124 bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc có đáp án và lời giải chi tiết

TUYỂN CHỌN 124 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Câu 1:             Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng định đúng?   A Hai vectơ y; z phương   C Hai vectơ x; z phương   B Hai vectơ x; y phương    D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải     + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y phương Câu 2: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai?      A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD =      B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD =      C Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành      D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng?       A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng       C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải D A C B D1 A1 + M , N , P, Q trung điểm AB,AA1 , DD1 ,CD C1 B1 + CD1 / /( MNPQ) + AD / / ( MNPQ ) Câu 4: + A1C / /( MNPQ)    ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng              Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x =2a + b; y =a − b − c; z =−3b − 2c Chọn khẳng định đúng?    A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng   C Hai vectơ x; b phương   B Hai vectơ x; a phương    D Ba vectơ x; y; z đôi phương Hướng dẫn giải       Ta có:= y x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng ( Câu 5: ) Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = C k = B k = D k = Hướng dẫn giải D A C B D1 A1 C1 B1 + Ta có:    AB + B1C1 + DD1    = AB + BC + CC1  = AC1 Nên k = Chọn B Câu 6: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt         AC ' = u , CA ' = v , BD ' = x , DB ' = y đúng?           A 2OI =− (u + v + x + y ) B 2OI =− (u + v + x + y )      D 2OI= (u + v + x + y ) Hướng dẫn giải      C 2OI= (u + v + x + y ) K D C J A B O D’ C’ A’ B’ + Gọi J , K trung điểm AB, CD + Ta có:    = OJ + OK 2OI     = OA + OB + OC + OD     =− (u + v + x + y ) ( Câu 7: )         Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt = AA1 a= , AB b= , AC c= , BC d , đẳng thức sau, đẳng thức đúng?              A a + b + c + d = B a + b + c = C b − c + d = d Hướng dẫn giải A    D a= b + c C B A1 C1 B1 + Dễ thấy:     AB + BC + CA =     ⇒ b+d −c = Câu 8: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?       A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng       C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải D C A B K I H E G F  IK / /( ABCD)  + GF / /( ABCD) BD ⊂ (ABCD)     ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng + Các vecto câu A, C , D có giá song song với mặt phẳng Câu 9: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?    A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng     B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng    C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng    D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải + Nắm vững khái niệm ba vecto đồng phẳng Câu 10: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?        A AC1 + A1C = B AC1 + CA1 + 2C1C = AC       C AC1 + A1C = D CA1 + AC = AA1 CC1 Hướng dẫn giải + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra D C A B O D1 C1 A1 B1 Câu 11: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:      A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O   B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD     C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành    D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Hướng dẫn giải B A D C            SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC    ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành   Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a.Ta có AB.EG bằng? A a 2 B a C a Hướng dẫn giải a2 D B A C D F E      AB EG AB.( EF + EH ) =    = AB.EF + AB.EH      = AB + AB.AD ( EH = AD)   = a2 (Vì AB ⊥ AD ) G H Câu 13: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:         A OA + OB = B OA + OC = OB + OD OC + OD 2 2          C OA + OC = OB + OD D OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải B A D C     OA + OC = OB + OD        ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC    ⇔ AC = AB + BC Câu 14: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’ A’ BCC’B’ Khẳng định sau sai ?    A Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B.= IK = AC A 'C ' 2       BC C Ba vectơ BD; IK ; B ' C ' không đồng phẳng D BD + IK = Hướng dẫn giải   A Đúng IK , AC thuộc ( B′AC ) B Đúng        IK= IB′ + B ' K= a + b + −a + c 2     1 = b+c = AC = A′C ′ 2 C Sai ( ( ) ) ( )          IK= IB′ + B ' K= a + b + −a + c = b+c 2         ⇒ BD + IK =−b + c + b + c =2c =2 B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng D Đúng theo câu C          ⇒ BD + IK =−b + c + b + c =2c =2 B′C ′ =2 BC ( ) ( ) ( ) Câu 15: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho = AM 3= MD; BN NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai?    A Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng    C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng    B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng    D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng A P M B D Q N C A Sai          MN = MA + AC + CN  MN = MA + AC + CN      ⇒       MN = MD + DB + BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN     ⇒ MN =AC − 3BD + BC    ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng B Đúng            MN = MP + PQ + QN      ⇒ MN = PQ + DC ⇒ MN = PQ + DC  MN = MD + DC + CN    ⇒ MN , DC , PQ : đồng phẳng     C Đúng Bằng cách biểu diễn PQ tương tự ta có= PQ AB + DC    D Đúng Biểu diễn giống đáp án A ta có = MN AB + DC 4 ( ) ( ) Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây:      A AD + CB + BC + DA =     C AC.AD = AC.CD   a2 B AB.BC = −   D AB ⊥ CD hay AB.CD = Hướng dẫn giải A C B D Vì ABCD tứ diện nên tam giác ABC, BCD, CDA, ABD tam giác          A Đúng AD + CB + BC + DA = DA + AD + BC + CB =     −a B Đúng AB.BC = − BA.BC = −a.a.cos 60 = C Sai   a2 = AC.AD a= a.cos600     a2 −CA.CD = −a.a.cos60 = − AC.CD =     D Đúng AB ⊥ CD ⇒ AB.CD =       Câu 17: Cho tứ diện ABCD Đặt= AB a= , AC b= , AD c, gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?         A AG = a + b + c B AG= a+b+c         C AG= D AG= a+b+c a+b+c Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) A B D G M C Gọi M trung điểm BC      AG = AB + BG =+ a BM    = a + BC + BD ( )      = a + AC − AB + AD − AB        = a + −2a + b + c = a + b + c 3 ( ( Câu 18: ) ) ) ( Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD Chọn đẳng thức         A B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 B C1M =C1C + C1 D1 + C1 B1         C C1M = D BB1 + B1 A1 + B1C1 = C1C + C1 D1 + C1 B1 B1 D 2 Hướng dẫn giải B A M C D A1 B1 D1 C1 A Sai       B1M = B1B + BM = BB1 + BA + BD    = BB1 + B1A1 + B1D1     =BB1 + B1A1 + B1A1 + B1C1    =BB1 + B1A1 + B1C1 ( ( B Đúng ( ) ) )       C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD    C1C + C1A1 + C1D1 =     =C1C + C1B1 + C1D1 + C1D1    =C1C + C1D1 + C1B1 ( ) ( ( ) ) C Sai theo câu B suy       D Đúng BB1 + B1A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1      Câu 19: Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = ( G trọng tâm tứ diện) Gọi GO giao điểm GA mp ( BCD) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?   A GA = −2G0G   B GA = 4G0G   C GA = 3G0G   D GA = 2G0G Hướng dẫn giải A G B D G0 M C Theo đề: GO giao điểm GA mp ( BCD ) ⇒ G0 trọng tâm tam giác BCD     ⇒ G0 A + G0 B + G0C =      Ta có: GA + GB + GC + GD =     ⇒ GA = − GB + GC + GD     = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C   = −3GG0 = 3G0G ( ( ) ) Câu 20: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai?       A Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng B Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng C Thiết diện hình bình hành Chọn A D Thiết diện hình thang Hướng dẫn giải: A Q M B D P N C       Câu 83: Cho tứ diện ABCD Chứng minh = AB AC AC = AD AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải:          Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC.( AB − AD) = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD         Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Sai bước B Đúng C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn B   Hãy xác định góc cặp Câu 84: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC  ASB = BSC = CSA   vectơ SC AB ? A 1200 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải:          Ta có: SC AB= SC SB − SA = SC.SB − SC.SA ( )  − SC.SA.cos  =SA.SB cos BSC ASC =0   Vì SA = SB = SC BSC = ASC   Do đó: SC , AB = 900 ( S ) C A Chọn D B Câu 85: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: A 450 B 300 C 900 Hướng dẫn giải: D 600 S Ta có: AC = a ⇒ AC= 2a= SA + SC ⇒ ∆SAC vuông S Khi đó:       NM SC = SA.SC = ⇔ NM , SC = 900 ⇒ ( MN , SC ) = 900 Chọn C 2 ( 2 ) N C B A M D Câu 86: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định sai? A Góc AC B1 D1 900 B Góc B1 D1 AA1 600 C Góc AD B1C 450 D Góc BD A1C1 900 Hướng dẫn giải:        Ta có: AA = BB = BB1 BA + BC B1 D1 BD     = BB1.BA + BB1.BC =     (vì BB1 , BA = 900 BB1 , BC = 900 )   Do đó: AA1 , B1 D1 = 900 ⇒ ( AA1 , B1 D1 ) = 900 ( ( ( ) ( ) ) A1 D1 B1 C1 ) A D B Chọn B C   Câu 87: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị B1M BD1 là: A a B a   Ta có: B1M BD1 = C Hướng dẫn giải: a       B1 B + BA + AM BA + AD + DD1      = B1 B.DD1 + BA + AM AD ( )( = −a + a + = Chọn A D A1 ) D1 a2 A D a B1 C1 M a B C Câu 88: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A′C ′ ⊥ BD B BB′ ⊥ BD C A′B ⊥ DC ′ D BC ′ ⊥ A′D Hướng dẫn giải:          Ta có: BB′.BD= BB′ BA + BC = BB′.BA + BB′.BC ( ( )   ′BA + cosB ′BC = BB′.BA cosB ) Vì AA′B′B ABCD hai hình thoi nên     ′BA B ′BC ⇒ BB′.BD ≠ suy BB′ khơng vng góc với BD + B =       ′BA + B ′BC =⇒ ′BA = ′BC ⇒ BB′.BD = suy BB′ ⊥ BD + B 1800 cosB −cosB   ′BA B ′BC Nên đáp án B sai chưa có điều kiện góc B Chọn B Câu 89: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a, b ) Hướng dẫn giải: Chọn C   Câu 90: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB EG ? A 900 B 600 Hướng dẫn giải:   Ta có: = AB, EG ( ) ( C 450 D 1200 E   = AB, AC 450 ) H F G Chọn C A D B C Câu 91: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD , α góc AC BM Chọn khẳng định đúng? C cos α = Hướng dẫn giải: A cos α = B cos α = D α = 600 Gọi  O trọng tâm ∆BCD ⇒ AO ⊥ (BCD) A Trên đường thẳng  d qua C song song BM lấy điểm N cho BMCN hình chữ nhật, từ suy ra: ∠(AC, BM) = ∠(AC,CN) = ∠ACN = α = BM = Có: CN a a BN = CM = 2 B 2  AO = AB − BO = AB −  BM  = a 3  ON = BN + BO = a 12 AN = 2 AO + ON = = ⇒ cos α O N 2 D d M C a AC + CN − AN = 2.AC.CN Chọn C Câu 92: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC'   C' A Hãy xác định góc cặp vectơ AB CC ' ? A 450 B 1200 Hướng dẫn giải: ·Gọi I trung điểm CC' C 600 D 900 I C C' M Q · ∆CAC' cân A ⇒ CC' ⊥ AI (1) · ∆CBC' cân B ⇒ CC' ⊥ BI (2) A N P B   (1),( 2)  → CC' ⊥ (AIB) ⇒ CC' ⊥ AB ⇔ CC' ⊥ AB   Kết luận: góc CC' AB 90 Chọn D     Câu 93: Cho = a 3= , b góc a b 1200 Chọn khẳng định sai khẳng đính sau?   A a + b =19   B a − b =   C a − 2b = 139   D a + 2b = Hướng dẫn giải   2 2    Ta có: a + b = a + b + a.b.cos a,b = 19 ( ) Chọn A   Câu 94: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG ? A 900 B 600 Hướng dẫn giải: C 450 D 1200 Đặt cạnh hình lập phương a H I Gọi I giao trung điểm EG E F Qua A kẻ đường thẳng d / /FI D d Qua I kẻ đường thẳng d'/ /FA d'  → d cắt d' J A = IJ AF = 2EI = 2FI = 2AJ = a EI + IJ − EJ = cos α = ⇒ α =60 2.EI.IJ Chọn B Câu 95: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?   A AB AC = AB + AC − BC C J   ∠EIJ = α Từ suy ∠(EG, AF) = EJ = AE + AJ = G   B AB AC = AB + AC − BC B   C AB AC = AB + AC − BC   D AB AC = AB + AC − BC Hướng dẫn giải    BC = AB2 + AC − AB.AC.cos AB, AC = AB2 + AC − AB.AC , đáp án A ) ( Chọn A  Câu 96: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG A a B a a2 C 2 Hướng dẫn giải D a 2        Ta có AB.EG = AB.AC , mặt khác AC = AB + AD Suy           AB.EG = AB.AC = AB AB + AD = AB + AB.AD = a ( ) Chọn B Câu 97: Cho tứ diện ABCD có = AB a,= BD 3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN = a B MN = a 10 C MN = 2a 3 D MN = 3a 2 Hướng dẫn giải Kẻ NP / / AC ( P ∈ AB ) , nối MP NP đường trung bình ∆BAC ⇒ PN= PM đường trung bình ∆ABD ⇒ PM = Lại có   BD= , PM= ) ) ( PN ( AC, ⇒ ∆NPM vuông P Vậy MN = PN + PM = 10 a a AC= 2 3a BD = 2 = 90° NPM suy Chọn B Câu 98: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi không nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đôi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải Gọi d1 , d2 , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d2 cắt A , d3 khơng nằm mặt phẳng với d1 , d2 mà d3 cắt d1 , d2 nên d3 phải qua A Thật giả sử d3 khơng qua A phải cắt d1 , d2 hai điểm B, C điều vơ lí, đường thẳng khơng thể cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 99: Cho tứ diện ABCD = AB 6= , CD , góc AB CD 60° điểm M BC cho BM = MC Mặt phẳng (P) qua M song song với AB CD cắt BD, AD, AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: A 2 B C Hướng dẫn giải Thiết diện MNPQ hình bình hành (  ; MP= ) (QM ) = Ta có AB;CD = 60° QMP Suy SMPNQ = QM.QN.sin 60 Lại có CM MQ = =⇒ MQ = CB AB AQ QN 2 ∆AQN  ∆ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD ∆CMQ  ∆CBA ⇒ = 60 2= 2.sin 60 Do = SMPNQ QM.QN.sin Chọn C D Câu 100: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD= , AB 4= , CD M điểm thuộc cạnh BC cho MC = BM Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện ( P ) với tứ diện là? A B  , MQ= ) ( MN ) ( Ta có  AB,CD= 17 Hướng dẫn giải C D 16 = 90° NMQ Suy thiết diện MNPQ hình chữ nhật Lại có: CM MN = =⇒ MN = CB AB 3 AN NP ∆ANP  ∆ACD ⇒ = = ⇒ MP = AC CD ∆CMN  ∆CBA ⇒ = SMNPQ MN.NP Suy ra= 16 Chọn D   Câu 101: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 600 Hãy xác định góc cặp   vectơ AB CD ? A 600 B 450 C 1200 D 900 Hướng dẫn giải A Ta có          AB.CD= AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 =   ⇒ AB, CD = 900 ( D B ) C Câu 102: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Góc AC DA1 A 450 B 900 C 600 D 1200 Hướng dẫn giải  Vì A ' C ' //AC nên góc AC DA1 DA 1C1 C B A D  Vì tam giác DA1C1 nên DA 1C1 = 60 Vậy góc AC DA1 600 C1 B1 A1 D1   Hãy xác định góc cặp Câu 103: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC  ASB = BSC = CSA   vectơ SA BC ? A 1200 B 900 C 600 D 450 Hướng dẫn giải Ta có          SA.BC= SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( S ) = SA.SC.cos  ASC − SA.SB.cos  ASB =   ⇒ SA, BC = 900 ( C A ) B Câu 104: Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) A B C D Hướng dẫn giải Giả sử cạnh tứ diện a       AB.DM AB.DM Ta có cos = AB, DM =    a AB DM a ( A ) D B M Mặt khác          = AB AM cos 300 − AB AD.cos 600 AB.DM= AB AM − AD= AB AM − AB AD ( C ) a 3 3a a a = a − a.a = − = 2 4   3 Suy cos ( AB, DM ) = Do có cos AB, DM = 6 ( ) Câu 105: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = CD = M điểm thuộc cạnh BC cho= MC x.BC ( < x < 1) mp ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác ? A B 11 C 10 D Hướng dẫn giải  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD A P ⇒ MNPQ hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ MQ ⊥ MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM Vì MQ //AB nên = =⇒ x MQ = x AB = 6x AB CB Q B N M C D Theo giả thiết MC = x.BC ⇒ BM =− (1 x ) BC MN BM = =1 − x ⇒ MN =(1 − x ) CD = (1 − x ) CD BC Vì MN //CD nên Diên tích hình chữ nhật MNPQ S MNPQ  x +1− x  = MN MQ = (1 − x ) x = 36.x (1 − x ) ≤ 36   =   Ta có S MNPQ = x =1 − x ⇔ x = Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC Câu 106: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ? B 300 A 00 C 900 D 600 Hướng dẫn giải   Ta có AO.CD = A    (CO − CA) CD     = CO.CD − CA.CD = CO.CD.cos 300 − CA.CD.cos 600 = B D O a a a − a.a = − = .a 2 2 C Suy AO ⊥ CD Câu 107: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc ( IE , JF ) A 300 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải Tứ giác IJEF hình bình hành   IJ = AB Mặt khác  mà AB = CD nên IJ = JE  JE = CD  Do IJEF hình thoi Suy ( IE , JF ) = 900 A F I B E D J C Câu 108: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c không đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 109: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 110: Cho tứ diện ABCD với = AC   = DAB = 600 ,= AD, CAB CD AD Gọi ϕ góc AB CD Chọn khẳng định ? A cosϕ B ϕ = 600   = C ϕ = 300 D cosϕ   = Hướng dẫn giải   Ta có cos = AB, CD ( )     AB.CD AB.CD =    AB CD AB.CD Mặt khác          AB.CD= AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) A D B = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 1 = AB AD − AB AD = − AB AD = − AB.CD 2 4 C   − AB.CD 1 Do có cos= AB, CD = − Suy cos ϕ = AB.CD 4 ( ) Câu 111: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: DC ⊥ ( ADD ') ⇒ DC ⊥ DD ' Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD : A 300 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải Câu 112: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ= Gọi M trung điểm AC A Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ Tính được: cosIMJ   = IM + MJ − IJ = − MI MJ J M B Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 D I Câu 113: Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? A 900 B 600 C 300 Hướng dẫn giải D 450 C cos α = Hướng dẫn giải D α = 600   AB.PQ ⇒ AB ⊥ PQ         Câu 114: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = Gọi α góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos α = B α = 300   2 2   (a − b) = a + b − 2a.b ⇒ a.b =  a.b =   α Do đó: cos =  a.b       k Câu 115: Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải              AB.CD + AC.DB + AD.BC =AC + CB CD + AC.DB − AD.CB           = AC CD + DB + CB CD − AD = AC.CB + CB AC= ( ) ( ( ) ) Chọn đáp án C Câu 116: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) B AB + AC + BC = GA2 + GB + GC C AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) D AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) Hướng dẫn giải Cách Ta có    GA + GB + GC ( ) =       ⇔ GA2 + GB + GC + 2GA.GB + 2GA.GC + 2GB.GC = ⇔ GA2 + GB + GC + ( GA2 + GB − AB ) + ( GA2 + GC − AC ) + ( GB + GC − BC ) = ⇔ AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) Cách 2: Ta có:  AB  AC BC    MA  2    GA2   AB  AC  BC      9    GA MA     Tương tự ta suy  AB  AC BC BA2  BC AC CA2  CB AB   GA2  GB  GC         4  AB  BC  CA2    3GA2  GB  GC   AB  BC  CA2  Chọn đáp án D Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi   AB  BC  CA2    3GA2  GB  GC   AB  BC  CA2  2   GA  GB  GC  Chọn đáp án D Câu 117: Trong không gian cho tam giác ABC Tìm M P = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cho giá trị biểu thức Hướng dẫn giải     Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G cố định GA  GB  GC        P  MG  GA  MG  GB  MG  GC      3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC          3MG  GA2  GB  GC  GA2  GB  GC Dấu xảy  M  G Vậy Pmin  GA2  GB  GC với M  G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A         Câu 118: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a= 26; b= 28; a + b= 48 Độ dài vectơ a − b bằng? A 25 B C 616 D 618 Hướng dẫn giải  2   a −b = a −b ( ) ( )  2   2   = a + b − 2a.b = a + b − a + b ( ) 2 2  2 =  a + b  − a + b= 262 + 282 − 48 = 616     ⇒ a − b =616 ( )    60 , ADC 90 , BDC 1200 Trong = = = DB = DC = BDA Câu 119: Cho tứ diện ABCD có DA mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn Hướng dẫn giải = DB = DC = a Đặt DA Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD = Tam = S ACD giác ACD vuôn D nên a2 diện tích a = DA.DC 2 BCD S BCD Diện tích tam giác = a2 = DB.DC sin1200 Tam giác ABC có= AB a= , AC a 2, = BC a nên tam giác ABC vng A Diện tích a2 tam giác ABC = S ABC = AB AC 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn Câu 120: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D 81 A 82 A 83 B 84 D 85 C 86 B 87 A 88 B 89 C 90 C 91 C 92 D 93 A 94 B 95 A 96 B 97 B 98 B 99 100 C D 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C B B A C D D D D D C A A C D A B D D Câu 121: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a, b  B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải Chọn D Theo định lý-sgk Câu 122: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng P  , a  P  Mệnh đề sau sai? A Nếu b  P  b // a B Nếu b // P  b  a C Nếu b // a b  P  D Nếu b  a b // P  Hướng dẫn giải Chọn D            Câu 123: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn:= a 4;= b 3;= a.b 10 Xét hai vectơ y= a − b x= a − 2b, Gọi α   góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định −2 15 C cos α = 15 15 Hướng dẫn giải      2 2  Ta có x y  a  2b a  b  a  b  3a.b  A cos α =  x   x   y   y  B cos α =      a  2b       a b    2    a   a  2   b  4a.b   2   b  2a.b    D cos α = 15  x y cos       15 x y Câu 124: Cho tam giác ABC có diện tích S Tìm giá trị k     = S AB AC − 2k AB AC 1 A k = B k = C k = Hướng dẫn giải thích hợp thỏa mãn: ) ( D k  1 AB.AC sin C  AB AC sin2 C  AB AC  cos2 C 2      AB AC  AB.AC Chọn C  S    ... vng góc với c a // b B Nếu a // b c ⊥ a c ⊥ b C Nếu góc a c góc b c a // b D Nếu a b nằm mp (α ) // c góc a c góc b c   Hãy xác định góc cặp = SB = SC  Câu 71: Cho hình chóp S ABC có SA... thoi ABCD Ta có: OJ //CD Nên góc IJ CD góc I J OJ Xét tam giác IOJ có I a a a = IJ = SB ,= OJ = CD ,= IO = SA 2 2 2 Nên tam giác IOJ A D K O B J C Vậy góc IJ CD góc I J OJ  góc IJ O = 600... giác AB′C A′DC ′ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A′D góc sau đây?  '  'D A  B DA C BB D BDB AB ' C 'C ' Hướng dẫn A' D' Ta có: AC //A′C ′ nên góc hai đường thẳng AC A′D góc hai đường thẳng