Tải Bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong các đề thi thử THPT Quốc gia - Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song hoặc chéo nhau.. Đáp án C chỉ đúng trong mặt phẳng?[r]

Câu 1: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đơi vng góc với nhau, biết ABACAD Số đo góc hai đường thẳng AB CD

A 45 B 60 C 30 D. 90

Lời giải

Chọn D

CÁCH Vì AB AC AB ACD AB CD

AB AD          CÁCH P N M 1 1 1 D C B A

Gọi M N P trung điểm cạnh , , BC AC AD , , Trong ABC , có

// 1 2 MN AB MN AB       

(Tính chất đường trung bình)

Trong ACD , có // 2 NP CD NP CD       

(Tính chất đường trung bình)

Trong AMP , có

2

2 2

2 2

MP AP AM       

 

   

Ta có //  ;   ;  

//

MN AB

AB CD MN NP MNP

NP CD



  

 

Áp dụng định lý Cosin cho MNP , có



2 2

2 2

2

2 2

cos

2

2 2

NP NM MP

MNP NP NM                      

   MNP90

Hay AB CD ;  90

Câu 2: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

2 a

A a B a C

4 a

D.

2 a

Lời giải

Chọn D

Gọi M trung điểm cạnh BC Ta có AM BC AM

AM SA

 

 

 

đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SA BC

Do  , 

2 a AM d SA BC 

Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có ABAC

DBDC Khẳng định sau đúng?

A ABABC B ACBC C CDABD D. BCAD Lời giải

Chọn D

B D

C A

E

Gọi E trung điểm BC Tam giác ABC cân nên BCAE; Tam giác DBC cân nên BCDE Do BCAEDBCAD

Câu 4: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

C Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với Lời giải

Chọn B Vẽ hình phản ví dụ minh họa C,D cho em nhé A Sai cắt chéo

A S

C Sai hai mặt phẳng trùng cắt D Sai hai mặt phẳng cắt

Câu 5: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ

B Hình lăng trụ có đáy đa giác hình lăng trụ C.Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác hình lăng trụ

D Hình lăng trụ tứ giác hình lập phương

Lời giải

Chọn C

Theo định nghĩa: Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác

Câu 6: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A.Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên

B Hình chóp hình chóp có chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

C Hình chóp tứ diện

D Hình chóp hình chóp có đáy đa giác

Lời giải Chọn A

Dựa vào định nghĩa hình chóp tính chất hình chóp ta chọn đáp án A

Câu 7: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)Cắt hình chóp tứ giác mặt phẳng vng góc với đường cao hình chóp thiết diện hình gì?

A Một hình bình hành B Một ngũ giác C.Một hình tứ giác D Một hình tam giác Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng vng góc với đường cao song song với đáy nên cắt hình chóp theo tứ giác đồng dạng với đáy

Câu 8: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:

A.Cho đường thẳng a  , mặt phẳng   chứa a      

C Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường

D Cho hai đường thẳng chéo a b , ln có mặt phẳng chứa đường vng

góc với đường thẳng

Lời giải Chọn A

Chỉ có A cịn lại B, C, D sai



 a

Câu 9: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa , AD2a , SA3a SA vuông góc với mặt đáy Góc đường thẳng

SD mặt phẳng ABCD 

A. SAD  B. ASD C. SDA  D. BSD 

Lời giải Chọn C

Ta có SAABCD 

 AD hình chiếu vng góc SD xuống mặt ABCD 

 



 ,  ,  

 SD ABCD  SD AD SDA S

A B

C

Câu 1: (THPT Triệu Thị Trinh-lần năm 2017-2018) Trong không gian, cho mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề đúng?

A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại

B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C.Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với

đường thẳng cịn lại

D Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với

Lời giải Chọn C

Dựa vào định nghĩa hai đường thẳng vng góc khơng gian ta suy đáp án C Câu 2: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018)Cho tứ diện ABCD Hỏi có

vectơ khác vectơ 0 mà vectơ có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh tứ diện ABCD ?

A.12 B 4 C 10 D 8

Lời giải Chọn A

Số vectơ khác vectơ 0 mà vectơ có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh tứ diện ABCD số chỉnh hợp chập phần tử  số vectơ A 42 12

Câu 3: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018)Mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo

C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

Lời giải Chọn A

Theo lý thuyết

Câu 4: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ?

A Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đồng thời chứa đường thẳng

B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng

C. Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng

D Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

Lời giải

Chọn C

Câu 5: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018)Có tất giá trị nguyên tham số

m để hàm số  

2

3 m

y x  mx  m x đồng biến 

A. B 2 C 5 D 4

Lời giải

Chọn A

Với a0m0y  Vậy hàm số đồng biến  Với a0m Hàm số cho đồng biến 

0 0,

0 a y   x   

   

 2  

0

2

m

m m m

    

  

 

2

0

0

0

5

m m

m m

m m

 

 

    

 

  



Vì mm0;1; 2;3; 4;5

Câu 6: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  ?

A B 3 C Vô số D 2

Lời giải Chọn C

Trong không gian có vơ số đường thẳng qua O vng góc với 

Câu 7: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018)Trong hình hộp ABCD A B C D có tất     cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A BB BD B A C  BD C A B DC  D BC A D  Lời giải

Chọn A

B'

B

D'

C' A'

C

A D

Vì hình hộp ABCD A B C D có tất cạnh nên tứ giác ABCD ,      

A B BA ,  B C CB hình thoi nên ta có 

AC BD mà AC//A C A C BD (B đúng)   

A B AB mà AB//DCA B DC (C đúng)   

BC B C mà B C //A D BCA D (D đúng) 

Câu 8: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018)Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai

A. Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song

B. Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song

Hướng dẫn giải Chọn C

Trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song chéo

Đáp án C mặt phẳng

-HẾT -

Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)Chọn khẳng định khẳng định sau:

A Trong không gian hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với

B Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với cắt chéo C Trong khơng gian hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song với

D Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung song song với Lời giải

Chọn B

Đáp án A sai hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng cắt chéo

Ví dụ: Cho lập phương ABCD A B C D     ta có AA AB

AD AB

   

 

Dễ thấy AA AD cắt Đáp án C sai hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng trùng Đáp án D sai không gian hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo Câu 10: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho hai điểm A 4; 0;1 B   2; 2;3 Phương trình phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ?

A 3xy  z B. 3xy   z

C. 3xy   z D. 6x2y2z  1

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi  P mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Véc tơ pháp tuyến  P n P AB  6; 2; 2

 P qua trung điểm M AB Tọa độ trung điểm M1;1; 2 Vậy phương trình trung trực đoạn thẳng AB là:  P : 3x   y z

Câu 11: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018)Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:

A. Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

B Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a Ln có mặt phẳng b   chứa a

và    b

D. Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác

Hướng dẫn giải Chọn B

Hiển nhiên B

Có vô số mặt phẳng qua điểm vuông góc với mặt phẳng cho trước Do đó, A sai Nếu hai đường thẳng a b vuông góc với cắt mặt phẳng chứa a b khơng thể vng góc với b Do đó, C sai

Qua đường thẳng có vơ số mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác Do đó, D sai Câu 12: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng

ABC  ABD vng góc với  DBC Gọi BE DF hai đường cao tam  giác BCD , DK đường cao tam giác ACD Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A. ABE  ADC B ABD  ADC C. ABC  DFK D. DFK  ADC

Hướng dẫn giải Chọn B

C B

D A

E F K

Vì hai mặt phẳng ABC  ABD vng góc với  DBC nên  ABDBC Ta có:

     

CD BE

CD ABE ABE ADC

CD AB

 

   

  

nên A

     

DF BC

DF ABC ABC DFK

DF AB

 

   

  

nên C

     

AC DK

AC DFK DFK ADC

AC DF

 

   

  

Câu 1: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng

SA vng góc đáy Mệnh đề sau sai?

A BCSAB B. ACSBD C BDSAC D CDSAD

Lời giải Chọn B

Ta có:

+ BC AB BC SAB

BC SA       

+ CD AD CD SAD

CD SA       

+ BD AC BD SAC

BD SA        Suy ra: đáp án B sai

Câu 2: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018)Cho hình lập phươngABCD A BC D    Tính góc mặt phẳngABCD ACC A 

A 45 B 60 C 30 D. 90

Lời giải

Chọn D

Do AAABCDACC A   ABCD

Câu 3: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm 3; 1; 2

M  có vectơ phương u 4;5; 7   là: A. x t y t z t            

B.

4 x t y t z t             

C

3 x t y t z t            

D.

Câu 4: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần – năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     (hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng AC A D

A 45 B 30 C. 60 D 90

Lời giải Chọn C

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khoảng cách hai mặt phẳng ABCD A B C D   bằng

A AC B AB C AD D AA

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khoảng cách hai mặt phẳng ABCD  A B C D    

A AC B AB C AD D AA

Lời giải Chọn D

D'

C'

A'

C B

A D

B'

Ta có dABCD , A B C D    AA

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SAa 2 SA vng góc mặt phẳng đáy Góc cạnh bên SC với đáy

A 60 B 30 C 45 D 90

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SAa 2 SA vng góc mặt phẳng đáy Góc cạnh bên SC với đáy

A 60 B 30 C. 45 D 90

Lời giải Chọn C

C A

D

B S

Hình chiếu vng góc SC mặt phẳng ABCD AC Do góc SC đáy  góc SCA

Tam giác SAC có SCSAa 2 nên tam giác SAC vuông cânSCA45 Câu 5: Trong không gian, khẳng định sau sai

A Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng quy đôi song song

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đương thẳng song song với đường thẳng

O 2 x

2  1

1

y

Câu 6: Trong không gian, khẳng định sau sai

A Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng quy đôi song song

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đương thẳng song song với đường thẳng

Lời giải Chọn B

Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với chéo

Câu 7: Cho hai đường thẳng phân biệt a , b mặt phẳng  P , a P Mệnh đề sau là sai?

A. Nếu b // a b P B. Nếu b P b // a

C. Nếu ba b //  P D. Nếu b //  P ba

Câu 8: Cho hai đường thẳng phân biệt a , b mặt phẳng  P , a P Mệnh đề sau là sai?

A. Nếu b // a b P B. Nếu b P b // a C Nếu ba b //  P D. Nếu b //  P ba

Lời giải

Chọn C

C sai b nằm  P Câu 9: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng B Tồn đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng C Hai đường thẳng song song đồng phẳng

D Hai đường thẳng khơng đồng phẳng khơng có điểm chung Câu 10: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A.Tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng B Tồn đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng C Hai đường thẳng song song đồng phẳng

D Hai đường thẳng không đồng phẳng khơng có điểm chung Lời giải

Chọn A

Thiết diện tạo mặt phẳng AGG với hình lăng trụ cho

A Tam giác vuông B Tam giác cân

C Hình vng D Hình chữ nhật

Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có G , G trọng tâm hai tam giác ABC A B C   (tham khảo hình vẽ)

Thiết diện tạo mặt phẳng AGG với hình lăng trụ cho

A Tam giác vuông B Tam giác cân

C Hình vng D Hình chữ nhật

Lời giải Chọn D

G A

B

C A

B

C G

G A

B

C A

B

Gọi M , M  trung điểm BC B C  Khi thiết diện lăng trụ tạo mặt phẳng AGG hình chữ nhật AMM A 

Câu 13: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC ,  AB  , 6 BC  , 8 10

AC  Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC S

A B

C

A. Khơng tính d B. d  8 C d  6 D. d 10

Câu 14: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC ,  AB  , 6 BC  , 8 10

AC  Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC S

A B

C

A. Khơng tính d B. d  8 C d  6 D. d 10

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết, tam giác ABC vuông B nên AB đoạn vng góc chung SA BC Vậy d SA BC ;  AB

G A

B

C A

B

C G

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi  góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng đáy Mệnh đề sau đúng?

A. 60 B.75 C. tan  D tan 

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi  góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng đáy Mệnh đề sau đúng?

A. 60 B.75 C. tan  D tan 

Lời giải

Chọn D

Ta có AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng ABCD 

 



SC ABCD,  SCA 

  

Tam giác SAC vng A có tan SA AC

  , với ACa tan 

S

A

B C

Câu 1: (THPT Chun Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khoảng cách từ A đến SBD 

6

a

Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD ? 

A 12

7 a

B 3

7 a

C 4

7 a

D.

7 a

Lời giải

Chọn D

Do ABCD hình bình hànhACBDO trung điểm AC

BD  ,   , 

7 a

d C SBD d A SBD

  

Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình lập phương

ABCD A B C D    Góc hai đường thẳng BA CD bằng:

A. 45 B 60 C 30 D 90

Lời giải

Chọn A

Có CD AB// BA CD,   BA BA, ABA45 (do ABB A  hình vng)

Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSC ABAC , a BCa Tính số đo góc AB SC ta kết quả: ;  Đề nghị sửa lời dẫn

Cho hình chóp S ABC có SASBSCAB AC , a BCa Tính số đo góc hai đường thẳng AB SC ta kết quả:

A 90 B 30 C. 60 D 45

S

A

B C

D O

A

B C

D B

D A

Lời giải

Chọn C

* Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC , theo đầu SA SBSC tam giác ABC vng cân A ta có H trung điểm BC Gọi M , N trung điểm SA , SB ta có: //

//

MN AB

HN SC

  

 Góc AB SC góc MN HN

Xét tam giác MNH ta có: ;

2

AB a

MN   ;

2

SC a

HN  

2

SA a

MH   ( Do SHA vuông tại H )

 tam giác MNH tam giác  MNH 60 Vậy góc cần tìm 60

N M

H A

B

C S

Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có 2,

ABAC DBDC Khẳng định sau đúng?

A. BC AD B ACBD C ABBCD D DCABC Lời giải

Chọn A

H

D

C B

A

Theo đề ta có: ABC, DBC cân ,A D Gọi H trung điểm BC

AH BC

DH BC

   

 

 

 

AD ADH

BC ADH

    

  

BC AD

Câu 5: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác ABC vng A có BC2a, ABa Khoảng cách từ AA đến mặt phẳng

BCC B  là:

A 21

7

a

B.

2

a

C

2

a

D

3

a

Lời giải

Chọn B

Ta có AA//BCC B  nên khoảng cách từ AA đến mặt phẳng BCC B  khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC B  Hạ AHBCAH BCC B  Ta có 2 12 12 12 21 2 12 12 42

3 3

AH  AB  AC  a BC AB  a a  a

3

a AH

 

Vậy khoảng cách từ AA đến mặt phẳng BCC B 

a

Câu 6: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SAa Tìm số đo góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB 

A 45o B. 30o C 90o D 60o

Lời giải

Chọn B

Dễ thấy CBSAB SB hình chiếu vng góc SC lên SAB  Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB  CSB

Tam giác CSBcó  90 ; ; tan

3

CB a

B CB a SB a CSB

SB a

       

Vậy CSB30

Câu 7: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh bên và cạnh đáy a ABCD hình vng Gọi M trung điểm CD Giá trị

MS CB

 

A

B C

B

A

C 

H

A

B C

D S

A.

2 a

B

2

2 a

 C

2

3 a

D

2

2 a

Lời giải

Chọn A

Do tất cạnh hình chóp nên hình chóp S ABCD hình chóp

( )

SO ABCD

AC BD

   

 

Do M trung điểm CD nên ta có:

1

O O

2

MS SOM   OC OD S      

, CB  OB OC  OD OC  Do OC; OS; OD đôi vng góc với nên ta có:

2

2 2

1

2 2

a MS CB OC  OD OC   

M O

A

B C

D S

Câu 8: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình

vng cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD Tính khoảng cách từ B đến SCD

A 1 B 21

3 C D.

21 Lời giải

Chọn D

Gọi H , M trung điểm AB CD suy HM  , 1

SH 

2 SM 

S

A

B C

D M H

Vì tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD nên 

 

SH  ABCD

Cách 1: . 1 3 2 12

S BCD

V  

Khoảng cách từ B đến SCD   ,  21

1

.1

2

S BCD SCD

V d B SCD

S

  

Cách 2: Vì AB//CD nên AB//SCD 

Do d B SCD ; d H SCD ; HK với HK SM SHM Ta có: 2 12 2

HK  SH HM

21 HK

 

Câu 9: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có ABAC, SACSAB

Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC

A 45 B 60 C 30 D. 90

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Ta có     AS BC  AS AC. AB   AS AC AS AB  AS AC .cosSACAS AB .cosSAB 0 Do số đo góc hai đường thẳng SA BC 90 

Cách 2: Vì ABAC, SACSAB nên SACSAB, suy SBSC, nên hai tam giác ABC

và SBC tam giác cân Gọi H trung điểm BC, ta có AH BC SAH BC

SH BC

 

 

  

Vậy SABC

Câu 10: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2a, BC a Các cạnh bên hình chóp a Tính góc giữa hai đường thẳng AB SC

A. 45 B 30 C 60 D arctan

Lời giải

Chọn A

S

A

B

A D

B C

S

M

Ta có AB CD nên // AB SC; CD SC; SCD

Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SCa 2, CM a nên là tam giác vuông cân M nên SCD 45 Vậy AB SC ;  45

Câu 11: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB

A

6 a

B.

3 a

C

3 a

D

6 a

Lời giải

Chọn B

Theo giả thuyết ta có: BDa

Gọi H hình chiếu B lên DB ta có: BH d B DB ,  Xét tam giác BB D vng B ta có:

2 2

1 1

BH  B B BD  2

1

2

a a a

  

3 a BH

 

Câu 12: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cosAB DM,  bằng:

A.

6 B

2

2 C

3

2 D

1 Lời giải

Chọn A

A

B C

D

A

B

D

C 

D

C B A

M

Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a ta có: a

DM 

Ta lại có: cos ,  AB DM AB DM

AB DM 

   

 

2 AB DB AB BM

a a

 

   

.cos 60 cos120

a a a a

a a

  



6 

Vậy cos , 

AB DM 

Câu 13: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSC tam giác ABC vuông B Vẽ SH ABC, HABC Khẳng định sau đúng?

A H trùng với trực tâm tam giác ABC B H trùng với trọng tâm tam giác ABC C. H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC

Lời giải

Chọn C

M S

C

B A

Gọi M trung điểm AC

2

BM AM CM AC

   

SAC

 cân S SM AC  1

SMA

 vuông M SA2 AM2SM2 SB2BM2SM2 .SMB vuông M hay SM BM  2

Từ  1  2 suy ra: SM ABC

Theo giả thiết: SHABC, HABC HM Vậy H trùng với trung điểmAC

A.

6 B

2

2 C

3

2 D

1 Lời giải

Chọn A

D

C B A

M

Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a ta có: a

DM 

Ta lại có: cos ,  AB DM AB DM

AB DM 

   

 

2 AB DB AB BM

a a

 

   

.cos 60 cos120

3

2 a

a a a

a a

  



2

3

6

2 a a a

 

Vậy cos , 

AB DM 

Câu 15: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có

SASBSC tam giác ABC vuông B Vẽ SHABC, HABC Khẳng định sau đúng?

A H trùng với trực tâm tam giác ABC B H trùng với trọng tâm tam giác ABC C. H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC

Lời giải

Chọn C

M S

C

B A

Gọi M trung điểm AC

2

BM AM CM AC

SAC

 cân S SM AC  1

SMA

 vuông M 2

SA AM SM

   SB2BM2SM2 .SMB vuông M hay SM BM  2

Từ  1  2 suy ra: SM ABC

Theo giả thiết: SHABC, HABC HM Vậy H trùng với trung điểmAC

Câu 16: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI với I trung điểm AD

A

2 B.

3

6 C

3

4 D

1 Lời giải

Chọn B

E I

F M

B D

C A

Gọi M trung điểm CD ; E , F trọng tâm ACD , BCD

Ta có 3;

3 a

CF CE EF a

Vì

3

ME MF

MA  MB  EF //AB



AB CI,  EF CE,  CEF

   ) ( Do CEF cân C )

Trong CEF có : 

2

2 2 3

3 cos

2

2 3 a

EC EF CF

CEF

EC EF a a

   

   

  

Câu 17: (THPT n Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao

2 a

Tính số đo góc mặt bên mặt đáy

A 45 B 75 C 30 D 60

Lời giải

M O

C

A D

B

S

Gọi O tâm hình vng ABCD , M trung điểm CD

   

 

 

: :

SCD ABCD CD

SM SCD SM CD

OM ABCD OM CD

 

 

 

 

 



  

 SCD , ABCD  SM OM,  SMO

  



3

tan

2 a SO SMO

a OM

   SMO60

Câu 18: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH vng góc với ABCD Gọi  góc BD SAD Tính sin

A sin

4

  B sin

2

  C sin

2

 D sin 10

4



Lời giải

Chọn A

I

α H

D

C B

A S

Gọi I trung điểm SA Ta có BI SA BIAD (do AD AB ADSH)

Do BI SAD Khi đó: Hình chiếu BD lên SAD ID , góc BD  SAD  

BDI

 

Đặt ABa Ta có a

BI  ; BDa

Xét tam giác BID vng I có

3

sin

4 a BI

BD a

Câu 19: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, AD2a Cạnh bên SA vng góc với đáy ABCD , 

2

SA a Tính tan góc hai mặt phẳng SBD  ABCD 

A

5 B

2

5 C. D

5 Lời giải

Chọn C

2a a

2a

A

D

B C

S

H

Kẻ AH BD, HBD (1)

 

 

BD SA SA ABCD

BD AH

  

 

  

 

BD SAH

  BDSH (2)

Và: SBD  ABCDBD (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: góc hai mặt phẳng SBD  ABCD  SHA Xét ABD vuông A : 2 12 2

AH  AB  AD 2

1

4

a a

  52

4a



5 a AH

 

Xét SAH vuông A : tanSHA SA AH

 

Câu 20: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lập phương

ABCD A B C D    Khẳng định sau khẳng định sai? A.Góc hai đường thẳng B D  AA 60

B Góc hai đường thẳng AC B D  90

C Góc hai đường thẳng AD B C 45

D Góc hai đường thẳng BD A C  90 Lời giải

C' D' B' B C A D A'

Ta có B D AA ,   90 (vì AAA B C D    nên A sai B

// A C B D

AC B D BD B D

            

C A D B C //  nên góc AD B C góc AD A D góc ADA 45o D

// A C B D

A C BD

BD B D             

Câu 21: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018)Khối đa diện sau có số đỉnh nhiều nhất?

A Khối tứ diện B Khối nhị thập diện

C Khối bát diện D.Khối thập nhị diện

Lời giải

Chọn D Vẽ cho em bảng tổng hợp số đỉnh,số cạnh,số mặt khối đa diện vào đại ca

Khối thập nhị diện có 20 đỉnh

Câu 22: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018)Trong không gian cho đường thẳng a A, B, C,

E, F, G điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng Khẳng định sau đúng? A     // // a BC a EFG BC EFG       

B. a BC a mp ABC 

a AC       

C //   // 

// AB EF ABC EFG BC FG    

D  

    //  a ABC ABC EFG a EFG         Lời giải Chọn B

Đáp án D sai mặt phẳng ABC trùng với mặt phẳng EFG

Câu 23: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018)Giả sử  góc hai mặt tứ diện có

cạnh a Khẳng định

A. tan B tan3 C tan 2 D tan 4

Lời giải Chọn A

M

B D

C A

Gọi M trung điểm cạnh CD tứ diện ABCD

Ta có

   

 

 

: :

ACD BCD CD

AM ACD AM CD

BM BCD BM CD

 

 

 

 

 



 ACD , BCDAM BM, AMB

Tính: ABa,

2 a

AM BM 



2

2 2

3

2 1

cos cos

2 3

2

2

a

a

AM BM AB

AMB

AM BM a a



 



 

   

   

2

2

tan tan

cos

 



     

Cách khác: Gọi O trọng tâm tam giác BCD Tính AO , OM Suy 

tan tanAMO AO OM

O

M

B D

C A

Câu 24: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD

đáy ABCD hình vuông Từ A kẻ AM SB Khẳng định sau đúng?

A AM SBD B. AM SBC C SBMAC D AM SAD

Lời giải Chọn B

Do SAABCDSABC  1

Do ABCD hình vng nên BC AB 2 Từ    1 , BCSABBCAM  3 Theo giả thiết, ta có AM SB  4

Từ    3 , AM SBC

Câu 25: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có cạnh đáy

bằng 2a, cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng AB C  A B C   A.

6 

B

3 

C arccos

4 D

3 arcsin

4

Lời giải Chọn A

S

A

B C

D M

S

A

B C

Gọi I trung điểm B C  Ta có: B C A I B C AIA B C A A

   

  

 



   

Khi đó:

AB C A B C  B C AI B C

A I B C

         



   

     

góc hai mặt phẳng AB C  A B C   góc AIA Xét tam giác AIA vng A ta có: tanAIA AA

A I   



1

3

a a

  

6 AIA 

 

Câu 26: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng B,

SA vng góc với đáy ABC. Khẳng định sai?

A. SB AC B SAAB C SBBC D SABC Lời giải

Chọn A

Nếu SB AC

Từ SAABCSA AC, AC SB AC SAB AC AB

AC SA

 

   

  

Điều vơ lý ABC vng B nên đáp án A sai

Ta có SAABCSA AB SA, BC nên đáp án B D

Lại có BC AB BC SAB BC SB

BC SA

 

   

  

nên đáp án C

Câu 27: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai?

A GA GB GC      GD0 B 1 

4

OG OA OB OC  OD     

A

B

C

A

B

C  I

S

A B

C. 2 

AG ABACAD    

D 1 

4

AG ABACAD    

Lời giải Chọn C

Có G trọng tâm tứ diện ABCD nên:

GA GB GC      GD 4GA    ABACAD0 1 

AG AB AC AD

    

Câu 28: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Biểu thức x.3 x.6x , 5

x 0 viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là:

A.

x B

5

x C

7

x D

2 x Lời giải Chọn A Ta có:

1 5

3

x x x x   x

Câu 29: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Tìm giá trị lớn hàm số 3 x y x    đoạn 0; 

A

3 

B  C 5 D.

3

Lời giải Chọn D

 2 y x     

 0 y 

Câu 30: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình đa diện loại 4;3 cạnh  a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng?

A S 4a2 B. 6a 2 C S 8a2 D 10a 2

Lời giải Chọn B

Đa diện loại 4;3 đa diện mà mặt có cạnh, đỉnh có mặt khối lập  phương nên có mặt hình vng cạnh a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất mặt

6 S a

Câu 31: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hàm số  

2

3

f x  x  x  x Tập hợp giá trị x để f x  là:

A 2 2 B 2;  C 4 2 D. 2 

Lời giải Chọn D

Ta có f x x24 2x

  0 4 2 8 0 2 2

f x  x  x  x

Câu 32: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Giá trị 23 2.4 bằng:

Lời giải Chọn C

Ta có: 23 2.4 23 2 2 2 23 2.22 23 2 2 23

Suy 2a b     Câu 33: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác

vng B , SAABC, SA  cm, AB 1 cm, BC  cm Mặt bên SBC hợp với  đáy góc bằng:

A 30 B 90 C. 60 D 45

Lời giải Chọn C

S

A

B

C



Theo giả thiết SAABC nên SAAB, SABC Mặt khác BC AB nên BCSB Vậy góc SBC đáy góc SBA

Trong tam giác vng SAB ta có: tan SA 60 AB

   

Câu 34: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt

phẳng   Mệnh đề đúng?

A Nếu a  b a b //   B Nếu a //   b //   // b a

C Nếu a //   b  ab D Nếu a //   b a b 

Lời giải Chọn C

Dựa vào tính chất liên hệ quan hệ song song vng góc ta chọn đáp án C

Câu 35: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SAABC,

ABC

 tam giác cạnh a tam giác SAB cân Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SBC

A

7 a

h B

2 a

h C

7  a

h D

7  a

h

Gọi D trung điểm BC Do tam giác ABC nên ADBC  1 Trong tam giác SAD , kẻ AH SD  2

Do

 

 

     

  

 

    



  



SA ABC SA BC

AD BC BC SAD SBC SAD

SA AD A

 3

Từ  2  3 , ta suy AH SBCd H SBC , AH Theo giả thiết, ta có SA ABa ,

2  a

AD (đường cao tam giác cạnh a ) Tam giác SAD vuông nên

2 2 2 2

1 1 1

3

a AH

AH  SA  AD  AH a  a  AH  a  

Câu 36: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu sau sai? A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

B Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song

C Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song với

D.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song Lời giải

Chọn D

Chẳng hạn với hình lập phương ABCD A B C D     , có AB AD vng góc với AA chúng khơng song song

Câu 37: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đường thẳng SA vng góc với đáy tam giác ABC khơng vng Gọi H , K trực tâm tam giác ABC tam giác SBC Khẳng định sau đúng?

A SA , HK , BC đôi song song B AH , BC , SK đồng phẳng

C SA , HK , BC đôi chéo D. AH , SK , BC đồng quy

Lời giải Chọn D

A S

C

B

D

D K

H

B S

A C

Gọi D giao điểm AH BC (*) Ta có:

 

,

BC SA

BC AD

SA AD SAD

 

  

 



Do đó: BCSADBCSD (1)

Mặt khác K trực tâm tam giác SBC nên SKBC (2) Từ (1) (2) ta có DSK (**)

Từ (*) (**): AH , SK , BC đồng quy

Câu 38: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểm  H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA ABC 

A 30 B 75 C 60 D. 45

Lời giải

Chọn D

a

a a

a

a

H

A B

C

S

Dễ thấy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy Do góc tạo SA ABC  SAH

Mặt khác, ABC  SBC

2 a

SH AH

Câu 39: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , ADDC Biết SAB tam giác cạnh a 2a mặt phẳng SAB vng góc với mặt phẳng  ABCD Tính cosin góc hai mặt  phẳng SAB  SBC 

A

7 B

2

6 C.

3

7 D

5 Lời giải

Chọn C

H

B A

C S

D

Theo giả thuyết H hình chiếu C lên AB nên hình chiếu mặt phẳng SBC lên mặt  phẳng SAB  SBH Đặt   SBC , SAB ta có: cos SBH

SBC

S S

 





Mặt khác ta có:

1

2

SHB

a

S  a a 

2 ;

SBSC a BCa

4 2 4 2

2

2 2 2

SBC

a a a a a

S

 

 

Vậy cos

7

SBH SBC

S S

 



 

Câu 40: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Hình chóp tam giác

S ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 3a Tính khoảng cách h từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy ABC ? 

A h a B ha C

2 a

h  D ha Lời giải

H M

B A

C S

Hình chóp S ABC có tất cạnh nên hình tứ diện cạnh 3a

Khi đó, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy ABC tâm đường tròn ngoại 

tiếp tam giác ABC Và  

 

2

3

4 ABC 3 3

a AB BC CA

AH R a

S a

   

Vậy hSH  SA2AH2  9a23a2 a

Câu 41: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H , K trung điểm AB , CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng SAB  SCD bằng: 

A

3 B.

2

3 C

3

3 D

3 Lời giải

Chọn B

Ta có: H trung điểm AB SH  AB (vì tam giác SAB đều)

Mà    

     

SAB ABCD

SH ABCD

SAB ABCD AB

 



 



 

  Mặt khác

        // //

AB CD

SAB SCD Sx AB CD

S SAB SCD

 

  



 

 



Mà Sx SHK Sx SH Sx SK

 

  

 

, với K trung điểm CD   

 SAB , SCD  HSK

 

S

A

B C

D

H

K

Khi tan 3 HK HSK

SH

 

Câu 42: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy SAa Biết diện tích tam giác SAB

2 3 a

, khoảng cách từ điểm B đến SAC 

A 10

3 a

B 10

5 a

C

3 a

D.

2 a

Lời giải

Chọn D

A

C

D O

s

B

a

Ta có:

2 3

SAB

a

S  SAa suy

2

1

2

a

SA AB  AB a

Vì đáy ABCD hình vng tâm O nên BO AC; SAABCD, SABO suy

 

BO SAC

Vậy BO khoảng cách từ điểm B đến SAC : AB a, AC AB2BC2 a 2 Xét AOB vng O có ABa,

2

a

OA AC suy

2

a a

BO  

Câu 43: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC đó SA , AB , BC vng góc với đôi Biết SA3a, ABa 3, BCa Khoảng cách từ B đến SC bằng:

A 2a B a C a D. 2a

Lời giải

Chọn D

S

A

3a

3 a

Do BCAB; SABC suy BCSB Kẻ BH SC

Vậy khoảng cách từ B đến SC BH , tam giác vuông SBC : 2 12 12 BH  SB BC Trong SB SA2AB2 2a 3, BCa 6 suy BH 2a.

Câu 44: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD

hình chữ nhật, SB vng góc với mặt đáy Khẳng định sai?

A SBBC B SAAD C. SDBD D SCDC

Lời giải Chọn C

S

A

B C

D

Ta có SBABCD nên  SBBC , SB AD , SBDC

ABCD hình chữ nhật nên ADAB DCBC suy ADSA DC SC Tam giác SBD vuông B nên SD không vng góc với BD

Câu 45: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

hình vng cạnh a, SA a 3, SAABCD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

A. a

B

3

a C

3 a

D a

Lời giải:

Chọn A

Ta có BCSA vàBCAB nên BCSAB  SBC  SAB 

hay AHd A SBC ,  Trong tam giác vng SAB ta có

2 2

1 1

 

AH SA AB 2

1

3

  

a a a

Vậy

2  a

AH

Câu 46: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnha, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA2a Gọi M trung điểm của SC Tính cơsin góc là góc đường thẳng BM mặt phẳng ABC 

A cos

14

  B cos

7

 C cos

7

 D cos 21

7



Lời giải Chọn D

Gọi H trung điểm cạnh AC Khi HM SA nên HM vng góc // ABC H  Do BM,ABCBM BH, MBH MBH vuông H 

Ta có: 

2 2

2

21

cos

7

2

   

  

  

 

a

BH BH

MBH

BM HM BH

a a

Câu 47: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng tại A , biết SAABC  AB2 , a AC3a , SA4a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC 

A. 12 61 61

 a

d B

11  a

d C 43

12  a

d D 29

29  a

d

Dựng đường cao AH tam giác ABC đường cao AK tam giác SAH

Có      

 

BC SA

BC SAH BC AK

BC AH

Có       ;  



AK BC

AK SBC d A SBC AK

AK SH

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC ,

2

13

13

4

  



AB AC a a a

AH

BC a a

SAH vuông H , Áp dụng hệ thức lượng ta

 

 

2

13 12 61

;

13 36 61

16 13

   



SA AH a a

d A SBC AK a

SH

a a

Câu 48: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụABC A B C    với G trọng tâm

của tam giác A B C   Đặt  AA a,  ABb,  ACc Khi AG bằng:

A. 1 

a b c  B 1 

a b c  C 1 

a b c  D 1 

a b c

  

I A

B

C

A'

B'

C' G

2 AGAAA G  AA A I     

 

2

AG a A B  A C 

     1 

AG a b c

    

Câu 49: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình

thang vuông A, B; AD2 ,a ABBCSAa; cạnh bên SA vng góc với đáy; M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD

A

3 a

h  B.

6 a

h  C

3 a

h  D

6 a h 

Lời giải Chọn B

+ Ta có:

2 AD

CM  AM a nên ACD vuông C ACa + Kẻ AH SC H Ta có:

 

+ SAC vuông A có: 2 12 12 12 12 32

2

AH  SA  AC a  a  a

Suy ra:  , 

3 a

d A SCD  AH 

+ Ta có: AM SCDD nên   

 

 

, 1

2 ,

d M SCD DM

DA

d A SCD  

Suy ra:  ,   , 

2

a

d M SCD  d A SCD 

Vậy

6 a h 

Câu 50: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng

tại A, ABACa, Ilà trung điểm SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC, mặt phẳng SAB tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a

A 3

5 a

B.

4 a

C

5 a

D 4 15a

Lời giải Chọn B

Gọi M trung điểm AB HM AC// MH AB

2 a MH  Vậy SAB , ABCSMH60

Kẻ HKSM HKSAB nên  ,  sin 60 a

d H SAB HKMH  

Câu 51: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có

 

SA ABC ABC vuông C Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H là hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC Khẳng định sau đúng? 

A H trọng tâm ABC B H tâm đường tròn nội tiếp ABC

C H trung điểm cạnh AC D. H trung điểm cạnh AB

Lời giải Chọn D

Ta có BC AC BC SC

BC SA

 

 

  

O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SBC O trung điểm SB

Theo giả thiết H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC nên  OH //SA OH cắt AB H Vì O trung điểm SB nên H trung điểm cạnh AB

Câu 52: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a

(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD A C 

A 3a B. a C

2

a

D 2a

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có BD//A B C D    

 ,   ,   , 

d BD A C  d BD A B C D    d B A B C D    BB a

    

Cách 2: Gọi O , O tâm hai đáy Ta có: OO đoạn vng góc chung BD A C 

Do d BD A C ,  OO a A S

C

B O

H

A

B C

D

B C 

Câu 53: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh bằng a Gọi M trung điểm SD Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng

ABCD 

A

2 B

3

3 C

2

3 D.

1

Lời giải

Chọn D

Gọi H hình chiếu vng góc M ABCD O ACBD Ta có MH song song với SO

2 MH  SO BM có hình chiếu vng góc ABCD BH  Do góc BM ABCD  MBH

Ta có SO SD2OD2

2

2 2

4

a a

a

  

4 a MH

  ;

4

BH BD

4 a



Trong tam giác MBH vng H nên có: tanMBH MH BH 

2

4 a

a



3 

Câu 54: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc giữa hai đường thẳng OM AB

A 90 B 30 C. 60 D 45

Lời giải

Chọn C Cách 1:

S

C

A B

D

O H

M

A

O

C M

Gọi N trung điểm AC , ta có MN AB// OM AB;   OM MN; OMN Do OAB  OCB OAC OA , OB , OC đơi vng góc với nên

2 AB

OM ON MN  OM AB; OMN60 Cách 2:

Ta có: 2 ,

OA a OB2 b2, OC2c2, OA OB   0, OB OC   0, OC OA   0, AB a 2,

2 a OM  

Do M trung điểm BC nên   ABOB OA ; 1

2

OM OB OC

  1 1  

2 2

OM AB OB OA  OB OC OB OA OB OC

       

 

         

 

1

2

a

OM AB OB OB OC OA OB OA OC

          

   

2

1

2

cos ; cos ;

2

2 a OM AB

OM AB OM AB

a

OM AB

a

    

   

  OM AB;  60

  

A

O

C M

Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SAa Khoảng cách hai đường thẳng SB

CD

A. a B 2a C. a D a

Lời giải Chọn A

D C

B A

S

Vì SAABCD nên SAAD Ta có: SA AD AD SAB

AB AD

 

 

 

   

,

d D SAB DA

 

 

 

 

// //

CD SAB

CD AB CD SAB

AB SAB

  

 

 



 , 

d CD SB

 d CD SAB , d D SAB , DAa

Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 904 năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABC có  ,

SA ABC tam giác ABC vuông B, kết luận sau sai?

A. SAC  SBC B SAB  ABC C SAC  ABC D SAB  SBC Lời giải

Chọn A

C A

Ta có:     , 

SA ABC

SA SAB SAC

   

  

 SAB , SAC  ABC  B, C

 

SA ABC SABC mà BCAB  BC SAB;BCSBC

 SAB  SBC  D Vậy đáp án sai A

Câu 3: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SABC2a Gọi M ,

N trung điểm AB , SC, MNa Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC

A 30 B 150 C. 60 D 120

Lời giải

Chọn C

B S

A C

M

N P

Q O

Gọi P , Q trung điểm SB , AC Khi MP , NQ , MQ , PN đường trung bình tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên MP// NQ// SA ; PN// MQ // BC

1

MPNQ SAa;

2

PNMQ BCa Suy góc hai đường thẳng SA BC góc PMQ tứ giác MPNQ hình thoi

Xét hình thoi MPNQ : gọi O giao điểm hai đường chéo; MN a nên a

MO  ;

trong tam giác vng MOQ

2

4

a a

OQ a   PQa, tam giác PMQ hay PMQ 60

Câu 4: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh

a Gọi O tâm hình vng ABCD điểm S thỏa mãn OS        OA OB OC  OD OA OBOCOD Tính độ dài đoạn OS theo a

A OS6a B. OS4a C OS a D OS2a

Lời giải

O'

O

C'

A' D'

D

B C

B'

A

4

OS        OA OB OC  OD OA OBOCOD OO Với O tâm mặt A B C D    Suy OS OS  4OO 4OO4a

Câu 5: (THPT Kiến An-Hải Phịng năm 2017-2018)Cho hình chóp .S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABC , biết  ABACa, BCa Tính góc hai mặt phẳng SAB 

SAC 

A 30 B 150 C. 60 D.120

Lời giải

Chọn D

Vì SAABC nên SA AB SAAC

ta có:

SAB SAC SA

SA AB

SA AC

 

 

 

 



  

 SAB , SAC  AB AC,  BAC

  

Xét ABC có 

2 2

cos

2

AB AC BC

BAC

AB AC

 

  

2

2 3

1

2

a a a

a a

 

   BAC120 Vậy SAB , SAC120

Câu 6: (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa;

2 a

AD  Mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S A

C B

nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Biết  ASB 120 Góc hai mặt phẳng SAD  SBC bằng: 

A. 60 B 30 C 45 D 90

Lời giải Chọn A

Gọi H trung điểm AB , theo đề ta SH ABCD

Dựng T , K hình chiếu H lên SA , SB HTSAD HKSBC Vậy SAD ; SBCHT HK; 

Xét tứ giác SKHT có hai góc vng đối diện nên SKHT tứ giác nội tiếpKHT 60 ASB 120

Vậy SAD ; SBCHT HK; KHT 60

Câu 7: (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC đáy tam giác vuông B , AB SA Gọi H a hình chiếu A SB Khoảng cách AH BC bằng:

A. 2 a

B a C

2 a

D

2 a

Lời giải Chọn A

Ta có AH SB (nên AH HB)

 

BC AB

BC SAB BC AH

BC SA

 

   



Do đó, d BC AH , HB

Tam giác SAB vuông cân A , AH đường cao

2

2 2

SB a a a

BH 

   

Vậy  ,  a

d BC AH 

Câu 8: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC Khi cosin góc hai đường thẳng sau có giá trị

6

A AB DM,  B AD DM,  C AM DM,  D AB AM, 

Lời giải Chọn A

C

D N

M B

A

Gọi cạnh tứ diện có độ dài a Ta có: a

AM DM 

Xét tam giác ADM cân M có:

 2

cos

2

AM DM AD

AMD

AM DM

 



2

2

3

2

3

2

2

a a

a

a a

   

 

   

   



3 

 2

cos

2

DM AD AM

ADM

AD DM

 



2

2

3

2

3

2

a a

a a

a

   

 

   

   



3 

Xét tam giác ABC có AM đường trung tuyến đường phân giác nên

AB AM ,  30 cos , 

2 AB AM

 

Từ loại trừ đáp án B, C, D

 2 cos

2

MN DM ND

NMD

MN DM

 



2

2

3

2 2

3

2

a a a

a a

   

 

   

 

     



6 

Suy cos , 

AB DM 

Câu 9: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , SAABC AH đường cao ABC Khẳng định sau  sai?

A SBBC B AH BC C SB AC D AH SC Lời giải

Chọn C

H

C

B A

S

Ta có :  

   

 , 

BC AB gth

BC SA SA ABC BC ABC

 

 

  

 

 

BC SAB BC AH BCSB B A

Mặt khác:  

 

 

 

  

AH SB gth

AH BC cmt  AH SC nên D Vậy C sai

Câu 10: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018)Cho hình chóp SABC có SAABC Gọi H , K trực tâm tam giác SBC ABC Mệnh đề sai mệnh đề sau?

A BCSAH B HKSBC

C. BCSAB D SH , AK BC đồng quy

K H

A C

B S

Cách 1:

Ta có BC SA BC SAH

BC SH

 

 

  

nên A suy C sai mặt phẳng SAH mặt phẳng  SAB hai mặt phẳng phân biệt vng góc với BC suy  SAH // SAB Điều  không thể hai mặt phẳng có SA chung

Cách 2:

Ta có BCSABBCBA nên tam giác ABC vuông B , điều giả thiết không cho suy C sai

Câu 11: (THPT Triệu Thị Trinh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC tạo với mặt đáy góc 60 Biết BCa, BAC 45 Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng ABC 

A ha B.

2 a

h  C

3 a

h  D

6 a h 

Lời giải Chọn B

a

60° 45°

A

B

C H

S

Gọi H hình chiếu vng góc S lên ABC , suy  d S ,ABCSH

   60

SAH SBH SCH  HAHBHC

Do H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Xét ABC , có:

sin

BC a

HA HA

A  

Xét SAH vuông H , có tan 2

a a

Câu 12: (THPT Triệu Thị Trinh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, hai mặt bên SAB  SAD vng góc với mặt đáy AH , AK đường cao  của tam giác SAB , SAD Mệnh đề sau sai?

A BCAH B SAAC C HK SC D. AKBD

Lời giải Chọn D

Ta có    

   

SAB ABCD

SAD ABCD

 

 

 



nên SAABCD Suy SAAC (B đúng); SABC; SABD

Mặt khác BC AB nên BCSAB suy BCAH (A đúng) và BDAC nên BDSAC suy BDSC;

Đồng thời HK// BD nên HK SC (C đúng)

Vậy mệnh đề sai AK BD (vì không đủ điều kiện chứng minh)

Câu 13: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    Cạnh bên AA  , ABC tam giác vuông A có a BC2a, ABa Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng A BC 

A

21 a

B 21

21 a

C. 21

7 a

D

7 a

Lời giải Chọn C

A K

S

H

B

Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC Gọi K hình chiếu vng góc A lên A H Ta có BC AH BC A AH

BC AA

 



 



  

Mặt khác AKA AH  AK BC

Ta có AK AH AK A BC

AK BC

 



 

  

 d A A BC ,   AK

Ta có 2 12 12

AH  AB  AC , 2

1 1

AK  AA  AH Suy ra:

 2

2 2 2 2

1 1 1 1

3

AK  AA  AB  AC  a  a a  a , nên

21 a

AK 

Vậy  ,  21

7 a d A A BC AK

Câu 14: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a , SO vng góc với mặt phẳng ABCD SO  Khoảng cách a giữa SC AB bằng:

A. 5 a

B

5 a

C 2

15 a

D

15 a

Lời giải Chọn A

a a

M O

D A

B C

S

H A

B

C C

A

Gọi M trung điểm CD ; H hình chiếu vng góc O lên SM Ta có d AB SC , d AB SCD , d A SCD , 2d O SCD , 2OH Xét tam giác SMO vng O có: 2 2 12 42 12 52

OH OM OS  a a  a

5 a OH

 

Vậy  ,  5 a

d AB SC 

Câu 15: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình lập phương

ABCD A B C D    Góc hai đường thẳng BA CD

A 90 B 30 C 60 D. 45

Lời giải Chọn D

45 B

A

C

D

D'

C'

A'

B'

Ta có: CD AB// CD BA;   AB BA; ABA45

Câu 16: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD 

7 a

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD 

A 3

7 a

B 4

7 a

C.

7 a

D 12

7 a

Lời giải Chọn C

O

D

B

C A

S

* Gọi ACBDO Khi AC cắt mặt phẳng SBD trung điểm O suy 

 

 ;   ; 

7 a

Câu 17: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng 

BI SD (Số đo góc làm tròn đến hàng đơn vị)

A 39 B 42 C. 51 D 48

Lời giải Chọn C

Ta có DA AB DA SAB A

DA SA

 

  

  

hình chiếu D lên SAB   o 45 DSA

 

Trong mặt phẳng ABCD gọi M trung điểm AB  DM //BI Góc BI SD góc DM SD SDM Đặt ABaSAa (Vì SAD vng cân A )

2

2 SD SA AD a ,

2

2 2

4

a a

SM  SA MA  a   ,

2

2 a

MD AD AM 



2

2

2 2

5

2

10

4

cos

2 5

2 2

a a

a

SD MD SM

SDM

SD MD a

a

 

 

   SDM51

Câu 18: (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60

A. a

B

6 a

C

6 a

D 2

3 a

Đặt SA x

Gọi O tâm tam giác ABC SOABC

Hình chiếu SA mặt phẳng BCD AO  góc cạnh bên SA mặt đáy góc  60

SAO

  

Xét tam giác vuông SAO : cos 60 AO SA  

3

cos 60

2 a

AO a

SA

   



Câu 19: (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC

A. a

B a C

4 a

D

2 a

Lời giải

Chọn A

Do SAB  ABCD BC AB BCSAB Vì tam giác SAB nên gọi M trung điểm SA BM SA nên BM đoạn vng góc chung BC SA

Vậy  ; 

2 a d SA BC BM 

A a B. a

C 2a D

4 a

Lời giải Chọn B

Trên hình chỉnh lại điểm H nhé,vẽ H gần D AD<SA Ta có d B SCD ; d A SCD ;  (1)

Trong tam giác SAD vẽ AH SD Vì SAABCD SACD Mà CDAD Do CDSAD CD AH

Ta có CD AH

AH SD

  



  

AH SCD

  (2)

Từ (1) (2)  d B SCD ; AH

Mặt khác, tam giác vng SAD , có 2 12 12 12 12 42

3

AH  SA  AD  a a  a

3 a AH

 

Câu 21: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABBCa SA a Góc hai mặt phẳng SAC  SBC 

A. 60 B 90 C 30 D 45

Lời giải Chọn A

S

A C

B K

Gọi H trung điểm cạnh AC

Ta có SAC  ABC (vì SAABC) BH AC BHSAC Trong mặt phẳng SAC , kẻ HK SC SCBHKSCBK

  

 SAC , SBC  SKH 

  

Mặt khác

Tam giác ABC vuông cân B có ABBCa nên ACa 2 a

BH 

Hai tam giác CKH CAS đồng dạng nên HK HC SA SC 

2

3

HC SA a

HK

SA AC

  



Tam giác BHK vuông H có tan BH BK

    60 Vậy SAC , SBC60

Câu 22: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần năm 2017-2018)Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vng góc với mặt phẳng ABC  AB 3cm, AC 4 cm, AD  cm, BC 5cm Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD 

A 12cm

5 B

12 cm

7 C cm D.

6 cm 10

Lời giải Chọn D

6

5 4

3 H

B

C A

D

+ Vì tam giác ABC có ba cạnh AB 3cm, AC 4 cm, BC 5cm nên tam giác ABC vuông tại B

+ Kẻ AH DB ta có:

 

BC AB

BC ABD

BC AD

 

 



  BC AH

Suy AHBCDd A BCD , AH Lại có: 2 12 12

AH  AD  AB

1 1

6 18 AH

    10

5 10

AH

  

Câu 23: (THPT n Lạc-Vĩnh Phúc-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa 2, AD , SA vng góc với đáy SAa  Tính góc SC a

SAB 

A 90 B 60 C 45 D. 30

Chọn D

Ta có: BC AB SA SAB

BC SA

 

  

  

SB hình chiếu vng góc SC lên SABSC SAB, CSB

Tam giác SAB vng A có: SB SA2AB2 a 3 Tam giác SBC vng B có: tan  30

3 BC

CSB CSB

SB

    

Câu 24: (THTT Số 4-487 tháng năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AD2a Cạnh bên SA2a vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD

A a B 2a C 2

5 a

D. a

Lời giải Chọn D

H

D

C B

A S

Ta có: AB SA  SA ABCD

AB AD

  

 

  

 

AB SAD

 

Trong SAD kẻ AH SD AH đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD Do d AB CD , AH

SAD

 vuông cân nên

2

AH SDa Vậy d AB SD , a

A Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng a mặt phẳng

 Q mặt phẳng  P song song trùng với mặt phẳng  Q

B Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng b mặt phẳng

 P đường thẳng a song song với đường thẳng b

C Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng b mặt phẳng

 P đường thẳng a song song trùng với đường thẳng b

D Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng cho

Lời giải Chọn D

Phát biểu D theo định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng không gian

Câu 26: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt đáy a ABCD Khoảng cách hai  đường thẳng SC BD

A

4 a

B

3 a

C

2 a

D.

6 a

Lời giải

Chọn D

I H O B

C

D A

S

Do BDAC BDSA nên BDSAC Trong mặt phẳng SAC dựng OH SC H

OH

 đường vng góc chung BD SC

Gọi I trung điểm SC Tam giác OIC vng O có đường cao OH

Ta có 2 2 2

2

1 1

6

OI OC a

OH

OH OI OC   OI OC 

Câu 27: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần năm 2017-2018)Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD

A. a B.

2 a

C. a D

2 a

Hướng dẫn giải

M

B D

C

A

N

Gọi M trung điểm CD

Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt AB trung điểm N ( AMN cân M ) Suy d AB CD , MN

2 2

2

2 2

a a a

BM BN    

       

   

 

Câu 28: (THPT Chuyên Lê Q Đơn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông B , AB , a AA 2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC 

A 2 5a B. 5

a

C

5 a

D 3

5 a

Lời giải

Chọn B

Dựng AH A B

Ta có BC AB BC A AB

BC AA

 



 

 

  BC AH

Vậy AH A BC d A A BC ,   AH Xét tam giác vng A AB có 2 2 12

AH  AA  AB

2 2

5

AA AB a a a

AH

AA AB a a



   

  

C

B A

C

B A

Câu 29: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần năm 2017-2018) Cho chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vng B Biết SAABBC Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC 

A 30 B 45 C 60 D cos1

3

arc

Lời giải Chọn A

I A

B

C S

Gọi I trung điểm AC BI AC (vì ABC vng cân A )  1 Mặt khác: SABI (vì SAABC)  2

Từ  1  2 , suy ra: BI SAC SI

 hình chiếu SB lên SAC 

 

SB SAC,  SB SI, 

  BSI

Xét BSI vng I , ta có: sinBSI BI SB 

2

2 AB AB



2 

 30

BSI

  

Câu 30: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện O ABC có OA , OB , OC đơi một vng góc với Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ABC Mệnh đề sau  đúng?

A. H trọng tâm tam giác ABC B. H trung điểm BC C H trực tâm tam giác ABC D. H trung điểm AC

Ta có OH ABCOH BC,

Mặt khác OAOBC nên OABC Từ suy BCOAHBC AH Chứng minh tương tự ta có ACBH

Như H giao điểm hai đường cao tam giác ABC nên H trực tâm tam giác ABC

Câu 31: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D ; SD vng góc với mặt đáy (ABCD ; ) AD2a ; SDa Tính khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng SAB 

A a

B

2 a

C a D

3 a

Lời giải

Chọn A

C D

A

S

B H

Gọi H hình chiếu vng góc D SA Khi ta có: 

 

 

AB AD

AB SD ABSDA  ABDH ;

  

 

DH AB

Ta có CD//SABd CD SAB , d D SAB ,  DH

2



 SD AD

SD AD

2

 a

3  a

Câu 32: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018)Cho hình chóp S.ABC đó SA , AB , BC vng góc với đơi Biết SAa , ABa Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC 

A.

3 a

 B.

5 a

 C.

2 a

 D

2 a



Hướng dẫn giải Chọn D

A C

B S

H

Hạ AHSB

Ta có BCSA BC AB nên BCSABBCAH AH SBC hay

 

 ;  AHd A SBC Khi 2 12 12

AH  SA AB 2

1

3a 3a

 

2 a AH

 

Câu 33: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Trong hình lăng trụ đứng

ABC A B C   có AB AAa, BC2a, ACa 5 Khẳng định sau sai?

A. Góc hai mặt phẳng ABC  A BC  có số đo 45

B. Hai mặt phẳng AA B B '  BB C  vng góc với C AC 2a

D. Đáy ABC tam giác vuông

B'

C' A'

A C

B

Xét tam giác ABC có AB2BC2 a2 2a 2 5a

 AC2 tam giác ABC vuông B  Đáp án D

Do ABC A B C    lăng trụ đứng tam giác ABC vuông B nên

 

AB BB C AA B B '   BB C  Đáp án B

Do ABC A B C    lăng trụ đứng tam giác ABC vuông B nên

   

 ABC , A BC AB A B,   ABA45  Đáp án A

Xét tam giác vng A AC ta có A C  AA2AC2  a25a2 a 6  Đáp án C sai Câu 34: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    ,

gọi M trung điểm cạnh bên BB Đặt CAa, CBb, CC c Khẳng định sau ?

A.

2 AM    a b c    

B

2 AM a bc    

C

2

AM   a b c    

D

2 AM a bc    

Lời giải

Chọn A

Ta có: 1  1  1 

2 2

AM  ABAB  CB CA CB  CA  CB CB  CA          

Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: CB  CCCB

Do đó: 12 

2

AM  CB CC  CA

    1

2

CA CB CC

    

a b c

     A

C

B

B C

C

Câu 35: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có SA , a

SB a, SC3a, ASBBSC60 , CSA 90 Gọi  là góc hai đường thẳng SA BC Tính cos

A. cos 7

  B cos

7

  C cos  D cos

3 

Lời giải

Chọn A

cos cos(SA BC , ) SA BC SA BC 

 

.( )

SA SC SB

SA BC  

  

SA SC SA SB

SA BC  

   

2

.S cos 90 cos 60 2.2 cos 60

SA C SA SB

a a a a a

  



  

7 

Câu 36: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SA vng góc với đáy SA Tính khoảng cách từ điểm A đến a mpSBD 

A 2

3 a

B.

3 a

C

2 a

D

6 a

Lời giải

Chọn B

Gọi O giao điểm AC BD Ta có BD AC BD SAC

BD SA

 

 

  

, BDSBD SBD  SAC SAC  SBDSO Trong mặt phẳng SAC , kẻ AH SO AHSBD AHd A SBD , 

S

A

B

C

D O

Mặt khác

Tam giác SAO vuông A có

2

a

OA AC , SA a 2 12 12 AH  SA OA

2 2

1

AH a a a

   

3 a AH

 

Vậy  ,  a

d A SBD 

Câu 37: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm của cạnh BC Khi cosAB DM , 

A.

6 B

2

2 C

3

2 D

1

Lời giải

Chọn A

Gọi N trung điểm AC a độ dài cạnh tứ diện Ta có MN//AB AB DM,   MN DM, DMN

Tam giác DMN có

2 a

DM DN  ,

2

a

MN  AB 

2 2

cos

2

DM MN DN

DMN

DM MN

 





2 2

3

2 2 3

cos

6

2 2

a a a

DMN a a                       

Vậy cos , 

AB DM 

Câu 38: (THPT Lê Hồn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC tạo với mặt đáy góc 60 Biết BCa, BAC 45 Tính khoảng cách h từđỉnh S đến mặt phẳng ABC 

A

3 a

h  B ha C

6 a

h  D.

2 a h 

a

60° 45°

A C

B

H S

Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC  Ta có SH ABC HA HB HC

SA SB SC

 

   

   

H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi ta có:

sin sin

BC BC a

R R AH

A   A 

Góc SA mặt phẳng ABC góc  SAH 60 ; tan 60 2

a a

SH AH   

Vậy

2 a h 

Câu 39: (THPT Lê Hồn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Trong không gian, cho mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề ?

A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B.Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại

C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với

D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại

Lời giải

Chọn B

Câu 40: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Hỏi mặt bên hình chóp

S ABCD có mặt bên tam giác vng ?

A B C D

Ta có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy nên tam giác SAB , SAD vng A Lại có BC AB, BCSA suy BCSB tam giác SBC vng B Tương tự tam giác SCD vuông D Vậy hình chóp có mặt bên tam giác vuông

Câu 41: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a , AB vng góc với mp BCD ,   AB2a M trung điểm đoạn AD , gọi  góc CM với mp BCD đó:  

A tan

 B tan

3

  C tan

2

  D tan

3

 

Lời giải Chọn B

Gọi N trung điểm BC Ta có góc CM với mp BCD góc   MCN  +

2 AB MN  a

+

2 a

CN 

Vậy tan 2

3 MN

a

CN a

   

A S

B

C D

a 2a

φ N M

B D

Câu 42: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần năm 2017-2018) Hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , góc BAC60, SA vng góc với mp ABCD góc hai mặt phẳng   SBC 

ABCD 60 Khoảng cách từ A đến  mp SBC bằng:   A

3 a

B 2a C 3

4 a

D a

Lời giải Chọn C

góc BAC60 nên ta có tam + ABCD hình thoi,

giác ABC

+ Gọi M trung điểm BC ta có góc SBC đáy  ABCD góc  SMA60 + Gọi H hình chiếu vng góc A lên SM ta có:

+ BC SA

BC AM

  

 

BCSAM BC AH

Lại có: AH SM  AH SBCd A SBC ,  AH

+

2 a

AM  sin 60

2 AH

AM    

3 3

2

a a

AH  

Câu 43: (THPT Qng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC

đơi vng góc với SASBSCa Gọi M trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SM BC

A. 60 B 30 C 90 D 120

Lời giải

Chọn A

M

D A

B

C S

N

M

S B

A C

Gọi N trung điểm AC Khi góc SM BC góc SM MN Ta có:

ABBCCA

1

SM  AB (trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)

2

SN  AC (trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)

2 MN  BC

Suy SM MN SN hay tam giác SMN Do SM BC; SMN60

Câu 44: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB  , cạnh 5 cịn lại , khoảng cách hai đường thẳng AB CD bằng:

A

3 B.

2

2 C

2

3 D

3

Lời giải

Chọn B

Gọi M , N trung điểm AB CD Ta có:

 Tam giác ABC cân C CM AB (1)  Tam giác ABD cân D DM AB (2)

A

B D

C M

Từ (1) (2) suy ABMCD

Lại có ABC  ABD MCMD MN CD MN d AB CD ,  Mặt khác

Tam giác BMN vng M có

BM  , 3

2

BN  MN BN2BM2

2 MN

 

Vậy  , 

2 d AB CD 

Câu 45: (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD tích

3 a

Gọi  góc hai mặt phẳng SAD  SBD Tính  cos

A. cos

5

  B. cos

3

 C. cos 2

5

  D cos 10

5



Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi O tâm hình vng ABCD Kẻ AH SO H

Ta có: BDAO, BDSABDSAOBD AH Vậy AHSBD

Lại có: ABSAD, góc  hai mặt phẳng SAD  SBD góc hai  đường thẳng AH AB Vậy  BAH

Khối chóp S ABCD tích

2 a

nên ta có:

3

1

3

a

SA a  SAa

Tam giác SAO vuông A , đường cao AH nên: 2 12 12 12 42 52

2 2

AH  AS  AO  a  a  a

Suy ra: 10

5 a

AH  Từ đó: cos 10

5 AH AB

Câu 46: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có

 

SA ABC , tam giác ABC vuông B Gọi H hình chiếu A SB , khẳng định sau:

 1 : AH SC  2 : BCSAB  3 :SC AB

Có khẳng định ?

A 1 B. C 3 D 0

Lời giải

Chọn B

Ta có BCSA, BCAB nên BCSAB Và SBC  SAB, AH SB AH SC

Vậy có hai khẳng định

Câu 47: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho hình lập phương

ABCD A B C D   , góc hai đường thẳng A B B C

A 90 B 60 C 30 D 45

Lời giải Chọn B

D

D'

A

A' C

C'

B

B'

Ta có B C //A D A B B C ;  A B A D ;  DA B

Câu 48: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018).Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân B , cạnh bên SA vng góc với đáy, I trung điểm AC , H hình chiếu I lên

SC Khẳng định sau đúng?

A BIH  SBC B. SAC  SAB C. SBC  ABC D. SAC  SBC

Hướng dẫn giải Chọn A

H

I S

C

B A

Ta có:  

 

   

gt

BI AC

BI SAC SC SC BI

BI SA SA ABC

 



    



 

 

 1

Theo giả thiết: SCIH  2

Từ  1  2 suy ra: SCBIH Mà SCSBC nên BIH  SBC

Câu 49: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng AB CI , với I trung điểm AD

A.

6 B

1

2 C

3

4 D

3

Lời giải

Chọn A

M

I

B

C

D A

Ta có: IM // AB AB IC, 

 IM IC, 

 

cos AB IC,

 cosIM IC,  cosIM IC ,   cos MIC Mà: cos MIC

2 2

2

MI IC MC

MI IC    2 3

2 2

3

2

a a a

a a                      

cos AB IC,

  cos MIC

6 

Câu 50: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SCD

A 21

7 a

h  B ha C

4 a

h  D

7 a h 

Lời giải Chọn A H N M A B C D S

Gọi M , N trung điểm AB , CD

Gọi H hình chiếu M lên SN ta có: CD MH MH SCD

SN MH           , 

MH d M SCD

  mà AM //SCD  MH d A SCD ,  Mặt khác ta có:

2 a

SM  ; MN a

Xét tam giác vuông SMN ta có:

2 2 SM MN MH SM MN   21 a 

Câu 51: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ĐÚNG?

A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với nhau. B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với nhau. C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với nhau. D Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với nhau.

Lời giải Chọn B

Câu C sai hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến vng góc với mặt phẳng cho

Câu D sai hai đường thẳng chéo (khi khơng đồng phẳng) cắt (nếu chúng đống phẳng)

Câu 52: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD Tích vơ hướng

AB CD

 

bằng?

A a 2 B

2

2

a

C 0 D

2

2

a

 Lời giải

Chọn C

A C

B D

AB CD 

 

CB CA CD    CB CD CA CD     CB CD .cos 600CA CD .cos 600

Câu 53: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân A , cạnh bên SA vuông góc với đáy, M trung điểm BC , J trung điểm BM Khẳng định sau đúng?

A BCSAB B BCSAM C BC SAC D BCSAJ

Lời giải

Chọn B

Vì SAABC BCSA

Theo giải thiết tam giác ABC tam giác cân A M trung điểm BC BC AM Ta có BC SA

BC AM

  

 

 BC SAM

Câu 54: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018)Cho tứ diện ABCD Côsin góc AB và mpBCD bằng: 

A

B

A

2 B

3

3 C

1

3 D

2 Lời giải

Chọn B

Gọi độ dài cạnh tứ diện ABCD a Gọi M trung điểm CD Gọi O trọng tâm tam giác BCD

Ta có AOBCD BO hình chiếu vng góc AB lên mp BCD   Do AB BCD, AB BO, ABO

Trong ABO vng O , ta có 

2

3

cos

3 a

BO ABO

AB a

  

Câu 55: (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018)Hình chóp S ABCD có đáy hình vng, hai mặt bên SAB  SAD vng góc với mặt đáy AH , AK đường cao tam  giác SAB , tam giác SAD Mệnh đề sau sai?

A HK SC B SAAC C BC AH D AK BD

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết:    

   

SAB ABCD

SAD ABCD

 

 

 



 SAABCD SAAC, đáp án B

Ta có: BC AB

BC SA

  

 

BCSAB, mà AHSAB BCAH , đáp án C

O A

B

C

D

M

A D

B

C S

H

Ta có  

 

AH SBC SC

AK SCD SC

 

  

 

 

 SCAHK, mà HKAHK  HK SC, đáp án A Vậy đáp án D sai

Câu 56: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hịa Bình năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với ABBCa, AD2a, SA vng góc với đáy SA Khoảng cách hai đường thẳng AC SD bằng: a

A

6 a

B

3 a

C

3 a

D

9 a

Lời giải

Chọn C

Dựnghìnhbình hành ACDE , kẻ AH SE H Ta có: AC//SDE

 ,   , 

d AC SD d AC SDE

  d A SDE ,  AH

Vì ACCDAEEDDESAEDE AHAHSDE

2 2 2

1 1 1

2

AH  SA  AE a  a  a

6 a AH

 

Câu 57: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD, SAa 3 Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CM

A.

4 a

B.

2

a

C.

4

a

D.

3 a

Lời giải

M

D A

B C

S

H

Vì AB //CD nên AB //SCD

Do d AB CM , d AB SCD , d A SCD ,  AH với H chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAD

Ta có

 2

3

2

SA AD a a a

AH

SD

a a

  



Câu 58: (THPT Chun Biên Hịa-Hà Nam-lần năm 2017-2018)Cho hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB  góc tạo đường thẳng

MC mặt phẳng ABC Khi  tan A

7

B

2

C

7

D

3

Lời giải

Chọn D

Ta có MC hình chiếu MC lên ABC Suy   C CM Xét tam giác MCC vng C có: tan

3

CC a

CM a

   

Câu 59: (THPT n Định-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018)Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy

A.

2 B

1

3 C.

1

3 D.

1

Hướng dẫn giải Chọn B

A

O H

B S

C D

Ta có SBC  ABCDBC mà BCSH BCOH nên SHO SH đường cao tam giác SBC cạnh a nên

2 a

SH  ,

Xét tam giác SOH vng O có: cos OH SH

 

3

2 a a

 

Câu 60: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho chóp S ABCD có đáy hình vng, SAABCD Góc đường SC mặt phẳng SAD góc? 

A. CSA B CSD C. CDS D. SCD

Hướng dẫn giải Chọn B

C

A D

B

S

Ta có CD AD CD SAD

CD SA

 

 

  

Do góc SC SAD góc SC SD 

Do góc CSD 90 nên chọn B.

Câu 61: (THPT n Định-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A B Biết AD2a, ABBCSAa Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD 

A.

3 a

h  B

6 a

h  C.

6 a

h  D.

3 a h 

2a a

a

a

M

A D

B C

S

H

Ta có   

 

 

,

2 ,

d A SCD

d M SCD       

1

, ,

2

d M SCD d A SCD

 

Dễ thấy ACCD, SACD dựng AH SAAH SCD Vậy d A SCD ,  AH

Xét tam giác vng SAC A1v có 2 2 12 AH  AC  AS

6 a AH

 

Vậy  , 

6 a

d M SCD

 

Câu 62: (THTT số 5-488 tháng năm 2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSCAB AC ,

BC  Tính góc hai đường thẳng AB , SC

A 45 B 120 C 30 D. 60

Lời giải Chọn D

H

B C

A

S

Tam giác ABC vuông A tam giác SBC vng S AB AC , BC 

SBSC , BC 

Ta có SC AB     SC SB SA   SC SB SC SA  cos 60 SC SB

    

Suy cosSC AB;  cosSC AB ; 

SC AB SC AB

 

 

Vậy góc hai đường thẳng AB , SC 60

A

2 a

B

4 a

C a D.

2 a

Lời giải

Chọn D

M

C'

B' A'

A C

B

Gọi M trung điểm BC Do ABC tam giác cạnh a nên ta có a

AM 

AM BC (1)

Mặt khác ta lại có ABC A B C    lăng trụ nên AA ABCAAAM (2) Từ (1) (2) ta có AM đoạn vng góc chung AA BC

Vậy d AA BC , AM a



Câu 64: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     (hình bên) Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng BDD B  

A 60 B 90 C 45 D. 30

Lời giải

Chọn D

O D' B'

A'

C'

C B

A D

Gọi O tâm hình vng ABCD ta có AOBD (1)

Mặt khác ta lại có ABCD A B C D     hình lập phương nên BB ABCDBB AO (2) Từ (1) (2) ta có AOBDD B AB,ABCDAB B O,  AB O

Xét tam giác vng AB O có sin

AO AB O

AB

  



AB O 30

Vậy AB,ABCD30

Câu 65: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh Gọi  góc hai mặt phẳng AB C   A BC , tính cos

A.

7 B

21

7 C

7

7 D

4

Lời giải

Chọn A

Giả sử cạnh hình lăng trụ ABC A B C    có độ dài a Gọi M  A B AB N A C AC

Khi AB C   A BC MN

Kẻ A I MN IMN mà AA BC, BC MN// AAMN Vậy AIMN Khi AB C  , A BC AI A I,  

Gọi J trung điểm BC

2 a

AJ  , 2

2

A J  AA AJ  a

2

a A I A J

  

Xét tam giác A IA  có:

 2

cos

2

AI A I AA

A IA

AI A I

 

  

  

  



 

cos cos , cos 180

7

AI A I A IA

  

    

Câu 66: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng n-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm AB SB Mệnh đề mệnh đề sai?

A ANBC B CM SB C CM  AN D MN MC

Lời giải

Do tam giác ABC nên CM AB, SAABC nên SACM CM SAB

CM SB

  , CM AN nên B, C

Do MN SA nên // MN ABC MN MC nên D Vậy A sai

Câu 67: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần năm 2017-2018)Hình lăng trụ có 45 cạnh có mặt?

A 15 B 20 C 18 D 17

Lời giải Chọn D

Gọi x số cạnh mặt đáy hình lăng trụ ta có 3x 45x15 Vậy hình lăng trụ có 15 mặt bên mặt đáy

Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SC tạo với mặt phẳng SAD góc 30 Tính thể tích  V khối chóp cho

A.

3 2 a

V  B

3 6 a

V  C V  a3 D

3

a V 

Lời giải Chọn A

Ta thấy:

 

SA ABCD SA CD

CD AD

   



 

 

CD SAD

  SC SAD; CSD30

Trong tam giác vuông SDC :

1 tan 30

3

CD a

SD  a



Trong tam giác vuông SAD : SA SD2AD2  a 32a2 a Thể tích V khối chóp:

3 ABCD

V  S SA .2 a a 

3 a



Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Tam giác SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Số đo góc đường thẳng SA ABC 

A 45 B. 60 C 30 D 75

Lời giải Chọn B

S

C B

A H

Khi ta có hình chiếu vng góc SA lên ABC AH Suy góc SA  ABC  bằng góc SA AH góc SAH

Ta có:

AH BC,

2

SH BC Do tam giác SAH ta có tanSHA SH AH

 

Vậy góc SAH 60

Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SBSD Khẳng định sau sai?

A. CDSBD B SOABCD C BDSA D ACSD

Lời giải Chọn A

O

C

A D

B

S

 Ta có CDSBDCDBD điều vơ lý COD tam giác vng O

Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy ,a góc cạnh bên mặt đáy 60 Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SMN

A

3 a

B 7

3 a

C.

7 a

D

7 a

60°

a

G I M

N A

C

B

S

H

Ta có: d A SMN ; 3d G SMN ; 

Gọi G trọng tâm tam giác ABC, I giao điểm MN BG, H chân đường cao kẻ từ G tam giác SIG Khi d G SMN ; GH

Lại có:



3 a

BG  ,

4 a

BI  IGBGBI

12 a



 SGBG tan 60 a  2 12 12 492

HG  SG IG  a

a GH

   ; 

7 a d A SMN

 

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SMN

a

Câu 5: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh

a Khoảng cách hai đường thẳng BD CB

A

3 a

B 2

3 a

C

2 a

D.

3 a

I

O

D'

C' B'

A'

D A

B C

H

Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mặt phẳng ABCD dựng hình vng BOCI  ta có CI BB I B CI   BB I 

Trong mặt phẳng BB I  kẻ BH B I ta có d BD CB ,   BH Xét tam giác vuông B BI ta có 2 2 12

BH  BB BI 2

1

a a

  32

a



3 a BH

 

Vậy  , 

3 a d BD CB 

Câu 6: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABC có mặt ABC SBC

các tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Số đo góc đường thẳng SA ABC

A. 45 B 75 C 60 D 30

Lời giải Chọn A

H S

C A

B

Theo giả thiết ta có ABC  SBC

Trong mặt phẳng SBC kẻ SH BCSHABC hay SH đường cao hình chóp Khi ta có SA ABC, SA AH, SAH

Mặt khác theo giả thiết tam giác SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC

Xét tam giác vuông SHA ta có tanSAH SH AH

  SAH45 Vậy SA ABC, 45

Câu 7: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với

mặt phẳng ABC tam giác ABC vuông B Kẻ đường cao AH tam giác SAB Khẳng định sau sai?

A AH SC B AH BC C SABC D. AH AC

Lời giải

Chọn D

Ta có SAABCSABC, suy C

Lại có BCAB, BCSABCSABAH BCAH, suy B Mặt khác AH SB, AH BCAH SBCSCAH SC, suy A Vậy Chọn D

Câu 8: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề năm 2017-2018)Cho hình chóp S ABC có ASB 120, BSC  60,

 90

CSA   SASBSC Gọi I hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC Khẳng định sau đúng?

A I trung điểm AC B I trọng tâm tam giác ABC C. I trung điểm AB D I trung điểm BC

Lời giải Chọn C

Đặt aSASBSC, với a  0

S

A B

C I

60

Áp dụng định lý cosin tam giác SAB SBC , ta có ABa 3 BCa Tam giác SAC vng cân S có ACa

Tam giác ABC có BC2CA2 AB2 nên vng C

Gọi I trung điểm cạnh AB IAIBIC SASBSCSI ABC hình I chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC 

Câu 9: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tứ diện S ABC có cạnh SA , SB ; SC đơi vng góc SASBSC Tính cos,  góc hai mặt phẳng

SBC  ABC ? 

A cos

2

  B cos

2

  C cos

3

 D. cos

3



Lời giải Chọn D

 Cách 1:

Gọi D trung điểm cạnh BC Ta có SA SB SA SBC

SA SC

 

 

  

SA BC

 

Mà SDBC nên BCSAD   

 SBC , ABC  SDA 

  

Khi tam giác SAD vng S có

SD  ;

2

AD  cos SD AD

  cos

3 

 

 Cách 2:

S A

B

C

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ

Ta có S0; 0; 0, A0; 0;1, B0;1; 0, C1; 0; 0

 phương trình mặt phẳng ABC:xy   có VTPT z n  1;1;1 Mặt phẳng SBCOxy z:  có VTPT k  0; 0;1

Khi góc hai mặt phẳng SBC  ABC  cos n k n k 

 



 cos

3 

 

Câu 10: (THPT Lê Q Đơn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có cạnh đáy 1, cạnh bên Gọi C trung điểm CC Tính cơsin góc hai đường 1 thẳng BC A B1  

A

6 B.

2

4 C

2

3 D

2

Lời giải Chọn B

Ta có A B //AB BC A B1,  BC AB1, ABC1 S

A

B

C z

x

y

A

B

C A

B

C

1

Tam giác ABC có 1 AB 1; AC1BC1

2 2

1

1 cos

2

AB BC AC

B

AB BC

 

 cos

4 B

 

Câu 11: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SAABCD Tìm khẳng định sai?

A. ADSC B SCBD C SABD D SOBD

Lời giải Chọn A

Ta có BD AC

BD SA

  

 

BD SC

  Ta có  

 

SA ABCD

BD ABCD

   

  

SA BD

 

Ta có BD AC

BD SA

  



  

BD SAC

  BDSO

Vậy khẳng định ADSC khẳng định sai

Câu 12: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD

A 45 B. 90 C 60 D 30

Lời giải Chọn B

Cách Đặt ABa,     AB CD  AB CB BD BA BC    BA BD

2

0

2

a a

   ABCD

Cách Gọi E trung điểm CD AECD, BECDCDABECDAB Câu 13: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có

 

A 3

4 a

B. a C

2 a

D 2

3 a

Lời giải Chọn B

C D

B A

S

 ;   ;   ; 

d BC SD d BC SAD d B SAD BA

2 5 2 3

BA AC BC  a  a a

Câu 14: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B có ABa, AC2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2 a Gọi  góc tạo hai mặt phẳng SAC ,  SBC Tính cos 

A

2 B

1

2 C.

15

5 D

3

Lời giải Chọn C

A C

B S

K

H

Ta có SAABCSABC

Mặt khác BC ABBCSABBC AH (1)

Gọi H , K hình chiếu vng góc A cạnh SB , SC ta có AH SC (2)

Từ (1) (2) ta có AH SBCAH SC (3) Mặt khác ta lại có AKSC (4)

Từ (3) (4) ta có SCAHKSCHK Vậy SAC , SBCAK HK, AKH

Ta có

2

5

AB SA a

AH

AB SA

 



;

2

2 AC SA

AK a

AC SA

 



30 a HK

 

Vậy cos 15

5 HK AKH

AK

 

Câu 15: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD SAa 3 Khi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC 

A d B SAC , a B d B SAC , a

C d B SAC , 2a D.  ,  a

d B SAC 

Lời giải Chọn D

Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có: BO AC

BO SA

  



  

BO SAC

  d B SAC , BO 2 a



Câu 16: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M điểm đoạn SD cho SM 2MD

Tan góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCD 

A 1

3 B

5

5 C

3

3 D.

1

Lời giải

S

A B

C

D

S

A

B C

Chọn D

Ta có BDa 2

2 a OD

 

Xét tam giác SOD vng O có:

2

2 2 2

2

a a

SO SD OD  a   

 

 

Kẻ MH BD H nên BM;ABCDMBH

Do MH BDMH//SO Ta có

3

MH MD HD

SO  SD  OD

3

SO a

MH

  

3

a

HD OD 2

6

a a

BH BD HD a

     

Xét tam giác BHM vuông H có:

 

  

tan BM; ABCD MBH MH BH

  tan ; 

5

BM ABCD

 

Câu 17: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAABCD SAa Gọi  góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng SAC ,   thỏa mãn hệ thức sau đây:

A cos

8

  B sin

8

  C. sin

4

 D cos

4



Lời giải Chọn C

O C

A D

B

S

Gọi O tâm đáy ABCD

Ta có BOAC BOSA nên SO hình chiếu SB SAC  Suy  BSO

Lại có

2 a

BO  , 2

2

SB SA AB  a Suy sin BO

SB

 

S

A

B C

D M

Câu 18: (THPT Chun Lam Sơn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng ABCD SAa (hình vẽ) Gọi  góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC Tính sin ta kết

A.

14 B

2

2 C

3

2 D

1 Lời giải

Chọn A

Gọi O tâm hình vng ABCD BOSACSB SAC, BSO

Ta có SBa 7, sin BO SB 

2

7 a a



14



Câu 19: (THPT Chun Lam Sơn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C   có đáy ABC tam giác vng, BABCa, cạnh bên AA a 2, M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B C

A

2 a

B

3 a

C

5 a

D.

7 a

Lời giải

Chọn D

A

B C

D

Gọi N trung điểm BB nên MN B C//  d AM B C ;  d B C AMN  ; d C AMN ; 

 

 ; 

d B AMN

 Gọi H hình chiếu B lên AMN, tứ diện B AMN tứ diện vuông đỉnh B nên 2 12 2 2

BH  BA BM BN 2 2

1

a a a a

   

Vậy

7 a

BH 

Câu 20: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi

vng góc với Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ABC Mệnh đề sau đúng?

A H trung điểm AC B H trọng tâm tam giác ABC

C H trung điểm BC D. H trực tâm tam giác ABC Lời giải

Chọn D

Kẻ OK BC; OH  AK Ta có: OK BC

OA BC

  



  

BC OAK

  BCOH

OH BC

OH AK

  



  

OH ABC

  H hình chiếu O mặt phẳng ABC AH BCnên H trực tâm tam giác ABC

Câu 21: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SCABC tam giác ABC vuông B Biết ABa, ACa 3, SC2a Sin góc hai mặt phẳng SAB ,  SAC 

A

3 B.

3

13 C 1 D

Lời giải Chọn B

a a 2a

S

C

B

A I

H

Trong mặt phẳng SAC từ C kẻ CI SA, ISA Trong mặt phẳng SAB từ I kẻ  IH SA cắt SB H

Ta có: ABSC, ABBCABSBC ABCHmà CH SBCHSAB

CH SA

  mà CISASACIH Khi góc hai mặt phẳng SAB ,  SAC  

CIH Vì CH SABCH IH hay tam giác CHI vuông H Xét tam giác vng SAC có:

2

SC CA CI

SC CA





2 a



Xét tam giác vng SBC có:

2

SC CB CH

SC CB





2

2 2

SC CA AB

SC CA AB

 

 

2 78 13 a



Khi góc hai mặt phẳng SAB ,  SAC  CIH nên sinCIH CH CI



13



Câu 22: (THPT Lê Q Đơn-Hải Phịng lần năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có

cạnh a, gọi  góc đường thẳng A B mặt phẳng BB D D   Tính sin

A

4 B

3

2 C

3

5 D.

1 Lời giải

Chọn D

Ta có A H B D , A H BBA H BB D D   BH hình chiếu A B

BB D D  A H BB D D ,    A BH  sin A H A B 

 

2

2 a a

1 

Câu 23: (THPT Lê Q Đơn-Hải Phịng lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

hình vng tâm O cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh bên SB N hình chiếu vng góc A SO Mệnh đề sau đúng?

A ACSDO B AM SDO C SASDO D. ANSDO

Lời giải Chọn D

N

O

D

C A

B

M

S

Ta có: BC AC BC SAC AN AN BC

BC SA

 

    

  

Theo giả thiết: AN SO

Vậy ADSDO

Câu 24: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD EFGH Góc giữa cặp vectơ AF EG

A 0 B. 60 C 90 D 30

Lời giải Chọn B

B

A

C

D

H G

Nhận xét EG AC nên  AF EG;    AF AC; FAC Tam giác FAC tam giác nên FAC 60o

Câu 25: (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SAa 3 Khoảng cách hai đường thẳng SB và CD

A

2 a

B

2 a

C a D. a

Lời giải Chọn D

a a 3

C A

D

B S

Ta có: BCSABBCSB BCDC

Do đó, BC đoạn vng góc chung hai đường thẳng SB DC Nên khoảng cách hai đường thẳng SB DC BCa

Câu 26: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ

ABC A B C   có AB  AA 1 Góc tạo đường thẳng AC ABC 

A 45 B 60 C. 30 D 75

Lời giải Chọn C

Ta có AC,ABCAC AC,  CAC , tanC AC CC AC



 

3

 C AC 30

Câu 27: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có AB2a, SO với O giao điểm AC a BD Khoảng cách từ O đến mặt phẳng

A

2 a

B a C

2 a

D.

2 a

Lời giải Chọn D

M O

D A

B

C S

H

Gọi M trung điểm cạnh CD , ta có CD OM

CD SO

  



  

CD SOM

  SCDSOM Trong mặt phẳng SOM kẻ OH SM , HSM OH khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SCD 

Ta có 2 2 12

OH OM SO 2

1

a a

  22

a



2 a OH

 

Câu 28: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

hình chữ nhật, AB2a, ADa SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy

A

4 B

7

4 C

6

4 D.

10 Lời giải

Chọn D

Hình chiếu SC lên ABCD AC Do SC ABCD, SCA

Ta có AC AB2AD2  4a2a2 a SC2a Trong tam giác vuông SAC: cos 10

4

2

AC a

SCA

SC a

Câu 29: (THTT số 6-489 tháng năm 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , cạnh bên SA vng góc với đáy SA2a, ABACa Gọi M điểm thuộc AB

cho

3 a

AM  Tính khoảng cách d từ điểm S đến đường thẳng CM

A 110

5 a

d  B 10

5 a

d  C. 110

5 a

d  D 10

5 a

d 

Lời giải Chọn C

Ta có

2

2 10

9

a a

CM  a   ,

2

2 10

4

9

a a

SM  a   ,SCa

Đặt

2

SM MC SC

p  

Diện tích tam giác SMC : SSMC  p p SMp CM pSC

2 11 a 

Suy khoảng cách từ S đến CM :SH 2S SMC

CM 

 110

5 a



Câu 30: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng cân B , ABBCa, SAa 3, SAABC Góc hai mặt phẳng SBC 

ABC 

A 45 B. 60 C 90 D 30

Lời giải Chọn B

S

A M

B

C

Ta có BCSABBCSA Góc hai mặt phẳng SBC  ABC góc  SBA 

tanSBA SA AB

 a

a

  3SBA60

Câu 31: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a , ADC 60 Gọi O giao điểm AC BD , SOABCD SO a Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD 

A 60 B 75 C. 30 D 45

Lời giải Chọn C

Ta có ABCD hình thoi cạnh 2a , ADC 60 nên ACD 3

a

OD a

Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD  SDO tan SO SDO

DO

  suy

 30

SDO  

Câu 32: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SASBSCABACa BCa 2 Góc hai đường thẳng AB

SC là?

A 45 B 90 C. 60 D 30

Lời giải Chọn C

A

C I

Ta có BCa nên tam giác ABC vng A Vì SASBSCa nên hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC Ta có cosAB SC,   cos AB SC, 

AB SC AB SC   

AB SC 

 

 

AB SIIC   

AB SI

  2BA BC  

  1

.cos 45 2BA BC

   2 a    

cos AB SC , 2 a a

 AB SC, 60

Cách 2: cosAB SC,   cos AB SC, 

AB SC AB SC



 

Ta có  AB SC SB  SA SC    SB SC SA SC SB SC .cos 90 SA SC .cos 60

2 a  

Khi  

2 2 cos , a AB SC a   

Câu 33: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C   có tất cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC 

A

2 a

B

4 a

C. 21

7 a

D

4 a Lời giải Chọn C M C' B' A' C B A H

Gọi M trung điểm BC , H hình chiếu A A M ta có:

 

BC AM

BC AA M

BC AA         

mà AHAA M BCAH

AH BC

AH A M

       

AH A BC

Trong tam giác AA M vng A có

2

AM AA AH

AM AA

 





2

2 a a

a a 

 

  

 

21 a



Câu 34: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có

tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H A mặt phẳng A B C   trung điểm B C  Tính theo a khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ ABC A B C   

A

2 a

B

3 a

C

2 a

D.

2 a

Lời giải Chọn D

Vì AHA B C   nên góc cạnh bên AA mặt đáy A B C    AA H

Do hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a suy

2

a a

A H  AH 

Câu 35: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có

3 a

SASBSC , đáy tam giác vng A, cạnh BCa Tính cơsin góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

A

2 B

1

3 C.

1

3 D

1

Gọi H trung điểm BC SH ABC; suy HA hình chiếu SA ABC 

Do SA ABC; SA HA; SAH cosSAH AH SA

 

3 a a



3 

Câu 36: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có cạnh

đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a A.

3

a

B

3

a

C

3

12 a

D

3

a

Lời giải

Chọn A

Gọi O tâm mặt đáy SO ABCD, SBO 60 Ta có SOBO

2 a SO

  Vậy thể tích khối chóp ABCD V  SO S

3 6 a



Câu 37: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB,

A 2 12 12 12

OH OA OB OC B H trực tâm tam giác ABC

B OABC D. AH OBC

Lời giải Chọn D

O B

C A

H

I

Ta có OH ABCOH BC OAOBCOABC Suy BCAOHBCAH  1

Ta lại có OH ABCOH ACvà OBOACOBAC Suy ACBOHACBH  2

Từ  1  2 suy H trực tâm tam giác ABC

Gọi I chân đường vng góc O lên đường thẳng BC Ta có 2 12 12 12 2 12

OH OI OA OB OC OA Vậy D đáp án sai

Câu 38: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phịng-lần năm 2017-2018) Trong khơng gian cho đường

thẳng a, b, c mặt phẳng  P Mệnh đề sau sai?

A Nếu a P b// P a b

B Nếu a , cb  b a cắt c b vng góc với mặt phẳng chứa a c

C Nếu //a b b cc a D.Nếu a bb  //c a c

Lời giải Chọn D

Sai a c khơng đồng phẳng

Câu 39: (SGD Phú Thọ – lần - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABC có BCa 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ SB AC

A 60 B.120 C 30 D 90

A C

B

S

Ta có cos ,  SB AC SB AC

SB AC 

   

  SA AB AC2  a  

  

2

SA AC AB AC a

 

    2

0

2 a

a

 

  

Vậy góc hai vectơ SB AC 120

Câu 40: (SGD Phú Thọ – lần - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật,

ABa , AD a SAABCD Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB (tham khảo hình vẽ) Góc hai mặt phẳng SAC  SDM 

A 45 B 60 C 30 D. 90

Lời giải Chọn D

N H A

D C

B M

S

Gọi N ACDM Ta có 2

AM AD

BC  AB  , hai tam giác ABC DAM đồng dạng, suy AMNMAN90 Vậy ACDM DM SAC mà DM SDM nên góc hai mặt phẳng SAC  SDM 90 

S

A

B

C D

Câu 41: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân ,A AB AAa (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang góc đường thẳng BC mặt phẳng ABB A  

A.

2 B

6

3 C D

3

Lời giải Chọn A

ABC

 vuông cân A AB AC a ABA

 vuông A A B a Ta có C A A B

C A AA

    



  

  

C A  ABB A 

 

BA

 hình chiếu BC lên mặt phẳng ABB A  

 

BC; ABB A   BC BA; 

 

A BC 

 vuông A tan ABC A C A B    

 



a a



2 

Câu 42: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a tâm ,O SO (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ a

O đến mặt phẳng SCD 

A

5 a

B.

2 a

C

3 a

D 3a

Lời giải Chọn B

Cách 1:

A C

B

A C

B

S

A

B C

Gọi I trung điểm CD Trong mặt phẳng SOI, kẻ OH SI H Ta có: CD OI

CD SO

  



  

CD SOI

  CDOH

Mà OH SI OH SCD Suy d O SCD ; OH

Ta có ,

2

OI  BCa SO a  SOI vuông cân O

2

a

OH SI

  

Vậy  ; 

a

d O SCD 

Cách 2: Vì tứ diện SOCD có OA , OB , OC đơi vng góc nên

2 2 2 2

1 1 1 1

2

OH OS OC OC  a  a  a  a

a OH

 

Câu 43: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSC tam giác ABC vng C Gọi H hình chiếu vng góc S lên mpABC Khẳng định sau khẳng định đúng? 

A. H trung điểm cạnh AB B H trọng tâm tam giác ABC

C H trực tâm tam giác ABC D H trung điểm cạnh AC

Lời giải Chọn A

H

A B

C S

Vì SASBSC suy HAHBHC H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà ABC tam giác vuông C suy H trung điểm cạnh huyền AB

A

5 a

d  B

2 a

d  C

3 a

d  D.

5 a d 

Lời giải Chọn D

Vẽ AH vng góc A B H Ta có BCA AB BCAH AH A BC 

 

 , 

dd A A BC d A IBC ,  AH

2

AA AB A A AB

 

  2

2

a a

a a





2 a 

Câu 45: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần - năm 2017 – 2018) Khối chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Có mặt phẳng cách điểm S , A , B , C , D ?

A. B 11 C 9 D 3

Lời giải Chọn A

Có mặt phẳng cách ABCDEF điểm S , A , B , C , D :  Mặt phẳng qua trung điểm cạnh bên: có mặt

 Mặt phẳng qua tâm O song song với mặt bên: có mặt

Câu 46: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng SAB  SAC vng góc với đáy  ABCD  SA2a Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng SAD 

A

5 B

2

5 C.

1

2 D 1

Ta có:

   

   

   

SAB ABCD

SAC ABCD

SAB SAC SA

 



 



 



 

SA ABCD

 

Mà

AB AD

AB SA

AD SA A

  

 

  



 

AB SAD

 

 



cos SB SAD, cos BSA

2

SA

SA AB





2 

Câu 47: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho khối chóp S ABCD có

 

SA ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh , biết SA  Khoảng cách hai 3 đường thẳng SB AD

A 4

5 B.

12

5 C

6

5 D 4

Lời giải Chọn B

Kẻ AHSB

Ta có AD SA AD SAB

AD AB

 

 

  

suy ADAH

Vậy  

2

2

12

,

5 SA AB

d SB AD AH

SA AB

  

Câu 48: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai mặt phẳng a

SAB  SCD bằng? 

A. 60 B 45 C. 30 D. 90

Lời giải

Chọn B

Ta có    

//

CD SAD

Sx SAD

CD Sx   

 

  

Sx SA

Sx SD

   

 

SAB  SCDSx//AB CD//

   

 SAB , SCD  ASD 

  

Tam giác SAD vng A có SA ADa  SAD vng cân A45

Câu 49: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh

a (tham khảo hình vẽ bên dưới) Khoảng cách hai đường thẳng AC BB bằng?

A.

3 a

B.

5 a

C.

5 a

D

2 a

Lời giải

Chọn D

A A

B

C

C B

S

A

B C

D

A A

B

C

C B

M

S

A

B C

D x

Gọi M trung điểm AC , ta có BM AC

BM BB

  

  

Vậy d AC BB ,   BM a



Câu 50: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Dựng mặt phẳng  P cách năm điểm A , B , C , D S Hỏi có tất mặt phẳng  P vậy?

A 4 mặt phẳng B 2 mặt phẳng C 1 mặt phẳng D. mặt phẳng

Lời giải Chọn D

Vì điểm S , A , B , C , D không đồng phẳng nên không xảy trường hợp điểm nằm phía  P

 Trường hợp 1: bốn điểm nằm phía  P Vì có điểm A , B , C , D đồng phẳng nên trường hợp  P mặt phẳng qua trung điểm SA , SB , SC và SD

 Trường hợp 2: hai điểm nằm phía  P

Nếu ,A B nằm phía  P  P mặt phẳng qua trung điểm , , ,

SA SB AD BC

Nếu ,A D nằm phía  P  P mặt phẳng qua trung điểm , , ,

SA SD AB DC

Nếu ,B C nằm phía  P  P mặt phẳng qua trung điểm , , ,

SC SB AB DC

Nếu ,C D nằm phía  P  P mặt phẳng qua trung điểm

, , ,

SC SD AD BC

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán

A Đoạn thẳng MN đường vng góc chung AB SC ( M N trung điểm AB SC )

B Góc cạnh bên mặt đáy

C Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trọng tâm tam giác ABC 

D SA vng góc với BC

Câu 52: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai đường thẳng A C  BD

A 60 B 30 C 45 D 90

Câu 53: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho hình tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên b ab Phát biểu sai?

A. Đoạn thẳng MN đường vng góc chung AB SC ( M N trung điểm AB SC )

B Góc cạnh bên mặt đáy

C Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trọng tâm tam giác ABC 

D SA vuông góc với BC

Lời giải Chọn A

SAG  SBG SCG Suy góc cạnh bên đáy

SA SB SC

AB AC BC

 

 

 



, suy hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trọng  tâm tam giác ABC

 

BC SAI BCSA

Câu 54: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc giữa hai đường thẳng A C  BD

A 60 B 30 C 45 D. 90

Ta có: A C BD ; AC BD; 90

Câu 55: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ

ABC A B C   có tất cạnh a (tham khảo hình bên) Gọi M trung điểm cạnh BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B C

A a B

2 a

C a D.

4 a

Lời giải Chọn D

A'

A

C'

C B'

B

M H

 Gọi H hình chiếu vng góc M B C '  1 Ta có AM BCC B AM MH  2

Từ  1  2 MH đoạn vng góc chung AM B C

 BCC B  hình vng  45 sin 45 2

2

a a

MCH MH MC

       

Câu 56: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a , SAa 2, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABCD Tang  của góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 

A C

B

A C

A 3 B 1

3 C.

1

2 D

Lời giải Chọn C

Ta có AC hình chiếu vng góc SC lên ABCD nên góc SC mặt phẳng  ABCD góc  SCA



tan

2

2

SA a

SCA

AC a

  

Câu 57: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD Góc giữa hai đường thẳng AB CD

A. 90 B 45 C 30 D 60

Lời giải Chọn A

N M

D

C B

A

Gọi M N trung điểm AB CD

Tứ diện ABCD tứ diện nên BCD và ACD tam nên trung tuyến AN , BN đồng thời đường cao AN CD CD ABN CD AB AB CD,  90

BN CD

 

       

 

Câu 58: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S ABC có

 

A 60 B. 45 C 135 D 90 Lời giải

Chọn B

Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC góc  SCA Tam giác SAC vng cân A nên góc SCA 45

Câu 59: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ đỉnh

S đến mặt phẳng ABCD 

A a B.

2 a

C

2 a

C a

Lời giải

Chọn B

a O

B A

D C

S

Trong ABCD gọi O giao điểm AC BD Ta có:  SOABCD

 

 , 

d S ABCD SO

 

Ta lại có: OB hình chiếu SB lên mặt phẳng ABCD 

 

SB ABCD,  SB OB,  SBO 60

    

Xét SOB vng O , ta có: tan 2.tan 60

2

a a

SOOB SBO  

Vậy  ,  a

d S ABCD 

Câu 60: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018)Cho tứ diện ABCD có DADBDC AC ABa, ABC 45 Tính góc hai đường thẳng AB DC

A. 60 B 120 C 90 D 30

Lời giải

Chọn A

Ta có tam giác ABC vng cân A , tam giác BDC vuông cân D Ta có  AB CD       DBDA CD DB CD DA CD

A

S

   

cos , cos ,

2

DB CD DB CD DA CD DA CD a

           

Mặt khác ta lại có cos  cos , 

2 AB CD

AB CD AB CD AB CD AB CD

AB CD

    

         

  AB DC,  120 AB CD,  60

       

Câu 61: (THPT Thuận Thành – Bắc Ninh - Lần năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SC AD (tham khảo hình vẽ)

Góc MN mặt đáy ABCD 

A 90 B. 30 C 45 D 60

Lời giải Chọn B

P H

M

N D

A

B C

S

Gọi H trung điểm AB SH ABCD a SH 

Gọi P trung điểm CH MP//SH MPABCD, suy góc MN với mặt đáy

ABCD góc  MNP (do  90MPN  )

Ta có

2

a

MP SH  ,

2

a a

AH CD a

PN

 

  



3 tan

3 3

4 a MP MNP

a PN

    MNP 30 

M N S

A

B C

Câu 62: (THPT Thuận Thành – Bắc Ninh - Lần năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân B , AB2a Biết SA vng góc với đáy ABC (Hình tham khảo)  Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC 

A 2a B 3

2

a

C. 2a D

2 a

Lời giải Chọn C

Ta có: AC2 2a Gọi M trung điểm AC Ta có: BM AC

BM SA

  



  

BM SAC

   , 

2

AC

d B SAC BM a

   

Câu 63: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa, ADa 3 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA2a Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng SBD 

A. 57 19 a

d  B

5 a

d  C

2 a

d  D 57

19 a

Lời giải Chọn A

I K

H

C

A D

B

S S

A

B

C

S

A

B

Gọi H hình chiếu cúa A lên BD

Gọi K hình chiếu A lên SH Suy AKSBD K nên d A SBD , AK Tam giác ABD vng A có AH BD

 2

2 2

1 1 1

3

AH AB AD a a

    

4 a AH

 

2 a AH

 

Tam giác SAH vng A có AKSH

 2

2 2

1 1 1 19

12

2 3

2

AK SA AH a a a

            2 12 19 a AK

  57

19 a AK

 

Gọi I ACBD  I ACSBD   

 

 

, ,

d A SBD IA

IC d C SBD

  Mà ABCD hình chữ nhật

nên I trung điểm AC nên IA

IC  nên      

2 57

, ,

19 a

d C SBD d A SBD 

Câu 64: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai mặt phẳng SCD  ABCD 

C

D

B

A S

A Góc SDA B. Góc SCA C. Góc SCB D. Góc ASD

Lời giải

Chọn A

Ta có  

       

 ,

CD SAD

ABCD SCD SDA

ABCD SCD CD

         

Câu 65: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD Biết góc SC mặt phẳng ABCD 60 Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD

A. 10

5 a

B. a C. a D 42

7 a

Lời giải

Ta có AB//SCD nên hd B SCD , d A SCD ,  AH

Vì CDSADSCD  SAD theo giao tuyến SD , dựng AHSDAH SCD Theo đề góc SC mặt phẳng ABCD 60 nên SCA 60

Ta có: tan 60 SA SA a AC

   

Và 2 12 2 42

7 a AH

AH  SA  AD  

Câu 66: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần – năm 2017 – 2018) Cho tứ diện S ABC có đáy ABC là tam giác vng B SA vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M , N hình  chiếu vng góc A cạnh SB SC Khẳng định sau sai ?

A. AM SC B. AM MN C ANSB D. SABC

Lời giải

Chọn C

N M

C

B A

S

Ta có: SAABCSABC mà BC ABBCSAB, AM SABBCAM Vậy AM SB AM SBC

AM BC

 

 

  

AM SC

   Đáp án A

Vì  

 

AM SBC

AM MN

MN SBC

 



 

   

 Đáp án B

 

Câu 67: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có

SA a, AB3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 

A

2 a

B. a C

2 a

D

2 a

Lời giải Chọn B

Gọi O trọng tâm tam giác ABC SOABCd S ;ABCSO

Ta có: 2 3

3

a

AO AI   a

 

; 2  2  2

2

SO SA AO  a  a  a Vậy: d S ;ABC a

Câu 68: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD Gọi  góc đường thẳng AB mặt phẳng BCD Tính cos 

B D

C A

A. cos 0 B. cos

 C cos

3

 D. cos

3



Lời giải

H M

B D

C A

Gọi M trung điểm CD Ta có AB

BM 

Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng BCD H BM

3

BH  BM

3 AB



Góc đường thẳng AB mặt phẳng BCD  ABM

Ta có coscos ABM BH AB 

3 AB

AB



3 

Câu 69: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, ADa 3 Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  A BD 

C'

D'

B'

O

D A

B C

A'

A.

3 a

B.

4 a

C

2 a

D.

6 a

Lời giải

C'

D'

B'

O

D

C B

A

A'

H

Ta có: d B ,A BD d A ,A BD  Gọi H hình chiếu A lên BD Ta có: AHA BD d A A BD ,  AH

Mà: 2 12 12 12 12

3

a AH

AH  AB  AD  a  a   Vậy    ,

Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh

a tính khoảng cách hai đường thẳng CC BD

A.

2

a

B.

3 a

C a D. a

Lời giải

Chọn C

O C'

D' B'

C B

D A

A'

Ta có ABCD A B C D OC BD

OC CC

       

  

 OC khoảng cách hai đường thẳng CC BD

Mà ABCD hình vng có cạnh a 2AC 2aOCa

Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng năm 2017 – 2018) Cho tứ diện SABC có góc phẳng đỉnh S vng Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng ABC 

A trực tâm tam giác ABC B. trọng tâm tam giác ABC

C. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải

Chọn A

I H

C

B S

A

Ta có: SA SB SA SBC

SA SC

 

 



 

 

BC SA

BC SAH

BC SH

 

 



  BC AH  1

Tương tự, ta có: SC SA SC SAB

SC SB

 

 



 

 

AB SC

AB SCH

AB SH

 

 



  ABCH  2

Câu 3: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác

S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD

A. 90 B 60 C 45 D 75

Lời giải Chọn A

Gọi I trung điểm SA IMNC hình bình hành nên MN // IC

Ta có BDSACBDIC mà MN // ICBDMN nên góc hai đường thẳng MN BD 90

Cách khác: dùng hệ trục tọa độ lớp 12, tính tích vơ hướng BD MN  

Câu 4: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Mệnh đề sau đúng?

A. Tứ diện có mặt tam giác nhọn B. Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn

C. Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D. Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn

Lời giải

Chọn A

Chọn tứ diện vng: có ba mặt tam giác vuông; mặt tam giác nhọn

Câu 5: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt đáy 60( tham khảo hình vẽ bên) Cosin góc mặt bên mặt đáy hình chóp

A.

3 B.

1

13 C.

1

2 D.

2 13

Lời giải

Chọn C

Góc cạnh bên SA mặt đáy ABC  600

 

60 

SAO  SOOA.tan 600 3

a a

Góc mặt bên SBC mặt đáy  ABC  SMO

Ta có cosSMOOM

SM  2



OM

SO OM

2 13          a a a

Câu 6: (SGD Hà Tĩnh – Lần năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 0; 0; 3

A  , B2; 0; 1  mặt phẳng  P : 3x8y7z  Điểm C a b c điểm nằm  ; ;  mặt phẳng  P , có hồnh độ dương để tam giác ABC Tính a b 3c

A. 7 B. 9 C 5 D. 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi I trung điểm AB I1; 0; 2 .ACa b c; ; 3, AB 2; 0; 2, ICa1; ;b c2

Ta có:   C P IC AB AC AB                

 2 2

3

2 2

3

a b c

a c

a b c

                       2 2

1

2 a b c a a a a                            

Giải  1 ta

    2 a N a L       

Với a2b  , c   3 Vậy a b 3c 

Câu 7: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD Biết

3 a

SA  Góc SC ABCD là:

A 45 B 30 C 75 D 60

a

a

a

A D

B C

S

Ta có: SAABCD

Do AC hình chiếu SC lên ABCD 

 

SC ABCD, 

 SC AC,  SCA

Xét tam giác SAC vuông A có 

6 3

tan

3 a SA SCA

AC a

  

 30

SCA

  

Vậy góc SC ABCD 30 

Câu 8: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA Gọi a M trung điểm của SB Góc AM BD

A. 45 B. 30 C. 90 D. 60

Lời giải

Chọn D

N

M

D A

B C

S

Gọi N trung điểm SD ta có MN // BDAM BD,   AM MN,  Theo giả thiết ta có

2

a

AM  SB ;

2

a

AN  SD ;

2

a

MN BD  AMN

đều AMN 60 Vậy AM BD ,  60

Câu 9: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có

 

A

5 B.

3

2 C. D.

1

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi M trung điểm AB CM  ABCM SAB

Ta có SM hình chiếu SC SABSC SAC, SC SM, MSC

Ta có

2 a

MC  , SM  SA2AM2 a

 Vậy tanMSC MC SM



5

 -

Câu 10: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên) Cơsin góc hai đường thẳng AB DM bằng

A

6 B.

3

3 C.

3

2 D.

1 2

Hướng dẫn giải Chọn A

Kẻ MN AB , suy MN đường trung bình ABC//  Suy

2 AB

Suy ra: AB DM, MN DM, DMN Gọi tứ diện ABCD có cạnh a

2 a

MN  ,

2 a DNDM 

2 2 3

cos

2

MN DM DN

MN DM

  

  

Câu 11: (SGD Bắc Ninh – Lần - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASB2a, ABa Gọi  góc hai véc tơ CD AS Tính cos?

A. cos

8

   B cos

4

  C. cos

8

  D. cos

4   Lời giải

Chọn B

Ta có  2

SB  ASAB  

2 2

2

SB AS AS AB AB

    

AS CD

   AS BA   AS AB 

2 2

2

SB SA AB

2 a  

Vậy cos cosCD AS ,  CD AS CD AS 

  2

a a a 



4  

Câu 12: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác

ABCA B C   có đáy ABC tam giác cân ABACa, BAC  120, cạnh bên AA a Tính góc hai đường thẳng AB BC

A. 90 B 30 C. 45 D. 60

Lời giải

Trong ABC: kẻ AD cho ACBD hình bình hành Ta có: BC//AD Nên AB BC;   AB AD; B AD

Ta có ADBCa 3, AB AB2AB2 a 3, DB BB2AC2 a Vậy tam giác B AD nên B AD 60

Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vng cạnh a có SAABCD SAa Gọi M trung điểm SB Tính tan góc đường thẳng DM ABCD

A.

5 B.

2

5 C.

2

5 D

10

Lời giải

Chọn D

N M

C A

D

B

S

Gọi N trung điểm AB

Ta có: MN đường trung bình SAB nên MN SA//

2

a

MN  SA

Lại có: SAABCD Do MNABCD  1 Suy MNDN

A

C B

D

A

Ta có: N hình chiếu vng góc M lên ABCD (do  1 ) D hình chiếu vng góc D lên ABCD

Suy DM;ABCDDM ND; MDN ( MDN nhọn MND vng N) Ta có: DN AD2AN2

2 a



Xét MND vng N, có: tan MDN MN

DN

 10

5  Vậy tan ;  10

5

DM ABCD 

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD, ABCD hình thang vng có

đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao ABBCa Biết SAa 3, khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC

A a 10 B 2a C 2

5

a

D 10

5

a

Câu 15: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a 0 Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC

A.

2 a

B

3 a

C.

3

a

D.

3 a

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a  Khi khoảng cách từ đỉnh A đến 0

 

mp BCD A

3 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD, ABCD hình thang vng có

đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao ABBCa Biết SAa 3, khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC

A a 10 B 2a C 2

5

a

D 10

5

a

Lời giải

Ta có: BC AB BC SB BC SA        SBC

  vuông B Trong SBC dựng đường cao BH d B SC ; BH

2

SB a; 2 12 12

BH  SB BC 2

5

BS BC a

BH

BS BC

  



Câu 18: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a 0 Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC

A.

2 a

B

3 a

C.

3

a

D.

3 a Lời giải Chọn B Cách 1:

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ 0; 0; 0

B , A a ; 0;0, B0;0;a, C0; ;a a Ta có: AB  a; 0; 0

 ; 0;  AB  a a 

 AB có VTCP u  1  1; 0;1 0; ; 

BC  a a 

BC

 có VTCP u 2 0;1;1

 

1, 1;1;

u u

    

 

 

Suy ra:  

1

, 3

,

3 ,

u u AB a a

d AB BC

u u                   Cách 2:

Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mặt phẳng ACC A , kẻ CH C O H , mà CH BD (do BDACC A ) nên CH C BD d C C BD ;  CH

Ta có: AB//C BD d AB BC , d AB ,C BD d A C BD ,  d C C BD ,  CH

Xét  C CO vuông C , đường cao CH :

2 2

1 1 3

3 a CH

CH CO CC a  

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a  Khi khoảng cách từ đỉnh A đến 0

 

mp BCD A

3 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Lời giải

Gọi O trọng tâm tam giác BCD  AOBCDd A BCD ;  AO Gọi I trung điểm CD

Ta có:

3

a

BO BI  , 2

3 a

AO AB BO 

Vậy  ;  a

d A BCD 

Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi O trung điểm của A C  Tính tan với 

là góc tạo BO mặt phẳng ABCD

A B. C D

2

Lời giải Chọn B

Đặt cạnh hình lập phương a

Ta có BO,ABCDBO,A B C D    Ta có O B  hình chiếu BO A B C D   

 



BO, ABCD 

 BO B O,  BO B , tan BB O B

 

 

2 a a

 

A

2 a

B

3 a

C 2

3 a

D.

4 a

Câu 22: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,  120ABC   ,

AA  a Tính khoảng cách hai đường thẳng A C BB

A

2 a

B a C.

2 a

D

3 a

Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu S mặt phẳng ABC trùng với trung điểm BC Cho SA  hợp với đáy góc a 30 o Khoảng cách hai đường thẳng SA BC

A

2 a

B

3 a

C 2

3 a

D.

4 a

Lời giải Chọn D

I

B A

C S

H

Nhận xét: SA BC hai đường thẳng chéo Kẻ IH SA với HSA (1)

 

BC AI

BC SAI

BC SI  

 

  

BC IH

  (2)

Từ (1) (2) IH đoạn vng góc hai đường thẳng SA BC chéo

   o 3

, sin s in30

2 2

a a a

d SA BC IH IA SAI

     

Câu 24: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 120 ,

AA  a Tính khoảng cách hai đường thẳng A C BB

A

2 a

B a C.

2 a

D

3 a

O

C

A O

C' D'

A'

C B

A D D

B B'

Ta có A AC  mặt phẳng chứa A C song song với BB

 ,  ( , ( ))

d BB A C  d B AA C

 

Gọi O tâm hình thoi ABCD BOAC

Do ABCD A B C D     hình hộp đứng nên AAABCDAABO

BO AC

BO AA

  

 

  

BO AA C

  d B AA C( , (  ))BO Hình thoi ABCD có ABC 120

ABC

 tam giác

BD AB a

  

2 a BO

 

Vậy  ,  ( , ( ))

2 a d BB A C  d B AA C BO

Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi AE , AF đường cao tam giác SAB SAD Mệnh đề  sau đúng?

A.SCAED B.SCACE C. SCAFB D SCAEF Câu 26: Trong không gian Oxyz , Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O

Biết B m ; 0; 0, D0; ; 0m , A0; 0;n với m , n số dương mn Gọi M là trung điểm cạnh CC Thể tích lớn khối tứ diện BDA M

A. 245

108 B.

9

4 C

64

27 D.

75 32 Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình vng, cạnh bên cạnh đáy

bằng a Gọi M trung điểm SC Góc hai mặt phẳng MBD  ABCD 

A 90 B. 30 C 45 D 60

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng ABCD

Gọi AE, AF đường cao tam giác SAB SAD Mệnh đề sau đúng?

Lời giải Chọn D

F

C B

A

D S

E

Ta có BC AB BC SAB

BC SA

 

 

  

BC AE

  (1)

Mặt khác ta có AESB (2)

Từ (1) (2) ta có AESBC AESC(*)

Chứng minh tương tự ta có AFSDC AFSC (**) Từ (*) (**) ta có SCAEF

Câu 29: Trong không gian Oxyz , Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có A trùng với gốc tọa độ O Biết B m ; 0; 0, D0; ; 0m , A0; 0;n với m , n số dương mn Gọi M là trung điểm cạnh CC Thể tích lớn khối tứ diện BDA M

A. 245

108 B.

9

4 C

64

27 D.

75 32

Lời giải

Chọn C

Ta có: A0; 0; 0, B m ; 0; 0, D0; ; 0m , A0; 0;n suy C m m ; ; 0, B m ; 0;n,  ; ; 

C m m n , D0; ;m n, ; ; n M m m 

 

 ; ; 0 BD m m 

, BA   m; 0;n, 0; ; n BM   m 

 



1

,

6

BDA M

V   BD BA  BM 2. m n

 2 4 

4 m m

  2 

8 m m m

 

3

1

8

m m   m

 

  

 

64 27 

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình vng, cạnh bên cạnh đáy bằng a Gọi M trung điểm SC Góc hai mặt phẳng MBD  ABCD 

A 90 B. 30 C 45 D 60 Lời giải

Chọn C

Gọi O tâm hình vng ABCD, Ta có:

BD SO

BD AC

  



  

BD SOC

  BDOM

MBD ABCD BD

BD OM

BD OC

 

 

 

 



  

 MBD , ABCD 

 OM OC, MOC

OM MC SC 

2 a

  MOC cân M; 2 a

OC 

 

cosMOCcosMCO OC SC 

2 a

a



2

 MOC45

Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABCD , góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD 60 Khoảng cách  giữa hai đường thẳng SC AD bằng:

A.

2 a

B. 2a C.

2 a

D.

2 a

Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABCD , góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD 60 Khoảng cách  giữa hai đường thẳng SC AD bằng:

A

2 a

B 2a C

2 a

D

2 a

Lời giải

Chọn D

60

A

D C

B S

H

Ta có: SB ABCD; SB AB; SAB60 SA AB.tan 60 a SBC mặt phẳng chứa SC song song với AD nên: 

 ;   ;   ; 

d SC AD d AD SBC d A SBC

Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB H hình chiếu vng góc A lên SBC nên  d A SBC ;  AH

Xét tam giác SAB vuông A ta có: 2 12 12 a AH

AH  AB  AS  

 ; 

2 a

d SC AD AH

  

B D C

A

A. Góc AD ABC góc  ADB B. Góc CD ABD góc  CDB

C. Góc AC BCD góc  ACB D. Góc AC ABD góc  CAB Câu 34: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA , BC , BD vng góc với đơi (như hình vẽ

bên dưới) Khẳng định sau sai?

B D

C A

A Góc AD ABC góc  ADB B. Góc CD ABD góc  CDB

C. Góc AC BCD góc  ACB D. Góc AC ABD góc  CAB

Lời giải

Chọn A

Ta có CBABD nên góc CD ABD góc  CDB , góc AC ABD góc  

CAB

Ta lại có ABBCD nên góc AC BCD góc  ACB Câu 35: Cho hình chóp S ABCD có đáy 0;5 hình chữ nhật, 

cạnh ABa, AD 3a Cạnh bên SAa vng góc mặt phẳng đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC 

A 75 B 60 C 45 D 30

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SAa 5, mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD SC

A 2

5 a

B 4

5 a

C 15

5 a

D 2 15

5 a

Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có đáy 0;5 hình chữ nhật, cạnh AB a, AD 3a Cạnh bên

SAa vng góc mặt phẳng đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC 

S

B

A D

A 75 B 60 C 45 D. 30

Lời giải Chọn D

D

B

A

C S

H

Kẻ BH AC HAC BHSAC

SH hình chiếu BH mặt phẳng SAC Góc SB mặt phẳng SAC BSH

Ta có

2

2

AB BC a

BH

AB BC

 



, 2

3 SB SA AB a

Trong tam giác vng SBH ta có sin BH BSH

SB

  BSH 30

Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh bên SAa 5, mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD SC

A 2

5 a

B.

5 a

C 15

5 a

D 2 15

5 a

Lời giải Chọn B

C B

A D

S S

B C

D A

S

B

A D

H

C B

A D

S

K

Gọi H trung điểm cạnh AB

Do tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên

 

SH ABCD

Theo giả thiết ta có AB2aAH a Mà ta lại có SAa nên 2

2 SH SA AH  a Ta có AD//BCAD//SBC

 ,   , 

d AD SC d AD SBC

  d A SBC , 2d H SBC , 

Do mặt phẳng SBC  SAB nên từ H kẻ HK SB HKd H SBC , 

Ta có

5

SH HB a a a

HK

SB a

  

Vậy  , 

5 a

d AD SC  HK 

Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AA B C

A 15 a

B a C

2 a

D a

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AA B C

A 15 a

B a C.

2 a

D a

C'

B'

I

A C

A'

B

AA song song với mặt phẳng BB C C    ,   ,  a d AA B C  d A BB C C   AI

Câu 41: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ABC  là trung điểm cạnh BC Biết SBC đều, tính góc SA ABC 

A 60 B 45 C 90 D 30

Câu 42: Đáy hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C    tam giác cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng AA BC

A 2 B 1 C 4 D 3

Câu 43: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ABC  là trung điểm cạnh BC Biết SBC đều, tính góc SA ABC 

A 60 B. 45 C 90 D 30

Lời giải Chọn B

M C

B

A S

Gọi M trung điểm BC Khi góc SA ABC góc SA MA  Tam giác SAM vuông M có

2 a

Câu 44: Đáy hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C    tam giác cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng AA BC

A. B 1 C 4 D 3

Lời giải Chọn A

M

C A

C' A'

B'

B

Gọi M trung điểm BC Khi AM AA A , AM BC M Do AM đoạn vng góc chung AA BC ,

suy d AA BC ,  AM 3

 

Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD mặt bên SCD hợp

với mặt đáy ABCD góc 60 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

A.

3 a

B.

3 a

C.

2 a

D

2 a

Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD mặt bên SCD hợp

với mặt đáy ABCD góc 60 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

A.

3 a

B.

3 a

C.

2 a

D

2 a

Lời giải

Ta có góc SCD mặt đáy góc  SDA 60

Kẻ AHSD, CDSADCD AH AHSCD

nên  ,  sin 60

2 a

d A SCD  AH AD  

Câu 47: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Góc đường thẳng SA

và mặt phẳng ABCD bằng:

A , với cot B 30 C 60 D 45

Câu 48: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai mặt phẳng ABC A BD  bằng:

A 30 B 90 C 45 D. 60

Câu 49: Cho hình chóp tứ giác AS BCD có tất cạnh a Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABCD bằng: 

A , với cot B 30 C 60 D 45 Lời giải

Chọn D

Ta có : cos

2 AO SAO

SA

 

Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng ABCD 45 

Câu 50: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai mặt phẳng ABC A BD  bằng:

A. 30 B. 90 C. 45 D 60

Chọn D

J

D'

C' B'

A'

D

C B

A

I

Gọi I , J trung điểm A B BC Khi B I A BD , B J ABC nên góc mặt phẳng ABC  A BD  góc B I  B J

Tam giác B IJ có ba cạnh 2 AB

Do IB J 60

Câu 51: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AC B C  ,  góc đường thẳng MN mặt phẳng A B C D    Giá trị sin  bằng:

A 1

2 B.

2

5 C

2

2 D

5

Câu 52: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC), ABC vng A Góc hai đường thẳng AB SC bằng:

A

4 

B 3

4 

C

3 

D.

2 

Câu 53: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AC B C  ,  góc đường thẳng MN mặt phẳng A B C D    Giá trị sin  bằng:

A.

2 B

2

5 C.

2

2 D.

5

N M' M

A'

D'

B' C'

C B

D A

Gọi M  trung điểm cạnh A C  ,ta có MMA B C D    nên hình chiếu vng góc MN lên mặt phẳng A B C D    M N 

 MNM

  ,

2 a MN 

' sin

5 MM

MN 

  

Câu 54: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC , ABC)  vng A Góc hai đường thẳng AB SC bằng:

A.

4 

B.

4 

C.

3 

D

2 

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1:

.( )

AB SCAB ACAS  AB ACAB AS        

cos( , )

AB SC AB SC

AB SC

 

 

 , 

2

AB SC 

 

Cách 2:

Ta có ABSA ABAC

 

AB SAC

Câu 55: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy , độ dài đường chéo mặt bên 1 1 1 Số đo góc hai mặt phẳng A BC 1 

A. 30 B 90 C 45 D 60

Câu 56: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA  , 2 SB  , 6 SC  Độ dài cạnh 9 SD

A 5 B 8 C. D 11

Câu 57: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy , độ dài đường chéo mặt bên 1 1 1 Số đo góc hai mặt phẳng A BC1  ABC

A 30 B. 90 C. 45 D. 60

Hướng dẫn giải Chọn A

C1

B1 A1

H A

B

C

Gọi H trung điểm BC , tam giác ABC nên AH BC ta có  1

BC AHA A BC1  , ABCAH A H, 1 AHA1 Xét tam giác vng A AB có 1 AA12 A B1 2AB2   

Mặt khác AH đường cao tam giác ABC cạnh AB 2 nên AH  Xét tam giác vng AA H có 1 

1

1 tan

3 AA AHA

AH

  AHA130

  

 A BC1 , ABC  30

  

Câu 58: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA  , 2 SB  , 6 SC  Độ dài cạnh 9 SD

A. B. C 7 D. 11

Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD

Ta có  

2 2

2

4

SA SC AC

SO

 

  

2 2

2

4

SB SD BD 

Mà BDACSA2SC2 SB2SD2SD249SD

Câu 59: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 60 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC 

A

2 a

B

4 a

C 3

2 a

D 3

4 a

Câu 60: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 60 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC 

A

2 a

B

4 a

C 3

2 a

D.

4 a

Lời giải Chọn D

Gọi: O trọng tâm tam giác ABC  SOABC I trung điểm BC

Ta có: BC OI BC SOI

BC SO

 

 

  

SBC , ABCSIO60 Dựng OH SI H SIOH SBCd O SBC ; OH Tam giác OHI vng H có sin 60 3

6

a a

Vì AI 3OI  ;   ;  3

a

d A SBC d O SBC OH

   

Câu 61: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a (tham khảo hình vẽ)

Giá trị sin góc hai mặt phẳng BDA và ABCD 

A

4 B

3

3 C.

6

3 D

3

Câu 62: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh ABa,ADa 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD , góc SC mặt phẳng  ABCD 60  Gọi M trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ABCD 

M

A D

B C

S

A

2 a

B.

2 a

C 2a D a

Câu 63: Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD

A 3

2 a

B a C

2 a

D.

2 a

Giá trị sin góc hai mặt phẳng BDA và ABCD 

A.

4 B.

3

3 C

6

3 D.

3

Hướng dẫn giải Chọn C

O A

D

B C

C' B'

D' A'

Ta thấy góc hai mặt phẳng A BD  ABCD góc  A OA 

2 2

2

6 sin

3

AA AA a

A OA

A O AA AO a

a

 

    

  



Câu 65: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh ABa,ADa 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD , góc SC mặt phẳng  ABCD 60  Gọi M trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ABCD 

M

A D

B C

A.

2 a

B 3

2 a

C. 2a D. a

Hướng dẫn giải Chọn B

H M

A D

B C

S

Vì SAABCD nên góc SC ABCD góc  SCA Do SCA 60

 2

tan tan 60

SAAC SCA AB AD  3a

Trong mặt phẳng SAB dựng đường thẳng qua M song song với SA cắt AB H  Suy MH ABCD Vậy d M ,ABCDMH

2 SA



2 a 

Câu 66: Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD

A.

2 a

B. a C.

2 a

D

2 a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi M ; N trung điểm AB CD

AB DM

AB MN

AB CM

 

 

  

; CD AN CD MN

CD BN

 

 

  

Hay MN đoạn vng góc chung AB CD

Khi đó:  ; 

Câu 67: Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SAABCD; SAa 3 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng: 

A. a 3 B.

2 a

C. 2a D.

4 a

Câu 68: Cho hình lập phươngABCD A B C D     có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng BA C  DA C  là:

A. 90 o B. 60 o C. 30 o D. 45 o

Câu 69: Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SAABCD; SAa 3 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng: 

A. a 3 B

2 a

C. 2a D.

4 a

Lời giải

Chọn B

a a 3

B

A D

C S

H

Ta có: AB//SCDd B SCD , d A SCD ,  Kẻ AH SD  1

CDSA, CD AD CDSAD AH CD AH  2 Từ  1 ,  2 ta có: AHSCDd A SCD ,  AH

Trong tam giác vuông SAD : 2 12 12 AH  SA  AD

2

4 a AH

 

2 a AH

 

Câu 70: Cho hình lập phươngABCD A B C D     có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng BA C  DA C  là:

A. 90 o B o

60 C. 30 o D. 45 o

Lời giải

C

B A

C'

A' B'

D'

D

H

Dễ thấy A DC   A BC , A BC A DC 90o Dựng DH A C  BH  A C

Vậy góc hai mặt phẳng BA C  DA C  góc HD HC,  Xét tam giác DHC có BDa 2,

3

a

DHBH

 2

cos

2

HD HB BD

DHB

HD HB

 



2 2

1

2

HD HB BD

HD HB

  

 

Vậy góc hai mặt phẳng BA C  DA C  60 o

Câu 71: Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác cạnh 1, AA  Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC 

A.

2 B.

15

5 C.

2 15

5 D.

3

Câu 72: Cho lăng trụ ABC A B C    có A ABC tứ diện Biết diện tích tứ giác BCC B 

2a Tính chiều cao hình lăng trụ

A.

6 a

h  B.

3 a

h  C.

4

a

h  D. ha

Câu 73: Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác cạnh 1, AA  Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC 

A

2 B

15

5 C

2 15

5 D

3

Lời giải

Gọi M trung điểm BCAM BC,

Do AAABCAABC suy BCAA M 

Kẻ AH A M AHBC Do AH A BC  hay d A A BC ;   AH

Ta có

2

AM  (đường cao tam giác cạnh 1)

Suy 2 2 2

3 3

AH  AA  AM   

3 15

5 AH

  

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC  15

Câu 74: Cho lăng trụ ABC A B C    có A ABC tứ diện Biết diện tích tứ giác BCC B 

2a Tính chiều cao hình lăng trụ

A

6 a

h  B

3 a

h  C

4

a

h  D ha

Lời giải

Chọn B

I

M C A

A'

B'

C'

B H

Gọi cạnh tam giác ABC x , chiều cao hình lăng trụ h Gọi I giao điểm BC B C

Ta có: A B A C A B A C BBCCBCB C x nên A I B C A I ;  BC

 

A I BCC B 

  tứ giác BCC B  hình vng nên

2

x x a xa Trong tam giác ABC có

2

2 3

4 3

x x x

AM  x   AH AM 

Do đó:

2

2 2

3 3

x x a

hA H  AA AH  x   

Câu 75: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,đường thẳng SA vng góc với phẳng đáy SAa Tính khoảng cách hai đường thẳng SBvà CD

A. 2a B. a C. a D. a

Câu 76: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,đường thẳng SA vng góc với phẳng đáy SAa Tính khoảng cách hai đường thẳng SBvà CD

A. 2a B. a C. a D a

Chọn D

BCCD, BC AB

BC SA

  



  

BC SAB

  BCSBd SB CD ,  BCa

Câu 77: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SAABCD SAa Góc đường thẳng SB với mặt phẳng SAC xấp xỉ 

A. 16 B. 35 C. 14 D. 33

Câu 78: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SBSD Khẳng định sau ?

A. SOABCD B. CDSBD C. ABSAC D. BCSAC Câu 79: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAABCD SAa Góc

đường thẳng SB với mặt phẳng SAC xấp xỉ 

A 16 B. 35 C. 14 D. 33

Lời giải

Chọn A

O A

B C

D S

H

Ta có BO AC BO SAC

BO SA

 

 

  

suy SO hình chiếu SB SAC  Vậy SB, SAC = BSO = φ 

2

2 14

sin

14 a

BO OB

SB AB AS a

    



16 

  

Câu 80: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SBSD Khẳng định sau ?

Lời giải

Chọn A

Ta có SO AC SO ABCD

SO BD       

Câu 81: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh 2a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D 

A a B.

5 a

C 2

3 a

D 4

3 a

Câu 82: Cho hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt đáy 45 Tính sin góc mặt bên mặt đáy

A.

5 B

5

5 C

1

2 D

3

Câu 83: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh 2a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D 

A. a B 2

5 a

C.

3 a

D.

3 a

Hướng dẫn giải Chọn B E K D D' A' A C' B C B' I

Gọi E trung điểm AA Ta có A D / /CKEB

 ,   , 

d CK A D  d A D  CKEB d A CKEB , d A CKEB ,  Hạ AI BE Khi d A CKEB ,  AI

2 AE AB AI AE AB 

 2

2 a a a a  

2

5

a a

a

 

Câu 84: Cho hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt đáy 45 Tính sin góc mặt bên mặt đáy

A 2

5 B.

5

5 C.

1

2 D.

3

Gọi M , G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC Ta có: SA ABC, SAG45 SBC , ABCSMG

Ta có tanSAG SG tan 45 AG

    mà

2

MG AG nên tan

0,5

SG SG

SMG

MG AG

  

Vậy  2 

2

1

sin cos

5 tan

SMG SMG

SMG

    



Câu 85: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa, BC2a, AA 3a Gọi  góc hai mặt phẳng ACD ABCD Giá trị tan

A 6

2 B

3

2 C 3 D

3

Câu 86: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với BCD Biết tam giác BCD vuông C

2 a

AB  , ACa 2, CDa Gọi E trung điểm AD Góc hai đường thẳng

AB CE

A 30 o B 60 o C 45 o D 90 o

Câu 87: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa, BC2a, AA 3a Gọi  góc hai mặt phẳng ACD ABCD Giá trị tan

A.

2 B

3

2 C. D.

3 Lời giải

Chọn B

Vẽ DE AC E ACDD E  ACD E ,

2

DC DA DE

DC DA





2

5

a



S

A

B

Ta có DEAC, ED AC, ABCD  ACDAC

  

 ABCD , ACD 

 DE D E,  DED, tan DD

DE

 

2

5

a a



2



Ghi chú: đề gốc sai sửa đề lại gọi  góc hai mặt phẳng ACD ABCD

thay gọi  góc hai mặt phẳng ABD ABCD

Câu 88: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với BCD Biết tam giác BCD vng C

2 a

AB  ,

2

ACa , CDa Gọi E trung điểm AD Góc hai đường thẳng AB CE

A. 30 o B. 60 o C 45 o D 90 o

Lời giải Chọn C

Ta có BC AC2AB2

2 a

 ,

2

a

BD 

Gọi Mlà trung điểm BDME // AB,

2

a

ME AB ,

2

BD

CM 

4 a  CME

  vng cân M

Ta có AB CE, EM CE, CEM45o

A 1

2 B C D

2

Câu 90: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng AA BD

A 1

2 B C D

2

Hướng dẫn giải Chọn D

 ,   , 

d AA BD d AA BDD B   d A BDD B ,   2 AO

 

( với O trung điểm BD )

Câu 91: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M N P trung điểm cạnh , , , ,

P N

M

B'

C'

D' A'

A D

C B

A.

10 B.

10

5 C

1

10 D.

15 Câu 92: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M N P trung điểm cạnh , ,

, ,

AB AD C D  Tính cosin góc hai đường thẳng MN CP

P N

M

B'

C'

D' A'

A D

C B

A.

10 B.

10

5 C

1

10 D.

15

Lời giải

Chọn C

Gọi Q trung điểm B C  Khi PQ//MN

Ta có MN CP,   PQ CP, CPQ tam giác CPQ cân C a CPCQ Gọi H trung điểm PQ nên CH PQ;

2 a

PQ 

4 a PH

 

Vậy cos 2

4 10

PH a

CPH

CP a

  

A BDSAD B BDSCD

C BDSAC D SBABCD

Câu 94: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh bên cạnh đáy đáy ABCD hình vng (tham khảo hình vẽ)

Khẳng định sau đúng?

A BDSAD B BDSCD C. BDSAC D SBABCD

Lời giải Chọn C

Gọi OACBD Khi hình chóp S ABCD nên SOABCDSOBD Do ACBD BDSAC

Câu 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB2a, ADDC  , cạnh a bên SA vng góc với đáy Tính số đo góc đường thẳng BC mặt phẳng SAC 

A 45 B 60 C 30 D 90

Câu 96: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABa, BC2a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD

A a B a C a D 2a

Câu 97: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Gọi M , N lần lượt trung điểm cạnh AA A B  Tính số đo góc hai đường thẳng MN BD

A 45 B 30

C 60 D 90

Câu 98: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB2a, ADDC  , cạnh a bên SA vng góc với đáy Tính số đo góc đường thẳng BC mặt phẳng SAC 

A 45 B 60 C 30 D. 90

Lời giải Chọn D

S

A

B C

D O

S

A

B C

D O

A D

C B

B C  D N

Ta có: BC SA BC SAC

BC AC

 

 

 

   

BC SAC, 90

  

Câu 99: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABa, BC2a, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD

A a B a C a D. 2a

Lời giải Chọn D

Ta có AD SA AD

AD CD

 

 

 

đoạn vng góc chung AD SA Do d SA CD ,  AD2a

Câu 100: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AA A B  Tính số đo góc hai đường thẳng MN BD

A 45 B 30 C. 60 D 90

Lời giải Chọn C

A

D S

C

B

S

A

B C

D

A D

C B

B C  D N

P M

N

C'

D' A

C

A D

B

B'

Gọi P trung điềm cạnh AD Vì ABCD A B C D     hình lập phương cạnh a nên

ABB D D A a suy 2 a

MN NPPM  MN BD, MN NP, 60 Câu 101: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với

đáy SAa 3 Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC 

A 2

5 a

B a C

2 a

D

2 a

Câu 102: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Góc hai đường thẳng A B AC

A 60 B 30 C 90 D 45

Câu 103: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SAa 3 Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC 

A 2

5 a

B a C

2 a

D.

2 a

Lời giải Chọn D

Ta có BCSABSBC  SAB, vẽ AH SB H AHSBC Ta có AD // BCd D SBC , d A SBC , 

2

SA AB AH

SA AB

 

 2

3

a a

a a





3 a 

Câu 104: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Góc hai đường thẳng A B AC

A 60 B 30 C. 90 D 45

Chọn C

Cách 1: Có AB A B A B AB C A B AC

B C A B   

    

   



   

Vậy góc hai đường thẳng A B AC 90

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , chuẩn hóa a  cho 1 B0; 0; 0, A1; 0; 0, C0;1; 0, 0; 0;1

B , A1; 0;1, C0;1;1

Ta có đường thẳng A B có vtcp u  1; 0;1, AC có vtcp k    1;1;1 Gọi  góc hai đường thẳng A B AC cos

u k u k  

 

   Vậy góc hai đường thẳng A B AC 90

Câu 105: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Tính góc tạo SA CD

A. 30 B. 90 C.120 D 60

Câu 106: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy    a , cạnh bên 2a Tính 

 

AB BC

A.

2     

AB BC a B.

2

 

 

AB BC a C.  AB BC. a2 D.  AB BC.  a2 Câu 107: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAa vng góc với mặt

phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

A

a

B

2

a

C

2

a

D

3 a

Câu 108: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Tính góc tạo SA CD

A. 30 B. 90 C.120 D 60

Lời giải Chọn D

Câu 109: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy    a, cạnh bên 2a Tính 

  AB BC

A.

2     

AB BC a B.

2

 

 

AB BC a C.  AB BC. a2 D.  AB BC.  a2

Lời giải Chọn A

Ta có:  AB BC.   ABBB.BC

.

   AB BCBB BC

 AB BC (vì BB BC nên  BB BC 0)

  BA BC cos 60

 AB BC 

2

 a a

2   a

Câu 110: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAa vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

A

a

B

2

a

C

2

a

D

3 a Lời giải

A D

B C

S

H

Do SAABCDSABC mà ABBCBCSAB

Gọi H hình chiếu A SB Khi BCAH AH SBC Ta có 2 12 12

AH  SA  AB

3 a AH

   , 

2 a d A SBC

 

Câu 111: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a , SAa, SBa 3, SAB  ABCD Gọi M , N lượt lần trung điểm AB AC Tính cơsin góc ,  SM DN

A. cos

 B. cos

4

 C. cos

4

  D.cos

2 

Câu 112: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a , SAa, SBa 3, SAB  ABCD Gọi M , N lượt lần trung điểm AB AC Tính cơsin góc ,  SM DN

A. cos

 B cos

4

 C. cos

4

  D.cos

2  Lời giải Chọn B 2a a a P N M D S A B C H

Gọi P trung điểm AD , H chân đường vng góc hạ từ S xuống AB Theo giả thiết SAB  ABCD nên SH ABCD

Xét tam giác SAB có AB2 SA2SB2 SAB vng S Ta có: MP/ /DN góc giữa SM DN góc SM MP

Xét tam giác SAB có:

SM  ABa

2 SA SB a SH

AB

  2

2 a

AH SA SH

   

Ta lại có:

2

MP BDa Mặt khác: 2

2 a

HP HA AP 

Do đó: SP SH2HP2 a 2 Xét tam giác SHP có 

2 2

cos

2

SM MP SP

SMP

SM MP

 



2 2 2 1 2

4

2 2

 

a a a  

a a

A 2 a c b 

B

2

2

b c

b



C

2

2

c a

b



D

2 2 a b b 

Câu 114: Cho tứ diện ABCD có ABCDa, BCADb, CABDc Giá trị cosBC DA ,  là: A 2 a c b 

B

2

2

b c

b



C

2

2

c a

b



D

2 2 a b b  Lời giải Chọn A b c a c b a D B C A

Tam giác ABD có

2 2

cos

2

AB AD BD

BAD

AB AD

 



2 2

2

a b c

a b

 



Tam giác ACD có

2 2

cos

2

AC AD CD

CAD

AC AD

 



2 2

2

c b a

c b

 



Khi cos ,  BC DA BC DA BC DA       

AC AB DA

BC DA     

AC AD AB AD BC DA

 



   

.cos cos

AC AD CAD AB AD BAD

BC DA

 



2 2 2

2

2

c b a a b c

c b a b

c b a b

b        2 a c b  

Câu 115: Cho hình lập phương ABCD A B C D     (tham khảo hình vẽ bên)

Tang góc đường thẳng BD mặt phẳng ADD A 

A

3 B

6

3 C

2

2 D

2

Cơsin góc hai đường thẳng BM AD A 55

10 B

155

20 C

3

10 D

3 20

Câu 117: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OBOC. Gọi M trung điểm BC, OM a (tham khảo hình vẽ bên)

M O

C

B A

Khoảng cách hai đường thẳng OA BC

A 2a B a C

2 a

D

2 a

Câu 118: Cho hình lập phương ABCD A B C D     (tham khảo hình vẽ bên)

Tang góc đường thẳng BD mặt phẳng ADD A 

A

3 B

6

3 C

2

2 D

2 Lời giải

Chọn C

Dễ thấy BAADD A  nên góc BD mặt phẳng ADD A  AD B Đặt ABaADa Do tanAD B AB

AD  

Câu 119: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên)

Cơsin góc hai đường thẳng BM AD A 55

10 B

155

20 C

3

10 D

3 20

Lời giải

Chọn C

Ta có AD//BC AD BM, BC BM,  Gọi cạnh hình chóp a

2 2

2

2

SB BD SD

BM     

2

2

2 5

2 4

a  a a a

  

2 a BM

 

3 a

CM 



2 2

cos , cos

2

BM BC CM

BC BM

BM BC

  

 

2

2

5

3

4

10

2

2

a a

a a

a

 

 

M O

C

B A

Khoảng cách hai đường thẳng OA BC

A 2a B a C

2 a

D

2 a

Lời giải

Chọn B

Ta có OA OB

OA OC

  



  

OA OBC

  OAOM

Mà OBOC  OBC cân OOM BC Vậy d OA BC , OM a

Câu 121: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

B Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với

C.Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln chứa đường thẳng cố định

D Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

Câu 122: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a , góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 

A

2 a

B

2 a

C a D. a

Câu 123: Một kim tự tháp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m Diện tích xung quanh kim tự tháp là?

A 1100 346 m 2 B. 4400 346 m 2 C 2200 346 m 2 D 2420000 m 3 Câu 124: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

B. Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với

C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln chứa đường thẳng cố định

D. Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

A sai qua đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P có vơ số mặt phẳng khác vng góc với  P

B sai chúng trùng C

D sai dựng hai mặt phẳng câu A (đã nói trên) ta thấy có hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  P

Câu 125: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a , góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 

A.

2 a

B.

2 a

C. a D a

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi G tâm tam giác ABC SGABC, SAG 30 Ta có sinSAG SG

SA



2

SG a

  SGa

Câu 126: Một kim tự tháp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m Diện tích xung quanh kim tự tháp là?

A.1100 346 m 2 B 4400 346 m 2 C. 2200 346 m 2 D. 2420000 m 3

Gọi khối chóp tứ giác S ABCD có O tâm hình vng ABCD , M trung điểm BC , SO 150 m, BC 220 m, OM 110 m, SM  SO2OM2 10 346 m

Diện tích xung quanh kim tự tháp:

xq SBC

S  S 4.1

2SM BC SM BC

Câu 1: (THPT Chun Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SO vng góc với mặt phẳng ABCD  SOa Khoảng cách SC AB

A

15 a

B

5 a

C 2

15 a

D.

5 a

Lời giải

Chọn D

Gọi M N trung điểm cạnh, AB CD ; , H hình chiếu vng góc O

SN

Vì AB CD nên// d AB ,SCd AB SCD , ( )d M SCD , ( )2d O SCD , ( ) (vì O trung điểm đoạn MN )

Ta có CD SO CD (SON) CD OH

CD ON

 

   

  

Khi CD OH OH (SCD) d O SCD ; ( ) OH

OH SN

 

   

  

Tam giác SON vuông O nên 12 12 12 12 12 52

5

a OH a

OH ON OS  a  a  

Vậy  ,SC 2

5 a

d AB  OH 

Câu 2: (THPT Chun Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng 

BI SD (Số đo góc làm trịn đến hàng đơn vị)

A 48  B. 51  C 42  D 39 

Lời giải

Chọn B

Cách Giả sử hình vng ABCD cạnh a , SD SAB, 45 SAADa

Xét khơng gian tọa độ Oxyz đó: O A, Ox AB Oy, AD Oz,  AS Khi ta có:  ; 0; 0

B a , ; ; a I a 

 

, D0; ; 0a , S0; 0;a  Suy ; ;

2 a

IB a 

 



, SD0;a a;  

S

B

A D

C O

M N

Mặt khác:  

2

2

2 2

cos ,

a IB SD

a

a a a



 

  2

10

 IB SD, 51

Cách Gọi K trung điểm AB

Giả sử hình vng ABCD cạnh a, SD SAB, 45 SAADa

Gọi K trung điểm AB Vì KD//BI nên góc hai đường thẳng BI SD góc giữa hai đường thẳng KD SD góc SDK Ta có

2 a

KDSK  ,SDa

Gọi H trung điểm SD Ta có 

2 10

cos

5 a HD SDK

KD a

  

Vậy góc hai đường thẳng BI SD 51 

Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D    có cạnh AB2, AD3;AA Góc hai mặt phẳng AB D   A C D    Tính giá trị gần góc ?

A 45, 2 B 38,1 C 53, 4 D. 61, 6 Lời giải

Chọn D

Cách 1: Hai mặt phẳng AB D   A C D   có giao tuyến EF hình vẽ Từ A D ta kẻ đoạn vng góc lên giao tuyến EF chung điểm H hình vẽ Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng A H D H

Tam giác DEF có 13

2

D B

D E    ,

2

D A

D F    ,

2 B A EF   A

B

C

D y

x

S z

I K

H

A

B C

D B

D A

C

F E

x

y z

D

B A

E F

Theo rơng ta có: 61

DEF

S  Suy 305

10 DEF S D H EF   

Tam giác D A H  có: 

2 2

29 cos

2 61

HA HD A D

A HD

HA HD      

    

 

Do A HD  118, 4 hay A H D H ,  180 118, 4 61, 6

Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     vào hệ trục tọa độ hình vẽ Khi 0; 0; ,

A B2; 0; , D0;3; , C2;3; , A0; 0; , B2; 0; , D0;3; , C2;3; 4 Gọi n1là véc tơ pháp tuyến AB D  Có  n1AB AD;   12; 8; 6 

  

Gọi n2là véc tơ pháp tuyến A C D   Có n2 A C A D ;    12;8; 6 Gọi là góc hai mặt phẳng AB D   A C D  

1 2 29 cos 61 n n n n   

  Vậy giá trị gần góc  61, 6

Câu 4: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a 3 Gọi O tâm đáy ABC , d khoảng cách từ A đến 1 mặt phẳng SBC  d khoảng cách từ O đến mặt phẳng 2 SBC Tính  d d1d2

A 2

11 a

d  B 2

33 a

d  C.

33 a

d  D

11 a

d 

Lời giải

Chọn C

Do tam giác ABC tâm O suy AOBC M trung điểm BC

Ta có: 3, 3,

2 3

a a a

AM  MO AM  OA AM 

Từ giả thiết hình chóp suy SOABC,

2

2 3

9

a a

SO SA OA  a  

Dựng , // ;

3

OK OM

OK SM AH SM AH OK

AH AM

    

Có BC SO BC SAM BC OK

Có OK SM OK SBC,AH SBC  AH OK// 

OK BC

 

  

  

Từ có d1d A SBC , AH 3OK d; 2d O SBC , OK Trong tam giác vng OSM có đường cao OK nên:

2 2 2

1 1 36 99 2

3 24 33

a OK

OK  OM SO  a  a  a  

Vậy 1 2

33 a d d d  OK

Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD , đáy hình thang vng A B , biết ABBCa, AD2a, SAa

 

SA ABCD Gọi M N trung điểm SB , SA Tính khoảng cách từ M đến NCD theo a 

A 66

22 a

B 2a 66 C 66

11 a

D. 66

44 a

Lời giải

Chọn D

G S

A D

I

B C

N

K M

Cách : Gọi I giao điểm AB CD , AD2BC nên B trung điểm AI Gọi G giao điểm SB IN , dễ thấy G trọng tâm tam giác SAI Do đó,

2

3

SG SB SM MG SG, mà GNCD nên

 

 ;   ;   ; 

4

d M NCD  d S NCD  d A NCD

Lại có, CDAC CD; SACDSAC Gọi K hình chiếu A lên NC

 

 ;  AN AC2 2  *

d A NCD AK

AN AC

 

 , với

3

;

2 a

AN  ACa thay vào  * ta 66

11 a

AK  Vậy  ;  66

4 44

a

Cách : Gắn hệ trục Oxyz cho O A D; Ox B; Oy S; Oz; i a Khi A0; 0; 0, D2; 0; 0, B0;1; 0, C1;1; 0, S0; 0; 3, 0; 0;

2 N 

 

 

, 0; ;1 2 M 

 

 

 

 ; 

d M NCD

; ; CN CD CM

CN CD              

Nhập vào máy tính bỏ túi tọa độ 1; 1; CN  

 



, CD  1;1; 0 

, 1; 1;

2 CM  

 



Ta

kết 66

44 Vậy    66 ;

44

d M NCD  a

Câu 6: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi

vng góc OBOCa 6, OAa Tính góc hai mặt phẳng ABC OBC

A 60 B. 30 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

Gọi I trung điểm BCAIBC Mà OABC nên AIBC

Ta có:

   

   

,  ,  

OBC ABC BC

BC AI OBC ABC OI AI OIA

BC OI            

Ta có: 1 2 3

2

OI  BC OB OC a

Xét tam giác OAI vng A có tan  30

OA

OIA OIA

OI

    

Vậy OBC , ABC30

Câu 7: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có

đáy ABCD hình vng cạnh a 2, AA 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD

A

5 a

B.

5 a

C 2a D a

Gọi O O tâm hai mặt đáy.Khi tứ giác COO C,   hình bình hành

2 AC C O   a

Do BD// B D BD//CB D  nên d BD CD ; d O CB D ;  d C ;CB D  Ta có : B D A C B D COO C 

B D CC

    

   

 



  

    

CB D  COO C 

 

Lại có CB D   COO C CO

Trong CC O   hạ C H COC H CB D d BD CD ; C H Khi :

 2

2 2 2

1 1 1

4

C H CC C O   a a  a

2 5

a C H

 

Câu 8: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC

tam giác vng B AB, 3 , a BC 4 a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc tạo SC đáy 60 Gọi M trung điểm AC, tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM

A a B. 10

79 a

C 5

2

a

D 5a

Lời giải Chọn B

5 ,

AC a SA a

Gọi N trung điểm BC AB//SMNd AB SM , d A , SMN Dựng AH MN H ABC

Dựng AK SH K SAH

A

B C

D

A

B

D

C 

O

O H

S

A B

C D

M

N

H

 

AK SMN

  K nên d A , SMNAK d AB SM ,  AK

AH NB  a

2 2 2

1 1 1 79

4 75 300

AK  AH SA  a  a  a

10 79 a AK

 

Câu 9: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết 

6 ,

3 a

BCSBa SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SBC  SCD  A. 90 B 60 C 45 D 30

Lời giải

Chọn A

Gọi M trung điểm SC, tam giác SBC cân B nên ta có SCBM (1) Theo giả thiết ta có BDSACSCBD Do SCBCM suy SCDM (2) Từ (1) (2) suy góc hai mặt phẳng SBC  SCD góc hai đường thẳng 

BM DM

Ta có SBO CBO suy a SOCO

Do

2

a

OM  SC

Mặt khác 2

3 a

OB SB SO  Do tam giác BMO vng cân M hay góc

 45

BMO   , suy BMD 90

Vậy góc hai mặt phẳng SBC  SCD  90

Câu 10: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD điểm M , N xác định

bởi AM 2AB3AC; DN DBxDC Tìm x để véc tơ AD 

, BC, MN đồng phẳng

A x   1 B x   3 C. x   2 D x  2 Lời giải

Chọn C

Ta có MN   MAADDN3AC2AB ADDBxDC 3AD 3DC 2AD 2DB AD DB xDC

        

   

2AD DB x DC 2AD BC CD x DC             

 

2AD BC x DC

   

  

Ba véc tơ AD, BC, MN đồng phẳng x20x 

S

A

B C

D O

Câu 11: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông Avới ABa, BC2a Điểm H thuộc cạnh AC cho

3

CH  CA, SH đường

cao hình chóp S ABC a

SH  Gọi I trung điểm BC Tính diện tích thiết diện hình chóp với mặt phẳng qua H vng góc với AI

A

2

3 a

B.

2

6 a

C

2

3 a

D

2 a Lời giải Chọn B

Cách 1: Gọi   mặt phẳng qua H vng góc với AI Vì SH ABC, AI ABC nên SH 

Ta có AI ABBI a nên ABI tam giác Gọi M trung điểm AI , ta  1

BM  AI Từ suy   // BM (vì vng góc AI )

Trong ABC dựng  HN// BM với NBC, ta suy     ABCHN Từ đó, thiết diện mặt phẳng   hình chóp SHN

Xét ABP vng có:

2

cos 30

cos 30 3

1 3

sin 30 .

2 3

AB a a

AB

BP BP

AP a a

AP BP                         

Dễ thấy ACa 3

3

AC a

CH

   Vậy H trung điểm CP HN đường trung bình CBP hay NI

2

a

HN BP

  

Xét tam giác vuông SHN H  90 : 

2

1

2 3

SHN

a a a

S  HS HN  

Cách 2: Tam giác ABI đềuIAH30 Áp dụng định lí cơsin AHI có

3 a IH  S A B C

I  N

P

Vậy 2 2 2 3 a AH a HI AI a            

suy AIH vuông đỉnh I hay HI AI

Phần giống cách

Câu 12: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho lăng trụ ABC A B C    có mặt bên hình

vng cạnh a Gọi D, E trung điểm cạnh BC, A C  Tính khoảng cách hai đường thẳng AB DE theo a

A

3 a

B.

4 a

C

2 a

D a

Lời giải

Chọn B

Gọi I trung điểm AB Khi 3, a

CI  CIABB A  Gọi H trung điểm IB

Vì DH CI nên // DH ABB A 

Vì

// // ID AC A E

ID AC A E

        

nên tứ giác A EDI hình bình hành, suy DE// A I ABB A   Ta có DE//ABB A  

Vậy  ,   , 

2

CI a d AB DE d D ABB A  DH  

Câu 13: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy Cho biết SB3a, AB4a,

2

BC a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC  A. 12 61

61 a

B 4

a

C 12 29 29

a

Từ B kẻ BD vng góc AC D , suy ACSBDSAC  SBD Mặt khác .

3

S ABCD ABCD

V  SH S nên từ B kẻ BE vng góc SD E

   , 

BE SAC BEd B SAC Trong SBD vuông B , ta có

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 61

9 16 144

BE SB BD  SB BA  BC  a  a  a  a Suy 12 61

61 a BE 

Câu 14: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a SD SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng a

SA mặt phẳng SBD 

A 45 B arcsin1

4 C. 30 D 60 Lời giải

Chọn C

O B

D C

A

S S

B

A

C

Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD Ta có   AO BD AO SBD AO SD       

nên SO hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng SBD suy góc đường thẳng SA mặt phẳng SBD góc ASO

Trong tam giác vng AOS, ta có  

2 sin 30 2 a OA ASO ASO SA a      

Câu 15: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng tam giác

ABC A B C   có đáy tam giác vng cân B , ABBCa, AA a 2, M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B C

A. a

B

2 a

C 2

5 a

D a

Lời giải Chọn A E M B' C' A C B A'

Gọi E trung điểm BB Khi đó:EM //B C B C // (AME) Ta có: d AM B C ,  d B C AME  , d C AME , d B AME , 

Xét khối chóp BAME có cạnh BE , AB , BM đơi vng góc với nên

 

  2

2

1 1

, AB MB EB

d B AME    2  

1

, a

d B AME

    

2 ,

7 a

d B AME

 

 

 , 

7 a d B AME

 

Câu 16: (THPT n Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 2a , cạnh bên SAa 5, mặt phẳng SCD tạo với mặt  phẳng ABC góc 60 Khoảng cách BD SC 

A 15

5 a

B 15

6 a

C. 30

5 a

D 30

6 a

Lời giải

A

B C

D

S

O 2a a

o 60

M H

Vì S ABCD hình chóp đều, O tâm đáy ABCD nên SOABCD

Gọi M trung điểm CD SM CD OM CD suy SMO 60 góc mặt phẳng SCD mặt phẳng  ABC 

Hình vng ABCD cạnh 2a nên 2

OC  ACa ;

2

OM  BC Do SOMa  vuông O ; SMO 60 nên SOOM tan 60a

Xét tam giác vuông SOC , kẻ OH SC, BDSOC nên OH BD Do OH khoảng cách BD SC : Tam giác vng SOC có SOa 3; OCa nên

2 2

1 1

OH  SO OM   2 2

1 1

3

OH a a

  

2

2 30

5

a a

OH OH

   

Câu 17: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lập phương

ABCD A B C D    có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng AB D  BC D 

A

3 B C

3

2 D

2 Lời giải

Chọn D

H O'

O

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Ta có B D //BD AB// DC Suy AB D  // BC D 

Gọi O , O tâm hình vng ABCD A B C D    Kẻ OH  AO Ta có B D OO B D  AC nên B D  OH

Xét tam giác OAO vng O có OO 2, 12 2

2

OA AC 

Suy

2

2

4

OO OA OH OO OA       

Cách khác: Sử dụng công thức nhanh   ,  12

3 3

d AB D  BC D  A C  

Câu 18: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh bằng 2a Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BC ; P trọng tâm tam giác

BCD Mặt phẳng MNP cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích 

A

2 11 a

B

2 a

C.

2 11 a

D

2 a Lời giải Chọn C

Trong tam giác BCD có P trọng tâm, N trung điểm BC nên suy N , P , D thẳng hàng Vậy, thiết diện tam giác MNP

Xét tam giác MND , ta có

2 AB

MN   , a 3

2 AD

DM DN  a Do tam giác MND cân D

Gọi H trung điểm MN , suy DH MN

Ta có:  

2

2 11

3

2

a a

DH  DM MH  a   

 

Diện tích tam giác MND là:

2

1 11 11

2 2

MND

a a

S  MN DH  a 

Câu 19: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy 2a chiều cao a 3 Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên

A

2 a

B 2

3 a

C.

10

a D

Chọn C

Gọi M trung điểm AB , dựng OKSM , ta chứng minh OKmp SAB 

Do S ABC hình chóp O tâm đáy ABC nên SOABCSOAB Do tam giác ABC M trung điểm AB nên ABCM

Từ SO AB ABCM suy ABSCMABOK

Từ OK SM ABOK suy OKmp SAB  Bởi d O SAB ; OK

Ta có 1. 2 3

3 3

a a

OM  CM  

Trong tam giác SOM vng O ta có:

 

2

2 2

1 1 1 10

3 10

3

3

OK a

OK OM SO a   a  a  

 

 

Vậy  ;  10

d O SAB a

A

B K

D M

S

O

Câu 20: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

SCD 

A

4 a

B

4 a

C.

2 a

D

2 a

Lời giải Chọn C

* Ta có:   

 

 

;

2 ;

d B SCD BD

OD

60

O I

A

B C

D S

H

* Gọi I trung điểm CD ta có: SI CD SCD ; ABCD OI SI;  SIO 60

OI CD

 

    

  

Xét tam giác SOI vng O ta có: tan 60 a

SOOI 

* Do SOCD tứ diện vuông O nên: 2 12 12 12 22 22 42 162

3

OH OC OD OS a a  a  a

 

 

3

;

4

a a

OH d B SCD

   

Câu 21: [1H3 - 3] (THPT Chun Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình lập phương có cạnh Gọi

điểm thuộc cạnh cho Tính khoảng cách từ điểm đến

A B C D

Lời giải Chọn C Ta có:

Ta có:

Câu 22: (THPT Qng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB 90 , BSC 60 , ASC 120 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC 

A 90 B 45 C 60 D. 30

Lời giải Chọn D

Đặt SASBSC a

Ta có SAB vng cân SABa 2; SBC BCa; SAC cân

Vậy góc SB ABC góc  SBH Ta có SBa,

2

a BH  BC



cos

2 BH SBH

SB

  SBH30

41-45_Quảng Xương 1_Lê Thanh Bình.doc

Câu 23: (THPT Qng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SC mặt đáy 45 Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE SC

A. 38 19 a

B 38

5 a

C

5 a

D

19 a

Ta có SAABCD suy AC hình chiếu SC lên ABCD , suy  SCA 45 Tam giác SCA vuông cân A , suy SA ACa 2. Dựng CIDE, suy DESCI Dựng AK vng góc với CI cắt DE H cắt CI K

Trong SAK dựng HF SK, CI SAKHF SCI,

CD AI a

AK CI

 

1

3

a HK AK

2 95

5 a

SK AK SA   ,   ,  38

19 SA HK a

d DE SC d H SCI HF

SK

    

Câu 24: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy

ABC tam giác vuông, ABBC2a, AA a 2, M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AM , B C

A 2 13

13 a

B 4 13

13 a

C 13

13 a

D 3 13

13 a

Cách 1: Gọi N trung điểm BB Ta có

         

//

, , ,

MN B C

d AM B C d B C AMN d C AMN

MN AMN             Mà M trung điểm BC nên d C AMN , d B AMN , 

 Trong mặt phẳng ABC , kẻ BH AM AM BHN    

   

AMN BHN

AMN BHN HN

        

 Trong mặt phẳng BHN , kẻ  BKHNBK AMNBKd B AMN ,   Tam giác ABM vng B có 2 12 2

5 a BH

BH  AB BM  

 Tam giác BHN vng B có 2 2 2 13 13 a BK

BK  BH  BN  

Cách 2: Chọn hệ trục Bxyz hình vẽ

Ta có :

 B0; 0; 0; A2 ; 0; 0a ; C0; ; 0a ; B0; 0;a 2  M trung điểm BC nên M0; ; 0a 

 AM   ; ; 0a a  ; B C 0; ;a a 2 ; MC0;a; 0

  2 2

, 2; 2;

AM B C a a a

     

 

 

; MC0;a; 0

Khi  

, 2

,

13 ,

AM B C MC a

d AM BC

AM B C

                

Câu 25: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật 1 1

ABCD A B C D có ba kích thước ABa AD, 2 ,a AA13a Khoảnh cách từ A đến mặt phẳng A BD bao nhiêu? 1 

A a B 7

6a C

2 a

D.

7a Lời giải

Chọn D

Trong tam giác ABD kẻ AM BD suy 2 12 12 AM  AB  AD

.Trong tam giác A AM kẻ 1 AK A M1 2 2 2 2 2 2

1 1 1

4

AK AA AM a a a

     

7

AK a

 

Khi AKA BD1  hay  ; 1  d A A BD AK a

Câu 26: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , 17

2 a

SD  Hình chiếu vng góc H S lên mặt ABCD  trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng SD HK theo a

A

7 a

B.

5 a

C 21

5 a

D 3

5 a

Lời giải

Chọn B

K H

D A

B C

S

I L

2

4

AC a

HI   ;

2

2 17

3

4

a a

SH  SD HD   a

2 2 2

1 1 16 25

3

HK  SH HI  a  a  a

3 a HK

 

Câu 27: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C   có đáy ABC tam giác vng BABC , cạnh bên a AA a 2 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B C ?

A  , 

7 a

d AM B C  B  , 

2 a d AM B C 

C  , 

3 a

d AM B C  D  , 

5 a d AM B C  Lời giải

Chọn A

I D

M

C'

B'

A C

B A'

H

Nhận xét: hai đường thẳng AM B C chéo khơng vng góc nên ta chọn phương pháp tính thơng qua đoạn vng góc chung

Qua điểm C , dựng đường thẳng CD//AM với DAB Ta dễ dàng chứng minh

 

//

AM B CD Vậy d AM B C ,  d AM ,B CD d M ,B CD 

Do B chân đường vng góc hạ từ B xuống mặt phẳng ABC , đồng thời M trung  điểm đoạn thẳng BC , nên ta có mối quan hệ  ,   , 

2

d M B CD  d B B CD

Gọi I hình chiếu vng góc B CD , H hình chiếu vng góc B B I Ta dễ dàng chứng minh BH B CD 

Theo định lý Talet tam giác BCD với AM //CD , ta có BD2.BA2a Có BI đường cao tam giác vuông BCD nên

2 2

5

BD BC a a a

BI

BD BC a a

  

 

Có BH đường cao tam giác BIB nên

2 2

2

5 2

7

2 a

a

BI BB a a

BH

BI BB a

a 

   

 



Vậy, ta có:  , 

2

BH a

d AM B C  

Câu 28: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , ABa BC, a 3 Hình chiếu vng góc S mặt đáy là trung điểm H cạnh AC Biết SBa 2 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB ? 

A 7 21

3 a

B 21

7 a

C 21

3 a

D 3 21

7 a

Lời giải

Chọn B

I H

B C

A

S

K

Để tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB , ta xác định hình chiếu vng góc  H mặt phẳng SAB qua bước sau: 

- Dựng HI AB với IAB, chứng minh ABSIH SIH  SABSI - Dựng K hình chiếu vng góc H SI , ta chứng minh SKSAB Vậy d H SAB , HK

Do HI/ /BC nên dễ dàng I trung điểm AB

2

BC a

IH   ,

2

AB a

IAIB 

Ta có ABSI nên

2

2 2

2

4

a a

SI  SB IB  a  

2

2

4

a a

SH SI IH    ; a

3

2 21

7

2 a a

SH HI a

HK

SI a

  

Do vậy, ta có  ,  21 a

d H SAB 

Câu 29: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông,

2

SB SC

a

  Cạnh SAABCD, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng: 

A

6 a

B

3 a

C

3 a

D.

2 a

Lời giải

Chọn D

H a 3

a 2

B A

D C

S

Gọi AB , x x 0 Xét SAB có 2 2 2

SA SB AB  a x

Xét SAC có 2 2 2 2

3 2

SC SA AC  a  a x  x x a xaSAa

Kẻ AH SD, HSD Ta có     

2

,

2

SA AD a

AH SCD d A SCD AH

SA AD

    



Câu 30: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , ADa, AB2 ,a BC3 ,a SA2a, H trung điểm cạnh AB , SH đường cao hình chóp S ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

A 30

7 a

B. 30

10 a

C. 13

10 a

D 17

7 a

Lời giải

Chọn B

H B

C A

D S

O

K

Ta có:   

 

       

; 2 1 1 1

; ;

2 2

;

d A SCD OA AD AD

d A SCD d H SCD HK

OH HM AD BC

d H SCD        

Trong K hình chiếu vng góc H lên SD Ta có:

2 2 2

1 1 1

2

HK  HD HS  a  a  a   

6 30

;

10

5

a a a

HK d A SCD

    

Câu 31: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

hình thang vng A D, AB2a, ADDC a, SA a 2, SAABCD Tính cosin góc hai mặt phẳng SBC SCD

A

3 B

5

3 C.

6

3 D

7

Lời giải:

Chọn C

Cách 1:

Gọi M BCAD Khi đó: SBC , SCDSCM , SCD Gọi H hình chiếu D lên SC , kẻ HK//MC KSM ta có: 

  

 SCM , SCD KHD

S

A

D C

B

M

H

Xét SCD vng D ta có: 2 2 12 12 12 42

3

    

DH DC DS a a a

3 DH a

2

2

 DC  a  a HC

SC a

Do HK//MC mà  SH

SC nên

3

2

4

  a

HK a ;

4

  a

KM SM

Mặt khác ta có: KDM DSA mà sin sin

 

KMD DSA nên KDM KMD

Do đó:

4

  a

KD KM

Xét tam giác KDH ta có:

2 2

6 cos

2

 HD HK KD 

HK HD

Cách 2:

Chọn hệ trục hình vẽ

Ta có A0; 0; 0; D a ; 0; 0; B0; ; 0a ; E0; ; 0a ; C a a ; ; 0; S0; 0; a 2  ; ; 2

 



SC a a a ; SB0; ;a a 2; SDa; 0;a 2 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBC   

1  1; 1; 

n a

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SCD  2    2; 0; 

n a

Khi góc  hai mặt phẳng SBC  SCD  2 cos       n n

n n

Câu 32: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C có    mặt đáy ABC tam giác cạnh AB2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính  theo a khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng ACC A  

A 39

13

 a

h B. 15

5

 a

h C 21

7

 a

h D 15

Ta có: A AH 60  A H  AH tan 60 a

Kẻ , sin 60

2 

     a

HK AC HI A K HK AH (hình vẽ)

Ta có 12 2 2 12 42 15

3

     



a IH

IH HA HK a a

 

 ,   ,  2 15

5

       a

d B ACC A d H ACC A HI

Câu 33: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi O giao điểm AC BD Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD trung điểm H đoạn OA góc  SD ABCD; 60 Gọi 

là góc hai mặt phẳng SCD  ABCD Tính tan 

A tan 15

9 

 B tan 30

12 

 C tan 10

3 

 D. tan 30

3 



Lời giải Chọn D

2a

M K H

O

D A

B C

S

Ta có SHABCD suy góc SD mặt phẳng ABCD góc SDH hay 60

SDH

Hạ HK CD suy CDSHK nên góc hai mặt phẳng SCD ABCD góc SKH suy SKH

B A

A A

A

C H