC

Câu 35. Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số

1 sin y

x 

 với x \ k k,

 

 

 

 

    

 

 

  Biết

 0 1,  

F  F   ,tínhgiátrịbiểuthức 11

12 12

P F F 

   

A P0 B P 2 C P1 D Khôngtồntại P

Lờigiải

Với x thuộcvàomỗikhoảng ; ,

4 k k k

   

 

     

 

   tacó

 

 2

2

d d d

tan

1 sin sin cos 2 cos

4

x x x

F x x C

x x x x

             

       

  

 0; ;

12 4    

    nên    0

12

1 3

0 tan

12 2 12 2

F

F F  x    F 



     

  

            

 ;11 ;5 12 4

  

   nên    

11 12

11 1tan 11 3.

12 2 12 2

F

F  F  x    F  

     

  

Vậy 11

12 12

P F F 

   

ĐápánC

Vấn đề Tính tích phân dựa vào tính chất

Câu36. Chohàmsố f x  làhàmsốlẻ,liêntục trên 4;4  Biếtrằng  

2

d

f x x



 

 và  

1

2 d

f  x x

 Tínhtích

phân  

0

d I f x x

A I10 B I6 C I6 D I10

Lờigiải

Do f x  làhàmlẻnên f   x f x 

Xét  

2

d

A f x x



   Đặt t  x   dt d x Đổicận: 2

0

x t

x t

    

    

Khiđó      

2 0

d d d

A  f t t f t t f x x

Xét    

1

2 d d

B f  x x  f x x Đặt u2x du 2d x Đổicận:

2

x u

x u

    

    

Khiđó      

2 2

1

d d d 2.4

2

B   f u u   f x x f x x   B  

Vậy      

0

d d d

I f x x f x x f x x   

ĐápánB

Câu37.Chohàmsố f x  làhàmsốchẵn,liêntụctrên 1;6  Biếtrằng  

2

d

f x x





 và  

1

2 d

f  x x

 Tínhtích

phân  

1

d

I f x x





A I2 B I5 C I11 D I14

Lờigiải

Vì f x  làhàmsốchẵnnên    

3

1

2 d d

f  x x f x x

 

Xét  

1

2 d

K f x x Đặt t2x dt 2d x Đổicận:

3

x t

x t

    

    

Khiđó      

2 2

1 d d d 2 6.

2

K  f t t  f x x f x x K

Vậy      

1

d d d 14

I f x x f x x f x x

 

     

ĐápánD

Câu 38. Cho hàmsố f x  liêntục trên  3;7 , thỏa mãn f x f10x vớimọi x 3;7 và  

3

d

f x x

 Tínhtích

phân  

3

d Ixf x x

A I20 B I40 C I60 D I80

Lờigiải

Đặt t   3 7 x   dt d x Đổicận

3

x t

x t

    

    

Khiđó 3    7    7   

7 3

10 10 d 10 10 d 10 10 d

I  t f t t t f t t x f x x

   

         

7 7

10

3 3

10 d 10 d d 10 d

f x f x

x f x x f x x xf x x f x x I

 

Suyra  

3

2I10 f x xd 10.4 40  I 20

ĐápánA

Câu 39. Chohàm số yf x  làhàm sốchẵnvà liêntục trên đoạn ; , thỏa mãn  

0

d 2018

f x x





 Giá trịcủa

tíchphân   d

2018x f x

I  x

 





 bằng

A I0 B 2018

I C I2018 D I4036

Lờigiải

Đặt x  t   dx d t Đổicận x t

x t

 

 

    

    

Khiđó   d   d 2018  d 2018  d

2018 2018 1 2018 2018

t x

t t t x

f t f t f t f x

I  t  t  t  x

   



 

  

   

    

   

   

Vì yf x làhàmsốchẵntrênđoạn  ;  nên     2018  d

2018

x x

f x

f x f x I x

  

   





Vậy        

0

2018

2 d d d d 2.2018 2018

2018 2018

x

x x

f x f x

I x x f x x f x x I

   

  

  

      

 

   

ĐápánC

Câu40.Biết 2018 2018 2018

sin d

sin cos

a

x x x

x x b

 

 

 với a b,  Tính P 2a b.

A P6 B P8 C P10 D P12

Lờigiải

Gọi 2018 2018 2018

sin d

sin cos

x x

I x

x x









Đặt t   x   dt d x Đổicận

x t

x t

      

    

Khiđó    

       

0 2018 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0

sin sin sin

d d d

sin cos sin cos sin cos

t t t t x x

I t t x

t t t t x x

 



   

 

   

   

    

  

Suyra 2018 2018 2018 2018  20182018 2018 2018 2018

0 0

sin

sin sin

2 d d d

sin cos sin cos sin cos

x x

x x x

I x x x

x x x x x x

    

  

  

  

2

2018 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018 2018

0

2

sin d sin d sin d

2 sin cos sin cos sin cos

x x x

I x x x

x x x x x x



 



  

     

    

 

 

  

Đặt

2

x u  tasuyra 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

0

2

sin d cos d cos d

sin cos sin cos sin cos

x x u u x x

x x u u x x



 

 

 

  

  

Vậy 2

0

2

d

4

2

a

I x P

b



   

     





ĐápánB

Vấn đề Kỹ thuật phương trình hàm

Câu 41. Cho hàm số yf x  liên tục trên ; 2  

 

 

 

  và thỏa mãn 2f x   f x cos x Tính tích phân

 

2

2

d I f x x



 



A I 2 B

I C

2

I D I2

Lờigiải

Dođótacóhệ    

           

2 cos 2 cos 1

cos

2 cos cos

f x f x x f x f x x

f x x

f x f x x f x f x x

 

       

   

 

       

 

 

Khiđó   2

2

2

1

d cos d sin

3 3

I f x x x x x

 

 

  

 

    

ĐápánB

Câu 42. Cho hàm số yf x  liên tục trên 2;2 và thỏa mãn     2 f x f x

x   

 Tính tích phân

 

2

2

d I f x x

  A

10

I  B

20

I   C

20

I  D

10 I 

Lờigiải

Từgiảthiết,thay x bằng x tađược    

1

2

4 f x f x

x

  



Dođótacóhệ    

   

   

       

2

2

2

1

2

1

4 .

1

2

4

f x f x f x f x

x x f x

x

f x f x f x f x

x x

 

 

       

 

   

   

 

  

       

 

   

 

 

Khiđó   2

2

1

d d

5 20

I f x x x

x



 

  



 

ĐápánC

Câu 43. Cho hàm số y f x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn x f x2  f1  x 2x x4. Tính tích phân

 

1

0

d I f x x A

2

I B

5

I C

3

I D

3 I

Lờigiải

Từgiảthiết,thay x bằng x tađược   2       4

1x f 1 x f x 2 1  x x

x2 2x 1f1 x f x  1 2x 6x2 4x3 x4.

           1

Tacó x f x2  f1   x 2x x4 f 1   x 2x x4 x f x2  .Thayvào  1 tađược x2 2x 1 2 x x4 x f x2  f x   1 2x 6x24x3x4

 

 

1 x2 2x3 x4f x  x6 2x5 2x3 2x2 1

        

      

 

2 2

2

1 1

1

x x x f x x x x x

f x x

        

  

Vậy    

1 1

2

0

0

1

d d

3

I f x x x x x x   ĐápánC

Câu44.Chohàmsố f x  liêntụctrên 1;2      

  vàthỏamãn  

2

f x f x

x   

    Tínhtíchphân  

2

1

d f x

I x

x  A

2

I B

2

I C

2

I D

2 I Lờigiải

Từgiảthiết,thay x bằng

x tađược  

1

2

f f x

x x

 

  

Dođótacóhệ  

 

 

   

1

2 3

2

1

2

f x f x f x f x

x x

f x x

x

f f x f x f

x x x x

     

   

       

     

     

 

    

 

     

       

     

     

 

 

 

Khiđó  

2 2

1

2

1

2

2

1

2 f x

I dx dx x

x x x

   

 

         ĐápánB

Cáchkhác.Từ f x  2f 3x f x  3x 2f

x x

   

 

       

Khiđó  

2 2

1 1

2 2

1

d d d d

f f

f x x x

I x x x x

x x x

    

    

    

    

 



      



 

 

 

   

Xét

2

1

1 d f

x

J x

x        

 Đặt t

x

 ,suyra

2

1

dt dx t xd dx d t

x t

      

Đổicận:

1

2 .

1

2

x t

x t

    

    

Khiđó      

1

2

2

2

1

2

2

1

d f t dt f x d

J tf t t x I

t x

t   

     

Vậy

2

1

2

3

3 d d

2 I  x I  I  x

Câu 45. Cho hàm số f x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn 2f x 3 1f   x 1 x2. Tính tích phân

 

1

0

d I f x x A

20 

B 16



C  D. .

4 

Lờigiải

Từgiảthiết,thay x bằng x tađược 2 1f  x 3f x  2x x 2.

Dođótacóhệ    

   

   

   

2

2

2 1

2

f x f x x f x f x x

f x f x x x f x f x x x

 

         

 

 

 

 

         

 

 

  2 2

5

x x x

f x   

 

Vậy 1 2

0

3 2 d

5 20

I  x x  x x  ĐápánA

Cáchkhác.Từ 2   3 1  1   1 3 1 .

f x  f    x x f x    x f x 

Khiđó    

1 1

2

0 0

1

d d d

2

I f x x  x x f x x

 

 

  

Xét  

0

1 d

Đổicận:

1

x t

x t

    

   

 Khiđó      

0 1

1 0

dt dt d

J  f t  f t  f x xI

Vậy

1

2

0

1

1 d d

2 20

I  x x I I x x 

 

  

Vấn đề Kỹ thuật biến đổi

Câu46.Chohàmsố f x  thỏa f x f x    3x56 x2 Biếtrằng f 0 2, tínhf2 2

A f2 2 64. B f2 2 81. C f2 2 100. D f2 2 144. Lờigiải

Từgiảthiếttacó    . d 3 6 2d 2  2 .

2

f x x

f x f x x  x  x x   x C

 

Thay x0 vàohaivế,tađược 2 0 2

f

C C

  

Suyra f2 x  x6 4x3 4 f2 2  26 4.23 4 100. ĐápánC

Câu 47. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'  liên tục và nhận giá trị không âm trên 1;, thỏa f 1 0,    2

2f x. 4 4 1

e f x   x  x vớimọi x 1;  Mệnhđềnàosauđâyđúng?

A  1 f 4 0 B 0f 4 1 C 1 f 4 2 D 2 f 4 3 Lờigiải

Từgiảthiếtsuyra ef x f x  2x 1 (do f x'  khôngâmtrên 1;)    d 2 1 d   .

f x f x

e f x x x x e x x C

      

Thay x1 vàohaivế,tađược ef 1     12 1 C C 1.

Suyra          

2

2

1 ln

13

f x x

e x x f x x x f x f

x x 

 

          

 

ĐápánB

Câu48. Cho hàmsố f x  thỏa mãn  2     4

15 12

f x f x f x x x

      

  vớimọi x  và f 0  f 0 1 Giátrị

của f2 1 bằng A 5

2 B

9

2 C 8 D 10

Lờigiải

Nhậnthấyđược  2        

f x f x f x f x f x 

       

   

Dođógiảthiếttươngđươngvới f x f x   .  15x412 x

 

Suyra    . 15 12 d 3 6 f 0 f 0 1

f x f x  x  x x x  x   C    C

   . 3 6 1

f x f x x x

   

   . d 3 6 1 d 2  2 '.

2

f x x

f x f x x x x x x x C

        

Thay x0 vàohaivếtađược 2 0 ' '

2

f

C C

  

Vậy f2 x  x6 4x3  2x 1 f2 1 8. ĐápánC

Câu 49. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;2 và thỏa mãn f x   0, x  1;2 Biết rằng

 

2

1

d 10 f x x 

 và  

 

2

1

d ln f x

x f x





 Tính f 2

Lờigiải

Tacó        

2 2

1

d 10 10 10

f x x   f x   f f 

  1

Lạicó  

     

2 2 2

1

1

d ln ln ln ln ln

f x

x f x f x

f x

  

      

 (do f x   0, x  1;2 )

      2   2

ln ln ln ln ln 2

1

f f

f f

f f

        2

Từ  1 và  2 ,suyra f 2 20 ĐápánB

Câu50. Cho hàmsố f x  cóđạo hàmliêntụctrên 1;1, thỏamãn f x    0, x và f x' 2f x 0.Biết rằng f  1 1,giátrịcủa f 1 bằng

A e2. B e3. C e4. D 3.

Lờigiải

Tacó          

 

'

' ' f x

f x f x f x f x

f x

       (do f x 0)  

   

'

d 2d ln

f x

x x f x x C

f x

       (do f x 0).

Mà f 1    1 C 2 lnf x    2x 2 f x e 2x 2  f 1 e4. ĐápánC

Câu51.Chohàmsố f x  xácđịnhvàliêntụctrên  đồngthờithỏamãn

 

   

 

2 0,

' ,

1

2 x

f x x

f x e f x x f

   

    

   





Tínhgiátrịcủa f ln A.  ln

4

f  B  ln

f  C  ln ln 2

f   D  ln 2 ln 22 1.

f  

Lờigiải

Tacó      

 

2

2 '

' x f x x

f x e f x e

f x

     (do f x 0)  

     

2

' 1

d xd x

x f x

x e x e C f x

f x

f x e C

          

Thay x0 tađược    0 12

1

0 f

f C

e C 

    

Vậy     ln

1 1

ln

2

1

x

f x f

e e

    



 

ĐápánB

Câu 52. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0;, biết f x'   2x3  f2 x 0, f x 0 với mọi

0

x và  1

f  Tính P 1 f 1f 2   f2018  A 1009

2020

P B 2019

2020

P C 3029

2020

P D 4039

2020 P

Lờigiải

Tacó        

   

2

2 '

' f x

f x x f x x

f x

       (do f x 0)  

       

2

' 1

d d

3 f x

x x x x x C f x

f x

f x x x C

Mà  1 1 2   2 1

6 3.1 2

f C f x

x x

C x x

         

 

   

Suyra 1 1 1 3029

2 3 2019 2020 2020

P             

     

ĐápánC

Câu53. Chohàmsố f x  liêntụctrên 0; ,

  thỏamãn f x 1, f  0 0 và f x  x2 1 2x f x 1 Giá

trịcủa f 3 bằng

A 0 B 3 C 7 D 9

Lờigiải

Từgiảthiếtsuyra  

    

2

d d

1 1

f x x f x x

x x

f x x f x x

 

  

     

 

     

/

2

1

2 d d 2

2

x f x

x x f x x C

f x x

 

      

 

 

Mà f 0    0 C 0 f x x2f 3 3. ĐápánB

Câu54.Chohàmsố f x  cóđạohàmvàliêntụctrên  1;4 , đồngbiếntrên  1;4 , thoảnmãn    2

x xf x  f x 

vớimọi x 1;4 Biếtrằng  1 3,

f  tínhtíchphân  

4

1

d I f x x A 1186

45

I B 1187

45

I C 1188

45

I D

2 I Lờigiải

Nhậnxét:Do f x  đồngbiếntrên 1;4 nên f x'   0, x  1;4 .

Từgiảthiếttacó    2      

1 ' , 1;4

x  f x   f x  f x  x  f x  x

 

      

2 2

d d

3

2 2

f x f x

x x x x f x x x C

f x f x

 

       

   

Mà    

2

3

2

1

3 3

1

2 9 18

x x

f C f x x x x

 

   

 

 

       

 

4

1

1186

d

45 f x x

 

ĐápánA

Câu 55. Cho hàmsố f x  liên tục,không âmtrên 0;       

 ,thỏa      

2 ' cos

f x f x  x f x vớimọi 0; x   

  và

 0

f  Giátrịcủa

2 f    

  bằng

A 0 B 1 C 2 D 2

Lờigiải

Từgiảthiếttacó    

 

2

2

cos , 0; 2

f x f x

x x f x



   

     

   

   

2

2

d cos d sin

2 f x f x

x x x f x x C

f x 

     



 

Mà  0 3 2   sin 22 1 sin2 4 sin 3, 0;

2 f    C f x  x   x x    x  

  2

Câu 56. Cho hàm số f x  liên tục, không âm trên  0;3 , thỏa f x f x   .  2x f2 x 1 với mọi x 0;3 và

 0

f  Giátrịcủa f  3 bằng

A 0 B 1 C D 3 11

Lờigiải

Từgiảthiếttacó    

   

2

2

2 , 0;3

f x f x

x x f x



  



   

   

2

2

2

d d

2 f x f x

x x x f x x C

f x 

     



 

Mà      2 2 4 2  

0 1 , 0;3

f    C f x  x    x  x  x

 3 11 f

  ĐápánD

Câu 57. Cho hàm số f x  có đạo hàm khơng âm trên  0;1 , thỏa mãn f x 0 với mọi x 0;1 và

 4  2  2   3

' 1

f x f x x f x

       

      Biết f 0 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

đây.

A 3  1

2f  B  

5

2

2 f

  C 5  1

2f  D  

7

3

2 f

 

Lờigiải

Từgiảthiếttacó          

 

2

2 2

3

'

' 1

1

f x f x

f x f x x f x

x f x

   

       

      

  

   

 

 

 

 

3

1 1

3

0 0

d

' 1 2 1

d d d

3

1

1

f x f x f x

x x x

x x

f x f x

  

   

 

    

 

   

   

   

 3  1  0  

0

2

1 ln 1 2,605

3

f

f x x x  f

 

        

ĐápánC

Câu58. Cho hàmsố f x  liên tụctrên \0; 1 , thỏa mãn x x 1   f x f x  x2 x vớimọi x\0; 1 

và f 1  2 ln Biết f 2  a bln với a b,  ,tính P a2 b2. A

2

P B

4

P C 13

4

P D

2 P Lờigiải

Từgiảthiếttacó  

 2   \ 

1

, 0;

1 1

x x

f x f x x

x   x x   

Nhậnthấy  

 2    

1 . .

1 1

x x

f x f x f x

x x x



 

    

     Dođógiảthiếttươngđươngvới

  , 0; 

1 \

x x

f x x

x x



 

     

   

  

Suyra   d d ln

1 1

x x

f x x x x x C

x x x

 



        

    

Mà  1 ln   ln 1

x

f C f x x x

x

         



Cho x2 tađược    

3

2 3

2 ln ln

3

3 2

2 a

f f P

b   

          



Câu59.Chohàmsố f x  cóđạohàmxácđịnh,liêntụctrên  0;1 , thỏamãn f 0 1 và    

 

2

0

f x f x

f x

         

 với

mọi x 0;1 Đặt P f   1 f ,khẳngđịnhnàosauđâyđúng?

A   2 P B   1 P C 0 P D 1 P Lờigiải

Nhậnthấy      

1

0

1 d

P f f  f x x nêntacầntìm f x 

Từgiảthiếttacó  

 

 

     

2

1

1 d 1d

f x f x

x x x C f x

f x x C

f x f x

 



          



     

     

Mà  0 1  

1

f C f x

x         



Vậy  

0

1

d d ln 0,69

1

P f x x x

x 

      



 

ĐápánB

Câu 60. Cho hai hàm số f x  và g x  có đạo hàm liên tục trên  0;2 , thỏa mãn f ' ' 2   f 0 và

    '  2 x

g x f x x x e Tínhtíchphân    

2

0

' d I f x g x x

A I 4 B I4 C I e D I 2 e

Lờigiải

Từgiảthiết      

 

' 0

' '

' f

f f

f

 

   



Dođótừ g x f x    ' x x 2ex,suyra

    

    

2 2

2

' 0

0

'

x

x

e g

f e g

f

 

  

 

 

  



Tíchphântừngphầntađược     2    

0 0

d

If x g x   g x f x x

           

0

2 xd xd

f g f g x x e x x x e x

       

ĐápánB

Câu 61. Cho hàmsố f x 0 xácđịnh vàcó đạohàm trênđoạn  0;1 , thỏamãn    

   

0

1 2018 d

x

g x f t t

g x f x    



 



 Tính

 

1

0

d I g x x A 1009

2

I B I505 C 1011

2

I D 2019

2 I Lờigiải

Từgiảthiết,tacó    

           

' 2018

2018 ' ' '

g x f x

f x f x f x g x f x f x

 

  

  

          

2 1009 '

' 1009 1009

f x

f x f x

f x f x x C

 



 

     

   



loại

Thayngượclại,tađược    2

0

1 2018 1009 d 1009 x

t C t x C

 2

2

0

1009

1 2018 1009

2

x

t Ct x C C

 



        

Suyra f x 1009x1 hoặc f x 1009x1 (loạivì f x   0 x  0;1).

Khiđó      

0 0

1011

d d 1009 d

2 I g x x f x x x x ĐápánC

Câu62. Chohaihàm f x  và g x  cóđạohàmtrên 1;4 , thỏamãn

   

   

   

1

f g

g x xf x f x xg x

  

    

    

vớimọi x 1;4 Tínhtích

phân    

1

d If x g x  x

A I3 ln B I4 ln C I6 ln D I8 ln

Lờigiải

Từgiảthiếttacó f x   g x  x f x  x g x  

           

f x x f x g x x g x x f x  x g x 

         

          

       

C

x f x x g x C f x g x x

     

Mà        

4

1

4

1 4 d d ln

f g C I f x g x x x

x

 

         

ĐápánA

Câu63.Chohaihàm f x  và g x cóđạohàmtrên  1;2 , thỏamãn f 1 g 1 0 và

       

     

2

3

2

2017

1

, 1;2 2018

1 x

g x x x f x

x

x x

g x f x x

x

    

 

  



   

  

Tínhtíchphân    

2

1

1

d

x x

I g x f x x

x x

  

 

   



 

 A

2

I B I1 C

2

I D I2

Lờigiải

Từgiảthiếttacó        

     

2

2 1

2017

1 , 1;2

1

2018

x

g x f x

x

x x

x

g x f x

x x

 

    

 

  



   

  

Suyra

 2                

1

1 1 1

1

1

x x

x x

g x g x f x f x g x f x

x x x x x

x



         

            

          

     

 

   1  

1

x x

g x f x x C

x x



    

Mà          

2

1

1

1 1 d d

1

x x

f g C I g x f x x x x

x x

  

 

            



 

 

ĐápánA

Câu 64. Chohàm số y f x  cóđạohàm trên 0;3 , thỏa mãn    

 

3

1 f x f x f x

  



  

 vớimọi x 0;3 và  

0

2

f 

Tínhtíchphân  

   

3

2 2

'

d

1

xf x

I x

f x f x



   

 

A

I B I1 C

2

I D

2 I Lờigiải

Từgiảthiết    

   

3

3

3

0

x f x f x

f f



  

  

  

Tacó  2 2  3     2

1 f x f x f x f x f x

       

   

Tíchphân  

       

3 3

2

0

0 0

' 1

d d d

1 1

1

xf x x

I x x x J

f x f x f x

f x

 

 



         

   

    

 

  

Tính

       

3 3 3

0 0

1 1

d d d d

1 3

t x

J x t t x

f x f t f t f x

 

    

      

   

Suyra

   

   

3 3 . 1

0 0

1

2 d d 1.d

1

f x f x

J x x x J

f x f x

 

     

  

   Vậy

2 I ĐápánA

Câu65.Chohàmsố y f x  liêntụctrênđoạn 0;1 vàthỏamãn af b bf a 1 vớimọi a b,  0;1 Tínhtích

phân  

1

0

d I f x x A

2

I B

4

I C

2

I D

4 I Lờigiải

Đặt asin , x bcosx với 0; x   

 

Từgiảthiết,suyra sinxfcosxcosxfsinx1

   

2 2

0 0

sin cos d cos sin d 1d

2

xf x x xf x x x

  



     1

Tacó

     

     

0

2 cos

0

1

2 sin

0 0

sin cos d d d

cos sin d d d

t x

t x

xf x x f t t f x x

xf x x f t t f x x







 

   

  

  



  

  

Dođó    

1

0

1 d

4 f x x 

 

ĐápánD

Vấn đề Kỹ thuật đạo hàm

Câu 66. Cho hàmsố f x  có đạo hàmliên tụctrên  0;1 , thoảmãn 3 f x xf x x2018 với mọi x 0;1 Tính

 

1

0 d I f x x.

A

2018 2021 I

 B

1 2019 2020 I

 C

1 2019 2021 I

 D

1 2018 2019 I



Lờigiải

Từgiảthiết 3f x xf x x2018, nhânhaivếcho x2 tađược

     

2 2020 2020

3x f x x f x x x f x x

Suyra   2020d 2021 . 2021

x x f x  x x C

Thay x0 vàohaivếtađược   2018 2021 x C f x 

Vậy   2018 20191

0

0

1 1

d d

2021 2021 2019 2021 2019

f x x x x x 



ĐápánC

Nhậnxét:Ýtưởngnhânhaivếcho x2 làđểthuđượcđạohàmđúngdạng uv 'u v uv'  '.

Câu 67. Cho hàmsố f x  có đạo hàmliêntụctrên  0;4 , thỏamãn f x f x ex 2x1 vớimọi x 0;4

Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng?

A  4  0 26.

3

e f f  B e f4    4 f 0 3 e C e f4    4 f 0  e4 1. D e f4    4 f 0 3. Lờigiải

Nhânhaivếcho ex đểthuđượcđạohàmđúng,tađược

     /

' 2

x x x

e f x e f x  x e f x   x

Suyra   1d 12 2

3 x

e f x  x x x x C

Vậy  4  0 26.

3 e f f 

ĐápánA

Câu 68. Cho hàm số f x  có đạo hàm trên , thỏa mãn f x' 2018f x 2018x2017 2018e x với mọi x  và  0 2018

f  Tínhgiátrị f 1

A f 1 2018e2018. B f 1 2017e2018. C f  1 2018e2018. D f 1 2019e2018. Lờigiải

Nhânhaivếcho e2018x đểthuđượcđạohàmđúng,tađược

  2018x 2018   2018x 2018 2017   2018x 2018 2017.

f x e   f x e  x f x e  x

 

 

Suyra f x e  2018x 2018x2017dxx2018C. 

Thay x0 vàohaivếtađượcC2018f x x20182018e2018x.

Vậy f 1 2019e2018. ĐápánD

Câu 69. Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn    

2 x

f x xf x  xe và f  0 2 Tính

 1 f

A f 1 e B f 1 e

 C f  1 e

 D f 1 e  

Lờigiải

Nhânhaivếcho

2

2 x

e đểthuđượcđạohàmđúng,tađược

     

2 2 2

2 2 2 2 2.

x x x x x

f x e f x xe  xe e f x  xe

 

 

Suyra  

2 2

2 2 2d 2 .

x x x

e f x  xe x  e C

Thay x0 vàohaivếtađược  

0 x

C f x   e

Vậy f 1 2e 2.

e



   

ĐápánD

Câu 70. Cho hàm số f x  liên tụcvà cóđạo hàmtrên 0; ,       

  thỏa mãn hệ thức   tan   cos3

x f x xf x

x 

  Biết

rằng 3 ln

3

f f a b

    trongđó a b,   Tínhgiátrịcủabiểuthức P a b A

9

P  B

9

P  C

9

P D 14

9 P

Từgiảthiết,tacó cos   sin   2 sin   2

cos cos

x x

xf x xf x xf x

x   x



    

Suyra sin   cos2 d tan ln cos

x

xf x x x x x C

x

   

Với ln 3 ln 2

3 3 3

x   f     f      C

Với 1ln ln ln ln 2

6 6

x   f      C f       C

Suyra ln 59

3 1

a

f f P a b

b

   

     

              

  

     



ĐápánA

Vấn đề 10 Kỹ thuật đưa bình phương loại

Câu 71. Cho hàm số f x  liên tục trên 0; ,       

  thỏa    

2

0

2

2 sin d

4

f x f x x x



 

   

     

  

 

 Tính tích phân

 

2

0

d I f x x

 

A I0 B

4

I C I1 D

2 I Lờigiải

Tacó 2

2

2 sin d

4

x x



 

  

    

 

  

Dođógiảthiếttươngđươngvới 2   

2 sin sin d

4

f x f x x x x



 

    

        

    

 



   

2

0

2 sin d sin 0, 0;

4

f x x x f x x x



  

      

   

                 

 



Suyra    

0

2 sin d sin d

4

f x x I f x x x x

 

 

   

 

            ĐápánA

Câu 72. Cho hàm số f x  liên tục trên  0;1 thỏa      

1

2

0

2

2 ln d ln d

f x x f x x x

e

   

      

 

 

  Tích phân

 

1

0

d I f x x A ln

4 e

I B I ln4

e

 C ln

2 e

I D I ln2

e  .

Lờigiải

Bằngphươngpháptíchphântừngphầntatínhđược

 

1

2 2

0

2

ln x dx ln ln d x

e e

  

 

Dođógiảthiếttươngđươngvới          

1

2

0

ln d ln , 0;1

f x x x f x x x

         

 



Suyra    

1

0

4

d ln d ln

f x x x x

e

  

  .

Câu 73. Cho hàm số f x  có đạo liêntục trên 0;1 , f x  và f x'  đều nhận giá trị dương trên 0;1 và thỏa

mãn f  0 2 và        

1

2

0

' d ' d

f x f x x f x f x x

     

   

 

  Tính  

1

0

d I f x  x A 15

4

I B 15

2

I C 17

2

I D 19

2 I Lờigiải

Giảthiếttươngđươngvới    

1 2

0

' d

f x f x x

   

 

 



         2    2

' 1, 0;1 ' ' d d

f x f x x f x f x f x f x x x

       

   

3

0

3

f f x

x C  C

    

Vậy 3   3

0

19

3 d

2 f x   x  I f x  x ĐápánD

Câu 74. Cho hàm số f x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f 0 1,

       

1

2

0

1

3 ' d ' d

9

f x f x x f x f x x

   

     

 

 

  Tính  

1

0

d I f x  x A

2

I B

4

I C

6

I D

6 I

Lờigiải

Giảthiết        

1 2

0

1

3 ' d ' d

3

f x f x x f x f x x

 

     

           

1 2 1 2

0 0

3 f x f x' dx f x f x x' d dx f x f x' dx

   

         

         2    2

3 f x f x' 0, x 0;1 'f x f x 'f x f x xd dx

        

   

3

0

9

3

f f x

x C  C

    

Vậy 3   3

0

1

1 d

3

f x  x  f x  x ĐápánD

Câu 75. Cho hàm số y f x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa f   1 f 1 và

       

1

2

0

' d ' d

f x f x   x f x f x x

  Giátrịcủatíchphân  3

0

d f x x    

 bằng

A 3

2 B

5 33 27 18

 C 5 33

18 D

5 33 54 18

 Lờigiải

Nhómhằngđẳngthứctacó        

1

2

0

' d ' d

f x f x   x f x f x x

 

         

     

   

1

2

0

1 2

0

0 vi 1

' ' d ' d

' d ' d

f f

f x f x f x x f x f x x

f x f x x f x x

  

 

     

   

        

 

 



         2    2

' 1, 0;1 ' ' d d

f x f x x f x f x f x f x x x

       

1

3 3 3 33 27.

3 54

f f f x

x C f x x C   C 

       

Vậy    

1 3

0

5 33 27 33

3 d

18 18

f x  x  f x  x ĐápánC

Vấn đề 11 Kỹ thuật đưa bình phương loại Kỹ thuật Holder

Câu 76. Cho hàmsố yf x  liêntục trênđoạn  0;1 , thỏa mãn    

1

0

d d

f x x xf x x

  và  2

0

d

f x x

  

 

 .Giá trị

củatíchphân  3

d

f x x

 

 

 bằng

A 1 B 8 C 10 D 80

Lờigiải

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  2    

, ,

f x xf x f x

 

  nên ta sẽ liên kết với bình phương

 

f x x 

   

 

Vớimỗisốthực  , tacó          

1 1

2 2

0 0

d d d d

f x x  x f x x x  f x x x  x

          

   

   

  2

4

3 

   

     

Tacầntìm  , saocho  

1

2

d

f x x  x

    

 

 hay 4 2  2 0

3 

   

     

 

2 3 6 3 6 12 0.

    

       Đểtồntại  thì 3 62 4 3 6 12 0

  

      

 2

3 12 12   

             

Vậy        3

0

6 d 2, 0;1 d 10

f x x x f x x x f x x

             

   

 

ĐápánC

Câu 77. Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn    

1

0

d d

xf x x x f x x

  và  2

0

d

f x x

  

 

 Giá

trịcủatíchphân  3

d

f x x

 

 

 bằng

A 5

6 B

6

5 C 8 D 10

Lờigiải

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  2    

, ,

f x xf x x f x

 

  nên ta sẽ liên kết với bình phương

 

f x x  x

   

 

 

Vớimỗisốthực  , tacó

         

1 1

2 2

0 0

d d d d

f x x  x x f x x x  x f x x x  x x

          

   

 

   

 

5

3

  

 

     

Tacầntìm  , saocho  

d

f x x  x x

    

 

 

 hay 2 

3

  

 

     

Tươngtựnhưbàitrước,tatìmđược  15, 10

Vậy        3

0

5

15 10 d 15 10 , 0;1 d

6

f x x x x f x x x x f x x

             

   

 

 

Câu78. Cho hàmsố yf x  liêntụctrên đoạn 0;1 , thỏamãn    

1

2

0

1

d d

16

xf x x x f x x

  Giá trịcủatíchphân

 

1

d f x x

 bằng

A 1

5 B

1

4 C

1

3 D

2

Lờigiải

Hàmbìnhphươngkhơngnhưthơngthườnglà  2

f x

 

  hoặc f x' 2

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  2  

, x f x x f x

 

 

  nên ta sẽ liên kết với bình phương

       2

2

??? ??? ???

x f x xf x x f x

     

 

  Sosánhtathấyđược ???

x x 

Dođógiảthiếtđượcviếtlại  

2

1

0

1

d d

2 16

x x x x

x f x x x

   

   

       

   

 

   

 

Suyra        

0

1

, 0;1 d

2

x x x

x f x   x f x   f x x

ĐápánB

Câu79.Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên 1;8 vàthỏamãn

     

2

2

3

1 1

2 38

d d d

3 15

f x x f x x f x x

    

 

 

  

Tíchphân  

8

1 d f x x

 bằng

A 8 ln

27 B

ln

27 C

4

3 D

3 Lờigiải

Nhận thấy có một tích phân khác cận là  

1

d f x x

 Bằng cách đổi biến xt3 ta thu được tích phân

   

2

2 3

1

3t f t dt3x f x d x

Dođógiảthiếtđượcviếtlại  3 2  3 2  3

1 1

38

d d d

15

f x x f x x x f x x

    

 

 

    *

Ở đâycác hàm xuất hiện dưới dấu tíchphân là    2   , ,

f x f x x f x

 

 

  nên ta sẽ liên kết vớibình phương

 3 2

f x x 

   

 

 

Tươngtựnhưcácbàitrêntatìmđược  1, 1

Dođó     

2

2

3 2

1

38

* d d

15

f x x x x x

 

         

 3        

1

3

1, 1;2 1, 1;8 d

2

f x x x f x x x f x x

           

ĐápánD

Câu 80. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1 0 ,  2

d f x x    

 

 và

 

1

0

1

d

3 x f x x

 Tíchphân  

1

0 d f x x

 bằng

A 1 B 7

5 C

7

4 D 4.

Lờigiải

Hàmdướidấutíchphânlà  2 2   , f x x f x   

Dùng tíchphân từngphần ta có      

1 1

2

0

0

1

d ' d

3

x

x f x x f x  x f x x

  Kết hợp với giả thiết f 1 0, ta

suyra  

' d

x f x x  

Bâygiờgiảthiếtđượcđưavề

   

1

2

0

3

0

d

' d

f x x x f x x         



  

  

Hàmdướidấutíchphânbây giờlà  2 3   , ' f x x f x   

  nên

tasẽliênkếtvớibìnhphương f x' x32.

 

 

Vớimỗisốthực  tacó   3  2 3   2 6

0 0

' d ' d ' d d

f x x x f x x  x f x x  x x

       

   

 

   

 

2

2

7

7 

 

    

Tacầntìm  saocho   3

' d

f x x x

   

 

 

 hay 1 2

7

7    

Vậy        

1

2

3

0

7

' d ' , 0;1

4

f x x x f x x x f x x C

            

 

 



 1    

0

7 7

d

4 4

f

C f x x f x x



       

ĐápánB

Cách 2. Dùng tích phân từng phần ta có    1  

0

1

d ' d

3

x

x f x x f x  x f x x

  Kết hợp với giả thiết

 1

f  ,tasuyra  

1

0

' d

x f x x  

TheoHolder

     

2

1 1 2

2

0

0 0

1 ' d d ' d

7 x x f x x x x f x x

 

   



       

Vậyđẳngthứcxảyranêntacó f x' kx3, thayvào  

3

0

' d

x f x x 

 tađược k 7

Suyra f x'  7x3 (làmtiếpnhưtrên)

Câu 81. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1 1 ,  

1

0

11 d

78 x f x x

 và

    

1

0

4

d

13 f x f x 

 Tính f 2

A f 2 2 B  2 251

f  C  2 256

f  D  2 261 f 

Lờigiải

Viếtlại       2

0

4

d d

13 13

f x f x   f x  x

 

Dùng tíchphân từng phầnta có      

1 1

5

0

0

1

d d

6

x

x f x x f x  x f x x

  Kết hợp với giả thiết f 1 1, ta

suyra  

2

d

Bâygiờgiảthiếtđượcđưavề

   

1

2

0

6

0

4 d

13 ' d

13 f x x x f x x     

  

 

 

  

Hàmdướidấutíchphânbây giờlà  2 6   , ' f x x f x   

  nên

ta sẽ liên kết với bình phương f x' x62.

 

  Tương tự như bài trên ta tìm được

     1

2

7

f

f x x f x x C C

         

Vậy    2 261.

7 7

f x  x  f 

ĐápánD

Cách2.TheoHolder

   

2

2 1

2

6 12

0 0

2 4

d d

13 x f x x x dx f x x 13 13 169

 

   

          

     

     

Câu 82. Cho hàmsố f x  cóđạo hàmliên tụctrên  0;1 , thỏamãn f 1 2, 0f  0 và  

2

0

' d f x x

  

 

 . Tích

phân 3 

2018 d

f x x x

  

 

 

 bằng

A 0 B 1011 C 2018 D 2022

Lờigiải

Từgiảthiết f 1 2, 0f  0 suyra    

1 1

0

' d

f x x f x  

Hàmdướidấutíchphânlà  2   ' , ' f x f x

 

  nênsẽliênkếtvớibìnhphương f x' 2

Tatìmđược      0

2 ' 2 f

f x f x x C C

        

Vậy    

1

0

2 2018 d 1011

f x  xf x  x x  ĐápánB

Cách2.TheoHolder

   

2

1 1

2

0 0

2  f x x' d   d x f x'  dx1.44

 

   

Câu 83. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  1;2 , thỏa mãn    

2

1

1

1 d ,

3 x f x x 

 f 2 0 và

 

2

2

1

' d f x x

  

 

 Tíchphân  

1 d f x x

 bằng

A 20

 B

20 C

7

 D 7

5

Lờigiải

Chuyển thông tin    

2

1

1 d

x f x x

 sang f x'  bằng cách tích phân từng phần, ta được

   

2

1

1 ' d x f x x 

Hàmdướidấutíchphânlà   2   3

' , '

f x x f x

  

  nênliênkếtvới    

2

'

f x  x

   

 

 

Tatìmđược    3   7 4  2

7 ' 1

4

f

f x x f x x C C

           

Vậy      

2

1

7 7

1 d

4

Cách2.TheoHolder

       

2

2 2

2

3

1

1 1

1

1 ' d d ' d

7

x f x x x x f x x

 

   

        

 

   

Câu84.Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên  0;1 , thỏamãn    

1

0

9 1, ' d

5

f  f x  x và  

1

0

2

d

5 f x x 

Tíchphân  

0 d f x x

 bằng

A

I B

4

I C

5

I D

4 I Lờigiải

Chuyểnthôngtin  

1

0

d f x x

 sang f x'  bằngcách:

Đặt  

1

0

1 d

5

t x tf t t hay  

1

0

1

d

5 xf x x 

Tíchphântừngphần  

1

0

d , xf x x

 tađược  

1

0

3

' d

5 x f x x 

Hàmdướidấutíchphânlà  2 2   ' , ' f x x f x

 

  nênliênkếtvới f x' x22

Tatìmđược 3 '  3   f 1 0.

f x x f x x C C

        

Vậy    

1

0

1

d

4 f x  x  f x x ĐápánB

Cách2.TheoHolder

   

2

2 1

2

2

0 0

3 9

' d d ' d

5 x f x x x x f x x 5 25

 

   

       

     

     

Câu 85. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 0 f  1 0,    

0

' cos d f x x x

 và

 

1

0

1

d

2 f x x

 Tíchphân  

0 d f x x

 bằng

A 1

 B

2

 C  D

3

 Lờigiải

Hàmdướidấutíchphânlà f2 x và f x'   cos x ,khơngthấyliênkết.

Do đó ta chuyển thơng tin của f x'   cos x về f x  bằng cách tích phân từng phần của

   

1

0

' cos d f x x x

 cùngvớikếthợp f 0 f 1 0, tađược    

1

0

1

sin d

2 f x x x 

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là f2 x và f x   sin x nên ta sẽ liên kết với bình phương

   2

sin f x  x

  

 

Tatìmđược      

0

2

1 f x sin x f x xd

 



     

ĐápánB

Cách2.TheoHolder

       

2

2 1

2

0 0

1 1

sin d d sin

2 f x x x f x x x dx 2

 

   

       

     

Câu86. Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên  0; , thỏamãn  

0

' sin d f x x x 

 

 và 2 

0

2

d

f x x 

 

 Tích

phân  

0 d xf x x 

 bằng

A 

 B



 C 2

 D

4  Lờigiải

Hàmdướidấutíchphânlà f2 x và f x' sinx,khơngthấyliênkết.

Do đótachuyểnthơngtincủa f x' sinx về f x  bằngcáchtíchphântừngphầncủa  

' sin d 1, f x x x 

  

tađược  

0

cos d f x x x 

 

Hàmdướidấutíchphânbâygiờlà f2 x và f x cosx nêntasẽliênkếtvớibìnhphương f x cosx2.

 

Tatìmđược    

0

2 2 cos

cos d x xd

f x x xf x x x

 



   

       

ĐápánB

Cách2.TheoHolder

     

2

2 2

0 0

2

1 cos d d cos d

2

f x x x f x x x x

   



    

Câu 87. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa    2

1 0, ' d f  f x  x và

 

1

0

1

cos d

2

x

f x x 

 

  

   

 Tíchphân  

1

0 d f x x

 bằng

A 1

 B

2

 C 2

 D .

Lờigiải

Hàmdướidấutíchphânlà  2 ' f x

 

  và cos   x

f x       

  ,khơngthấyliênkết.

Do đó ta chuyển thơng tin của cos  

x f x       

  về f x'  bằng cách tích phân từng phần của

 

1

0

1

cos d

2

x

f x x 

 

  

   

 cùngvớikếthợp f 1 0, tađược  

0

sin ' d

2

x

f x x

 

 

   

    

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là f x' 2 và sin ' 

x f x       

  nên ta sẽ liên kết với bình phương

 

' sin

2 x

f x  

        

  

 

Tatìmđược      1

' sin cos

2 2

f

x x

f x f x C C

   

            

   

 

   

Vậy    

1

0

2

cos d

2 x

f x  f x x

  



     ĐápánB

Cách2.TheoHolder

   

2

2 1

2

0 0

1

sin ' d sin d ' d

4 2

x x

f x x x f x x

     

       

           

         

  

Câu88.Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên 0;1 , thỏamãn    

1

0

' sin d f x x x

 và  

1

0

d f x x

 Tích

phân

0 d x f     x

 bằng

A 

 B



 C 4

 D

6  Lờigiải

Chuyển thông tin của f x'   sin x về f x  bằng cách tích phân từng phần của    

0

' sin d ,

f x x x

 ta

được    

1

0

cos d

f x x x  

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là f2 x và cos x f x    nên ta sẽ liên kết với bình phương

   2

cos

f x  x

  

 

Tatìmđược     1

0

4

2 cos d cos d

2

x x

f x x f x  x

 



   

 

               ĐápánB

Cách2.TheoHolder

         

2

1 1

2

2

0 0

1

1 cos d cos d d

2 f x x x x x f x x

 

   

      

 

   

Câu 89. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0; ,       

  thỏa  

2

0

0, d

2

f f x x



 

 

  

 

   và

 

0

sin d

2 x

x x f x



        

 Tíchphân  3

0

d f x x 

  

 

 bằng

A 

 B 0 C 3  D 9 

Lờigiải

Tíchphântừngphầncủa  

0

sin d ,

2 x

x x f x



        

 kếthợpvới

2 f    

  tađược

tađược 2  

3

sin d

4 xf x x 

  

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là f2 x và sin xf x2   nên ta sẽ liên kết với bình phương

  2

sin

f x  x

  

 

 

Tatìmđược   4 f x 4 sin2x f x' 4 sin 2x f '' x 8cos x

Vậy  3 2 3

0

d 8cos d

f x x x x

 

    

 

 

ĐápánB

Cách2.TheoHolder

   

2

2 2

2

0 0

3

sin d sin d d

4 xf x x x x f x x 16

  

    

   

     

   

   

   

Câu 90. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn f 1 0 và

     

1

2

0

1

' d d

4

x e

f x x x e f x x 

    

 

  Tínhtíchphân  

0

A e

I  B

4 e

I C I e D

2 e I Lờigiải

Tíchphântừngphầncủa    

1

0

1 x d , x e f x x

 kếthợpvới f 1 0 tađược

 

1

0

1

' d

4

x e

xe f x x   

Hàmdướidấutíchphânbâygiờlà  2 ' f x

 

  và xe f xx '  nêntasẽliênkếtvới f x xex2

Tatìmđược        1

1 f x' xex f x xe xxd x ex C f C

           



Vậy       1 

0

1 x d xd

f x  x e  f x x x e x e ĐápánC

Cách2.TheoHolder

   

2

2 1

2 2

2 2

0 0

1 1

' d d ' d

4 4

x x

e  xe f x x x e x f x x e e

      

       

     

  

  

     

Câu 91. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 0 0, 1f 1 và  

2

0

'

d

1 x

f x x

e e

 

  

 

Tíchphân  

1

0 d f x x

 bằng

A e e



 B

1 e e



 D   

1

e e C 1

Lờigiải

Hàmdướidấutíchphânlà  

2 '

x f x

e

 

  nêntacầntìmmộtthơngtinliênquan f x' .

Từgiảthiết f 0 0, 1f 1 tanghĩđến    1    

0

' d 1

f x xf x  f f  

Do đótacóhàmdưới dấutíchphânlà  

2 '

x f x

e

 

  và f x'  nên sẽliênkếtvớibìnhphương '  x 2. x

f x e

e 

 

  

 

 

 

Vớimỗisốthực  tacó

   2  

1 1

2

0 0

' '

d d ' d d

x x

x x

f x f x

e x x f x x e x

e

e   

 

   

     

 

 

 

   

   

2

1

2 1

1 e e

e   e   

        

 

Tacầntìm  saocho  

2

0 '

d

x x

f x

e x

e 

 

   

 

 

 

 hay  

1

1 e

e         e

Với

1 e   

 thì      

2

0

' '

d , 0;1

1

x x

x x

f x f x

e x e x

e e

e e

 

       

   

 

 



Suyra      0 0, 1 

' d

1 1

x x x

f f

e e e

f x f x x C C

e e e e

 

       

    

Vậy    

1

0

1

d

1

x

e e

f x f x x

e e

 

  

  

ĐápánA

Cách2.TheoHolder

       

2 2

1 1

2

0 0

'

'

1 ' d d d d 1

1

x x

x x

f x f x

f x x e x x e x e

e e

e

     

   

       



   

Câu 92. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f  0 0, 1f 1 và

 

 

1

2

0

1

1 ' d

ln x f x  x

   



 Tíchphân  

1

2

d

f x x x 

 bằng

A 1ln 12 2 

2  B  

2

ln

2  C  

1

ln

2  D  ln 1     Lờigiải

Tươngtựbàitrước,tacó        

1 1

0

' d 1

f x x f x  f f  

Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là 2  2

1 x f x'  và f x'  nên sẽ liên kết với bình phương

 

2

4

2

1 '

1 x f x

x 

 

   

  

 

 

Tatìmđược

     

1 1

'

ln f x ln x

    

  

       2

2

1 1

d ln

ln ln

f x x x x C

x

     

   

Mà        

 

2

ln

0 0, 1

ln

x x

f  f    C f x    

Vậy  

         

2

1 1

2

2

0 0

ln

1

d d ln d ln

ln ln

1

x x

f x

x x x x x x

x x

   

       

 

 

  

     

2 1

0

ln

1

ln

2

ln

x x

  



ĐápánC

Cách2.TheoHolder

     

2

1 1

2

2 2

2

4

0 0

1 d

1 ' d ' d ' d

1

x

f x x x f x x x f x x

x x

 

   



       

      

  .ln 2 ln

  



Câu 93. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 1;1 , thỏa mãn f  1 0,  

2

1

' d 112

f x x 

  

 

 và

 

1

1

16

d

3 x f x x 



 Tínhtíchphân  

1

1

d I f x x

  A 84

5

I B 35

2

I C 35

4

I D 168

5 I

Lờigiải

Nhưcác bàitrước,tachuyển  

16 d

3 x f x x 



 vềthơngtincủa f x'  bằngcáchtíchphântừngphần.Đặt

  3  

2

d ' d

d d

3 u f x x u f x

x

v x x v

  

  

 

 

   

 

 

Khi đó    1        

1

1 1

1 1

d ' d 1 ' d

3 3 3

x

x f x x f x x f x x f f x f x x



  

     

   Tớiđây ta bị vướng f 1

  3  

2

d ' d

d d

3 u f x x u f x

x

v x x v k

  

  

 

 

    

 

  với k làhằngsố.

Khiđó    1  

1

1

d ' d

3

x x

x f x x k f x k f x x



 

   

   

      

   

 

   

 

 

1

1

1

1 ' d

3 3

f

x

k f k f k f x x

   

 

     

  

         

Tachọn k saocho 1 3    k k

Khiđó   1       

1 1

16

d ' d ' d 16

3  x f x x 3 x  f x x x  f x x 

Hàmdướidấutíchphânlà  2  3    ' , '

f x x f x

  

  nêntaliênkếtvới    

2

'

f x  x

   

 

  .

Tatìmđược 7 '  7 1   7  1 d 7

f x x f x x x x x C

              

 1 35   7 35.

4 4

f

C f x x x

 

       Vậy  

1

84

d

5 I f x x



 

Cách2.TheoHolder

         

2

1 1

2

2 3

1 1

16

16 ' d d ' d 112 256

7

x f x x x x f x x

  

 

   



         

   

Câu 94. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1 0,  2

3 ' d ln

2 f x x

   

 

 và

 

 

1

2

3 d ln

2

f x x

x  

 Tíchphân  

1

0 d f x x

 bằng

A 1 ln 2

 B 1 ln

 C 3 ln

 D 3 ln

 Lờigiải

Như các bài trước, ta chuyển  

 

1

2

3 d ln

2

f x x

x  

 về thông tin của f x'  bằng cách tích phân từng phần.Đặt

 

 

 

2

d ' d

1 1

d d

1

u f x u f x x

v x v

x x

   

 

 

 

  

   

 

   



Khi đó  

           

1 1 1

2

0

0 0

' '

d d d

1 1

1

f x f x f x f f f x

x x x

x x x

x          

   Tới đây ta bị vướng f  0 vì giả

thiếtkhơngcho.Dođótađiềuchỉnhlạinhưsau

 

 

 

2

d ' d

1 1

d d

1

u f x u f x x

v x v k

x x

   

 

 

 

  

    

 

   



với k làhằngsố. Khiđó  

     

1 1

2

0

0

1

d ' d

1

1 f x

x k f x k f x x

x x

x

   

 

           

 

 

     

1

0

1 ' d

1 f

k f k f x x

x

  



        

Tachọn k saocho     1 k k

Khiđó  

     

1 1

2

0 0

3

2 ln d ' d ' d ln

2 1

f x x x

x f x x f x x

x x

x

      

 



Hàmdướidấutíchphânlà  2  

' , ' x

f x f x

x  

   nêntaliênkếtvới  

2

'

1 x f x

x 

 

  

  

 

Tatìmđược '    d ln

1

x x

f x f x x x x C

x x

          

  

 1    

ln ln ln f

C f x x x



         Vậy  

0

1 ln

d

2 f x x  

ĐápánB

Cách2.TheoHolder

   

2

2 1

2

0 0

3 3

2 ln ' d d ' d ln 2 ln

2 1 2

x x

f x x x f x x

x x

 

        

             

          

   

           

Câu 95. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  1;2 , đồng biến trên  1;2 , thỏa mãn f  1 0 ,

 

2

2

1

d

f x x    

 

 và    

2

1

' d f x f x x

 Tíchphân  

2

1 d f x x

 bằng

A

2 B C 2 D 2

Lờigiải

Hàmdướidấutích phânlà  2    

, f x f x f x

   

  nêntasẽliên kếtvớibìnhphương f x f x 2 Nhưng

khikhaitriểnthìvướng  2

d f x x    

 nênhướngnàykhơngkhảthi.

Ta có              

2 2 2

1

2

1 ' d 2

2 2

f x f f f

f x f x x   f

      (do đồng biến trên  1;2 nên

 2  1 f  f  )

Từ f 1 0 và f 2  tanghĩđến        

2 2

1

' d 2

f x x f x  f f    

Hàmdướidấutíchphânbâygiờlà f x 2, f x  nêntasẽliênkếtvới f x 2

Tatìmđược      1

2 ' 2 f

f x f x x C C

         

Vậy    

2

1

2

2 d

2 f x  x  f x x ĐápánA

Câu 96. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1 0 , 2 

d f x x

 và

   

1

2 2

0

3

d

4 f x f x x

   

 

 Giátrịcủa f2 2 bằng A

2

 B 3

2 C  

3 

D 1 2   Lờigiải

Hàm dưới dấu tích phân là f x 2 f2 x

  và f2 x nên ta sẽ liên kết với bình phương

     2

f x f x f x

   

  Nhưngkhikhaitriểnthìvướng    

1

0

' d f x f x x

 nênhướngnàykhơngkhảthi. Tíchphântừngphần  

1

0

d f x x

 kếthợpvới f 1 0, tađược    

1

0

1

' d

2 xf x f x x  

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  2 2  f x f x   

  và xf x f x   ' nên ta sẽ liên kết với bình phương

   

'

f x f x x

  

 

Tatìmđược    '    ' d d 2 

2 2

f x

f x f x x f x f x x x x x C

 1 2  31 2 2 2 3.

4 2

f

C f x x f



       

ĐápánA

Câu 97. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;2 , thỏa mãn f 2 1 , 2  

8 d

15 x f x x

 và

 

2

4

0

32

' d

5 f x x

  

 

 Giátrịcủatíchphân  

2

0 d f x x

 bằng

A

 B

3

 C

3

 D 7

3

Lờigiải

Hàmdướidấutíchphân  4 ' f x  

  và x f x2  .Lờikhunlàđừngcócốliênkếtvớibìnhphươngnào,vìcó

tìmcũngkhơngra.

Tíchphântừngphần  

2

0

8 d

15 x f x x

 kếthợpvới f 2 1,tađược  

2

0

32

d

5 x f x x  

ÁpdụngHolder lầntađược

     

4 2

4 2 2

2

3

0 0

32 d . d d ' d

5 x f x x x xf x x x x x f x x

       

         

             

           

         

   

2

2 2

4

4

0 0

3 4

2

4

0

d d ' d

1048576 32

d ' d

625

x x x x f x x

x x f x x

   

     

 

     

   

   

     



       

  

 

Dấu '' '' xảyra,tứclà xf x' kx2f x' kx thayvào  

4

0

32

' d

5 f x x

  

 

 tìmđược k1

     2

' d

2 f x

f x x f x x x C  C

        

Vậy    

2

0

2

1 d

2

x

f x    f x x  ĐápánB

Cách2.ÁpdụngbấtđẳngthứcAM-GMtacó

 4 4 4 4 3  

' '

f x x x x x f x

     

 

Dovậy    

2 2

4 4 3

0 0

' d d d

f x x x x x f x x

    

 

   Màgiátrịcủahaivếbằngnhau,cónghĩalàdấu '' '' xảyra nên f x' x (Làmtiếpnhưtrên).

Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Câu98. Chohàmsố f x  nhậngiátrịdương vàcóđạohàm f x'  liêntục trên  0;1 , thỏamãn f 1 ef 0 và

   

1

2

0

d

' d x

f x x f x    

  Mệnhđềnàosauđâyđúng?

A  1 e f

e 

 B  

 

2

1

1 e f

e 

  C  1 22 e f

e 

 D    

2

1

1 e f

e 

 

Lờigiải

Tacó

          

1 1 AM GM

2

2

0 0

'

d

' d ' d f x d

x

f x x f x x x

f x

f x f x



 

 

   

        

 

 

   

        

0

1

2 ln ln ln ln ln

f

f x f f e

f

Mà

   

1

2

0

d

' d

x

f x x f x    

  nêndấu '' '' xảyra,tứclà  

     

1

' '

f x f x f x

f x

  

   ' d d 2    2

2 f x

f x f x x x x x C f x x C

       

Theogiảthiết f 1 ef 0 nêntacó

2

1

2 2 2

1

C e C C e C C

e

      



    2

2 2

2

1 1

e

f x x f

e e e

      

  

ĐápánC

Câu 99. Cho hàm số f x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 , thỏa mãn

 0

f  và        

1

3

3

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

   

 

  Tính  

1

0

d I f x x A I2 e1  B I2e21  C 1.

2 e

I  D

2 e I 

Lờigiải

Ápdụngbấtđẳngthức AM GM chobasốdươngtacó

   3  3 3  3   3 3   3    

3 4 ' 4 ' 3 43 ' . . 3 ' .

2 2

f x f x f x f x

f x  f x   f x     f x   f x f x

Suyra 3   3    2

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

   

 

 

Mà        

1

3

3

0

4 ' d ' d

f x f x x f x f x x

     

   

 

  nêndấu '' '' xảyra,tứclà

 3 3  3     

4 ' '

2 2

f x f x

f x f x f x

     

 

 

        

1

' ' 1

d d ln

2 2

x C

f x f x

x x f x x C f x e

f x f x



         

Theogiảthiết     12    

0

0 x d

f    C f x e  f x x e ĐápánA

Câu 100. Cho hàm số f x  nhận giá trị dương trên 0;1 , có đạo hàm dương liên và tục trên  0;1 , thỏa mãn

   

1

0 '

d xf x

x f x 

 và f 0 1, f 1 e2. Tínhgiátrịcủa . f      A 1

2 f    

  B f     12 C

f     e

  D f    12 e Lờigiải

Hàmdưới dấutích phânlà  

      

' '

, 0;1

xf x f x

x x

f x  f x   Điềunày làm taliên tưởngđến đạohàm đúng

   

' f x

f x ,muốnvậytaphảiđánhgiátheo AM GM nhưsau:

 

    

' '

2

f x xf x

mx m

f x   f x với m0 và x 0;1

Dođótacầntìmthamsố m0 saocho

 

    

1

0

' '

d d

f x xf x

mx x m x

f x f x

 

   

 

 

 

 

hay

     

0

ln ln ln 2

2 2

x m m

Đểdấu '' '' xảyrathìtacầncó 2

m

m m

    

Với m4 thìđẳngthứcxảyranên  

 

' f x

x f x 

 

     

2

2

'

d d ln x C

f x

x x x f x x C f x e

f x



      

Theogiảthiết  

   

2

2

0 1

0

2

x f

C f x e f e

f e

   

       

  

   

 ĐápánC

Cách2.TheoHolder

 

          

2

1 1

2

0 0

' ' ' 1

1 d d d d ln

2

xf x f x f x f

x x x x x x

f x f x f x f

   

   

 

      

     

Vậyđẳngthứcxảyranêntacó  

 

'

, f x

kx

f x  thayvào

   

1

0 '

d xf x

x f x 

 tađược k4

Suyra  

 

'

4 f x

x

f x  (làmtiếpnhưtrên)

Câu101.Chohàmsố f x  cóđạohàmliêntụctrên  0;1 , thỏamãn    2

' d

f x f x x

  

 

 và f 0 1, f 1 

Tínhgiátrịcủa f   

  A

2

f      B

f      C

f      e D f     e Lờigiải

Nhậnthấybàinàyngượcdấubấtđẳngthứcvớibàitrên.

Hàmdướidấutích phânlà f x f x   ' 2 Điềunàylàmtaliêntưởngđếnđạo hàmđúng f x f x   ' ,muốn vậytaphảiđánhgiátheo AM GM nhưsau:

   2    

' '

f x f x m m f x f x

   

  với m0

Dođótacầntìmthamsố m0 saocho

   

     

1

2

0

' d ' d

f x f x m x m f x f x x

   

 

 

hay

 

2

0

1

2 f x

m m m m

    

Đểdấu '' '' xảyrathìtacầncó1 m m m

Với m1 thìđẳngthứcxảyranên        

   

2 '

'

'

f x f x f x f x

f x f x

 



    

    

          

1 1 1

0

0

' ' d d 1

2 f x

f x f x    f x f x x  x  x    (vôlý)

            

2

' ' d d 2

2 f x

f x f x   f x f x x x   x C f x  x C

Theogiảthiết  

   

0 1 1

2

2

1 f

C f x x f

f

   

        

  

   



ĐápánA

Cách2.Tacó          

1 1

2

0

1

' d 1

2

f x

f x f x x  f f  

       

2

1 1

2

2

0 0

1  1.f x f x x' d   d x f x f x'  dx1.1 1.

   

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f x f x'   k, thay vào    

0

' d

f x f x x

 ta được k1 Suy ra

   

'

f x f x  (làmtiếpnhưtrên)

Câu 102. Cho hàm số f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f x'  liên tục trên  1;2 , thỏa mãn

   

2

1 '

d 24 f x

x xf x

 

  

 và f 1 1, f 2 16 Tínhgiátrịcủa f 2

A f 2 1 B f 2  C f  2 2 D f 2 4 Lờigiải

Hàm dưới dấu tích phân là  

    

2

' 1 '

f x f x

xf x x f x

   

     Điều này làm ta liên tưởng đếnđạo hàm đúng  

 

' f x

f x ,

muốnvậytaphảiđánhgiátheo AM GM nhưsau:

 

    

2

' '

2

f x f x

mx m

xf x f x

 

    với m0 và x 1;2

Dođótacầntìmthamsố m0 saocho

 

    

2

2

1

' '

d d

f x f x

mx x m x

xf x f x

  

  

   

 

 

 

 

 

hay

     

1

2 2

24 24 24 12 16

3 3

m m m

m f x m f f  m m

           

Đểdấu '' '' xảyrathìtacầncó 24 12 16

m

m m

   

Với m16 thìđẳngthứcxảyranên  

    

2

' '

16

2

f x f x

x x

xf x f x

 

    

 

       

2

2

'

d d

2 f x

x x x f x x C f x x C

f x

       

Theogiảthiết  

     

1

0

2 16 f

C f x x f

f  

      

   ĐápánD

Cách2.Tacó  

          

2 2

1

1

' '

d d 2

2

f x f x

x x f x f f

f x  f x     

 

TheoHolder

 

    

   

2 2

2 2 2 2

2

1

1 1

'

' '

6 d d d d 24 36

2 f x

f x f x x

x x x x x x

xf x

f x xf x

     

     

   

      

   

 

     

Vậyđẳng thứcxảy ra nên tacó  

    

' '

,

f x f x

k x kx

xf x   f x  thay vào

   

2

1 '

d

f x x f x 

 tađược k4 Suy ra  

 

'

4 f x

x

f x  (làmtiếpnhưtrên)

Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân

Câu 103. Cho hàm số f x  liên tục trên , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f  x  ex x và f  2 2 ,e

 0 2.

f e Mệnhđềnàosauđâylàđúng?

Lờigiải

Từgiảthiết x f  x  ex x tacó   2 

0 d d

x x f x x e x x

   1

Đặt

   

d d

d

u x u x

v f x v f x

   

 

 

 

     

 

 

Khiđó      

2

2

0

0 0

1 d

2 x x x f x f x x e 

    

 

   

       

2

2 2

0 0

2

2

2 0 2

x x

x f x f x e

f f f f e

 



 

     

     

       

 2

f e

   (do f  2 2 ,e f 0 e2).ChọnA

Câu 104. Cho hàm số f x  dương và liên tục trên  1;3 , thỏa

 1;3  

maxf x 2,  1;3  

1

2

f x  và biểu thức

   

3

1

1

d d

S f x x x

f x

  đạtgiátrịlớnnhất,khiđóhãytính  

1

d I f x x A 3

5 B

7

5 C

7

2 D

5 Lờigiải

Từgiảthiếttacó  

2f x  ,suyra    

1 f x

f x

 

Suyra  

         

3 3 3

1 1 1

1 1

d d d d d d

2

f x x x f x x x x f x x

f x f x f x

 

         

 

 

 

     

Khiđó  

     

3 3

1 1

1 25

d d d d

4

S f x x x f x x f x x

f x

 

 



    

 

   

(dạng  

2

2 25 25

5

2 4

t       t t t t    )

Dấu " " xảyrakhivàchỉkhi  

1

5

d

2 f x x 

ĐápánD

Câu 105. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tụctrên , thỏa mãn f x f x 1 với mọi x  và f 0 0

Giátrịlớnnhấtcủa f  1 bằng

A e1 B e e

 C .

1 e

e D e

Lờigiải

Từ giả thiết f x f x 1 , nhân thêm hai vế cho ex để thu được đạo hàm đúng là

    ,   ,

x x x x x

e f x e f x e  x   e f x e  x 

Suyra        

1 1 1

0

0

d d 1 1

x x x

e f x  x e x e f x e ef f e

           

     

   

 

 0  

1

f e

f

e

 

 

ĐápánB

Câu 106. Cho hàm số f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn

 1 2018  0

f  f Giátrịnhỏnhấtcủabiểuthức

   

1

2

0

1

d d

M x f x x

f x   

   

   

  bằng

A ln 2018 B 2 ln 2018 C m2 e D m2018 e

Lờigiải

   

 

      

1 1 1

2

0

0 0

1

d d d ln ln ln 2018

0

f x f

M x f x x x f x

f x f

f x

   

       

   

  

ĐápánB

Câu 107. Cho hàm số f x  cóđạo hàm liêntụctrên  0;1 và    

1

0

1

1 d

3 x f x x

  

 Giá trịnhỏ nhậtcủa biểu thức  2  

0

d

f x x f

  

 

 bằng

A 1

3 B

2

3 C

1

 D

3 

Lờigiải

Tíchphântừngphần 1   2

0

1

1 d

3 x f x x

  

 ,tađược   1   

0

0 d

3

f    x f x x

ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy,tađược

       

1 1

2

0 0

2 1x f x xd  1x dx  f x d x

Từđósuyra        

1 1

2

0 0

d d d

f x x x f x x x x

     

 

  

     3

1 1

2

0

1

d

3

x

f x x f 

 

    

Vậy  2  

2

d

3 f x x f

   

   ĐápánD

Câu 108. Cho hàmsố f x( ) liên tụctrên [0; 1] thỏamãn  

0

d xf x x

 và  

[0; 1]

max f x 1 Tíchphân  

0

d x e f x x 

thuộckhoảngnàotrongcáckhoảngsauđây?

A ;

 

  

 

  B

3 ; e

 

  

 

  C

5 ;    

 

  D e 1;  Lờigiải

Vớimỗisốthực    tacó      

1 1

0 0

d d d

x x

e f x x  e f x x xf x x

  

    

1 1

0 0

d d d

x x x

f x e x x f x e x x e x x

      

Suyra  

   

1 1

0;1 0;1

0 0

3

d d d

2

x x x

e f x x e x x e x x e e

  



 

  

 

 

 

         

 

 

   

ĐápánC

Câu109.Chohàmsố f x  nhậngiátrịkhôngâmvàliêntụctrên  0;1 Đặt    

0

1 d

x

g x   f t t Biết g x  f x 

vớimọi x 0;1,tíchphân

 

1

0

dx g x

 cógiátrịlớnnhấtbằng

A 1

3 B

1

2 C

2

2 D 1

Lờigiải

Từgiảthiết    

0

1 d ,

x

g x   f t t tacó  

   

0 ' g

g x f x   

 

 và g x   0, x  0;1

Theogiảthiết          

  2  

' '

' g x g x

g x f x g x g x

g x g x

Suyra  

           

2

0

0

' 1 1

d 1d , 0;1

0

t t t t

g x

x x t x t t

g x g t g g t

g x            

 

Dođó

   

1

0

1

d d

2

x x x

g x   

 

ĐápánB

Câu 110. Cho hàm số f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn

     

2

0

1 d

x

f x    f t tg x vớimọi x 0;1 ,tíchphân  

1

0

d g x x

 cógiátrịlớnnhấtbằng

A 4

3 B

7

4 C

9

5 D

5 Lờigiải

Từgiảthiết    

0

1 d ,

x

g x    f t t tacó  

   

0

'

g

g x f x   

 

 và g x   0, x  0;1

Theogiảthiết          

 

2

2 ' ' 3.

9 2

g x g x

g x f x g x

g x  

 

    

Suyra  

     0      

0

' d 3d , 0;1 0 3 1.

2 2

2

t g x t t t

x x t g x x g t g t g t t

g x           

 

Dođó  

1

0

3

d d

2

g x x  x  x  

 

ĐápánB

Câu111.Chohàmsố f x  nhậngiá trịkhôngâmvàliên tụctrênđoạn  0;1 , thỏamãn    

0

2018 d

x f x    f t t

vớimọi x 0;1 Biếtgiátrịlớnnhấtcủatíchphân  

1

0 d f x x

 códạng

ae b với a b,   Tính a b

A 0 B 1009 C 2018 D 2020

Lờigiải

Đặt    

0 2018 d ,

x

g x    f t t tacó  

   

0 2018

'

g

g x f x   

 

 và g x   0, x  0;1

Theogiảthiết          

 

' '

2

g x g x g x f x g x

g x

    

Suyra  

      0

0

'

d 2d , 0;1 ln

t t t t

g x

x x t g x x

g x     

 

       

lng t lng 2t lng t 2t ln 2018 g t 2018.e t

       

Dođó    

1 1 1

2 2

0

0 0

d d 2018 xd 1009 x 1009 1009

f x x g x x e x e  e 

  

ĐápánA

Câu 112. Cho hàm số f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 Đặt    

2

0

1 d

x

g x   f t t Biết

  2  2

g x  xf x vớimọi x 0;1 ,tíchphân  

0 d g x x

 cógiátrịlớnnhấtbằng

A 1 B e1 C 2 D e1

Lờigiải

Từgiảthiết    

2

0

1 d ,

x

g x   f t t tacó  

   2

0 ' g

g x xf x   

 

 và g x   0, x  0;1

Theogiảthiết          

 

2 '

2 ' g x

g x xf x g x g x

g x

Suyra  

     0

0

'

d 1d , 0;1 ln

t t t t

g x

x x t g x x

g x     

 

       

lng t lng t lng t t g t et

      

Dođó  

0

d xd

g x x e x e

 

ĐápánB

Nhậnxét.Gọi F t  làmộtnguyênhàmcủahàmsố f t  trênđoạn 0;x2.    

Khiđó                  

2

/ /

2 2 / 2

0

1 x '

g x  F t  F x F g x F x   x F x  xf x

Câu 113. Cho hàmsố f x  cóđạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa f x' f x   0, x  0;1 Giá trị lớnnhất của biểuthức  

 

1

0

0 d

f x

f x

 bằng

A 1 B e e

 C

e

e

 D e1.

Lờigiải

Từgiảthiết f x' f x   0, x  0;1 tacó  

   

'

1, 0;1 f x

x f x   

Suyra  

     0        

0

'

d 1d , 0;1 ln ln ln 0

t t t t

t f x

x x t f x x f t f t f t f e

f x          

 

Dođó  

 

1

0

1 1

0 d xd e

f x x

f x e e



 

 

ĐápánB

Câu114. Chohàmsố f x  liên tụctrên  0; , thỏamãn    

0

d cos d

f x x xf x x

 

 

  Giátrịnhỏnhấtcủatích

phân 2 

d f x x 

 bằng

A 2

 B

3

 C

4

 D

3 2 Lờigiải

TheoHolder

       

2

2 2

0 0

1 cos d cos d d d

2

xf x x x x f x x f x x

    

 

 

   

 

    

Suyra 2 

2

d

f x x 

 

 (ĐếnđâybạnđọccóthểchọnA)

Dấu '' '' xảyrakhi f x kcosx thayvào  

0

d f x x 



 tađược

 

0

0

1 f x xd k cos dx x k.sinx

  

    

Điềunàyhồntồnvơlý.

Lờigiảiđúng.Tacó    

   

0

0

0

cos d

d cos d

d a a xf x x f x x xf x x

b bf x x 

 

    

  

  



 



với , 2 2 a b a b

 



   



TheoHolder

         

2

2 2

0 0

cos d cos d d

a b a x b f x x a x b x f x x

  

 

 

     

 

Lạicó

 2  2

0

1

cos d

2

a x b x a b





  



Từđósuyra    

 

2

2

0

2 d

2 a b f x x

a b



  



 vớimọi a b,   và a2 b2 0.

Dođó    

2

2

0

2

d max

2 a b f x x

a b



 

 

  

 

 

   

 

 

 



ĐápánB

Nhậnxét:Tanhânthêm a b, vàogiảthiếtđượcgọilàphươngphápbiếnthiênhằngsố. Cáchtìmgiátrịlớnnhấtcủa  

2

2 2

a b P

a b  

 talàmnhưsau:

Nếu b 0  P (chínhlàđápánsaimàmìnhđãlàmởtrên)

Nếu  

2

2 2

2 2

2

2

0

2

2 a t

b

a a

a b b b t t

b P

a b a t

b

  

     



    

    

    

    

Tớiđâyta khảosáthàmsốhoặcdùngMODE7

dịtìm.KếtquảthuđượcGTLNcủa P bằng

2 khi 2

a

t a b

b

    

Vậydấu '' '' đểbàitoánxảyrakhi

   

2

2 cos a b

f x b x

  

  

 thayngượclạiđiềukiện,tađược

   

0

1 cos

2 cos d x

b x x b f x



  

     



Lúcnày 2 

0

2 cos

d x d

f x x x

 

 

   

   

 

Cáchkhác.Đưavềbìnhphương

Hàmdướidấutíchphânlà f2   x f x, , cosxf x  nêntaliếnkếtvới f x cosx2.

 

Vớimỗisốthực  , tacó

  2       2

0 0

cos d cos d cos d

f x x f x x x f x x x x

   

     

        

 

   

   

2 2

0

d

2 f x x

 

   

    

Tacầntìm  , saocho 2  2



     đạtgiátrịnhỏnhất.Tacó

  2 2 3

2

2

 

      

   

   

 

            

Vậyvới  2; 

 

    thìtacó

  2 

0

2

cos d

f x x f x x

 

  

 

     

 

 

 

Suyra    

2

0

2 3

d cos

f x x f x x

 

   

 

 

      

 

  Dấu '' '' xảyrakhi f x  cosx   

Câu 115. Cho hàmsố f x  liên tụctrên  0; , thỏa mãn    

0

sinxf x xd cosxf x xd

 

 

  Giá trị nhỏ nhất của

tíchphân 2 

d f x x 

 bằng

A 2

 B

3

 C

4

 D

Lờigiải

Liênkếtvớibìnhphương  

sin cos

f x  x  x

   

 

Tacó  

0

sin cos d

f x x x x



 

   

 



       

   

2

0 0

2

2

0

d sin cos d sin cos d

d

2

f x x x x f x x x x x

f x x

  



   

   

 

      

 

      

  



Phântích 2  2 2 2

2 2

   

   

  

   

 

           

ĐápánC

Câu 116. Cho hàm số f x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn    

0

d x d

f x x e f x x

  Gọi m là giá trị nhỏ nhất

củatíchphân  

1

0

d f x x    

 Mệnhđềnàosauđâyđúng?

A 0 m B 1 m C 2 m D 3 m

Lờigiải

Từgiảthiết,tacó

   

1

0

0

d d x a ae f x x b bf x x  

    

 

TheoHolder

         

2

1 1

2

2

0 0

d d d

x x

a b  ae b f x x  ae b x f x x

 

   

Lạicó

       

1

2 2 2 2 2 2 2

0

1

d d

2

x x x

ae b x a e  abe b x e  a  e ab b

 

Suyra    

   

2

2

2 2

0

d

1

2

a b f x x

e a e ab b

 

   

 vớimọi a b,   và a2 b2 0.

Dođó    

   

2

2

2 2

0

1

d max 3,1316

1 1 2 1

2

a b f x x

e e

e a e ab b

 

 

 

  

 

 

        

     

 

 

 

 

 ĐápánD

Câu 117. Cho hàm số f x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn    

1

0

d d

f x x x f x x

  Giá trị nhỏ nhất của tích

phân  

1

0

d f x x

 bằng

A 2

3 B 1 C

8

3 D 3

Lờigiải

Từgiảthiết,tacó

   

1

0

0

d d a a x f x x b bf x x  

    

 

         

2

1 1

2

2

0 0

d d d

a b  a xb f x x  a xb x f x x

   

Lạicó

 

1 2

2

0

4

d

2

a ab a xb x  b 

Suyra    

2

2

2

2

d

4

2

a b f x x

a ab b  

 

 vớimọi a b,   và a2 b2 0.

Dođó    

2

2

2

2

d max

4

2

a b f x x

a ab b

 

 

 

  

 

 

  

   

 

 

 

 

 ĐápánD

Cách2.Liênkếtvớibìnhphương f x  x2

Tacó  

0

d

f x x x



 

   

 

 



       

   

2

0 0

2

2 2

0

d d d

4

d

2

f x x x f x x x x

f x x

  



   



   

 

      

 

       

  



Phântích    

2

2

4

2

2 3 18



           

Câu118.Chohàmsố yf x  cóđạohàmliêntụctrên  1;2 , thỏa  

d 31 x f x x

 Giátrịnhỏnhấtcủatích

phân  

2

1

d f x x

 bằng

A 961 B 3875 C 148955 D 923521

Lờigiải

TacóápdụnghailầnliêntiếpbấtđẳngthứcHoldertađược

       

2

4 2

2 2 2

4 2 4

1 1 1

31 x f x xd  x xf x x d    x xd     x f x xd  x xd   f x xd

Suyra 4 

3

1 4

1

31

d 3875

d f x x

x x

 

 

 

 

 

 

 





Dấu '' '' xảyrakhi f x kx nên  

d 31 5

k x x    k f x  x ĐápánB

Câu119.Chohàmsố f x  liêntụcvàcóđạohàmđếncấp trên  0;2 thỏa f 0 2 1f f 2 1 Giátrịnhỏ nhấtcủatíchphân  

2

2

0

'' d f x x

 

 

 bằng

A 2

3 B

3

2 C

4

5 D

5 Lờigiải

Tacó      

2

1 1 Holder

2 2

0 0

'' d d '' d '' d f x x x x f x x  x f x x

       

     

 



     

d '' d

2

' 1 ;

u x v f x x

f f f

 

 

    

         

2 2 Holder

2 2

1 1

'' d d '' d '' d

f x x x x f x x  x f x x

         

     

   

 



     

2 d '' d

2

'

u x v f x x

f f f

  

 

    

Suyra              

2

2 2

0

'' d ' 1 '

f x x f f f f f f

           

     



     2

0 2 3

3

2

f f f

   

 

 

ĐápánB

Nhậnxét:Bài giảitrênsửdụngbấtđẳngthứcởbướccuốilà  

2

2 .

2 a b a  b 

Câu 120. Cho hàm số f x  có đạo hàm trên 1;3 và f 1 0,

 1;3  

max f x  10 Giá trị nhỏ nhất củatích phân

 

3

2

1

' d

f x x

 

 

 bằng

A 1 B 5 C 10 D 20

Lờigiải

Vì

     

1;3

max f x  10 x 1;3 saocho f x 0  10

 1   1;3 f

x



  saocho f x 0  10

TheoHolder

       

0 0

2

2

0

1 1

' d d ' d ' d

x x x x

f x x x f x x x f x x

 

     

    

     

 

    

Mà         

2

2

1

' d 10

x x

f x x f x f x f

   

   

      

   

  

  

 

Từđósuyra  2

10 ' d

1

x

f x x x

  

  



   

3

2

0

1

10 10

' d ' d

1

x

f x x f x x x

   

       

 

  .