các chuyên đề ôn thi đh

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi... Vaäy heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát.[r]

(1)

 Chuyên đề 10: MŨ, LOGARIT

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Dạng bản: với < a 

   

 

f(x)

a b

f(x) log b

Dạng 2: Đưa số: af(x)ag(x) (1)

 Nếu < a  1: (1)  f(x) = g(x)

 Nếu a thay đổi: (1)

 

 

   



a

(a 1) f(x) g(x)

Daïng 3: Đặt ẩn phụ:Đặt t = ax, t > 0; giải phương trình   

 



t g(t)

Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Điều kiện tồn loga f(x)   

 

0 a f(x)

Daïng 1:     

 

a b

0 a log f(x) b

f(x) a

Dạng 2: Đưa số:

   

  

 



a a

0 a

log f(x) log g(x) g(x)

f(x) g(x)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ

Đặt t = logax sau giải phương trình đại số theo t

Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình: 2 2 1 

2

log x log x  x  2 (x  R)

Giaûi

 2  

2

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 log x2  2log2 x  x  2 x 24 x   x  (*) Với –1 x  hai vế (*) khơng âm nên bình phương hai vế (*) ta được: (*) 8 x 22 16 2 x   28 x 2232 1  x 2 (1)

Đặt t = x  t2 = – x2 x2 = – t2 , (1) trở thành: 7 t 22 32 t    t4 + 14t2– 32t + 17 =

 (t – 1)(t3– t2 +15t – 17) =  (t – 1)2(t2 + 2t + 17) =  t = Do (1)  x =  x = (Thỏa điều kiện –1 x  1) Vậy, phương trình cho có nghiệm x =

Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Giải bất phương trình 4x3.2x x 2x 32  41 x 2x 3 2  0

Giaûi

4x3.2x x 2x 32  41 x 2x 3 2  0  22x3.2 2x x 2x 32  4.22 x 2x 32  0

 3.2 x 2x x2   4.22( x 2x x)2   0 (1)

Đặt t = x 2x x2   > (*)

(1) thaønh – 3t – 4t2 >  4t2 + 3t – <  1 t

  

Do bất phương trình cho tương đương: x 2x x2   < =

-2

 x22x   3 x  x22x x 2  

 1 i

z 2

    x

2

 

Giải phương trình 42x x 2 2x3 42 x 2 2x 4x 43  (x )

Giaûi

       3 

2x x x x x 4x

4 (*); Điều kiện : x 

(*) 42 x 2 (24x 4  1) (2x3 4x 4  1)  (24x 4 1)(42 x 2 2 ) 0x3 

Do phương trình (*) có hai trường hợp

(3)

 24 x 2  2 x3 x32 x    x3 8 2( x 2)  

     

 

2 2(x 2)

(x 2)(x 2x 4)

x 2 

 

2

x nhaän

2

x 2x (1)

x 2

  

   

  



Nhận xét: Phương trình (1) có:

VT = x22x (x 1)   2 3 3; VP =   

2 1

x 2

Suy phương trình (1) vô nghiệm Vậy : (*) có hai nghiệm x = 1; x =

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Giải phương trình log (x 1) 6log22   2 x   

Giaûi

log (x 1) 6log22   2 x (1)   

Điều kiện x > 1

(1)  log (x 1) 3log (x 1) 22   2   

        

      



2

log (x 1) x x

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Giải phương trình log2x – 1(2x2 + x – 1) + logx + 1(2x – 1)2 = Giải

Điều kieän:

  



 

   

    

    

  

  



2

2 2x 1

1

2x x x 1 x 1

2

0 x 1 x 1

(2x 1)

log2x 1 (2x2  x 1) log (2x 1)x 1  4  log2x – 1(2x – 1)(x + 1) + logx + 1(2x – 1)2 =  + log2x – 1(x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) =

Đặt:  



     



2x x

2x

1

t log (x 1) log (2x 1)

log (x 1) t

Ta có phương trình ẩn t là:          

 

2 t

2

1 t t 3t

(4)

 Với t =  log2x – 1(x + 1) =  x + = 2x –  x = (nhận)

 Với t =  log2x – 1(x + 1) =  (2x – 1)2 = x + 

     

x (loại)

5 x

4 Nghiệm phương trình là: x = vaø x5

4

Giải phương trình:    



x x

2 x1

log (4 15.2 27) 2log

4.2

Giải

Điều kiện: 4.2x >

Phương trình cho tương đương với

log2(4x + 15.2x + 27) = log2(4.2x 3)2  5.(2x)2 13.2x =

  

x x

2

2 loại

5

2

  

 

 



Do 2x > neân 2x =  x = log

23 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Giải phương trình: ( 1) x( 1) x2 0

Giaûi

Đặt  1 x t (t 0), phương trình trở thành:

 1      

t 2 t 1, t

t

Với t ta có x = Với  t 1 ta có x = 1

Giải phương trình : 2x x2 4.2x x2 22x 4 0 Giaûi

Phương trình cho tương đương với:

(22x x x2  1) 4(2x x2   1) (22x4)(2x x2  1)

 22x  4 22x22 x

 2x x2   1 2x x2  1 x2   x x 0, x 1

(5)

Giải phương trình: 3.8x4.12x18x2.27x0

Giải

Phương trình cho tương đương với:            

     

3x 2x x

2 2

3

3 3 (1)

Đặt t =   

 

x

2

3 (t > 0), phương trình (1) trở thành 3t

3 + 4t2 t  =

 (t + 1)2 (3t  2) =  t = 2

3 (vì t > 0) Với t =    

 

x

2 2 hay x = 1

3 3

Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ

Giải phương trình: log 55 x4 1 x

Giaûi

Điều kiện: 5x– > (a)

 Dễ thấy x = nghiệm (1)

 VT: f(x) = log 55 x4 hàm số đồng biến

 VP: g(x) = – x hàm số nghịch biến Do x = nghiệm phương trình

Bài 11:

Giải phương trình 2x x2 22 x x  3

Giaûi

Đặt t 2 x x2 (t > 0)

2x x2 22 x x  3 t 4 3  t2  3t 0

t 

    

t (loại) t = (nhận)

Vaäy 2x x2 = 22  x2 x  =  x = 1  x =

Bài 12:

Cho phương trình log x23  log x 2m 023     (2): (m tham số)

1/ Giải phương trình (2) m =

2/ Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn  

(6)

Giaûi

1/ Khi m = phương trình (2) trở thành log x23  log x 23   

Điều kiện x > Đặt t = log x 23   (2)  t2 + t  =  t =  t = 3 (loại)

 t =  log x3    x = 3

2/  x  3   log x 23    t  

Phương trình (2) có nghiệm thuoäc 1; 3

 2m = t2 + t  = f(t) có nghiệm t  [1, 2]

Vì f tăng [1, 2] neân ycbt  f(1)  2m  f(2)   m 

 Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ af(x)ag(x) (1)

 Neáu a > 1: (1)  f(x) > g(x)

 Neáu < a < 1: (1)  f(x) < g(x) Tổng quát:  af(x) ag(x) a 0; a

(a 1)(f(x) g(x))

 



  

  





 

 

  

  



f(x) g(x) a

a a

(a 1) f(x) g(x)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

loga f(x) > loga g(x) (1)

 Neáu a > : (1)     

g(x) f(x) g(x)

 Neáu < a < : (1)   

 

f(x) g(x) f(x)

B.ĐỀ THI

Giải bất phương trình:    

 

2

0,7 6x x

log log

(7)

Giaûi

Điều kiện:

 

   



 

 

2

x x 0

x

x x

log

x

Bất phương trình tương đương với    

 

2

0,7 6x x 0,7

log log log

x (1)

(1)          

  

2 2

6 x x x x x 5x 24

log

x x x

 4 < x < 3 hay x >

Giải bất phương trình: 1 2  

2

x 3x

log

x

Giaûi

Điều kiện: x23x 0 

x

Bất phương trình tương đương với 1 2   1

2

x 3x

log log

x (1)

(1) 

     

 

 

 

 

   

   

 

 

2

x 3x 0 x 3x 0

x x

x 3x 1 x 4x 0

x x



   

     

    

 

     

  



2

(x 3x 2)x

0 x x

(x 4x 2)x

x 2 x 2

x

 2 x x 2     

Giải bất phương trình: 3   1  

3

2log (4x 3) log (2x 3)

Giải

Điều kiện: x3

4 Bất phương trình cho 

 



2 3(4x 3)

log

(8)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN (4x 3) 9(2x 3) 16x242x 18 0     3 x

8

Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình là: 3 x

4

Giải bất phương trình: x    x 2 

5 5

log (4 144) 4log log (2 1)

Giaûi

Bất phương trình cho tương đương với

log (45 x144) log 16 log (2 5   5 x 2 1) (1) (1)  log (45 x144) log 16 log log (2 5  5  5 x 2 1)  log (45 x144) log [80(2 5 x 2 1)]

 4x144 80(2 x 2  1) 4x20.2x64 0  2 x 16  2 x

Giải phương trình: log 55 x4 1 x

Giải

Điều kiện : 5x– > (a)

 Để thấy x = nghiệm (1)

 VT : f(x) = log 55 x4 hàm số đồng biến

 VP : g(x) = – x hàm số nghịch biến Do x = nghiệm phương trình

Bài 6:

Giải bất phương trình: log log 9x 3 x721

Giải

Điều kiện

 

x

9 x

3

0 x

9 72 x log 73

log 72

  

    

 

 



Bất phương trình  log 93 x72x (Vì x > log 73 1)9 

9x3x72 0   8 3x9  x 

(9)

 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Thường sử dụng phương pháp biến đổi phương trình hệ, sau dùng phương pháp để tìm nghiệm

B.ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải hệ phương trình:   

  



2

x x log (3y 1) x

4 3y (x, y  )

Giaûi

Điều kiện: 3y – >

Ta coù   

  



2

x x log (3y 1) x

4 3y 

         x x x 3y

4 3y

          x

x x

2

y

4 3y

           x

x x x

2

y

3(4 ) (2 1)

           x x x y

2.4

            x x x y

(2 1)(2 )

2           x x y 2          x 1 y (nhaän)

Giải hệ phương trình:        

2

2 2

x 4x y

2log (x 2) log y

Giaûi            2 2

x 4x y (1)

2log (x 2) log y (2); Điều kiện: x > , y >

(2)       

  

2 y x

(x 2) y

y x

 y x 2: (1) x2 3x x (loại)

x y

 

      

(10)

 y x: (1) x2 5x x (loại)

x y (loại)

 

       

    

Vậy hệ có nghiệm  



x y

Giaûi hệ phương trình:     

 

   

 



 



2

2 x xy y

log x y log xy

x,y

3 81

Giaûi

Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương:

  

  



2

x y 2xy

x xy y



  



   



 



x y x y

y

Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) (x; y) = (2; 2)

Chứng minh với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

     

  

x y

e e ln(1 x) ln(1 y)

y x a

Giaûi

Điều kiện: x, y > 1 Hệ cho tương đương với:

        

  

x a x

e e ln(1 x) ln(1 a x) (1)

y x a (2)

Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khoảng (1; + )

Xét hàm số f(x) = ex a exln(1 x) ln(1 a x) với x >     1 Do f(x) liên tục khoảng (1; +)

 



   

x

xlim f(x)1 , lim f(x) nên phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (1; + )

Maët khaùc:     

  

x a x 1

f '(x) e e

1 x a x

=     

  

x a a

e (e 1) 0, x >

(1 x)(1 a x)

 f(x) đồng biến khoảng (1; + )

(11)

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Giải hệ phương trình:     

 

 3

x y

3log (9x ) log y

Giaûi

    

 

 

 3

x y (1) 3log (9x ) log y (2)

     

x

Điều kiện :

0 y (2)  3(1 + log3x)  3log3y =  log3x = log3y  x = y Thay y = x vào (1) ta có

x 1  x 1      x x (x 1)(2 x) 1  

 (x 1)(2 x) 0    x 1, x =

Kết hợp với điều kiện (*) hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = (2; 2)

Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

 

   

   

   

 

    



2x x x

7 2005x 2005

x m x 2m

Giải

Điều kiện x 1

Ta coù : (1)  72x x 1 72 x 1 2005(1 x)

 Xeùt    1 x 1 2x 2 72x x 1 72 x 1  0 2005(1 x)

nên (1) x [ 1; 1]  

 Xeùt x 1 2x 2 72x x 1 72 x 1  0 2005(1 x)

nên (1) hiển nhiên sai Do (1) 1  x 

 Vậy hệ có nghiệm khi: (2) có nghiệm  [1; 1]  x2– 2x +  m(x - 2) có nghiệm x  [1; 1]

     



2

x 2x m (vì x 0)

x có nghiệm x  [1; 1]

Xét hàm f(x) =  



2

x 2x

x , x  [1; 1]

 

 

 



2

x 4x

f (x)

x , f’(x) =  x 2 

x  1 2 3 2 3 + f'(x) +    + f(x)

2 2

(12)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm 2 ≤ m

Giải hệ phương trình:  

          4 2

log y x log

y

x y 25

Giaûi

Điều kiện   



y y x

Heä   

                    1 4 2 2

1 y x

log y x log

y y

x y 25

2 2

4 4

y= x y = x

3 3

16

x 9 x 25 x

 

 

  

    



 x (nhận) x = (loại)

y y

            Baøi 8:

Giải hệ phương trình: 

          3x x x

x

2 5y 4y

4 y

2 Giaûi                              3x

3x 2

x x

x

2 5y 4y

2 5y 4y 5y 4y y

4 y 2 y y 2

2             x

y 5y x = x =

y = y =

y

Giải hệ phương trình:  

 

  



  



x | y |

log x log y

Giải

Điều kieän:  



x y

(2)  log4x = log4y2 x = y2 Thay x = y2 vào (1) ta : y2– 4y + =

         

 



y y x

(do y 1)

y x

y